notas de aula: lÓgica, induÇÃo e iniciaÇÃo matemÁtica

Notas

deAula:

Lógica,Ind

ução

eIniciaçãoMatem

ática

NOTASDE AULA:LÓGICA, INDUÇÃOE INICIAÇÃOMATEMÁTICAAndré Luiz Galdino

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SUMÁRIO

31. Noções de Análise Combinatória 4

1.1 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto 41.2 Fatorial 12

1.3 Arranjos Simples e com Repetição 161.4 Permutações Simples e com Repetição 24

1.5 Combinações Simples 331.6 Coe�ciente Binomial e Binômio de Newton 38

2. Noções de Lógica Matemática 542.1 Cálculo Proposicional 55

2.2 Tabelas Verdade 672.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia 75

2.4 Implicação e Equivalência Tautológica 783. Enunciados, Demonstrações e Paradoxos 823.1 De�nições, Teoremas e Demonstrações 82

3.2 Tipos de Demonstrações 893.3 Paradoxos, So�smas e Falácias 96

4. Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos 1034.1 Princípio da Boa Ordenação 103

4.2 Princípio da Indução Matemática 1074.3 Princípio da Indução Completa 1144.4 Princípio da Casa dos Pombos 121

1. Noções de Análise Combinatória

Desde pequenos, aprendemos a contar. E é impossível imaginar uma vidasem contar, agrupar, escolher e assim por diante. Neste sentindo, a aná-lise combinatória vem nos fornecer técnicas para que possamos realizarcontagens com eficiência, brevidade e precisão. De forma geral, a análisecombinatória é fundamentada em dois princípios básicos: o Princípio daRegra da Soma e o Princípio da Regra do Produto. Além disso, suasprincipais ferramentas são o Arranjo, a Permutação e a Combinação.

1.1 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto

Definição 1.1. O Princípio da Regra da Soma nos diz que, se um eventoE1 pode ocorrer de m1 maneiras, um segundo evento E2 pode ocorrer dem2 maneiras, e assim sucessivamente até o n-ésimo evento En que podeocorrer de mn maneiras e, além disso, os eventos E1, E2, ..., En nãopodem ocorrer simultaneamente, ou seja, são eventos disjuntos, então onúmero total de ocorrências será dado pela soma:

m1 + m2 + m3 + · · · + mn.

Exemplo 1.2. Em uma sacola existem 7 bolas brancas e 5 bolas pretas.Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas participantes,sendo que cada pessoa deve pegar apenas uma bola da sacola?

Solução. Como cada pessoa pode pegar apenas uma bola da sacola,então 7 pessoas devem pegar uma bola branca cada e 5 pessoas devempegar uma bola preta cada. Uma vez que pegar uma bola branca oupegar uma bola preta são eventos disjuntos, pelo Princípio da Regra daSoma, temos que o número máximo de pessoas é dado por 7 + 5 = 12.

Exemplo 1.3. [Gentil et al. 1996] Três companhias de ônibus e 2 com-panhias de aviação cobrem o percurso entre as cidades A e B. De quantosmodos diferentes podemos viajar entre essas duas cidades?

Solução. A forma que escolhermos de viajar, ônibus ou avião, inde-pende uma da outra. Isto é, viajar de ônibus ou avião é uma opção, nãointerferindo uma escolha na outra, como mostra a Figura 1.1. Então,para irmos de A até B, podemos optar por: 3 maneiras diferentes, seformos de ônibus, ou 2 maneiras diferentes, se formos de avião. Logo,pelo Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades existentespara ir de A até B é 3 + 2 = 5.

4

A B A B

ônibus 1

ônibus 2

ônibus 3

Avião 1

Avião 2

Figura 1.1: Formas de viajar entre as cidadesA eB.

Definição 1.4. O Princípio da Regra do Produto, também conhecidocomo Princípio Fundamental da Contagem, nos diz que, se um eventoocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira si-tuação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo demn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado peloproduto:

m1 · m2 · m3 · · · · · mn.

Exemplo 1.5. Suponhamos que temos quatro caixas de diferentes cores:Verde, Laranja, Azul e Branca. De quantas maneiras diferentes podemosempilhar tais caixas sobre uma mesa?Solução. Na escolha da primeira caixa a ser colocada sobre a mesa há4 possibilidades: Verde, Laranja, Azul e Branca. Uma vez escolhida aprimeira caixa, digamos a Azul, na escolha da segunda caixa, a ser colo-cada sobre a primeira, temos 3 possibilidades: Verde, Laranja e Branca.Se a segunda caixa escolhida é a Verde, na escolha da próxima caixa te-mos 2 possibilidades: Laranja e Branca. Se escolhemos a terceira caixacomo sendo a Branca, para a quarta caixa, sem dúvida, haverá apenas1 possibilidade: Laranja.

Tabela 1.1: Possibilidades de empilhar as 4 caixas.

4a caixa 1 possibilidade

3a caixa 2 possibilidades



Então, temos 4 possibilidades para a 1a caixa, 3 possibilidades paraa 2a caixa, 2 possibilidades para a 3a caixa e 1 possibilidade para a 4a

caixa, como mostra a Tabela 1.1. Portanto, pelo Princípio Fundamen-tal da Contagem, o total de possibilidades, maneiras diferentes de seempilhar as caixas sobre a mesa, é 4 · 3 · 2 · 1 = 24 (veja Figura 1.2).

5

mesa

1a caixa

2a caixa3a caixa 4a caixa

3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa

1a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa

1a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa

1a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa


3a caixa 4a caixa

Figura 1.2: Árvore de possibilidades para empilhar as 4 caixas.

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Exemplo 1.6. [Gentil et al. 1996] Se uma pessoa tem 4 calças diferentese 3 camisas diferentes, de quantas formas ela pode se vestir?

Solução. Observando a árvore de possibilidades, Figura 1.3, vemos quena escolha da calça temos 4 possibilidades e, para cada calça escolhida,temos na escolha da camisa 3 possibilidades. Então, pelo Princípio Fun-damental da Contagem, o total de possibilidades é 4 · 3 = 12. Portanto,a pessoa possui 12 formas diferentes de se vestir.

pessoa

calça 4

camisa 3

camisa 2

camisa 1

calça 3

camisa 3

camisa 2

camisa 1

calça 2

camisa 3

camisa 2

camisa 1

calça 1

camisa 3

camisa 2

camisa 1

Figura 1.3: Árvore de possibilidades para a escolha das calças e camisas.

Exemplo 1.7. [Gentil et al. 1996] Para irmos da cidade A até a cidadeC, obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibuscobrem o percurso entre A e B, e duas companhias de aviação ligam B

e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C?

Solução. Para irmos de A até B temos 3 possibilidades diferentes deônibus, e para irmos de B até C temos 2 possibilidades diferentes deavião, como mostra a Figura 1.4a. Observe ainda que para cada escolhade ônibus, para ir de A até B, temos 2 opções de escolha de avião parair de B até C, como mostra a Figura 1.4b.

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Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibi-lidades existentes, modos diferentes que podemos viajar de A até C, é3 · 2 = 6.

A B C

ônibus 1

ônibus 2

ônibus 3

avião 1

avião 2

(a)Opções de viajar de A até C.

viajar

ônibus 3avião 2

avião 1

ônibus 2avião 2

avião 1

ônibus 1avião 2

avião 1

(b)Árvore de possibilidades.

Figura 1.4: Opções e árvore de possibilidades de viajar entre as cidadesA,B eC .

Exemplo 1.8. [Veia 2009] Suponha que você deseja ir da cidade A paraa cidade D, e tenha as opções observadas na Figura 1.5. De quantasmaneiras possíveis você poderá fazer a sua viagem escolhendo apenasum dos caminhos?

B

A D

C

Figura 1.5: Formas de viajar entre as cidadesA,B,C eD.

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Solução. Veja as seguintes opções para ir de A para D:

1a Opção: Ir de A para D passando por B.

A B D

Figura 1.6: Formas de viajar deA paraD passando porB.

Neste caso, temos que ir de A para B e depois de B para D. Comomostra a Figura 1.6 há apenas 1 possibilidade para ir de A para B

e apenas 1 possibilidade para ir de B para A. Logo, pelo PrincípioFundamental da Contagem, temos 1 · 1 = 1 possibilidade de irmos deA até D passando por B.

2a Opção: Ir de A para D direto.

A D

Figura 1.7: Formas de viajar deA paraD direto.

Aqui, sem dúvida, temos apenas 2 possibilidades para irmos de A paraD direto.

3a Opção: Ir de A para D passando por C.

A C D

Figura 1.8: Formas de viajar deA paraD passando porB.

Por fim, como mostra a Figura 1.8, temos 2 possibilidades para ir deA para C e 1 possibilidade para ir de C para D. O que dá 2 · 1 = 2possibilidades, segundo o Princípio Fundamental da Contagem. Ou seja,temos 2 possibilidades para ir de A até D passando por C.

É fácil ver que nenhuma das 3 opções apresentadas interferem umana outra, ou seja, aplicando o Princípio da Regra da Soma, o total depossibilidades que temos para ir de A até D é 1 + 2 + 2 = 5.

Note, que no Exemplo 1.8 usamos tanto o Princípio Fundamental daContagem quanto o Princípio da Regra da Soma.

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Exercícios Propostos

1. [Gentil et al. 1996] Quantos automóveis podem ser licenci-ados no sistema em que cada placa é formada por 2 letras(de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

2. Um comprador deseja comprar um veículo de uma conces-sionária. A concessionária tem 23 carros e 14 caminhões emestoque. Quantas possíveis escolhas o comprador pode ter?

3. [Gentil et al. 1996] O centro cívico de uma escola realizaeleições para preenchimento das vagas de sua diretoria.Para presidente, apresentam-se 5 candidatos; para vice-presidente, 8 candidatos; e para secretário, 6 candidatos.Quantas chapas podemos formar?

4. (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S1 e S2 e3 ruas ligando os supermercados S2 e S3. Quantos trajetosdiferentes existem para ir de S1 a S3, passando por S2?

5. Existem oito professores do sexo masculino e cinco profes-sores do sexo feminino para a disciplina de matemática dis-creta em uma universidade. De quantas formas um estu-dante pode escolher um professor?

6. (PUC/BA) Pretende-se pintar as quatro faixas horizontaisde uma bandeira usando-se no máximo quatro cores: azul,branca, verde e amarela. Se duas faixas consecutivas nãopodem ser pintadas de uma mesma cor, então determine onúmero de bandeiras distintas que poderão ser pintadas.

7. Quantos são os números naturais de dois algarismos que sãomúltiplos de 5?

8. Eu possuo 4 pares de tênis e 10 pares de meias. De quantasmaneiras poderei me calçar utilizando um par de meias eum de tênis?

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9. Considerando os mesmos últimos 4 dígitos do seu telefone,quantos números de quatro dígitos sem repetições de dígitosexistem?

10. [Escola 2014] Na criação da senha de uma conta bancária,o cliente é informado que deve ser feita uma combinação deseis números sem repetição. Os números utilizados devemser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Determine onúmero possível de senhas que podem ser criadas.

11. [Escola 2014] Em uma empresa de informática, o código deacesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letrase quatro números, sem repetição. Sabendo que o códigopode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro nú-meros entre 10 algarismos, determine o possível número decódigos que podem ser criados.

12. [Escola 2014] Quantos números de 3 algarismos podemos es-crever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

13. (FUVEST - 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitospara sua conta bancária. Nessa senha, somente os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismopode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa,Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é,o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. Dequantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

14. [Martins 2014] Quantos pratos diferentes podem ser solici-tados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tiposde arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedircerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigato-riamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

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1.2 Fatorial

Definição 1.9. Considerando n um número natural diferente de zero emaior que 1, definimos como fatorial de n, e denotamos por n!, o produtodado por:

n! = n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2) · (n ≠ 3) · · · · · 3 · 2 · 1.

Quando conveniente, e não oferecer dúvidas, omitiremos o símbolo “·”de multiplicação na expressão acima.

Note que na Definição 1.9 não consideramos n = 0 e nem n = 1. Noentanto, sem prejuízo podemos definir 0! = 1 e 1! = 1. Além disso, aDefinição 1.9 restringe o fatorial apenas aos números naturais, ou seja,se tivermos algo como (n ≠ 5)! temos, obrigatoriamente, uma condiçãode existência a ser satisfeita que é n ≠ 5 Ø 0, ou seja, n Ø 5.

Exemplo 1.10. Calcule o fatorial de 4, 5, 6 e 7.

Solução.

1) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

2) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

3) 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.

4) 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040.

Exemplo 1.11. Calcule 6!4! e 9!

11! .

Solução.

1) 6!4! = 6 · 5 · �4 · �3 · �2 · �1

�4 · �3 · �2 · �1= 6 · 5 = 30.

2) 9!11! = �9 · �8 · �7 · �6 · �5 · �4 · �3 · �2 · �1

11 · 10 · �9 · �8 · �7 · �6 · �5 · �4 · �3 · �2 · �1= 1

11 · 10 = 1110 .

Observe que o uso da Definição 1.9 pode se tornar um tanto quantoinconveniente, dependendo do número natural em questão. Por exemplo,se queremos calcular 200!. No entanto, para facilitar alguns cálculospodemos nos valer de uma simples propriedade, que é a simplificaçãode fatoriais. A saber:

n! = n · (n ≠ 1)!.

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Exemplo 1.12. Calcule 8!, 9!, 11!7! e 9! 7!

8! 10! .

Solução.

1) 8! = 8 · (8 ≠ 1)! = 8 · 7! = 8 · 5040 = 40320.

2) 9! = 9 · 8! = 9 · 40320 = 362880.

3) 11!7! = 11 · 10 · 9 · 8 · �7!

�7!= 11 · 10 · 9 · 8 = 7920.

4) 9! 7!8! 10! = �9! �7!

8 · �7! 10 · �9!= 1

8 · 10 = 180 .

Exemplo 1.13. Simplifique a expressão (n + 1)!(n ≠ 1)! , onde n Ø 1.

Solução.(n + 1)!(n ≠ 1)! = (n + 1) · (n + 1 ≠ 1) · (n + 1 ≠ 2)!

(n ≠ 1)!

= (n + 1) · n · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 1)!⇠⇠⇠⇠(n ≠ 1)! = n(n + 1).

Exemplo 1.14. Determine o valor de n tal que (n + 2)! = 20 · n!.

Solução. A ideia principal desse tipo de problema é eliminar o fatorial.Vejamos:

(n + 2)! = 20 · n!

(n + 2) · (n + 2 ≠ 1) · (n + 2 ≠ 2)! = 20 · n!

(n + 2) · (n + 1) · ⇢⇢n! = 20 · ⇢⇢n!

(n + 2) · (n + 1) = 20

Observe que a última equação obtida não contém fatorial. Mais ainda,tal equação é na verdade uma equação do 2o grau. De fato,

(n + 2) · (n + 1) = 20

n

2 + 3n + 2 = 20

n

2 + 3n ≠ 18 = 0

Sendo assim, usando a Fórmula de Baskara podemos encontrar as raízesda última equação, as quais são n1 = ≠6 e n2 = 3. Consequentemente,as possíveis soluções do problema são n = ≠6 ou n = 3. Mas como nãoexiste fatorial de números negativos, veja Definição 1.9, eliminamos apossibilidade n = ≠6. Portanto, a solução do problema é n = 3.

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Exemplo 1.15. [Gentil et al. 1996] Dada a expressão

1(n ≠ 4)! + 1

(n ≠ 3)! ,

com n Ø 4, efetuar as operações indicadas, simplificando o resultado.

Solução. Como se trata de uma adição de frações de denominadoresdiferentes, devemos reduzir a expressão ao mesmo denominador. Sendoassim, sabendo que (n ≠ 3)! = (n ≠ 3)(n ≠ 4)!, temos:

1(n ≠ 4)! + 1

(n ≠ 3)! = (n ≠ 3)! + (n ≠ 4)!(n ≠ 3)! · (n ≠ 4)!

= (n ≠ 3) · (n ≠ 4)! + (n ≠ 4)!(n ≠ 3)! · (n ≠ 4)!

= (n ≠ 3) · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 4)! + ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 4)!(n ≠ 3)! · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 4)!

= (n ≠ 3) + 1(n ≠ 3)!

= n ≠ 2(n ≠ 3)! .

Exemplo 1.16. [Gentil et al. 1996] Exprimir, por meio de fatoriais, aexpressão (x + 3)(x + 2).

Solução. Lembrando que podemos expressar o número 1 como sendo adivisão de dois números iguais e diferentes de zero temos:

(x + 3)(x + 2) = (x + 3)(x + 2) · 1

= (x + 3)(x + 2) · (x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1(x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1

= (x + 3)(x + 2) · (x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1(x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1

= (x + 3)!(x + 1)! .

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1. [Gentil et al. 1996] Calcule o valor de:

(a) (13 ≠ 6)!(b) (3 + 2 · 4 ≠ 5)!

(c) 8! · 5!6! · 9!

(d) 3! + 4! · 2 ≠ 4 · 5!(e) 5! ·3 ·4≠ (≠2+3 ·2+3)!

(f) 10! · 7!2 · 5! · 12!

2. [Gentil et al. 1996] Classifique as sentenças abaixo em ver-dadeiras ou falsas:

(a) 10! + 10! = 2 · 10!(b) 7! ≠ 7! = 1

(c) (5 ≠ 4)! = 5! ≠ 4!(d) 6 · 5! = 6!

3. [Gentil et al. 1996] Simplifique as expressões:

(a) (n ≠ 3)!(n ≠ 5)!

(b) (n + 2)!n!

(c) (n + 3)! (n ≠ 2)!n! (n ≠ 1)!

(d) (n + 1)! (n + 3)!(n + 2)! (n + 4)!

(e) (n + 4)!(n2 + 7n + 12) · n!

(f) (n ≠ 2)!(n ≠ 3)! + (n + 1)!

(n ≠ 2)!

(g) (3n)!n!

4. [Gentil et al. 1996] Resolva as seguintes equações:

(a) 8 · (x + 3)!(x + 4)! = 2

(b) x!(x ≠ 4)! = 20 · x!

(x ≠ 2)!

(c) x!(x ≠ 2)! + (x + 1)!

x!

(d) (x + 2)!2 · (x ≠ 6)! = (x + 1)!

(x ≠ 7)!

5. Exprima (x + 8)(x + 7)(x + 6) por meio de fatoriais.

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1.3 Arranjos Simples e com Repetição

Definição 1.17. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p umnúmero natural, tal que n Ø p. Arranjo simples é o número de maneirasdistintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, ondea ordenação desses elementos forma agrupamentos distintos. Denotamoso número de arranjos simples de n elementos tomados p a p por An,p.

Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolherp elementos distintos do conjunto A da seguinte forma:

Tabela 1.2: Arranjo simples.

1o elementoTemos n possibilidades, pois não escolhemos nenhumelemento ainda.

2o elementoTemos n≠1 possibilidades, pois já escolhemos um ele-mento anteriormente.

3o elementoTemos n ≠ 2 possibilidades, pois já escolhemos doiselementos anteriormente.

4o elementoTemos n ≠ 3 possibilidades, pois já escolhemos trêselementos anteriormente.

......

p

o elementoTemos n ≠ (p ≠ 1) possibilidades, pois já escolhemosp ≠ 1 elementos anteriormente.

Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o totalde possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo simples é:

An,p = n(n ≠ 1)(n ≠ 2) · · · · · (n ≠ (p ≠ 1))

= n(n ≠ 1) · · · · · (n ≠ p + 1) · (n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1

= n(n ≠ 1) · · · · · (n ≠ p + 1)(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1

= n!(n ≠ p)! .

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Exemplo 1.18. [Gentil et al. 1996] Com os algarismos 4, 6, 8 e 9, quan-tos números possíveis de 2 algarismos distintos podemos formar?

Solução. O problema se resume em agrupar os quatro algarismos da-dos de dois em dois. Como os dois algarismos devem ser distintos, temosque a troca de posição dos algarismos em cada grupo de dois implica oaparecimento de números diferentes, por exemplo, 68 ”= 86. Logo, esta-mos lidando com um problema de arranjo simples e temos que arranjar4 elementos tomados 2 a 2:

A4,2 = 4!(4 ≠ 2)! = 4!

2! = 242 = 12.

Portanto, é possível formar 12 números distintos de 2 algarismos distintoscom os algarismos 4, 6, 8 e 9.

Exemplo 1.19. [Escola 2014] Em uma empresa, quinze funcionários secandidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Elesserão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho daempresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolhapode ser feita.

Solução. Na verdade, o que temos é um problema de arranjo simples,onde queremos agrupar 15 pessoas tomadas 2 a 2. Ou seja,

A15,2 = 15!(15 ≠ 2)! = 15!

13! = 15 · 14 · ��13!��13! = 15 · 14 = 210.

Portanto, os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.

Exemplo 1.20. [Escola 2014] Um número de telefone é formado por8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formarcom algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.

Solução. O número 2 deve ser fixado na 1a posição e o número 8 naúltima. Restaram, portanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisamser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie doisnúmeros de telefone, vamos arranjar 8 algarismos tomados 6 a 6.

A8,6 = 8!(8 ≠ 6)! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · �2!

�2!= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20160.

Portanto, podemos formar 20.160 números de telefones com algarismosdistintos e que comecem com 2 e terminem com 8.

Exemplo 1.21. [Escola 2014] Em uma urna de sorteio de prêmios exis-tem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibili-dades existentes num sorteio, cujo prêmio é formado por uma sequênciade 6 algarismos.

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Solução. O problema consiste em arranjar 10 algarismos tomados 6 a 6:

A10,6 = 10!(10 ≠ 6)! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · �4!

�4!= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151200.

Portanto, o sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 al-garismos.

Exemplo 1.22. [Escola 2014] Uma família é composta por seis pessoas(pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano.Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membrosdessa família.

Solução. Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então deve-mos determinar o número de sequências através do arranjo de 12 meses,tomados 6 a 6. Sendo assim,

A12,6 = 12!(12 ≠ 6)! = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · �6!

�6!= 12·11·10·9·8·7 = 665280.

Portanto, podemos formar 665.280 sequências dos possíveis meses denascimento dos membros dessa família.

Exemplo 1.23. [Noé 2014] Um campeonato de futsal será decidido emum quadrangular final envolvendo as seguintes seleções: Brasil, Itália,Espanha e Argentina. De quantas maneiras distintas o pódio poderá serformado.

Solução. O pódio deverá contar com três seleções, 1o, 2o e 3o lugares.De modo que 4 seleções disputam o 1o lugar, 3 seleções disputam o 2o

lugar e 2 seleções disputam o 3o lugar. Assim, devemos arranjar 4 timestomados 3 a 3, ou seja,

A4,3 = 4!(4 ≠ 3)! = 4 · 3 · 2 · �1!

�1!= 4 · 3 · 2 = 24.

Portanto, o pódio deverá ser formado por 24 maneiras distintas.

Exemplo 1.24. [Noé 2014] Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais.De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?

Solução. Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma,temos o seguinte arranjo simples A10,2, dado por:

A10,2 = 10!(10 ≠ 2)! = 10 · 9 · �8!

�8!= 10 · 9 = 90.

Portanto, a escolha pode ser realizada de 90 maneiras distintas.

