lÓgica matemÁtica

103 Lgica Matemtica | Unidade 01

2014 - AIEC - Associao Internacional de Educao Continuada

1

UNIDADE 1 ESTUDO DE PROPOSIES LGICAS

MDULO 1 O PENSAMENTO E AS PROPOSIES LGICAS

01

1 - ESTRUTURA DO PENSAMENTO E A LGICA DAS PROPOSIES

O que lgica? O que estudarei em lgica? Muitos devem se fazer estes questionamentos ao iniciar o

estudo desta disciplina.

Lgica das proposies (ou lgica proposicional) um mapeamento do formato e das regras do pensamento, possibilitando a verificao da verdade ou falsidade deste pensamento.

Para entender melhor, considere o exemplo de pensamento abaixo:

Todo humano mortal. Leonardo humano. Logo, Leonardo mortal.

Mapeando este pensamento por meio da lgica, podemos simboliz-lo no seguinte formato:

Todo H M. L H. Logo, L M.

Ou

Todo X Y. Z X. Logo, Z Y.

No importa a letra utilizada para simbolizar cada fragmento de pensamento, mas sim a utilizao

destes smbolos para o auxlio da interpretao, visando representar a forma como o pensamento foi

construdo.

02

Este estudo clssico do pensamento o fundamento da Lgica Matemtica, que tem aplicao em

vrias reas do conhecimento, tais como Computao, Filosofia e Matemtica.

Para um profissional da rea da computao, necessrio tornar-se apto a

representar um conhecimento em uma linguagem lgica, para que

futuramente esteja pronto ao aprendizado especfico da rea, como, por

exemplo, o aprendizado de uma linguagem de programao utilizada no

desenvolvimento de um software ou o aprendizado do funcionamento de

circuitos lgicos constantes em uma placa-me do computador.

Sendo assim, devemos buscar o exerccio do raciocnio lgico, por meio da representao do

pensamento no formato de uma linguagem fcil e dedutvel, que chamamos de lgica proposicional.



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03

Voltando ao exemplo inicial:

Todo humano mortal. Leonardo humano. Logo, Leonardo mortal.

Diz-se, na linguagem da lgica das proposies, que a frase Todo humano mortal uma proposio

lgica. Por qu? Porque esta frase constituda por uma combinao de palavras que conseguiram

exprimir um pensamento completo.

Da mesma forma, a frase Leonardo humano uma proposio, pois o leitor consegue compreender

por completo o pensamento expressado.

A terceira parte do exemplo, o trecho Logo, Leonardo mortal uma proposio diferenciada, pois se

trata de uma concluso (ou uma consequncia) da anlise conjunta das duas primeiras proposies.

Sendo assim, fica fcil notar que a lgica matemtica no constituda apenas por proposies lgicas,

j que estas podem ser combinadas e conectadas por outros elementos, resultando na compreenso

final da leitura, de forma similar ao que ocorre com a representao alfabtica e gramatical na Lngua

portuguesa.

Proposio Proposio uma declarao que exprime o pensamento de forma completa, por meio de termos, palavras ou smbolos.

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Os elementos usados para combinar uma ou mais proposies sero estudados com mais detalhe

posteriormente nesta disciplina, mas possvel adiantar uma notao que representa o pensamento

Todo humano mortal. Leonardo humano. Logo, Leonardo mortal na lgica das proposies,

como vemos a seguir.

O pensamento: Todo humano mortal. Leonardo humano. Logo, Leonardo mortal pode tambm

ser traduzido em:

Se todo humano mortal e Leonardo humano, ento Leonardo mortal.

Substituindo cada pensamento completo (chamados de proposio) por letras maisculas quaisquer,

temos a representao:

Se A e B, ento C

Onde:



3

A: todo humano mortal.

B: Leonardo humano.

C: Leonardo mortal.

Na notao da lgica das proposies, a estrutura de pensamento Se...., ento... simbolizada por

uma seta conectando os dois pensamentos. Tem-se ento:

A e B C

Por fim, preciso saber que na lgica das proposies o e simbolizado por , resultando na

seguinte notao final do pensamento Todo humano mortal. Leonardo humano. Logo, Leonardo

mortal:

A B C

Notao

Notao a representao simblica. Exemplos de smbolos usados em lgica: A, B, C, e

05

Esta interessante traduo de um pensamento em uma combinao de smbolos da lgica das

proposies apenas uma forma de organizar as ideias, que facilita o raciocnio lgico necessrio

interpretao de um pensamento expressado.

Certamente j nos expressamos, ou j vimos algum se expressar, por meio de sentenas iguais ou

similares s listadas abaixo:

O automvel um meio de transporte. Os animais so todos mamferos. Braslia faz parte da regio Sul do Brasil. O ano possui um total de 12 meses. O filho de Leila e Denis nasceu no Brasil. Carlos Engenheiro Civil desde 1981. Lucas usa culos somente para ler.



4

A praia mais perto fica a uma distncia de 70 km.

Todas essas so sentenas ditas declarativas, devido caracterstica de admitem juzo de valor, ou seja,

podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).

Para a lgica das proposies esta a caracterstica da bivalncia de uma sentena declarativa,

necessria e obrigatria para que a sentena seja chamada de proposio lgica.

Para ser uma proposio lgica, a sentena tem de ser declarativa.

