introduÇÃoÁ lÓgica matemÁtica-junior

Escola Secundária e Pré – Universitária Mateus Sansão Mutemba – Beira.Texto de apoio da 11ª Classe da Disciplina de Matemática . Docente: Luís Comodo Dique ,17 de Janeiro de 2012.COMODO ( 2012).” ...os outros não sentem o impacto desta disciplina na vida diária,

nós jogamos no sentido contrário”

Escola Pré –Universitária Mateus Sansão Mutemba – Beira

Texto de apoio da Disciplina de Matemática da 11ª Classe- 2012.

Docente:Luís Comodo Dique _____________________________________________________________________________

Capitulo I: Conjuntos.

Conjunto, elementos e relação de pertinência

Na realidade ,há alguns conceitos matemáticos que não podemos definir.Entre eles

Estão os conceitos de conjuntos e relação de pertinência , que , por serem os primeiros de uma cadeia

de definições , são chamados conceitos primitivos.

Conjunto é o agrupamentos de objectos, coisas, seres com características semelhantes.

Um conjunto é disignado pela letra maiscula ( A, B, C, D, ..... )

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, escrito entre chavetas e

separados por virgula ou ponto –e – virgula dezemos que o conjunto está representado por extensão. O

mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo

x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:

P = { x | x é par e positivo }.Desta forma podemos dizemos que o conjunto está representado por

compreensão.

Por fim, um conjunto pode ser representado por meio de uma figura plana fechada.O contorno da figura

deve ser uma linha simples, isto é,que não se entrelaça. Qualquer ponto do interior dessa figura pode

representar um elemento do conjunto , enquanto pontos exteriores representam elementos que não

pertencem ao conjunto. Tal representação é chamada diagrama de venn

Ex:

Podemos afirmar que os números pares 2 , 4, 6, 8 ,10 e 12 são elementos do conjunto P

Elemento de um conjunto é a cada objecto , coisa ou ser do conjunto dado.

Mas os números 3 ,5,7,13 e 17 não fazem parte do conjunto P mas sim pertence ao conjunto U.



Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x A, onde o símbolo significa "pertence a".

Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse facto com a notação y A.

Ex: Seja P={ a,e,i,o ,u } o conjunto das vogais.Represente o conjunto P num diagrama de venn.

Para dizer que um elemento x pertence ou não a um certo conjunto P escrevemos:

A letra a é um elemento do conjunto das vogas ou Pa

A letra e é um elemento do conjunto das vogais ou Pe

A letra i pertence ao conjunto das vogais ou Pi

A letra o é um elemento do conjunto das vogais ou Po

A letra u pertence ao conjunto das vogais ou Pu

A letra j não é um elemento do conjunto das vogais ou Pj

O número 4 não pertence ao conjunto das vogais ou P4

Embora a noção de conjunto esteja associada á ideia de pluralidade ( colecção de objectos), será bastante

útil considerar conjuntos com um só elemento , chamados conjuntos unitários.

Ex: 462: xIRxA

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado pela letra grega fi:

.

Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos

os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.

Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

= { x; x x} e U = {x; x = x}.

Cardinal de um conjunto

O cardinal de um conjunto finito A é o número de elementos deste conjunto.O cardinal do conjunto A

representa-se por #A.

Exs:



a) Se A= dcba ,,, ,dizemos que #A=4.

b) Sendo A= 4,3,2,1 ,dizemos que #A=4 e B= 10: xINx ,dizemos

que #B=11.

c) C= 83: xZx , #C=11.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados que se podem

formar, indicando primeiro um elemento de A e depois um elemento de B.Representa-se por AxB.

AxB= ByAxyx :),(

Ex: Sendo A= 3,2 e B= 5,4,3,2,1 , então: AxB é:

AxB={(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5)}

Podemos dizer que:#(AxB) =#Ax#B=2x5=10.

Relação entre conjuntos:Subconjuntos-relação de inclusão

Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de B , ou A está contido sse todo elemento de A é

também de B.

Ex: 5,3,1A e B= 7,6,5,4,3,2,1

Note que todo oelemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B. Por isso A é um

subconjunto de B, ou A está contido em B.

Se A está contido em B, também dizemos que B contém A e simbolicamente escrevemos:

BA ” A está contido em B “ ou AB ” B contém A”

De acordo com a definição acima pode ser feita utilizando-se apenas a linguagem simbolica

seguinte: BxAxBA

Note que, enquanto a pertinência relaciona elemento a conjunto , a inclusão relaciona a conjunto.Veja o

esquema asseguir:

Elemento Conjunto



ou

ou

Assim ,temos que escrever 5,4,3,2,15 e não 5,4,3,2,15 .Do mesmo modo , escrevemos

5,4,3,2,1}5{ e não 5,4,3,2,1}5{

Um conjunto A não está contido num conjunto B quando A possui pelo menos um elemento que não

está em B.

Por exemplo: A= gea ;; e B= uoiea ;;;;

Então : )|( BxAxxBA

A partir disso , podemos enunciar dois casos particulares de inclusão:

a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A )

b) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A)

Dois conjuntos A e B são iguais se possui exactamente os mesmos elementos.Isto equivale a dizer

que BA e AB .Isto é A=B.

Partição de um conjunto ou potência

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer

subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz

simultaneamente, às seguintes condições:

a)nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.

b) a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.

c) a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}

Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.

Conjunto Conjunto



Assim, o conjunto das partes de A será:

P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }

Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):

X= { {2}, {3,5} }

Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:

a) nenhum dos elementos de X é Ø .

b) {2} { } Ø

c) {2} { } = {2, 3, 5} = A

Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.

Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de

partições do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos

números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z

Nota:

a)se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m

subconjuntos.

b) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado

conjunto das partes de A e é indicado por P(A).

Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}

c) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Operações com conjuntos

União ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união,o conjunto formado pelos elementos que

pertencemn a pelo menos um dos conjunntos A e B e simbolicamente representa-se

A B = { x; x A ou x B}.

Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos

os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas: a) A A = A

b) A = A



c) A B = B A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)

d) A U = U , onde U é o conjunto universo.

Número de elementos da união de dois conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de

B seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A B por n(A B) e o número de elementos da

união A B por n(A B) , podemos escrever a seguinte fórmula:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Interseção ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção ,o conjunto formado pelos elementos

comuns de A e B e simbolicamente representa-se A B = {x; x A e x B}.

Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os

elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:

a) A A = A

b) A =

c) A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa)

d) A U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades : P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva)

P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva)

P3. A (A B) = A (lei da absorção)

P4. A (A B) = A (lei da absorção)

Observação: Se A B = , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

Diferença: A - B = {x ; x A e x B}.

Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto A, mas não



pertencem ao segundo B.

Exemplos:

{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.

{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:

a) A - = A

b) - A =

c) A - A =

d) A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

Complementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e

B, com a condição de que B A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação

a A .

Simbologia: C(AB) = A - B.

Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo

símbolo B' .Observe que o conjunto C(B) é formado por todos os elementos que não pertencem ao

conjunto B, ou seja:

C(B) = {x; x B}. É óbvio, então, que:

a) B C(B) =

b) B C(B) = U

c) C( ) U

d) C(U) =

Exercícios de aplicação

1.Considere os conjuntos:

A={x|x é letra da palavra amor}

B={x|x é letra da palavra mastigar}

C={x|x é letra da palavra estilete}

a)Represente os conjuntos A,B e C por extensão.

b)Represente em diagrama de venn: A e B , A e C, A,B e C.

2.Represente por extensão os conjuntos P , Q e R dados em diagrama nos seguintes casos:



a) b)

c)

3.Na figura seguinte U é o conjunto dos 15 alunos de uma classe, na qual M é o conjunto dos meninos e

C é o conjuntos dos alunos que usam cabelos compridos.Os alunos estão representados pelos seus

números de chamada.

a)Quantos meninos há na classe?Quais são os seus números de chamada?

b)Quais os números de chamada das meninas?



c) Quantos meninos que usam cabelo comprido?

d)Quais os números de chamada das meninas de cabelo comprido?

e) As pessoas de números 6,12 e 15 são meninos ou meninas? Usam cabelos curtos ou compridos?

4. No universo U={1;2;3;4;5;6}, qual é o complementar do conjunto N={4;5;6}?

5.Dados os conjuntos M= {x :-3 4} e N= {x :2 }. Determine os valores inteiros de

que pertencem ao conjunto ?

6.Num teste de matemática saíram apenas 2 questões e:

100 alunos acertaram as 2 questões;

170 alunos acertaram a primeira questão;

100 alunos acertaram apenas uma questão;

95 Alunos erraram as duas questões.

Quantos alunos fizeram a prova?

7.Num cólegio, onde estudam 250 alunos, houve, no final do ano, recuperação nas disciplinas de

Matemática e Português,10 alunos fizeram recuperação das duas disciplinas, 42 fizeram recuperação de

Português e 187 alunos não fizeram recuperação em nenhuma disciplina.

a) Quantos alunos fizeram, no total em recuperação?

b)Quantos fizeram recuperação em Matemática?

d)Quantos ficaram em apenas uma disciplina?

8.( LCD,2012): 35 estudantes estrangeiros vieram a Moçambique.,16 visitaram Cidade da Beira; 16

Govuro e 11, Quilimane. Desses estudantes, 5 visitaram Beira e Quelimane e , desses 5, 3 visitaram

também Govuro. Determine o número de estudantes que visitaram Beira ou Gouvuro?

9.Numa turma, 19 dos 52 alunos gostam de inglês, 8 gostam de Física e 6 gostam das duas

disciplinas.Quantos alunos Não de inglês nem de Física?

10.Uma prova tinha duas questões, 30 alunos acertaram somente uma questão,24 acertaram a segunda

questão , 10 acertaram as duas questões,26 erraram a primeira questão.Quantos que não acertaram

nenhuma das questões?

11.Numa loja onde vende óleo e batata entram em média diária 300 clientes dos quais 120 compram

batatas ,150 óleo e 80 compram as duas coisas.Quantos clientes entram na loja e não compra nada?

12.Simplifique as expressões seguintes:

a) )( PQP b) )( NMN

13.No universo de IR, dados os conjuntos: 010: xIRxM e 5;2P .



Calcule PM

14.Se 19;7;3;1M , 25: xINxN e 85: xIRxP .

Calcule NPM

CapituloII:INTRODUÇÃO Á LÓGICA MATEMÁTICA

Objectivos:

Identificar proposições;

Atribuir valor lógico correcto de uma proposição;

Aplicar e mostrar as propriedades de negação,disjunção e conjunção;

Demonstrar as propriedades através de tabelas de verdade;

Interpretar as leis de De Morgan e aplica-las na resolução de problemas;

Operar com a negação , conjunção,disjunção implicação e equivalência;

Destinguir proposições de expressões proposições ( condições);

Utilizar quantificadores na resolução de expressões correntes de expressões quantificadas e vice–

versa;

Explicar e aplicar o método de demonstração por indução matemática.

1.2.Proposições

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da

demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através

das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza

símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.



As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos

da eletricidade, da computação e da eletrônica.

A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declaratives ou

trata de expresses que se podem atribuir um valor lógico,isto é,aquelas para as quais faz

sentido dizer se são verdadeiras ou falsas também conhecidas como proposições.

Exs:

P:A lua é quadrada;

q:A neve é branca;

r: Matemática é uma ciência;

S:Moçambique é um país do continente africano;

t: 2 é um número natural.

As proposições devem satisfazer aos dois princípios lógicos fundamentais seguintes:

a)Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo

outra alternativa b)Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa

possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser

representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou

V ).

Assim , o universo dos valores lógicos é o conjunto 0,1, FV .Por isso se diz lógica

bivalente,pois,são apenas dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falsidade.

As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número

real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas ( são designações ), uma vez que não poderemos

associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). Designações são expressões que

representam pessoas,cidades,coisas,qualidades,numeros….

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor

lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )

q: " 3 + 5 = 2 " ( F )

r: " 7 + 5 = 12" ( V)

s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )

t: " O Sol é um planeta" ( F )

w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )

1.3 Símbolos utilizados na Lógica Matemática

não

e

ou

se ... então



se e somente se

tal que

implica

existe

existe um e

somente um

qualquer que seja

2.Operações lógicas definidas no universe das proposições e no universo lógico FV ,

Negação

Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).

Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )

~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )

Obs:duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .

q: Samora Machel foi o presidente de Moçambique independente ( V )

q: Samora Machel não foi o presidente de Moçambique independente ( F ) ou não que Samora

Machel foi o presidente de Moçambique independente ( F ).

Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

Definição:A negação de uma p é uma nova proposição p, que se obtém da anterior antepondo-lhe as

palavras não é verdade que e que é verdade se p é falsa se p é verdadeira.

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , e , dando

origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples,

poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q , p q , p q , p q (Os significados

p ~p

V F

F V



dos símbolos estão indicados na tabela anterior).

Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.

Conjunção: p q (lê-se "p e q " ).

Disjunção: p q (lê-se "p ou q ") .

Condicional: p q (lê-se "se p então q " ).

Bi-condicional: p q ( "p se e somente se q") .

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores

lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também

conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1

quando verdadeira (V).

Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

p q p

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.

a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.

a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.

a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.

Ex.: Dadas as proposições simples:

p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)

q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)

Temos:

p q tem valor lógico F (ou 0)

p q tem valor lógico V (ou 1)

p q tem valor lógico V (ou 1)

p q tem valor lógico F (ou 0).



Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não

obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!

As proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), estão associadas à analogia de que

zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico

ligado.

Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a

base lógica da arquitetura dos computadores!

Seria demais imaginar que a proposição p q esteja associada a um circuito série e a proposição p q a

um circuito em paralelo?

Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que ajudaram a mudar o mundo!.

3.PROPRIEDADES DAS PROPOSIÇÕES

3.1. Negação

a) Dupla negação: a dupla negação corresponde á afirmação

Exs:

P:O nosso Governo é bom.

p: O nosso Governo não é bom

p:não é verdade que o nosso Governo não é bom.

q: O senhor Muçosso é regulo Matique.

q:O senhor Muçosso não é regulo Matique.

q:não verdade que o senhor Muçosso não é regulo Matique.

b) Leis de Morgan: Negar que duas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que

pelo menos é falsa: qpqp

Negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira equivale a afirmação que as duas

são simultaneamente falsas: qpqp

Vejamos agora as interligações entre a negação e as operações de conjunção e disjunção.Mas

especificamente , qual o valor lógico da negação de uma conjunção e de uma disjunção?

Suponhamos que eu digo:” hoje vou ao cinema e ao teatro”,intuitivamente, negar esta proposição é

dizer que “ hoje não vou ao teatro ou não vou ao cinema”.A intuição diz-nos que a negação de uma

conjunção é a disjunção das negações.De uma forma análoga , a negação de “Hoje como sopa ou

carne”,é,”Hoje não como sopa nem como carne”.A intuição sugere-nos que a negação de uma

disjunção é a conjunção das negações.

O que acabámos de dizer leva-nos a considerar duas proposições p e q quaisquer e a tentar demonstrar

rigorosamente as propriedades atraves de tabelas de verdade .

p q p q qp qp qp

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V p q p q qp qp qp

V V F F V F F



V F F V V F F

F V V F V F F

F F V V F V V

As propriedades acima demonstradas são usualmente conhecidas com o nome de primeiras LEIS DE

MORGAN.

3.2.Conjunção e Disjunção

Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, V uma proposição verdadeira e F uma proposição

falsa. São válidas as seguintes propriedades:

a) Idempotentes p p = p

p p = p

b) Comutativas p q = q p

p q = q p

c) Identidade p V = p ( V na conjunção é elemento neutro )

p F = F ( F na conjunção é elemento absorvente )

p V = V( V na disjunção é elemento absorvente )

p F= p ( F na conjunção é elemento neutro )

d) Complementares ~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)

p ~p = F

p ~p = V

e) Associativas (p q) r = p (q r)

(p q) r = p (q r)

f) Distributivas p (q r) = (p q) (p r)

p (q r) = (p q) (p r)

Faça a demonstração das propriedades acima por meio de tabelas de verdade.

g) Leis de Augustus de De Morgan

~(p q) = ~p ~q

~(p q) = ~p ~q

h) Negação da condicional ~(p q) = p ~q

Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.



Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):

Para isto, vamos construir a tabela verdades de ~(p q) e de p ~q :

p q

V V V F F

V F F V V

F V V F F

F F V F F

Observando as últimas colunas da tabela verdade , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas

apresentam a seqüência :F V F F , o que significa que ~(p q) = p ~q .

Exemplos: 1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?

Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".

2) Qual a negação da proposição "Nova - Mambone é uma Vila ou Matique é um bairro"?

Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "Nova- Mambone não é uma Vila e Matique não é um

bairro ".

3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?

Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu

estudo e não aprendo".

i)Proppriedades da equivalência material

a) A equivalência material como conjunção de implicações: pqqpqp

b)Negação da equivalência: pqqpqp

Mostre as propriedades- identidades seguintes atraves de tabela de verdade



Exercícios de aplicação 1.Seja:

P: Está frio

q:Está chovendo

Traduza em linguagem corrente:

a) p b) qp c) qp d) pq e) qp f) p

2.Seja:

P: Ele é alto. q: Ele é bonito.Escreva na linguagem simbólica.

a) Ele é bonito e alto

b) Ele é alto, mas não bonito

c) É falso que ele é baixo ou alto

d) Ele não é alto, nem bonito

e) Ele é alto ou ele é baixo e bonito

f) Não é verdade que ele é baixo ou não bonito.

3.Indiquemos por p: ele é rico e q:ele é feliz.Escreve cada afirmação na forma simbolica usando p e q:

a) Se ele é rico, então é infeliz

b) Ele não é rico, nem feliz

c)É necessário ser pobre para poder ser feliz

d)Ser pobre é ser feliz

e)Nenhuma pessoa é feliz , quando é rica

f) Ele é pobre somente se é feliz.

4.Considere as proposições

( a) Pedro estuda Matemática

( b) Pedro quer seguir ciências

( c) Pedro quer seguir letras.

a) ba b) ca c) cba

5.Sendo:

p: 522

q: é um número irracional

r: 3 é um número irracional

Traduza em linguagem corrente

a) qp b) cp c) qrp

6.Sabendo que p tem um valor lógico V , indique o valor da negação de cada uma das proposições:

a) pq b) rqp c) rpr

7.Sem o uso do simbolo de negação escreva a negação das seguintes proposições:

a) cba b) cba c) ba d) 975 e) 2323

f) 422522 g) 7132532

8.Simplifique as expressões:



a) baa b) baa c) baba d) bba

e) baaba f) abaab

9.Considere a proposição p: babaa .Prove que, quaisquer que sejam os valores a e b

se tem p=a.

a) Utilizando uma tabela de verdade.

c) Simplificando p.

