Disciplina: Lgica Matemtica

Prof. Etelvira Leite

Lgica Matemtica

A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do

estudo das proposies, as quais devem satisfazer aos

dois princpios fundamentais seguintes:

(i) Princpio da no contradio: uma proposio no

pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(ii) Princpio do terceiro excludo: uma proposio ou

verdadeira ou falsa, no havendo outra alternativa.

Chama-se proposio, sentenas declarativas afirmativas da

qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja

falsa.

Exemplos:

A soma dos ngulos de um tringulo igual a 180 (V) 3 + 5 = 2 (F) O sol um planeta. (F)

Contra-exemplos:

x + 2 = 7 x um n real.

No sero objeto de estudo as sentenas interrogativas ou exclamativas.

Lgica Matemtica

Lgica Matemtica

Chama-se valor lgico de uma proposio a verdade

se a proposio verdadeira e a falsidade se a

proposio falsa.

Os valores lgicos verdade e falsidade de uma

proposio designam-se pelas letra V e F,

respectivamente. Os valores lgicos tambm costumam

ser representados por 1 (um) para proposies

verdadeiras e 0 (zero) para proposies falsas.

Lgica Matemtica

As proposies podem ser classificadas em simples

ou compostas.

Simples: aquela que no contm nenhuma outra

proposio como parte integrante de si mesma. E

geralmente so designadas pelas letras latinas

minsculas p, q, r, s, ..., chamadas letras proposicionais.

Composta: aquela formada pela combinao de

duas ou mais proposies. E so designadas pelas letras

latinas maisculas P, Q, R, S, ....

Lgica Matemtica

Exemplos:

Proposio Simples: p : Carlos mdico. q : Pedro estudante. r : Carlos feliz.

Proposio Composta: P : Carlos mdico e Pedro estudante. Q : Carlos mdico ou Pedro estudante. R : Se Carlos mdico, ento feliz.

Lgica Matemtica

Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar

novas proposies a partir de outras.

Assim nas seguintes proposies:

P: No est chovendo. Q: O nmero 6 par e o nmero 8 cubo perfeito. R: O tringulo ABC retngulo ou issceles. S: Ou voc vai ao teatro ou vai ao cinema. T: Se Jorge engenheiro, ento sabe matemtica. U: O tringulo ABC equiltero se e somente se equingulo.

so conectivos usuais em Lgica Matemtica as palavras que

esto em destaque, isto :

no, e, ou, ou...ou..., se...ento..., ...se e somente se...

Segundo o Princpio do terceiro excludo, toda proposio

simples p verdadeira ou falsa, isto , tem o valor lgico 1 ou o

valor lgico 0.

Em se tratando de uma proposio composta, a determinao do

seu valor lgico, depende unicamente dos valores lgicos das

proposies simples componentes, ficando por eles univocamente

determinados.

A tabela-verdade um dispositivo prtico usado para a

determinao do valor lgico de uma proposio composta. Neste

dispositivo figuram todos os possveis valores lgicos da proposio

composta, correspondentes a todas as possveis atribuies de

valores lgicos s proposies simples componentes.

Lgica Matemtica

Assim, por exemplo, no caso de uma proposio composta

cujas proposies simples componentes so p e q, as nicas

possveis atribuies de valores lgicos a p e a q so:

Observe-se que os valores lgicos 0 e 1 se alternam de dois

em dois para a primeira proposio p e de um em um para a

segunda proposio q, e que, alm disso, 00, 01, 10 e 11 so os

arranjos binrios com repetio dos dois elementos 0 e 1.

Lgica Matemtica

No caso de uma proposio composta cujas proposies

simples componentes so p, q e r as nicas possveis

atribuies de valores lgicos a p, a q e a r so:

Lgica Matemtica

Operaes Lgicas Fundamentais

Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas

operaes sobre proposies, chamadas operaes lgicas.

As operaes lgicas obedecem regras de um clculo,

denominado clculo proposicional, semelhante ao da

aritmtica sobre nmeros.

Lgica Matemtica

Negao

Chama-se negao de uma proposio p a proposio

representada por "no p", cujo valor lgico verdade (1)

quando p falso e falsidade (0) quando p verdadeiro.

Assim, "no p" tem valor lgico oposto daquele de p.

Simbolicamente, a negao de p indicada com notao "~

p", que se l "no p". O valor lgico da negao de uma

proposio , portanto, definido pela seguinte tabela-

verdade:

Lgica Matemtica

Conjuno

Chama-se conjuno de duas proposies p e q a

proposio representada por "p e q", cujo valor lgico a

verdade (1) quando as proposies p e q so verdadeiras e a

falsidade (0) nos demais casos.

Lgica Matemtica

Disjuno

Chama-se disjuno de duas proposies p e q a

proposio representada por p ou q, cujo o valor lgico a

verdade (1) quando ao menos uma das proposies p e q

verdadeira e a falsidade (0) quando as proposies p e q so

ambas falsas.

Lgica Matemtica

Disjuno Exclusiva

Chama-se disjuno exclusiva de duas proposies p e q a

proposio representada simbolicamente por p q, que se l:

"ou p ou q" ou "p ou q, mas no ambos", cujo valor lgico a

verdade (1) somente quando p verdadeira ou q verdadeira,

mas no quando p e q so ambas verdadeiras, e a falsidade

(0) quando p e q so ambas verdadeiras ou falsas.

Lgica Matemtica

Condicional

Chama-se proposio condicional ou apenas condicional

uma proposio representada por "se p ento q", cujo valor

lgico a falsidade (0) no caso em que p verdadeira e q

falsa e a verdade (1) nos demais casos.