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Exemplo 1.25. (UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que tomaconta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justa-mente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formadapor quatro dígitos distintos, sendo o primeiro 5 e o 6 aparece em algumaoutra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco de-veria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?

Solução. O problema nos informa que o primeiro dígito é o número 5, eo número 6 estará em algum dos outros três dígitos. Sendo assim, para osoutros dois dígitos temos que escolher entre os números 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 e9. Ou seja, devemos escolher dois dígitos distintos entre oito números e,consequentemente, teremos A8,2 possibilidades de escolha para os outrosdois dígitos restantes. No entanto, podemos ter os seguintes casos:

1o Caso: Neste caso vamos assumir que o 6 é o segundo dígito:

4o dígito 2o dígito 3o dígito 4o dígito

5 6 8 possibilidades 7 possibilidades

2o Caso: Aqui assumimos que o 6 é o terceiro dígito:


5 8 possibilidades 6 7 possibilidades

3o Caso: Por fim vamos assumir que o 6 é o quarto dígito:


5 8 possibilidades 7 possibilidades 6

Observe que em cada um dos casos anteriores, teremos A8,2 possibilida-des de escolha para os dois dígitos restantes. Consequentemente, teremosa resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:

A8,2 + A8,2 + A8,2 = 3 · A8,2.

Portanto, o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir é:

3 · A8,2 = 3.

8!(8 ≠ 2)! = 8 · 7 · �6!

�6!= 3 · 8 · 7 = 168.

19

Definição 1.26. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p

um número natural, tal que n Ø p. Arranjo com repetição é o númerode maneiras distintas que podemos escolher p elementos, que podem serepetir, do conjunto A. Denotamos o número de arranjo com repetiçãopor ARn,p.

Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolherp elementos do conjunto A, que podem se repetir, da seguinte forma:

Tabela 1.3: Arranjo com repetição.

1o elemento Temos n possibilidades

2o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)



......

p

o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)

Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, Defi-nição 1.4, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjocom repetição é:

ARn,p = n · n · · · · · n¸ ˚˙ ˝p vezes

= n

p.

Exemplo 1.27. Qual o total de placas de carro que podem ser cons-truídas com 3 letras do alfabeto brasileiro?

Solução. O alfabeto brasileiro é composto por 26 letras. E para formaras placas com 3 letras podemos repeti-las, ou seja, temos 26 possibilida-des de escolha para a primeira letra, 26 possibilidades de escolha para asegunda letra e, finalmente, 26 possibilidades de escolha para a terceiraletra. Sendo assim, há aqui um problema de arranjo com repetição, ondedevemos arranjar 26 letras tomadas 3 a 3. Então temos:

AR26,3 = 263 = 17576.

Portanto, podemos formar 17.576 placas de carro com 3 letras do alfabetobrasileiro.

Exemplo 1.28. Qual o total de placas de carro que podem ser cons-truídas com 4 dígitos?

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Solução. Sabemos que há apenas 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) eque para formar as placas com 4 dígitos podemos repetir dígitos, ou seja,temos 10 possibilidades de escolha para o primeiro, para o segundo, parao terceiro e para o quarto digito. Sendo assim, temos aqui um problemade arranjo com repetição, onde devemos arranjar 10 dígitos tomados 4a 4. Então temos:

AR10,4 = 104 = 10000.

Portanto, podemos formar 10.000 placas de carro com 4 dígitos.

Exemplo 1.29. Qual o total de placas de carro que podem ser cons-truídas com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos?

Solução. Como vimos no Exemplo 1.27, temos AR26,3 maneiras di-ferentes para formar placas com apenas 3 letras e podendo repeti-las.Além disso, o Exemplo 1.28 nos mostra que existem AR10,4 maneirasdiferentes para formar placas com apenas 4 dígitos e podendo repeti-los. Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, te-mos AR26,3 · AR10,4 maneiras diferentes para formar placas com 3 letrase 4 dígitos.

AR26,3 · AR10,4 = 263 · 104 = 175760000.

Portanto, existem 175.760.000 maneiras diferentes de formar placas decarro com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos.

Exemplo 1.30. [Silva 2013] Quatro amigos dirigem-se a uma pastelariapara comprarem, cada um, um bolo. Nessa pastelaria existem 7 bolosdiferentes à escolha. De quantas maneiras diferentes pode ser feita aescolha dos bolos?

Solução. Cada amigo poderá escolher entre os 7 bolos disponíveis.Além disso, nada impede que mais de um amigo escolha o mesmo bolo.Por isso, devemos aplicar o arranjo com repetição de 7 elementos to-mados 4 a 4:

AR7,4 = 74 = 2401.

Logo, os quatro amigos podem escolher os bolos de 2.401 maneiras di-ferentes.

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1. [Gentil et al. 1996, Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994]Calcule:

(a) A7,4

(b) (A5,2)2

(c) An,n

(d) A5,2 + A6,1 ≠ A5,3A10,2 ≠ A7,3

(e) Am+1,m

(f) 2 · A9,1

(g) An,0

(h) A6,2 + A4,3 ≠ A5,2A9,2 + A8,1

2. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Quantos númerospares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

3. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o va-lor de x tal que:

(a) Ax,3 = 4 · Ax,2

(b) Ax,6 + Ax,5Ax,4

= 9

(c) Ax,2 = 9 · Ax,1

(d) Ax,2 = 12

4. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o va-lor de n tal que:

An,2 + An≠1,2 + An≠2,2 = 20.

5. [Didática 2014] Qual o número de anagramas que podemosformar com as letras da palavra PADRINHO?

6. [Didática 2014] Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Robertoe Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupa-mentos possíveis para os três primeiros colocados?

7. Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 quantos números de4 dígitos podem ser formados de modo que pelo menos 2algarismos sejam iguais?

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8. [Silva 2013] Em uma escola está sendo realizado um torneiode futebol de salão, no qual dez times estão participando.Quantos jogos podem ser realizados entre os times partici-pantes em turno e returno?

9. [Silva 2013] Em um torneio internacional de natação parti-ciparam cinco atletas europeus, dois americanos e um bra-sileiro.

(a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídasas medalhas de ouro, prata e bronze?

(b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeusnas três primeiras posições?

(c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe me-dalha?

(d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha,determine o número de resultados em que há mais atle-tas europeus do que americanos no pódio?

10. [Silva 2013] Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. De-termine de quantos modos distintos as 7 pessoas podemsentar-se nas 9 cadeiras.

11. [Gentil et al. 1996] Quantos números de 3 algarismos pode-mos formar com os 5 primeiros números naturais diferentesde zero?

12. [Gentil et al. 1996] De quantas formas podemos respondera 40 questões de um simulado com 5 alternativas diferentespara cada questão?

13. [Gentil et al. 1996] Com os algarismos 2, 3 e 4, quantos nú-meros com 3 algarismos distintos podemos formar?

14. [Gentil et al. 1996] Quantos números de 4 algarismos dis-tintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?

23

1.4 Permutações Simples e com Repetição

Permutação de n elementos distintos nada mais é do que todo agru-pamento formado pelos n elementos, sendo um agrupamento distintode outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos, dois dos n

elementos em ordens diferentes.

Definição 1.31. Definimos como permutação simples de n elementostodo arranjo simples de n elementos, tomados n a n.

Assim, denotando a permutação simples de n elementos por Pn temos:

Pn = An,n = n!(n ≠ n)! = n!

0! = n!,

ou seja,

Pn = n!.

Note que, segundo a Definição 1.31, a ordem numa permutação éimportante, além de que numa permutação simples de n elementos dis-tintos não é permitido repetir os elementos.

Exemplo 1.32. [Veia 2009] Quantos anagramas podemos formar comas letras da palavra POR?

Solução. Um anagrama de uma palavra corresponde a qualquer permu-tação das letras dessa palavra, de modo a formar ou não outras palavras.Ou seja, um anagrama da palavra POR é qualquer permutação que po-demos construir com as letras P, O e R. Logo, de acordo com a Tabela1.4, podemos formar 6 anagramas com a palavra POR.

Tabela 1.4: Anagramas da palavra POR.

Fixando P na 1a posição POR PRO

Fixando O na 1a posição ORP OPR

Fixando R na 1a posição ROP RPO

Como as letras da palavra POR são distintas, o que há na Tabela 1.4 éuma permutação simples das 3 letras P, O e R. Sendo assim, poderíamosresponder a pergunta “Quantos anagramas podemos formar com as letrasda palavra POR?” simplesmente calculando a permutação simples de 3elementos, ou seja,

P3 = 3! = 6.

24

Exemplo 1.33. [Veia 2009] De quantas maneiras diferentes podemosdispor um conjunto de 4 objetos distintos?

Solução. Temos aqui um caso de permutação simples, pois, desejamospermutar 4 objetos distintos. Isto é:

P4 = 4! = 24.

Logo, podemos organizar os 4 objetos de 24 maneiras distintas.

Exemplo 1.34. [Veia 2009] Considere a palavra PARTO.

a) Quantos anagramas podemos formar com essa palavra?Solução. Uma vez que a palavra PARTO possui 5 letras, podemosformar P5 anagramas distintos, ou seja,

P5 = 5! = 120.

b) Quantos anagramas começam com uma consoante e terminam comuma vogal?Solução. Na palavra PARTO temos 3 consoantes (P, R, T) e 2 vogais(A, O). Assim, 3 possibilidades para começar com uma consoante eduas possibilidades para terminar com uma vogal. Então, para cadaconsoante e cada vogal escolhidas para a 1a e última possibilidades,as 3 letras restantes permutam-se entre si. Veja Tabela 1.5.

Tabela 1.5: Anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal.

1a (consoante) 2a 3a 4a 5a (vogal)

3 possibilidades permutação simples de 3 letras 2 possibilidades

3 P3 2

Portanto, o total de anagramas começando com uma consoante eterminando com uma vogal é 36, pois,

3 · P3 · 2 = 3 · 3! · 2 = 3 · 6 · 2 = 36.

c) Quantos anagramas podemos formar com as consoantes aparecendojuntas?Solução. Observe que devemos permutar as duas vogais com as trêsconsoantes juntas, ou seja, devemos permutar 3 elementos distintos.A saber, 2 elementos que são as vogais mais 1 elemento que é as trêsconsoantes juntas (veja Tabela 1.6). Além disso, as três consoantes

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também devem ser permutadas entre si, isto é, devemos permutarestes 3 elementos separadamente. Portanto, o total de anagramascom as consoantes aparecendo juntas é dado por:

P3 · P3 = 3! · 3! = 6 · 6 = 36.

Tabela 1.6: Exemplo de anagramas com as consoantes aparecendo juntas.

1 vogal PRT 1 vogal

TPR 1 vogal 1 vogal

1 vogal 1 vogal RTP

Exemplo 1.35. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar apartir da palavra ORDEM?

Solução. Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemoscalcular o número de permutações simples de 5 elementos distintos. Te-mos então:

P5 = 5! = 120.

Portanto, o número de anagramas que podemos formar a partir da pa-lavra ORDEM é igual 120.

Exemplo 1.36. [Didática 2014] Na fila do caixa de uma padaria estãotrês pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nestafila?

Solução. O problema apresentado é facilmente resolvido com permu-tação simples das 3 pessoas, então:

P3 = 3! = 6.

Logo, as três pessoas podem estar posicionadas de seis maneiras dife-rentes na fila.

Exemplo 1.37. [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemosorganizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produçãode um álbum de fotografias promocionais?

Solução. Note que o princípio a ser utilizado na organização das mo-delos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos quese diferenciarão somente pela ordem dos elementos. Portanto, o númerode posições possíveis é P5 = 5! = 120.

26

Definição 1.38. Definimos como permutação com elementos repetidostodo agrupamento que podemos formar com um certo número de ele-mentos, onde um ou mais elementos se repetem, e a diferença entre umagrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seuselementos.

Suponhamos que temos n elementos, dentre os quais um primeiro ele-mento se repete n1 vezes, um segundo elemento se repete n2 vezes, umterceiro elemento se repete n3 vezes, e assim até um m-ésimo elementoque se repete nm vezes, com n1 + n2 + n3 + · · · + nm Æ n. Se que-remos determinar quantas permutações podemos construir com esses n

elementos, não basta simplesmente calcular Pn, uma vez que alguns ele-mentos se repetem, e elementos repetidos não geram novas possibilidadesde agrupamentos, pois, os elementos são iguais.

Por exemplo, considere os elementos {x, x, y}. Como temos 3 elemen-tos podemos fazer P3 permutações entre eles.

Porém, como x se repete 2 vezes, o número de permutações que po-demos realizar entre eles é dado por P2, e estas permutações estão entretodas as P3 permutações possíveis.

Uma vez que o elemento x se repete 2 vezes, e ao permutá-los entresi não alteramos o agrupamento, como mostra a Tabela 1.7, é necessárioexcluir tais permutações do total P3 possível de permutações.

Sendo assim, o total de permutações diferentes possíveis com os ele-mentos {x, x, y}, como mostra a Tabela 1.7, é dado por:

P 23 = P3

P2= 3!

2! = 3,

onde P

23 denota a permutação de 3 elementos com um dos elementos

repetindo 2 vezes.

Tabela 1.7: O elemento x se repete 2 vezes.

x y x

x permuta com x x y x

y x x

x permuta com x y x x

x x y

x permuta com x x x y

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De um modo geral, se temos n elementos dentre os quais um primeiroelemento se repete n1 vezes, um segundo elemento se repete n2 vezes,um terceiro elemento se repete n3 vezes, e assim por diante, um m-ésimoelemento se repete nm vezes, com n1 + n2 + n3 + · · · + nm Æ n, então ototal de permutação com elementos repetidos é dado por:

P n1,n2,n3,...,nm

n = n!n1! · n2! · n3! · · · · · nm! .

Exemplo 1.39. Calcule quantos anagramas podemos construir com apalavra CATALANA.

Solução. Na palavra CATALANA temos 8 letras e a letra A se repete4 vezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma adesconsiderar aqueles em que a letra A permuta com ela mesma, ou seja,

P 48 = 8!

4! = 8 · 7 · 6 · 5 · �4!�4!

= 8 · 7 · 6 · 5 = 1680.

Portanto, é possível construir 1.680 anagramas com a palavra CATA-LANA.

Exemplo 1.40. Calcule quantos anagramas podemos construir com apalavra MATEMÁTICA.

Solução. Na palavra MATEMÁTICA temos 10 letras, das quais 2 sãoM, 2 letras são T e 3 são A. Logo, é necessário calcular os anagramasde forma a desconsiderar aqueles em que as letras M, T e A permutamcom elas mesmas, ou seja,

P 2,2,38 = 10!

2! · 2! · 3! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · �4 · �3!�4 · �3!

= 151200.

Portanto, podemos construir 151.200 anagramas com a palavra MATE-MÁTICA.

Exemplo 1.41. [Escola 2014] Ao preencher um cartão da loteria espor-tiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 opções na coluna um,6 opções na coluna do meio e 3 opções na coluna dois. De quantasmaneiras distintas André poderá marcar o cartão?

Solução. O cartão da loteria esportiva possui 13 linhas e três colunas(veja Figura 1.9): a coluna um, a coluna do meio e a coluna dois. Sendoassim, na coluna um haverá 4 linhas repetidas, na coluna do meio haverá6 linhas repetidas e na coluna dois haverá 3 linhas repetidas, ou seja,

P 4,6,313 = 13!

4! · 6! · 3! = 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · �6!4! · �6! · 3!

= 60060.

Portanto, o cartão poderá ser marcado de 60.060 maneiras diferentes.

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Figura 1.9: Loteria Esportiva

Exemplo 1.42. [Escola 2014] Em um torneio de futsal, um time ob-teve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. Dequantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?

Solução. Como em 15 partidas disputadas as vitórias se repetiram 8vezes, os empates 5 vezes e as derrotas se repetiram 2 vezes, tem-se que:

P 8,5,215 = 15!

8! · 5! · 2! = 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · �8!�8! · 5! · 2!

= 135135.

Logo, os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas.

Exemplo 1.43. [Escola 2014] Em uma prova composta de 20 questõesenvolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostasV e oito respostas F?

Solução. Como as respostas V e F repetem 12 vezes e 8 vezes, respec-tivamente, em 20 questões envolvendo V ou F, temos:

P 12,820 = 20!

12! · 8! = 20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13 · ��12!��12! · 8! = 125970.

Assim, podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendodoze questões V e oito F.

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1. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a par-tir das letras da palavra CURIÓ?

2. [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos colo-car em fila indiana seis homens e seis mulheres:

(a) em qualquer ordem;(b) iniciando com homem e terminando com mulher.

3. [Escola 2014] Os resultados do último sorteio da Mega-Senaforam os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas manei-ras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

4. [Escola 2014] Na palavra NORTE, quantos anagramas po-dem ser formados? Quantos começam com vogal?

5. (UFPEL) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva asquestões a seguir.

(a) Quantos anagramas podem ser formados de modo queas vogais estejam sempre juntas?

(b) Quantos anagramas podem ser formados com as letrasUF juntas?

(c) Quantos anagramas podem ser formados com as letrasPEL juntas e nessa ordem?

6. (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seisalgarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as for-mas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

(a) Determine quantos números é possível formar (no to-tal) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.

(b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, de-termine qual posição ocupa o número 512346 e quenúmero ocupa a 242a posição.

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6. [Escola 2014] Um engenheiro de software deseja criar umprograma que teste todas as possibilidades de senha deum sistema de uma empresa. A informação que este en-genheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a se-guinte sequência: quatro letras distintas seguidas por doisalgarismos distintos. Sendo assim, responda:

(a) Quantas são as possíveis senhas de acesso?(b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas

consoantes e algarismos maiores que 5?

7. [Escola 2014] Um banco adquire um cofre com um sistemade segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6dígitos. Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou nú-meros distintos, responda:

(a) Quantas possíveis senhas podem ser formadas?(b) Quantas senhas podem ser formadas tendo três vogais

nos primeiros dígitos?

8. [Escola 2014] Os produtos de uma empresa são armazenadosno banco de dados com um código de 4 letras maiúsculasseguidas por 5 algarismos. Esse sistema será modificadopara permitir letras maiúsculas e minúsculas. Após essamodificação, o número atual de códigos será multiplicadopor:

(a) 2(b) 3(c) 6

(d) 10(e) 18(f) 16

9. [Didática 2014] Quantos são os anagramas que podemos for-mar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo queeles comecem com a letra E e terminem com uma vogal?

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10. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos obter a partirdas letras da palavra PARAR?

11. [Didática 2014] Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas,2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em umtubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umassobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintaseu poderei formar esta coluna de bolas?

12. [Silva 2012] A palavra MADEIRA possui sete letras, sendoduas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantosanagramas podemos formar com essa palavra?

13. [Silva 2012] Determine os anagramas da palavra MO-RANGO.

14. [Silva 2012] Quantos números de 6 algarismos podemos es-crever utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4?

15. [Silva 2012] Quantos são os anagramas da palavra CONS-TITUINTE que começam por OSEC?

16. [Silva 2012]Quantos são os números ímpares de 5 algarismosque podemos escrever utilizando os algarismos 4, 4, 5, 5, e6?

17. [Silva 2012](FATEC-SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos di-ferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 discos di-ferentes de música clássica. O número de modos distintoscomo essa pessoa pode organizá-los em uma estante, de talforma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos eos de rock sempre na mesma ordem, é:

(a) 144 (b) 1152 (c) 48 (d) 50 (e) 288

18. [Silva 2012] Quantos anagramas podem ser formados com apalavra MACACO?

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1.5 Combinações Simples

Vimos, na Seção 1.3, que os arranjos são agrupamentos caracterizadospela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Diferentementedos arranjos, quando queremos fazer uma combinação nos preocupamosapenas com a natureza dos elementos escolhidos, ou seja, a ordem emque os elementos estão dispostos não é importante.

Definição 1.44. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p

um número natural, tal que n Ø p. Combinação simples é o númerode maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos doconjunto A, de tal forma que apenas a natureza dos elementos determinaagrupamentos distintos. Denotamos o número de combinações simplesde n elementos tomados p a p por Cn,p.

Considere o conjunto A = {a1, a2, a3, . . . , an}, com n Ø 3. Sem perdade generalidade, tomemos o arranjo (a1, a2, a3). Como nos arranjos a or-dem dos elementos no agrupamento interfere, se permutarmos os 3 ele-mentos a1, a2, a3 obteremos novos arranjos, como mostra a Figura 1.10.

arranjos

(a1, a2, a3)

(a1, a3, a2)

(a2, a1, a3)

(a2, a3, a1)

(a3, a1, a2)

(a3, a2, a1)

Figura 1.10: Permutações dos elementos a1 , a2 , a3 geram novos arranjos.

De acordo com a Definição 1.44, na combinação simples a ordem doselementos no agrupamento não interfere, isto é, do ponto de vista dascombinações todos os arranjos apresentados na Figura 1.10 representamapenas uma única combinação simples que é {a1, a2, a3}, pois são osmesmos elementos dispostos em diferentes posições. Em outras palavras,como as combinações simples são arranjos que se diferenciam somentepela natureza de seus elementos, é natural que haja muito mais arranjosque combinações, e esses arranjos excedentes são aqueles gerados pelaspermutações dos elementos envolvidos, já que a ordem é importante.

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Portanto, dado o conjunto A = {a1, a2, a3, . . . , an} com n elementosdistintos e p um número natural, tal que n Ø p, para calcular o total decombinações simples Cn,p, de n elementos tomados p a p, basta calcularo total de arranjos simples An,p e eliminar todos os arranjos geradospelas permutações dos p elementos escolhidos, isto é, Pp. Logo,

Cn,p = An,p

Pp=

n!(n≠p)!

p! = n!p!(n ≠ p)! .

Exemplo 1.45. [Didática 2014] Com 12 bolas de cores distintas, possosepará-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando4 bolas em cada saco?

Solução. Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agru-pamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcularC12,4:

C12,4 = 12!4!(12 ≠ 4)! = 12 · 11 · 10 · 9 · �8!

4! · �8!= 11880

24 = 495.

Portanto, posso separá-las de 495 modos diferentes.

Exemplo 1.46. [Didática 2014] Um fabricante de sorvetes possui a dis-posição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretendemisturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão ostipos de sorvete disponíveis?

Solução. Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu ,na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distin-ção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um casode combinação simples que será resolvido através do cálculo de C7,2:

C7,2 = 7!2!(7 ≠ 2)! = 7 · 6 · �5!

2! · �5!= 42

2 = 21.

Logo, serão disponíveis 21 sabores diferentes.

Exemplo 1.47. [Didática 2014] As 14 crianças de uma família serãoseparadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quer-messe da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderãoser agrupadas?

Solução. Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples,pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre osagrupamentos com elementos distintos. Vamos calcular C14,5:

C14,5 = 14!5!(14 ≠ 5)! = 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · �9!

5! · �9!= 240240

120 = 2002.

34

Assim, as crianças poderão ser agrupadas de 2.002 maneiras diferentes.

Exemplo 1.48. [Escola 2014] Uma importante aplicação de combinaçãosimples é nas loterias, megassena, quina entre outras. Por exemplo,a megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quaisdevemos acertar 6 (prêmio principal), portanto quantas cartelas devemosmarcar com diferentes números de forma a garantir que acertaremos os6 números?