Expressões proposicionais ou expressoões com variáveis ( condições )

Chama-se expressão proposicional a toda a expressão com variáveis, que se pode transformar numa

proposição quando às variáveis são substituidas por valores do seu dominio.

Exs: a) 52 x se 3x ( V ) ; se 2x ( F ) ; se 5x ( V ); se 7x ( V ).

Sempre que é dada uma expressão com variáveis torna-se necessário indicar explicitamente o dominio

das variáveis, dentro do universo U ,considerado; caso contrário , o dominio será maior conjunto possivel

contido em U.

Seja a condição 52 x , definida em IN.O conjunto dos valores de x que a verificam é

3,2,1 . A este conjunto Chama-se conjnto de verdade ou conjunto associado à condição

possível que pode acontecer ( pode ser verdadeira ) no dominio dado.

Se a condição 52 x estiver , definida no conjunto A = 10: xIRx , o conjunto de

verdade é o conjunto vazio , assim sendo a condição diz-se condição impossível aquela que

nunca ocorre no dominio dado.

O conjunto de verdade da condição 01x em IN, é o próprio conjunto IN.

Portanto: O conjunto de verdade de uma condição xp , num dado universo, é o conjunto de

todos os elementos desse universo que transformam xp numa proposição verdadeira.Esta

condição chama-se condição univeral, aquela que acontece sempre ( é sempre verdadeira ) no

dominio considerado.

Quantificadores

Das operações lógicas basicas já estudadas , há ainda duas que se aplicam a expressões

proposicionais ou com variáveis: quantificador existêncial e universal. Os quantificadores transforam

condições em proposições.

1.Quantificador universal: Para afirmar que xp é uma condição universal num conjunto M podemos

escrever em linguagem matemática: x M, )(xp .

Ao simbolo dá-se o nome de quantificador universal, lê-se:

Qualquer que seja

Para todo o...

Para qualquer...

Para cada...

Ex:a) Todo o homem tem cabeça ou qualquer que seja homem tem cabeça.

Em simbologia matemática, podemos escrever o seguinte: x H: x tem cabeça, onde H sendo o

conjunto dos homens.



a) 01: xINn b) 01: 2 xIRx c)22: xxxINn

2.Quantificador existencial: Para afirmar a existência de elemeno de M que verfica )(xp , em

linguagem simbolica matemática dizemos: x M: )(xp .Ao simbolo dá-se o nome de quantificador

existêncial e lê-se “ existe pelo menos um”.O quantificador existencial transforma uma condição possivel

numa proposição verdadeira.

Exs:

a) 012: xIRx , uma proposição verdadeira , pois 012 x é uma condição possível em IR.

b) 01: 2 xIRx , uma proposição falsa , pois 012 x é uma condição impossível em IR.

Negação de um quantificador ( segundas leis de De Morgan).

Negar que uma condição é universal não significa, necessariamente,dizer que é impossivel.Negar que

uma condição é universal equivale a afirmar que nem todos os elementos a verificam , isto é, que há

pelo menos um que não a verifica.

Observe os exemplos:

1.p(x):Todos os alunos da 11ª Classe gostam de Matemática.

p(x):Nem todos os alunos da 11ª Classe gostam de Matemática, isto significa que há pelo menos, um

aluno que não gosta de matemática.

2.No conjunto de M dos alunos do Ensino Secundário, consideremos as proposições:

p(x): x p(x): x estuda Quimica.

q(x): x q(x): x estuda francês.

A primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira.Vamos escrever em linguagem corrente estas

proposições e as respectivas negações.

p(x):Todos os alunos do Ensino Secundário estudam Quimica.

( x p(x): x estuda Quimica)= x p(x): x não estuda Quimica

q(x):Há pelo menos um aluno do Ensino Secundário que estuda francês.

( x q(x): x estuda francês)= x p(x): x não estuda francês.

As regras usadas para traduzir a negação das proposições com quantificadores são denomindas por 2as

Leis de De Morgan.

A negação transforma quantificador universal no quantificador existencial seguido da

negação, simbolicamente escreve-se:

A negação transforma quantificador existencial no quantificador universal seguido da

negação, simbolicamente escreve-se:

Método demonstração por indução matemática.

O método de indução matemática é um método para demonstrar proposições sobre os números

naturais.

Para demostrar que uma propriedade )(np é verdadeira para todo valor de nIN, apartir do valor

inicial n0, usa-se o método seguinte:

1.Mostrar que )( 0np é verdadeira.



2.Demonstrar que )1()( kpnp .Ou seja da validade de )(np para kn segue sempre a validade de

)(np para 1 kn .

Então, )(np é verdadeira para qualquer valor de 0nn .

Exs:Aplicando o método de indução matemática, demonstre que:

a) nnn2323 , INn .

1.Seja 1123230 000n a propriedade é válida para .0n

2.A propriedade dada é válida para kn então kkk2323 .

Vamos provar que )1()( kpnp : 1112323

kkk ( recordar regra de multiplicação de

potência com mesmo expoente e bases diferentes : mantêm-se o expoente e mulplica –se as bases).Por

suposição sabe-se que 1 kn , então nnn2323 para qualquer número natural.

b) 2)12(...5321 nn , INn .

1.A propriedade é verdadeira para 1n 111112 2 .

Suponhamos que é verdade para um valor qualquer natural:

:)(np 2)12(...5321 nn ,vamos demostrar que é verdadeira para um valor

)1( kp : 2

)12(...5321

k

k 12 k22 )1(12 kkk .Pela suposição 1 kn ,

então 2)12(...5321 nn , INn .

Exercícios de consolidação

1.Classifica em IR cada uma das seguintes condições:

a) 31x b) 032 x c) 22 xxx d) 05 x e) 0x f) 022 xx

2.Traduz em linguagem simbolica as seguintes proposições quantificadas:

a)O quadrado de qualquer número real é igual ao seu dobro.

b)Existe pelo menos um número natural cujo o consecutivo é menor que o seu antecedente.

c) O quadrado de qualquer número real é não negativo.

d)Qualquer número natural é maior que ou igual a 1.

e)Há pelo menos um moçambicano que não sabe ler.

f)Há pelo menos uma casa que não tem televisor.

3.Traduza em linguagem corrente corrente as seguintes expressões :



a) xxIRx 2: 2 b) 1: nnINn c)x

xIRx1

: d) 12: nIRn é impar.

e) 4: 2 xIRx c) yyINy 4: f) 0:, yxIRyx g) xxIRx :

4.Indique o valor lógico das proposições seguintes:

a) 51: xIRx b) 1: xxZx c) 4: 2 xIRx d) 32: xIRx

e) 052: 2 xIRx f) .0:, 22 yxIRyx g) 01: 2 xIRx

5.Escreve em linguagem simbólica a negação de cada proposiçao:

a) 0: xIRx b) 51: xIRx c) 52: xxIRx d) Qxx :

e) 01: 2 xIRx f) INxxx z

0:0

g) 12: 2 xxIRx

6.Demonstre, usando a indução matemática:

a) 122...8421 1 nn b)

2

3333

2

)1(...321

nnn

c) INnnnn );1(2...642 d) mmm baba :: , INm

e) INmnaaa mnmn ,;: f) 152

)35(...171272 nn

n

g) 6

)2)(1(...321 2222

nnn

n h) 2

)1(...43210

nnn .

Capitulo II: Álgebra

Objectivos:

Identificar e classificar uma expressão algébrica;

Mostrar que dois polinómios são idênticos;

Operar polinómios;

Aplicar a regra de Ruffini na divisão de polinómios;



Racionalizar o denominadores;

Determinar o domínio de uma expressão algébrica;

Resolver equações e inequações;

Resolver sistemas de duas equações e duas incógnitas;

Resolver sistemas de equações lineares a três incógnitas aplicando os

métodos adequados;

Resolver problemas que envolvem sistemas de duas equações lineares com

duas incógnitas.

1.Expressões algébricas.

Uma expressão matemática diz-se algébrica quando a variável x está sujeita apenas a operação

de adição,subtracção,multiplicação,divisão ou extração da raiz.

Exs: a) 122

1 2 xx b) 123 x c) 6

122

x

xx d)

3

27

5x

x

x

2.Classificação de expressões algébricas.

As expressões algébricas podem ser classificadas em racional inteira, racional fraccionária ou

irracional.

Expressão racional inteira:quando não contém variável em radical e nem em denominador.

Exs: a) 852 2 xx ; b) 11

47 x ; c) 13

9

1 2 xx d) 2

943 xx

Expressão racional fraccionária:quando não contém variável em radical , mas contém em

denominador.ou seja quando no denominador figura uma variável.

Exs: a) 98

22 xx

b) 10

5

x

x c)

13

5

823 2

x

xx d)

x

x

x

x

1

3

12

Expressão algébrica irracional:quando contém variável sob radical. Ou quando sob sinal de

radical, figura a variável.

Exs: a) 32

15 4 xx b)

76

422

x

xx c)

2

1

x d) 221

5

14 xx

3.Polinómios – expressões algébricas inteiras.



Uma expressão algébrica racional inteira composta de dois ou mais monómios ou termos

chama-se polinómio.

Ex: p(x)= 3233

2 234 xxxx é um polinómio ordendo segundo as potências

decrescentes de x.Este polinómio é do grau 4, 3 é o termo independente e tem 5 termos,quer

dizer que tem um termo a mais do seu grau.Em geral um polinómio completo do grau k tem

k+1 termos não nulos.

Polinómios idênticos

Dois polinómios A(x) e B(x) são idênticos sse são iguais os coeficientes dos termos do mesmo

grau.

Exs: a) A(x)= 523 2 xx e B(x)= bcxbaxa 42 2 .Para que A(x)=B(x), é

necessário que:

235472532 cbcbbaaa .

b)A(x)= 1523 xbxax e B(x)= dcxx 2

0a ; 1b ; 5c ; 1d

Se dois polinómios são idênticos,também são equivalentes; se dois polinómios são

equivalentes em IR , também são idênticos.

Nota:As operações indicadas num polinómio são de adição,subtracção e a multiplicação.Todas

elas são possíveis em IR . Por isso, o dominio de um polinómio é IR.

4.Operações com polinómios

Por analogia com IR, definem-se, no conjunto dos polinómios de coeficientes reais, as

seguintes operações:adição, subtracção, multipicação e divisão.

Adição: Dados os polinómios A(x)= 342 23 xxx e B(x)= 553 3 xx ,calcula-se A(x) + B(x):

Ordenando – se o polinómio se está desordenado;

Associando – se os coeficientes dos termos do mesmo grau.

A(x)+B(x)= 25)53()54()32( 2323 xxxxxx .

Multiplicação:O produto de dois polinómios é o polinómio que se obtém multiplicando cada

termo do primeiro por cada termp do segundo polinómio e adicionando os monómios obtidos.

Ex: A(x)= 432 xx e B(x)= 3x ,então:



A(x).B(x)=(

432 xx )( 3x )=

12136124933)3.(4.4)3.(3.3)3.(. 2322322 xxxxxxxxxxxxxxx

Divisão inteira de polinómios.

Recordar a divisão de dois números naturais.

dividendo (D) 13 5 divisor ( d ) então: 32.513. rqdD

resto (r) 3 2 quociente ( q )

Procede-se da mesma forma para efectuar ( 423 2 xx ):( 2x )

423 2 xx 2x Prova: 20)83)(2(423 2 xxxx

xx 63 2 83 x = 2016683 2 xxx

48 x = 423 2 xx 168 x 20 Se o resto reduzir a zero, diz-se que a divisão é exacta.

Ex:Vamos calcular o quociente e o resto da divisão de 12295 xx por 122 xx

1229000 2345 xxxxx 122 xx 345 2 xxx 1252 23 xxx

234 02 xxx

234 242 xxx

xxx 2925 23

xxx 5105 23 122412 2 xx

122412 2 xx

0 1252)( 23 xxxxq e 0)( xr

Regra de Ruffini

Dada a importância pratica de que se reveste a divisão de um polinómio )(xp por )( x ,existe

uma regra, conhecida por regra de Ruffini, que permite obter o quociente , Q(x) , e o resto R(x)



sem efectuar a divisão.Ou seja a regra de Ruffini consiste na divisão de um polinómio por um

binomio do tipo x .

Ex: Sendo 12)( 35 xxxp , o polinómio dividendo, )2( x , o polinómio divisor,temos pela

regra de Ruffini:

1 0 -2 0 0 -1

2 2 4 4 8 16

1 2 2 4 8 15 Q(x)= 8422 234 xxxx e R(x)=15

124)( 23 xxxxQ por 3x

1 4 -2 -1

3 3 21 57

1 7 19 56 Q(x)= 1972 xx e R(x)=56

R(x)= 233 xx admite a raiz 1 , pois P(1)=0, pela regra de Ruffini teremos:

1 0 -3 2

1 1 1 -2

1 1 -2 0 Q(x)= 22 xx e R(x)=0

Teorema do resto



O teorema do resto diz que o resto da divisão de um polinómio por um binómio do tipo ax

é igual a P(a).

)(xP ax

)(aPr )(xq

Demonstração: Queremos provar que o resto da divisão de P(x) por ax é igual ao valor que

toma o dividendo ao substituir x por a.

Já sabemos que rqdD . , isto é, rqaxxP .)( , substituindo x por a temos:

raPrqaPrqaaaP )(.0)()( c.q.d.

Exs: 1. Calcule o resto da divisão de: a) 134)( 3 xxxP por 1x .

611.31.4)1( 3 Pr

b) 103)( 2 xxxP por 2x

0102.32)2( 2 Pr

2.Determine a e b de forma que 3613)( 234 bxxaxxxP seja divisivél por

322 xx .

Factorizar o divisor: 3131322 xxxxxx .Se o polinómio é divisivel

por 322 xx , também é divisivél por 1x e por 3x .

Então:

036131

03631172781

361.1.131.1)1(

3633133.3)3(

234

234

ba

ba

bap

baP

27

3

24

0327

b

a

ba

ba , 3627133)( 234 xxxxxP

3.Calcule a e b de modo que -3 e 0 sejam, respectivamente, os restos da divisão de :



baxxxxP 23 2)( por 2x e 1x .

1

2

32

3

32.2.22)2(

01.121)1(

23

23

b

a

ba

ba

baP

baP

122)( 23 xxxxP

Factorização de polinómios

O teorema do resto tem aplicação na decomposição de um polinómio em factores, pois, se a é

raiz do polinómio P(x), este é divisivel por ax .Logo, ..)( qaxxP

Exs:Vamos factorizar o polinómio 31094)( 23 xxxxP sabendo que 3 é um dos seus

zeros.

4 -9 -10 3

3 12 9 -3

4 3 -1 0 R(x)=0;

q(x)= 134 2 xx =

4

114 xx e P(x)=

4

1143 xxx .

Identidades notáveis.

A identidade notável é um forma de mostrar que duas expressões têm o mesmo valor.

Diferença de quadrados

Exs: Vamos factorizar o polinómio 22)( axxP , IRa e ax é uma das raizes do

polinómio.

1 0 2a

a a 2a

1 a 0 R(x)=0 e axxq )( , axaxxP )(

Diferença de cubos.



Exs: Vamos factorizar o polinómio 33)( axxP , IRa e ax é uma das raizes do

polinómio.

1 0 0 3a

a a 2a 3a

1 a 2a 0 R(x)=0 e 22)( aaxxxq , 22)( aaxxaxxP

Triângulo de Pascal.

1 10 ba

1 1 baba 1

1 2 1 2222 bababa

1 3 3 1 3223333 babbaaba

1 4 6 4 1 4322344 464 babbabaaba Exs: Calcule, usando as identidades notáveis:

a) 491624944.3.2343 222

b) .61162025144.554545 2233

c) 39914001201201202119 22

5.Expressões algébricas Fraccionárias

Chama-se fracção algébrica a toda a expressão da forma B

A em que A e B são expressões

algébricas quaisquer e 0B .

Exs: a) 82

42

xx

x b)

9

76 2

x

x c)

12

1

x

x d)

2

22

x

x

Chama-se domínio de uma fracção algébrica ao conjunto de valores ( do universo) para os

quais a fracção tem significado.



Exs:Determine o domínio das seguintes fracções:

a)

2

5

x

xcondição: 250205 xxxx

;5: xD

b)

4

2

x

xcondição: 404 xx , ;4: xD

c)

1

32x

xcondição: 1;1\: IRxD

d) 9

22x

xcondição: IRD : ,pois o denominador não tem zeros.

e)

3

2

16

122 x

x

x

xcondição: 34030162 xxxx

4,3,4\: IRxD

Simplicação de fracções algébrica.

Para simplificar uma fracção, há passos a seguir.

Exs: a) 64

12723

2

xxx

xx

Factorizar os termos da fracção se for possivél:

431272 xxxx e 12364 23 xxxxxx

Simplificar os termos da fracção obtidos no passo anterios se for possivel.E não esquece

domínio da expressão algébrica dada.

2

4

123

43

64

127223

2

xx

x

xxx

xx

xxx

xx; 3,2,1\: IRxD

b)

1212

1212

12

144 2

x

x

xx

x

xx;

2

1\: IRxD

6.Operações com fracções algébricas.



Todas as operações defindas para fracções numéricas são validas em operações com fracções

algébricas.

Adição algébrica

a) 1,1\:1

522

1

5)1(2

1

5

1

2

1

5

1

22

2

222

IRxD

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

1x 1

b)

2

2222

1

111)1(

1

1

1

1

1

1

1

1

xx

xxxxx

x

xx

xx

xx

x

x1 xx 11 x1

1

1

11

1

11

112

2

2

323

xxxx

xx

xx

xx

xx

xxxxxx.

1,0,1\: IRxD

Multiplicação de fracções algébricas

Vamos efectuar as multiplicações seguintes e apresentar o resultado simplificado quanto

possível.

a) x

x

xx

x

x

x

xx

xx

x

x 3

2

3

3

2

2

96

3

22

2

2

; 3,0,2\: IRxD

b) x

x

xx

xx

x

x

x

x

2

155

2

1553

2

5

Divisão de fracções algébricas.

Recordemos uma das regras de divisão de fracções numéricas c

d

b

a

d

c

b

a se b,c,d for não

nulos, então procede-se da mesma forma com as fracções algébricas.