Bivalncia A bivalncia uma caracterstica das lgicas clssicas que significa que uma proposio lgica possui apenas dois tipos de valores: verdadeiro ou falso.

06

As sentenas declarativas so proposies lgicas e, portanto, so bivalentes.

Assim, a lgica das proposies adota como princpios (ou axiomas) as duas seguintes regras

fundamentais do pensamento:

07

No entanto, no possvel atribuir um valor lgico de verdade ou falsidade a toda sentena da lngua

portuguesa. As sentenas interrogativas, por exemplo, no so consideradas como proposies lgicas,

como o caso da frase Onde voc mora?.

Da mesma forma, as sentenas imperativas, como caso de Estudem mais! e Leiam o livro de lgica

do Edgard Filho.; e as exclamativas, tais como Nossa! e Feliz Natal!, tambm no so consideradas

como proposies lgicas.

Podemos, ento, concluir que:



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Sentenas interrogativas, imperativas e exclamativas no emitem um juzo e, consequentemente, no se pode atribuir um valor de verdade ou falsidade.

Observe os exemplos a seguir, nas quais todas as sentenas so interrogativas, imperativas e

exclamativas:

Qual o seu nome?

Quantos anos seu filho tem?

No acredito nisso!

Que absurdo!

Feliz aniversrio!

Que este ano seja prspero!

Leia mais livros!

Pegue um caf!

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PROPOSIES LGICAS

A proposio o conceito mais elementar da lgica em estudo. O nome proposio vem de propor, ou

seja, significa submeter apreciao ou requerer um juzo.

Para que a referida apreciao seja possvel, destacamos que a sentena deve ser declarativa e deve exprimir o pensamento de forma completa, por meio de termos, palavras ou smbolos.

Ou seja, so proposies:

Belm a capital do Par.

(2+2) = 4.

humano mortal.

3 um nmero mpar.

(6-2) = 5.



6

O Natal dia 20 de dezembro.

Tiradentes descobriu o Brasil.

Ao ler esses exemplos de proposies, nota-se que as mesmas permitem a avaliao de verdade ou

falsidade quanto ao fato afirmado pela sentena. Essa avaliao o que chamamos de definio do

valor lgico de uma proposio.

09

VALORES LGICOS DAS PROPOSIES

Quando a proposio verdadeira, ento o seu valor lgico verdade. Por outro lado, quando a

proposio falsa, o seu valor lgico falsidade.

Assim, definem-se verdade e falsidade como valores lgicos de proposies, simbolizados

abreviadamente por V e F, respectivamente.

importante lembrar que verdade e falsidade so os dois nicos valores que podem ser assumidos por

uma proposio, excluindo totalmente a possibilidade de atribuio de um terceiro valor lgico,

segundo o princpio do terceiro excludo. Alm disso, uma proposio no pode ser os dois valores

lgicos, verdade e falsidade, ao mesmo tempo, conforme diz o princpio da no contradio.

A lgica das proposies denominada de lgica bivalente devido ao fato de uma proposio poder ser interpretada apenas com um desses dois tipos de valores lgicos.

A notao do valor lgico Falsidade de uma proposio x representada da seguinte forma:

V(x) = F

Onde se l:

Valor lgico de x F (ou) valor lgico da proposio x falsidade.

Por exemplo, considerando a proposio O Sol quente, que vamos chamar de proposio y para

simplificar a escrita, temos ento a seguinte notao e interpretao do valor lgico:

V(y) = V

Onde se l:

Valor lgico de y V (ou) valor lgico da proposio y verdade.

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PROPOSIES SIMPLES E PROPOSIES COMPOSTAS

Toda e qualquer proposio pode ser classificada ou como simples ou como composta.

Percebe-se a existncia de duas sentenas declarativas na proposio Mrcia mdica e Brbara

advogada, que so:

1. Mrcia mdica.

2. Brbara advogada.

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Habitualmente, as proposies simples e compostas so diferenciadas em suas notaes sendo

representadas, respectivamente, por letras minsculas e letras maisculas.

Voltando aos exemplos anteriores, podemos usar as seguintes representaes:

p: Daniele arquiteta. P: Mrcia mdica e Brbara advogada.

Quanto notao das proposies compostas, pode-se detalhar a representao da seguinte forma:

q: Mrcia mdica. r: Brbara advogada. P: Mrcia mdica e Barbara Advogada

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A proposio composta pode ser escrita como:

P (q, r)

Esta notao mais detalhada de uma proposio composta usada quando se deseja reforar que a

proposio composta P constituda pelas proposies simples q e r.

A seguir, no estudo de conectivos lgicos, veremos que a proposio composta pode ser tambm obtida

pela a combinao de outras proposies compostas.

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CONECTIVOS DE PROPOSIES

So denominados conectivos os elementos usados para construir novos pensamentos, formando proposies novas a partir de outras proposies.

A seguir, so listados os tipos de conectivos e respectivos exemplos de proposies compostas:

Conectivo e

P: O programa poltico ser exibido s 19h de hoje e o Jornal ser exibido depois, s 20h.

P: Clara chega s 22h de hoje e Pedro ir busc-la.

Conectivo ou

Q: Mrcia mdica ou Priscila mdica.

Q: Sou inteligente ou o professor Didtico.

