lógica matemática

LÓGICA MATEMÁTICA

Priscila [email protected]

FUNDAMENTOS DE LÓGICA

Introducción a la LógicaEs la que determina si un razonamiento es válido o no.Algunos precursores de la lógica pudieron verificar

que esta ciencia casi expresada en su totalidad en palabras no hacía posible una fácil aplicación sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo se quería comprobar, por lo que se introdujo símbolos que representan las definiciones y reglas dadas por la lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica, llamada lógica matemática

FUNDAMENTOS DE LÓGICA

La lógica matemática usa lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestros razonamientos, es por ello que en la actualidad también se la conoce como la lógica formal o matemática.

Lógica Proposicional

• Lógica Proposicional – SintaxisEstudia los enunciados como un todo y sus

relaciones con otros enunciados.Proposición es aquel enunciado que afirma o

niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F).

• sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas.


• Ejemplos

No son proposiciones, los enunciados donde no es posible determinar el valor de verdad, es decir si son verdaderos o falsos.

Ejemplo:• ¿Cómo estás?• - ¡Dios mío!


• El lenguaje formal de la lógica de proposiciones resulta de un análisis lógico simple del lenguaje natural, basado en la distinción entre dos clases de enunciados o proposiciones: Simples o Compuestos


• Conjunto de símbolos con los que trabaja el lenguaje de la lógica proposicional.

• símbolos utilizados para representar los enunciados, las principales conectivas lógicas que se utilizan para construir enunciados compuestos y la jerarquía de las mismas

Lógica Proposicional• Jerarquía de conectivas.

• En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q).

• Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas

Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).

En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquía sobre ^, v, →, ↔. Es decir va desde menor jerarquía hasta el de mayor.

Así: ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q)


• En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que: p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que: p ^ q v r sería (p ^ q) v r


• Ejemplo:• Considerando la jerarquía entre conectivas, la

fórmula ¬p v q → p ^ r, se reconocería como:

• Ejercicio:Representar la fórmula mediante utilizando símbolos de agrupación/puntuación


• Conectivas LógicasAquellas partículas de enlace del lenguaje

natural que permiten unir enunciados simples.• Éstas tienen un significado en el lenguaje de la

lógica proposicional, y los enunciados un valor de verdad.

• Cinco conectivas principales utilizadas para la construcción de nuevas proposiciones.


• Ejemplo:

• Ejercicio:• Simbolice cada una de las proposiciones señaladas

en el ejemplo


• Valor de verdad de la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

• Para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremospor un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.


La NegaciónLa operación unitaria de negación, ¨”no es cierto

que” se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad


• Conjunción• La conjunción de las proposiciones p, q es la

operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q.


• La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente.

• Ejemplo, si tenemos el enunciado:La función es creciente y está definida para los números positivos.Simoblizamos como p ^ q, donde:p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos


• Ejemplo 2:• El número es divisible entre 3 y está representado en

base 2.p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2p ^ q

• Para que la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.


• DisyunciónLa disyunción de dos proposiciones p, q es la

operación binaria que da por resultado p ó q, notación “p v q”, y tiene la siguiente tabla:


• Basta con que una de las proposiciones sea verdadera para que la expresión p q sea ∨verdadera.

• Ejemplo:El libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis.

• Simbolizando: p v q


• Condicional • La condicional de dos proposiciones p, q da

lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q.


• El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.

• Ejemplo:Si llueve entonces hay nubesp:llueveq: hay nubep → q


• Bicondicional• La bicondicional de dos proposiciones p, q da

lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q.

Lógica Proposicional• Construcción de Tablas de Verdad

Si P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente manera: ¬p v q

Pasos:1. Como se está trabajando con dos variables, entonces se tendrán filas

en la tabla de verdad, que son a la vez las combinaciones de los valores de verdad de las variables.

2. Procedemos a dibujar la tabla separando hacia la izquierda las variables que intervienen, como tienen que dar 4 filas, la primera proposición tendrá dos valores de verdad con “V” y dos con “F”, y la proposición “q” tendrá intercalado los valores de verdad de la siguiente manera:


Hallar las tablas de Verdad de:• a) [¬P ^ Q] → [ P v ¬ Q]• b) [ P v ( Q ^ R)] ↔ [( P v Q) ^ (P v R)]

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