Exs:a)

6135

32

352

32

352

3235

2

322

2

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x.

2,5

3,0\: IRxD



b)

2

2

2

2

2

222 22

2

xxxxx

x

x

xx

x

. 0|: IRxD

7.Expressões algébricas irracionais

Uma expressão algébrica irracional apresenta a incógnita no radicando.

Sinal de radical

Índice n xP )( Radicando

Expressões irracionais

De índice par: 0)(: xPD ;

De índice impar: IRaD : , se o radicando é uma expressão algébrica racional inteira.

Exs:Calcule o dominio das seguintes expressões:

a) 5 2 942)( xxxA ; ,: IRxD porque o domínio é um polinómio e o índice impar.

b) 4)( 2 xxP ; 22:04:: 2 xxIRxDxIRxD

c)3

1)(

2

x

xxQ ; 3\)11(:0301: 2 xxIRxDxxIRxD

d)72

3)(

x

xxR ;

2

73: xxIRxD

e) 3

5

13

x

x; 5\ IRxD , condição : 505 xx .

Racionalização de denominadores das fracções algébricas



Para a racinalização dos denominadores recorre-se com frequência ás propriedades da

potenciação e as identidades notáveis..

Para fracções algébricas do tipo n ma

p, o factor racionalizante é n mna porque

.aaaa n nn mnn m

Para fracção do tipo 2, o factor racionalizante é ba

Exs: a) .28

28

8

22.2

8

22

8

82

8

8

8

2

8

2 6 326 15

6 6

6 5

6 5

6 5

66

b)

253

523

52

523

5252

523

52

322

c) .9

99

9

93

3

3

x

x

x

d)

.4

65

2

65

22

23

2

3

22

2

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

8.Equações : Equivalência de equações.

O domínio de uma equação é o conjunto de valores d universo para os quais a equação tem

solução real.

Considere as equações:

a) 093

2

22

13

x

x

x

x; 3;1\: IRxD

b)42

25

xx ; 25: xxIRxD

No mesmo domínio, diz-se que duas equações são equivalentes quando têm o mesmo

conjunto solução.



Exs:

a) 0652 xx e 032 xx são equivalentes porque têm o mesmo conjunto

solução, s= 3;2

b) 012 xx e 03 xx são equivalentes porque têm o mesmo conjunto solução,

.1;0;1s

Equações do 2º grau ( revisão ).

Este assunto não constitui novidade para os alunos da 11ª Classe ,visto que já aprenderam a

resolver equações do 2º grau- equações quadráicas.

Veja o esquema abaixo.

a

bx

a

bx

2221

( raizes da equação quadrática )

cbxax 2=0

0 ( a equação tem duas raizes diferentes)

acb 42 0 (a equação tem duas raizes iguais)

0 ( a equação não tem raizes)

Exs:Resolva as seguintes equações:

a) 01072 xx ; 9404910.1.47422 acb

.22

4

2

375

2

10

2

37

1.2

9)7(21

xx 3;2s

b) 0962 xx ; 036369.1.46422 acb

.3;32

63

2

6

1.2

0)6(2121

xxxx

c) 0123 2 xx ; .08081241.3.424 22 acb



Equações do 3º grau ( casos simples ).

Uma equação do 3º grau ( equação cúbica) é do tipo .023 dcxbxax Nesta Classe, vais

aprender alguns casos deste tipo de equações.

Exs:Reslve as seguintes equações:

a) .20012600)126(0126 3 xxxxxxxx 2;0s

b) 010112 23 xxx ,sabendo que 1 é uma das suas raizes.

2 -1 -11 10

1 2 1 -10

2 1 -10 0 81)10.(2.4110)( 22 xxxq

2

5

4

912

4

9121

xx ;

2;1;

2

5s .

Equações biquadráticas

As equações biquadráticas são as equações do tipo .024 cbxax Substituindo kx 2, a

equação transforma-se em .02 cbkak

Ex:Resolva a equação 01540154 224 kkxx . 916251.4.4)5( 2

4

1

8

351

8

3521

kk ;

2

11 xx ;

1;2

1;

2

1;1s

Equações com radicais

Uma equação diz-se irracional quando a incógnita está sujeita a um sinal de raizes ou a um

expoente fraccionário.

Exs: a) 4232 xxx b) 096 2 xx c) 142 xx d) 932 x

Resolução de uma equação irracional.



a) Se BA ,então 2BA ,com 0A ; 2932932 xx

com 2

3032 xx : 428428132 xxx

b) Se ,00;0 BABA com .00 BA

096 2 xx com 336 xxx

3360906 2 xxxxx ; 6s

9.Inequações irracionais

Chama-se inequações irracionais a toda a ineqação em que a incógnita(s) aparece(m) sob,

pelo menos um sinal de radical.

Exs: a) 423 xx b) 4253 xx c) 2273 2 xxx

Como resolver a inequação:

a) ;303:23 xxDxx

0075443)2()3(23 2222 xxxxxxxxx

b) 3;1130103:013 xxxxxDxx

1;2213)1()3(13 22 xxxxxxxx

Observe acima a representação da solução parcial e de domínio da inequação irracional e

A solução da inequação é : 1;11;3;1

Inequações racionais fraccionárias.



Veja a resolução de exemplos abaixo de inequações racionais fraccionárias.

0

3)1(

2

xxx , 3,1,0\: IRxD , uma vez que o numerador da inequação é uma

constane positiva.Podemos resolver a inequação usando método de tabela , e veja asseguir:

x

0 1 3

x - 0 + + + + +

1x - - - 0 + + +

x3 + + + + + 0 -

)3)(1(

2

xxx

+ N - N + N -

Solução: ;31;0x

d)

0)2(

620

2

620

2

22401

2

421

2

4222

22

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

0,2\: IRxD

x

2

0

3

1

x62 + + + + + 0 -

x - - - 0 + + +

2x - 0 + + + + +

)2(

62

xx

x

+ N - N + 0 -

Solução:

3

1;02;x

Inequações racionais inteiras.



Como resolver a inequação 030302092 2 xxxxx

.332 xxx

Em seguida, organizar-se os zeros numa tabela por ordem crescente.

x 3 2 3

2x - - + +

3x - - - +

3x - + + +

)3)(3)(2( xxx - + - +

De acordo com a condição da inequação a solução será: ;32;3s .

Se for assim 092 2 xx ,teremos como solução: ;33;s .

10.Sistemas de equações lineares.

Sistemas de equações lineares a 2 incógnitas ( revisão ).

Vamos revera resolução de sistema apartir do seguinte exemplo:

323

5

yx

yx

Método de substituição:

7

12)7(5

7

_____

10323

____________

3)5(23

5

323

5

x

y

xxxxx

xy

yx

yx

12;7s

Método de adição ordenada



12

7125

12

_____________

323

1533

323

35

y

x

y

yx

yx

yx

yx

12;7s

Método gráfico

63

3

63

3

xy

xy

yx

yx

Método de cramer

323

5

yx

yx;

3

1

2

111.32.1

3

5 x 71.32.5

2

1 ; 7

1

7

xx

3

1 y 125.33.1

3

5 ; 12

1

12

yy

Sistemas de equações lineares a 3 incógnitas.



Observe atentamente o sistema de equações seguinte:

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

,onde nnn cba ,, e nd

são números reais e x,y e z são as incógnitas.

Para resolver o sistema de equações de 3 equações usa-se os mesmos métodos aplicados nos

sistemas de 2 equações.

Exs: a)

23

02

22

yx

zyx

zyx

b)

354

12

52

zyx

zyx

zyx

c)

953

3

10642

zyx

zx

zyx

Método de substituição

Se num sistema de equações, resolvermos uma delas em ordem a uma das incógnitas e

substituirmos , nas restantes equações,essa incógnita pela expressão obtida ,o sistema resultante

é equivalente ao primeiro.

236

2

224

2)2(3

2

2)2(2

_____________

2

_____________

23

02

22

zxx

zxy

zzxx

zxx

zxy

zzxx

zxy

yx

zyx

zyx

0

5

4

5

2

02

2

25

235

2

25

z

y

x

z

zxy

zx

zx

zxy

zx

;

0;5

4;

5

2s

Método de adição ordenada

0

5

4

5

2

02

435

22

45

435

22

45

02

22

23

02

22

z

y

x

z

zy

zyx

zy

zy

zyx

zy

zyx

zyx

yx

zyx

zyx

Começa-se por eliminar uma das variáveis ou incógnitas, neste caso x na última equação,

multiplicando a 1ª equação por .1



Elimina-se a segunda incógnita.Neste caso, multiplica-se a 1ª por 2 para obter 0z

Substitui-se 0z na equação anterior para obter 5

4y e finalmente, substitui-se z e y na

primeira equação para obter 5

2x .

Método de cramer

354

12

52

zyx

zyx

zyx

Primeiro ,calcula-se o determinante do sistema.

4

2

1

1

1

1

5

1

2

4

2

1

1

1

1

61913)1018(445

Para calcular o determinante do x, substitui-se a 1ª coluna pela coluna dos termos

independentes.

3

1

5

x

1

1

1

5

1

2

3

1

5

1

1

1

= 141630)556(2325 ;

3

7

6

14

xx

Para calcular o determinante do y, substitui-se a 2ª coluna pela dos termos independentes, no

deteminante do sistema.

4

2

1

y

3

1

5

5

1

2

4

2

1

246137)5038(12205

3

1

5

46

24

yy

Para calcular o determinante de z, substitui-se a 3ª coluna pela coluna dos termos

independentes no determinante principal.



4

2

1

z

1

1

1

3

1

5

4

2

1

102717)6120(1043

1

1

1

3

5

6

10

zz

3

5;4;

3

7s

11 .Exercícios de aplicação

1.Classifica as seguintes expressões algébricas:

a)2

4

x b) 75

3

2 2 xx c) 4

12

x

x d) xx 352 e) )13(2

32 xx d) 5

328

x

x

2.Dado o polinómio 263 275 xxx ,indica:

a) o termo independente;

b)o grau do polinómio;

c) Ordena o polinómio segundo as potências decrescentes de x.

3.Calcule os valores reais a e b de modo que o polinómio baxxxP 2)( 2 seja

idêntico a ).3)(1()( xxxM

4.Determine os números nm, e r para que o polinómio 23)( 2 xxxM seja idêntico ao

polinómio rnxmnxxxN 2)2)(2()( .

4.1.Determine os valores das constantes a, b e c de modo a serem idênticos os polinómios:

a) 33 2 bxx e 3223 xcxax b)

3

0

)2(k

kxk e 32 5)1( xcxxba

5.Sendo a,b e r números reais, calcule o seu valor de modo que:

rxbaxxx )2)((232



6.Sabendo que 13)( 24 xxxA , xxxx

xB 234

334

)( e xxxx

xC 234

234

)(

Calcula:

a)A+C b) C+A-B c) 2B+A-C d) 2C+A

7.Dados os polinómios:

33)( 2 xxxA

1)( 2 xxB

322)( 23 xxxxC

Calcula:

a)B.C b)A.C c)A.B d) A.B

8.Determine o polinómio correspondente a:

a) )32)(5( 23 xxxx b) )13

2(34 2 xxx c )14)(4()21)(1( xxxx

9.Calcule o quociente e o resto da divisão de:

a) 17 x por 1x b) 453 2 xx por 2x c) 128 3 xx por 2

1x

d) 13 24 xx por 12 xx e) 1233

2 234 xxxx por xx 23

f) 23 32 xx por 122 xx g) 12295 xx por 122 xx .

10.Calcule o resto da divisão do polinómio 33)( 23 xxxxP por

a) 3x b) x c) 32 x d) 52 x e) 2x f) 42 x

11.Usando a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divisões:

a) )2(:)5( 243 xxxx b) )14(:)358( 2 xxx c) )23(:)13( 24 xxx

e) )2(:)453( 2 xxx f) )2(:)1( 34 xxx g) )2

1(:)128( 3 xxx



12.Observe o esquema de Ruffini na divisão de )(xP por )2( x .

a 3 -2 -12 a) )(xP é divisivel por ?)2( x

-2 c 8 -12 b)Determine ).(xP

b d 6 e

13.Calcule a e b de modo que -3 e 0 sejam, respectivamente, os restos da divisão de:

baxxxxP 23 2)( por )2( x e )1( x .

14.Factorize os polinómios xxx 32 23 e 273 2 xx sabendo que -1 e 3

1 são as raizes

respectivamente.

15.Considere o polinómio 953 23 xxx

a) Mostre que 1x é zero do polinómio;

b)Factorize o polinómio.

16.Sabendo que 2x é zero do polinómio 2045 23 xxx

a) Calcula os outros zeros.

b) Factorize o polinómio.

17.Dado o polinómio baxxx 232 :

a)Calcula a e b de tal modo que o polinómio seja divisivel por )2)(1( xx

b) Factorize o polinómio.

17.1.Forme o polinómio de menor grau que:

a)admite a raiz dupla 1 e dividido por )3( x dá resto 8.

b)se anula 2

1x e 3x dividido por )1( x dá resto

4

1.

c)admite os zeros -2 e 3, dividido por x dá resto 6 e dividido por 1x dá resto -12.

18.Encontra um polinómio do 2º grau que admite -2 e 3 como raizes e que dividido por )1( x ,

dê o resto -12. Recorda que ))(( 21

2 xxxxacbxax



18.1.Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, calcule A e B de forma a verificar-se

cada uma das seguintes equivalências:

a) 4145

32

x

B

x

A

xx

x b) 111

3522

x

B

x

A

x

x c) 31)3)(1(

1222

2

x

B

x

A

xx

xx

19.Encontra o domínio de cada uma das seguintes expressões:

a))127)(2(

22

xxx

x b) x3 c)

5

5

x

x d)

xxx

x

23

823

3

e)

3

32

x

x

f) 7 2 25x g)5

5

x

x h)

1

1

3

722

xx

x i)

5

3

1

2

xx l)

x

x

3

12

m) 11 xx n)4

212

x

x o)

1

32

x

x p)

3 3

52

x

x

20.Efectua as operações apresentadas e apresenta o resultado simplificado:

a)xx

2

2

3

b)

x

x

x

x

5

1

5

52

c)2

8

2

3

xx d)

ax

aaxx

xa

ax

22

22

22 2:

e)122 2

2

x

x

x

x f)

222 2

5

3

2

96 xxxxx

x

g)

xx

x

xx

x

2

1422

2

h)x

x

x

x

1

2

1

2 i)

9

1:

158

12

2

2

3

x

xx

xx

x

21.Simplifique as fracções:

a)23

2 1

xx

x

b)

14

122

x

x c)

1

123

23

xxx

xxx d)

a

aax

2

e)

122

3

xx

xax f)

242

222

xx

x

g)2

2

232

20

x

xx

h)

4)12(

)2()12(2

22

xx

xx i)

242

24322

2

x

xx l)

3

32

x

x.

22.Calcula, usando as identidades notáveis:

a) 911 b) 278 c) 64125 d) 2)45( e) 2832 .



23.Racionalize os denominadores das seguintes fracções:

a)4 27

3 b)

3

1

2 x c)

3 227

1

ba d)

4 622 ba

ab e)

ba

ba

f)

b

baba

2

g)x

x

2

2 h)

x

x

3

3 i)

1

1

x

x l)

32

3

x m)

2

2

x

xn)

241 x

x

24.Encontre as soluções de cada uma das seguintes equações:

a) 0154 2 xx b) 069143 2 xx c) 0122 xx d) 01683 2 xx

e) 0154 24 xx f) 02513 612 xx g) 012510 xx h) 42 xx

i) 6)31(5)31( 24 xx l) 04 3 xx m) 0144 23 xxx n) 083 x

o) 0125 3 x p) 023 23 xxx q) 0225 42 xx

25. Sabendo que 101

xx , calcula

2

2 1

xx .

26.Sem resolver a equação 0152 2 xx de raizes 1x e

2x ,calcule o valor numérico de:

a)21 xx b)

21.xx c) 21 xx d) 2

2

2

1 xx

27.Calcula k de modo que a equação 06)9( 22 kkxk tenha solução única.

28.Determine k de modo que a equação 0)( 33 bkxbk tenha uma solução

indeterminada.

29.Determine k de modo que a equação 16)19( 2 kxk tenha uma solução impossível.

30.Qual deve ser o valor de c para que a equação 0103 2 cxx tenha as duas raizes

positivas?

31.Acha IRa de modo que a equação 0)1()12( 2 xaxa admite duas raizes

distintas.

32.Acha n de modo que a equação 01)3()2( 2 nxnxn admite -2 como raiz.

33.Para que valores de k, a equação 01)32()1( 2 kxkxk não tem raiz real.



34.Resolvas as seguintes equações:

a) 513 xx b) 0523 xx c)3

1712

x

x d) 142 xx

e) 4218 x f) 613 x g) 63.2 xx h)3 57 xx

i) 41432 xx l) 1414 xxx m) 811 xxx

35.Resolva as seguintes inequações:

a) 0)9)(12(

12

2

xx

x b) 0

3

)2)(2(

x

xx c) 1

12

x d) 3

2

9 2

x

x

x

e) 0)2))1(

42

xx

xx

f)

xx 2

g)

1123 22 xxxx

h) 0)127( 2 xx i) 14250552 xxx l) 0)1)(1( 22 xxx

36.Resolve os sistema de equações seguintes pelos métodos indicados:

a)

323

4

yx

x pelo método de substituição

b)

823

32

yx

yx pelo método de adição ordenada

c)

325

734

yx

yx pelo método de cramer

d)

442

32

yx

yx pelo método gráfico.

37.Resolva os sistemas de equações:

a)

15

3

22 yx

yx b)

6

1

xy

yx c)

3

2122

yx

yx d)

6343

42

422

zyx

zyx

zyx



e)

23

02

323

yx

zx

zyx

f)

843

1

634

zx

zyx

zx

g)

032

2

35

2

723

zyx

xzy

zyx

h)

5

732

2

3

2

4

3

12

zyx

yx

yx

i)

yxz

zyx

zyx

324

7253

32

l)

3

43

12

zyx

zy

yx

m)

xxy

xzx

yz

211)2(3

155)3(2

332

n)

52

0

0

zy

zy

zyx

38.Considere o sistema:

kyx

yx

yx

23

52

13

, IRk

a)Determine o par ( x,y) de números reais que é solução do sistema

52

23

yx

yx

b)Para que valores de k o par ( x,y )determinado em a) é solução da equação: kyx 23

c)Qual a natureza do sistema para k=1?