Conectivo ou... ou

R: Um animal de estimao ou macho ou fmea.

R: Luiz ou paulista ou mineiro.

Conectivo Se - ento

S: Se Carlos engenheiro civil, ento sabe bem matemtica.

S: Se beber, ento no dirija.



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Conectivo se e somente se

T: Irei ao aniversrio no clube se e somente se fizer sol.

T: Dirija se e somente se no beber.

Conectivo no

Z: No choveu ontem.

Z: No durmo cedo frequentemente.

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Com exceo do conectivo no, os exemplos anteriores so de proposies compostas obtidas a partir

da combinao de duas proposies simples.

Mas vale ressaltar que tambm so ditas compostas as proposies formadas por outras proposies

compostas. Veja a seguir dois exemplos:

Conforme avanamos no estudo da lgica das proposies, variadas combinaes de conectivos em

proposies so exploradas, bem como a negao de proposies simples e de proposies compostas.

Note que a lgica das proposies j faz parte da sua vida.



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RESUMO

A lgica das proposies mapeamento do formato e das regras do pensamento, possibilitando a

verificao da verdade ou falsidade deste pensamento.

Para tanto, o pensamento precisa ser completo, ou seja, de claro entendimento. Quando isso ocorre,

chamamos o pensamento de proposio ou de proposio lgica.

Uma proposio ou verdadeira ou falsa, sendo excluda a possibilidade de um terceiro valor, alm de

no poder ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Sentenas interrogativas, imperativas e exclamativas no so proposies lgicas, pois no emitem um

juzo sobre o assunto e, portanto, no se pode atribuir um valor de verdade ou falsidade.

Classificam-se as proposies em simples ou compostas. As proposies simples so aquelas de

expressam apenas um fato, mas, por outro lado, as proposies compostas so aquelas constitudas por

dois ou mais fatos declarados. Para a combinao dos fatos, uma proposio composta conta com os

conectivos e, ou, ou...ou, se...ento e se e somente se. Sem esquecer do operador de negao

no, que inverte o sentido da proposio original.

UNIDADE I ESTUDO DE PROPOSIES LGICAS

MDULO 2 INTERPRETAO DAS PROPOSIES LGICAS

01

INTERPRETANDO AS PROPOSIES LGICAS

A anlise da estrutura do pensamento a essncia da lgica das proposies. Interpretar as sentenas

lidas ou ouvidas o cotidiano de qualquer pessoa, que, sem saber, est exercitado o raciocnio lgico

matemtico.

A partir dessa anlise, identificam-se as sentenas que admitem juzo de valor V (verdade) ou F

(falsidade), classificando-as como sentenas do tipo declarativas e, por tanto, bivalentes.

Uma sentena declarativa pode possuir juzo de valor j conhecido, conforme exemplos descritos a

seguir:



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p: O automvel um meio de transporte. p uma proposio simples de valor lgico Verdadeiro. Ou seja, V(p) = V q: Os animais so todos mamferos. q uma proposio simples de valor lgico Falso. Ou seja, V(q) = F r: Braslia faz parte da regio Sul do Brasil. r uma proposio simples de valor lgico Falso. Ou seja, V(r) = F s: O ano possui um total de 12 meses. s uma proposio simples de valor lgico Verdadeiro. Ou seja, V(p) = V

Bivalentes Como j visto, a lgica das proposies denominada de lgica bivalente, pois uma proposio pode ser interpretada com um desses dois valores lgicos: verdade e falsidade. importante lembrar tambm que:

Verdadeiro e Falso so os dois nicos valores lgicos a serem assumidos por uma proposio, excluindo totalmente a existncia de um terceiro valor. Este o princpio do terceiro excludo.

Uma proposio tem que assumir um valor lgico por vez, no podendo ser verdade e falsidade ao mesmo tempo. Este o princpio da no contradio.

02

H tambm as sentenas declarativas que no possuem valor lgico popularmente conhecido. Observe

abaixo:

O filho de Leila e Denis nasceu no Brasil.

De qual Leila se est falando? De qual Denis se est falando? No h como saber. Logo, no h como

interpretar imediatamente a declarao. Ao contrrio do que o ocorreria com a sentena O inventor

Alberto Santos Dumont nasceu no Brasil, que sabemos que verdadeira.

Carlos Engenheiro Civil desde 1981.

De qual Carlos se est falando? No h como saber. Logo, no h como interpretar imediatamente a

declarao.

Lucas usa culos somente para ler.

De qual Lucas se est falando? No h como saber. Logo, no h como interpretar imediatamente a

declarao.

O irmo de Marcos cala 41.



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De qual Marcos se est falando? No h como saber. Logo, no h como interpretar imediatamente a

declarao.

A praia mais perto fica a uma distncia de 70 km.

Onde est a pessoa? De qual praia se est falando? No h como saber. Logo, no h como interpretar

imediatamente a declarao.

Para uma proposio cujo valor lgico no nico e conhecido, a anlise dever prever as duas possibilidades de interpretao, ou seja:

p: O filho de Leila e Denis nasceu no Brasil.

V(p)

Possibilidade 1 V

Possibilidade 2 F

03

Perceba que, at o momento, os exemplos foram de proposies simples.

