lógica matemática 2011

Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e

Ms. Luiz

1

Lógica Matemática

LOMA – 40 tempos

36 – Aulas

2 – Prova

2 – Exame


Ms. Luiz

2

Avaliação

• 1 prova dissertativa, com peso 8

• Exercícios Avaliatórios, com peso 2

• Exame

• Segunda Época


Ms. Luiz

3

Bibliografia

Básica

• Introdução á Lógica Matemática– Editora CENGAGE

– Carlos A. F. Bispo, Luiz B. Castanheira e Oswaldo Mello S. Filho

Complementar

• Introdução à Lógica 3a ed., Irvin M. Copi.

• Lógica, Ed. MAKRON Books – John Nolt e Dennis Rohatyn.

• Introdução à Lógica, Editora UNESP – Cezar A. Mortari.


Ms. Luiz

4

Unidades

• Calculo Proposicional– Proposição

– Tabela Verdade

– Classificação das proposições

– Tautologias

– Dedução Formal

• Cálculo de predicados– Funções Proposicionais

– Quantificadores

– Argumentos Quantificados


Ms. Luiz

5

O que é a Lógica Matemática?

Estudo da validade das formas de

argumentos.

Dedutiva


Ms. Luiz

6

Lógica Formal

Período Grego (IV a.C. – XIX)

Sistemas de Regras

Período Booleano (XIX – XX)

Conjunto de Leis

Período Contemporâneo (XX – XXI)

Estrutura Linguística


Ms. Luiz

7

Alguns Lógicos• Aristóteles (384-322 a. C.)

• Abelardo (1079 -1142)

• Ockham (1285 -1347)

• Leibniz (1646 -1716)

• De Morgan (1806 -1871)

• Boole (1815 -1864)

• Frege (1848 -1925)

• Whitehead (1861 -1947)

• Russell (1872 -1970)

• Brouwer (1881 -1966)

• Lewis (1883 -1964)

• £ukasiewicz (1878 -1956)

• Tarski (1902 -1983)

• Ramsey (1903 -1930)

• Church (1903 -1995)

• Gödel (1906 -1978)

• Rosser (1907 -1989)

• Herbrand (1908 -1931)

• Kleene (1909 -1994)

• Turing (1912 -1954)

• Robinson (1918 -1974)


Ms. Luiz

8

SINOPSE DAS VÁRIAS LÓGICAS

Clássica

Cálculo de predicados de primeira

ordem• Teoria de Conjuntos

• Teoria de Tipos

• Teoria de Categorias como Fundamento da

Matemática


Ms. Luiz

9


Não ClássicaComplementares da Clássica

• Epistêmica Clássica

Lógica da Crença

Lógica do Conhecimento• Modal Clássica

• Clássica de Ação, etc.

• Intencionais Clássicas

• Indutiva Clássica, etc.


Ms. Luiz

10


HeterodoxasParacompletas

Paraconsitentes

Não Aléticas

Quânticas

Relevantes

Modais Paraconsistentes

Epistêmicas Paracompletas

Indutivas Paraconsistentes


Ms. Luiz

11

Cálculo Proposicional

Estuda as condições de validade de

formas de argumento mostradas na

linguagem proposicional.

Na linguagem proposicional temos

símbolos, regras de formação e regras

de dedução.


Ms. Luiz

12

Proposição

Sentença declarativa que assume

um dos dois valores-verdade: verdade

(V) e falsidade (F).


Ms. Luiz

13

Exemplos de Proposição

• sen 90O = 1

• Júpiter está a 100 km da Terra.

• Os suíços fabricam os melhoresrelógios, e os franceses o melhorvinho.


Ms. Luiz

14

Contra-exemplos de Proposição

• Venha aqui!

• Atenção sala!

• Não corra tão rápido!

• Quantas vezes terei que repetir isso?


Ms. Luiz

15

Princípios da Lógica Clássica

• Identidade

“Toda proposição é idêntica a si mesma.”