39. Determine os valores de parâmetros a,b e c de forma que o sistema:

a)

1)1(23

16)3(3)1(

1)1(

zcyax

zcyxa

zybax

admita a solução ( 2, 1, -3 )

b)

4

12

0

czbyx

czaybx

zbyax

admita a solução ( 1 ,0 ,-1)

40.Numa quinta havia vacas e galinhas num total de 90 cabeças e 260 pernas.Quantas vacas e

galinhas havia na quinta?

41.Um fabricante de cestos ganha 3 meticais por cada cesto que fabrica sem defeito e perde 5

meticais por cada cesto que fabrica por defeito.Numa semana fabricou 160 cestos e obteve um

lucro de 400 meticais.



Quantos cestos com defeito foram produzidos?

42.A diferemça entre o triplo do dinheiro do Junior e do dobro do dinheiro da Olívia é igual a 4

meticais.O triplo do dinheiro do Junior excede em 5 meticais do dinheiro da Olívia.

Quantos meticais tem cada um?

43.y pessoas foram divididas por x barcos.

Se cada barco levar 8 pessoas sobram 5.

Se cada barco levar 7 pessoas sobram 11.

Quantas pessoas foram transportadas nos barcos?

44.Observe as figuras e de acordo com os dados determine x e y.

a) yx 5 b)

5y 2x 32 y xy 35

52 x x



Capitulo III:Equações e inequações exponenciais

Objectivos:

Identificar as equações e as inequações exponenciais;

Resolver graficamente e analiticamente as equações e inequações exponenciais;

Resolver problemas da vida quotidiana que envolvem equações e inequações

exponenciais.

Função exponencial ( Revisão )

As funções exponenciais e logarítmicas são mais importantes na Matemática

Através delas os cientistas fazem estimativas para fenómenos que ocorrem há milhões de anos,

mas com elas também se pode prever o crescimento de uma população, de um investimento

económico ou estudar a desintegração de um matérial radioactivo.

A expressão crescimento populacional faz parte da nossa linguagem do dia-a- dia.Usualmente

significa que algo cresce muito rapidamente.

Ex:Evolução da população mundial

Durante as últimas década, verificou-se que a população mundial crescia 2% ao ano e que em

1992 era cerca de 6 milhões.

a) Mostre que a população P pode ser dada pela expressão: ttP 02,016)( ,com t em anos e

0t correspondente a 1992.

Tempo em anos ( t ) População mundial em mil milhões( P )

0 6

1 02,01602,066

2 202,016)02,01)(02,01(6

3 32 02,016)02,01()02,01(6

..... .....

20 3029 02,016)02,01()02,01(6

80 8079 02,016)02,01()02,01(6



b)Represente graficamente a função.Qual será a população em 2100?

Assim , no ano 2100 a população mundial prevista será 5102,016)108(108

P mil milhões

(2100-1992=108).

2.Reprodução das bactérias

Admita que na praia de Estoril havia 1 milhão de bactérias ás 15 horas do dia 20 de Agosto de

2011- aniversário da cidade da Beira.Sabe-se , em média , cada bactéria divide-se em duas

numa hora.

Representando t o número de horas decorridas após as 15 horas do dia 20 de Agosto, escreva a

expressão analítica que modela a situação e calcule o número de bactérias existentes ás 15 horas

do dia 30 de Agosto se nada for feito para contrariar o crescimento das mesmas.

3.O modelo do físico:No estudo de um fenómeno , físico registou os seguintes dados:

x 2 4 6 8

y=f(x)

4 36 324 2916

Qual será o modelo matemático que melhor se ajusta os valores da tabela?

...... ......

t t02,016



Observe o exemplo abaixo e recordemos a construção gráfica da função xxf 2)(

Observe atentamente os graficos das funções : 12)( xxf e 12)( xxg .

O que esta acontecer com estas funções representadas graficamente?

Veja so , que de acordo com os gráficos das funções acima representadas chegamos a conclusões

seguintes:

O gráfico da função 12 xy , obtem-se apartir de deslocamento de todos os pontos do

gráfico da função xy 2 uma unidade para esquerda;

O gráfico da função 12 xy , obtem-se apartir de deslocamento de todos os pontos do

gráfico da função xy 2 uma unidade para direita.

Na generalidade: obtem-se o gráfico da função pxay , deslocando todos os pontos da

função xay p unidades para esquerda se 0p ou p unidades para direita se .0p

Uma função da forma : xaxf )( é chamada uma função exponencial,sendo a e x números

reais tais que 0a e 1a .



Equação exponencial

Averigue as seguintes equações:

a)

3

9

1

27

1

x

b) 642 4 x c) 8)125.0( x d) 255

12

x

e) 232 2 x

f) 171

xx

De acordo com os exemplos acima, uma equação chama-se exponencial quando a incógnita a

ser determinada comparece como expoente.

Resolução gráfica de equações exponenciais.

Observe a resolução gráfica da equação: a) 33 x.

Podemos imaginar que seja xxf 3)( e 3)( xg .

Construindo gráficos das duas funções acima no mesmo sistema cartesiano temos:

Com base nos gráficos representados acima vemos que as duas funções se interssectam no

ponto 3;1 , ou seja a solução das duas funções é: .11)3()3( xx



b)

x

x

3

13 2

.Vamos construir separadamente e no mesmo sistema cartesiano ortogonal os

gráficos das funções 23)( xxf e

x

xg

3

1)( .

Observe que as duas funções se intersectam no ponto

3

1;1 , então a solução da equação

x

x

3

13 2

é .1x

Resolução analitica de equações exponenciais.

Para resolver uma -9

equação exponencial,deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma base.Então , basta

igualar os expoentes para recair numa equação comum. Veja como resolver as equações dos

exemplos anteriores:

a) 106422642 644 xxxx

, 10s

b) 11888125

10008

1000

1258)125.0(

xxx

xx

x

1s



c) 5

111151105

2

1

2

10522232232 2

1

2

25

2

1

2

22

xxx

xxx

x

5

11s

d)

.100)1(002

777)7(17 22

02

)1(

0

1

2

1

xxxxxxxx

xxx

xxx

0;1s

e) 122.221222 1 xxxx

, seja tx 2

24243

12123122 xtttt x

; 2S

f) 122272

772

272.22

2

27222 11 xtttt

t xxxx

xxx

1S

Inequação exponencial

Uma inequação é chamada exponencial quando a incógnita a ser determinada comparece como

expoente.

Veja alguns exemplos de equações exponenciais:

a) 644

13

x

b) 8132 x c)

5312

2

3

9

4

xx

d)5

11253 2 x

Resolução gráfica de inequações exponenciais.

Observemos a resolução gráfica de inequação exponencial exemplificada abaixo:

a) 42 1 x, de facto estamos perante duas funções para representar graficamente no

sistema de coordenadas a saber 12)( xxf e 4)( xg



Repare que, para 3x , o gráfico de )(xf situa-se acima do gráfico de )(xg ,então o conjunto

solução da 42 1 x é 3x .

Resolução analítica de inequações exponenciais.

Como resolver analíticamente as inequações exemplificadas abaixo?Lembras das regras

aprendidas na 10ª Classe , que podem ser aplicadas agora.

Com base maior que um 1a mantém –se o sinal de desigualdade na comparação

de expoentes;

Com base menor que um 1a muda sentido do sinal de desigualdade na

comparação de expoentes.

a) 48235233273 35252 xxxxx

b)2

11213

3

1

3

13

3

11313

xxxx

xx

x

x

c) 06565222

12 2265

6

5 22

xxxxxxxx



Para resolver a inequação é necessário encontrar os zeros da equação:

.320)3)(2(0652 xxxxxx

+

2 3 x

Portanto , a solução da inequação: 0652 xx é 3;2s

Equações biquadráticas ( revisão )

Toda equação do tipo 02 pzaka xx , chama-se equação biquadrática.

Exs: Vamos resolver as equações:

a) 082.622 xx, seja tx 2 , com 0t então:

420)4)(2(086082.62 22 ttttttxx .Daqui voltamos na

suposição anterior .21421222 xxxt xxx 2;1s

b) .001650162.2.520162.52 2212 ttxxxx

c) 94)9)(4(03650369.590369.53 224 ttttttxxxx

Suposição anterior: 1999 xt xx

; 1S

Generalidadade:Para resolver as equações do tipo 02 pzaka xx , importa-se seguir os

passos seguintes:

Sabendo que 22 )( xx aa , substituindo ta x , )0( t ;

Resolver a equação 02 pztkt ;

Substituir xat ;

Calcular o valor de x e escrever a solução da equação.



Inequações biquadráticas

Uma inequação do tipo 02 pzaka xx chama-se inequação biquadrática.

Exs: Resolva as seguintes inequações abaixo:

a) 0)5)(1(056:5;055.6)5(055.65 222 tttttxxxxx

+ +

1 - 5 x

Então: 1;01055555151 10 xxt xx

b) 0)3)(1(034:3;033.4)3(033.43 222 tttttxxxxx

+ +

1 _ 3 x

Então: ;10;10331351 1 xxtt xx



Exercícios de aplicação

1.Constrói os gráficos de cada uma das seguintes funções:

a) 12

1)(

x

xf b) 22)( xxg c) 22)( xxh d) 22)( 1 xxm c) 22)( xxn

2.Resolva graficamente cada uma das equações seguintes :

a)14

2

1

x

x

b)24 39 xx

c )

2

2

4

12

x

x

3.Resolva as equações exponenciais seguintes:

a)4

12 32

xx b)

27

13 52

x c) 333,03 32

xx d) 9033 11 xx

e)xx 93

f)xx 235 g) 1202222 1323133 xxxx

h)36

16 x

i) 11)cos(2 xa

j) 233 252 xx m) 034563.73.5 2 xx

n) 0813.69 1 xx o)

128

125,0

1

x

p) 3 223 279 xx q)13 51 35

2 22 2

2727

x xx x r) 1.. 4 22121 xxx aaa s)

2

)2)(1( 1

aa xx

t) 6)83()83( 33 xx u) 22 2.10164 xx

4.Se axx 22 , o valor de xx 88 é igual a:

a) aa 33 b) aa 33 c) aa 33 d) a4

5.Resolve as inequações seguintes:

a)125

27

3

5

x

b) 31 48 x c) 0433 132 xx d)

15.102425 xx

e) 07.47 12 xx f) 01

2

1.3

2

1.2

2

xx

g) 022.32

1.

2

x

x

h) 01010.11102 xx i) 11 xa ,se .1a j)

2

1

2

1152 xx

l) 0102 xx



m) 22302,002,0

xx n) 1

2

2

33

2

xx

6.Esboce, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções: xxf 4)( ,

x

xg

4

1)( ,

12)( xxh , 12)( xxm , 13)( xxn e 3)( xk , e resolve graficamente:

a) )()( xgxf b) )()( xmxh c) )()( xkxn

7.Radioactividade:A massa de substância em certa amostra calcula-se por tetA 09,0.500)( ,

com t em anos e )(tA em gramas.

Quantos gramas havia no início da contagem do tempo? E 10 anos depois?

8.Crescimento exponencial: Um biólogo estudou o crescimento de uma colónia de bactérias e

registou os dados observados na seguinte tabela:

t ( dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N ( números debactérias ) 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192

Trata-se de uma situação de crescimento exponencial e que este tem como modelo matemático

do tipo ktabxf .)( , onde b>0 e a>1 , encontre uma expressão analítica para função

representada na tabela.

9.(LCD,2012)-Desvalorização da moto: A função

x

xP

3

4.25000)( , 0x é usada para

determinar o valor, em meticais , de uma moto x anos depois da sua compra.

a)Qual é o custo inicial da moto?

b)Determine o valor da moto 1,5 anos depois da compra.

c)Quantos desvaloriza a moto ao ano?

10.(LCD ,2012):Na Vila de Nova-Mambone , província de Inhambane, foi detectada uma

doença contagiosa.O periodo de contágio verifica-se nos primeiros 12 dias da doença.Admita

que, um dia, cada pessoa contaminada transmite a doença a três, ficando assim,decorrido um

dia,quatro pessoas afectadas pela doença.Admita que o primeiro caso foi detectado em 1 de

Julho do ano passado.

a) Quantas pessoas estão doentes no dia 5 de Julho , ou seja,quatro dia depois da doença ser

detectada?



b)Complete a tabela.

Número de dias

decorrido após 1

de Julho

Número de

novos

doentes

Total de

doentes

afectados.

1 3 4

2 12 16

3 48 64

4 ........... ..........

5 ........... ..........

c)Indique uma expressão que traduza o número N de doentes em função do número t de dias

decorridos após o dia 1 de Julho.

d)Se nenhuma medida de combate á doença for tomada , quantas pessoas estarão afectadas ao

fim de 12 dias?

e)Sabendo que a Vila de Nova- Mambone tem 1.000.000 de habitantes , determine ao fim de

quanto tempo toda a Vila ficará contagiada se não se tomassem medidas para combater a

propagação da doença?

11.Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de simbolos que uma

pessoa pode memorizar com o tempo t,em minutos.A fórmula é )1(30)( 3

t

etf

.

a)Calcule , de acordo com a função f e com aproximação ás unidades,quantos símbolos uma

pessoa pode memorizar em 4 minutos.

b)Uma pessoa memorizou 26 simbolos.Quanto tempo precisou , aproximadamente , para

realizar tal tarefa

12.(LCD,2012): A função

x

xP

7

8.1300000)( , 0x é usada como modelo para calcular, em

meticais , de um andar num prédio Emose da Cidade da Beira , x anos após a sua construção.

a)Determine o valor inicial do andar.

b)Qual é a percentagem de valorização do andar ao ano?

c)Qual é o valor do andar 10 anos depois da compra?



Capitulo IV:Equações e inequações logarítmicas

Objectivos:

Identificar as equações e as inequações logarítmicas;

Resolver graficamente e analiticamente as equações e inequações logarítmocas;

Resolver problemas da vida quotidiana que envolvem equações e inequações

logarítmicas.

O logaritmo

As funções logarítmicas permitem estudar o desenvolvimento de populações como por

exemplo população de coelhos:

Supomos que numa dada população de coelhos na zona de protegiada de Mutinha em Nova-

Mambone , é dada por te

tP2,0.8,31

5,23,1)(

, onde P é em milhares de coelhos e t em anos.

O instante t corresponde a Janeiro de 2009.

a)De acordo com este modelo, estime o número de coelhos no ínicio de 2015

620092015 anos, então:

46575,2

18,31

5,23,1

1.8,31

5,23,1

8,31

5,23,1

.8,31

5,23,1)6(

5

62,12,162,0

ee

eeP

No início de 2015 , o número de coelhos será aproximadamente de 2466.

b) Sem recorrer á calculadora, determine em que ano a população será de 3300 coelhos?

132,0

722,2

2,0

)0657,0ln(0657,0ln2,0

76

5ln)ln(2,0

76

5lnln

76

55,0.6,75,2.6,725,2).8,31(2

.8,31

5,22

.8,31

5,23,13,33,3

.8,31

5,23,13,3)(

2,02,02,02,02,0

2,02,02,0

tttet

eeeee

eeetP

ttttt

ttt

.2022132009

Logo , durante o ano 2022 a população será aproximadamente de 3300 coelhos.

Observe atentamente os gráficos das duas funções inversas xaxf )( e x

axg log)( e uma

função afim que passa pela origem do sistema de coordenadas que identifica exactamente que



as duas anteriores são inversas.Recordar que os gráficos das duas funções são inversas

relativamente á recta de equação xy .

Observe a tabela seguinte:

g

Aplicacando definição de logarítmo temos: bayy yb

a

b

a loglog , onde 0,0 ab e

1a .

Exs:

a) 293loglog 9

3

9

3 yyy y b) 6642loglog 64

2

64

2 yyy y

c) 4333

13

81

13loglog 4

4

81

1

381

1

3

yyy yyy

x 0 1 2 3 4 5 )(

2log)( xxg

xxf 2)(

1 2 4 8 64 128 x

f



Logarítmo decimais

Logarítmos decimais são todos logarítmos de base 10.Ou seja qualquer logarítmo

representado sem base é umb logarítmo de base 10 ( omitir base 10).

Exs: a) 15loglog15

10 b)33

10 loglog c)75,375,3

10 loglog d)175175

10 loglog

e) 9

1

9

1

10 loglog

Como calcular logarítmos decimais?

Recordemos a propriedade: b

a

b

a pp

log.log

Exs:

a) 41.4log.4log 10

10

10

10

4

b) 641.64log.64log 10

10

10

10

64

c) 51.5log.5loglog 1010)00001,0( 5

.

Mantissa e característica

Os logaritmos decimais ( base 10 ) normalmente são números decimais onde podemos

encontrar caractérista e mantissa.

Caractérista (c):a parte inteita do logaritmo e representa-se normalmente por c, a caractérista

pode ser positiva ou negativa.

Mantissa (m ): a parte decimal do logaritmo e representa-se por m e é sempre positva.

As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Exs: a) 3010,1log20

Parte inteira Parte decimal (caractéristica) ( mamtissa )

Exs:

2041

22041,027959,1016,0log

m

c

,como o número 0,016 tem 2 zeros por

isso .2c E 2041m , porque a mamtissa de 0,016 é igual á mantissa de 16.

Nota: mcx ,0log



O logaritmo de um número positivo x , quando não é potência de base 10, expressa-se por

mc ,0 .

Cálculo da caractéristica de um logaritmo decimal

Antes de estabelecer o conceito de característica de um logaritmo decimal, vamos “tentar” calcular o

logaritmo de 127. Pela definição de logaritmo temos que:

12710127log xx

Claramente se observa que não existe nenhum x inteiro que satisfaça essa igualdade. No entanto,

podemos inferir facilmente que:

3232 10log127log10log101271010 x , recorda que bnbn log.log , então:

10log.3127log10log.210log127log10log101271010 3232 x .

E daqui, que o valor de x está entre 2 e 3, ou seja: 3127log232 x

( .2,...2127log c )

Desta forma, podemos estabelecer uma relação semelhante para qualquer logaritmo de um número inteiro

positivo maior que 1. E, no caso, por exemplo, de log 0,0127, por raciocínio análogo, vemos que:

0127,0100127,0log xx

Ou seja: 1212 10log0127,0log10log100127,010101,00127,001,0 x

Recorda que bnbn log.log , então: - 10log.10127,0log10log.2 .Conforme a

desigualdade o valor de x está entre -2 e -1, ou seja: 10127,0log212 x

( .2,...20127,0log c )

A partir dos exemplos, que é consequência do facto de que qualquer número real positivo está

necessariamente entre duas potências de 10 de expoentes inteiros consecutivos, pode-se concluir que o

log b (b um número maior do que 0) está situado entre dois números inteiros e consecutivos, isto é,

podemos sempre determinar um número inteiro c tal que:

1log cbc

Ao número c damos o nome de característica de log b. Ou, alternativamente, podemos definir a

característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.