Vale lembrar que uma proposio simples pode ter o seu valor lgico alterado por meio da negao,

mas, ainda que negadas, permanecem como proposies simples, por continuarem sendo constitudas

por um pensamento nico, conforme demonstram os exemplos abaixo:

Exemplo 1:

p: O automvel um meio de transporte.

p uma proposio simples de valor lgico verdadeiro. Ou seja, V(p) = V

Negao de p: O automvel no um meio de transporte. Ou seja, V(negao de p) = F

Exemplo 2:

p: O filho de Leila e Denis nasceu no Brasil.

Negao de p: O filho de Leila e Denis no nasceu no Brasil.



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V(p) V(negao de p)

Possibilidade 1 V F

Possibilidade 2 F V

Proposies simples Proposio simples aquela constituda por um nico pensamento, por isso tambm chamada de proposio atmica, ou seja, quando a proposio a nica parte integrante de si prpria.

04

A negao o nico conectivo lgico sem a funo de combinar duas ou mais proposies lgicas, ao

contrrio dos exemplos a seguir, que so todos de proposies compostas:

Todo ano possui 12 meses e inicia com o ms de janeiro.

A casa do Arthur com vista ao mar e o carro do Claudio tem carroceria.

A festa da Flvia tinha bolo de chocolate e a Ana comeu apenas brigadeiro.

Paulo Engenheiro Civil e Bruno Mdico.

O cachorro de Ana est venho ou o gato de Claudia est doente.

Vera comprou a tela com pintura em acrlico ou comprou a escultura em gesso.

No ano passado, ou viajamos em agosto ou em setembro.

Na cerimnia os formandos devem vestir ou terno preto ou terno grafite.

Se a lua estiver cheia hoje, ento sairei para jantar.

Se Jos acordar cedo, ento no pegaremos engarrafamento.

Se Joo consegue correr 1 km, ento Jos consegue correr 2 km.

Silvia consegue ler se e somente se o ambiente est em silncio.

Mara vai ao supermercado hoje se e somente se Joo estiver disposto.



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Duda trabalha se e somente se faz um dia ensolarado.

Conectivo lgico So denominados conectivos lgicos os elementos usados para construir novos pensamentos, formando proposies novas a partir de outras proposies. So eles: no, e, ou, ou...ou, se...ento e se e somente se.

Proposies compostas Uma proposio composta constituda por duas ou mais proposies. Assim, a combinao de duas ou mais proposies simples resulta em uma proposio composta, tambm chamada de proposio molecular.

05

Anlise da composio 1: Todo ano possui 12 meses e inicia com o ms de janeiro.

Analisaremos, a seguir, algumas proposies. Como j vimos os passos necessrios para a anlise,

procure fazer a sua anlise antes de clicar nos links Soluo.

Dentre as sentenas exemplificadas, elencaremos duas proposies com valores lgicos de juzo

conhecido. So elas:

p: todo ano possui 12 meses.

q: todo ano inicia com o ms de janeiro.

Combinando estas proposies simples utilizando vrios tipos de conectivos lgicos, tornam-se possveis

variadas anlises de estrutura do pensamento e de interpretao de valor lgico final.

Observe a primeira combinao na declarao:

Todo ano possui 12 meses e inicia com o ms de janeiro.

Na lgica das proposies, a anlise da estrutura do pensamento deve partir sempre do seguinte

questionamento:

Esta uma declarao de que tipo? interrogativa, imperativa ou exclamativa?

Lembre-se: procure executar ou responder o que pedido antes de clicar em Anlise.



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Saiba+ Sentenas interrogativas, imperativas e exclamativas no so proposies lgicas. A explicao que no emitem um juzo e, portanto, no se pode atribuir um valor de verdade ou falsidade.

06

Confirmando-se que o pensamento uma proposio da lgica, pode-se prosseguir na anlise e verificar

o seguinte aspecto:

Esta declarao uma proposio simples ou uma proposio composta?

07

Sendo uma proposio composta, a continuidade da anlise a identificao do conectivo ou dos

conectivos lgicos:



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Quantos e quais conectivos lgicos esto presentes na proposio composta?

08

Aps esmiuar a estrutura da declarao em anlise, partimos ao estudo do valor lgico da proposio:

A declarao expressa informao(es) de juzo conhecido?



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09

Retornando declarao em anlise, identificamos que a proposio p verdadeira e que a proposio

q tambm verdadeira. Esta uma anlise isolada de valor lgico, pois as proposies simples foram

estudadas de forma individualizada. No entanto, ainda no foi feita a interpretao final do valor lgico,

necessria para a concluso do caso. Acompanhe a seguir:



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3 - ANLISE DA COMPOSIO 2: TODO ANO POSSUI 12 MESES E INICIA COM O

MS DE FEVEREIRO.

Considere agora seguinte declarao:

Todo ano possui 12 meses e inicia com o ms de fevereiro.

Vamos anlise:


11

O passo seguinte verificar:




20

12

Sendo uma proposio composta, o prximo passo a identificao do seguinte:




21

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Inicia-se agora o estudo do valor lgico da proposio com a seguinte pergunta:


14

Para fazer a interpretao final do valor lgico, acompanhe a seguir a anlise da proposio composta:



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No exemplo que vimos anteriormente, p e q eram verdades. Mas agora a proposio B tem uma

proposio componente Falsa.

Como fica a combinao V(p)=V e V(q)=F ?