• Não Contradição

“Uma proposição não pode ser verdadeira

e falsa ao mesmo tempo.”

• Terceiro Excluído

“Toda proposição ou é verdadeira

ou é falsa, não existindo um terceiro

valor que ela possa assumir.”


Ms. Luiz

16

Formalização

A formalização consiste emconverter um conjunto de proposiçõesinterligadas para uma estruturacomposta de letras proposicionais,conectivos lógicos e símbolos depontuação.


Ms. Luiz

17

Letras Proposicionais

• A, B, C,...

• a, b, c,...

• P1, P2, P3, ...

• p1, p2, p3, ...


Ms. Luiz

18

Conectivos Proposicionais

Conectam duas proposições

• Negação não

• Conjunção e

• Disjunção ou

• Condicional se..., então

• Bicondicional se, e somente se,


Ms. Luiz

19

Símbolos de Pontuação

• Parênteses ( )


Ms. Luiz

20

Proposição Simples e Composta

simples se, e somente se, contém uma

única afirmação.

composta quando for constituída por

uma seqüência finita de pelo menos

duas proposições simples.


Ms. Luiz

21

Exemplos

• Simples

Joaquim faltou ao paradão.

• Composta

Joaquim faltou ao paradão e foi punido.


Ms. Luiz

22

Conjunção

Combinação de duas proposições

ligadas pela palavra

e

substituída pelo símbolo

“”


Ms. Luiz

23

Exemplo da Conjunção

Maria foi ao cinema e Marta ao teatro.

Tradução:

C: Maria foi ao cinema.

T: Marta foi ao teatro.

Simbolicamente

C T


Ms. Luiz

24

Disjunção

Combinação de duas proposições

ligadas pela palavra

ou

substituída pelo símbolo

“”


Ms. Luiz

25

Exemplo da Disjunção

José será jogador de futebol ou

cursará medicina.

Tradução

F: José será jogador de futebol.

M: cursará Medicina.

Simbolicamente

F M


Ms. Luiz

26

Condicional

Duas proposições formam uma

condicional quando for possível

colocá-las na forma:

Se antecedente, então conseqüente

Simbolicamente

A C


Ms. Luiz

27

Exemplo de Condicional

Se dormir na aula, então serei punido.

Tradução

D: dormir na aula

P: serei punido

Simbolicamente

D P


Ms. Luiz

28

Bicondicional

Proposição que pode ser colocado na forma:

A se, e somente se, B

Simbolicamente

AB

pode ser entendida como uma

conjunção de dois condicionais

AB e BC


Ms. Luiz

29

Exemplo de bicondicional

“Só haverá diminuição da violência se a

educação for prioridade.”

Tradução

V: Haverá diminuição da violência.

E: A educação é prioridade governamental.

Simbolicamente

VE


Ms. Luiz

30

Negação

Não liga duas proposições, simplesmente, nega a afirmação da

proposição que o precede.

Simbolicamente

A


Ms. Luiz

31

Exemplos de Negação

“Alfredo não gosta de marchar”.

Tradução

M: Alfredo gosta de marchar.

M

“A estabilidade não gera desemprego”.

Tradução

E: A estabilidade gera desemprego.

E


Ms. Luiz

32

Fórmula Bem Formada - fbf

Seqüência qualquer de elementos do

vocabulário do cálculo proposicional

constitui uma fórmula.

Nem toda fórmula é aceitável para o

cálculo proposicional.

Uma fórmula aceitável para o cálculo

proposicional é fórmula bem formada.


Ms. Luiz

33

Regras de Formação

• Uma letra proposicional é uma fbf.

• Se P é uma fbf, então P também é.

• Se P e Q são fbfs, então também são:

(P Q)

(P Q)

(P Q)

(P Q)


Ms. Luiz

34

Regras de Pontuação

Cada parêntese aberto “(”

deve ser fechado “)”

sendo que os internos à expressão

precedem aos mais externos.