Dos exemplos, podemos, então, estabelecer as duas seguintes regras para determinar a característica de

log b:

Regra 1:

Se b > 1, a característica de log b é o número de algarismos do logaritmando da parte inteira que

antecedem a vírgula subtraído de uma unidade.

Exemplos:

a) 213127log c b) 112756,12log c c) 31412,3756log c

Regra 2:

Se 0 < b < 1, a característica de log b é o simétrico da quantidade de zeros que antecedem o primeiro

algarismo diferente de zero.

Exemplos:

a) 20127,0log c b) 400056,0log c c) 183,0log c

Nota:Fica claro dos factos anteriores que o logaritmo decimal de um número b > 0 pode ser escrito

como:log b = c + m onde c é um número inteiro (a característica) e m (a mantissa) um número decimal

maior ou igual a zero e menor do que 1 ( 10 m ).

Cálculo da mantissa

A mantissa m, em geral um número irracional, é obtida da tabela logarítmica a seguir, que fornece,

apenas, os valores aproximados dos logaritmos de 10 a 309.

Voltando ao exemplo inicial vamos determinar a mantissa de log 127 com o uso da tabela: se encontra na

interseção da linha com o número 12 com a coluna com o número 7, cujo valor é 1038, o que significa

que m = 1038 e portanto: log 127 = 2 + 0,1038 = 2,1038

Compare com o valor obtido com o uso da calculadora e veja que corresponde ao valor até a quarta casa

decimal.

Propriedade da Mantissa:

A mantissa do logaritmo decimal de b não se altera se multiplicarmos b por um potência de 10 com

expoente inteiro.

A propriedade é decorrência de:log b.10x = log b + log 10

x = log b + x.log 10 = log b + x

Note que, na expressão acima, o que muda no cálculo do logaritmo é o valor da característica que é

acrescida (ou decrescida) do valor x correspondente ao expoente da potência.



Por exemplo:

0792,0112log e 0792,0210792,0110log12log120log , m=0792.

Veja na tabela que a mantissa de log 12 e log 120 são iguais.

Uma consequência dessa propriedade é: Os logaritmos de números cujas representações decimais diferem

apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais.

Exemplo:

Os logaritmos decimais de 127, 1270, 0,127, 12,7 e 0,0127 têm mantissa igual a 1038 e caracaterísticas 2,

3, -1, 1 e -2 respectivamente.

Tabela Logarítmica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788

2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624

3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911

4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902

5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388

7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976

8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494

9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106

13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430

14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014

16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279

17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529



18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765

19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404

22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598

23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784

24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962

25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133

26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298

27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456

28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609

29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

Antilogaritmo de um número

O número x cujo logaritmo decimal é igual a m chama-se antilogaritmo de m, com domínio

0x .

Se )log(log mantixmx .

Exemplos:

1.Vamos calcular x sabendo que:

a) logx=1,2553 , com 0x )2553,1log(antix .

Como a caractéristica é igual 1c , então a parte inteira do número procurado tem dois

algarismos ( 2 algarismos).

Procura na tábua o valor correspondente para .2553m De facto na tábua existe o número

.2553,118log18 x

b) logx=3,4254 , com 0x )4254,3log(antix .



Como a caractéristica é igual 3c , então a parte inteira do número procurado tem quatro

algarismos ( 4 algarismos).

Procura na tábua o valor correspondente para .4254m E o valor existente na tábua é o

número .4254,32668log2668 x

c)

6998,03log3002,01123002,01123002,023002,2log xx

com 0x

Como a caractéristica é igual 3c , então o número procurado está entre 0 e 1, tem três

zeros ( 3 zeros).

Procura na tábua o valor correspondente para 6998m .Na tábua existe o número

.3002,200501,0log00501,0 x Assim sendo 00501,0)3002,2log( antix

Aplicação prática de logaritmos

Exs: Vamos calcular

a) .3,165x

3,16log5

1log)3,16log(log3,16loglog3,16 5

1

55 xxxx , mas

2122,13,16log ,então : )2122,1(5

1log3,16log

5

1log)3,16log(log 5

1

xxx

7475,12424,0log)2122,1(5

1log3,16log

5

1log xxxx .

b) 152,3x

1565,7log)4771,0(15log)2,3log(.15log)2,3log(log2,3 1515 xxxxx

A parte inteira do número procurado tem 8 algarismos , este número não aparece na tábua

por ser grande ,mas sim podemos encontrar este número com base da máquina calculadora

cientifica aplicando o antilogaritmo deste valor 7,1565.

Escreve-se primeiro o número 7,1565 em seguida click potência de base dez (x10 ), assim terá o

valor de 160,14338377x .



160,14338377)1565,7log(1565,7log)4771,0(15log antixxx .

Procedimentos:

1.Introduz os dois membros logaritmo de base 10;

2.Aplica –se esta propriedade de radicais se for possível: nn aa

1

;

3.Aplica –se propriedade de logaritmo se for possível: an

a n log1

log

1

;

4.Acha –se o valor de alog e multiplique pelo n

1,se for possível;

5.Determina-se o valor de antilogaritmo do resultado anterior , que resultará o valor de x

pretendida.

Representação de logaritmos na forma mista

Nas operações envolvendo logaritmos,é necessariamente trabalhar com logaritmos em que aparecem a

caractérista e a mantissa . Por isso constuma-se representar o logaritmo de um número x em que

10 x na forma mista e culo resultado apareçam a caractérista e a mantissa.

Exs:Vamos calcular

1. 10log.43log10log3log10000log3log10000

3log 4 , mas 4771,03log e

110log

então: 5229,344771,01.44771,010log.43log10log3log 4 ,assim podemos

reformular desta forma: 4771,040003,0log10000

3log

2. Vamos escrever na forma mista o valor de 00005,0log

55 10log5log10.5log00005,0log , mas 6989,05log

6989,0556989,010log5log10.5log00005,0log 55

3.Vamos calcular o valor de x sabendo que 1761,1log x .Vamos escrever na forma mista

:

8238,021761,012log1761,0111log1761,01log1761,1log xxxx

0668,08238,02log xx



Equação logarítmica

Veja as equações seguintes:

a) 3log2 x

b) 3log )3(

2 x c)

2

1log 7

2 x d)

2log 9

2

2

x

Todas as expressões acima são equações que envolvem logarítmos , por isso são equações logarítmicas.

Resolução de equações logarítmicas

1.Equações do tipo mxf

xg )(

)(log

Algumas equações envolvendo logaritmos podem ser resolvidas atráves de uma equação exponencial

equivalente .

Tal equivalência é possível atendendo a que: )()(log )(

)( xfxgmmxf

xg , em que

0)( xg , 1)( xg e .0)( xf

Para resolver uma equação logrítmica é necessário atender o domínio Da expressão dada.Se assim não

for , podemos apresentar a solução um valor ou valores que nem sequer dão sentido a expressão.

Exs:

a) 19163324log 4)3(

2 xxxx, mas D: :3303 xxx

e ;319 , ou seja 19 é solução da equação.

b)

0504444444)2(2log 2222)4(

)2(

xxxxxxxxxxx

x

500500)5(052 xxxxxxxx

Mas D: ;33:2324120204 xxxxxxx



E ;33:20 , mas ;33:25 , logo 5x é soluçao da equação.

2. Equações do tipo )̀()( loglog xf

c

xg

c

A resolução deste tipo de equações segue-se, em geral , os seguintes passos:

1º passo: Determinar as condições de existência:

Domínio: 0)( xg e 0)( xf se 0c e .1c

2º passo:Resolvendo a equação aplicando a propriedade: )()(loglog )̀()( xfxgxf

c

xg

c .

3º passo:Verifica-se da pertinência da solução ao domínio da equação.

Exs:

a) 3

2

42

2 loglog xx

D: 3232

434203042 xxxxxxxx

D: ;3;3;2 x

;3:1432342loglog 3

2

42

2 xDxxxxxxx, isto é,

1x não é solução da equação .

b) xx 2

33 loglog2

;D: 00202 xxx

2002002022loglog 222

33

2

xxxxxxxxxxxx

Sendo assim D0 , mas D2 e é solução da equação.

c) 32

2

1

5

1

1

1

2

1 logloglog xxx

D:2

3510320501 xxxxxx

D:

;5;5;1;

2

3



03524logloglogloglogloglog 232

2

1

54

2

1

32

2

1

51

2

1

32

2

1

5

1

1

1

2

1

2

xxxxxxxxxxxx

1,12

2,21,7

2

2,14

2

2,86

2

68608603524 212,1

22

xxxxxxxx

;51,7 ,pois este é solução da equação.

Equações do tipo 0loglog 2 cx

a

x

a

Estas equações , com 0a , 1a e 0x , resolvem –se fazendo uma mudança da incógnita e

observando o 3º passo do exemplo anterior.É preciso lembrar que 2loglog 2

x

a

x

a .

Exemplos:

Resolve as seguintes equações:

a) 03log4log 3

2

3 xx com 0x , seja tx 3log então:

3103010)3)(1(0342 tytttttt

Pela condição anterior: 273log31loglog 333 xxt xxx

27;3S

b) 06log5log 6

2

6 xx ,com 0x , seja tx 3log então:

3203020)3)(2(0652 tytttttt

Pela condição : 2163log362loglog 666 xxt xxx

216;36S

c)x

x

3

3log

12log3 , com 0x , seja tx 3log

16

42

3

1

6

42

6

42

6

162

01231231)23(1

23log

12log3

212,1

22

3

3

ttt

ttttttt

tx

x

3

11log3

3

1loglog 3

333 xxt xxx



3 3;3

1S

Equações que envolvem mudança de base.

Resolve as seguintes equações:

33 23

2

22

2222

24

2

2242

4223

2log1log

2

3

12

11log1log

2

1log1

2

loglog1

log

loglog1loglog)

xx

a

xx

xxxx

xx

xxx

Ou seja tx 2log , então:

3

223221

2

1

1log2

1log1

2

loglog1

log

loglog1loglog) 22

224

2

2242

tttttt

a xxx

xx

xxx

tx

2log 33 23

2

2 4223

2log xxx

b) 2log2

1

log

log2

2loglog

log

2loglog2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

Inequações logarítmicas

Observe os exemplos de equações seguintes:

a) 3log2 x

b) 4log )3(

2 x c) 3log )3( x

x d) )32(

2

)3(

2 loglog xx e) 3log )3(

2

1 x

É evidente que todas desigualdades envolvem logarítmos ,estas desigualdades chamam-se inequações

logarítmicas.

Propriedades de inequações logarítmicas.

1. Se 10 b , então cac

b

a

b loglog .De dois logarítmos com a mesma base é maior o que

tiver menor logarítmando: 56loglog 32

2

1

64

2

1



2. Se 1b , então cac

b

a

b loglog . De dois logarítmos com a mesma base é maior o que tiver

maior logarítmando: 56loglog 32

2

64

2

Resolução de inequações logarítmicas

Exs: Resolve as seguintes inequações:

a) 7;7

2

14142862loglog3log 8

2

62

2

)62(

2 xxxxxxx

D: ;332

662062 xxxxx

O conjunto - solução da inequação é intersecção da solução parcial com o domínio da inequação

:S= 7;3;37;

b)

;1122

168186logloglog2log 224

3

1

186

3

1

4

3

1

186

3

1

222

xxx

xxxxxxxxxx

D: ;440401862 xxxxx

O conjnto-solução da inequação é intersecção da solução parcial com o domínio:

;4;4;1S .

Resolução de problemas concretos aplicando logarítmos

As equações e inequações logarítmicas permitem-nos resolver problemas de situações reais do

quotidiano.

Exs:

1.Calcule o raio de uma esfera cujo volume é 256 3cm .

Fórmula do volume de uma esfera: 3.

3

4rV , isolando r temos:

333

4

3

4

3.

3

4

Vr

VrrV



Logarítmizar os ambos membros temos:

.09354,4)6121,0log(6121,0)log(3

8363,1)log(8363,1)log(3

)4469,06021,0(4082,24771,0)log(3)log4(loglog3log)log(3

)4log()3log()log(34

3log

3

1)log(

4

3log)log(

4

3log)log(

3

1

3

antirrrr

rVr

VrV

rV

rV

r

Nota:

4082,2)256log()log(

4469,0)14,3log(log

6021,04log

4771,03log

V

R: O raio da esfera cujo o volume é 256 será de 4,09354 cm

2.A tomada de antibiótico:Após a tomada de um antibiótico inicia-se o declínio da substância activa M

segundo uma lei idêntica á desintegração radioactiva.

Considere que para um certo antibiótico a quantidade da substância activa M não eliminada ao fim de t

horas é dada por :ktMtM 10.)( 0 ,em k é uma constante positiva.

a) Qual é o significado de 0M ?

Para 0t , temos 0

0

0 )0(10.)0( MMMM k

0M significa a quantidade activa no momento da tomada do medicamento.

b)Considerando mgM 10000 e sabendo que a quantidade activa do medicamento se reduz a metade ao

fim de uma hora, determine o valor de k constante positiva.

ktkt tMMtM 101000)(10.)( 0

Se a quantidade activa do medicamento reduz –se a metade ao fim de cada hora então

mgM 5002

1000)1( , mgM 250

4

1000)2( , mgM 125

8

1000)3( ,..., mgtM

t2

1000)( .

temos:

3010,0)2log()2log(

2

1log

2

110

1000

5001010.100050010.1000)1( 1

kk

kM kkkk



Ou seja:

.3010,03010,0

16989,0325log1.310log5log)10log()10.5log(

)1000log()500log(1000

500log

1000

5001010.100050010.1000)1(

232

1

kk

kkkk

kkM kkk

Nota: 6989,05log .

c)Qual é, para o medicamento referido em b) , a quantidade de substância activa que ainda não foi

eliminada ao fim de 12 horas?

mgMM

MMtMMtM ktkt

244,010)12(10.10)12(

10.1000)12(10.1000)12(101000)(10.)(

612,0612,33

612,3123010,0

0

Ou seja: mgmgM 244,04096

1000

2

1000)12(

12

R: Ao fim de 12 hora, a quantidade activa do medicamento que ainda não tinha eliminado era de

0,244mg.


1.Escreve os logarítmos seguintes na forma mc ,0 :

a) 53log b) 925log c) 252log d) 561,0log

2.Indique a caractéristica de:

a) 4,0log b) 0003,0log c) 00378,0log d) 089,0log

3. Calcule os logarítmos seguintes:

a) 5log b) 50log c) 312log d) 890log e) 015,0log f) 50,0log

g) 027,0log h) 000823,0log i) 5379000log l) 4367,0log j) 165log k) 54,17log

4.Calculen o valor de x nos seguintes casos:

a) 4254,3log x b) 3214,0log x c) 1761,1log x d) 686,0log x e) 5102,2log x

f) 3002,2log x g) 3979,2log x h) 1244,2log x i) 2631,1log x



5.Calcule , usando logarítmos , o valor de x em cada caso:

a) 621,1x b) 122,3x c) 5 3,18x d) 3 6,10x e) 3,26x

6. Escreve na forma mista o valor dos seguintes logarítmos:

a) 006,0log b) 0003,0log c) 0025,0log

7.Resolve as equações seguintes:

a) 1loglog 1

2

4

2

2

xxx

b) 4

3

12

3

1

22

3 logloglog2 xxxx

c) 2log 34 x

x

d) 2log )2(

)1(

2

xx

x f)

2log

log154

2

2

2 x

x

g) 12log 13.4

3 xx

h) 4log 432

2 xx

i) 1log1

2

log5

1

xx l) 03log4log 3

2

3 xx

m) 02log3log 2

2

2 xx

n) 12

2

1

6

2

2

2 logloglog2 xxxx

8. Resolve os sistemas seguintes:

a)

12

222 logloglog

7

yx

yx

b)

2loglog

42522

yx

yx c)

0log

1log

yx

xy

yx

xy

d)

2loglog

84

22

yx

yx

9.Resolve as seguintes inequações logarítmicas:

a) 3log 3

5 x b) 1log2

5.10122562 xx c)

4

3

1

186

3

1 loglog2 xxx

d) 3log 62

2 x

e) 2log 3

15

4

x

f) 7

3

6

3 loglog2

xx g) )22log()13log( 22 xxxx

h) )1log()53log( xx i) 12

3

3

2

3 log1log

x

x



10.Um corpo cai de altura mh 343 ,sujeito apenas á acção da gravidade.Determina o tempo da

queda sabendo que 2

2

1gth , onde 2/8,9 smg é a aceralação de gravidade , t o tempo gasto

na queda e h o espaço percorrido.

11.O senhor Savimbe deposita 5000 meticais a 4% de juros ao ano. Quanto terá , após 10 anos ,

se o juro é pagável trimestralmente? ( o valor procurado é dado pela expressão

nk

k

ixy

1 ,

onde k é o número de trimestres por ano, n é tempo em anos e x o depósito).

12.As marcações 1R e

2R de dois terramotos que actuaram no Continente asiático concretamente

no Japão no ano passado 2011 , na escala de Richter , estão relaciondas pela fórmula

2

121 log

M

MRR , onde

1M e 2M medem a energia libertada pelos terramotos, sob a forma

de ondas que se propagam pela crusta terreste.Houve dois terramotos : Um correspondente a

81 R e outro correspondente a 62 R .

Determine a razão 2

1

M

M

13.A planta no Reacho:

No centro de um Reacho circular de 10 m de raio , observou-se uma área circular coberta por

uma espécie de plantas.

Os biólogos estimam que a área A , em 2m , coberta pelas plantas t meses após a primeira

observação , é dada por tetA 4,0.3,2)( .( se necessário , use uma casa decimal nas suas

respostas).

a)Determine A para 0t .Interprete o valor btido no contexto da situação apresentada.

b)Verifique que , para qualquer valor de t, )(

)1(

tA

tA , determine o valor aproximado dessa

constante e interprete esse valor no contexto da situação descrita.

c)Determine x tal que ).(3)( tAxtA Interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

d)Determine o valor numérico de t de modo que todo o Reacho esteja coberto co as referidas

plantas.