Solução. Temos aqui um problema de combinação onde n = 60 e p = 6,ou seja, devemos combinar 60 números tomados 6 a 6.

C60,6 = 60!6!(60 ≠ 6)! = 60 · 59 · 58 · 57 · 56 · 55 · ��54!

6! · ��54! = 50063860.

Logo, é necessário preencher 50.063.860 cartelas da megassena com 6números, para cobrir todas as possibilidades de preencher tal cartela egarantir que você ganhará sempre.

Exemplo 1.49. [Escola 2014] Em um curso de língua estrangeira es-tudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupode três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantaspossíveis equipes podem ser formadas?

Solução. O número de possíveis grupos pode ser dado por:

C30,3 = 30!3!(30 ≠ 3)! = 30 · 29 · 28 · ��27!

3! · ��27! = 4060.

Consequentemente, poderão ser formadas 4.060 equipes.

Exemplo 1.50. [Veia 2009] Uma prova consta de 6 questões, das quaiso aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3questões?

Solução. Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes. Percebaque a ordem em que os elementos aparecerão não será importante.

C6,3 = 6!3!(6 ≠ 3)! = 6 · 5 · 4 · �3!

3! · �3!= 20.

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.

35


1. [Veia 2009] De quantos modos distintos Amiroaldo pode es-colher quatro entre as nove camisetas regata que possui paralevar em uma viagem para Mosqueiro.

2. [Veia 2009] Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formamuma equipe. Dois deles precisam representar a equipe emuma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?

3. [Veia 2009] No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas deum baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9 , 10).De quantas maneiras diferentes um jogador pode recebersuas 3 cartas?

4. [Matematiques 2011] Um indivíduo possui 25 livros diferen-tes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar taislivros em grupos de 6 livros?

5. [Matematiques 2011] Quantos grupos de 3 pessoas podemser montados com 8 pessoas?

6. [Matematiques 2011] Quantos grupos de 2 pessoas podemser montados com 1000 pessoas?

7. [Matematiques 2011] Quantas combinações com 4 elementospodem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?

8. [Matematiques 2011] Em uma sala existem 40 pessoas, 18mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser mon-tadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

9. [Matematiques 2011] Quantos triângulos podem ser traça-dos contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se queem uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5pontos?

10. [Matematiques 2011] Para resolver um assunto entre 6 pro-fessores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 pro-fessores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

36

11. [Matematiques 2011] Desejamos formar comissões de 6 pes-soas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quan-tas comissões terão somente 1 professor?

12. [Matematiques 2011] Num plano existem 4 pontos, sendoque 3 deles são não colineares. Qual é o número possível deretas que passam por esses pontos?

13. [educa 2010] Num jornal de grande circulação, foi oferecidopara o leitor as assinaturas das revistas: Carinho, Super-ticioso, Bomjogador, Fatos, Notícias, Falabem. Tendo jácerteza que assinará a revista Fatos, e querendo optar pormais duas assinaturas distintas, o leitor terá:

(a) 10 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.(b) 30 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.(c) 84 maneiras de escolher as duas revitas que faltam.(d) 200 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.(e) 720 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.

14. [Gentil et al. 1996] Simplifique Cm,4 + Cm,3Cm,2

.

15. (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quan-tas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo nomínimo 1 diretor?

16. [Gentil et al. 1996] A diretoria de uma firma é constituídade 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissõesde 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados?

17. [Gentil et al. 1996] Calcule C8,2, C10,2 e Cm+3,2.

18. [Gentil et al. 1996] Resolver a equação 5Cx,3 = Cx+2,4.

19. [Gentil et al. 1996] Quantas comissões com 4 elementos po-demos formar numa classe de 20 alunos?

37

1.6 Coeficiente Binomial e Binômio de Newton

Definição 1.51. Sejam n e p dois números naturais, com n Ø p. Ocoeficiente binomial, também chamado de número binomial e denotadopor

3n

p

4, é dado por:

3n

p

4= n!

p!(n ≠ p)! .

Como mostra a Definição 1.51, o coeficiente binomial3

n

p

4(lê-se:

de n escolha p) nada mais é do que a combinação simples Cn,p de n

elementos tomados p a p.

Exemplo 1.52. Calcule3

53

4,

331

4,

387

4e

366

4.

Solução. Vejamos:

1.3

53

4= 5!

3!(5 ≠ 3)! = 5 · 4 · �3!�3! · 2!

= 202 = 10.

2.3

31

4= 3!

1!(3 ≠ 1)! = 3 · �2!1! · �2!

= 31 = 3.

3.3

87

4= 8!

7!(8 ≠ 7)! = 8 · �7!�7! · 1!

= 81 = 8.

4.3

66

4= 6!

6!(6 ≠ 6)! = �6!�6! · 0!

= 11 = 1.

Exemplo 1.53. Verifique que3

n

0

4= 1,

3n

1

4= n e

3n

n

4= 1.

Solução. De fato,

1.3

n

0

4= n!

0!(n ≠ 0)! = ⇢⇢n!1 · ⇢⇢n! = 1

1 = 1.

2.3

n

n

4= n!

n!(n ≠ n)! = n!n! · 0! = ⇢⇢n!

⇢⇢n! · 1 = 11 = 1.

3.3

n

1

4= n!

1!(n ≠ 1)! = n⇠⇠⇠⇠(n ≠ 1)!1 · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 1)! = n

1 = n.

38

Exemplo 1.54. Verifique que se p + q = n então3

n

p

4=

3n

q

4.

Solução. Sabemos que3

n

p

4= n!

p!(n ≠ p)! e3

n

q

4= n!

q!(n ≠ q)! .

Se p + q = n então p = n ≠ q. Sendo assim, vem que:3

n

p

4=

3n

n ≠ q

4= n!

(n ≠ q)!(⇢n ≠ ⇢n + q))! = n!q!(n ≠ q)! =

3n

q

4.

Portanto, se p + q = n, então3

n

p

4=

3n

q

4, e dizemos que os coefici-

entes binomiais3

n

p

4e

3n

q

4são complementares.


53

4e

352

4.

Solução. Pelo Exemplo 1.52, item 1, temos que3

53

4= 10. Como

2 + 3 = 5, vem pelo Exemplo 1.54 que os binomiais3

52

4e

353

4são

complementares, ou seja,3

52

4=

353

4= 10.

Exemplo 1.56. Verifique a propriedade a seguir, a qual é conhecidacomo Relação de Stiefel, isto é:

3n

p

4+

3n

p + 1

4=

3n + 1p + 1

4.

Solução. Por definição, sabemos que3

n

p

4= n!

p!(n ≠ p)! e3

n

p + 1

4= n!

(p + 1)!(n ≠ p ≠ 1)! .

Além disso, observe que3

n + 1p + 1

4= (n + 1)!

(p + 1)!((n + 1) ≠ (p + 1))!

= (n + 1)!(p + 1)!(n + �1 ≠ p ≠ �1)!

= (n + 1)!(p + 1)!(n ≠ p)! .

39

Consequentemente obtemos,3

n

p

4+

3n

p + 1

4= n!

p!(n ≠ p)! + n!(p + 1)!(n ≠ p ≠ 1)!

= n!(p + 1) + n!(n ≠ p)(p + 1)!(n ≠ p)!

= n!(p + 1 + n ≠ p)(p + 1)!(n ≠ p)!

= (n + 1)n!(p + 1)!(n ≠ p)!

= (n + 1)!(p + 1)!(n ≠ p)!

=3

n + 1p + 1

4.

Portanto, vale a Relação de Stiefel3

n

p

4+

3n

p + 1

4=

3n + 1p + 1

4.


76

4+

377

4.

Solução. Observe que 7 = 6 + 1. Logo, pela Relação de Stiefel, apre-sentada no Exemplo 1.56, e pelo item 3 do Exemplo 1.52, temos que:

376

4+

377

4=

376

4+

37

6 + 1

4=

37 + 16 + 1

4=

387

4= 8.

Exemplo 1.58. (FCMSC-SP) Determine o valor de n tal que3

n

3

4+

3n

4

4= 5n · (n ≠ 2).

Solução. Pela Relação de Stiefel sabemos que3

n

3

4+

3n

4

4=

3n + 1

4

4.

40

Logo, temos que:3

n

3

4+

3n

4

4= 5n · (n ≠ 2)

3n + 1

4

4= 5n · (n ≠ 2)

(n + 1)!4!((n + 1) ≠ 4)! = 5n · (n ≠ 2)

(n + 1)!4!(n ≠ 3)! = 5n · (n ≠ 2)

(n + 1) · n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2) · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 3)!4!⇠⇠⇠⇠(n ≠ 3)! = 5n · (n ≠ 2)

(n + 1) · n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2)24 = 5n · (n ≠ 2)

(n + 1) · ⇢n · (n ≠ 1) · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 2) = 24 · 5 · ⇢n · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 2)

(n + 1) · (n ≠ 1) = 120

n

2 ≠ 1 = 120

n

2 = 121

n = ±11.

Assim, as possíveis soluções para o problema em questão são n = 11ou n = ≠11. No entanto, lembremos que n é um número natural e que3

n

p

4somente esta definido para n Ø p. Consequentemente, os coefici-

entes binomiais3

n

3

4e

3n

4

4somente estão definidos, respectivamente,

para n Ø 3 e n Ø 4, ou seja, inevitavelmente n Ø 4. Portanto, a soluçãodo problema é n = 11.

41

Exemplo 1.59. (MACK-SP) Determine o valor de n tal que3

n

2

4= 28.

Solução. Primeiramente, observe que3

n

2

4nos impõe que n Ø 2, e que

3n

2

4= n!

2!(n ≠ 2)! = n · (n ≠ 1) · ⇠⇠⇠⇠(n ≠ 2)!2!⇠⇠⇠⇠(n ≠ 2)! = n · (n ≠ 1)

2 = 28.

Dai vem que:

n · (n ≠ 1) = 2 · 28

n

2 ≠ n = 56

n

2 ≠ n ≠ 56 = 0.

Como n

2 ≠ n ≠ 56 = 0 é uma equação do segundo grau, nos valendoda fórmula de Bhaskara obtemos que n = 8 ou n = ≠7. Uma vez que n

é natural e n Ø 2, temos que o valor de n procurado é n = 8.

Exemplo 1.60. [Gentil et al. 1996] Determinar x para que exista32x ≠ 4x ≠ 3

4.

Solução. De acordo com a Definição 1.51, o coeficiente binomial3

n

p

4

somente existirá se n e p são números naturais e n Ø p.Consequentemente,

32x ≠ 4x ≠ 3

4somente existirá se 2x ≠ 4 e x ≠ 3 são

números naturais e 2x ≠ 4 Ø x ≠ 3, ou seja,

1) 2x ≠ 4 Ø 0 ∆ x Ø 2.

2) x ≠ 3 Ø 0 ∆ x Ø 3.

3) 2x ≠ 4 Ø x ≠ 3 ∆ x Ø 1.

Sendo assim, temos obrigatoriamente que x deve satisfazer as seguin-tes condições: x Ø 2, x Ø 3 e x Ø 1.

Observe que se tomamos x Ø 3, então todas as três condições sãosatisfeitas simultaneamente. Portanto, para que

32x ≠ 4x ≠ 3

4exista, x deve

satisfazer a condição x Ø 3.

42

1. [Gentil et al. 1996] Resolva as seguintes equações:

(a)3

15n + 2

4=

315

2n + 1

4.

(b)3

n

1

4= 5.

(c)3

n

0

4+

3n

1

4= 2.

(d)3

x

1

4+

3x

2

4= 15.

(e)3

n ≠ 11

4+

3n ≠ 1

2

4= 6.

(f)3

12n + 1

4=

312

3n + 3

4.

(g)3

72

4+

373

4=

38x

4.

2. [Gentil et al. 1996] Calcule os seguintes números binomiais:

(a)3

75

4+

376

4.

(b)3

85

4÷

388

4.

(c)3

70

4+

371

4+

372

4.

(d)3

n

1

4+

3n

2

4+

3n

n

4.

3. (FCC) Qual o valor de n! para que a sentença3

n + 2n

4= 10

seja verdadeira?

43

O triângulo apresentado na Figura 1.11 é conhecido como Triângulode Pascal (ou Triângulo de Tartaglia). Essencialmente, o Triângulo de

Pascal é composto de coeficientes binomiais3

n

p

4, onde n representa as

linhas e p representa as colunas do triângulo, iniciando a contagem apartir do zero. A saber, n = 0 representa a primeira linha (linha 0),n = 1 representa a segunda linha (linha 1), e assim por diante, bemcomo, p = 0 representa a primeira coluna (coluna 0), p = 1 representa asegunda coluna (coluna 1), e assim por diante. Dessa forma vemos, naFigura 1.11, que na sexta linha temos todos os coeficientes binomiais comn = 5, e que na quarta coluna todos os coeficientes binomiais possuemp = 3.

3n

p

4

p=

0

p=

1

p=

2

p=

3

p=

4

p=

5

· · ·

p=

k

· · ·

n = 03

00

4

n = 13

10

4 311

4

n = 23

20

4 321

4 322

4

n = 33

30

4 331

4 332

4 333

4

n = 43

40

4 341

4 342

4 343

4 344

4

n = 53

50

4 351

4 352

4 353

4 354

4 355

4

......

......

......

... ...

n = k

3k

0

4 3k

1

4 3k

2

4 3k

3

4 3k

4

4 3k

5

4· · ·

3k

k

4

......

......

......

... · · ·... ...

Figura 1.11: Fragmento do Triângulo de Pascal.

Como podemos ver na Figura 1.11, em um Triângulo de Pascal aslinhas possuem uma quantidade finita de elementos, que é igual ao nú-mero n da linha mais 1. Por exemplo, a quarta linha, que é a de número

44

n = 3, possui 4 elementos. No entanto, o número de linhas é infinito,o que nos leva a concluir que a quantidade de elementos por coluna éinfinita. Portanto, a Figura 1.11 representa apenas um fragmento doverdadeiro Triângulo de Pascal.

3n

p

4p

=0

p=

1

p=

2

p=

3

p=

4

p=

5

· · ·

p=

k

· · ·

n = 03

00

4

n = 13

10

4 311

4

=

n = 23

20

4 321

4 322

4

n = 33

30

4 331

4 332

4 333

4

n = 43

40

4 341

4 342

4 343

4 344

4

=

n = 53

50

4 351

4 352

4 353

4 354

4 355

4

......

......

......

... ...

n = k

3k

0

4 3k

1

4 3k

2

4 3k

3

4 3k

4

4 3k

5

4· · ·

3k

k

4

......

......

......

... · · ·... ...

+

+

Figura 1.12: Relação de Stiefel.

Analisando a Figura 1.12 vemos facilmente que se verifica a Relaçãode Stiefel, a saber: cada binomial

3n

p

4da linha n é igual à soma de

dois binomiais da linha (n ≠1), que é: a soma daquele binomial que estána coluna p com aquele binomial que está na coluna (p ≠ 1) da mesmalinha (n ≠ 1). De outra forma:

3n

p

4+

3n

p + 1

4=

3n + 1p + 1

4.

45

Podemos representar o fragmento do Triângulo de Pascal, apresen-tado na Figura 1.11, substituindo os coeficientes binomiais por seus res-pectivos valores numéricos, ou seja, podemos calcular os coeficientes bi-nomiais apresentados na Figura 1.11 um a um o que, por um motivoou outro, pode se tornar muito trabalhoso. No entanto, observe quetodas as linhas começam e terminam com o número 1, pois, cada linhacomeça e termina com os coeficientes binomiais

3n

0

4= 1 e

3n

n

4= 1,

respectivamente, como mostra a Figura 1.13.

300

4

310

4 311

4

320

4 321

4 322

4

330

4 331

4 332

4 333

4

=∆

1

1 1

1 X 1

1 Y Z 1Figura 1.13: Fragmento do Triângulo de Pascal - Valores numéricos.

Resta então preencher aqueles lugares, no interior do triângulo, ondeestão X, Y e Z. Para isto, observe que em um Triângulo de Pascal valea Relação de Stiefel, como vimos na Figura 1.12, ou seja,

300

4

310

4 311

4

=

320

4 321

4 322

4

= =

330

4 331

4 332

4 333

4

+

+ +=∆

11 1

=

1 2 1

= =

1 3 3 1

+

+ +

Figura 1.14: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel.

46

Dessa forma, seguindo o raciocínio apresentado na Figura 1.14, po-demos construir um Triângulo de Pascal da seguinte forma:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

......

......

......

... . . .

+

+ +

+ + +

+ + + +

+ + + + +

+ + + + + +

Figura 1.15: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel.

Portanto, o Triângulo de Pascal em termos numéricos é dado por:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

......

......

......

... . . .

Figura 1.16: Fragmento do Triângulo de Pascal em termos numéricos.

47

Na Figura 1.17 vemos que o Triângulo de Pascal satisfaz a seguintepropriedade: a soma de todos os números da linha n é igual a 2n.

linha 0 1 1 20

linha 1 1 1 2 21

linha 2 1 2 1 4 22

linha 3 1 3 3 1 8 23

linha 4 1 4 6 4 1 16 24

linha 5 1 5 10 10 5 1 32 25

linha 6 1 6 15 20 15 6 1 64 26

......

......

......

......

......

==

+ = =

+ + = =

+ + + = =

+ + + + = =

+ + + + + = =

+ + + + + + = =

Figura 1.17: A soma dos elementos da linhan é 2n .


120

4+

3121

4+

3122

4+ · · · +

31212

4.

Solução. Observando a Figura 1.11 vemos que os coeficientes binomiaisdados acima, formam a linha 12 do Triângulo de Pascal. Portanto, pelapropriedade apresentada na Figura 1.17,

3120

4+

3121

4+

3122

4+ · · · +

3128

4= 212 = 4096.

48


1. Calcule3

150

4+

3151

4+

3152

4+ · · · +

31515

4.

2. Verifique as seguintes propriedades do Triângulo de Pascal:

(a) Na Figura 1.16, a partir da segunda linha, dois núme-ros eqüidistantes dos extremos são iguais. Em outraspalavras, veja Figura 1.11, dois binomiais eqüidistantesdos extremos são complementares.

3n

p

4=

3n

n ≠ p

4.

(b) Veja na Figura 1.16 que a soma dos k primeiros núme-ros da coluna p é igual ao número localizado na pró-xima linha e na próxima coluna. Em termos de coefi-cientes binomiais, como mostra a Figura 1.11,3

p

p

4+

3p + 1

p

4+

3p + 2

p

4+ · · · +

3k

p

4=

3k + 1p + 1

4.

(c) Como mostra a Figura 1.16, a soma dos k primeirosnúmeros de uma diagonal, é igual ao número localizadoabaixo da última parcela. Neste sentindo, na Figura1.11, temos que:3

n

0

4+

3n + 1

1

4+

3n + 2

2

4+· · ·+

3k

k ≠ n

4=

3k + 1k ≠ n

4.

3. Calcule3

33

4+

343

4+

353

4e

310

4+

321

4+

332

4+

343

4.

49

4. Utilizando as propriedades que já foram apresentadas, pre-encha corretamente os espaços com os números que faltamem algumas linhas do fragmento do Triângulo de Pascal aseguir.

1 5 ≠ 10 5 1

1 6 15 20 ≠ 6 1

1 7 ≠ 35 35 ≠ 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 ≠ 36 84 ≠ ≠ 84 36 ≠ 1

1 10 ≠ 120 ≠ 252 ≠ 120 ≠ 10 1

1 ≠ 55 ≠ 330 ≠ ≠ 330 ≠ 55 ≠ 1

1 ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 1

5. (CAp - UERJ) A seguir estão apresentadas duas linhas con-secutivas do Triângulo de Pascal. Determine os valores dea, b, c, d, e.

1 7 21 b 35 21 e 1

1 8 a 56 c d 28 8 1

6. (CAp - UERJ) De certa linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é igual a 21.

(a) Qual o terceiro termo dessa linha?(b) Qual o maior termo dessa linha?(c) Qual o penúltimo termo dessa linha?(d) Qual a soma de todos os termos dessa linha?

50

Definição 1.62. Definimos como Binômio de Newton todo binômio daforma (x + a)n, sendo x e a números reais e n um número natural.

Observe os seguintes desenvolvimentos do binômio de Newton paran = 0, n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4:

(x + a)0 = 1

(x + a)1 = x + a

(x + a)2 = (x + a) · (x + a) = x

2 + 2xa + a

2

(x + a)3 = (x + a) · (x + a)2 = x

3 + 3x

2a + 3xa

2 + a

3

(x + a)4 = (x + a) · (x + a)3 = x

4 + 4x

3a + 6x

2a

2 + 4xa

3 + a

4

Note que podemos rescrever os desenvolvimentos do binômio de New-ton anteriores como segue, ressaltando os coeficientes de x e a. Observeainda que os coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binómiosde Newton representam uma linha do Triângulo de Pascal. A saber,comparando com a Figura 1.16, os coeficientes do desenvolvimento de(x+a)0 representa a linha n = 0, os de (x+a)1 representa a linha n = 1,os de (x + a)2 representa a linha n = 2 e, sucessivamente, os de (x + a)k

representa a linha n = k. Portanto, os referidos coeficientes formam oTriângulo de Pascal, tal como apresentado na Figura 1.16. Note tambémque em cada desenvolvimento de (x + a)n, as potências de x decrescemde n até 0 e as potências de a crescem de 0 até n.

n = 0 ∆ (x + a)0 = 1

n = 1 ∆ (x + a)1 = 1 · x + 1 · a

n = 2 ∆ (x + a)2 = 1 · x

2 + 2 · xa + 1 · a

2

n = 3 ∆ (x + a)3 = 1 · x

3 + 3 · x

2a + 3 · xa

2 + 1 · a

3

n = 4 ∆ (x + a)4 = 1 · x

4 + 4 · x

3a + 6 · x

2a

2 + 4 · xa

3 + 1 · a

4

......

...

Assim, de um modo geral e com base no Triângulo de Pascal, podemosescrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)k,cujos coeficientes são aqueles que aparecem na linha n = k do triângulo,tal como apresentado na Figura 1.11, da seguinte maneira:

(x + a)k =3

k

0

4x

ka

0 +3

k

1

4x

k≠1a

1 +3

k

2

4x

k≠2a

2 + · · · +3

k

k

4x

0a

k.

Vale ressaltar ainda que o desenvolvimento de (x + a)k possui k + 1termos e que a soma dos expoentes de x e a é igual a k em qualquertermo do desenvolvimento.

51

Exemplo 1.63. Desenvolva o binómio (x + 3)4.

Solução. Observe que no binómio (x + 3)4 temos k = 4 e a = 3. Logopela fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton temos:

(x+3)4 =3

40

4x

430 +3

41

4x

4≠131 +3

42

4x

4≠232 +3

43

4x

4≠333 +3

44

4x

034

Donde obtemos após uma reorganização dos termos e algumas simpli-ficações o que segue:

(x + 3)4 =3

40

4x

4 +3

41

43x

3 +3

42

49x

2 +3

43

427x +

344

481.

Como os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio (x+3)4 são dados pela linha n = 4 do Triângulo de Pascal (veja Figura 1.16)temos, após as devidas simplificações, que:

(x + 3)4 = x

4 + 12x

3 + 54x

2 + 108x + 81.