Ms. Luiz

35

Prioridade dos Conectivos

1o

2o e

3o e

Quando houver ambigüidade

parênteses devem ser colocados.


Ms. Luiz

36

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

37

Tabela Verdade

• Dispositivo onde figuram as possíveis combinaçõesdos valores-verdade das proposições.

• O valor verdade único de uma proposição é obtido apartir dos valores verdade de suas proposiçõessimples.

• A atribuição de um valor-verdade para umaproposição simples é semântico.

• Número de linhas 2n, onde n é o número deproposições simples.

• Número de colunas n+p, onde p é o número deconectivos.


Ms. Luiz

38

Valores da Tabela Verdade

Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional

p q p q p q p q p q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V


Ms. Luiz

39

Valores da Tabela Verdade

Negação

p p

V F

F V


Ms. Luiz

40

Critérios para o Valor-Verdade

O valor-verdade de uma

proposição composta depende

unicamente

do valor lógico de suas

proposições simples.


Ms. Luiz

41

Conjunção ()

Uma conjunção tem seu valor

lógico (V) se, e somente se, as duas

proposições que a compõem forem

verdadeiras (V)


Ms. Luiz

42

Disjunção ()

Uma disjunção tem valor-verdade (F)

se, e somente se, ambas proposições

que a compõem são falsas (F)


Ms. Luiz

43

Condicional ()

Uma proposição condicional é

falsa (F) se, e somente se,

a proposição antecedente for

verdadeira (V) e a consequente

for falsa (F).


Ms. Luiz

44

Bicondicional ()

Uma proposição bicondicional

tem valor verdade (V) se, e somente se,

as duas proposições que a compõem

tiverem o mesmo valor-verdade.


Ms. Luiz

45

Negação ()

A negação de uma proposição

verdadeira (V) é uma proposição

falsa (F) e a de uma proposição

falsa (F) é uma proposição

verdadeira (V).


Ms. Luiz

46

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

47

Tautologia

Uma proposição composta é

tautológica ou uma tautologia se, e

somente se, seu valor lógico é sempre

verdade (V).


Ms. Luiz

48

Contradição

Uma proposição composta é uma

contradição se, e somente se, o seu

valor lógico for sempre falso (F).


Ms. Luiz

49

Contingência

Uma proposição composta é

contingente, ou uma contingência,

quando o seu valor lógico pode ser (V)

ou (F), dependendo do valor de suas

proposições simples.


Ms. Luiz

50

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

51

Implicação Tautológica

É uma proposição condicional

tautológica.


Ms. Luiz

52

Equivalência Tautológica

É uma proposição bicondicional

tautológica


Ms. Luiz

53

Propriedades Tautológicas

Reflexiva

p p

p p

Simétrica

(p q) (q p)

Transitiva

(p q) (q r) (p r)

(p q) (q r) (p r)


Ms. Luiz

54

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

55

Argumento

É um conjunto de n proposições, sendo que uma delas é conseqüência e

depende das demais.

A proposição consequência é chamada de conclusão, e as demais de

premissas.


Ms. Luiz

56

Forma de Argumento

1. P1

2. P2

...

(n-1). P(n-1)

n. C

Pi são as premissas e C é a conclusão

Equivalentemente

P1P2P3...P(n-1)C


Ms. Luiz

57

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

58

Tautologias Úteis

A seguir, implicações e equivalências

tautológicas que serão utilizadas para

provar a validade de um argumento.

Sejam “p”, “q”, “r” e “s” proposições

simples quaisquer.


Ms. Luiz

59

Equivalências

01) Indepotência (IND)

• (p p) p

• (p p) p

02) Comutação (COM)

• (p q) (q p)

• (p q) (q p)


Ms. Luiz

60

Equivalências

03) Associação (ASS)

• ((p q) r) (p (q r))

• ((p q) r) (p (q r))

04) Distribuição (DIS)

• (p (q r)) ((p q) (p r))

• (p (q r)) ((p q) (p r))

• (p (q r)) ((p q) (p r))

• (p (q r)) ((p q) (p r))


Ms. Luiz

61

Equivalências

05) Leis de De Morgan (MOR)

• (p q) (p q)

• (p q) (p q)

06) Dupla Negação (D.N.)

