GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS

01) A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade,

14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la.

a) 504 000 b) 340 000 c) 250 000 d) 300 000

02) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem

por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

( 1m – 10dm ) 03) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é

24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.

04) ( UFRGS – 08 ) O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$ 10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,

a) 15 b) 20 c) 25 d) 40 e) 80

05) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado

menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm3, desta caixa é

a) 4x3 – 60x2 + 200x b) 4x2 – 60x + 200 c) 4x3 – 60x2 + 200 d) x3 – 30x2 + 200x e) x3 – 15x2 + 50x

06) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de

dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

07) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas

das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

08) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto

retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta.

09) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um

paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:

a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 d) 294cm2 e) 290cm2

10) ( UFRN ) Se a diagonal de um cubo mede 3 6 m, então sua área total, em m2, vale:

a) 54 b) 72 c) 85 d) 108 e) 110

11) ( UFRGS ) A área da base de uma caixa em que todas

as faces são retangulares é 320 cm2, a área de uma face lateral é 160 cm2 e de outra face lateral é 128cm2. O volume desta caixa, em cm3, é:

a) 2560 b) 1280 c) 640 d) 608 e) 320

12) ( PUC-SP ) Uma caixa sem tampa é feita com

placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51cm x 26cm x 12,5cm, conforme mostra a figura abaixo.

O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é:

a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5

13) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.

02. AD = 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3

16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 14) ( UFSC-2007 ) As dimensões, em metros, de um

paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do

polinômio 6456x14xx 23 −+− . Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.

15) As três dimensões de um paralelepípedo reto-

retângulo de volume 405m3 são proporcionais aos números 1, 3 e 5. Com base no exposto, determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. A soma dos comprimentos de todas as arestas é 72m 02. A capacidade desse paralelepípedo é de 405 000 litros.

04. A diagonal maior do paralelepípedo é de 3 35 m 08. A área total do paralelepípedo é de 414m2 16. A área total desse paralelepípedo é maior do que a área total de um cubo cuja aresta mede 8m 16) ( ESPM – SP ) O seno do ângulo do ângulo que a

diagonal de um cubo forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como valor:

3

2e)

3

3d)

3

6c)

2

6b)

3

22a)

17) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo

retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura.

O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão:

a) 2x3 – x2 b) 4x3 – x2 c) 2x3 – x d) 2x3 – 2x2 e) 2x3 – x

18) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de

uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.

a) calcule o comprimento das arestas da referida

caixa b) calcule sua capacidade em litros

19) ( UFSM-RS ) Quantos cubinhos de madeira de 1cm de

aresta podem ser colocados numa caixa cúbica, com tampa, na qual foram gastos 294 cm2 de material para confeccioná-la?

a) 76 b) 147 c) 294 d) 343 e) 6859

20) ( ITA-SP ) As dimensões de um paralelepípedo

retângulo são proporcionais aos números loget, loget2

e loget3 e a área total é 792 cm2. Sabendo-se que a

soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões?

a) 6; 12 e 18 b) 5; 10 e 15 c) 2; 3 e 4 d) 2; 4 e 8 e) n.d.a.

GABARITO - PRISMAS 1) a 2) 06 3) 52 4) d 5) a 6) 64 7) 02 8) 48 9) a 10) d 11) a 12) a 13) 13 14) 64 15) 30 16) c 17) c 18) a) 80 b) 512 19) d 20) a

GEOMETRIA ESPACIAL PIRÂMIDES

01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada,

tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide

quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.