Resposta



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ANLISE DA COMPOSIO 3: TODO ANO POSSUI 12 MESES E NO INICIA COM O

MS DE JANEIRO.

Considere agora a seguinte combinao:

Todo ano possui 12 meses e no inicia com o ms de janeiro.

Vamos anlise:




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18




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Agora observe a anlise final:

Temos at o momento:

V(p) = V

V(q) = V

V(negao de q) = F



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Sendo



Negao de q: todo ano no inicia com o ms de janeiro

A pendncia existente a identificao do valor lgico de B:

V(B) = ?

Sendo

B: p e no q

Resposta

20

ANLISE DA COMPOSIO 4: TODO ANO POSSUI 12 MESES OU INICIA COM O MS

DE JANEIRO.

Considere agora mais uma combinao com as proposies em anlise:

Todo ano possui 12 meses ou inicia com o ms de janeiro.



28

Vamos anlise:


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23




30

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Agora observe a anlise final.

Temos at o momento:

V(p) = V

V(q) = V

Sendo




V(B) = ?



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Sendo

B: p ou q

Como fica a combinao V(p)=V ou V(q)=V ?

Resposta

25

6 - ANLISE DA COMPOSIO 5: TODO ANO OU POSSUI 12 MESES OU INICIA COM

O MS DE JANEIRO.

Considere agora a ltima combinao a ser analisada:

T odo ano ou possui 12 meses ou inicia com o ms de janeiro.

Vamos anlise:




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29 Veja a anlise final:

Temos at o momento:

V(p) = V

V(q) = V

Sendo






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V(B) = ?

Sendo

B: ou p ou q

Como fica a combinao ou V(p)=V ou V(q)=V ?

Resposta

30

O prximo mdulo continua o estudo com os conectivos e, ou e ou... ou, e tambm aborda os

conectivos se.... ento e se e somente se. Por enquanto, o importante a conscincia de que

qualquer informao declarativa ser automaticamente esmiuada por meio do nosso raciocnio lgico

natural. Na maioria das vezes esta intuio nos garante a correta interpretao, mas em outros casos,

ela no suficiente para a anlise segundo a cincia da lgica matemtica das proposies.

Assim sendo, no decorrer desta disciplina so apresentados mecanismos eficientes que garantem as

corretas anlise e concluso, sem restar dvida quanto veracidade ou falsidade de uma determinada

declarao.

Ela [a lgica] lhe dar clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho atravs de um quebra-cabea, o hbito de arranjar suas ideias numa forma acessvel e ordenada e, mais valioso que tudo, o poder de detectar falcias e despedaar os argumentos ilgicos e inconsistentes que voc encontrar to facilmente nos livros, jornais, na linguagem cotidiana e mesmo nos sermes e que to facilmente enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte.

Lewis Carroll



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RESUMO

O estudo da Lgica das Proposies parte da anlise da estrutura do pensamento declarado e,

subsequente, interpretao quanto ao valor lgico do mesmo. Apesar de ser uma ao intuitiva

e instintiva do crebro humano, ela no suficiente ao estudo da Lgica das Proposies.

Portanto, a partir do estudo desta disciplina, o exerccio lgico natural ao ser humano vai

compartilhando espao com estudo cientfico das lgicas clssicas, que enfocam as sentenas

do tipo declarativas e bivalentes, conduzindo-nos aos seguintes passos interpretativos:

1) Separao do pensamento declarativo;

2) Classificao em proposio simples ou composta;

3) Se for uma proposio composta:

a. Identificao das proposies simples componentes;

b. Identificao dos conectivos existente;

c. Anlise isolada do valor lgico dessas proposies simples;

4) Anlise final do valor lgico da proposio. Se composta, consideram-se os valores lgicos de

cada componente e conexes existentes.

UNIDADE 1 ESTUDO DE PROPOSIES LGICAS

MDULO 3 OPERAES LGICAS COM OS CONECTIVOS E, OU E OU...OU

01

1 - OPERAES LGICAS

Bem-vindo ao estudo da Lgica das proposies! Os conectivos lgicos j so conhecidos. Aprendemos

que:

So denominados conectivos os elementos que possibilitam a criao de novas proposies, quando combinados com outras proposies.

Sendo assim, s possvel compor um pensamento novo devido ao uso dos conectivos e, ou, ou...ou, Se - ento e se somente se e no, que na lgica das proposies do origem s

respectivas operaes lgicas:



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02

A. Conjuno ()

A operao conjuno est presente em proposies compostas onde o conectivo e promove a

conexo de sentenas. Esta operao lgica simbolizada por .

Considerando a conveno de representar a proposio simples por letras minsculas e as compostas

por letras maisculas, vamos a seguir demonstrar a notao de proposies com a operao conjuno:

A terra redonda e o sol quente.

p: A terra redonda.

q: o sol quente.

R: A terra redonda e o sol quente.

R: p q

Alm da notao correta, importante que a interpretao do valor lgico seja tambm feita para cada

proposio simples, para que seja possvel obter a avaliao final da proposio composta.

03

Como as proposies A terra redonda e O sol quente trazem declaraes de juzo

conhecido, sabe-se ento o seguinte quanto ao valor lgico:

Sendo:

p: A terra redonda.