• (p) p


Ms. Luiz

62

Equivalências

07) Equivalência Material (E.M.)

• (p q) ((p q) (q p))

• (p q) ((p q) (p q))

08) Implicação Material (I.M.)

• (p q) (p q)


Ms. Luiz

63

Equivalências

09) Negação da Implicação Material (N.I.M.)

• (p q) (p q)

10) Transposição (TRA)

• (p q) (q p)


Ms. Luiz

64

Equivalências

11) Importação / Exportação (I. E.)

• ((p q) r) (p (q r))

12) Absurdo (ABD)

• (p (q q)) p


Ms. Luiz

65

Implicações

01) Adição (ADI)

p ou p(pq)

____

pq


Ms. Luiz

66

Implicações

02) Simplificação (SIM)

pq ou pqp

____

q

pq ou pqq

____

q


Ms. Luiz

67

Implicações

03) Conjunção (CON)p ou pqpq

q

____

pq

p ou pqqp

q

____

qp


Ms. Luiz

68

Implicações

04) Absorção (ABS)

pq ou (pq)(pp q)

_______

p(pq)

05) Modus Ponens (M.P.)

pq ou (pq)pq

p

_______

q


Ms. Luiz

69

Implicações06) Modus Tollens (M.T.)

pq ou (pq)qp

q

____

p

07) Dilema Construtivo (D.C.)

pq ou (pq)(rs)(pr)qs

rs

pr

____

qs


Ms. Luiz

70

Implicações

08) Dilema Destrutivo (D.D.)

pq ou (pq)(rs)(qs)(pr)

rs

qs

______

pr


Ms. Luiz

71

Implicações

09) Silogismo Disjuntivo (S.D.)

pq ou (pq)pq

p

____

q

pq ou (pq)qp

q

____

p


Ms. Luiz

72

Implicações

10) Silogismo Hipotético (S.H.)

pq ou (pq)(qr)(pr)

qr

____

pr


Ms. Luiz

73

Implicações

11) Exportação (EXP.)

pqr ou (pqr)(p(qr))

_______

p(qr)


Ms. Luiz

74

Implicações

12) Importação (IMP.)

p(qr) ou (p(qr))(pqr)

________

p q r


Ms. Luiz

75

Regras de Dedução

A prova direta de validade de umargumento no cálculo proposicional utilizaas regras a seguir.1. introduzir premissas usando

a. equivalências;

b. implicações;

c. Teorema da Dedução.

2. Cada premissa introduzida deve indicar, à suadireita, o número das linhas e a tautologia porela utilizada.

3. Usar as premissas e a regra 1 para se chegar àconclusão.


Ms. Luiz

76

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

77

Teorema da Dedução (T.D.)

Dado um argumento

A1A2A3...An-1(BC)

se a proposição C pode ser obtida pela

aplicação das regras de dedução

direta 1a e 1b às premissas

A1, A2, A3, ... , An-1 e B,

então (BC) pode ser obtido das premissas

A1, A2, A3, ..., An-1


Ms. Luiz

78

Teorema da Dedução (T.D.)

Se o argumento

A1A2A3...An-1B C

for válido, então,

A1A2A3...An-1(BC)

será válido.


Ms. Luiz

79

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

80

Prova Indireta

Redução ao Absurdo (R.A.)

A prova indireta de validade de um

argumento consiste da introdução de uma

nova premissa que seja a negação da

conclusão e, a partir disso, a derivação de

uma contradição. Dessa contradição obtida,

conclui-se a validade do argumento.

A prova indireta da validade é mais

conhecida como Redução ao Absurdo,

sendo utilizada em algumas demonstrações

matemáticas.