Capitulo V: Geometria analítica no plano

Objectivos especificos:

Aplicar vectores na resolução de problemas;

Escrever as coordenadas e componentes de um vector no plano;

Escrever um vector como a diferença de dois pontos;

Determinar a soma de um ponto com um vector e soma de dois vectores;Determinar o

produto de um número real por um vector;

Determinar a norma de um vector no plano;

Determinar um vector colinear com outro;



Calcular a distância entre dois pontos;

Calcular a distância de um ponto a uma recta;

Resolver problemas envolvendo os conceitos de normas e de colinearidade entre

vectores;

Identificar a equação da recta;

Determinar o declive de uma recta;

Interpretar a condição de paralelismo e de perpendicularidade de duas rectas em função

dos seus respectivos declives;

Determinar os pontos de intersecção de duas rectas;

Escrever a equação da circunferência conhecido raio e o centro;

Resolver problemas envolvendo circunferência;

Escrever a equação de uma elipse co centro na origem dos eixos de coordenadas;

Aplicar a equação da elipse na resolução de problemas.

Introdução à geometria analítica do plano

Na obra que marca a origem da geométria analítica, Descartes combinava a geométria e a

álgebra de modo a formarem um conhecimento superior a qualquer outro que ate então era

conhecido. A ideia de Descartes era a de usar a geometria e a álgebra combinadas, tornando

possível interpretar geometricamente resultados algébricos , o que facilitou novas descobertas .

Os métodos da geométria analítica também designados por geométria cartesiana podem ser

usados para prever alguns dos teoremas da geometria plana.

A geometria analítica criada por Descartes constitui um marco decissivo na enorme evolução

cientifica que ocorreu no século XVII, tornando-o uma referencia decissiva nas gerações

posteriores de cientistas e filósofos .

A generalidade deste eminente matemático foi reconhecido pelo Estado Francês que o elegeu

como herói nacional e transladou em 1667 da Suecia, onde faleceu em 1650 para Paris.

Nesta unidade temática, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesianas, pois nunca

tratemos de geométria analítica sem fazer o uso de um sistema de referencia .

1.Aplicação de vectores



Um dos conceitos básicos em álgebra linear , que nos vai ajudar na estudar a geométria analítica

do plano é o de Espaço vectorial ou Espaço linear.Comecemos a presentar o elemento

fundamental do espaço vectorial – o vector.

Vector é um elemento geométrico ou matemático caracterizado por :

direcção ;

sentido;

comprimento.

y 5 B

4

3

2 A C

1

1 2 3 4 5 x

Figura 1

Na figura acima , temos um triângulo ABC representado no sistema cartesiano ortogonal.

AB , BC e AC dois segmentos orientados distintos, mas com caractéristicas comuns

nomeadamente : o comprimento ,a direcção e o sentido.Neste sentido todos os segmentos já

menciondos anteriormente tem a origem e a extremidade representada por uma seta.

Por exemplo o segmento AB tem a origem em A e sua extremidade em B , se isto acontecer

podemos dizer que o segmento AB recebe o nome de vector AB , representada

simbolicamente por , assim como os outros segmentos existentes na figura acima:



AC tem origem em A e termina em C representa-se simbolicamente por e BC

tem a origem em C e extremidade em B e representa-se simbólicamente por .

Observando atentamente a figura representada no sistema cartesiano ortogonal ,veremos que os

pontos existentes tem como coordendadas : A=( 1;2) , B=( 4;5) e C=(5;2) então os seus vectores

terão as seguintes coordenadas: ;

e

Norma ou comprimento de um vector

O comprimento ou norma de um vector também é denominado por valor absoluto ou módulo

do vector e representa-se simbolicamente por ou por .Chama-se norma ou comprimento

de um vector e representa-se por á medida do comprimento do vector numa

determinda unidade e é dada pela formula:

Exs:De acordo com os pontos representados na figura 1:

a)

b)

c)

Vector unitário

Um vector é unitário sse o se comprimento for de uma unidade ou seja igual 1 , isto é

.Se o não nulo , então o vector é unitário na direcção . Qualquer vector na

direcção de , de mesmo sentido ou sentido oposto , é um múltiplo escalar deste vector unitário

.



Ex:Consideremos o seguinte vector e determine o vector unitário direcção

então a sua norma será:

Vectores colineares

Dois vectores

veu são colineares sse existe um número real 0k , de modo que

vku

Exemplos:

a) )15;10()3;2(

bea são colineares porque

ba5

13;2515;10 ou

ab 53;2515;10

b) Verifica se os vectores dados são ou não colineares: )12;6()4;2(

veu .

Condiçao:

3

3

124

62

12

6

4

2

k

k

k

kkukv , então podemos dizer

que

uv 3 são colineares.

Coordenadas de um vector

Se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem de um vector , verifica-se

que este vector é igual á soma dos vectores formados pelas suas projecções em cada eixo.

Observe: y



xv

v

xv x

Os vectores yx vev

são as componentes do vector

v no sistema de coordenadas ou seja

yx vvv

No sistema cartsiano, designa-se frequentemente o vector unitário na direcção do eixo dos x por

i , e o vector unitário na direcção do eixo dos y por

j .

Se

u é unitário no sistema e designando os componentes do vector

u por

jueiu yx ,teremos:

jvivv yx .Os escalares yx vev são as coordenadas do vector no

sistema e representa-se por

y

x

v

vv .

Exemplo: y

6

u

j4

2

i3

2 5 x

As componentes do vector

u são

i3 e

j4 .

As coordenadas do vector

u são 4;3

Qualquer vector no plano pode ser representado na forma de soma de múltiplos de vector

unitário ou seja

u =

i3 +

j4 .



Soma de um ponto com vector

Dados um ponto e um vector

u , chama-se soma do ponto A com vector

u ao

ponto B tal que

uAB

u B

A

Considere a figura:

H G

E

DD C

A B

Identificando os pontos correspondentes a cada soma apresentada teremos:

BHGABHFDEGGECEGA

Operações com vectores

Existem três operações fundamentais , envolvendo vectores ,assim que se seguem:

Adiçã;

Subtracção;

Multiplicação por um escala

1. Adição de dois vectores

F

D



Há dois métodos geometricos para efectuar a adição de dois vectores:

a) Método de paralelogramo: uma das forma de obter a soma de dois vectores é a seguinte:

Desenhar os representantes dos dois vectores dados com uma origem em comum ;

Traçar um paralelogramo desenhando os lados paralelos aos dois vectores;

O vector diagonal do paralelogramo com origem comúm aos dois vecotres é um

representante das somas dois vectores dados.

Exemplo:

u

vu

u

v

v

b) Método de triângulo: a outra forma de obter a soma de dois vectores consiste em aplicar

as fórmulas de triângulos .Dados dois vectores

veu , chama-se soma de

u com

v , e

representa-se por

vu , ao vector que se obtém do seguinte modo:

Consideremos um representante de vector

u e o outro de vector

v de modo que a

extremidade do representante de

u coincida com a origem do representante do

vector

v .

Traçamos o vector cuja origem é a origem do representante de

u e a

extremidade é a extremidade do representante do vector

v , e o vector obtido é

vu .



u

v

u

v

vu

Subtracção de dois vectores

Para calcular a diferença entre dois vectores

u e

v , calcula-se a soma de

u com o simétrico de

v , isto é :

vuvu .

u

u

v

v

vu

Multiplicação de um número real ( escalar) por um vector

uk

Dado um número real 0k e um vector 0

u , o produto de k por

u é o vector

uk que tem:

A direcção de

u ;

Norma

ukuk

Caso 0,0

ukk

Caso k ˃0 ,

uk tem a mesma direcção e sentido

Caso k ˂0 ,

uk , tem a mesma direcção e sentidos opostos



Exemplos:

u

u

u2

u2

Considere os vectores 1;32;1

veu , represente geometricamente o vector

vuw2

1.

y

2

1

u

-3 -2 -1 1

v 2 3 x

-1

Adição de vectores em coordenadas

Soma de dois vectores é um vector ou seja a soma do vector 11 ; yxu

, com o vector

22 ; yxv

é um outro vector 2121 ; yyxxw

.

Analogamente para diferença de dois vectores , teremos : 1212 ; yyxxw

Exemplos: 5;2

u e 10;6

v



15

8

105

62

10

6

5

2vu

5

4

510

26

10

6

5

2vu

Distância entre dois pontos no plano e sua demonstração

A distância d entre dois pontos 11; yxP e 221; yxQ , no plano pode ser dada pelo

módulo do vector, isto é,

PQPQd .Ou porém podemos também aplicar o Teorema

do famoso matemático Pitagóra

Observe a figuara seguinte:

y

2y Q

d 12 yy

1y P R

12 xx

1x 2x x

A distância pretendida esta representa na figura pela letra d .

Os pontos P,Q e R formam um triângulo rectângulo em R, portanto aplicando o Teorema de

Pitagora tem-se:

2

12

2

12

2

12

2

12

2

2

yyxxdyyxxdPQ



2

12

2

12 yyxxdPQ

Exemplo:Calcule a distância entre os pontos A e B, sendo A(-3 ; 2) e B(-1 ; 5)

Resolução: 13323531 22222

12

2

12

yyxxAB

A distância entre A e B é de 13 .

Equaçoes da recta no plano

A recta no plano pode ser representada de várias formas. Neste preciso momento iremos estudar

como representar a recta no plano mediante equaões usando o sistema cartesiano. Veremos

também as posições relativas de duas rectas no plano, bem como as condições relativas para os

casos especiais de paralelismo e de perpendicularidade.

Equação vectorial de uma recta no plano

Dada r uma recta que passa pelo ponto A e tem a direcção de um vector não nulo

v .Veja a

figura asseguir.

y P yx ;

A 11; yx

r ( a;b)

v

x

Para que um ponto P pertença a recta r ,é necessário que os vectores

veAP sejam colineares,

isto é

IRk

b

ak

y

x

y

xvkAPvkAPvkAP ,

1

1



Exemplo:Determina a equação vectorial da recta r que passa pelo ponto A(3 ;-5) e tem direcção

do vector

jiv 32 .

Designando por P(x,y) um ponto genérico dessa recta, tem-se:

3

2

5

3,

1

1k

y

x

b

ak

y

x

y

xvkAP

Determine um ponto da recta se 2k

1

7

65

43

3

22

5

3

3

2

5

3,

1

1

y

x

y

xk

y

x

b

ak

y

x

y

x é um

dos pontos da recta r.

Equaçao reduzida de uma recta no plano

Uma equação vectorial da recta r é

2

2

3

0k

y

x, de acordo com a representação

geométrica seguinte:

y

r

3

2

u

-3 2 x

A partir desta é possivel encontrar a equação rduzida da recta, ou seja :



3322

3

,

2

3

2

23

2

23

20

2

2

3

0

xyxyxy

IRky

k

xk

ky

kx

ky

kxk

y

x

Chama-se equação reduzida da recta

Toda equação reduzida de uma recta r não vertical é do tipo bmxy

Declive de uma recta

Dada a equação reduzida de uma recta não vertical bmxy , o parametro m chama-se

declive da recta ou coeficiente director da recta e b ordenada na origem ( é o valor de y

quando 0x )

Veja a figura :

y

2

2 xy

2 x

1m

Calculo de declive de uma recta dado dois pontos no plano

y

r

2y

1y



2u

1x 1u 2x x

Dados dois pontos de uma recta r não vertical, );();( 2211 yxBeyxA , o decilve m da recta AB

é dado pela fórmula : 12

12

xx

yym

Exemplo : Na figura esta representada uma recta AB e quatro dos seus pontos

y

4 A

2 B

C

1 2 4 x

-4 D

Tarefa:Calcule o seu declive utilizando os pontos:

a) A e B b) C e D c) B e D d) B e C e) A e C

Tarefa :Indique o declive e a ordenada na origem da recta de equação 0232 yx .

Equação de uma recta dados um ponto e o declive

Observe a recta r representada na figura abaixo.

y r

y );( yxP



1yy

1y );( 21 yxQ

1xx

0 1x 2x x

Sabe-se que a recta r contem o ponto );( 11 yxQ e tem o declive m.

Um ponto qualquer );( yxP com 1xx pertence a recta r sse se o declive da recta PQ for igual

a m ou seja mxx

yy

1

1 . Então esta equação da recta pode ser escrita da seguinte

forma: )( 11 xxmyy

Exemplo: Escreva a equação reduzida da recta r que contem o ponto A(2, 3) e tem declive

m= -2.

Assim: 72423223)( 11 xyxyxyxxmyy

Equação da recta que passa por dois pontos

Conhecendo dois pontos );( 11 yxQ e );( 22 yxP , determona-se o declive 12

12

xx

yym

e aplica-

se a fórmula anterior.

Uma equação da recta que contem os pont os );( 11 yxQ e );( 22 yxP é dado

por 1

12

121 xx

xx

yyyy

Exemplo: Sejam dados os seguintes pontos (1,2) e (3,-4).Determine a recta que passa nesse

pontos.

Conclusao :Uma equação da recta r de que se conhece um ponto );( 11 yxQ e o declive m é

)( 11 xxmyy



Calculemos o coeficiente angular ou declive da recta: 32

6

13

24

12

12

xx

yym

A equação da recta pretendida sera : 53233132 xyxyxy

Ou 53493334 xyxyxy

Posição relativa de duas rectas no plano

No plano, duas rectas são paralelas ou são concorrentes.

Duas rectas não verticais são paralelas sse se tem o mesmo declive.

Ou seja sendo 11: bmxyr e 22: bmxys as rectas r e s são paralelas sse se 21 mm

Do mesmo modo, tem-se: Duas rectas não verticais são concorrentes sse se tiver declives de

rectas diferentes ou seja sendo 11: bmxyr e 22: bmxys , as rectas r e s são concorrentes

sse se 21 mm .

Exemplos:

a) 02:3: yxsexyr

2

3

02

3

xy

xy

yx

xy

As duas rectas tem o mesmo declive (m=-1) e ordenada na origem diferentes, portanto, as rectas

são paralelas.

Veja a representaçao geométrica das duas rectas.

y

3

2

2 3 3 xy x

2 xy



b) 32:02: yxseyxr

4

3

2

3

4

3

2

34

2

322

2

32

2

32

02

x

y

x

xy

x

xy

xx

xy

xy

xy

yx

yx

As rectas são concorrentes e o ponto de intersecção tem coordenadas

2

3,

4

3, veja asseguir a

representação geométrica das duas rectas dadas.

y

xy 2 32 xy

1 2

3 2 3 x

-2

-3

Condição de paralelismo e de perpendicularidade de duas rectas em função

dos respectivos declives.

Equações de rectas paralelas

Duas rectas no plano são paralelas se:

Ambas são verticais;

Ambas são horizontais;

Têm os mesmos coeficientes angulares ou declives.



Exemplos:

32 xex são paralelas.

As rectas 12 yey

As rectas 3252 xyexy

Observe atentamente as representações geometricas das rectas apresentadas acima:

2x y 3x y

2y 2

-2 3 x x

1y -1

y 52 xy

5 32 xy

-3 -2 -1 1 2 3 4 x

-3



Equaçõesde rectas perpendiculares

Duas rectas no plano são perpendiculares se uma delas é paralela ao eixo das abcissas e a outra

é paralela ao eixo das ordenadas, ou se elas têm coeficientes angulares ou declives 21 mem tal

que 121 mm .

Exemplos:

As rectas 13 yex são perpendiculares, pois 3x é paralela ao eixo das ordenadas e

1y é paralela ao eixo das abcissas

As rectas 32 xyexy são perpendiculares, pois ao produto dos seus declives ou

coeficientes angulares é igual a menos um, ou seja 11 21 mem e 1. 21 mm .

Veja as representações geometricas das rectas menciondas acima.

y 3 xy y

3x 3 2 xy

2

1

0 1 2 3 x -2 -1 0 1 2 3

-1 1y



Fórmula para determinar o ponto médio de um segmento e suas aplicações

Ver a figura representada abaixo:

y );( 22 yxB

M(x;y)

);( 21 yxA

0 x

No plano, se );( 21 yxA e );( 22 yxB , tem-se );( 1212 yyxxABAB

.

Se M é o ponto médio de AB , então: );(2

1);(

2

1121211 yyxxyxABAM

2;

2);(

2;

2

2121121

121

yyxxyxM

yyy

xxxM

Exemplo

Dados os pontos A=(-1;3) e B=(3;2) , determine as coordendas do ponto médio do segmento

AB.

É importante visualizar geomentricamente os pontos dados no sistema de coordenadas

xy. Veja asseguir:

y

3 M

2

1



-1 1 2 3 x

De acordo com a figura representada acima, é notavel que as coordenadas do ponto médio são

2

5;1M , mas podemos aplicar a fórmula que dermina as coordenadas do ponto de modo á

certificar o resultado encontrado:

2

5;1

2

23;

2

31

2;

2);( 2121 yyxx

yxM

Determinação de pontos de intersecção de duas rectas conhecidas as suas

equações.

Sejam r e s duas rectas

r : 11 bxmy e s: 22 bxmy

O ponto de intersecção das duas rectas, caso exista, é a solução do sistema

Se o sistema é impossivél sa rectas são estritamente paralelas.

Se o sistema tem infinidade de soluções ou indeterminado , as rectas são coincidentes.

Veja as representações geometricas dos trê itens anteriores asseguir do sistema abaixo:

22

11

bxmy

bxmy

Recordar primeiro, a resolução de sistema de equações lineares a duas incógnitas e as

classificações das respectivas soluções ( possivél- determinado e indeterminado e

impossível).



y r y r = s

0y

0 0x x 0 x

(a) s (b)

y

r

s

x

(c)

(a) : As rectas r e s são concorrentes. O sistema tem uma única solução 00 ; yx

(b): r e s são coincidentes.O sistema tem uma infinidade de soluções.

As soluções do sistema são soluções da equação r ou s

(c): r e s são estritamente paralelas.O sistema não tem solução.



Cálculo da distância de um ponto a uma recta.

A distância entre o ponto );( 11 yxA e a recta r no plano definida por 0 cbyax é a

distância entre A e sua projecção ortogonal, 0A , sobre a recta r.

Ver a figura:

y

):( 21 yxA r

);( 000 yxA

x

De acordo com a figura representada acima , podemos afirmar que a distância d(A,r) do ponto

):( 21 yxA á recta r dada por 0 cbyax pode ser obtida pela fórmula abaixo:

22

11,

ba

cbyaxrAd

Exemplo:

Determina a distância do ponto P (1 , -2) á recta r dada por 0643 yx

5

11

25

11

43

6)2(41.3,

2222

11

ba

cbyaxrPd



Equação da circunferência de centro e raio dados

Chama-se circunferência ao conjunto de todos os pontos do plano que têm uma distância fixa r -

raio de um ponto fixo C – centro.