Exemplo 1.64. Expandir o binómio (x ≠ 1)3.

Solução. Uma vez que (x ≠ 1)3 = (x + (≠1))3 vem que k = 3 e a = ≠1,ou seja, os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio sãodados pela linha n = 3 do Triângulo de Pascal. Sendo assim, observandoa linha 3 do triângulo apresentando na Figura 1.16 vem que:

(x ≠ 1)3 = 1 · x

3(≠1)0 + 3 · x

3≠1(≠1)1 + 3 · x

3≠2(≠1)2 + 1 · x

0(≠1)3.

Como (≠1)m é igual a 1 se m é par, e igual a ≠1 se m é ímparobtemos após as devidas simplificações que:

(x ≠ 1)3 = x

3 ≠ 3x

2 + 3x ≠ 1.

Exemplo 1.65. Expandir o binómio (2x + 3)5.

Solução. Os coeficientes dos termos do desenvolvimento deste binómiosão dados pela linha n = 5 do Triângulo de Pascal. Portanto,

(2x + 3)5 = 1 · (2x)5 + 5 · (2x)43 + 10 · (2x)332 +

+ 10 · (2x)233 + 5 · (2x)34 + 1 · 35

= 32x

5 + 5 · (16x

4)3 + 10 · (8x

3)9 +

+ 10 · 4(x2)27 + 5 · (2x)81 + 243

= 32x

5 + 240x

4 + 720x

3 + 1080x

2 + 810x + 243.

52

1. Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, ex-pandir os seguintes binómios:

(a) (x ≠ 2)6

(b) (x + y)3

(c) (x ≠ y)4

(d) (4 ≠Ô

2)2

(e) (2x + 1)5

(f) (x ≠ 12)3

(g) (2x ≠ 3)5

(h) (a ≠ b)6

(i) (x2 + 1)5

(j) (1 +Ô

3)4

(k) (2x ≠ 3y)4

(l) (x + 23y)4

2. (CESGRANRIO) O coeficiente de x

4 no polinômio P (x) =(x + 2)6 é:

(a) 64 (b) 60 (c) 12 (d) 4 (e) 24

3. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o va-

lor de3Ô

3 + 13

46+

3Ô3 ≠ 1

3

46.

4. (Mack-SP) Um dos termos do desenvolvimento de (x+3a)5

é 360x

3. Sabendo-se que a não depende de x, o valor de a

é:

(a) ±1 (b) ±2 (c) ±3 (d) ±4 (e) ±5

5. [Gentil et al. 1996] Ache o coeficiente numérico de x

2 nodesenvolvimento de (1 ≠ 2x)6.

6. [Gentil et al. 1996] Determine o valor de a para que o co-eficiente de x

4 no desenvolvimento de (x + a)7 seja igual a280.

53

2. Noções de Lógica Matemática

Da mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contasde porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a definição formal epropriedades do que venha ser porcentagem, as vezes usamos um conceito(palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu. Porexemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica!Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe oque significa lógica num sentindo geral ou específico da palavra? Então,fica a pergunta: o que significa lógica? Se for realizada uma pequenapesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como:

Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógica

natural. 2 Filos Estudo que tem por objeto determinar quaisas operações que são válidas e quais as que não o são: [...] L.

matemática: o mesmo que lógica simbólica. L. simbólica:ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicosmediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução,baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação etransformação; também chamada lógica matemática. (Dicio-nário Michaelis)

No século IV a.c. Aristóteles sistematizou o estudo das condiçõesem que podemos afirmar que um dado raciocínio é correto como Lógica.Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônomapara estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentoscertos e errados. No entanto, ao longo da história muitas são as definiçõesdadas à palavra lógica. Uns definem a lógica como sendo a “Ciência dasleis do pensamento”. Porém, outros acreditam que uma definição maisadequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”. De um modo geral,vamos assumir como definição de lógica a ciência que estuda as formasou estruturas do pensamento.

Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o de-senvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação determos fundamentais para analisar a lógica do discurso. A saber, Válido,Não Válido, Contraditório, Universal, Particular.

Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impe-diam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da lin-guagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia osentido das palavras. Com o intuito de transpor tais limitações Gott-

54

fried Wilhelm Leibniz (1646 ≠ 1716) apresentou uma nova lógica base-ada no princípio de notação universal e artificial, bem como num cálculode signos.

E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal comoGottlob Frege,Giuseppe Peano, Bertrand Russel e George Boole a lógicafoi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma novalinguagem simbólica, chamada lógica matemática. Em outras palavras,a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo desímbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusõesválidas.

2.1 Cálculo Proposicional

O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo comobase frases declarativas, as quais chamamos de proposições. De outraforma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmaçõesque podem ser verdadeiras ou falsas. Ou ainda, como construir a partirde um certo conjunto de hipóteses, verdadeiras num determinado con-texto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão éverdadeira no mesmo contexto. Sendo um dos exemplos mais simplesde lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma dasproposições e se elas são verdadeiras ou falsas. Porém, contém prati-camente todos os conceitos importantes necessários para o estudo deoutras lógicas complexas.

Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjuntode símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposiçõesatômicas, ou variáveis; (2) um conjunto de operadores, interpretadoscomo operadores lógicos ou conectivos lógicos.

Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição, queé usado num sentido técnico.

Definição 2.1. Por uma proposição queremos dizer uma declaração queé verdadeira ou falsa, mas não ambos.

Definição 2.2. O valor verdade, ou valor lógico, de uma proposição é oestado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa. Sendo assim ovalor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposiçãoverdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa.

De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as propo-sições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas apossibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor ver-dade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições. Emoutras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda-

55

deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser definitivamente umacoisa ou outra. Sendo assim, assumimos os seguintes princípios:

Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode serverdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter doisvalores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F),não podendo ter outro valor.

Exemplo 2.3. Cada uma das seguintes frases é uma proposição:

1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás.

2) 3 + 4 é 5.

3) A lua e feita de caramelo.

4) Não há vida inteligente em Saturno.

5) Está nevando.

6) -1 é raíz da equação x

2 ≠ x + 1 = 0.

7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo.

8) Tinha um mosquito na Arca de Noé.

9) Todo gato é um felino.

Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) sãofalsas. Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de(d) e (h). A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local edas condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita.

Exemplo 2.4. As frases seguintes não são proposições, porque não fazsentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa.

1) Vamos a praia!

2) Tudo bem com você?

3) Que horas são?

4) Bom dia!

É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição deuma realidade e que representa uma informação enunciada por uma ora-ção e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes. Por exemplo:

Gabriela é maior que Letícia. ou Letícia é menor que Gabriela.

56


Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição.

1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grandedo Sul.

2. Aristóteles tinha pés chatos.

3. O socialismo está errado.

4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Astrônio, de TerraRoxa.

5. O filme “fogo contra fogo” é bom.

6. x

2 = ≠1

7. Joana e Pedro são pessoas boas.

8. Eu estou usando facebook.

9. Quanto vale este carro?

10. Saia da grama.

11. (x + y)2 = x

2 + y

2.

12. Use sempre cinto de segurança.

13. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin.

14. Não minta!

15. Existe vida inteligente na lua.

16. Ela não é ciumenta.

17. Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelasque você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F),e aquelas cujo status pode ser difícil determinar.

57

Definição 2.5. As proposições universais são aquelas em que o predi-cado refere-se à totalidade do conjunto.

Exemplo 2.6. Fique atento à estrutura das seguintes proposições uni-versais.

1) Todos os homens são mentirosos. Esta proposição é universal afir-mativa.

2) Toda regra é certa. Esta proposição é universal afirmativa.

3) Nenhum homem é mentiroso. Esta proposição é universal negativa.

4) Nenhuma bola é quadrada. Esta proposição é universal negativa.

Na Definição 2.5 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário.

5) A vaca berra.

6) O filho tem mãe.

7) Açucar é doce.

8) Peixe nada.

Definição 2.7. As proposições existenciais são aquelas em que o predi-cado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo 2.8. Fique atento à estrutura das seguintes proposições exis-tenciais.

1) Alguns homens são mentirosos. Esta proposição é existencial afirma-tiva.

2) Alguns homens não são mentirosos. Esta proposição é existencialnegativa.

3) Alguns alunos não são estudiosos. Esta proposição é existencial ne-gativa.

4) Alguns professores são bons educadores. Esta proposição é existencialnegativa.

Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessá-rios para caracterizar “alguns”? Em matemática e, consequentemente,em lógica “alguns” significa “pelo menos um”.

58


Verifique quais das seguintes são proposições universais, existen-ciais, afirmativas ou negativas.

1. Todos os homens de bigode são preguiçosos.

2. Nenhum pedreiro é eletricista.

3. Alguns peixes respiram ar.

4. Algum estudante tem uma camisa azul.

5. Todo ser humano é mortal.

6. Todos os quadrados tem quatro lados.

7. Alguns números reais são racionais.

8. Nenhum cachorro mia.

9. Todo número entre 0 e 1 é menor que ≠1.

10. Alguns homens são criminosos.

11. Nenhuma mulher é ciumenta.

12. Todos os dias são ensolarados.

13. Nenhuma mulher deve apanhar de um homem.

14. Nenhum homem deve bater em uma mulher.

15. Todas as crianças estão brincando.

16. Algumas palavras ferem.

17. Todas as provas de matemática são difíceis.

18. Todo advogado é cruel.

59

Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciadoverbal que pode ser verdadeiro ou falso. Além disso, uma proposiçãopode ser simples ou composta.

Definição 2.9. Uma proposição simples é toda sentença que contémapenas uma única frase afirmativa.

Exemplo 2.10. Todas as proposições que vimos até o momento sãosimples. Ademais temos:

1) O gato é pequeno.

2) O cachorro é bravo.

3) x

2 = 1.

4) O carro é vermelho.

5) Esse exemplo é sobre lógica.

6) |y| = 0

Definição 2.11. Uma proposição composta é toda sentença formada porduas ou mais proposições.

A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a defi-nição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta aessa pergunta é simples. Para construir proposições compostas usamosas palavras “e”, “ou”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, chamadasconectivos.

Sabemos ainda que existem palavras que modificam o sentido de umafrase. Por exemplo, a palavra “não”. Quando usamos a palavra “não” oresultado é a negação da frase original. Por exemplo, se temos a frase:“A terra é um planeta”. Com a palavra “não” teremos a negação destafrase, que é, “A terra não é um planeta”.

Exemplo 2.12. Considerando as proposições simples dadas no Exemplo2.10, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compos-tas:

1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.

2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.

3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gatonão é pequeno.

4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.

5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.

60

6) Se x

2 = 1 , então x = 1 ou x = ≠1.

7) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.

8) Se você está com fome, então coma um sanduíche.

9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.

10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo.

11) Eu queria um bolo e algo menos calórico.

Exemplo 2.13. Observe as seguintes proposições compostas e extraiadelas as proposições simples.

1) A lua é quadrada ou a neve é branca.

(a) A lua é quadrada. (simples)(b) A neve é branca. (simples)

2) Se o inferno ficar frio então eu me caso com você.

(a) O inferno fica frio. (simples)(b) Eu me caso com você. (simples)

3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu fico em casa.

(a) O meu carro pifa. (simples)(b) Meu amigo vai a festa. (simples)(c) Eu fico em casa. (simples)

4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todosde branco.

(a) Aplico a prova. (simples)(b) Os alunos aparecem. (simples)(c) Todos estão de branco. (simples)

5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta.

(a) Eu vou casar. (simples)(b) Eu vou comprar uma bicicleta. (simples)

6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir.

(a) Vou viajar. (simples)(b) Meu gato late. (simples)

61


Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples.Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construanovas proposições compostas, diferentes das já dadas.

1. 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.

2. Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letíciajoga video game.

3. fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.

4. Trabalho durante o jogo ou vou dormir.

5. O gato é pequeno e o cachorro é bravo.

6. O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.

7. Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelhoe o gato não é pequeno.

8. Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.

9. O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.

10. Se x

2 = 1, então x = 1 ou x = ≠1.

11. |y| = 0 se, e somente se, y = 0.

12. Não é verdade que não esta chovendo.

13. Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado.

14. Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milio-nária, então fico milionário.

15. Se você está com fome, então coma um sanduíche.

16. Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.

17. Você não tem nada a dizer ou está mentindo.

18. Eu queria um bolo e algo menos calórico.

62

Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, massim com variáveis proposicionais que representam as proposições. Sendoassim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, taiscomo p, q, r, ... para representar proposições simples, e letras maiúsculasP , Q, R, ... para representar proposições compostas. Por exemplo,

p: A lua é quadrada. (simples)

Q: Se o meu carro não funcionar, então vou ficar em casa. (composta)

Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas pararepresentar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamadosde conectivos lógicos ou operadores lógicos, para representar os conectivos“e”, “ou”, “não”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, os quais sãoapresentados na sequência.

Definição 2.14. O conectivo “não” é representado pelo símbolo ≥.Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição ≥ p (lê-se: não p).

Exemplo 2.15. Observe que o conectivo lógico ≥ age apenas sobre umaúnica proposição.

p: A terra é um planeta.

≥ p: A terra não é um planeta.

Definição 2.16. O conectivo “e” é representado pelo símbolo ·. Como conectivo lógico · obtemos a partir de duas proposições p e q, umanova proposição p · q (lê-se: p e q) chamada conjunção.

Exemplo 2.17. Observe que ao contrário do conectivo lógico ≥, o co-nectivo lógico · age sobre duas proposições.

p: A terra é uma estrela.

q: O gato é um animal.

p · q: A terra é uma estrela e o gato é um animal.

Definição 2.18. O conectivo “ou” é representado pelo símbolo ‚. Como conectivo lógico ‚ obtemos a partir de duas proposições p e q, umanova proposição p ‚ q (lê-se: p ou q) chamada disjunção.

Exemplo 2.19. Observe que, assim como o conectivo ·, o conectivo ‚age sobre duas proposições.


63


p ‚ q: A terra é uma estrela ou o gato é um animal.

Definição 2.20. O conectivo “se..., então” é representado pelo símboloæ, Com o conectivo lógico æ obtemos a partir de duas proposições p eq, uma nova proposição p æ q (lê-se: Se p , então q) chamada implicaçãoou condicional.

Exemplo 2.21. Observe que este conectivo também age sobre duasproposições.



p æ q: Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal.

Definição 2.22. O conectivo “se, e somente se” é representado pelosímbolo ¡. Com o conectivo lógico ¡ obtemos a partir de duas pro-posições p e q, uma nova proposição p ¡ q (lê-se: p se, e somente se, q)chamada dupla implicação ou bicondicional.

Exemplo 2.23. Observe que este conectivo também age sobre duasproposições.



p ¡ q: A terra é uma estrela se, e somente se, o gato é um animal.

Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos umsímbolo auxiliar, a saber os parênteses “( )”, para evitar ambiguidades edelimitar o “alcance” de cada conectivo. Considere a proposição:

p · q ‚ r.

Sem uma regra definida, podemos colocar os parênteses nesta proposiçãode duas formas diferentes. Vejamos:

(p · q) ‚ r ou p · (q ‚ r)

Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação deparênteses, sem uma regra de uso definida, delimita o “alcance” de cadaconectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade. Sendo assim, parauma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usa-dos seguindo a seguinte ordem dos conectivos:

≥ ‚ · æ ¡

64

Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, conse-cutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção peladireita, ou seja, se temos a proposição

p æ q æ r æ t æ h

colocamos primeiro os parênteses no último conectivo æ a direita, depoisno penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve serentendida como

(p æ (q æ (r æ (t æ h))))

Exemplo 2.24. Se temos a proposição

p ‚ q· ≥ r æ p æ≥ q

colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentadaanteriormente e, dessa forma, obtemos:

(((p ‚ q) · (≥ r)) æ (p æ (≥ q)))

Exemplo 2.25. Escreva as seguintes proposições em linguagem simbó-lica, colocando apropriadamente os parênteses.

1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela.Sendo p: o cachorro late, q: o gato mia e r: a lua é uma estrela, vemque:

(p · q) æ r

2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela.Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior,vem que:

p · (q æ r)

3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela.Sendo p, q e r como antes, vem que:

((≥ p) · q) æ (≥ r)

4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela.Em linguagem proposicional temos:

(p ‚ q) ¡ r

65


1. Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições aseguir.

(a) p ‚ q · q ‚ r

(b) p · q æ h æ r æ s

(c) g ¡ f‚ ≥ q · h · r · s

(d) p æ r · q æ r

(e) ≥ q · p æ q

(f) p ‚ q· ≥ p

(g) p æ q ‚ r

(h) p ‚ q æ r

2. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições.

(a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.(b) Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Le-

tícia joga video game.(c) fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.(d) Não é verdade que não esta chovendo.(e) Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chate-

ado.(f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança,

então fico milionário.(g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH.(h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.(i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.(j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.(k) Se x

2 = 1, então x = 1 ou x = ≠1.(l) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.

66

2.2 Tabelas Verdade

A Tabela Verdade é um instrumento eficiente usado em lógica para de-terminar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida.

Definição 2.26. Por subproposições entendemos o conjunto formadopor todas as proposições que ocorrem na proposição P , observando aprecedência entre os conectivos.

Exemplo 2.27. Determine o conjunto de subproposições da proposição

≥ ((p · q) æ r)

Solução. Na proposição dada temos que o conectivo · precede o conec-tivo æ, que por sua vez precede o conectivo ≥. Ou seja, para determinaros possíveis valores verdade de ≥ ((p · q) æ r) antes precisamos deter-minar os possíveis valores verdade de (p · q) æ r. E para determinar ospossíveis valores verdade de (p · q) æ r, primeiro precisamos determi-nar os possíveis valores verdade de p · q. No entanto, antes de tudo, énecessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r. Portanto,concluímos que a proposição ≥ ((p · q) æ r) possui o seguinte conjuntode subproposições:

{p, q, r, p · q, (p · q) æ r, ≥ ((p · q) æ r)}.

Definição 2.28. Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidadescombinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quaisse encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), eum conjunto de conectivos lógicos.

A Definição 2.28 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposiçãoP determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P ,considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidasna proposição P .

Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada porlinhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo númerode proposições simples contidas na proposição P , e o número de colunasé determinado pelo número de subproposições da proposição P . Emoutras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste:

1. De uma linha em que estão contidas todas as proposições simplese demais subproposições da proposição P . Por exemplo, suponhaque a proposição P seja ≥ ((p · q) æ r). Como vimos no Exemplo2.27, o conjunto de subproposições desta proposição é:

{p, q, r, p · q, (p · q) æ r, ≥ ((p · q) æ r)}.

67

Tabela 2.1: Primeira linha da Tabela Verdade.

p q r p·q (p · q) æ r ≥ ((p·q) æ r)

Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposi-ções, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linhadesta tabela é dada por:

2. De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, Vou F, que as proposições simples contidas em P possam assu-mir. O número destas linhas é L = 2n, sendo n o número deproposições simples contidas em P . No exemplo acima, a fórmula≥ ((p · q) æ r) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto,a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L = 23 = 8 linhas,que representam as possibilidades combinatórias entre os valoresverdade de p, q e r. A saber:

Tabela 2.2: Possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r.

p q r p·q (p · q) æ r ≥ ((p·q) æ r)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observe que na Tabela Verdade 2.2 existem algumas colunas nãopreenchidas. Tais colunas serão preenchidas de acordo com a TabelaVerdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co-

68

lunas. Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é aconjunção ·, cujos valores verdade dependem dos valores verdade dasproposições simples p e q. Agora na quinta coluna, o principal conectivológico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conectivo lógico ·.Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dospossíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valoresverdade da proposição p · q, os quais neste momento já foram deter-minados na quarta coluna. Finalmente, na última coluna o principalconectivo lógico é a negação ≥, pois este é precedido pelos conectivoslógicos · e æ, e os valores verdade desta última coluna depende unica-mente dos valores verdade de (p · q) æ r, os quais, neste momento, jáforam determinados na quinta coluna.

Na seqüência apresentaremos as definições das Tabelas Verdade decada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente. Fique atentoàs referidas definições e as estude com calma, pois, elas formam a basepara a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta.

Definição 2.29. A proposição ≥ p é a negação da proposição p, demaneira que se p é verdadeira então ≥ p é falsa, e vice-versa.

Tabela 2.3: Tabela Verdade da Negação.

p ≥ p

V F

F V

Definição 2.30. A conjunção p · q será verdadeira somente quando asduas proposições p e q forem verdadeiras.

Tabela 2.4: Tabela Verdade da Conjunção.

p q p·q

F F F

V F F

F V F

V V V

69

Definição 2.31. A disjunção p ‚ q será verdadeira quando pelo menosuma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quandoas duas proposições p e q forem falsas.

Tabela 2.5: Tabela Verdade da Disjunção.

p q p‚q

V V V

V F V

F V V

F F F

Definição 2.32. A implicação p æ q será falsa somente quando a pro-posição p for verdadeira e a proposição q for falsa.

Tabela 2.6: Tabela Verdade da Implicação.

p q p æ q

V V V

V F F

F V V

F F V

Definição 2.33. A dupla implicação p ¡ q será verdadeira se as propo-sições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras,ou ambas falsas.

Exemplo 2.34. Determine os possíveis valores verdade das proposiçõesa seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade.

1. (p · q) æ r

Temos que a proposição em questão possui três proposições sim-ples, p, q e r, e o seu conjunto de subproposições é

{p, q, r, p · q, (p · q) æ r}

70

Tabela 2.7: Tabela Verdade da Dupla Implicação.

p q p ¡ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 23 = 8linhas, a saber:

Tabela 2.8: Tabela Verdade da proposição (p · q) æ r.

p q r p·q (p · q) æ r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observe que na quarta coluna da Tabela 2.8 o principal conectivológico é a conjunção ·, cujos valores verdade dependem dos valoresverdade das proposições simples p e q.Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na TabelaVerdade da conjunção (Definição 2.30), observando a primeira ea segunda coluna da mesma tabela. Na quinta coluna o principalconectivo lógico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conec-tivo lógico ·. Esta quinta coluna da tabela é construída com basena Tabela Verdade da implicação (Definição 2.32), observando a

71

Tabela 2.9: Tabela Verdade da proposição (p · q) æ r.

p q r p·q (p · q) æ r

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade destacoluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição sim-ples r e dos possíveis valores verdade da proposição p · q.

2. ≥ q æ≥ p

Neste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q, eo seu conjunto de subproposições é

{p, q, ≥ p, ≥ q, ≥ q æ≥ p}

Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 22 = 4linhas, a saber:

Tabela 2.10: Tabela Verdade da proposição≥ q æ≥ p.

p q ≥ q ≥ p ≥ q æ≥ p

V V F F V

V F V F F

F V F V V

F F V V V

72

Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta co-luna é a negação ≥, portanto, são construídas com base na TabelaVerdade da negação (Definição 2.29), observando a segunda e aprimeira coluna, respectivamente. Já na última coluna, o princi-pal conectivo é æ, e é construída com base na Tabela Verdadeda implicação (Definição 2.32), observando a terceira e a quartacoluna.

3. ≥ p ‚ q

A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições:

{p, q, ≥ p, ≥ p ‚ q}

Portanto, sua Tabela Verdade é dada por:

Tabela 2.11: Tabela Verdade da proposição≥ p ‚ q.

p q ≥ p ≥ p ‚ q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídascom base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Definições2.29 e 2.31), respectivamente.