Lgica Matemtica

Bicondicional

Chama-se proposio bicondicional ou apenas

bicondicional uma proposio representada por "p se e

somente q", cujo valor lgico a verdade(1) quando p e q so

ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (0) nos

demais casos.

Lgica Matemtica

Dada vrias proposies simples p, q, r , ..., podemos combin-

las pelos conectivos lgicos:

e construir proposies compostas, tais como:

P(p,q) = ~ p (p q)

Q(p,q) = (p ~ q) q

R(p,q,r) = (p ~ q r ) ~ (q (p ~ r))

Lgica Matemtica

Negao ~ ou

Conjuno

Disjuno

Disjuno Exclusiva

Condicional

Bicondicional

O nmero de linhas da tabela verdade de uma proposio composta depende do nmero de proposies simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposio composta, com n proposies simples componentes, contm 2 elevado a n linhas.

Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, procede-se da seguinte maneira:

a. determina-se o nmero de linhas da tabela- verdade que se quer construir;

b. observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema;

c. aplicam-se as definies das operaes lgicas que o problema exigir.

Lgica Matemtica

Exemplo:

Construir a tabela-verdade da proposio: P(p,q) = ~ (p ~ q)

Lgica Matemtica

O uso de parnteses

bvia a necessidade de usar parntesis na simbolizao das proposies, que devem ser colocados para evitar qualquer tipo

de ambigidade. Assim, por exemplo, a expresso p q r d lugar, colocando parntesis, s duas seguintes proposies:

(i) (p q) r (ii) p ( q r)

que no tm o mesmo significado lgico, pois na (i) o conectivo principal " ", e na (ii), o conectivo principal " ".

Por outro lado, em muitos casos, parntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposies simbolizadas, desde que, naturalmente, ambigidade alguma venha a aparecer.

A "ordem de precedncia" para os conectivos :

(1) ~ ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6)

Lgica Matemtica

Tautologia

Chama-se tautologia toda a proposio composta cuja

ltima coluna de sua tabela-verdade encerra somente o

nmero 1 (verdadeira). Em outros termos, Tautologia toda

proposio composta P(p, q, r, ...) cujo valor lgico sempre

(1) verdade, quaisquer que sejam os valores lgicos das

proposies simples componentes.

Lgica Matemtica

Contradio

Chama-se contradio toda a proposio composta cuja

ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente o

nmero 0 (falsidade).

Em outros termos, contradio toda proposio composta

P(p, q, r,...) cujo valor lgico sempre 0 (falsidade), quaisquer

que sejam os valores lgicos das proposies simples

componentes p, q, r, ...

Como uma tautologia sempre verdadeira (1), a negao de

uma tautologia sempre falsa (0), ou seja, uma contradio,

e vice-versa.

Lgica Matemtica

Contingncia

Chama-se contingncia toda a proposio composta em

cuja ltima coluna de sua tabela-verdade figuram os nmeros

0 e 1 cada uma pelo menos uma vez.

Em outros termos, contingncia toda proposio

composta que no tautologia nem contradio.

As contingncias so tambm denominadas proposies

contingentes ou proposies indeterminadas.

Lgica Matemtica

Lgica Matemtica

Uma implicao lgica, ou, inferncia lgica, uma tautologia da forma P Q; a proposio P chamada antecedente, e Q, consequente da implicao. As implicaes lgicas so representadas por P Q.

Da definio decorre imediatamente que P Q, se e somente se, o consequente Q assumir o valor lgico V, sempre que o antecedente P assumir esse valor.

De fato, para que a condicional seja verdadeira, essa condio necessria, pois, se o consequente for falso com o antecedente verdadeiro, a condicional no verdadeira. Por outro lado, a condio tambm suficiente, pois, quando o antecedente falso, a condicional verdadeira, no importando o valor lgico do consequente.

As regras de inferncia so, na verdade, formas vlidas de raciocnio, isto , so formas que nos permitem concluir o conseqente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textuais, costumamos utilizar o termo logo (ou seus sinnimos: portanto, em conseqncia, etc) para caracterizar as Regras de Inferncia; a expresso p q pode ento ser lida: p; logo, q.

Lgica Matemtica

Diz-se que uma proposio P (p, q, r, ...) logicamente

equivalente ou apenas equivalente a uma proposio Q (p, q, r,

...), se as tabelas-verdade destas duas proposies so

idnticas.

Indica-se que a proposio P (p, q, r, ...) equivalente a

proposio Q (p, q, r, ...) com a notao

P (p, q, r, ...) Q (p, q, r, ...)

Em particular, se as proposies P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...)

so ambas tautolgicas ou so ambas contradies, ento so

equivalentes.

Lgica Matemtica

Listamos abaixo algumas das equivalncias mais importantes (e teis) da Lgica; cada uma delas pode ser provada, simplesmente mostrando que a bicondicional correspondente uma tautologia, bastando, para isso, construir sua Tabela Verdade.

Em termos textuais, duas proposies so equivalentes quando traduzem a mesma idia, diferindo apenas a forma de apresentar essa idia. Apresentamos abaixo algumas das principais equivalncias da Lgica:

Lgica Matemtica

Lgica Matemtica

Alm dessas equivalncias, sero teis tambm as equivalncias que tratam com tautologias e contradies:

Lgica Matemtica

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica Matemtica. 18. ed. So Paulo: Nobel, 2000. 203p., il. ISBN (Broch.).

Lgica Matemtica