graphmatica - manual-2007 · fornecer a solução das correspondentes equações diferenciais e,...

Apresentação do Graphmatica

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GRAPHMATICA

O software GRAPHMATICA é um gerador de gráficos de funções de uma variável nas

suas várias formas: cartesiana, polar, paramétrica, logarítmica, trigonométrica, inequação e implícita. Com ele é possível ainda, gerar campos de vetores no plano e fornecer a solução das correspondentes equações diferenciais e, além disso, permite calcular: derivadas, integrais, máximos, mínimos e zeros de funções.

Com o GRAPHMATICA podem-se construir vários gráficos em uma só tela, salvar informações e equações, bem como redimensionar as escalas em cada eixo. Como ferramenta de Cálculo adicional, o programa GRAPHMATICA pode incluir símbolos de diferenciação, traçar retas tangentes ‘a uma curva e calcular uma integral definida.


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AAAppprrreeessseeennntttaaaçççãããooo

:

ADICIONAR UMA NOVA PÁGINA

ABRIR UM DOCUMENTO NO GRAPHMATICA

SALVAR A PÁGINA

IMPRESSÃO

COPIAR GRÁFICOS

INSERIR PONTOS NO GRÁFICO

BARRA DE ROLAGEM

INSERIR TEXTO

OCULTAR O GRÁFICO

DELETAR O GRÁFICO

ZOOM

INSERIR TITULO

COORDENADAS X E Y

CONFIGURAR A EXIBIÇÃO

FONTES

INSERIR FUNÇÕES

INTEGRAÇÃO

DERIVADA

PONTOS CRÍTICOS


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AAAlllggguuummmaaasss dddaaasss fffuuunnnçççõõõeeesss qqquuueee ssseee pppooodddeee eeennncccooonnntttrrraaarrr nnnooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa

LLLiiissstttaaa dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss::: O Graphmatica memoriza as ultimas 25 equações que você digitou ou carregou de um arquivo. Pode salvar o seu trabalho para utilização numa sessão posterior ou para utilizar em qualquer editor de texto.

FFFuuunnnçççõõõeeesss aaauuutttooommmááátttiiicccaaasss::: O Graphmatica determina, automaticamente, o tipo de gráfico que você está introduzindo considerando as variáveis usadas; reconhece o domínio de uma equação; altera o número de pontos do domínio, de modo dinâmico, enquanto desenha o gráfico para se ter a certeza de que gráficos de funções como y = tg x sejam traçados corretamente; ajusta os eixos x e y, quando se altera a área ou o tamanho da janela do gráfico, para manter o aspecto proporcional do gráfico.

AAAnnnááállliiissseee dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss::: O programa aceita as regras matemáticas, não as do computador. Pode utilizar multiplicação implícita, uma completa biblioteca de funções matemáticas (incluindo trigonometria), e parênteses. Não precisa isolar variável, numa equação, antes de desenhar o gráfico. Se a variável dependente aparecer apenas uma vez na equação, o Graphmatica isolará a variável sozinho. O Graphmatica apresenta seis estilos de gráficos: cartesianos, polares, paramétricos, diferenciais e ODEs com aproximações com valor inicial até quarta ordem (e sistemas lineares de quarta ordem também), todos detectados automaticamente, além de lidar também com inequações.

Campo

de

Edição

: ca

mpo

ond

e se

in

trod

uz u

ma

equa

ção


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CCCooonnntttrrrooollleeesss fffáááccceeeiiisss::: A Barra de Botões proporciona acesso rápido aos comandos mais usados. Apresenta o menu principal onde você poderá visualizar a informação mais relevante e mensagens de ajuda, e uma caixa com a Lista de Equações, que permite selecionar qualquer equação, que estiver armazenada na memória, para desenhar o respectivo gráfico, apagar, ou editar para formar uma nova equação, etc.

OOOpppeeerrraaaçççõõõeeesss cccooommm ooo mmmooouuussseee::: Pode-se utilizar o mouse para selecionar um novo intervalo ou ver as coordenadas de um ponto, para selecionar o valor inicial para uma ODE e ainda encontrar a reta tangente a uma curva ou integrar uma função sem apertar uma única tecla.

PPPaaapppeeelll dddeee gggrrráááfffiiicccooo cccooonnnfffiiiggguuurrrááávvveeelll::: Você tem a opção de escolher entre papel normal e papel apropriado para trigonometria, equações polares, e funções logarítmicas, com quatro níveis de detalhes.

OOOpppeeerrraaaçççõõõeeesss dddeee CCCááálllcccuuulllooo::: Encontra derivadas, integrais, pontos de máximo e mínimo e zeros de funções cartesianas.