73


Quando achar necessário coloque apropriadamente os parêntesese construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições:

1. (p æ r) · (q æ r)

2. p · (p æ q)

3. ≥ q · (p æ q)

4. (p ‚ q) · (≥ p)

5. p æ (q ‚ r)

6. p · (p æ q) æ q

7. ≥ q · (p æ q) æ≥ p

8. (p æ q) · (q æ r) æ (p æ r)

9. (p ‚ q)· ≥ p æ q

10. p · q æ p

11. p æ p ‚ q

12. (p æ (q ‚ r))· ≥ q æ p æ r

13. (p æ r) · (q æ r) æ (p ‚ q) æ r

14. (p ¡ q) ¡ (p æ q) · (q æ p)

15. p · (q ‚ r) ¡ (p · q) ‚ (p · r)

16. p æ (q · r) ¡ (p æ q) · (p æ r)

17. p ‚ (q · r) ¡ (p ‚ q) · (p ‚ r)

18. p æ (q ‚ r) ¡ (p æ q) ‚ (p æ r)

74

2.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia

Definição 2.35. Dizemos que uma proposição composta é uma contin-gência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos,independentemente dos valores verdade das proposições simples que acompõe. Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual deter-mina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F.

Exemplo 2.36. As proposições compostas apresentadas no Exemplo2.34 são todas uma contingência. De fato, observe que a última colunade cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade Ve F.

Definição 2.37. Dizemos que uma proposição composta é uma tau-tologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros,independentemente dos valores verdade das proposições simples que acompõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade,só tem o valor verdade V.

Exemplo 2.38. As proposições p‚ ≥ p, p · (p æ q) æ q, ≥ q · (p æq) æ≥ p e ≥ (p · q) æ≥ p‚ ≥ q são tautologias. De fato, bastaobservar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade dasproposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V.

Tabela 2.12: Tabela Verdade da proposição p‚ ≥ p.

p ≥ p p‚ ≥ p

V F V

F V V

Tabela 2.13: Tabela Verdade da proposição p · (p æ q) æ q.

p q p æ q p · (p æ q) p· (p æ q) æ q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

75

Tabe

la2.14:Tab

elaVerda

deda

prop

osição

≥q

·(p

æq)æ

≥p.

pq

≥p

≥q

pæ

q≥

q·

(pæ

q)

≥q·

(pæ

q)æ

≥p

VV

FF

VF

V

VF

FV

FF

V

FV

VF

VF

V

FF

VV

VV

V

Tabe

la2.15:Tab

elaVerda

deda

prop

osição

≥(p

·q)æ

≥p‚

≥q.

pq

≥p

≥q

p·

q≥

(p·

q)

≥p‚

≥q

≥(p

·q)æ

≥p‚

≥q

VV

FF

VF

FV

VF

FV

FV

VV

FV

VF

FV

VV

FF

VV

FV

VV

76

Definição 2.39 (Contra-Tautologia). Dizemos que uma proposiçãocomposta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdadesão sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposi-ções simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da suaTabela Verdade, só tem o valor verdade F.

Exemplo 2.40. As proposições p· ≥ p, ≥ (p‚q)·p, ≥ (p·q) ¡ (q·p)são contra-tautologia. De fato, observe que a última coluna de cada umadas respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valoresverdade, só tem o valor verdade F.

Tabela 2.16: Tabela Verdade da proposição p· ≥ p.

p ≥ p p· ≥ p

V F F

F V F

Tabela 2.17: Tabela Verdade da proposição≥ (p ‚ q) · p.

p q p ‚ q ≥ (p ‚ q) ≥ (p ‚ q) · p

V V V F F

V F V F F

F V V F F

F F F V F

Tabela 2.18: Tabela Verdade da proposição≥ (p · q) ¡ (q · p).

p q p·q q·p ≥ (p·q) ≥ (p·q) ¡ (q·p)

V V V V F F

V F F F V F

F V F F V F

F F F F V F

77

2.4 Implicação e Equivalência Tautológica

Definição 2.41. A proposição P implica tautologicamente a proposiçãoQ, e indicamos por P ∆ Q se, e somente se, a fórmula P æ Q é umatautologia.

Exemplo 2.42. 1. Dadas as proposições P : p · (p æ q) e Q : q,vimos no Exemplo 2.38 que P æ Q é uma tautologia, ou seja,P ∆ Q. Logo, P implica tautologicamente a proposição Q.

2. No mesmo Exemplo 2.38 temos que ≥ q·(p æ q) æ≥ p é uma tau-tologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamentea proposição Q, sendo P :≥ q · (p æ q) e Q :≥ p.

3. Considere as proposições P : (p ‚ q)· ≥ p e Q : q e verifiquemos seP ∆ Q. Para isto basta verificar, com o uso da Tabela Verdade,se P æ Q é uma tautologia. Veja Tabela 2.20.

Definição 2.43. Duas proposições P e Q são tautologicamente equiva-lentes, e indicamos por P … Q, se, e somente se, a proposição P ¡ Q éuma tautologia.

Exemplo 2.44. 1. É fácil ver que as implicações p æ q e ≥ q æ≥ p

são equivalentes, ou seja, p æ q … ≥ q æ≥ p. Certamente,construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p æq ¡ ≥ q æ≥ p é uma tautologia, como se vê na Tabela 2.21.

2. Verifiquemos que proposição p æ q é equivalente a proposição≥ p ‚ q. Para isto basta verificar que a proposição p æ q ¡≥ p ‚ q

é uma tautologia. O que de fato acontece como mostra a TabelaVerdade a seguir.

Tabela 2.19: Tabela Verdade da proposição p æ q ¡≥ p ‚ q.

p q ≥ p p æ p ≥ p‚q p æ q ¡≥ p‚q

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

78

Tabe

la2.20:Tab

elaVerda

deda

prop

osição

(p‚

q)·

≥p

æq.

pq

p‚

q≥

pp

‚q

(p‚

q)·

≥p

(p‚

q)·

≥p

æq

VV

VF

VF

V

VF

VF

VF

V

FV

VV

VV

V

FF

FV

FF

V

Tabe

la2.21:Tab

elaVerda

deda

prop

osição

pæ

q¡

≥q

æ≥

p.

pq

pæ

q

≥q

≥p

≥q

æ≥

pp

æq

¡≥

qæ

≥p

VV

VF

FV

V

VF

FV

FF

V

FV

VF

VV

V

FF

VV

VV

V

79


1. Verifique as seguintes implicações tautológicas:

(a) Modus Ponens: p · (p æ q) ∆ q

(b) Modus Tollens: ≥ q · (p æ q) ∆≥ p

(c) Silogismo Hipotético: (p æ q) · (q æ r) ∆ (p æ r)(d) Silogismo Disjuntivo: (p ‚ q)· ≥ p ∆ q

(e) Simplificação: p · q ∆ p

(f) Adição: p ∆ p ‚ q

(g) Eliminação: (p æ (q ‚ r))· ≥ q ∆ p æ r

(h) Prova por Casos: (p æ r) · (q æ r) ∆ (p ‚ q) æ r

(i) Negação: ≥ (≥ p) ∆ p

(j) Contraposição: p æ q ∆≥ q æ≥ p

(k) Troca de Premissas: p æ (q æ r) ∆ q æ (p æ r)(l) Idempotente para ·:: p · p ∆ p

(m) Idempotente para ‚: p ‚ p ∆ p

(n) Associativa para ·: (p · q) · r ∆ p · (q · r)(o) Associativa para ‚: (p ‚ q) ‚ r ∆ p ‚ (q ‚ r)(p) Lei de De Morgan: ≥ (p · q) ∆≥ p‚ ≥ q

(q) Lei de De Morgan: ≥ (p ‚ q) ∆≥ p· ≥ q

(r) Definição Implicação: p æ q ∆≥ p ‚ q

(s) Comutativa para ·: p · q ∆ q · p

(t) Comutativa para ‚: p ‚ q ∆ q ‚ p

80

2. Verifique as seguintes equivalências tautológicas:

(a) Comutativa para ·: p · q … q · p

(b) Comutativa para ‚: p ‚ q … q ‚ p

(c) Associativa para ·: (p · q) · r … p · (q · r)(d) Associativa para ‚: (p ‚ q) ‚ r … p ‚ (q ‚ r)(e) Idempotente para ·: p · p … p

(f) Idempotente para ‚: p ‚ p … p

(g) Absorção: p · (p ‚ r) … p

(h) Absorção: p ‚ (p · r) … p

(i) Distributivas para ·: p · (q ‚ r) … (p · q) ‚ (p · r)(j) Distributivas para ‚: p ‚ (q · r) … (p ‚ q) · (p ‚ r)(k) Distributivas para æ: p æ (q ·r) … (p æ q)·(p æ r)(l) Distributivas para æ: p æ (q ‚r) … (p æ q)‚(p æ r)

(m) Lei de De Morgan: ≥ (p · q) …≥ p‚ ≥ q

(n) Lei de De Morgan: ≥ (p ‚ q) …≥ p· ≥ q

(o) Definição Implicação: p æ q …≥ p ‚ q

(p) Definição Implicação: p æ q …≥ (p· ≥ q)(q) Definição Bicondicional: p ¡ q … (p æ q) · (q æ p)(r) Definição Bicondicional: p ¡ q … (≥ p ‚ q) · (≥ q ‚ p)(s) Negação: ≥ (≥ p) … p

(t) Contraposição: p æ q …≥ q æ≥ p

(u) Troca de Premissas: p æ (q æ r) … q æ (p æ r)(v) Exportação (∆) e Importação (≈):

(p · q) æ r … p æ (q æ r)

81

3. Enunciados, Demonstrações e Paradoxos

Vemos nos livros de matemática, bem como neste texto, que a linguagemmatemática consiste de um sistema simbólico, com símbolos próprios quese relacionam entre si ou não. A bem da verdade, se compararmos umlivro, por exemplo, de literatura com um livro de matemática observa-mos de imediato uma certa estranheza entre esses dois, pois em um livrode matemática além de haver vários símbolos, estes geralmente carre-gam um significado de algum conceito ou propriedade. No entanto, oaprendizado em matemática esta diretamente relacionado com o conhe-cimento e entendimento da linguagem destes símbolos que lhe é peculiar.Certamente, não podemos desanimar se porventura encontramos dificul-dades no entendimento da linguagem matemática, pois é sabido que talaprendizado é gradual e depende do tempo, da experiência e dedicaçãode cada um.

Na linguagem matemática constantemente nos deparamos com ter-mos, palavras, que não são muitos comuns no nosso dia a dia, comopor exemplo, definição, axioma, postulado, conjectura, teorema, lema,proposição e corolário. O entendimento ou não destes termos vez ou ou-tra causam dúvidas ou até mesmo dificuldades na compreensão do querealmente significa um determinado enunciado em matemática.

3.1 Definições, Teoremas e Demonstrações

Uma Definição em matemática é um enunciado que descreve um con-ceito, ou seja, o significado de uma palavra ou frase ou objeto de umamaneira muito específica. Por exemplo:

Definição 3.1. Representamos o conjunto dos números naturais{0, 1, 2, 3, ...} por IN.

Definição 3.2. Representamos o conjunto dos números inteiros{..., ≠3, ≠2, ≠1, 0, 1, 2, 3, ...} por ZZ.

Além disso, a palavra ou frase pode ser definida em termos de umalista de propriedades necessárias que pode estar subentendida pela re-dação. Segue alguns exemplos:

Definição 3.3. Um número natural n é dito um número par, se existirum número natural k tal que n = 2k.

Definição 3.4. Um número natural n é dito um número ímpar, se existirum número natural k tal que n = 2k + 1.

82

Observe que as definições dos conceitos de número par e número ím-par dadas acima, respectivamente Definição 3.3 e Definição 3.4, possuempropriedades a serem satisfeitas. Na verdade, de um modo geral a defini-ção de um conceito em matemática tem propriedades que são requisitosabsolutos a serem obedecidos.

É fácil ver que pela Definição 3.3 o número 6 é número par, pois,existe o número natural 3 tal que 6 = 2 · 3. Também, pela Definição 3.4o número 11 é número ímpar, pois, existe o número natural 5 tal que11 = 2 ·5+1. Por outro lado, de acordo com as Definição 3.3 e Definição3.4 o número ≠2 não é número par e nem um número ímpar, pois,uma propriedade que esta subentendida nas referidas definições é que onúmero n deve ser um número natural. Como ≠2 é um número inteiro,ou seja, ≠2 não é um número natural, então as referidas definições nãose aplicam. Porém, podemos redefinir os conceitos de números parese ímpares de maneira a contemplar todos os números inteiros e nãosomente os números naturais, vejamos:Definição 3.5. Um número inteiro n é dito um número par, se existirum número inteiro k tal que n = 2k.Definição 3.6. Um número inteiro n é dito um número ímpar, se existirum número inteiro k tal que n = 2k + 1.

Como podemos verificar, pela Definição 3.6 o número 11 é aindanúmero ímpar, pois, existe o número inteiro 5 tal que 11 = 2 · 5 + 1. Nãoobstante, pela Definição 3.5 o número 6 ainda é número par, pois, existeo número inteiro 3 tal que 6 = 2 · 3, bem como ≠2 agora também o é,pois, existe o número inteiro ≠1 tal que ≠2 = 2 · (≠1).

Neste sentindo, se queremos apresentar um exemplo para um conceitodefinido, este deve ter todas as propriedades exigidas pela definição,e não apenas algumas. Por outro lado, todo objeto matemático quesatisfaz todas as propriedades requeridas pela definição, é um exemplodo conceito.

Ressaltamos ainda que cada afirmação correta sobre o conceito de-finido deve decorrer logicamente da sua definição. Em outras palavras,em matemática, depois de estudar uma definição ou uma classe de ob-jetos, podemos fazer especulações, afirmações, e verificar se as mesmassão verdadeiras ou não. Porém, há afirmações admitidas sempre comoverdadeiras, sem a necessidade de uma verificação ou mesmo justifica-tiva, as quais chamamos de axioma ou postulado. Em outras palavras,os axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas e queem geral são usados como ponto de partida para a construção de umateoria em matemática ou como base para uma argumentação. Observenos exemplos a seguir que as duas afirmações são verdades evidentes,óbvias, mas que ao rigor da palavra não pode ser verificada, pois sãoderivadas da intuição ou do conhecimento empírico.

83

Axioma 3.7 (Axioma da Boa-Ordenação). Todo subconjunto não-vaziodos números naturais contém um menor elemento.

Postulado 3.8 (Postulado da Existência). Numa reta, bem como foradela, existem infinitos pontos.

De um modo geral, como intuitivamente podemos perceber e já co-mentamos, dos axiomas juntamente com as definições dos conceitos emuma teoria matemática podemos derivar, após raciocínios lógicos, resul-tados ou afirmações. Em geral uma afirmação pode depender de algunsfatores (variáveis) fazendo com que ela seja verdadeira em algumas si-tuações e em outras não. Quando as afirmações são verdadeiras, pormeio de uma verificação ou justificativa, as denominamos Teorema ouLema ou Proposição ou Corolário. De fato, antes de se tornar um te-orema, uma afirmação é colocada como uma Conjectura matemática,isto é, uma afirmação proposta como verdade, pois muitos matemáticosacham que deve ser verdadeira, mas que precisa ser verificada para as-cender a um status de teorema. Antes de apresentarmos um exemplo deconjectura, lembremos o que é um número primo.

Definição 3.9. Um número natural p é um número primo quando eletem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo.

Como exemplo de números primos temos o 2, 3, 5, 7, 11 e assim pordiante. Já os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 são números pares, consequen-temente são divisíveis por 2, e portanto de acordo com a Definição 3.9não são números primos. Porém, observe que:

• 4 = 2 + 2

• 6 = 3 + 3

• 8 = 3 + 5

• 10 = 5 + 5

• 12 = 5 + 7

• 14 = 7 + 7

Vemos claramente, nestes exemplos, que os referidos números paressão iguais a soma de dois números primos. O leitor curioso pode irverificando essa propriedade para cada um dos números pares, um a um,como já fizeram diversos matemáticos para milhares deles.

Esta simples observação levou à famosa Conjectura de Goldbach,proposta pelo matemático Christian Goldbach em 7 de junho de 1742,a saber:

Conjectura 3.10. Todo número par maior que 3 é igual a soma de doisnúmeros primos.

Apesar desta conjectura ser muito simples, para que ela se torne umTeorema é preciso que alguém encontre uma justificativa que assegure

84

que qualquer um dos infinitos números pares pode ser escrito como somade dois primos. Felizmente esta conjectura não é mais uma dor de cabeçapara os matemáticas, pois em 2013, depois de 271 anos que a conjecturafoi proposta, o matemático peruano Harald Helfgott resolveu o referidoproblema, considerado um dos problemas matemáticos mais difíceis dahistória. Para atender mentes curiosas seguem outros exemplos de con-jecturas famosas:

Conjectura 3.11 (Hipótese do Continuum). Não existe nenhum con-junto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros emenos elementos do que o conjunto dos números reais.

Conjectura 3.12 (Conjectura dos Primos Gêmeos). Existem infinitosnúmeros primos cuja diferença entre eles é 2.

Conjectura 3.13 (Último Teorema de Fermat). Não existe nenhumconjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaçax

n + y

n = z

n.

Conjectura 3.14 (Conjectura de Poincaré). Qualquer variedade tridi-mensional fechada e com grupo fundamental trivial é homeomorfa a umaesfera tridimensional.

Não obstante, não existe uma regra específica para denominar umaafirmação de Teorema, Lema ou Proposição, em geral uma afirmaçãoque pode ser avaliada exclusivamente como verdadeira ou falsa é deno-minada:

1. Teorema se a afirmação é de caráter relevante, ou seja, ela possuiuma maior importância dentro do contexto da teoria em questão.

Teorema 3.15. A soma de dois números ímpares é um númeropar.

Teorema 3.16. O produto de um número par por um númeroímpar é um número par.

2. Proposição se a afirmação é “menos importante” dentre outras afir-mações.

Proposição 3.17. Se n œ ZZ, então 5n

2 + 3n + 7 é ímpar.

Proposição 3.18. Se n é ímpar, então 3n + 9 é par.

3. Lema se a afirmação é usada como ferramenta fundamental paraprovar uma outra afirmação. Em outras palavras, um lema é umaafirmação que serve de base para provar um teorema ou uma pro-posição. Geralmente um lema se apresenta imediatamente antes

85

de um teorema ou proposição para o qual ele é indispensável. Noentanto, isso não quer dizer que ele não poderá ser usado em outrassituações.

Lema 3.19. A soma de um número par com um número ímpar éum número ímpar.


2 + 3n + 7 é ímpar.

Proposição 3.21. Se n é ímpar, então 3n + 9 é par.

4. Corolário se a afirmação é obtida como consequência direta e/ouimediata de um teorema ou proposição. Geralmente um coroláriose apresenta imediatamente depois de um teorema ou proposição.

Teorema 3.22. A soma de dois números pares é um número par.

Corolário 3.23. A diferença de dois números pares é um númeropar.

Teorema 3.24. O produto de dois números pares é um númeropar.

Corolário 3.25. Se n œ é par, então n

2 é par.

Teorema 3.26. O produto de um número ímpar por um númeroímpar é um número ímpar.

Corolário 3.27. Se n œ é ímpar, então n

2 é ímpar.

De um modo geral, todo Teorema, Proposição, Lema e Corolário écomposto de um enunciado que se divide em duas partes, Hipótese eTese, e de uma Demonstração. A Hipótese é o conjunto de condições(premissas) que admitimos como verdadeiras e a Tese (conclusão) é oque queremos concluir como verdadeiro e a Demonstração (prova) é oraciocínio que usamos para verificar a Tese.

Basicamente o enunciado de um Teorema, Proposição, Lema e Coro-lário é uma implicação tautológica (Hipótese ∆ Tese) ou uma equivalên-cia tautológica (Hipótese … Tese), ou seja, os enunciados são da forma:

1. Se Hipótese é verdade, então Tese é verdade.

Lema 3.28. Sejam x, y œ ZZ. Se x · y = 0, então x = 0 ou y = 0.

2. Hipótese é verdade se, e somente se, Tese é verdade.

Teorema 3.29. x œ ZZ é par se, e somente se, o algarismo dasunidades de x é par.

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Ressaltamos que nem sempre o enunciado de uma afirmação se apresentacom a Hipótese e a Tese separadas como apresentamos nos exemplosanteriores. Por exemplo, no Teorema 3.16 temos:

Hipótese: um número par x e um número ímpar y.

Tese: o produto x · y é um número par.

Portanto, fica evidente que é extremamente importante identificar emum enunciado a ser verificado a Hipótese e a Tese.

A Demonstração de um Teorema, Lema, Proposição ou Coroláriocomeça com a Hipótese aceita como verdadeira e, através de um ra-ciocínio lógico baseado nos axiomas, definições e/ou outras afirmaçõesreconhecidamente verdadeiras, chega à Tese. Além disso, uma vez apre-sentada e aceita a Demonstração de uma afirmação, esta não mais podeser questionada, a menos que exista algum descrédito sobre algumas dasargumentações usadas.

O início de uma demonstração é marcado com a palavra Demonstra-ção. Porém, há autores que marcam este início com a palavra Prova.Agora para marcar o fim de uma demonstração, geralmente, os autoresusam o símbolo imediatamente após terminar a demonstração.

Antes de iniciar uma demonstração é essencial identificar quem é ahipótese e quem é a tese, pois assim, sabemos de onde devemos partire onde desejamos chegar, nos orientando no “como” chegar, que é ademonstração em si. Vejamos:

Teorema 3.30. A soma de dois números ímpares é um número par.

Hipótese: Dois números ímpares, digamos, n e m.

Tese: A soma desses dois números ímpares é um número par, ou seja,m + n é par.

Demonstração: Sejam n e m dois números ímpares. Assim, pela De-finição 3.6, existem números inteiros k1 e k2 tais que

n = 2k1 + 1 e m = 2k2 + 1.

Dessa forma, temos que a soma dos dois números ímpares n e m é dadapor:

n + m = (2k1 + 1) + (2k2 + 1) = 2k1 + 2k2 + 2 = 2(k1 + k2 + 1).

Como k1, k2 e 1 são números inteiros, então k1 + k2 + 1 é também umnúmero inteiro. Assim, se escrevemos

k = k1 + k2 + 1

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podemos afirmar que k œ ZZ e que

n + m = 2k.

Portanto, concluímos pela Definição 3.5 que n + m é, de fato, umnúmero par, o que conclui a demonstração do teorema.

No Teorema 3.31 a seguir temos como hipótese dois números parese devemos concluir que o produto destes dois números é também umnúmero par.

Teorema 3.31. O produto de dois números pares é um número par.

Demonstração: Sejam x e y dois números pares. Assim, pela Definição3.5, existem números inteiros k1 e k2 tais que

x = 2k1 e y = 2k2.

Dessa forma, temos que o produto dos dois números pares x e y é dadopor:

xy = (2k1)(2k2) = 2(2k1k2).

Como k1, k2 e 2 são números inteiros, então 2k1k2 é também um númerointeiro. Assim, se escrevemos

k = 2k1k2

podemos afirmar que k œ ZZ e que

xy = 2k.