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, podemos facilmente encontrar a equação da

circunferência

y

y

1y

1x x

x

Se 11 ; yx é o centro e r é o raio, aplicando o Teorema de Pitagóra teremos:

22

1

2

1 ryyxx ( equação da circunferência);

Quando o centro coincide com a origem do sistema de coordenadas, a equação

transforma-se em: 222 ryx

Exemplo:

a) Escreva uma equação para a circunferência de centro C (-1 , 3) e raio r=4.

0662662

169612431

2222

2222222

1

2

1

yxyxyxyx

yyxxyxryyxx

b) Vamos descrever o gráfico da equação 096422 yxyx



Uma vez que a equação é quadrática e os coeficientes 22 yex , são iguais, isto sugere que o

gráfico é uma circunferência.Rearranjando os termos e completando os quadrados, obtemos:

222

2222

232

94996440964

xx

yyxxyxyx

Deste modo , o gráfico da equação dada é uma circunferência de centro C(2 , -3) e raio r=2.

Equação da elipse

A elipse é uma curva plana descrita por um ponto P que se desloca de modo que a soma de suas

distâncias 21 PFPF a dois pontos fixos 21 FeF do seu plano permance constante. Os pontos

fixos clamam-se Focos da elipse.

Ver a figura : ( manual de Matemática, 11ª Classe,longman, pag.89).

Sejam dados os focos pelas suas coordenadas, 0,1 cF e 0,2 cF e 2a soma constante, com

ca . Seja P (x , y) um ponto qualquer da elipse. De acordo co a definição da elipse, temos

aPFPF 221 ou pelas coordenadas:

aycxycxaPFPF 20022222

21 ( deduza a fórmula até

encontrar a equação da elipse do tipo 12

2

2

2

b

y

a

x ou 222222 bayaxb )

Se a = b os dois eixos serão iguais, e estaremos perante uma circunferência.

Se as coordenadas dos focos fossem ( 0, -c) e (0 , c) , o eixo maior estaria sobre o eixo

dos y. e assim a equação da elipse seria: 12

2

2

2

b

y

a

x

Quando o centro da elise é um ponto ( h,k) e o eixo maior é paralelo ao eixo dos x,

verifica-se que a equação toma a seguinte forma:

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx ou se o eixo maior é paralelo ao eixo dos y:

1

2

2

2

2

a

ky

b

hx

Para qualquer dos dois casos, a forma geral da equação da elipse é:



022 FEyDxByAx , desde que A e B concordem em sinal.

Exemplo:

1. Escreva uma equação para cada uma das seguintes elipses:

y

2

-4 4 4 x

-2

(a)

1641416

124

1 2222

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyxyx

b

y

a

x

y

5

4

(b) 1 3 5 x

C(3 , 4) , a =5-3=2 e b =5-4=1

14

4

31

1

4

2

31

22

2

2

2

2

2

2

2

2

xxyx

b

ky

a

hx



2. Esboce uma representação gráfica para as seguintes elipses:

a)

1

2

2

8

18241

9891616412081624

2222

2222

yxyx

yyxxyxyx

b) 143

1169

1144

9

144

16144916

2

2

2

2222222

yxyxyxyx

y

4

-3 3 3 x

-4

Equação da hirpérbole

A hipérbole é uma curva plana descrita por um ponto P que se desloca de modo que a diferença

das suas distâncias 21 PFPF a dois pontos fixos 0,1 cF e 0,2 cF do seu plano permanece

constante, igual a 2a, sendo a a constante que satisfaz a condição ca .



Ver a figura:

y

2B

1F 1A 0 2A 2F x

r 1B s

Na figura acima, temos os seguintes elementos:

Focos: os pontos de 21 FeF

Vértices: os pontos 21 AeA

Centro:o ponto O, que é o ponto médio de 21 AA

Semi-eixo real: a

Semi-eixo imaginário:b

Semi-distância focal:c, metade da distância 21FF

Distância focal: cFF 221

Eixo real: aAA 221 ( contém os focos, denominando-se também eixo de transverso)

Eixo imaginário ou eixo conjugado: bBB 221 ( b>0 e tal que 222 cba )



Assimptotas: As rectas r e s

Vamos agora deduzir a equação da hipérbole.Seja P (x,y) um ponto qualquer da hipérbole.De

acordo com a definição da hipérbole, temos:

22222222222222222

222222222222

22222222222

2222

21

2.2

4442442

442

2002

acayaxacycxcxaaaxcacx

ycxaaxcycxcxycxaaycxcx

ycxycxaaycxycxaycx

aycxycxaPFPF

Recordar que 0222222 acbcba 12

2

2

2

b

y

a

x

Se as coordenadas do foco forem 0,1 cF e 0,2 cF , a equação é: 12

2

2

2

a

y

b

x

As equações das assimptotas são xa

by , quando o eixo dos x surporta o eixo

transverso, e xb

ay , quando o suporte do eixo transverso é o eixo dos y.

Quando o centro da hipérbole não é o ponto (0,0), mas um ponto ( h,k), e o eixo

transverso for paralelo ao eixo dos x, verifica-se que a equação toma a seguinte forma:

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx ou 1

)()(2

2

2

2

a

ky

b

hx se os focos forem (0 ,-c) e (0, c).

A forma geral da equação da hipérbole de eixos paralelos aos eixos coordenados é

: 022 FEyDxByAx

Exemplo:

Faça a representação geométrica da hipérbole cuja a equação é: 364 22 yx

Escreva as equações das assimptotas.




1.Dados os pontos A(2 , 3) , B(4 , -2), C(3, 7) e D(5, -4), representa no sistema de coordenadas

os pontos os vectores:

a)

AB b)

DC c)

BC d)

AD2

1

2.Determine a extremidade do vector )4,3(

AB , se M(5, 2).Represente o vector

AB no sistema

de coordenadas.

3.Determine o ponto inicial do vector )3,2(

AB , se a sua extremidade coincide com o ponto

(-1, 2).Represente o vector

AB no sistema de coordenadas.

4.Escreva a equação reduzida da recta r sendo:

a)(x,y) = (1, 2) + k(3, 1), uma equação vectorial da recta.

b)A(1, 0) um ponto da recta e )5,1(

v um vector derector;

c)A(1, 2) e B(5, 6) dois pontos da recta.

5.Determine uma equação da recta que:

a)passa pelo ponto (-4, 3), com coeficiente angular 2

1.

b)passa pelo ponto (2, 0), com uma declividade de 4

1.

5.Determine uma equação da recta que passa pelos pontos (-2, -3) e (4, 2).

7.Determine a equação da recta que passa pelo ponto(-2, 3) e é perpendicular á recta

.0632 yx

8.Determine a equação da recta que passa pelo ponto A(2, -3) e é paralela á recta que passa pelos

pontos P (4, 1) e B(-2, 2).

9.Determina a distância entre:

a)os pontos A(-3, 1) e B(2, 0). b)da origem do sistema ao ponto P(3, -4).



10.Dados os pontos P(2, -5) e Q(-1, 1), determine o ponto R(x,y) que divide o segmento PQ .

11.Determine o ponto médio M do segmento AB , comA(8, -3) e B(-11, 5).

12.Determine a distância d do ponto P(1, -2) á recta r dada por .0643 yx

13.Dado o triângulo A(-2, 1), B(5, 4) e C(2, -1), determine o comprimento da altura traçada do

vértice A e a área do triângulo.

14.Escreva a equação e esboça a circunferência de centro no ponto (-2, 3) e raio 4.

15.Dada uma circunferência de equação 0145322 yxyx , determina as coordenadas

do centro e o raio.

16.Determina uma equação da circunferência cujo centro é (-4,2) e o diâmetro é 8.

17.Determine uma equação da circunferência cujo centro é a origem e corta ao eixo das abcissas

e m 6.

18.Determina a equação e faz esboço da elipse com centro na origem e eixo maior igual a 6

sobre o eixo dos x e eixo menor igual 4.

19.Encontra a equação da elipse que tem centro na origem, eixo maior sobre o eixo dos x e passa

pelos pontos (4, 3) e (6, 2).

20.Determine as coordenadas dos focos da elipse 04559 22 yx .

21.Determina uma equação da elipse cujo o eixo maior mede 10 e cujas coordenadas dos focos

são )1,2(1 F e )5,2(2F .

22.Determina o centro e os focos da seguinte elipse: .05246416 22 yxyx

23.Dada a equação da hipérbole 197

22

yx

, faz o esboço e determine as coordenadas dos:

a) vértices b) Focos

24.Encontre a equação da hipérbole de centro em (-4, 1), um vértice em (2, 1) e semi-eixo

conjugado igual a 4.



25.Determina, para uma hipérbole cuja equação é ;01996418169 22 yxyx

a)o centro b)os vértices c)os focos

d)as equações das assimptotas e) o esboço da hipérbole

26.Dois receptores de som distanciados de 10 km recebem o sinal de uma explosão. O receptor

A recebe a informação 2 segundos depois do receptor B.

O som desloca-se a uma velocidade de 340 m/s.Onde terá acontecido a explosão?



Unidade temática VI:Funções,equações e inequações trigonométricas

Objectivos específicos:

Identificar a função, a equação e inequação trigonométrica;

Representar graficamente as funções sen(x), cos(x), tg(x) , cotg(x), y = Asen(Bx+C)+D e

y =Acos(Bx+C)+D, como funções reais de variável real;

Identificar a periodicidade das funções trigonométricas;

Interpretar a periodicidade das funções trigonométricas;

Fazer o estudo completo das funções sen(x), cos(x), tg(x) , cotg(x), y = Asen(Bx+C)+D

e y =Acos(Bx+C)+D;

Aplicar a fórmula de seno e co-seno na resolução de problemas reais aplicando

triângulos;

Aplicar as fórmulas da soma e diferença, ângulos duplos, bissecção de ângulos e do

produto e da soma na resolução de problemas práticos da vida;

Identificar as equações e inequações trigonometricas;

Resolver as equações e inequações trigonométricas;

Transformar a fórmula da soma em produto.



Funções trigonométricas- seno, co-seno e tangente

Num circulo trigonométrico, há uma correspondência entre as amplitudes dos ângulos e os

números reais.Cada amplitude de um ângulo corresponde a um e um só número real, que é o seu

seno ou os seu co-seno.No circulo trigonométrico, a medida do comprimento de um arco é igual á

medida, em radianos do ângulo ao centro correspondente.Em notação matemática, o seno e co-seno são

representados por sen e cos.

A cada ângulo de amplitude

kx 2

, onde Zk , corresponde um e um só número real que é a sua

imagem. Em notação matemática, a tangent representa-se por tan ou t g.

A tangent de um ângulo do 1° quadrante ou 3° quadrante é dada pela ordenada do ponto de intersecção

do eixo t com o lado extremidade ad ângulo ( num circulo trigonométrico)

y

B tg(x)

Sen(x)

A x

Cos(x)

t

Em suma teremos o seguinte:

)()(,;)( xsenxfIRxxsenx

)cos()(,;)cos( xxfIRxxx

Zkxtgxfkxxtgx ,)()(,2

;)(

0



Representação gráfica de funções trigonométricas

Função seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função seno à função que

associa a cada x ∈ R o número (senx) ∈ R. Indicamos essa função por:

)()( xsenxf

O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo

valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades da função seno

1.Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=IR.

2.Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo Im 1;1

3.Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k e em Z:

sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )

Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )

para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0

sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

A função seno é periódica de período fundamental T=2 .

4.Zeros: Zkkx ,



5.Maximos: Zkkx ;22

6.Mínimos: Zkkx ;22

3

7.Sinal:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função seno positiva positiva negativa negativa

8.Monotonicidade:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função seno crescente crescente decrescente crescente

9.Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que: )()( xsenxsen

Função Co-seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função

que associa a cada x ∈ R o número (cosx) ∈ R. Indicamos essa função por:

)cos()( xxf

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo

valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.



Propriedades da função cosseno

1.Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.

2.Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}

3.Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:

cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )

Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )

Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então

cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

A função cosseno é periódica de período fundamental T=2

4.Zeros: Zkkx ,2

5.Maximos: Zkkx ;2

6.Mínimos: 12;2 kxouZkkx

7.Sinal:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função cosseno positiva negativa negativa positiva

8.Monotonicidade:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente

9.Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

)cos()cos( xx



Função Tangente

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função tangente à função

que associa a cada

kxIRx 2

: o número (tgx) ∈ R. Indicamos essa função por:

)()( xtgxf

O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite.

Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades

1.Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma

k2

onde k em Z, temos

ZkkxIRxDom ;2

:(tan)

2.Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=IR.

3.Periodicidade A função é periódica e seu período é , onde

ZkkxIRx ;2

:

4.Zeros: Zkkx ,



5.Sinal:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função tangente positiva negativa positiva negativa

6.Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos

kx 2

, k

inteiro, onde a função não está definida..

7.Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-

se que:

)()( xtgxtg

Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos

considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função

cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

)(cot)( xgxf

O gráfico da função cotangente, no cartesiano, será uma curva denominada cotangentóite.

Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico

Propriedades

1.Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kx , onde k em Z, temos

ZkkxIRxgDom ;:)(cot



2.Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim

I=IR.

3.Periodicidade A função é periódica e seu período é

4. Zeros: Zkkx ,2

5.Sinal:

Intervalo

2;0

;

2

2

3;

2;

2

3

Função tangente positiva negativa positiva negativa

6.Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos kx ,

k inteiro, onde a função não está definida.

7.Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

)(cot)cot( xgx

Estudo de uma função trigonométrica

Para se fazer o estudo completo de uma função deve determinar-se o seu domínio,

contradomínio, ordenada na origem, os zeros, o máximo e mínimo, assim como fazer o seu

esboço gráfico.

Exemplo:

Dada a função trigonométrica )cos(3)( xxf .

a) Indicar o domínio de )(xf : }{ IRxD

b) Determinar o contradomínio de )(xf :A função cos(x) tem contradomínio 1;1 ;

O contradomínio de )(xf será

4;2)(4)(24)cos(3231)cos(3311)cos(1 xfxfxxx

c)Calcular a ordenada na origem: .4)0cos(3)0()cos(3)( fyxxfy



d)Determinar a expressão dos zeros: 3)cos(0)cos(30)( xxxfy ( impossível,

pois não existe um ângulo cujo o cos deste ângulo seja igual a -3 ).Então )cos(3)( xxf não

tem zeros.

e) Escrever a expressão geral dos máximos de )(xf :

O contradomínio de 4;2)( xf , significa que o máximo é 4max y , logo

)0cos()cos(1)cos(34)cos(4)cos(3 xxxx .

Os máximos de )(xf são do tipo Zkkx ,2

f) Escrever a expressão geral dos mínimos de )(xf :

2min y , logo )cos()cos(1)cos(32)cos(2)cos(3 xxxx .

Os mínimos de )(xf são do tipo Zkkx ,2

g) Esboçar o gráfico de f :



Transformações de gráficos das funções trigonométricas

A utilização das funções trigonométricas na modelação de situações reais é uma das mais

importante aplicações do estudo da trigonométria.

Para resolver este tipo de problemas é importante conhecer os efeitos nos gráficos das funções

porovocados pela introdução de parâmetros nas funções )cos()( xyexseny .

Funções do tipo )cos()( xAydeexAseny com 0A

Como se obtém o gráfico de )(3 xseny apartindo do gtráfico ?)(xseny E ?)(2

1xseny

Veja a representação gráfica das funções dadas acima.

gráfico

Obtém o gráfico de )sin(3 xy partindo do gráfico de )sin(xy , fazendo uma extensão

na vertical segundo o factor 3.

Obtém–se o gráfico )sin(2

1x , fazendo uma contração na vertical segundo o factor

2

1 e,

em seguinda, obtendo o gráfico simétrico relativamente ao eixo das abcissas.



De uma forma generalizada teremos o seguinte:

Funções do tipo 0cos)sin( BcomBxydeeBxy

Como se obtém o gráfico de )2sin( xy partindo do gráfico xy sin ?

gráfico

Obtém-se o gráfico de xy 2sin partindo do gráfico de xy sin efectuando uma contracção

na horizontal segundo o factor 2.

Sendo 0)cos()sin( AcomxAyouxAy :

A amplitude

1A produz uma extensão na vertical

1A produz uma contracção na vertical

A<0produz uma simétria relativamente ao eixo ox



Observemos agora, os gráficos de .2

1cos)cos(

xydeexy

Repare que o periodo da função

xy

2

1cos é

4

2

1

2 s

Como se altera o periodo da função também se altera a expressão geral dos zeros.

De uma maneira geral teremos o seguinte:

Sendo .0,cos)sin( BBxyouBxy

Periodo: B

P2

.

1B produz uma contracção na horizontal

1B produz uma extensão na horizontal.

Zeros

BxyparaZkB

k

BxyparaZkB

cos,2

sin,2



Funções do tipo DCBxAydeeDCBxAy cos)sin(

Considere a função 32

sin2)(

xxf

Veja a representação gráfica da função dada.

O gráfico da função 32

sin2)(

xxp pode ser obtido a partir do gráfico de )sin()( xxf

seguindo os passos:

Transladar o gráfico de )sin()( xxf para 2

unidades aolongo do eixo dos x para obter

o gráfico de

2sin)(

xxh .

Faz-se uma extensão do gráfico

2sin)(

xxh ao longo do eixo dos y em 2 unidades

para obter

2sin2)(

xxg .



Faz a transladação de

2sin2)(

xxg ao longo do eixo dos y em 3 unidades para

cima para obter o gráfico de 32

sin2)(

xxp .

Resumo:

Resolução de triângulos: Fórmulas dos senos e dos co-senos.

A fórmula dos co- senos é utilizado para resolver triângulos dos quais se conhecem os

comprimentos de três lados ou dois lados e o ângulo por eles formados.

Contudo, a fórmula dos co-senos não é adequada para os seguintes casos:

Conhecem-se os dois ângulos e um lado ( ALA e AAL );

Conhecem-se dois lados e um ângulo que não seja definido pelos lados conhecidos (LLA)

Para estes casos utiliza-se, na resolução de triângulos, a fórmula dos co-senos

Nas funções do tipo DCBxAydeeDCBxAy cos)sin( :

1. A está relacionado com amplitude (amplitude = A)

2. B está relacionado com periodo

BT

2

3. C está relacionado com uma translação horizontal de C unidades, mas se:

C > 0 produz uma deslocação para direita

C < 0 produz uma deslocação para esquerda

4. D está relacionado com uma translação vertical de D unidades, mas se :

D > 0 produz uma deslocação para cima

D < 0 produz uma deslocação para baixo



Consideremos o triângulo asseguir:

B

a h b

A C

c

De acordo com o triângulo acima tem-se:

Aaha

hA sin.sin

Cbhb

hC sin.sin

A

b

C

aCbAa

sinsin

sin.sin.