OOOpppçççõõõeeesss dddeee SSSaaaííídddaaa::: O Graphmatica permite copiar equações, tabelas de pontos e gráficos para a área de transferência e, além disso, você pode escolher níveis de qualidade de impressão para uma rápida, ou melhor, impressão quando imprime os seus gráficos.


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BBBaaarrrrrraaa dddeee fffeeerrrrrraaammmeeennntttaaasss dddooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa

NNNeeewww gggrrriiiddd (novo documento em branco) - permite ao usuário criar uma nova página a ser editada. Para isso pressione o botão esquerdo do mouse sobre o ícone, e imediatamente aparecerá uma nova janela pronta para ser editada. Ao clicar sobre este ícone o Graphmatica perguntará se você quer salvar o documento que já foi editado.

Você tem a opção de clicar:

Sim - para salvar o documento editado

Não - para não salvá-lo

Cancelar – para reeditar seu documento

OOOpppeeennn (abrir) - permite abrir algum documento editado no Graphmatica. Para isso pressione o botão esquerdo do mouse sobre o ícone e localize o arquivo que você deseja abrir dando-lhe um duplo clique. É importante observar que o arquivo pode estar localizado em vários locais do seu HD: no drive d -> (cd room), em c -> (unidade primária) ou no drive a -> (disquete) e, além disso, cabe lembrar que se o arquivo não foi editado no Graphmatica, será impossível abrí-lo através dessa janela. Caso você não se lembrar onde seu arquivo está localizado, tente achá-lo pelo sistema de busca do explorer (pressione o botão esquerdo do mouse sobre o menu iniciar -> pesquisar -> arquivos ou pastas).

novo documento


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SSSaaavvveee (salvar) - permite ao usuário salvar o documento editado. Para isso pressione o botão esquerdo do mouse no ícone e digite o nome do arquivo para salvar. Você pode escolher salvar o arquivo em qualquer parte do sistema (Ex: meu computador, desktop, meus documentos) e, uma vez salvo, você ainda poderá reeditá-lo e também renomeá-lo. Para isso, pressione o botão esquerdo do mouse sobre o nome do arquivo e logo em seguida pressione novamente.

Abr

e um

doc

umen

to

editad

o no

Gra

phmat

ica

s

alva

odo

cumen

to


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PPPrrriiinnnttt (imprimir) - esta opção permite ao usuário imprimir o documento editado. Pressione o botão esquerdo do mouse neste ícone e configure o tipo de impressão que desejar. Antes de mandar imprimir verifique se sua impressora está instalada corretamente e se ela possui papel para impressão.

CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss (copiar gráficos) - permite ao usuário transferir os gráficos editados para um outro local que desejar.

DDDrrraaawww GGGrrraaappphhhsss (Desenhar Gráficos) – uma vez clicado, desenha o gráfico da função que está no campo de edição.

PPPaaauuussseee – esta opção na maior parte do tempo se encontra desabilitada. Pausa durante o desenho dos gráficos. Ex: Escreva na barra de equação do graphmatica a função r= cos 9ttan t.

RRReeedddrrraaawww aaallllll (redesenhar todas) – permite que você visualize todos os gráficos que já foram desenhados e ocultados pelo clear screen. Ferramenta parecida com o draw graphs.

CCCllleeeaaarrr SSScccrrreeeeeennn (apagar) – oferece a opção de apagar os gráficos das funções que estão desenhadas. Lembrando que uma vez deletados, será impossível recuperá-los.

HHHiiidddeee GGGrrraaappphhh (esconde gráfico) – esta opção esconde a equação que está no campo de edição. Pressione o botão esquerdo do mouse no gráfico (ou selecione a equação do gráfico na barra de equações) e, logo em seguida, pressione o botão esquerdo do mouse neste ícone para ocultá-lo.

DDDeeellleeettteee GGGrrraaappphhh (apaga gráfico) – Apaga a equação que está no Campo de edição do ecrã e da lista de funções (lista, na memória, com as ultimas funções inseridas). Para isso selecione o gráfico e logo após pressione este ícone com o botão esquerdo do mouse para apagá-lo.

ZZZoooooommm iiinnn (ampliar) - permite ao usuário ampliar os gráficos. Para efetuar esta operação basta pressionar o botão esquerdo do mouse sobre este ícone, quantas vezes quiser.


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ZZZoooooommm ooouuuttt (reduzir) – Está é uma ferramenta que permite ao usuário reduzir os gráficos, conforme sua vontade. Dê tantos cliques como quiser para ajustar o gráfico, conforme seu desejo.

DDDeeefffaaauuulllttt GGGrrriiiddd (grade padrão) – a configuração padrão do programa no eixo x e y é de –2 a 2. Assim quando você clicar neste ícone voltará a configuração inicial.