Portanto, concluímos pela Definição 3.5 que xy é, de fato, um númeropar, o que conclui a demonstração do teorema.

Corolário 3.32. Se n œ é par, então n

2 é par.

Demonstração: Se n é um número par temos, pelo Teorema 3.31, queo produto de n por n é também um número par, ou seja, nn = n

2 é umnúmero par, como queríamos demonstrar.

Teorema 3.33. O produto de um número ímpar por um número ímparé um número ímpar.

88

Demonstração: Suponha que x e y são ímpares, ou seja, pela Definição3.6, existem números inteiros k1 e k2 tais que

x = 2k1 + 1 e y = 2k2 + 1.

Logo temos:

xy = (2k1 +1)(2k2 +1) = 4k1k2 +2k1 +2k2 +1 = 2(2k1k2 +k1 +k2)+1.

Então xy = 2k + 1, onde k é o inteiro 2k1k2 + k1 + k2. Portanto, pelaDefinição 3.6, xy é ímpar.

Corolário 3.34. Se n œ é ímpar, então n

2 é ímpar.

Demonstração: Se n é um número ímpar temos, pelo Teorema 3.33,que o produto de n por n é também um número ímpar, ou seja, n

2 éímpar.

3.2 Tipos de Demonstrações

Quando nos propomos a fazer uma demonstração, devemos procurar es-crever de forma concisa, usando uma linguagem natural com sentençascompletas, bem como, identificar cada objeto usado, com sua definiçãoe possíveis propriedades. Ressaltamos ainda, que é de extrema impor-tância identificar o tipo da demonstração, por exemplo, DemonstraçãoDireta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e De-monstração Contra-positiva.

Uma demonstração é dita ser direta quando assumimos a hipótesecomo verdadeira e, a partir dela, verificamos que a tese é verdadeirapor meio de uma sequência de passos, cada um seguindo dos anteriores,através da combinação lógica dos axiomas, definições, simplificações ououtras afirmações verdadeiras já existentes. Fazendo um paralelo comas noções de lógica matemática, sendo P a hipótese e Q a tese, cadapasso advém de uma implicação “Se P , então Q” (P ∆ Q) ou de umadupla implicação “P se, e somente se, Q” (P … Q). Lembrando quepara demonstrar uma dupla implicação P … Q é necessário demonstrarque P ∆ Q e Q ∆ P . Segue alguns exemplos de demonstraçãodireta, além daquelas já apresentadas anteriormente. Iniciamos pordemonstrar o Teorema 3.16, o qual vemos claramente que não estaescrito explicitamente na forma “Se P , então Q”, mas é possívelreescreve-lo sem perder o seu sentido, vejamos:

Teorema 3.35. Se x é um número par e y é um número ímpar, entãoxy é um número par.

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Demonstração: Se x é par e y é ímpar, então, existem números inteirosk1 e k2 tais que

x = 2k1 e y = 2k2 + 1.

Logo temos:

xy = 2k1(2k2 + 1) = 4k1k2 + 2k1 = 2(2k1k2 + k1).

Então xy = 2k, onde k é o inteiro 2k1k2 + k1. Portanto, xy é par.

Proposição 3.36. Um inteiro x é par se, e somente se, x + 1 é ímpar.

Demonstração: Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x +1 é impar, então x é par.

(∆) Se um inteiro x é par, então x+1 é ímpar. De fato, se x é par, entãox = 2k para algum k œ ZZ e, consequentemente, x + 1 = 2k + 1,isto é, x + 1 é ímpar.

(≈) Se x + 1 é impar, então x é par. De fato, se x é ímpar, então x =2k+1 para algum k œ ZZ e, consequentemente, x = 2k+1≠1 = 2k,isto é, x é par.Portanto, concluímos a demonstração da proposição.

Em algumas situações a demonstração de uma afirmação pode exigirque a mesma seja dividida em casos. Quando isto acontece temos oque chamamos de demonstração por casos. Numa demonstração porcasos deve-se dividir o que se deseja demonstrar em um número finito decasos, de forma a cobrir todas as possibilidades, e demonstrar a afirmaçãopara cada caso. No entanto, não se pode confundir a demonstração porcasos com o fornecimento de um exemplo, pois, um exemplo não é umademonstração. Na verdade, não existe um limite para o número de casosque se pode ter, ou seja, pode haver dois casos, três casos ou até mesmomilhares de casos. Por exemplo, a primeira demonstração do Teoremadas Quatro Cores tinha 1.936 casos.

A demonstração da proposição a seguir exige ser dividida em doiscasos, a saber, o caso em que n é par e o caso em que o n ímpar. Vejamos:


2 + 3n + 7 é ímpar.

Demonstração: Se n œ ZZ, então n é um número par ou n é um númeroímpar. Logo, devemos considerar os dois casos possíveis.

a) Se n é par, pelo Corolário 3.32, n

2 é par. Consequentemente, peloTeorema 3.35, 5n

2 e 3n são pares. Além disso, pelo Teorema 3.22,5n

2 + 3n é par. Então, 5n

2 + 3n + 7 é a soma de dois pares e umímpar, que é ímpar.

90

b) Se n é par, pelo Corolário 3.32, n

2 é par. Consequentemente, peloTeorema 3.35, 5n

2 e 3n são pares. Além disso, pelo Teorema 3.22,5n

2 + 3n é par. Então, 5n

2 + 3n + 7 é a soma de dois pares e umímpar, que é ímpar.

Portanto, independentemente se n é par ou ímpar, 5n

2+3n+7 é ímpar.

Uma outra forma de demonstrar uma afirmação é usando a demons-tração contra-positiva, a qual consiste em assumir o contrário do que sequer provar, ou seja, negar a tese e obter a negação da hipótese. Deoutra forma, demonstrar que P ∆ Q é equivalente a demonstrar que≥ Q ∆ ≥ P . Vejamos um exemplo:Teorema 3.38. Seja n œ ZZ. Se n

2 é par, então n é par.Demonstração: Se n não for par, então, n será ímpar e consequen-temente pelo Corolário 3.34 teremos que n

2 é ímpar, o que contradiza hipótese do teorema de que n

2 é par. Portanto, concluímos que n,obrigatoriamente, deve ser par.

A demonstração por contradição é similiar à demonstração contra-positiva, porém tem uma singela diferença. Na demonstração por con-tradição assume-se como verdade a negação da tese e, em vez de obter anegação da hipótese, obtém-se a negação de algo que já se sabe ser ver-dadeiro ou um absurdo, por exemplo pode se obter que 0 = 1. Observeo exemplo a seguir:Proposição 3.39. Sejam x, y, z e w números inteiros satisfazendo aseguinte propriedade:

1x

+ 1y

+ 1z

+ 1w

= 1.

Mostre que pelo menos um deles é par.Demonstração: Por contradição, suponha que todos os números x, y,z e w não são pares, ou seja, suponha que x, y, z e w são todos ímpares.Observe que:

1x

+ 1y

+ 1z

+ 1w

= 1

yzw + xzw + xyw + xyz

xyzw

= 1

yzw + xzw + xyw + xyz = xyzw.

91

Sendo x, y, z e w números ímpares temos, pelo Teorema 3.33, queyz, xz, xy, zw e xyzw são números ímpares. Consequentemente, peloTeorema 3.35, vem que yzw, xzw, xyw e xyz são números pares. Jáo Teorema 3.22 nos garante que a soma yzw + xzw + xyw + xyz

é um numero par. Ora, então temos um absurdo, pois, sendoyzw + xzw + xyw + xyz = xyzw concluimos que um número par éigual a um número ímpar. Note que este absurdo foi obtido a partirdo momento que assumimos que todos os números x, y, z e w não sãopares. Portanto, pelo menos um desses números deve ser par, e assimterminamos a nossa demonstração.

Vale ressaltar que geralmente quando se inicia a prática da demons-tração alguns erros são comuns, a saber: Demonstrar por meio de exem-plos é um erro, pois, um exemplo não representa a totalidade dos casos,é apenas um exemplo em que a afirmação é verificada.

É necessário evitar o erro de usar a mesma notação, a mesma letrapara representar objetos diferentes em uma mesma demonstração, paraevitar confusões e interpretações errôneas.

Uma demonstração é construída passo a passo, onde cada passo deveser justificado correto e o passo seguinte precisa seguir logicamente ospassos que o precedem. Caso contrário, erros podem surgir como con-sequência do uso de um passo que não segue logicamente aqueles que oprecedem. Portanto, é um erro afirmar uma verdade, ou dar um passo,durante uma demonstração sem uma justificativa plausível.

Jamais pode-se cometer o erro de usar a afirmação que se quer de-monstrar na própria demonstração, ou seja, usar o que se quer demons-trar como uma verdade na própria demonstração da sua verdade. Alémdos erros apresentados, é necessário que se preste bastante atenção nassimplificações e cálculos aritméticos, verificando cuidadosamente cadaum deles, uma vez que estes são os maiores causadores de erros, inde-pendentemente da experiência que se tenha.

92


1. Classifique as demonstrações a seguir como: DemonstraçãoDireta, Demonstração por Casos, Demonstração por Con-tradição e Demonstração Contra-positiva.

a) Se n é um inteiro, então n

2 Ø n.Demonstração: Se n = 0, então 02 = 0 e, conse-quentemente, n

2 Ø 0 é verdadeiro. Agora se n Ø 1,multiplicando os dois lados da inequação pelo inteiropositivo n, obtemos n · n Ø 1 · n. Logo n

2 Ø n. Por fim,se n Æ 1, então n

2 Ø 0 e, claramente, n

2 Ø n. Portanto,concluímos a demonstração

b) Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.Demonstração: Vamos assumir que n é par. Então,por definição, n = 2k para algum inteiro k, e consequen-temente,

3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1).

Portanto, por definição, concluímos que 3n + 2 é par.Mas isto nega a hipótese de que 3n+2 é ímpar, portanto,n é ímpar.

2. Demonstre de forma direta que: Se x é um número par e y

é um número ímpar, então x + y é um número ímpar.

3. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro e3n + 2 é par, então n é par, usando uma demonstração porcontra-positiva.

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4. Classifique as demonstrações a seguir como: DemonstraçãoDireta, Demonstração por Casos, Demonstração por Con-tradição e Demonstração Contra-positiva.

(a) Prove que 2011 não é a soma de dois quadrados.Demonstração: Se n é um número inteiro, então n =2k ou n = 2k + 1 para algum k œ ZZ. Assim,

n

2 = 4k

2 ou n

2 = 4(k2 + k) + 1.

Logo, o quadrado de qualquer inteiro quando divididopor 4 deixa resto 0 ou 1. Consequentemente, a somade dois quadrados quando dividido por 4 deixa resto0, 1 ou 2.Portanto, se 2011 = x

2 + y

2 com x, y œ ZZ, então oresto da divisão de 2011 por 4 seria 0, 1 ou 2. Porém,2011 = 4 · 502 + 3, ou seja, na divisão por 4 o número2011 deixa resto 3, o que é um absurdo.

(b) Se n e m são números pares, então n+m é um númeropar.Demonstração: Se n e m são pares, então, existemnúmeros inteiros k1 e k2 tais que n = 2k1 e m = 2k2.Portanto, n + m = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2). Consequen-temente, n + m é par.

5. Demonstre por contradição que: Se o produto de 34 númerosinteiros é igual a 1, prove que a soma desses números nãopode ser nula.

6. [Matemáticos 2010] Demonstre por contra-positiva:

a) Suponha que x œ ZZ. Se 7x + 9 é par, então x é ímpar.b) Se x

2 ≠ 6x + 5 é par, então x é ímpar.

94


7. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro po-sitivo, então n é par se, e somente se, 7n + 4 for par.

8. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro po-sitivo, então n é ímpar se, e somente se, 5n + 6 for ímpar.

9. [Direto 2014] Mostre que se n é um número inteiro e n

3 +5 éímpar, então n é par, usando uma demonstração por contra-positiva.

10. [Direto 2014] Seja n um número inteiro. Demonstre deforma direta que:

a) se n + 1 é ímpar, então 3n + 1 é ímpar.b) se 3n + 1 é ímpar, então 3n é par.

11. [Direto 2014] Seja x um número inteiro. Demonstre que:

a) se 3x + 2 é par, então x + 5 é ímpar.b) se x + 5 é ímpar, então 3x + 2 é par.

Que forma de demonstração você utilizou?

12. [Direto 2014] Demonstre que se m e n são números inteirose mn é par, então m é par ou n é par. Que forma dedemonstração você utilizou?

13. Demonstre que: Se xy é ímpar, então x e y são ímpares.Que forma de demonstração você utilizou?

14. [Direto 2014] Demonstre que se m + n e n + p são númerosinteiros pares, em que m, n e p são números inteiros, entãom + p é par. Que forma de demonstração você utilizou?

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3.3 Paradoxos, Sofismas e Falácias

Ao ler uma demonstração devemos procurar entende-la por completo, epara isto devemos “quebra-la” em pedaços. Em outras palavras, devemosidentificar onde e como as hipóteses foram usadas, e procurar entendercada passo nela utilizado, ou seja, se o passo dado vem de uma definiçãoou de uma simplificação ou de outros resultados utilizados. Isto é impor-tante, pois, uma sequência de passos, em uma demonstração, aparente-mente lógica de afirmações aparentemente verdadeiras pode geram umaconclusão absurda. Consequentemente, nestes casos, como uma afirma-ção verdadeira não pode implicar uma afirmação falsa, obviamente, devehaver algum passo falso no decorrer da demonstração.

Essas falhas na argumentação de uma demonstração são frequente-mente chamadas de falácias e, em geral, é possível detectá-las. Porém,quando uma falácia é construída com a intenção de enganar olhos menosatentos, esta é chamada de sofisma. Em outras palavras, um sofismaé uma argumentação, sequência de passos, falsa que se apresenta comuma aparência de verdadeira, com a intenção de dissimular uma ilusãode verdade apresentando, aparentemente, uma coerência com as regraslógicas. No contexto da matemática, quando se quer construir uma de-monstração que na verdade é um sofisma, em geral, se usa a divisão porzero ou indevidamente a raiz quadrada.Exemplo 3.40. Mostre que 2 + 2 = 3.Demonstração: Primeiramente observe que

(2 + 2 ≠ 3)(2 ≠ 2) = 0.

Donde vem:

(2 + 2)(2 ≠ 2) ≠ 3(2 ≠ 2) = 0.

Ou melhor,

(2 + 2)(2 ≠ 2) = 3(2 ≠ 2).

Por fim, cancelando o termo (2 ≠ 2) concluímos a demonstração, ouseja, 2 + 2 = 3.

Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabe-mos que 2 + 2 ”= 3. Então, onde está o erro? Apesar do uso corretodas regras da aritmética nesta demonstração, o erro aparece exatamenteno momento do cancelamento do termo (2 ≠ 2). Isto porque, cancelarum termo que esta multiplicando outros termos significa dividir por estemesmo termo, ou seja, cancelar o termo (2 ≠ 2) na igualdade acima sig-nifica dividir os dois lados da igualdade por (2 ≠ 2), mas 2 ≠ 2 = 0 enão se pode dividir por 0.

96

Exemplo 3.41. Mostre que 2 + 2 = 5.

Demonstração: É fácil ver que a seguinte igualdade é verdadeira:

16 ≠ 36 = 25 ≠ 45.

Somando 814 dos dois lados da igualdade anterior vem que:

16 ≠ 36 + 814 = 25 ≠ 45 + 81

4 .

Agora fatorando as expressões na igualdade, usando o Trinômio do Qua-drado Perfeito, obtemos:

34 ≠

392

442=

35 ≠

392

442.

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados temos:

4 ≠3

92

4= 5 ≠

392

4.

Na sequência, somando o termo 92 dos dois lados da igualdade concluí-

mos que 4 = 5. Como 4 = 2 + 2 finalizamos a demonstração provandoque 2 + 2 = 54.

Novamente esta demonstração é um sofisma, um absurdo. Então,onde está o erro? Sabe-se que

Ôx

2 = |x|. Portanto, foi naquele momentoem que se extraiu a raiz quadrada dos dois lados que houve o erro, pois,

Û34 ≠

392

442=

----4 ≠3

92

4---- = |4 ≠ 4, 5| = | ≠ 0, 5| = 0, 5.

Û35 ≠

392

442=

----5 ≠3

92

4---- = |5 ≠ 4, 5| = |0, 5| = 0, 5.

97

Sendo assim, o correto é:Û3

4 ≠3

92

442=

Û35 ≠

392

442

----4 ≠3

92

4---- =----5 ≠

392

4----

| ≠ 0, 5| = |0, 5|

0, 5 = 0, 5.

Como já ressaltamos um sofisma é um raciocínio logicamente inválido,ou seja, uma sequência de passos numa demonstração que não conduzà verdade, mesmo que as hipóteses nas quais se apoia sejam todas ver-dadeiras. Porém, como vimos antes, é possível em uma demonstraçãodetectar e contornar uma sofisma.

Diferentemente de um sofisma, um paradoxo é um raciocínio ondese parte de enunciados não contraditórios, e se chega a conclusões con-traditórias. Na verdade, um paradoxo demonstra tanto a verdade comoa falsidade de uma afirmação, ou seja, em um paradoxo não é possíveldeterminar se a afirmação é falsa ou verdadeira. Em termos simples, umparadoxo é o oposto do que alguém pensa ser a verdade.

Em um paradoxo, quando assumimos que certa afirmação é verda-deira, concluímos que ela é falsa. Por outro lado, quando assumimosque ela é falsa, concluímos que ela é verdadeira. Por exemplo, temos ofamoso Paradoxo do Mentiroso, a saber:

Exemplo 3.42 (Paradoxo do Mentiroso). Um homem diz que esta men-tindo. Ele diz a verdade ou mente?

Se a afirmação eu estou mentindo é verdadeira, então eu estou dizendoa verdade, ou seja, não estou mentindo, consequentemente a afirmação éfalsa. Por outro lado, se a afirmação é falsa, então eu estou mentindo, ouseja, a afirmação é verdadeira. Portanto, se a afirmação for verdadeira,ela é falsa, e se for falsa, é verdadeira. Ou seja, ou a afirmação é aomesmo tempo verdadeira e falsa, ou nem uma coisa nem outra.

Exemplo 3.43 (Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle). A Figura 3.1apresenta o paradoxo chamado Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle.

98

Observe, que o frasco, tal como apresentado na Figura 3.1, preenche asi próprio. Porém tal efeito não se produz na realidade.

Figura 3.1: Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle

Um outro paradoxo famoso é o Paradoxo de Russell. Este paradoxofoi descoberto por Bertrand Russell em 1901 e prova que a teoria deconjuntos de Cantor é contraditória.

Exemplo 3.44 (Paradoxo de Russell). Considere-se o conjunto M comosendo o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si próprioscomo membros. Formalmente: A é elemento de M se, e somente se, A

não é elemento de A. Será que M contém a si mesmo?

Se sim, M não é membro de M de acordo com a definição. Por outrolado, supondo que M não contém a si mesmo, M tem de ser membro deM , de acordo com a definição de M . Assim, as afirmações “M é membrode M” e “M não é membro de M” conduzem ambas a contradições.

Exemplo 3.45 (Paradoxo do Barbeiro). Há em Sevilha um barbeiroque somente faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazema própria barba. Sendo assim, o barbeiro faz ou não faz a sua própriabarba?

Observe que se o barbeiro não fizer a própria barba, ele deve fazer aprópria barba. Mas se ele faz a própria barba, ele não pode fazer a pró-pria barba. Assim, se ele faz a própria barba, ele não faz a própria barba.

Exemplo 3.46 (Paradoxo de Dom Quixote e Sancho Pança). SanchoPança, o fiel escudeiro de Dom Quixote, torna-se governador de uma ilhacom uma lei muito curiosa. O guardião da ilha deveria perguntar a cadavisitante o motivo da visita. Se o visitante responder a verdade, tudocerto. Mas caso mentisse, o visitante seria enforcado. O problema é quenum belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilhapara ser enforcado! E agora? O visitante deveria ou não ser enforcado?

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Se não o enforcassem, ele teria mentido: portanto deveria ser enfor-cado. Mas se o enforcassem ele teria falado a verdade e não deveria serenforcado. Na história de Cervantes, o governador é bonzinho e libertao visitante.

Exemplo 3.47 (Paradoxo do Pinóquio). O boneco Pinóquio crescia onariz sempre que o mesmo contava uma mentira. Imagine o Pinóquiodizendo a frase: Meu nariz vai crescer agora.

Temos duas possibilidades: A primeira o nariz de Pinóquio não cresce.Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer. A segunda onariz de Pinóquio cresce. Então ele disse uma verdade, portanto, o narizdele não tinha motivo para ter crescido. Em ambos os casos, seria geradauma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e,se não cresce, deveria ter crescido.

Exemplo 3.48 (Paradoxo do Relógio). Podemos concordar que o me-lhor de dois relógios é aquele que mais vezes indica a hora certa? Sim?Suponhamos, então, que nos é dada a escolha entre dois relógios, um dosquais atrasa um minuto por dia, enquanto o outro não funciona. Qualdos dois devemos aceitar?

Certamente a tendência é escolher aquele que atrasa um minuto pordia. Mas, na verdade o certo é escolher aquele que não trabalha. Porque, o relógio que atrasa um minuto por dia, e marca a hora certa teráde atrasar doze horas ou 720 minutos antes de marcar novamente ahora certa. E, se ele atrasa apenas um minuto por dia, levará 720 diaspara atrasar 720 minutos. Em outras palavras, marcará a hora certaaproximadamente uma vez a cada dois anos. Por outro lado, o relógioque está parado marca a hora certa duas vezes por dia.

Exemplo 3.49 (Paradoxo de Zênon). Zênon afirmava que, para ir deum ponto a outro, primeiro você tem de percorrer metade do caminho.Para percorrer a outra metade do caminho, primeiro você deve percorrermetade da distância restante, ou seja, mais um quarto do caminho. Parapercorrer o resto do caminho, você deve percorrer metade da distânciarestante, ou seja mais um oitavo do caminho. E assim por diante, divi-dindo os caminhos restantes até o infinito. A pergunta é: Você chegaráao seu destino?

Observe que por mais que você esteja perto do segundo ponto, vocêainda tem que vencer metade da distância que falta e você ficará nessasituação, sempre. Portanto, o movimento é impossível, já que nunca sepode chegar onde se está indo, mesmo que seja um palmo adiante.

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1. [Matemática 2013] Na demonstração de que 2 + 2 = 6 aseguir, encontre qual e onde está o erro.

≠24 = ≠24

16 ≠ 40 = 36 ≠ 60

4 · 4 ≠ 2 · 4 · 5 = 6 · 6 ≠ 2 · 6 · 5

4 · 4 ≠ 2 · 4 · 5 + 5 · 5 = 6 · 6 ≠ 2 · 6 · 5 + 5 · 5

(4 ≠ 5)2 = (6 ≠ 5)2

4 ≠ 5 = 6 ≠ 5

4 = 6

2 + 2 = 6

2. [Matemática 2013] Na demonstração de que 2 + 1 = 4 aseguir, encontre qual e onde está o erro.