B

a b h

A c C

Na figura acima, temos que:

Cbhb

hC sin.sinsin

Aaha

hA sin.sin

A

b

C

a

sinsin



Por simetria, podemos concluir-se que a fórmula dos senos

Exemplo1:

A figura representa um triângulo ABC com os seguintes dados:

4263,8 BeAcmAC , determine os valores de a e c e o perimetro do triângulo ABC .

C

8 cm a

A c B

Resolução:

Neste exercício podemos aplicar a fórmula dos senos para achar os valores de a e c, assim

asseguir:

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

.65,10)42sin(

)63sin(8

)42sin(

8

)63sin(sinsin

cmaa

B

b

A

a

Para achar o valor de c,é necessário calcular o valor do ângulo C, assim sendo teremos o

seguinte:

754263180C

Se ABC é um triângulo e a , b ,e c são comprimentos dos lados opostos aos ângulos A, B, e C

respectivamente, então:

C

c

B

b

A

a

sinsinsin



cmcc

C

c

B

AC55,11

)42sin(

)75sin(8

)75sin()42sin(

8

sinsin

Para determinar o perimetro da figura é importante conhecer a medida de cada lado, acima

calculadas, então a fórmula do perímetro

será: cmcmcmcmPcbaP 2,3055,1165,108

Exemplo 2: Calcule os valores x e y respectivamente nos seguintes casos mencionados com

4560 CeB B D y E

8 cm 30º

(a) (b) 4cm 120º

A x C

F

(a)2

38

2

38

2

2

2

38

)45sin(

)60sin(8

)60sin()45sin(

8

x

x

(b) 34

2

12

34

)30sin(

)120sin(4

)30sin(

4

)120sin(

y

y.

Fórmula dos co-senos

Quando foi feito o estudo da construção de triângulos foi dito que é possível construir um

triângulo conhecidos os comprimentos dos três lados (LLL) ou dois lados e o ângulo por eles

formados (LAL).Para estes dois casos há uma fórmula conheida pela FÓRMULA DOS CO-

SENOS que pode ser utilizada na resolução de triângulos acutângulos ou obtusângulos.



Observemos atentamente a figura seguinte:

B

c h a

A k b-k C

b

Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS, teremos o seguinte:

222 khc , mas 222222 kbahkbha , substituindo em 222 khc ,

teremos

a

kbabbac

kbbbacbkbbabkbbbac

kkbkbackkbackhc

2

2222

2

222

22222222222

222222222222

Mais no triângulo acima a

kbC

cos , então:

Cabbac cos.2222

Observemos agora o outro tipo de triângulo .

B

c a h

A b C k

B+k

222 kbhc , mais 222222 kahkha

a

kabbabkbackbkbkackbhc 222 2222222222222



Na figura acima temos: a

kC

cos , assim

Cabbac cos2222

Em qualquer dos casos provou-se que

Cabbac cos2222 .

Por simetria, pode concluir-se a fórmula dos co-senos será resumida da seguinte maneira:

Se ABC é um triângulo e a, b e c são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos A, B e C,

respectivamente, então:

Cabbac cos2222 B

Baccab cos2222 c a

Abccba cos2222 A b C

Exemplo1:

Um faraol representado pelo ponto F, está a 3 km da casa do guarda, ponto G, e a 6 km da

Polícia Marítima, ponto P.

O ângulo GFP tem de amplitude 130°. Qual é a distância por terra, em linha recta, da casa do

guarda á polícia?

Resolução:

Comecemos por fazer um esquema representativo e assinalar os dados.

G

f =3km

F 130° f

g = 6km

P



kmFpggpf 7124,52)130cos(6.3.263cos2 22222

Exemplo2:De um triângulo conhecem-se os comprimentos dos lados: 19 cm, 13 cm e 12

cm.Determine as amplitudes de um dos ângulos do triângulo .

Resolução: Primeiro desenhar o triângulo com as medidas dadas

C

13 cm

12 cm

A 19 cm B

Podemos achar o ângulo

B :

6,387813,0cos7813,0494

386

494

144361169cos

cos19.13.2191312cos2

1

222222

BB

BBaccab

Fórmulas trigonométricas do seno e co-seno da soma e diferença de dois

ângulos.

Co-seno da diferença de dois ângulos: sinsincoscoscos

Considere-se a figura seguinte:

y

1 A α-β

B

-1 1 x

1

α β

0



Para demonstrar esta fórmula usa-se a definição de produto escalar de dois vectores e tem-se:

sin;cosA , sin;cosB e 0;00

sin;cos00

AA e sin;cos00

BB

Aplicando as definições de produto escalar de dois vectores teremos o seguinte:

sin.sincos.cossin,cos.sin,cos0.0

BA

Mais,

cos0,0cos,10,1sincos0,0,0cos.000.0 22 BABABABABA

Então:

sin.sincos.coscoscos.1.10.00,0cos.000.0

BABABABA

c.q.d

Exemplos:Obtenha o valor exacto de:

a)2

3

2

3.1

2

1.0

3sin

2sin

3cos

2cos

32cos

6cos

b) 4

6

4

2

2

2

2

3

2

2

2

1

4sin

3sin

4cos

3cos

43cos

12cos

c) 2

245cos1459cos14sin59sin14cos59cos

Co-seno da soma de dois ângulos: sinsincoscoscos

Esta demonstração é simples , pois

sinsincoscos,coscos e .

Aplicando o conhecimento do cos , teremos o seguinte:

dqc ..sinsincoscossinsincos.coscoscos



Exemplos:Obtenha o valor exacto de :

a)2

3

2

3.1

2

1.0

3sin

2sin

3cos

2cos

32cos

6

5cos

b) 4

6

4

2

2

2

2

3

2

2

2

1

4sin

3sin

4cos

3cos

43cos

12

7cos

c) 02

3.

2

1

2

1.

2

3

3sin

6sin

3cos

6cos

36cos

2cos

Seno da diferença de dois ângulos: sincoscossinsin

Para demonstrar esta fórmula basta ter em consideração que:

2cossin

sin2

sincos2

cos2

cos2

cossin

Recordar que:

cos2

sinsin2

cos

e , assim sendo temos:

sincoscossinsin

Exemplos:Obtenha o valor exacto de:

a)2

1

2

3.0

2

1.1

3sin

2cos

3cos

2sin

32sin

6sin

b) 4

2

4

6

2

2

2

1

2

2

2

3

4sin

3cos

4cos

3sin

43sin

12sin

c) 11.102

sincos2

cossin2

sin2

cos

Seno da soma de dois ângulos: sincoscossin Sin

Esta demonstração é simples , pois

sinsincoscos,sinsin e .



Aplicando o conhecimento do sin , teremos o seguinte:

dqc ..sincoscossinsincoscos.sinsinsin

Exemplos:Obtenha o valor exacto de :

a)2

1

2

3.0

2

1.1

3sin

2cos

3cos

2sin

32sin

6

5sin

b) 4

2

4

6

2

2

2

1

2

2

2

3

4sin

3cos

4cos

3sin

43sin

12

7sin

c) 14

3

4

1

2

3

2

3

2

1.

2

1

3sin

6cos

3cos

6sin

36sin

2sin

Fórmulas do ângulo duplo

Sabemos que yxyxyx sincoscossinsin e yxyxyx sinsincoscoscos ,

então:

)cos()sin(22sinsincoscossinsin2sin xxxxxxxxxx

)(sin)(cos)2cos(sinsincoscos2cos 22 xxxxxxxx

Exemplos:

a) .12

2

2

22)45cos()45sin(245.2sin90sin

b) .2

3

2

3

2

12)30cos()30sin(230.2sin60sin

c) 1012

sin2

cos2

2coscos 22

d) 2

1

4

2

4

1

4

3

2

1

2

330sin30cos30.2cos60cos

22

22



Fórmulas de bissecção de ângulos

Consideremos a seguinte fórmula: )(sin)(cos2cos 22 xxx

Como )(sin1)(cos1)(cos)(sin 2222 xxxx , vem )(sin)(sin12cos 22 xxx ou seja

IRxx

xx

xxxxx

,2

)2cos(1)sin(

2

)2cos(1)(sin)2cos(1)(sin2)(sin212cos 222

Fazendo uma mudança de variável

22

txtx , podemos escrever:

IRttttt

ttt

t

,

2

)cos(1

2sin

2

)cos(1

2sin)cos(1

2sin2

2sin21cos 222

De forma análoga, podemos obter a fórmula: IRttttt

,

2

)cos(1

2cos

2

)cos(1

2cos 2

Podemos encontrar outras fórmulas:

2cos

2sin2)sin()sin(

yxyxyx

2cos

2cos2)cos()cos(

yxyxyx

2cos

2cos2)sin()sin(

yxyxyx

2sin

2sin2)cos()cos(

yxyxyx

Exemplos

a) 2

32

4

32

2

2

31

2

)30cos(1

2

30sin)15sin(

b) .2

2

2

1

2

1

2

)90cos(1

2

90sin)45cos(



c)

2cos

2

5sin2

2

23cos

2

23sin2)2sin()3sin(

xxxxxxxx

d) )sin()3sin(2

1

2

3cos

2

3sin

2

2cos

2

4sin)cos().2sin( xx

xxxxxxxx

Equações trigonométricas

Uma equação trigonométrica é uma equação em que a variável está associada a uma expressão

trigonométrica.

Por exemplo:

a)2

1)sin( x b) 0)2sin( x c) 01)cos(2 x d) 3)2cos(2 x e) 1)( xtg

f) 13

xtg g) 3

1)(cot xg h) 3)2(cot xg i)

2

2

2sin

x

Na resolução de problemas que envolvem funções trigonométricas levanta-se muitas vezes uma

equação trigonométrica.Por isso, é muito relevante aprender a resolver com certeza ou rigor

equações trigonométricas.

Equações do tipo ax )sin(

Quando se diz para resolver a equação trigonométrica , em IR, pretende-se que as soluções

sejam apresentadas em radianos.

De um modo geral, para resolver uma equação do tipo ax )sin( , procede-se do seguinte

modo: y

1

a

-1 1 x

-1

a

π-α α



1.No circulo trigonométrico assinala-se α e π-α

2.No sistema circular teremos : .,2

2)sin( Zk

kx

kxax

3.No sistema sexagesimal : .,360180

360)sin( Zk

kx

kxax

4.Escrever-se em radianos ou em graus a expressão geral das soluções

Exemplos:Resolve as equações seguintes

a) 2

1)sin( x

y

2

150° 30°

1 0 x

2

3

Observa que

150301802

1)150sin(,

2

1)30sin( e ,então )30180sin()150sin()30sin(

Recorrendo a fórmula .,2

2)sin( Zk

kx

kxax

teremos:

Zk

kx

kx

Zk

kx

kx

xx

;

26

5

26

.,

26

26

6sin)sin(

2

1)sin(

2

1



ZkkxkxIRxS ;26

52

6:

b) Zk

kx

kx

kx

kx

xx

,

26

73

22

3

263

3

263

3

6sin

33sin

2

1

33sin

ZkkxkxIRxS ;26

72

2:

Equações do tipo ax )cos(

Depois de se ter compreendido a resolução de uma equação do tipo ax )sin( é muito simples

resolver uma equação do tipo ax )cos( .

Observe a figura seguinte:

y

α

x

-α

1.No circulo trigonométrico assinala-se α e –α

2.No sistema circular : .;22 Zkkxkx

3.No sistema sexagesimal: ..,360.360. Zkkxkx

4.Escreve-se a expressão geral das soluções

a



Exemplos:

a) 2

1)cos( x

Observe atentamente o circulo trigonométrico.

y

60°

x

-60°=330°

Observe que 2

1)60cos(

2

1)60cos( e , então

2

1)60cos()60cos(

Conclui-se que: se .;22)cos()cos( Zkkxkxx

Esta 2

1)cos( x equação pode ser resolvida aplicando a fórmula anterior.

.;23

233

cos)cos(2

1)cos( Zkkxkxxx

ZkkxkxIRxS ,23

23

:

2

1



b)

Zk

kx

kx

kx

kx

Zk

kx

kx

xxx

8

8

7

24

2

24

72

24

32

24

32

4

3cos)2cos(

2

2)2cos(2)2cos(2

ZkkxkxIRxS ,8

7

8:

Equações do tipo axtg )(

A resolução da terceira equação fundamental da trigonométria, baseia-se no facto de que, se dois

arcos têm a mesma tangente, então eles são geometricamente congruentes ou têm suas

extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.

Recordar que : )(cot)(cot)()( xgxgextgxtg , se acontece teremos:

Zkkx

kx

xgxg

xtgxtg

)(cot)(cot

)()(, mas

e

2

O conjunto solução dessa equação será, portanto: ZkkxIRxS ,:



Exemplos: Resolva as seguintes equações trigonometricas.

a) Zkkxtgxtgxtg

,

33)(3)(

;

ZkkxIRxS ,3

:

b) Zkkxtgxtgxtg

,

3

2

3

2)(3)(

;

ZkkxIRxS ,3

2:

c) Zkkxtgxtgxtg

,

66)2(

3

3)2(

;

ZkkxIRxS ,6

:

d) Zkkarctgxxtg

,

3

1

3

1)( ;

ZkkarctgxIRxS ,

3

1:

e) Zkkxkxtgxtgxtg

,

12

7

43431

3

ZkkxIRxS ,12

7:

f)

Zkkx

Zkkxkxgxgxg

,3

1

36

7

,12

73

433

4cot

3cot1

33cot

ZkkxIRxS ,3

1

36

7:

e)

kxkxkxgxgxg2

1

12

7

6

72

62

6cot)2(cot32cot

ZkkxIRxS ,2

1

12

7:



Inequações trigonométricas

Como resolver uma inequação trigonométrica do tipo ?2

1)sin( x Procura se no circulo

trigonométrica todos os arcos x que satisfazem a condição 2

1)sin( x .

Veja a visualização da condição no circulo trigonométrico:

y

150° 30°

x

No intervalo 360;0x , a solução é 6

5

615030

xx

Em geral, a solução da inequação 2

1)sin( x é

ZkkxkIRxS ,26

52

6:

Como resolver uma equação trigonométrica dp tipo 2

1)cos( x ? Vamos seguir o ideia

anterior ou seja visualizar a condição no circulo trigonométrico e veja asseguir:

y

60°

x

-60°



A solução da inequação 2

1)cos( x é

ZkkxkIRxS ,23

23

:

Como resolver inequação trigonométrica do tipo 3

3)( xtg ?

A solução da inequação 3

3)( xtg pode ser encontrada em vários troços , se for para visualizar

gráficamente.( esboce o gráfico da função )(xtgy e verifique a condição dada 3

3)( xtg ).

Para 2;0x ,temos 2

3

6

7

26

xx

Usando circulo trigonométrico a solução geral da inequação trigonométrica encontrada é:

ZkkxkIRxS

26:




1.Dada as funções

xxf

3

1sin23)( e )3cos(3)( xxg

a) Determine o contradomínio das funções.

b) Escreva a expressão dos máximos , minímos e periodo de )()( xgexf

c) Calcule a ordenada na origem d)Esboce o gráfico de )()( xgexf

2.Encontre o contradomínio , a ordenada na origem das funções seguintes:

a) )2cos(31)( xxf b) )(cos31)( 2 xxf c) )2sin(31)( xxf d)

xxf

4

1cos3

3

2)(

3.Considere a função real de variável real definida por : )123cos(25)( xxf

a) Determine o contradominio da função. b)Determine o período da função.

4. Para cada uma das funções determine o período e o contradomínio:

a) )6cos()( xxf b) )3cos(3)( xxg c)

2

3sin31)(

xxh

5.Calcule o domínio da funções:

a) )3()( xtgxf b)

31)( 2

xtgxg

6.Considere a função )2cos(3)( xxf .

a) calcule

3

5

6

ff b) Encontre o domínio e o contradomínio de )(xf

c)Simplifique

4

xf

7.Esboce no intervalo 2;2 , os gráficos das seguintes funções:

a)

3sin2)(

xxf b)

3sin32)(

xxg

c) )2cos(1)( xxh d) )cos(3)( xxi



8.Demonstre as seguintes identidades:

a) 2)cos()sin()cos().sin(21 xxxx b)

x

xxx

cos2

sincos1)sin(

2

c) 2cossincossin22 xxxx d) xx

xx

xxcos.sin1

cossin

cossin 33

e)x

tgx

xx cos

2

sin1

1

sin1

1

f)

)(1

)(2)2sin(

2 xtg

xtgx

9.Resolve as seguintes equações:

a)2

1)3sin( x b)

2

2

42sin

x c) )sin()3sin( xx

d) 2

2205cos x d) 1

62cos

x e) 16

2cos

x

f)2

1

32cos

x g) 3)2(3 xtg h) 3)(2 xtg

i) 02

7sin21

x j) 0)2(sin2)2sin( 2 xx l) 0

2

1)402cos(

2

3)sin(

xx

m) 0)sin(2)(sin2 xx n) )sin()2cos( xx o) )sin()2sin( xx

10.Resolva as seguintes inequações:

a)2

1)sin( x b)

2

1

22sin

x c)2

2)2sin( x d)

2

1

3cos

x

e)2

3)cos(0 x f)

4

3)2(cos 2 x g)

4

11)(sin

2

1 2 x h) 1)2( xtg

i) 3)( xtg l) 14

xtg m)2

3)sin( x n) 0)4cos( x

0) 01)sin(3)(sin2 2 xx



11.Nos triângulos seguintes, calcule o valor de x e y.

a) b) 15°

y 60° 3 135°

x

45° 2

x

e) x d)

45°

3 2 100

30° x 105°

12.As diagonais de um rectângulo medem 20 cm cada uma e forma um ângulo de 60°. Qual é a

área deste rectângulo.

13.Calcula a área de um losango de lado 8 dm e que tem um ângulo de 130°

14.Dado um ABC ,a = 4 cm; b = 6 cm e

120C , calcule:

a) a área do triângulo b) o perímetro do ABC

introduÇÃoÁ lÓgica matemÁtica-junior

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