38

Ento o valor lgico de p verdade, simbolicamente representado por:

V(p) = V

Sendo:

q: o sol quente.

Ento o valor lgico de q verdade, simbolicamente representado por:

V(q) = V

No entanto, qual seria o valor lgico da proposio R, que foi formada pela conjuno de p e q? Veja a

seguir.

04

R: A terra redonda e o sol quente.

Para a operao da conjuno de duas proposies, a regra a seguinte:

A conjuno verdade quando, e somente quando, ambas as proposies componentes so verdades.

Ou seja:

importante frisar que o resultado final de uma conjuno ser Verdade somente quando ambas as proposies componentes forem Verdades.

05

Uma forma simples de assimilar a regra da conjuno imaginarmos que fizemos um pedido na

lanchonete e o garom confirma:



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Caso o garom retorne apenas com o sanduche de atum, qualquer um de ns sabe que o pedido no

ter sido atendido corretamente! Essa interpretao natural atribuda ao fato do e fixar a ideia de

que as duas partes da declarao devem ser cumpridas para que seja satisfatrio o resultado.

Outra grande ferramenta ao entendimento das operaes lgicas a compreenso da relao existente

com a teoria dos conjuntos. Considere, por exemplo, a existncia de dois conjuntos. Um deles, chamado

p e o outro conjunto denominado q. Isto :

06

Relacionando com a conjuno, cuja regra diz que o resultado da operao ser verdade somente

quando as duas proposies componentes forem verdades, o que interessa a interseo dos dois

referidos conjuntos, pois a rea da interseo representa um grupo de elementos que satisfazem tanto

ao p quanto ao q, simultaneamente:



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07

B. Disjuno ()

A operao disjuno est presente em proposies compostas onde o conectivo ou promove a ligao de sentenas. Esta operao lgica simbolizada por .

Veja a seguir a notao da disjuno entre duas proposies:

A terra redonda ou o sol quente.

p: A terra redonda.

q: o sol quente.

R: A terra redonda ou o sol quente.

R: p v q

08



41

Passando ao estudo do valor lgico da proposio R, obtida a partir da disjuno de p com q, temos o

representado abaixo.

Sendo

p: A terra redonda.

Ento o valor lgico de p verdade:

V(p) = V

Sendo

q: o sol quente.

Ento o valor lgico de q verdade:

V(q) = V

Qual o valor lgico da proposio R, formada pela disjuno de p com q? Veja a seguir.

09

R: A terra redonda ou o sol quente.

Para a operao da disjuno de duas proposies, a regra a seguinte:

Basta que uma delas seja verdade para que o resultado final da disjuno seja verdade.

Ou seja:

10

importante destacar que o resultado final de uma disjuno tambm verdade nos seguintes casos:

R: A terra redonda ou o sol frio.



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* Bastou V(p) = V para o resultado final V(p q) fosse V.

R: A terra quadrada ou o sol quente.

11

Para garantir o entendimento, considere uma situao cotidiana de planejamento da programao do

fim de semana, onde o pai diz:

No seria incoerente se o filho dissesse que poderiam ir aos dois lugares no sbado. Nem to pouco, se

o filho escolhesse apenas um dos lugares propostos pelo pai. A nica resposta que invalidaria

totalmente a proposta inicial do pai seria se o filho disse que no iria nem praia e nem ao cinema, e

escolhesse um terceiro lugar diferente.

Essas possibilidades de dilogos entre o pai e o filho compem o conceito da regra da disjuno, que estabelece que se pode validar ambas ou ao menosuma das duas opes declaradas.

Quanto teoria dos conjuntos, a representao da disjuno a unio dos conjuntos, por observar que as duas proposies no precisam ser verdadeiras simultaneamente, para a operao ser verdadeira:



43

12

C. Disjuno Exclusiva ()

A operao disjuno exclusiva, simbolizada por , est presente em proposies compostas pelo conectivo ou, que aparece normalmente duplicado na sentena, desde que exprima a ideia de excluso de uma das proposies componentes.

Por exemplo:

Rio de Janeiro a capital do Brasil ou a capital Braslia.

p: Rio de Janeiro a capital do Brasil.

q: Braslia a capital do Brasil.

R: Ou Rio de Janeiro a capital do Brasil ou a capital Braslia.

R: p q

13

Como a proposio R declara uma afirmativa de juzo j conhecido, como caso do conhecimento da

capital do Brasil, pode-se at suprir o primeiro ou da expresso do pensamento:

R: Rio de Janeiro a capital do Brasil ou a capital Braslia.



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R: p q Quanto ao estudo do valor lgico da proposio R, obtida a partir da disjuno exclusiva de p com q,

temos o seguinte.

Sendo:

p: Rio de Janeiro a capital do Brasil.

Ento o valor lgico de p falso:

V(p) = F

Sendo:

q: Braslia a capital do Brasil.


V(q) = V

Qual o valor lgico da proposio R, formada pela disjuno exclusiva de p com q? Veja a seguir.

14

R: Rio de Janeiro a capital do Brasil ou a capital Braslia.

Para a operao da disjuno exclusiva de duas proposies, a regra a seguinte:

Somente uma delas deve ser verdade para que o resultado final da disjuno seja verdade.