CCCoooooorrrdddiiinnnaaattteee CCCuuurrrsssooorrr (coordenadas de pontos) – esta opção fornece a localização exata do cursor e para isso basta pressionar o botão esquerdo do mouse no ícone e percorrer, com o ponteiro do mouse, a tela do Graphmatica. Você irá visualizar as diferentes coordenadas enquanto você percorrer a tela do Graphmatica.

FFFiiinnnddd dddeeerrriiivvvaaattteee (determinar a derivada): Permite encontrar a derivada da função que está no campo de edição. Pressione este ícone com o botão esquerdo do mouse e pronto, você irá visualizar o gráfico da derivada da função que está descrita no Graphmatica.

ampliar

reduzir


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DDDrrraaawww TTTaaannngggeeennnttt - Esta opção permite ao usuário encontrar a reta tangente a uma curva num ponto. Lembrando que a reta tangente a uma curva, em um ponto desta, é aquela reta que mais se aproxima da curva em uma vizinhança do ponto de tangência.

IIInnnttteeegggrrraaattteee - Permite calcular a integral da função no intervalo escolhido (integral definida). Pressione o botão esquerdo do mouse no ícone e, com o mouse, selecione a região de integração. Observe o exemplo abaixo:

descreve o gráfico da função derivada

descreve o gráfico da reta tangente a uma curva


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PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleeesss Apresenta uma tabela com características do gráfico(equação, coordenadas). Para exibir a tabela pressione o botão esquerdo do mouse sobre este ícone. Você observará algo parecido com o que está descrito na figura abaixo:

DDDaaatttaaa PPPlllooottt EEEdddiiitttooorrr - Possibilita ao usuário “plotar” um conjunto de pontos no plano cartesiano. Além disso, permite que o usuário ajuste uma curva (ou uma reta) a este conjunto de dados. Ao inserir as coordenadas escolha o tipo de equação que está localizado no ícone options do data plot. Em seguida clique em curve fit para inserir o gráfico. Você ainda pode optar pela cor e formato (circulo ou quadrado) do ponto.

Calcula a área da região descrita na figura

Descreve as coordenadas de alguns pontos do gráfico


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BBBaaarrrrrraaa dddeee CCCooommmaaannndddooosss dddooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa

O Graphmatica além de ter os comandos usuais, existentes em outros softwares, tais como copiar, salvar, imprimir etc, possui algumas outras funções específicas.

FFFiiillleee

NNNeeewww – abre uma nova página para ser editada.

OOOpppeeennn – abre um documento gravado.

SSSaaavvveee aaasss – salva o documento com um nome específico.

SSSaaavvveee SSSeeetttuuuppp iiinnnfffooo – salva a configuração da página.

PPPaaagggeee SSSeeetttuuuppp – permite a configuração da página (folha, orientação e impressão).

PPPrrriiinnnttt – imprime o documento editado no Graphmatica.


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EEEdddiiittt

UUUnnndddooo GGGrrriiiddd RRRaaannngggeee: Esta opção desfaz a última mudança que você fez na escala da grade, usando a opção GRID RANGE, ZOOM IN ou ZOOM OUT. CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss BBBMMMPPP:

Color - copia o gráfico em cores.

Monochrome – copia o gráfico sem cores (preto e branco).

CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss EEEMMMFFF: Copia os gráficos de maneira que se possa editá-los no Word. Uma vez copiado para o word, dê um duplo clique no gráfico e configure como desejar.

CCCooopppyyy EEEqqquuuaaatttiiiooonnn: Copia a equação do gráfico inserido no Graphmatica.

PPPaaasssttteee DDDaaatttaaa PPPlllooottt: Abre a janela para inserção de dados (x,y). Lembrando que cada par ordenado (x,y) representa um único ponto no gráfico.

HHHiiidddeee GGGrrraaappphhh: Uma vez clicado, ele oculta as funções.

DDDeeellleeettteee GGGrrraaappphhh eee DDDeeellleeettteee AAAllllll GGGrrraaappphhh: Deleta todos os gráficos inseridos no Graphmatica. Uma vez deletados, será impossível recuperá-los.

AAAnnnoootttaaatttiiiooonnnsss: Permite inserir uma caixa de texto no Graphmatica. Dê um clique neste item do menu e, na janela do Graphmatica clique no ponto desejado. Lembrando que: caso você queira mudar a anotação para outro local basta arrastá-lo, com o mouse, para o local desejado.


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VVViiieeewww

CCCllleeeaaannn SSScccrrreeeeeennn: Uma vez clicado, ele oculta o(s) gráfico(s).

ZZZoooooommm IIInnn: Aproxima o gráfico (visualiza-se a diminuição do gráfico e o aumento dos valores das coordenadas).

ZZZoooooommm OOOuuuttt: Afasta o gráfico (visualiza-se o aumento do gráfico e a diminuição dos valores das coordenadas).

GGGrrriiiddd RRRaaannngggeee: Configura os eixos coordenados.