0 = 0

3 ≠ 3 = 4 ≠ 4

3(1 ≠ 1) = 4(1 ≠ 1)

3 = 4

2 + 1 = 4

3. [Matemática 2013] Na demonstração de que 1 + 1 = 1 aseguir, encontre qual e onde está o erro. Sendo a = b = 1vem que:a = b ∆ a · a = b · a ∆ a

2 = a · b ∆ a

2 ≠ b

2 = a · b ≠ b

2 ∆(a + b)(a ≠ b) = b(a ≠ b) ∆ a + b = b ∆ 1 + 1 = 1.

101


4. Um crocodilo rouba uma criança. Quando a mãe reclama,o crocodilo faz a seguinte proposta: devolverei a sua criançase você adivinhar corretamente se eu a devolverei ou não.A mãe responde: Você não vai devolver a minha criança. Oque o crocodilo deve fazer?

5. Se Deus é onipotente, ou seja, pode fazer tudo, pergunta-se:Ele pode criar uma pedra que ele não possa erguer?

6. Quais das seguintes são paradoxos?

(a) É proibido proibir.(b) Amanhã será segunda-feira.(c) Tens uma missão: essa missão é não aceitar a missão.

Aceitas?(d) Não leias esta frase!(e) O cavalo branco de Napoleão é preto.(f) Toda a regra tem uma excepção.(g) Você é motorista de um ônibus. Passa no primeiro

ponto e pega 36 passageiros, passa no próximo pontopega mais 50 e deixa 31 pessoas na primeira parada esobem mais 10 pessoas. qual a idade do motorista?

(h) Um queijo suíço tem buracos. Quanto mais queijo,mais buracos e quantos mais buracos, menos queijo.

(i) Tudo o que é bom e barato, é raro, mas, tudo o que éraro tende a ser caro.

7. Uma mulher entrou em uma joalheria, escolheu um anel novalor de mil reais, pagou e saiu. Voltou na mesma loja nodia seguinte e perguntou se podia trocar o anel por outro.O joalheiro disse que sim. Ela escolheu um que valia doismil reais, agradeceu ao joalheiro amavelmente e preparou-separa sair. O joalheiro, naturalmente, exigiu mais mil reais.Indignada, a jovem falou que já tinha pago. Porque?

102

4. Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos

Na sequência são apresentadas ferramentas, princípios, que, apesar desimples, são extremamente eficientes na resolução de problemas e nademonstração de propriedades relativas aos números naturais. A saber,Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos.

O Princípio da Casa dos Pombos embora seja uma observação trivial,e a primeira vista parecer de pouca aplicabilidade, pode ser usado parademonstrar resultados extremamente inesperados. Por exemplo: Emuma grande cidade com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoascom o mesmo número de fios de cabelo?

Já a Indução Matemática é uma poderosa ferramenta para demons-trar que uma sequência de proposições relativas aos números naturais,denotadas por P (1), P (2), . . . , P (n), é verdadeira sem a necessidade derealizar a demonstração para cada uma delas. De forma bem humorís-tica, o matemático e filósofo inglês Bertrand Russel chamou a InduçãoMatemática de Indução Galinácea, mais ou menos, através da seguintehistorinha:

Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Dia-riamente, ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas.No primeiro dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora seretirasse para se alimentar. No segundo dia, a galinha, pruden-temente, foi se alimentando enquanto a senhora se retirava. Nononagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já não fazia casoda velha senhora. No centésimo dia, ao se aproximar a senhora,a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seumilho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora pegou-apelo pescoço com a intenção de pô-la na panela. ([Hefez 2009],2009, p. 8)

4.1 Princípio da Boa Ordenação

O conjunto dos números naturais é representado por IN e é compostopor 1, 2, 3, 4, 5, . . ., ou seja, IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Note que, apesarde muitos livros fazê-lo ou até mesmo em outras circunstâncias destetexto, neste momento não estamos incluindo o número 0 no conjuntodos números naturais, isto porque há uma discussão sobre considerar o0 como um número natural ou não. Na verdade incluir ou não o número

103

0 no conjunto IN é uma questão de preferência pessoal ou, dependendodo caso, de convivência, se precisa dele ou não.

Quando falamos de números naturais, temos necessariamente de falardos Axiomas de Peano os quais caracterizam o conjunto dos númerosnaturais, a saber:

A1: O número 1 é um número natural, ou seja, 1 œ IN.

A2: Se n œ IN, então n + 1 œ IN.

A3: Não existe n œ IN tal que n + 1 = 1.

A4: Se n, m œ IN e n + 1 = m + 1, então n = m.

A5: Seja A µ IN. Se 1 œ A e, para todo n œ A, tem-se n + 1 œ A, entãoA = IN.

Como é fácil deduzir, o axioma A1 nos diz que o conjunto IN não évazio. Já o axioma A2 nos diz que todo número natural dado tem umsucessor, que é o número que vem depois do número dado. O axiomaA3 nos diz que o número 1 não é sucessor de nenhum número, ou seja,não existe nenhum número que seja antecessor de 1, em outras palavras,não existe nenhum número que vem antes de 1. Equivalentemente, oaxioma A4 nos diz que números naturais diferentes possuem sucessoresdiferentes. Por fim, o axioma A5 nos diz que se um subconjunto dosnúmeros naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessorde cada um de seus elementos, então este conjunto contém todos osnúmeros naturais.

Denotamos por ZZ o conjunto dos números inteiros que é a união doconjunto dos números naturais, com o conjunto dos números negativos eo zero, ou seja, ZZ = {. . . , ≠3, ≠2, ≠1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Além disso, de-notamos por ZZ+ o conjunto dos números inteiros não negativos, e ZZ≠ oconjunto dos números inteiros não positivos, isto é, ZZ+ = {0, 1, 2, 3, . . .}e ZZ≠ = {. . . , ≠3, ≠2, ≠1, 0}.

Estamos admitindo que o leitor possui uma certa intimidade comas operações de soma e produto sobre os números naturais e inteiros,bem como, com suas principais propriedades. Além disso, assumiremostambém uma familiaridade com os significados e propriedades de >, <,Ø e Æ.

Antes de enunciarmos uma das propriedades fundamentais dos nú-meros naturais, que é o fato de que todo conjunto não vazio de númerosnaturais possui um menor elemento, vamos ver a seguinte definição.

Definição 4.1. Dado o subconjunto A µ IN, dizemos que o númeronatural m é o menor elemento de A se m œ A e m Æ x, para todo x œ A.

Por exemplo, pelo axioma A3, 1 é o menor elemento de IN.

104

Teorema 4.2 (Princípio da Boa Ordenação). Todo subconjunto nãovazio A µ IN possui um menor elemento.

Demonstração: Temos dois casos a considerar: 1 œ A ou 1 /œ A. Se1 œ A, então o teorema já esta demonstrado pois 1 é o menor elementode IN, e consequentemente, o menor elemento de A. Por outro lado,suponhamos que 1 /œ A, e consideremos o seguinte conjunto

In = {p œ IN | 1 Æ p Æ n}.

Seja também o conjunto X µ IN tal que

X = {n œ IN | In µ IN ≠ A}.

Desse modo, X é o conjunto dos números naturais n tais que todosos elementos de A são maiores do que n. Em outras palavras, dizerque n œ X significa afirmar que n /œ A, assim como, todos os númerosnaturais menores do n. Como estamos supondo que 1 /œ A, então1 œ X. No entanto, como A não é vazio, nem todos os númerosnaturais pertencem a X, ou seja, temos X ”= IN. Sendo assim, X

satisfaz a primeira hipótese do axioma A5, porém, não satisfaz àconclusão, do mesmo axioma, de que X = IN . Consequentemente,X não pode satisfazer a segunda hipótese do axioma A5, ou seja,existe algum n œ X tal que n + 1 /œ X. Isto significa que todosos números de 1 até n pertencem a IN ≠ A, mas n + 1 œ A, isto é,todos os elementos de A são maiores do que n. Como não há númerosnaturais entre n e n+1, concluímos que n+1 é o menor elemento de A.

Vale a pena ressaltar que para demonstrar que uma afirmação P (n),associada a cada número natural n, é verdadeira usando o Princípio daBoa Ordenação é recomendado o seguinte roteiro:

1) Defina o conjunto C de contraexemplos para P (n), ou seja,

C = {n œ IN | P (n) é falsa}.

2) Assuma por contradição que C não é vazio. Assim, pelo Princípio daBoa Ordenação, C possui um menor elemento c.

3) A partir daí deve-se chegar a uma contradição de alguma forma. Ge-ralmente, a contradição é alcançada encontrando um outro elementoa œ C tal que a < c, ou demonstrando que P (c) é verdadeira.

4) Finalmente, conclua que C deve ser vazio, isto é, não existe contrae-xemplo para a afirmação P (n).

105

Exemplo 4.3. Mostre que para todo n œ IN,

1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)2 . (4.1)

Solução. Primeiramente consideremos o conjunto

C = {n œ IN | 1 + 2 + 3 + · · · + n ”= n(n + 1)2 }.

Agora suponhamos por contradição que C não é vazio. Assim, peloPrincípio da Boa Ordenação, C possui um menor elemento c, ou seja, c

é o menor natural para o qual a igualdade 4.1 é falsa, mas a igualdade4.1 é verdadeira para todo n < c. Como a igualdade 4.1 é verdadeirapara n = 1, temos que c > 1. Uma vez que c ≠ 1 é um número natural ec ≠ 1 < c, vem que a igualdade 4.1 é verdadeira para c ≠ 1. Isto é,

1 + 2 + 3 + · · · + (c ≠ 1) = (c ≠ 1)((c ≠ 1) + 1)2 = (c ≠ 1)c

2 .

Por fim, somando c de ambos os lados desta última igualdade obtemos,

1 + 2 + 3 + · · · + (c ≠ 1) + c = (c ≠ 1)c2 + c = c

2 ≠ c + 2c

2

= c

2 + c

2 = c(c + 1)2 .

Logo, a igualdade 4.1 é verdadeira para c, o que é uma contradição.Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, a igualdade 4.1 éverdadeira para todo n œ IN.Exemplo 4.4. Todo número natural pode ser fatorado com um produtode números primos.Solução. Um número primo é um número natural que têm apenas doisdivisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Sendo assim, seja C o conjuntode todos os naturais maiores do que 1 que não podem ser escritos comoum produto de números primos. Suponhamos por contradição que C

não é vazio. Se C não é vazia, então ele possui um menor elementoc, pelo Princípio da Boa Ordenação. O número c não pode ser umnúmero primo, porque um número primo por si só é considerado comoum produto de números primos e nenhum desses produtos estão em C.Assim, c deve ser um produto de dois números naturais a e b, onde1 < a, b < c. Uma vez que a e b são menores do que c, sabemos quea, b /œ C. Em outras palavras, a pode ser escrito como um produto denúmeros primos p1p2 · · · pk e b como um produto de números primosq1q2 · · · qr. Logo, c = p1p2 · · · pkq1q2 · · · qr, ou seja, c pode ser escritocomo um produto de números primos, contrariando o fato de que c œC. Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, todo númeronatural pode ser fatorado com um produto de números primos.

106

4.2 Princípio da Indução Matemática

Como já foi dito, o Princípio da Indução Matemática é usado para de-monstrar uma propriedade relativa aos números naturais e, como ve-remos mais adiante, consiste apenas de dois passos, que se provadosverdadeiros são suficientes para concluir que a referida propriedade éverdadeira para todos os números naturais. Com o intuito de apresentarantecipadamente por que os referidos dois passos são suficientes, vamospensar no Efeito Dominó ou Efeito em Cascata que sugere a ideia deum efeito ser a causa de outro efeito gerando uma série de acontecimen-tos semelhantes ao primeiro. O Efeito Dominó consiste na colocação dediversos dominós em pé numa fileira, de modo que ocorra os seguintesdois passos:

(i) A primeira peça do dominó cai.

(ii) Se alguma peça do dominó cair, então a próxima peça também cai.

Se estes dois passos acontecerem, forem verdadeiros, então um derrubao outro e podemos concluir que todas as peças do dominó cairão.

De uma forma intuitiva, o Princípio da Indução Matemática é similarao Efeito Dominó, como veremos a seguir.

Teorema 4.5 (Princípio da Indução Matemática). Seja a um inteironão negativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a estejaassociada uma afirmação P (n). Se é possível demonstrar que:

(i) P (a) é verdadeira.

(ii) Para todo k Ø a, se P (k) é verdadeira, então P (k + 1) também éverdadeira.

Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a.

Demonstração: Primeiramente, consideremos o conjunto V de todosos inteiros não negativos k Ø a para os quais a afirmação P (k) éverdadeira, e o conjunto F de todos os inteiros não negativos k Ø a

para os quais a afirmação P (k) é falsa, a saber:

V = {k œ ZZ+ : k Ø a e P (k) é verdadeira};

F = {k œ ZZ+ : k Ø a e P (k) é falsa}.

Observe que V não é vazio, pois, a condição (i) nos diz que P (a)é verdadeira, ou seja, a œ V . No entanto, a demonstração do teorema sedá verificando que V contém, não somente a, mas todos os inteiros não

107

negativos k Ø a. Mas, isto é equivalente a verificar que o conjunto F

é vazio. Sendo assim, suponhamos por contradição que F não é vazio.Pelo Princípio da Boa Ordenação existe um menor elemento m œ F ,ou seja, P (m) é falso. Note que não podemos ter m = a, pois, istocontradiz a condição (i) que nos diz que P (a) é verdadeira, assim m > a.Além disso, m ≠ 1 /œ F pois, caso contrário, m ≠ 1 œ F e isto contradizo fato de m ser o menor elemento de F , uma vez que m ≠ 1 < m.Portanto, m ≠ 1 œ V , ou seja, P (m ≠ 1) é verdadeira. Daí segue pelacondição (ii) que P ((m ≠ 1) + 1) = P (m) também é verdadeira, masisto é uma contradição, pois, m œ F e V e F são disjuntos. Como estacontradição foi gerada a partir do fato de supor que F era não vazio,concluímos que F deve ser vazio, e concluímos a demonstração.

Geralmente, P (a) é chamado de Base de Indução, a suposição de queP (k) é verdadeira é chamada de Hipótese de Indução, e a verificação daimplicação P (k) ∆ P (k + 1) é chamada de Passo Indutivo.

Ressaltamos que numa prova por indução não é assumido que P (k)é verdadeiro para todos os naturais, pelo contrário, é demonstrado quese for assumido que P (k) é verdadeiro, então P (k + 1) também é verda-deiro. De um modo geral, o segredo de uma demonstração por induçãoé encontrar um maneira de relacionar o que queremos demonstrar, queé o Passo Indutivo P (k + 1), com o que estamos supondo verdadeiro,que é a Hipótese de Indução P (k).Exemplo 4.6. Mostre que para todo n œ IN,

1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)2 .

Solução. Primeiramente, é necessário verificar se a Base de Indução(BI) é verdadeira, ou seja, verificar se a igualdade é verdadeira paraalgum número natural n = a. Se a base de indução for verdadeira, entãoassuma a Hipótese de Indução (HI) como verdadeira, isto é, assuma quea igualdade é verdadeira para n = k, e mostre o Passo Indutivo (PI), ouseja, que a igualdade é verdadeira para n = k + 1. Ressaltamos que ouso da Hipótese de Indução será denotado por HI= ,

HI> ,

HIÆ e etc. Como o

exemplo pede para verificar a igualdade para todos os números naturais,devemos fazer a = 1 para verificar a Base de Indução.BI - Para n = 1 a igualdade é verdadeira, pois,

1 = 1 · (1 + 1)2 = 1 · 2

2 = 22 = 1.

HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k,isto é,

1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1)2 .

108

PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k + 1,ou seja, devemos demonstrar que

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =3

(k + 1)((k + 1) + 1)2

4.

Vejamos:

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) HI= k(k + 1)2 + (k + 1)

= (k + 1)3

k

2 + 14

= (k + 1)3

k + 22

4

=3

(k + 1)((k + 1) + 1)2

4.

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.

Exemplo 4.7. Para todo número real x > 0 e n œ IN,

(1 + x)n Ø 1 + x

n.

Solução. Observe que há duas variáveis na afirmação, a saber, n ex. No entanto, é fácil determinar que devemos fazer a indução sobre n,pois, x é uma variável real. Novamente o exemplo pede para verificar adesigualdade para todos os números naturais, ou seja, a Base de Induçãodeve ser verificada para a = 1.

BI - Para n = 1 temos:

(1 + x)1 = 1 + x = 1 + x

1 Ø 1 + x

1.

Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = 1.

HI - Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para n = k, ouseja,

(1 + x)k Ø 1 + x

k.

109

PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira paran = k + 1, ou seja, vamos verificar se (1 + x)k+1 Ø 1 + x

k+1.

Temos então que:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)

HIØ (1 + x

k)(1 + x)

= 1 + x + x

k + x

k+1

Ø 1 + x

k+1

Portanto, a desigualdade é também verdadeira para n = k + 1 e, conse-quentemente, a desigualdade é verdadeira para todo n œ IN.

Exemplo 4.8. Para todo n œ IN,

1 + q + q

2 + · · · q

n = 1 ≠ q

n+1

1 ≠ q

.

Solução. De fato,

BI - Para n = 1 temos:

1 + q

1 = (1 + q) · 1 ≠ q

1 ≠ q

= (1 + q)(1 ≠ q)1 ≠ q

= 1 ≠ q

2

1 ≠ q

= 1 ≠ q

1+1

1 ≠ q

.

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = 1.

HI - Suponhamos que a igualdade seja verdadeira para n = k, isto é,

1 + q + q

2 + · · · q

k = 1 ≠ q

k+1

1 ≠ q

.

PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira paran = k + 1, ou seja, devemos verificar se

1 + q + q

2 + · · · q

k + q

k+1 = 1 ≠ q

(k+1)+1

1 ≠ q

.

110

Vejamos:

1 + q + q

2 + · · · q

k + q

k+1 HI= 1 ≠ q

k+1

1 ≠ q

+ q

k+1

= 1 ≠ q

k+1 + (1 ≠ q)qk+1

1 ≠ q

= 1 ≠ q

k+1 + q

k+1 ≠ q

(k+1)+1

1 ≠ q

= 1 ≠ q

(k+1)+1

1 ≠ q

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.

Exemplo 4.9. Para todo n œ IN, n

3 ≠ n é divisível por 3.

Solução. Dizemos que n

3 ≠n é divisível por 3, se n

3 ≠n é um múltiplode 3, ou seja, se existe um número m tal que n

3 ≠ n = 3 · m. Logo,devemos verificar se existe um número m tal que n

3 ≠ n = 3 · m, paratodo número natural n.

BI - Para n = 1 temos que a afirmação é verdadeira, pois,

13 ≠ 1 = 1 ≠ 1 = 0 = 3 · 0.

HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, isto é,existe um número m tal que

k

3 ≠ k = 3 · m.

PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira paran = k + 1. Temos então que:

(k + 1)3 ≠ (k + 1) = (k + 1)2(k + 1) ≠ (k + 1)

= k

3 + 3k

2 + 3k + 1 ≠ k ≠ 1

= (k3 ≠ k) + 3 · (k2 + k)HI= 3 · m + 3 · (k2 + k)

= 3 · (m + k

2 + k)

111

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,n

3 ≠ n é divisível por 3 para todo n œ IN.

Exemplo 4.10. Verifique se para todo número natural n > 2,

3n

2 ≠ n > 23.

Solução. Observe que a desigualdade 3n

2 ≠ n > 23 não é verdadeirapara n = 1, pois, 3 · 12 ≠ 1 = 2 < 23. Da mesma forma, a desigualdadenão é verdadeira para n = 2, pois, 3 · 22 ≠ 2 = 10 < 23. Na realidade,o primeiro natural para o qual 3n

2 ≠ n > 23 é verdadeira é n = 3.Portanto, a Base de Indução deve ser verificada para a = 3.


3 · 32 ≠ 3 = 3 · 9 ≠ 3 = 27 ≠ 3 = 24 > 23.

HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, isto é,

3k

2 ≠ k > 23.

PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira paran = k + 1. Temos então que:

3(k + 1)2 ≠ (k + 1) = 3(k2 + 2k + 1) ≠ k ≠ 1

= 3k

2 + 6k + 3 ≠ k ≠ 1

= (3k

2 ≠ k) + 6k + 2HI> 23 + 6k + 2

= 25 + 6k

> 23.

Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequente-mente, a desigualdade é verdadeira para todo número natural n > 2.

Exemplo 4.11. Verifique se para todo n œ IN,

2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1).

Solução. Vamos verificar a veracidade da igualdade usando induçãosobre n.


2 · 1 = 2 = 1 · (1 + 1).

112

HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k, isto é,2 + 4 + 6 + · · · + 2k = k(k + 1).

PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira paran = k + 1. Com efeito,

2 + 4 + 6 + · · · + 2k + 2(k + 1) HI= k(k + 1) + 2(k + 1)

= (k + 1)(k + 2).

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.Exemplo 4.12. Verifique se para todo inteiro n Ø 0,

0 + 1 + 2 + · · · + n = n(n + 2)2 .

Solução. Como o exemplo pede para verificar a igualdade todo inteiron Ø 0, devemos verificar a Base de Indução para n = 0.BI - Para n = 0 a igualdade é verdadeira, pois,

0 = 0 · (0 + 2)2 = 0 · 2

2 = 02 = 0.

HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k,isto é,

0 + 1 + 2 + · · · + k = k(k + 2)2 = k

2 + 2k

2 .

PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k + 1,ou seja, devemos verificar se

0 + 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 3)2 = k

2 + 4k + 32 .

Vejamos:

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) HI= k

2 + 2k

2 + (k + 1)

= k

2 + 2k + 2(k + 1)2

= k

2 + 4k + 22 .

Portanto, a igualdade não é verdadeira para n = k + 1, ou seja, não foipossível concluir a partir da Hipótese de Indução a conclusão. Conse-quentemente, a igualdade não é verdadeira para todo inteiro n Ø 0.

113

4.3 Princípio da Indução Completa

Em algumas situações não conseguimos realizar a demonstração de umaafirmação, usando apenas o Princípio da Indução Matemática tal comoapresentado no Teorema 4.5, mesmo sendo esta uma técnica de demons-tração muito poderosa.

Exemplo 4.13. Demonstre que todo número natural n maior ou iguala dois é primo ou produto de primos.

Solução. Lembremos que, por definição, os números primos são aquelesnúmeros naturais que têm apenas dois divisores diferentes, a saber: o1 e ele mesmo. Dessa forma, temos que o número 1 não é um númeroprimo, pois, ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. Já o número2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto, por definição, 2 é um númeroprimo. Usaremos o Princípio da Indução Matemática, Teorema 4.5, parademonstrar que a afirmação dada é verdadeira para n Ø 2.

BI - Para n = 2 a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo.

HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k. Isto é, k éprimo ou é produto de primos.

PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1.Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeirae não há nada a demonstrar. Por outro lado, se k + 1 não é primo,então ele possui um divisor natural y diferente de 1 e dele mesmo.Em outras palavras, k + 1 é um múltiplo y, ou seja, existe umnúmero natural x tal que

k + 1 = x · y.