Ou seja:

A inverso tambm satisfaz regra, conforme demonstra a tabela abaixo:



45

15

Voltando ao exemplo do dilogo entre pai e filho, mencionado na operao de disjuno, considere

agora que o pai quisesse deixar claro ao filho que somente um dos lugares propostos poderia ser

escolhido para a programao do sbado. Apoiando-se na lgica das proposies para se expressar, a

proposta do pai seria:

Percebe-se a mudana quanto interpretao da declarao, onde a escolha da praia exclui a ida ao

cinema no sbado. Por outro lado, no admite que ambos os lugares sejam escolhidos, nem mesmo que

os dois lugares sejam descartados. Essa essncia da disjuno exclusiva!

Reforando o entendimento com teoria dos conjuntos, a disjuno exclusiva representada por um

diagrama similar ao da disjuno, retirando-se apenas a parte onde os elementos atendem

simultaneamente aos conjuntos p e q:

Sendo

A: p q

B: p q

Ento:

A Disjuno Exclusiva a Diferena: A-B



46

16

RESUMO

Com o emprego de um ou mais conectivos possvel compor um pensamento novo. Cada conectivo

origina uma operao da lgica das proposies e, por sua vez, cada operao possui uma regra prpria

de interpretao.

Assim, para a interpretao final de uma proposio, deve-se identificar o conectivo em anlise e aplicar

a respectiva regra. A dica lembrar a situao que conduz ao resultado V (Verdade) na interao de

cada uma das operaes.

A tabela abaixo consolida as primeiras operaes lgicas estudadas e respectivas regras de obteno de

V (verdade) na anlise final da proposio:

UNIDADE I ESTUDO DE PROPOSIES LGICAS

MDULO 2 OPERAES LGICAS COM OS CONECTIVOS SE-ENTO, SE E

SOMENTE SE E NO.

01

1 - OPERAES LGICAS

Em continuidade ao estudo das operaes lgicas, neste mdulo sero estudados dois outros conectivos

lgicos: Se-ento e se e somente se.

Esses conectivos possibilitam a criao de novas proposies por meio das operaes lgicas

denominadas como Condicional e Bicondicional, respectivamente identificadas abaixo:



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02

2 - OPERAO CONDICIONAL ()

A operao condicional, simbolizada por , est presente em proposies compostas pelo conectivo se... ento..., que expressa a ideia de condio e consequncia.

Por exemplo: Se o inventor Santos Dumont nasceu no Brasil, ento ele brasileiro.

p: O inventor Santos Dumont nasceu no Brasil.

q: O Santos Dumont brasileiro.

R: Se o inventor Santos Dumont nasceu no Brasil, ento ele brasileiro.

R: p q

Esse tipo de declarao condiciona a veracidade de q ocorrncia de p. Assim, a interpretao deve ser

iniciada pela avaliao do valor lgico da proposio p.

03

Como a proposio R declara uma afirmativa conhecida, pois sabemos que brasileiro aquele que nasce

no Brasil e que Santos Dumont brasileiro, a anlise do valor lgico da proposio R fica facilitada.

Inicie a avaliao refletindo: Qual a nica possibilidade desta proposio R estar incorreta?

Como sabemos que V(p)=V, tambm sabemos que V(q)=V. Veja abaixo o detalhamento do estudo do

valor lgico final:

Sendo

p: O inventor Santos Dumont nasceu no Brasil.


V(p) = V

Sendo

q: O Santos Dumont brasileiro.



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V(q) = V

04

Qual o valor lgico da proposio R, formada pela condicional de p com q?

R: Se o inventor Santos Dumont nasceu no Brasil, ento ele brasileiro.

Para a operao da condicional de duas proposies, a regra a seguinte:

A nica possibilidade que no pode ocorrer uma verdade condicionando uma falsidade, ou seja, Verdade Falsidade. Nos demais casos, o resultado verdade.

Retomando ao caso da proposio R, temos o seguinte:

05

importante esclarecer que o exemplo Se o inventor Santos Dumont nasceu no Brasil, ento ele

brasileiro foi escolhido para fins didticos, mas no obrigatrio que exista qualquer conexo de

sentido entre os fatos declarados pelas proposies componentes da condicional. Por exemplo,

poderamos ter a seguinte sentena:

Se 3 um nmero impar, ento a terra plana.

Por outro lado, exemplos com sentido na linguagem humana auxiliam de forma relevante na assimilao

da regra da operao lgica. Por exemplo, imagine que voc diga para uma criana:



49

Bem, pode acontecer tudo, menos a situao onde a criana desobedea e depois no fique de castigo.

Ou seja, a incoerncia estar na situao onde:

V F

Uma vez que a promessa foi:

voc desobedece fica de castigo.

Assim a essncia da condicional na lgica das proposies.

06

Apoiando-se nas relaes da teoria dos conjuntos, considere os conjuntos p e q a seguir. Quanto

condicional p q, a representao corresponder incluso do conjunto p no conjunto q, demonstrando a relao de dependncia que p tem com o q.

07

3 - OPERAO BICONDICIONAL ()

A operao bicondicional est presente em proposies compostas onde h conectivo ...se e somente se..., simbolicamente representado por , que



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expressa a ideia de condio bilateral. Por exemplo:

A lua nasce se e somente se o sol se pe.

p: A lua nasce.

q: O sol se pe.

R: A lua nasce se e somente se o sol se pe.