Para obter qualquer uma dessas funções, você também pode clicar com o botão direito do mouse sobre qualquer parte da janela do programa, menos sobre os eixos coordenados.

PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleee: Fornece as coordenadas da função inserida.

DDDaaatttaaa PPPlllooottt EEEdddiiitttooorrr: Insere pontos no Graphmatica (conforme visto anteriormente).

VVVaaarrriiiaaabbbllleeesss PPPaaannneeelll SSScccrrrooolllbbbaaarrrsss: Habilita a barra de rolagem.

TTTiiitttllleee aaannnddd lllaaabbbeeelllsss: Possibilita visualizar o titulo.

OOOppptttiiiooonnnsss


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GGGrrraaappphhh PPPaaapppeeerrr - Possibilita configurar o tipo de exibição do gráfico. O estilo do gráfico(polar, logaritmo..), tipo de cor, c/s grade, escalas, coordenadas, etc. Observe a explicação logo abaixo:

LLLoooggg OOOppptttiiiooonnnsss

Logaritmo Base - Permite a escolha da base da função logaritmo(loga, logb..).

Graph Paper Type - apresenta as seguintes opções - bod plot (somente em x), semilog (somente em y) e log-log (ambos).]

LLLeeegggeeennnddd eeemmm xxx eee yyy - Oferece ao usuário a opção de configurar o intervalo de espaçamento de x e y. Ex: 0, 2 ,4 ,6...


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LLLaaabbbeeelll - Permite inserir o titulo e adicionar caracteres para as coordenadas.

CCCooolllooorrr - Possibilita configurar a cor do gráfico. Clique em grid elements, colour e preview e configure conforme desejado.


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FFFooonnntttsss - Fornece vários estilos de fontes. Para cada uma das opções, basta selecionar a fonte desejada, escolher o estilo e o tamanho da fonte .


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SSSeeettttttiiinnnggg - Apresenta as características globais da função.

GGGeeennneeerrraaalll - Oferece vários itens que podem ser habilitados. Ex: Draws graph pixes (deixa o contorno do gráfico mais expressivo), point tables (exibe coordenadas do gráfico).

PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleeesss – esta opção permite que o usuário visualize as coordenadas do(s) gráfico(s) inseridos no Graphmatica.

TTTaaannngggeeennnttt LLLiiinnneee – pode-se optar pela exibição da região integrada com uma caixa de diálogo (habilite a opção show draw tangent).


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IIInnnttteeegggrrraaatttiiiooonnn

IIInnnttteeegggrrraaatttiiiooonnn MMMeeettthhhoooddd Possibilita a escolha do método de integração (trapezoidal rule, simpson’s rule...).

AAAccccccuuurrraaarrreee Configura o modo de como a função deve ser

integrada (com o mouse ou por números de segmentos).

IIImmmpppuuuttt MMMeeettthhhoooddd Permite selecionar a região a ser integrada com o mouse e a exibição da região integrada (x = -2 a x = 2).

CCCuuurrrvvveee FFFiiittt

MMMaaaxxxiiimmmuuummm nnnuuummmbbbeeerrr ooofff iiittteeerrraaatttiiiooonnn - permite escolher o número de interações.

EEEqqquuuaaaçççãããooo TTTyyypppeee – escolhe o tipo de curva que será ajustada (polinomial, sinusoidal, exponencial...)


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TTToooooolllsss

EEEvvvaaallluuuaaattteee - Esta opção permite obter valores de x ou de y ( insira o valor de x para obter o de y e vice-versa).

FFFiiinnnddd IIInnnttteeerrrssseeeccctttiiiooonnn - Fornece o ponto de intersecção dos gráficos editados no Graphmatica.

CCCoooooorrrdddiiinnnaaattteee CCCuuurrrsssooorrr - Permite que o usuário observe as coordenadas de um ponto. Deslize o cursor sobre a janela do Graphmatica ou sobre a curva descrita e você poderá observar os diversos valores das coordenadas do ponto sobre o qual o cursor está.

SSSeeettt DDDooommmaaaiiinnn - Esta opção possibilita ao usuário restringir o intervalo de domínio da função descrita na janela do programa. Para isso dê um clique em set domain e, com o mouse, selecione o intervalo pretendido. Aparecerá ao lado da equação o intervalo selecionado. Pressione a tecla Enter para que esta restrição tenha efeito.

CCCaaalllcccuuullluuusss

FFFiiinnnddd DDDeeerrriiivvvaaatttiiivvveee - Descreve o gráfico da derivada da função que está no campo de edição. Selecione a equação do gráfico na barra de equações e, em seguida, pressione com o botão esquerdo do mouse no item Find Derivative.