Ms. Luiz

81

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

82

Prova de Invalidade

1. Tabela Verdade

a. Uma linha falsa

2. Atribuição de Valores

a. Premissas verdadeiras

b. Conclusão Falsa


Ms. Luiz

83

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

84

Cálculo de Predicados

No cálculo de predicados, a atenção se

volta para a estrutura da proposição simples.

A mais simples proposição envolve um

termo e um predicado:

Termo designa um objeto ou indivíduo;

Predicado indica a sua propriedade.


Ms. Luiz

85

Função Proposicional

Uma função proposicional em , um

conjunto de termos, é um predicado P

associado a um termo x, em , que

não pode ser classificada como

verdadeira ou falsa.


Ms. Luiz

86

Classificação de Função

Proposicional

A classificação de uma Função

proposicional Px, é possível quando x

representar em relação aos elementos

de

pelo menos um

todos


Ms. Luiz

87

Quantificadores

São operadores lógicos querestringem as funções proposicionaisde forma que elas se refiram a todo oconjunto de termos ou a uma partedele.


Ms. Luiz

88

Quantificadores

Função

Proposicional

+

Quantificador

= Proposição


Ms. Luiz

89

Quantificadores

• : quantificador universal

(para todo, qualquer que seja, etc.)

• : quantificador existencial

(existe, há, alguns, etc.).


Ms. Luiz

90

Formalização do Cálculo de

Predicados

1. Termos serão indicados com as últimasletras minúsculas do alfabeto : x, y e z.

2. Predicados serão indicados por letrasmaiúsculas à esquerda dos termos.

3. Função proposicional entre parênteses.

4. Quantificador à esquerda do termo e ambosà esquerda da função proposicional.


Ms. Luiz

91

Fórmula Bem Formada - CP

1. Um predicado “P” seguido de um termo “x”é uma fbf: Px.

2. Se Px e Qx são fbf, então serão também fbf:

a. Px

b. Px Qx

c. Px Qx

d. Px Qx

e. Px Qx

f. x (Px)

g. x (Px)


Ms. Luiz

92

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

93

Equivalências entre

quantificadores

Para se provar a validade de

argumentos que apresentas funções

proposicionais quantificadas é

conveniente, que estas e seus

quantificadores não se apresentem

na forma negativa.


Ms. Luiz

94


quantificadores

No caso de existir quantificador

negado, devemos substituí-lo de forma

equivalente.


Ms. Luiz

95


quantificadores

Se representar um predicado

associado aos termos de um conjunto

, as equivalências a seguir se

verificam:

1. x (x) é equivalente ax (x)

2. x (x) é equivalente a x (x)


Ms. Luiz

96

Exercícios

Propostos


Ms. Luiz

97

Exemplificação

É a aplicação de duas

tautologias que transformam funções

proposicionais em proposições.


Ms. Luiz

98

Exemplificação Existencial (E.E.)

Se existe um termo c associado ao

predicado , estipulamos que tal termo seja c.

x (x)

______

c


Ms. Luiz

99

Exemplificação Universal (E.U.)

Se todos os termos estão associados aopredicado , escolhemos aleatoriamente umdeles, c.

x (x)

______

c


Ms. Luiz

100

Generalização

Transforma proposições em funções

proposicionais.


Ms. Luiz

101

Generalização Existencial (G.E.)

Se um termo c está associado aopredicado , então existe um termoassociado a .

c

_____

x (x)


Ms. Luiz

102

Generalização Universal (G.U.)

Se o termo c pode ser qualquer

elemento de , então qualquer termo

está associado ao predicado .

c

______

x (x)


Ms. Luiz

103

Observação

A Exemplificação Existencial

sempre antecede a Exemplificação

Universal


Ms. Luiz

104

Validade de Argumentos

Quantificados

1. Transformar o argumento quantificado, por

meio da exemplificação, em argumento sem

quantificadores.

2. Usar a prova direta de validade para esse

argumento exemplificado.

3. Usar generalização para se obter a

conclusão do argumento quantificado.


Ms. Luiz

105

Exercícios

Propostos

lógica matemática 2011

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