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27/04/12

(Verso para impresso) Lgica Matemtica

Lgica MatemticaContedoAula 01 - Lgica proposicional1.1 Introduo Lgica Proposicional 1.2 A linguagem da Lgica Proposicional 1.2.1 O vocabulrio da Lgica Proposicional 1.2.2 Sintaxe do clculo proposicional 1.2.3 Semntica da Lgica Proposicional

Aula 02 Linguagem natural e mtodo de tabelas verdade2.1 Lgica Proposicional e linguagem natural 2.2 O mtodo de tabelas verdade

Aula 03 Propriedades semnticas, equivalncia e argumentao3.1 Propriedades semnticas da Lgica Proposicional 3.2 Equivalncia e implicao em frmulas da Lgica Proposicional 3.3 Argumentao na Lgica Proposicional

Aula 04 Inferncia e equivalncias notveis4.1 Inferncia 4.2 Equivalncias notveis

Aula 05 Mtodo dedutivo5.1 Mtodo direto 5.2 Mtodo dedutivo indireto

Aula 01 - Lgica proposicionalNesta Aula, voc aprender a desenvolver a sua primeira linguagem formal, a linguagem proposicional. Trata-se de uma linguagem bastante simples, mas que associada a um sistema dedutivo, consistir num poderoso instrumento de anlise lgica.

1.1 Introduo Lgica ProposicionalA lgica proposicional extremamente til para diver sos domnios. Sua compreenso indispensvel no s para o filsofo e o matemtico, mas tambm para outras reas, por exemplo, para os profissionais da Tecnologia da Informao. A Lgica, como a conhecemos, nasceu h mais de 2000 anos entre os filsofos gregos para a elaborao e avaliao de argumentos. Seres humanos raciocinam e argumentam todo o tempo, de maneira informal ou de maneira formal. Num bate papo entre amigos, se voc quisercatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 1/43

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convenc-los de algo preciso argumentar de forma que suas idias sejam inquestionveis. O mesmo se d, por exemplo, na rea jurdica. Um trabalho tremendo feito por juristas para que as leis no gerem interpretaes erradas, ou seja, para que o raciocnio correto no leve a concluses indesejadas para a sociedade. Ento, a Lgica permite que se identifique melhor a validade ou a circunstncia em que uma argumentao procedente; tambm facilita a elaborao de argumentos e raciocnios corretos. Existem, na verdade, vrias lgicas. Pode-se dizer que a Lgica Proposicional a mais simples delas. Ela nos ajuda a raciocinar com idias simples, como: Quando chove, a rua fica molhada. Ruas molhadas ficam escorregadias e, portanto, ficam mais perigosas. Assim, em caso de chuva, preciso aumentar o cuidado ao se dirigir. Lgicas como a Lgica de Predicado de 1 Ordem e a Lgica Temporal, por exemplo, so necessrias para raciocinar sobre idias que relacionam conceitos ou que lidam com eventos que so falsos ou verdadeiros, dependendo do momento em que so considerados. A Lgica Proposicional no aplicvel nesses casos. No entanto, isso no tira sua importncia. Os computadores atuais no existiriam sem a Lgica de Boole, que , essencialmente, uma forma de se interpretar a Lgica Proposicional. A diferena que na lgica booleana manipula-se 0s e 1s no lugar de Falso e Verdadeiro. A Lgica Proposicional manipula sentenas que expressam idias simples, chamadas de enunciados ou proposies. Proposies podem ser verdadeiras ou falsas, mas cabe a algum associar a elas um desses valores. Por exemplo, a frase Computadores so caros corresponde a uma idia simples, portanto a uma proposio. J a frase Computadores so caros, mas so teis composta de duas idias simples: Computadores so caros e Computadores so teis. Assim, uma proposio pode ser composta de proposies mais simples. Consideremos agora as trs proposies a seguir: Uma hora antes de morrer, Joo estava vivo. Se [ verdade que] quando chove, a grama fica molhada, ento [ verdade que] se a grama no est molhada, porque no h chuva. A Terra redonda. Para convencer algum a respeito da primeira proposio, basta que se conhea o significado das palavras. Dizemos que essa proposio uma verdade lingustica. Ou seja, se chega concluso de que isso bvio! Para se convencer sobre a se da proposio, preciso saber o que significam as estruturas gun lingusticas se ... ento ... e no .... preciso tambm saber que as duas idias contidas na frase,"chove" e "grama molhada", so tambm proposies, isto , podem ser verdadeiras ou falsas. Podemos substituir essas idias por outras quaisquer e a frase continuar verdadeira. Peguemos, por exemplo, as seguintes proposies: estudei e fui aprovado. Inseridas nas estruturas lingusticas citadas, teremos: se verdade que quando estudo, sou aprovado, ento se fui reprovado porque no estudei. Esse tipo de verda lingustica chamada de verdade de lgica. A terceira proposio, no entanto, no uma verdade lingustica, pois ela ex pressa um fato incontestvel. Esse enunciado , portanto, uma verdade factual.