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DDDrrraaawww TTTaaannngggeeennnttt - Descreve o gráfico da reta tangente em um ponto da curva e determina o coeficiente angular e a equação desta reta. Basta pressionar o botão esquerdo do mouse sobre o item draw tangente e escolher um ponto, sobre a curva, onde você quer determinar a reta tangente.

IIInnnttteeegggrrraaattteee - Possibilita a integração da função. Clique em um ponto sobre a curva e arraste o mouse para selecionar a região a ser integrada.

A área é descrita aqui


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FFFiiinnnddd CCCrrriiitttiiicccaaalll PPPoooiiinnntttsss - Encontra os pontos de máximo e de mínimo e os zeros da função.

HHHeeelllppp – informa ao usuário descrição do programa, contatos por web e uma ajuda básica no funcionamento do programa.

Gráficos

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CCCRRRIIIAAAÇÇÇÃÃÃOOO DDDEEE GGGRRRÁÁÁFFFIIICCCOOOSSS

O Graphmatica oferece os seguintes métodos para desenhar gráfico, sendo que cada método é detectado automaticamente, pelo programa, através da utilização de diferentes variáveis.

FFFuuunnnçççãããooo CCCaaarrrttteeesssiiiaaannnaaa (((rrreeetttaaannnggguuulllaaarrr))) – Equações do tipo y = 2x+3 que relacionam apenas as variáveis x e y.

FFFuuunnnçççãããooo CCCaaarrrttteeesssiiiaaannnaaa IIImmmppplllíííccciiitttaaa – Equações do tipo x^3 – xy + y^2 = 12 onde nem x e nem y podem ser isolada como a variável dependente.

IIInnneeeqqquuuaaaçççõõõeeesss – Você pode desenhar gráficos a partir de inequações substituindo o símbolo = por < , <= , > ou >=.

Por exemplo: y<=x^3.

PPPooonnntttooosss IIIsssooolllaaadddooosss – Para descrever um ponto isolado (x,y), basta especificar os valores de x e de y.

Por exemplo: x = 3; y = 4 descreve o ponto (3,4)

CCCooonnnjjjuuunnntttooo dddeee DDDaaadddooosss – Para descrever um conjunto de pontos (x,y), no plano cartesiano, basta especificar os valores de x e de y em Data Plot Editor clicando no ícone . Você pode também achar a melhor curva de ajuste para os dados descritos.

GGGrrráááfffiiicccooo dddooo tttiiipppooo PPPooolllaaarrr – Gráficos utilizando o sistema de coordenadas polares e as variáveis r e t (para ).

Por exemplo: r = 2cos(t).

GGGrrráááfffiiicccooo dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss pppaaarrraaammmééétttrrriiicccaaasss – Gráficos utilizando o sistema de coordenadas cartesianas a partir de equações paramétricas, onde o parâmetro utilizado é a variável t. Gráficos deste tipo devem incluir o domínio.

Por exemplo: y = t+1 ; x = 2t+1 {0,3}.

EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaaiiisss – O programa apresenta soluções numéricas aproximadas, para equações diferenciais, através de campo de direções. Utiliza dx (para a derivada dx/dt), x e t ou dy (para a derivada dy/dt), y e x. Você pode descrever campo de direções e aproximações para equações diferenciais ordinárias (com condição inicial) de primeira até quarta ordem.

Por exemplo: dx = x^3 + 2t descreve um campo de direções para a equação diferencial dx/dt = x^3 + 2t.

Outro exemplo: dy+y=1 {3,2} descreve uma curva solução para a equação diferencial dy/dt + y = 1 com condição inicial y = 2 para x = 3.

Gráficos

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Existem algumas curvas que podem ser descritas graficamente (no Graphmatica) de uma maneira mais rápida e bem mais simples, dependendo do tipo de equação que se utilizar (equações cartesianas, polares ou paramétricas).

Por exemplo: uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 pode ser descrita graficamente utilizando-se a equação cartesiana x^2 + y^2 = 25, as equações paramétricas x=5cos(t) ; y=5sin(t) {0, 2p} ou, de uma maneira mais rápida e muito mais simples, através da equação polar r = 5.

Tabela de Operadores

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OOOpppeeerrraaadddooorrreeesss

O Graphmatica utiliza os operadores, as funções e as variáveis descritas a seguir:

OOOpppeeerrraaadddooorrr SSSiiigggnnniiifffiiicccaaadddooo

= igualdade

< > desigualdade estrita

<= >= menor (maior) ou igual

+ adição

- subtração

* multiplicação

/ divisão

^ ou ** exponenciação

; Separa uma equação paramétrica

‘ Torna o resto da equação um comentário

{m,n} Especifica o domínio de uma função

FFFuuunnnçççãããooo SSSiiigggnnniiifffiiicccaaadddooo

abs Módulo (valor absoluto)

acos , asec arco cosseno , arco secante

asin , acsc arco seno , arco cossecante

atan , acot arco tangente , arco cotangente

sinh , cosh , tanh seno/cosseno/tangente hiperbólico

tan , cot tangente (senx/cosx) , cotangente (1/tg x)

sec , csc secante (1/cosx) , cossecante (1/senx)

exp ex

int maior inteiro ([x])

ln logaritmo natural (logex)

log logaritmo na base 10

sqrt (sqr) Raiz quadrada

Tabela de Operadores

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VVVaaarrriiiááávvveeeiiisss UUUtttiiillliiizzzaaaçççãããooo

x , y coordenadas cartesianas (retangulares)

r , t coordenadas polares

x , y , t x e y como função do parâmetro t

t , x , dx ODE de primeira ordem (dx representa dx/dt)

x , y , dy ODE de primeira ordem (dy representa dy/dx)

d2x (d2x/dt2) , d3x , ... ODEs de ordem maior ou igual a 2

t , x , y , z , w , dx...dw Sistema de ODEs

ODE -> equação diferencial ordinária

CCCooonnnssstttaaannnttteeesss VVVaaalllooorrr

e constante de Euler = 2,718...

π -> pi (ou p) 3,14159...

d Converte graus em radianos = p/180

OBS: Como padrão do programa, todas as funções trigonométricas trabalham em radianos, não graus. Você pode fazer a conversão usando a constante d:

sin (45d) = sin (p/4)

cos (x*d) = cosseno de x, em graus

Você precisará mudar a variação de x de 00 até 3600 para conseguir o gráfico completo.

Dicas Úteis

26

DDDiiicccaaasss ÚÚÚttteeeiiisss

111... Para inserir uma função (ou uma equação) no Graphmatica, dê um clique no cccaaammmpppooo dddeee eeedddiiiçççãããooo e digite a equação desejada utilizando sempre as variáveis x e y (Ex: y= 2x-1). O programa não reconhecerá quando você adicionar f(x) = 2x-1 ou utilizar outras variáveis diferentes de x e y. Existem outras variáveis que o programa adota tais como: r para distância, t para ângulo.

222... EEEssspppeeeccciiifffiiicccaaannndddooo ooo dddooommmííínnniiiooo dddeee uuummmaaa fffuuunnnçççãããooo O Graphmatica permite que você especifique o domínio de cada função independentemente. Para especificar um domínio para uma equação, digite a expressão {m,n}, no campo de edição, logo após a expressão da função. Se você não quiser limitar um dos extremos do intervalo de variação do domínio, basta retirar da expressão {m,n} o valor desse extremo. Por exemplo, se a variação padrão de x no Graphmatica for 8x8 e você especificar um domínio de { , 2}, isto significa que os valores de x irão variar de -8 até 2.

Dicas Úteis

27

333... Você pode escolher a melhor janela de visualização com Zoom in ou Zoom out;

Observe o exemplo seguinte:

Observe que o gráfico não aparece nessa janela de visualização. Você pode

escolher uma janela melhor clicando em um dos ícones disponíveis na Barra de Ferramentas. A partir daí, você escolherá a melhor janela para visualizar o gráfico da função.

Janela depois de um

clique no ícone

Janela depois de dois

cliques no ícone Janela padrão

Dicas Úteis

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444... Para tornar mais grosso o traço do gráfico, clicar em Options ->Settings e depois em Draw graphs with wide lines e escolher a espessura do traço.

555... Você pode acrescentar um comentário ao gráfico em Edit -> Annotations.

Espessura do traço

Dicas Úteis

29

666... Você pode colocar um título e/ou comentários laterais, no gráfico, em Options -> Graph Paper -> Labels

777... Você pode modificar as cores que serão utilizadas pelo programa em Options -> Graph Paper -> Colors.

Dicas Úteis

30

888... Você pode alterar o padrão de fundo em Options -> Graph Paper .

999... Você pode alterar o tipo e o tamanho das letras utilizadas nos gráficos em Options -> Graph Paper -> Fonts.

111000... Para inserir vários gráficos, no Graphmatica, proceda da seguinte maneira: logo que inserida a primeira função, apague-a e digite a próxima função desejada. Faça isto quantas vezes for necessário.

Dicas Úteis

31

111111... Para descrever o conjunto R2, domínio de uma função de duas variáveis z = f(x,y), basta inserir, no campo de edição, as desigualdades x>a e x<a (uma de cada vez) para qualquer valor de a. Você irá obter um gráfico como o apresentado abaixo.

x

y

-5 0 5

-5

0

5

111222... CCCooopppiiiaaarrr uuummm gggrrráááfffiiicccooo Claro que você pode (e deve) gravar um gráfico no formato normal do programa em File -> Save/Save as. Contudo, para poder usar a imagem do gráfico, em outros programas, terá que copiá-la como uma imagem. O Graphmatica permite copiar em dois formatos de imagens quando se clica em Edit: EMF ou BMP.