Note que, tanto x quanto y não podem ser maiores do que k + 1,pois caso contrário, o produto seria maior do que k + 1. Muitomenos podem ser x ou y iguais a k + 1. De fato, por exemplo, sex = k + 1 então y = 1, ou seja, k + 1 seria primo, pois ele só seriadivisível por k + 1 e 1, o que contradiz o fato de k + 1 não serprimo. Portanto, temos

k + 1 = x · y, onde 2 Æ x Æ k e 2 Æ y Æ k.

Se x = y = k, pela Hipótese de Indução, concluímos a demons-tração. No entanto, se x < k ou y < k, nada podemos afirmarsobre x ou y, pois a única hipótese que temos é que k é primo ouproduto de primos. De onde concluímos que o Princípio da Indu-ção Matemática apresentado no Teorema 4.5, não é suficiente parademonstrar a afirmação em questão.

114

A impossibilidade do uso do Teorema 4.5 para demonstrar a afirma-ção do Exemplo 4.13, vem do fato de que no Teorema 4.5 não é assumidocomo hipótese que P (k) é verdadeiro para todos inteiros não negativosmenores do que k, mas sim, somente que P (k) é verdadeiro para n = k.Para contornar este problema, de forma que possamos demonstrar ques-tões tal como aquela do Exemplo 4.13, apresentamos na sequência umavariação do Teorema 4.5, chamada de Princípio da Indução Completa.Essencialmente, este novo princípio difere do anterior apenas na Hipó-tese de Indução.

Teorema 4.14 (Princípio da Indução Completa). Seja a um inteiro nãonegativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a esteja associadauma afirmação P (n). Se é possível demonstrar que:

(i’) P (a) é verdadeira.

(ii’) Para todo k Ø a, se P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k, entãoP (k + 1) também é verdadeira.

Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a.

Demonstração: Para demonstrar este teorema usaremos o Princípio daIndução Matemática, que é, o Teorema 4.5. De fato, para todo n Ø a,seja Q(n) a afirmação

“P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ n.”

Usando o Teorema 4.5, e assumindo que as condições (i’) e (ii’) sãoverdadeiras, demonstraremos que Q(n) é verdadeira para todo n Ø a, oque significa que P (n) é verdadeira para todo n Ø a. Vejamos:

BI - Para n = a temos que Q(a) é verdadeira, pois, por (i’) P (a) éverdadeira.

HI - Suponhamos que a afirmação Q(k) é verdadeira para todo k Ø a.Isto é, P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k.

PI - Verifiquemos se a afirmação Q(k + 1) é também verdadeira, ouseja, verifiquemos se P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k + 1.

Pela Hipótese de Indução, temos que P (r) é verdadeira para todoa Æ r Æ k, e por (ii’), temos que P (k + 1) é verdadeira. Logo,P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k + 1, ou seja, Q(k + 1) éverdadeira.

Portanto, pelo Teorema 4.5, Q(n) é verdadeira para todo n Ø a.Consequentemente, P (n) é verdadeira para todo n Ø a.

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Geralmente, o Princípio da Indução Completa é usado somentequando não podemos demonstrar uma afirmação facilmente utilizandoo Princípio da Indução Matemática. Vale ressaltar que em umademonstração usando o Princípio da Indução Matemática, no PassoIndutivo temos que demonstrar que sempre que P (k) é verdadeira, entãoP (k + 1) também é verdadeira. Diferentemente, numa demonstraçãousando o Princípio da Indução Completa, no Passo Indutivo temos quedemonstrar que sempre que P (r) é verdadeira para todo r Æ k, entãoP (k + 1) também é verdadeira. Em outras palavras, usando o Princípioda Indução Matemática assumimos unicamente que P (k) é verdadeira.Enquanto que usando o Princípio da Indução Completa podemosassumir que P (a), P (a+1), P (a+2), . . . , P (k ≠1), P (k) são verdadeiras.

Exemplo 4.15. Demonstre que todo número natural n maior ou iguala dois é primo ou produto de primos.

Solução. Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n.

BI - Para n = 2 a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo.

HI - Suponhamos que para todo r, com 2 Æ r Æ k, a afirmação sejaverdadeira, isto é, r é primo ou é produto de primos.

PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1.Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeirae não há nada a demonstrar. Por outro lado, se k + 1 não é primo,então

k + 1 = x · y, onde 2 Æ x Æ k e 2 Æ y Æ k.

Dessa forma, observe que a Hipótese de Indução se aplica tanto ax quanto y, ou seja, x e y são primos ou produto de primos. Logo,como k + 1 = x · y, temos que k + 1 é produto de primos.

Portanto, pelo Teorema 4.14, temos que todo número natural n Ø 2 éprimo ou produto de primos.

Exemplo 4.16. Demonstre que todo número natural n Ø 8 pode serescrito como uma soma de números 3 e números 5.

Solução. Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n. Eviden-temente, como n Ø 8, a Base de Indução deve ser verificada para n = 8.

BI - Para n = 8 a afirmação é verdadeira, pois, 8 = 3 + 5.

HI - Suponhamos que para todo r, com 8 Æ r Æ k, a afirmação sejaverdadeira, isto é, r pode ser escrito como uma soma de números3 e números 5.

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PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1,ou seja, queremos demostrar que k +1 pode ser representado comouma soma de números 3 e números 5. Não obstante, observe quea afirmação é verdadeira para 9 e 10. De fato, 9 = 3 + 3 + 3 e10 = 5 + 5. Sendo assim, sem perca de generalidade, podemosconsiderar k + 1 Ø 11. Donde obtemos:

k + 1 Ø 11 ∆ k Ø 10 ∆ k Ø 8 + 2 ∆ k ≠ 2 Ø 8.

Uma vez que k ≠ 2 Ø 8 e menor do que k, isto é,

8 Æ k ≠ 2 Æ k,

podemos aplicar em k ≠ 2 a Hipótese de Indução, a saber, k ≠ 2pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5. Deoutra maneira,

k ≠ 2 = soma de números 3 e números 5

(k ≠ 2) + 3 = (soma de números 3 e números 5) + 3

k + 1 = soma de números 3 e números 5

Portanto, pelo Teorema 4.14, temos que todo número natural n Ø 8pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5.

Na verdade, os princípios da Boa Ordenação, da Indução Matemáticae da Indução Completa, apresentados nos Teoremas 4.2, 4.5 e 4.14, sãoequivalentes, ou seja, se qualquer um deles for verdadeiro, então os outrostambém são.

Para visualizar a referida equivalência, observe que demonstramosque o Teorema 4.2 implica o Teorema 4.5, e que o Teorema 4.5 implica oTeorema 4.14, isto é, o Princípio da Boa Ordenação implica o Princípioda Indução Matemática, que por sua vez implica o Princípio da InduçãoCompleta. No entanto, para fechar a equivalência, é necessário demons-trar que o Principio da Boa Ordenação pode ser deduzido a partir doPrincípio da Indução Completa, e isto é o que faremos a seguir.

Teorema 4.17 (Princípio da Boa Ordenação). Todo subconjunto nãovazio A µ IN possui um menor elemento.

Demonstração: Suponhamos que existe um subconjunto não vazioB µ IN que não possui um menor elemento. Usaremos o Princípio da In-dução Completa para demonstrar que isto não pode acontecer. Vejamos:

BI - Desde que 1 é o menor elemento dentre todos números naturais,temos que 1 /œ B, caso contrário, B teria um menor elemento.

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HI - Suponhamos que para todo r, com 1 Æ r Æ k, a afirmação sejaverdadeira, isto é, suponhamos que 1, 2, 3, . . . k /œ B.

PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para k + 1, ouseja, verifiquemos se k + 1 /œ B. De fato, se k + 1 œ B, então k + 1seria o menos elemento de B, já que não existe nenhum númeronatural entre k e k + 1. O que contradiz a nossa hipótese de queB não possui um menor elemento. Logo, k + 1 /œ B.

Então, pelo Teorema 4.14, todos os números naturais não pertencem aB, ou seja, B = ÿ, que é uma contradição. Portanto, todo subconjuntonão vazio A µ IN possui um menor elemento.

Finalizamos esta seção apresentando os pertinentes comentários eexemplos do Prof. Elon Lages Lima retirados de [Lima 1998]. A saber:

Para habituar-se com o método de demonstração por indução é pre-ciso praticá-lo muitas vezes, a fim de perder aquela vaga sensação dedesonestidade que o principiante tem quando admite que o fato a serprovado é verdadeiro para n, antes de demonstrá-lo para n + 1.

Pratique também (com moderação) o exercício de descobrir o erroem paradoxos que resultam do uso inadequado do método de indução.Vejamos dois desses sofismas:

Exemplo 4.18. Todo número natural é pequeno.

Solução. Ora, 1 certamente é pequeno. E se n é pequeno, n + 1 nãovai subitamente tornar-se grande, logo também é pequeno. (O erro aquiconsiste em que a noção “número pequeno” não é bem definida.)

O perigo de fazer generalizações apressadas relativamente a asserçõessobre números naturais fica evidenciado com o seguinte exemplo:

Exemplo 4.19. Considere o polinômio p(n) = n2≠n+41 e a afirmação“o valor de p(n) é sempre um primo para n = 0, 1, 2, 3, . . .”.

Solução. Embora isso seja verdadeiro para n = 0, 1, 2, . . . , 40, temosque p(41) = 412 ≠ 41 + 41 = 412 não é primo, logo a afirmação nãoé verdadeira.

Semelhantemente, a expressão q(n) = n

2 ≠79n+1601 fornece primospara n = 1, 2, . . . , 79, mas q(80) = 802 ≠ 79 · 80 + 1601 = 1681 não éprimo, pois é divisível por 41. A moral da história é: Só aceite que umaafirmação sobre os números naturais é realmente verdadeira para todosos naturais se isso houver de fato sido demonstrado!

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1. Verifique se as seguintes são verdadeiras para todo n œ IN:

a) n

2 Ø n.

b) n! > n

2 , para n Ø 4.

c) 2n> n.

d) 2n Æ n

2, para n Ø 2.

e) n! Ø 2n≠1.

f) n

3< n! , para n Ø 6.

g) 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 ≠ 1.

h) 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 ≠ 2.

i) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)3 .

2. Verifique se para todo número natural n > 5, 4n < 2n.

3. Verifique se 2n + 1 < 2n, para todo número natural n Ø 3.

4. Verifique se para qualquer n œ IN, 2n Ø n + 1.

5. Verifique se para todo n œ IN, 8n ≠ 3n é divisível por 5.

6. [Oliveira e Fernández 2010] Demonstre que para qualquern œ IN é válida a igualdade:

1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n ≠ 1) = n

2.

119


7. Demonstre que 6n ≠ 1 é divisível por 5 para todo númeronatural n.

8. Verifique se para todo n œ IN a igualdade a seguir é verda-deira.

1 + 4 + 7 + · · · + (3n ≠ 2) = n(3n ≠ 1)2 .

9. Demonstre que 23n ≠ 1 é divisível por 11 para todo númeronatural n.

10. Demonstre que para n Ø 1 tem-se

1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · + n · n! = (n + 1)! ≠ 1.

11. Demonstre que 2n> n

2, para n Ø 5.

12. Demonstre que 2n

3> 3n

2 + 3n + 1 para n Ø 3.

13. [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para todo númeron œ IN, n > 3, vale que 2n

< n!.

14. [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para qualquer n œIN, n

3 + 2n é sempre divisível por 3.

15. Por que não podemos usar o Princípio da Indução Matemá-tica no Exemplo 4.16?

16. Demonstre que todo número natural n Ø 12 pode ser escritocomo uma soma de números 4 e números 5. (Sugestão: Noteque a afirmação é verdadeira para 12, 13, 14 e 15.)

17. Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos. Prove que épossível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos oumais usando somente esses selos.

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4.4 Princípio da Casa dos Pombos

Como foi dito no início deste capítulo, o Princípio da Casa dos Pom-bos, também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, é umasimples observação de contagem que possui várias aplicações em váriosramos da Matemática, e pode ser enunciado em sua versão mais simplesda seguinte forma:

Teorema 4.20 (Princípio da Casa dos Pombos). Se distribuímos n + 1pombos em n casas, então alguma das casas deverá conter pelo menosdois pombos.

Demonstração: A demonstração deste princípio decorre simplesmentede se fazer uma contagem dos pombos contidos em todas as casas depoisde distribuídos. De fato, suponhamos que em cada casa não há mais doque um pombo. Então contando todos os pombos contidos nas n casasobtemos apenas n pombos. Mas isto contradiz a hipótese de que foramdistribuídos n + 1 pombos nas n casas. Portanto, alguma das casasdeverá conter pelo menos dois pombos.

Para aplicarmos o Princípio das Casas de Pombos com sucesso é ne-cessário, a partir dos dados do problema a ser resolvido, adotar a seguinteestratégia: Primeiramente, devemos identificar quais são as casas e quaissão os pombos; na sequência devemos distribuir os pombos nas casas; epor fim determinar a relação existente entre ambos os pombos e casas.

Vejamos alguns exemplos simples de como aplicar o Princípio da Casados Pombos na resolução de problemas.

Exemplo 4.21. Em uma grande cidade com mais de 1 milhão de habi-tantes existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo?

Solução. Neste exemplo, as pessoas representam as casas e os cabelosrepresentam os pombos. Sendo assim, é sabido que em geral uma pessoatem cerca de 150 mil fios de cabelo. Portanto, é razoável supor queninguém tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. Sehá mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, peloPrincípio da Casa dos Pombos, necessariamente pelo menos duas pessoasterão precisamente o mesmo número de fios de cabelo.

Exemplo 4.22. Uma criança precisa pegar meias para acabar de sevestir para ir à escola. Como as janelas do quarto estão fechadas porqueseu irmão ainda dorme, ela terá que pegá-las sem acender a luz. Nagaveta há 26 meias misturadas: 10 meias pretas idênticas e 16 meiasbrancas idênticas. Qual a quantidade mínima de meias que a criançaterá que retirar para garantir ter retirado um par de meias da mesmacor?

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Solução. Aqui as cores representam as casas e as meias os pombos. Noteque a primeira meia retirada é branca ou preta. A segunda pode ser damesma cor da primeira ou não. Obviamente se retirou da mesma coranterior já formou um par, mas não podemos garantir que isto ocorreu.Mas, com a retirada da 3a meia, obrigatoriamente, terá retirado umpar de meias da mesma cor, pois, existem apenas duas cores e foramretiradas 3 meias. Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, aquantidade mínima de meias que a criança terá que retirar para obterum par da mesma cor é 3.

Exemplo 4.23. Considerando um grupo com 13 pessoas, podemos afir-mar que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam no mesmo mês?

Solução. Sendo as casas representadas pelos meses e os pombos repre-sentados pelas pessoas, a resposta à pergunta é sim. Isto porque existemapenas 12 meses e o grupo é formado formado por 13 pessoas, ou seja,se distribuirmos as pessoas por meses teríamos, por exemplo, a primeiraaniversariando em janeiro, a segunda em fevereiro, e assim por dianteaté completar 12 pessoas. Mas, havendo 13 pessoas, pelo Princípio daCasa dos Pombos, certamente, pelo menos duas delas comemoram o ani-versário num mesmo mês. Na realidade, em qualquer grupo com mais de12 pessoas podemos garantir que existem pelo menos 2 pessoas que ani-versariam num mesmo mês. é claro que poderemos ter todas as pessoasaniversariando num mesmo mês, assim como termos vários meses commais de uma pessoa aniversariando, o que não contradizem a afirmaçãoanterior.

Exemplo 4.24. Se as notas de uma prova valem de 1 a 10, sem uso decasa decimal, quantos alunos uma turma deve ter para que, no mínimo,2 alunos tirem a mesma nota?

Solução. Nesse caso, os pombos são os alunos e as casas, as notas.Como temos 10 casas, precisamos, pelo Princípio da Casa dos Pombos,de no mínimo 10 + 1 = 11 pombos. Logo, com 11 ou mais alunos numaturma, poderemos garantir repetição de nota.

Exemplo 4.25. Quantas vezes devemos jogar um dado de 6 faces parase ter certeza que um mesmo número vai cair duas vezes?

Solução. Na pior das hipóteses, se jogarmos o dado 6 vezes, teremos osnúmeros, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Certamentese jogarmos o dado mais uma vez, obrigatoriamente, vai cair um númeroigual a outro já obtido, pois, temos apenas 6 possibilidades para as facese jogamos o dado 7 vezes. Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos,se jogarmos o dado 6 + 1 = 7 vezes, teremos um número que se repetemais do que uma vez.

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Exemplo 4.26. Admitindo que ser amigo seja uma relação simétrica,ou seja, se A é amigo de B, então B é amigo de A, será que existem duaspessoas no mundo que possuem o mesmo número de amigos?

Solução. Para resolvermos o problema, temos que o mundo possuium número finito de habitantes, portanto, chamemos esse número de n.Observe que uma pessoa pode não ter amigos, pode ter 1 amigo, ou 2amigos, e assim sucessivamente, até n ≠ 1 amigos, pois num mundo comn habitantes, uma pessoa só pode ser amiga de no máximo n≠1 pessoas.Considere o número de amigos como as casas, tal que na casa [0] estáa pessoa que não possui amigos, na casa [1] está a pessoa que possui 1amigo, e assim sucessivamente. Dessa forma, teremos n casas, a saber,[0], [1], [2], . . . , [n ≠ 1]. Agora, observe que se uma pessoa ocupar a casa[0], nenhuma outra poderá ocupar a casa [n ≠ 1], pois, como a relaçãode amizade é simétrica, não pode existir uma pessoa que não possuaamigos e outra que é amigo de todos e, vice-versa. Logo, temos n ≠ 1casas para serem ocupadas e, considerando o número de participantescomo pombos, segue que temos n pombos. Portanto, pelo Princípio daCasa dos Pombos, haverá uma casa com pelo menos dois pombos, o quemostra que há duas pessoas que possuem exatamente o mesmo númerode amigos.

Exemplo 4.27. [Oliveira e Fernández 2010] Dados 8 números inteiros,mostre que existem dois deles cuja diferença é divisível por 7.

Solução. Considerando os 8 números como sendo os pombos e as casascomo sendo os 7 possíveis restos na divisão por 7. Como temos 8 =7 + 1 números o Princípio da Casa dos Pombos nos diz que existem doisnúmeros dentre os 8 dados que têm o mesmo resto quando divididos por7. Finalmente, observamos que se dois números deixam o mesmo restona divisão por 7, então a diferença entre eles é divisível por 7.

Exemplo 4.28. Um agricultor têm 4 caixas para guardar maçãs. Elequer que, pelo menos uma das caixas tenham, no mínimo, 3 maçãs.Quantas maçãs ele deve ter para garantir isso?

Solução. Observe que se ele tiver apenas 1 ou 2 maças, obviamente,isto não garante que 1 caixa tenha 3 maçãs. Se ele tiver 3 maçãs,estas podem estar numa mesma caixa, e assim, satisfazer a vontade doagricultor. Mas, ele dependerá da sorte de ter as maçãs colocadas todosnuma mesma caixa, ou seja, não há garantia de que isto ocorra. Damesma forma, se ele tiver 4, 5, 6 ou 7 maças, não podemos garantir oseu pedido. Já com 8 maças, com uma pitada de sorte, poderíamos ter2 maças em cada caixa, porém, isto não garante que teríamos 3 maçasem cada caixa. Agora, se tiver 9 maçãs observe que, por mais azar quetenha o agricultor, ao colocar 8 maçãs nas 4 caixas, cada caixa terá 2

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maçãs. Mas, quando colocar a 9a maçã, com certeza ela estará em umadas caixa, a qual conterá 3 maçãs. Portanto, 9 maçãs me dão a certezade que pelo menos 1 das caixas terá 3 maçãs.

O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Teorema 4.20, podeser enunciado de uma forma mais geral, a saber:

Teorema 4.29 (Princípio da Casa dos Pombos Generalizado). Se dis-tribuímos nk + 1 pombos em n casas, então alguma das casas deveráconter pelo menos k + 1 pombos.

Demonstração: Suponhamos que em cada casa não há mais doque k pombo. Então contando todos os pombos contidos nas n casasobtemos apenas nk pombos. Mas isto contradiz a hipótese de que foramdistribuídos nk + 1 pombos nas n casas. Portanto, alguma das casasdeverá conter pelo menos k + 1 pombos.

Exemplo 4.30. Uma prova de concurso possui 10 questões de múltiplaescolha, com 5 alternativas cada. Qual é o menor número de candida-tos para o qual podemos garantir que pelo menos 3 deles preencheramo cartão resposta com exatamente as mesmas respostas para todas asquestões?

Solução. Queremos garantir que em cada casa, que são os gabari-tos, haja pelo menos 3 pombos, que são os candidatos. Cada uma das10 questões do concurso pode ser respondida de 5 maneiras diferentes.Desta forma, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 510 manei-ras diferentes de preenchermos o cartão resposta. Facilmente podemosconcluir que se o concurso tiver ate 510 · 2 candidatos, ainda não pode-remos garantir que mais de dois candidatos terão gabaritos iguais. Poroutro lado, se tivermos 510 · 2 + 1 candidatos, teremos o número de casasmaior que o dobro do número de pombos, o que garante, pelo Princípioda Casa dos Pombos Generalizado, que pelo menos 2 + 1 = 3 candida-tos preencheram o cartão resposta com exatamente as mesmas respostaspara todas as questões.

Exemplo 4.31. Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em umgrupo, para que possamos garantir que ao menos 5 delas tenham nascidonum mesmo mês.

Solução. Como o ano tem 12 meses, se tivéssemos 4 pessoas nascidasem cada mês do ano, isto 12 · 4 = 48, a coincidência solicitada ainda nãoteria sido alcançada. Com uma pessoa a mais, ou seja 12·4+1 = 49, peloPrincípio da Casa dos Pombos Generalizado, ao menos 4 + 1 = 5 delasteriam de ter nascido no mesmo dia da semana. Portanto, o númeromínimo de pessoas nesse grupo deve ser 49.

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1. [Giacomo] Em uma floresta existem 106 jaqueiras. É conhe-cido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmentemais do que 92 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras nafloresta que têm a mesma quantidade de frutos.

2. [Giacomo] Uma caixa contém 3 tipos de bolas (azuis, verdes,amarelas). Qual o número mínimo de bolas que devemosretirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas damesma cor?

3. Quantas pessoas, no mínimo, devem morar numa casa com7 quartos para garantirmos que pelo menos duas dormemnum mesmo quarto?

4. Prove que, dados 11 números inteiros quaisquer, a diferençaentre dois deles será um múltiplo de 10.

5. Numa festa de aniversário com 37 crianças, mostre que pelomenos 4 nasceram no mesmo mês.

6. Uma urna contém 5 bolas pretas, 4 bolas vermelhas, 6 bolasamarelas, 7 bolas verdes e 9 bolas azuis. Qual o menornúmero de bolas que devem ser retiradas (sem olhar) paraque possamos ter certeza de termos tirado pelo menos 4bolas de uma mesma cor?

7. Quantas cartas devem ser escolhidas de um baralho de 52cartas para garantir que pelo menos três cartas do mesmonaipe sejam escolhidas?

8. É possível que, numa festa de aniversário com mais de 12crianças, existem pelo menos 2 nascidas no mesmo dia dasemana?

9. Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em uma festa,para que possamos garantir que ao menos 3 delas tenhamnascido num mesmo dia da semana?

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notas de aula: lÓgica, induÇÃo e iniciaÇÃo matemÁtica

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