1.2 A linguagem da Lgica Proposicionalcatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 2/43

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Como para qualquer linguagem, a Lgica Proposicional, assim como a Matemtica ou as lnguas naturais, como o Portugus, tem um vocabulrio, ou seja, um conjunto de smbolos para representar seus objetos, um conjunto de regras gramaticais, ou sintaxe, que definem e estrutura correta de suas frases, e uma semntica, que associa os smbolos a idias precisas. Por exemplo, o vocabulrio da Matemtica composto de smbolos como +, -, x, /, , , , =, x, y, z, A, B, ... Existem regras gramaticais que definem frases matemticas corretas ou bem formadas. Assim, a frase x + y = 5 bem formada, enquanto a frase x + = y 5 no . Ou seja, a primeira est sintaticamente correta, enquanto a segunda no. Podemos entender a frase x + y = 5 como sendo a soma de um valor x com um y totalizando o valor 5, no importando o que x e y representam. Podem-se imaginar diversas interpretaes para x e y, ou seja, os valores que eles podem assumir para que essa frase seja verdadeira: (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ou (5,0). Assim, a semntica do operador +, para os nmeros Naturais (Inteiros maiores ou iguais a zero), tal que 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0 = 5. Vejamos agora o vocabulrio, a sintaxe e a semntica da Lgica Proposicional.

1.2.1 O vocabulrio da Lgica ProposicionalA Lgica Proposicional utiliza um vocabulrio formado por smbolos que representem proposies. Assim como na matemtica temos operadores para construir expresses, como os de soma (+), subtrao (-), multiplicao (), diviso (/), entre outros, as idias que a Lgica Proposicional articula so aquelas que se servem dos seguintes operadores: ... e ... (conjuno), ... ou ... (disjuno), verdade que ... (afirmao), no verdade que ... (negao), se ... ento ... (condicional) e ... se e somente se ... (bicondicional). Podemos utilizar letras minscu even las, t ualmente indexadas, e cinco operaes, ou conectivos, para expressar as idias que podem ser tratadas pela Lgica Proposicional, como mostrado na tabela abaixo. nome negao conjuno disjuno condicional bicondicional smbolo usual tipo unrio binrio binrio binrio binrio outros smbolos -, ~, not, no &, ., and, e , or, ou leitura no ... ... e ... ... ou ... se .... ento ... ... se e somente se ... Assim,

Existem muitas variaes de smbolos para representar os mesmos conectivos. dependendo do livro ou material utilizado, preciso verificar o vocabulrio utilizado.

Como dissemos, proposies representam idias que podem ser interpretadas como verdadeiras ou falsas. A verdade lgica citada acima pode ser representada da seguinte maneira: se representarmos a frase simples chove por um smbolo qualquer, p, por exemplo, e a frase a grama fica molhada (ou simplesmente a idia grama molhada) por outro smbolo qualquer, como o q, poderamos representar graficamente as frases Se chove, a grama fica molhada e Se a grama no est molhada, porque no h chuva. Elas poderiam ser representadas da seguinte maneira:catolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 3/43

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p e q

q

p

E a frase original Se [ verdade que] quando chove, a grama fica molhada, ento [ ver de da que] se a grama no est molhada, porque no h chuva seria representada por: (p q) ( q p)

Como vimos, essa frmula continua uma verdade lgica, quaisquer que se os enunciados jam representados pelas pro posies p e q. Se p = estudar e q = aprovado, obteremos uma mesma frmula, da mesma forma que, na matemtica, (x + y = 1) (x = 1 y) pode ser empregada em qualquer situao, ou seja, qualquer que seja a interpretao dada para x e y.

1.2.2 Sintaxe do clculo proposicionalComo so formadas as frases em portugus? a partir de um conjunto de palavras vlidas para o portugus e de um conjunto de smbolos de pontuao que se forma o vocabulrio da lngua portuguesa. E a partir das regras gramaticais, ou sintaxe, que se produzem frases corretas ou bem formadas. Vejamos, por exemplo, o seguinte subconjunto das regras gramaticais (RG) da lngua portuguesa: (1) (2) (3) (4) uma frase pode ser composta de um sujeito e de um predicado, um sujeito pode ser formado por um artigo e um substantivo, um predicado pode ser formado por um verbo e um objeto direto e um objeto direto pode ser formado por um artigo e um substantivo.

Elas podem ser representadas da seguinte maneira: RG1: ::= RG2: ::= RG3: ::= RG4: ::= . Para verificar se a frase O gato pulou o muro bem formada, basta verificar se ela pode ser gerada a partir das regras acima. Assim, a partir da RG1, temos: Como o um artigo, gato e muro so substantivos e pulou um verbo, temos:

Podemos utilizar as regras R2 e R4:

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E aplicando-se a regra R3, teremos:

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