Dicas Úteis

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x

y

-2

0 20

2

4

Edit -> Copy Graphs EMF -> Color (também poderia ser Monochrome). É preferível escolher o formato EMF ou WMF quando se pretende utilizar o gráfico num documento do Word (por exemplo), pois com este formato é possível editar e fazer alterações na imagem a partir do próprio Word.

111333... GGGeeennneeerrraaallliiidddaaadddeeesss sssooobbbrrreee cccaaappptttaaaçççãããooo dddeee iiimmmaaagggeeennnsss CCCooolllaaarrr ooo gggrrráááfffiiicccooo nnnuuummm dddooocccuuummmeeennntttooo WWWooorrrddd

Posicionar o cursor no local onde se desenha a imagem;

Colar a imagem com os comandos Ctrl + V ou com Edit -> Paste (ou Paste Especial);

Editar a imagem.

CCCuuuiiidddaaadddooosss aaa ttteeerrr

Caso a imagem tenha sido copiada do Graphmatica no formato EMF, pode-se alterar cada uma das partes desta imagem. Dessa forma, depois de colada a imagem no Word, basta clicar em cima dela com o botão direito do mouse, escolher Editar Figura/Imagem (eventualmente terá de desagrupar) e depois selecionar cada parte da imagem para mover, ou alterar.

AAAlllggguuummmaaasss ooobbbssseeerrrvvvaaaçççõõõeeesss nnneeeccceeessssssááárrriiiaaasss:::

Quando o gráfico é constituído por duas ou mais linhas e se pretende alterar este gráfico, é necessário alterar as várias linhas que o constituem.

O gráfico apresenta dois zeros e, portanto, torna-se necessário apagar um deles.

Dicas Úteis

33

Este é o exemplo de um gráfico mal construído, porque:

- uma anotação tem letra

pequena demais;

- a legenda Fig.1 não está totalmente visível;

- o gráfico tem uma parte em

que o traço é mais grosso;

- não aparece o local exato do valor das coordenadas;

- aparecem dois zeros;

- As legendas x e y estão em posições incorretas.

111444... UUUsssooo dddooo ZZZoooooommm

Ao longo do uso, depois de tanto ir e vir no botão do Zoom pode ser interessante utilizar a opção Default Grid que restabelece a forma inicial de trabalho. Clique com o botão direito do mouse, em algum lugar da janela do programa, e aparecerão algumas opções como Default Grid e Grid Range. A primeira como já foi dito, retorna as configurações iniciais e a segunda oferece a opção de configurar as escalas nos eixos.

A legenda x aparece por cima e a legenda y aparece do lado direito.

Aparecem todas as coordenadas, mesmo as desnecessárias.

O tamanho das letras e números modifica-se quando se amplia ou reduz o tamanho do gráfico.

Os eixos do referencial cartesiano têm setas pequenas que podem ser apagadas e substituídas quando se define a extremidade de cada eixo.

Completar ou aperfeiçoar o gráfico, principalmente no que se refere à espessura dos traços e dos eixos.

Dicas Úteis

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Observe:

Em Left/Right você configura a escala no eixo x e em Bottom você configura a escala no eixo y.

Para casos mais “graves”, saia e entre novamente no programa. Às vezes apelar desse modo pode ser mais rápido para resolver.

1155.. FFFuuunnnçççõõõeeesss LLLooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss Para inserir gráficos de funções logarítmicas (no Graphmatica) com base b diferente de e (constante de Euler), procede-se da seguinte maneira: considerando uma função qualquer y = logb x (logaritmo de x na base b), faz-se a mudança da base b para a base e [ logb x = ln(x)/ln(b) ] e passa-se a trabalhar com a nova função y = ln(x)/ln(b). Por exemplo, para descrever o gráfico da função y = log2x, digitamos (no campo de edição do programa) a função y = ln(x)/ln(2).

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111666... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr uuummmaaa fffaaammmíííllliiiaaa dddeee cccuuurrrvvvaaasss

Para exemplificar o procedimento, vamos trabalhar com a equação de uma cônica como a descrita abaixo:

com o a variando entre -3 até 6 com incremento de 1 unidade.

No editor de equações do Graphmatica inserimos a expressão da equação

Obtemos assim a seguinte imagem:

A partir daí, você pode alterar os valores de a de acordo com sua necessidade.

No caso aqui queremos descrever a família de funções no intervalo [-3;6]. Comece por apagar o 1 e insira o -3 em seu lugar.

e pressionamos a tecla

Significa que a irá assumir valores no intervalo [1;3], sendo o acréscimo de uma unidade.