R: p q

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Como a proposio R declara uma afirmativa de juzo j conhecido, a anlise do valor lgico da

proposio R fica facilitada.

Sendo

p: A lua nasce.


V(p) = V

Sendo

q: O sol se pe.


V(q) = V

Qual o valor lgico da proposio R, formada pela bicondicional entre p e q? Veja a seguir.

09

R: A lua nasce se e somente se o sol se pe.



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Para a operao da bicondicional entre duas proposies, a regra a seguinte:

O valor lgico de p tem que ser igual ao valor de q, j que bilateral a condio de ocorrncia dos fatos declarados.

Voltando ao caso da proposio R, temos:

Por outro lado, a lua no nasce enquanto o sol no se pr, e vice-versa. Assim, est correto afirmar:

quando o valor lgico de p for falso, necessariamente o valor lgico de q dever ser falso, e vice-versa.

Ou seja:

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Recorrendo ao cotidiano para fixar a regra da bicondicional, imagine que o pai, naquele exemplo do

planejamento da programao do sbado, queira estabelecer que s iro ao cinema se o filho tiver bom

comportamento na praia. Bastaria declarar:

Ou seja:

Iremos ao cinema filho obediente na praia

Dessa forma, qualquer criana saber claramente que filho obediente vai ao cinema e que filho

desobediente no vai ao cinema. Assim, as duas nicas situaes coerentes seriam:

Caso a obedincia falhe, a ida ao cinema tambm falha, ou seja, FF coerente.

Caso a obedincia ocorra, a ida ao cinema tambm ocorre, ou seja, VV coerente.



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11

Para representar a bicondicional na relao de conjuntos, o diagrama corresponder igualdade dos

conjuntos p e q, representando a relao de dependncia quanto igualdade entre os valores dos

elementos de p e q:

12

4 - OPERAO DE NEGAO (~)

A operao de negao de uma proposio de grande importncia e fcil entendimento. A negao est presente em proposies onde o no faz parte da sentena. Esta operao lgica simbolizada por ~ e tambm por "".

Por exemplo:

p: o Brasil foi campeo da copa de 2002.

Negao:

~p: o Brasil no foi campeo da copa de 2002.

Assim como a notao, a interpretao do valor lgico tambm simples:

Sendo

p: o Brasil foi campeo da copa de 2002.

Ento o valor lgico de p verdade, isto :



53

V(p) = V

Sendo

~p: o Brasil no foi campeo da copa de 2002.

Ento o valor lgico de ~p falso, isto :

V(~p) = F

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Diante do exposto, nota-se que a regra da operao de negao a de inverso do valor lgico original

da proposio, conforme detalhado a seguir:

Relacionando com a teoria dos conjuntos, considere um conjunto p qualquer, representa-se facilmente

a operao de negao com o diagrama abaixo que, assim como a regra da operao lgica,

corresponde ao inverso de p:

14

Note que p: o Brasil foi campeo da copa de 2002, exemplo explorado na explicao da negao, uma

proposio simples. No entanto, vlido mencionar que tambm possvel aplicar a operao de

negao sobre proposies compostas.

Considere ento as proposies compostas:



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A: Trarei o sanduche de atum e trarei o suco de laranja. B: Podemos ir praia ou ir ao cinema. C: Podemos ir ou praia ou ao cinema. D: Se desobedecer ao horrio do banho, ento ficar de castigo. E: Iremos ao cinema se e somente se voc for obediente na praia.

Como iniciar a anlise da negao dessas proposies compostas?

Antes de atribuir a negao, faremos primeiramente a transcrio simblica de cada proposio

composta, obtendo-se:

A: p q B: r s C: r v s D: x y E: s k

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Agora vamos representar simbolicamente a negao de cada proposio composta:

~A: ~(p q) ~B: ~(r s) ~C: ~(r v s) ~D: ~(x y) ~E: ~(s k)

As transcries dessas negaes em linguagem corrente devem ser feitas por meio do acrscimo do

termo No verdade que..., resultando em:



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16

Para a anlise de valor lgico de uma negao de proposio composta, primeiramente deve ser

interpretada a operao da ideia principal da sentena e depois atribuda a negao ao resultado

obtido. Por exemplo:

Ideia principal:

A: p q

Possibilidades e respectivos resultados de p q

Negao de A:



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~(p q)

Possibilidades e respectivos resultados da negao de p q:

Seguindo esta mesma estrutura de anlise aplicada ao estudo de ~A, todas as outras negaes podem

ser interpretadas para a obteno das possibilidades de resultados das proposies compostas ~B, ~C,

~D e ~E.

17

RESUMO

Com o emprego de um ou mais conectivos possvel compor um pensamento novo. Cada conectivo

original uma operao da lgica das proposies e, por sua vez, cada operao possui uma regra prpria

de interpretao. Assim, para a interpretao final de uma proposio, deve-se identificar o conectivo

em anlise e aplicar a respectiva regra.

Sumarizando o entendimento de cada regra, a tabela a seguir traz a situao que conduz ao resultado V

(Verdade) na interpretao das operaes lgicas Condicional, Bicondicional e Negao,

separadamente:

Para o estudo da lgica das proposies necessria e obrigatria a compreenso dessas e das demais

operaes lgicas, que foram consolidadas na tabela abaixo:



57

lÓgica matemÁtica

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