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A seguir, apague o 3 e insira o 6 em seu lugar e finalmente aparece a seguinte imagem

Aperte a tecla Enter ou clique no botão, obtendo a família de funções abaixo:

111777... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr cccuuurrrvvvaaasss eeemmm cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss

Existem algumas situações em que é interessante usar o sistema de coordenadas polares ao invés do sistema de coordenadas cartesianas. Muitas equações tornam-se mais simples neste sistema e, além disso, através das equações polares você obter curvas diferentes e interessantes.

Inicialmente, vamos entender o que seja um sistema de coordenadas polares.

DDDeeefffiiinnniiiçççãããooo dddeee CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss PPPooolllaaarrreeesss:::

Para definir coordenadas polares de um ponto é necessário primeiramente definir o sistema de referência. Para isto escolhemos um ponto O no plano, denominado de pólo (ou origem do sistema) e uma semi-reta orientada OA (eixo polar). Cada ponto P pode ser localizado através de sua associação a um par ordenado polar (r,t) onde t dá a medida do ângulo orientado, a partir do eixo polar, e r dá a distância (com sinal) orientada de O a P.

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As coordenadas de P podem então ser positivas ou negativas. Vamos entender bem isto. Como na trigonometria, t é positivo (t > 0) quando medido no sentido anti-horário (a partir do eixo polar); e t é negativo (t < 0) quando medido no sentido horário (a partir do eixo polar).

r > 0 significa que o ponto P está na semi-reta terminal do ângulo t.

r < 0 significa que o ponto P está na semi-reta oposta à semi-reta terminal do ângulo t.

Para que se torne bem clara a definição de coordenadas polares tente entender as coordenadas dos pontos indicados abaixo:

Veja a seguir como se estabelecem as relações entre o sistema de coordenadas polares e o sistema de coordenadas cartesianas.

eixo polar

Origem (polo) t

P(r,t)

r

O

P(2, )6

6

P ’(-2, )6

Q(3, )3 = Q’’(-3, )

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Q’(3, )3

4 = Q’’’(-3, )3

3

eixo polar

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RRReeelllaaaccciiiooonnnaaannndddooo cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss eee cccaaarrrttteeesssiiiaaannnaaasss Para relacionarmos as coordenadas cartesianas com as polares adotamos o seguinte procedimento: primeiramente colocamos as duas origens dos sistemas juntas e consideramos o eixo polar como o eixo x positivo. Observamos, na figura acima, um triângulo retângulo que tem por hipotenusa r e x e y como catetos. Usando o Teorema de Pitágoras e algumas relações trigonométricas no triângulo retângulo, obtemos as seguintes equações que relacionam coordenadas polares e cartesianas:

x = r cos t y = r sen t x2 + y2 = r2 tgxy t

CCCooommmooo tttrrraaabbbaaalllhhhaaarrr cccooommm cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss nnnooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa

Para trabalhar no Graphmatica com equações polares, inicialmente devemos entrar no ambiente de trabalho para coordenadas polares.

Para isto no menu Options clique em Graph Paper e a seguir:

marque a opção Polar

desmarque a opção Draw axes

y

eixo polar xt = 0, r ≥ 0O x

t

P(x,y) = P(r,t)

yrOrigem em comum

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Você irá obter uma janela como a descrita na figura abaixo e, a partir de agora, estará trabalhando em um sistema de coordenadas polares.

Não esquecer que a sintaxe usada no Graphmatica é:

r para distância

t para ângulo

p para o número p

Para representar graficamente a curva r = 1- cos θ, você deve digitar a expressão r=1-cos(t) (no campo de edição do programa), pois o Graphmatica não reconhece a variável θ.

Lembramos que, como no caso de coordenadas cartesianas, podemos usar o recurso de restrição de domínio e parâmetros.

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111888... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr uuummm cccaaammmpppooo dddeee dddiiirrreeeçççõõõeeesss (((EEEDDDOOO)))

Lembramos que um Campo de Direção é constituído por vários segmentos de reta que indicam a direção na qual uma curva solução de uma EDO está seguindo. Assim, o campo de direções nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas.

Para descrever um campo de direções para uma equação diferencial 4 dIdt

+12I=60,

por exemplo, basta inserir a equação 4dy+12y=60 no campo de edição do Graphmatica (o programa aceitará variáveis x e y apenas). Observar que o programa

entende dy como se fosse dydx

.

x-10 -5 0 5 10

-5

5

y

Gráficos

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Bibliografia e referências bibliográficas:

JAMES, STEWART – Cálculo, volume 2, 4ºed. – São Paulo: pioneira Thomson learning, 2001.

HTTP://WWW107.PAIR.COM/CAMMSOFT/GRAPHMATICA.HTML

HTTP://WWW.ANGELFIRE.COM/CA/CAMMAC/GRAPHMATICA.HTML

graphmatica - manual-2007 · fornecer a solução das correspondentes equações diferenciais e,...

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