03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a

aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:

04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura,

tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

05) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a

altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2 3. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é:

06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3

de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de

aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:

08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao

semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. Divida o resultado obtido em m2 por dez

09) ( UFPR ) O volume de um tetraedro regular de 10cm

de altura é:

a) 125 2 cm3

b) 125 3 cm3

c) 250 3 cm3

d) 375 2 cm3

e) 375 3 cm3 10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação

de um sólido. O volume desse sólido é de:

a) 1152cm3 b) 1440cm3 c) 384cm3 d) 1200cm3 e) 240cm3

11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

V

8

3 e) V

6

5 d) V

3

2 c) V

4

3 b) V

2

1 a)

12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro

regular de aresta igual a 4 cm.

a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2 c) 12 3 cm2

d) 16 3 cm2 e) 24 3 cm2 13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide

hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.

a) 6.10-4 b) 6.10-2 c) 12.10-4 d) 12.10-2 e) 15.10-4 14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem

225 cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:

a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm 18) ( ACAFE-SC ) A base de uma pirâmide hexagonal

regular está inscrita num círculo de raio 2 3 m. Sabendo que a altura da pirâmide é de 4m, a área da superfície lateral é:

a) 30 3 m2 b) 5 3 m2 c) 20 3 m2

d) 15m2 e) 10 3 m2 GABARITO PIRÂMIDES

1) 64 2) 48 3) 24 4) 260cm2

5) 48 3 6) 03 7) 18 8) 64 9) b 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b 15) a

GEOMETRIA ESPACIAL CILINDROS

01) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63Πcm3 de volume.

Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

02) ( UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem

1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:

a) 3,2 m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m

03) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de

36Πm2. O valor, em m3, de 1

Πdo volume desse

cilindro é: 04) ( UFBA-BA ) O tonel representado abaixo está

ocupado em 60% da sua capacidade. A quantidade de água nele contida é de aproximadamente:

a) 20L b) 30L c) 40L d) 50L e) 60L 05) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Uma pirâmide hexagonal

regular está inscrita em um cilindro circular reto. Sabendo-se que a área da base da pirâmide vale

24 3 cm2 e que o cilindro é eqüilátero, é correto afirmar que:

01. a aresta lateral da pirâmide vale 4 5 cm

02. o volume da pirâmide vale 64 3 cm3 04. o raio da base do cilindro vale 4 cm 08. a área total do cilindro vale 80π cm2 16. o volume do cilindro vale 128π cm3 06) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10 cm

de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:

a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano 07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é

aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:

a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a.

08) ( ITA-SP ) A área lateral de um cilindro de revolução, de x metros de altura, é igual a área de sua base. O volume deste cilindro é:

a) 2π x3 m3 b) 4π m3

c) π 3 x3 m3

d) π 2 x3 m3 e) 6π x3 m3

09) ( ACAFE ) Um prisma reto de 12 cm de altura está

inscrito num cilindro circular reto. Sabendo-se que a base do prisma é um triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 8cm, a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do prisma é:

24

11π e)

4

π d)

12

5π c)

10

5πb)

12

7π a)

10) ( UEMS ) Um certo tipo de óleo de soja é vendido em duas latas cilíndricas distintas. A lata A de raio r está cheia de óleo até a altura h, a lata B tem raio r/2 e está cheia até a altura 2h. A lata A é vendida por R$ 3,00 e a lata B por R$ 1,40. Podemos afirmar que:

a) a lata A é mais vantajosa para o consumidor; b) não existe vantagem na compra de uma ou outra

lata; c) ambas as latas apresentam o mesmo volume; d) a lata B apresenta o dobro do volume da lata A; e) a lata B é mais vantajosa para o consumidor.

11) ( UFR-RJ ) Carlos é um rapaz viciado em beber

refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando π = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pode-se afirmar que ele consumirá todo o líquido do reservatório em um período de:

a) 86 dias b) 86 meses c) 86 anos d) 8,6 anos e) 860 meses

GABARITO – CILINDRO

1) 07 2) c 3) 54 4) a 5) 23 6) a 7) d 8) b 9) c 10) e 11) d

GEOMETRIA ESPACIAL CONES

01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de

27Π dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:

a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm 02) ( UFPA ) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro

da base é 8m. Então, a área total (em m2) vale:

a) 52π b) 36π c) 20π d) 16π e) 12π

03) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de

hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado?

a) 3 2 cm3 b) 9 π cm3 c) 18 π cm3 d) 27 π cm3

e) 1/3 π cm3 04) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma

cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco,

de forma cônica, de 15

Π cm de altura e 12 cm de raio

da base. O volume, em cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:

05) ( F.POSITIVO -PR ) Um cone eqüilátero tem área

lateral igual a 18 π dm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume:

a) 6 π 3

b) 9 π 3

c) 12 π 3

d) 18 π 3 e) 18π

06) ( ACAFE-SC ) Considerando que o cilindro da figura

tenha altura igual ao diâmetro da base, conclui-se que o volume da parte hachurada equivale a:

3

πr4

3e) 3

πr3

4d) 3

πr2

1c) 3

πr2

3b) 3

πr3

2a)

07) ( PUC-RS ) Num cone de revolução, a área da base é

36π m2 e a área total é 96 π m2. A altura do cone, em metros, é igual a:

08) ( ITA-SP ) Qual o volume de um cone circular reto, se

a área de sua superfície lateral é de 24Π cm2 e o raio de sua base mede 4cm?

09) ( UFPA ) Um cone eqüilátero tem de área de base 4π

cm2. Qual sua área lateral?

a) 2π cm2 b) 4π cm2 c) 8π cm2 d) 16π cm2 e) 32π cm2

10) ( UFMG ) Os lados de um triângulo isósceles medem

5cm, 6cm e 5cm. O volume do sólido que se obtém girando-o em torno de sua base, em cm3, é:

a) 16π b) 24π c) 32π d) 48π e) 75π

11) Determine a razão entre a área lateral e a área total

de um cone equilátero. 12) A geratriz de um cone circular reto mede 10m e o raio

da base 4m. A medida do ângulo do setor circular obtido, quando se desenvolve a superfície lateral desse cone, é igual a:

a) 30o b) 36o c) 72o d) 144o e) 180o 13) ( Epusp ) Desenvolvendo a superfície lateral de um

cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular. Determine a medida do ângulo central desse setor.

a) 288º b) 200º c) 140º d) 300º e) n.d.a. GABARITO CONE 1) e 2) b 3) b 4) 09 5) b 6) d 7) 08

8) 16

320π cm3

9) c 10) c 11) 2/3 12) d 13) a

GEOMETRIA ESPACIAL ESFERAS

01) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano

distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção.

02) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo

circunscrito a uma esfera de 16π cm2 de superfície é: 03) ( ACAFE-SC ) A soma de todas as arestas de um cubo

mede 72 cm. A superfície da esfera inscrita no cubo é: a) 16 π m2

b) 24 π m2

c) 36 π m2 d) 48 π m2 e) 72 π m2 04) ( MACK-SP ) A razão entre o volume de uma esfera e

o volume de um cilindro circular reto circunscrito a esta esfera é igual a:

a) 4/3 b) 2/3

c) 3 d) 1/3

e) 3/3 05) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone

eqüilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm3, é:

a) 144π b) 152π c) 192π d) 288π e) 302π

06) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte

por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da secção feita mede, em cm:

07) ( CEFET-PR ) A área de uma secção, feita em uma

esfera e distando 3 cm do centro, é igual a 18π cm2. A área da esfera, em cm2, é:

08) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de

diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:

a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

09) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura

h = 20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:

a) 102 π3

cm3

b) 80 π3

cm3

c) 40 π cm3

d) 160π3

cm3

e) 80 π cm3

10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua

área total é 2. O valor de π3

1do volume da esfera,

inscrita nesse cubo, é: 11) ( PUC-RS ) A região R da figura está limitada por três

semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno do eixo dos x, ela gera um sólido de volume:

a) 12π b) 8π c) 4π d) 2π e) π

12) ( CEFET-PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma

esfera, seu volume aumentará 252π cm3. O raio da esfera original mede, em cm:

13) ( FUVEST ) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base

é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da esfera é:

14) ( UFSC ) Um recipiente de forma cilíndrica medindo

12cm de raio interno é preenchido com água até uma altura “h”. Uma bola (esfera) de raio 12cm é colocada no fundo desse recipiente e constatamos que a água recobre exatamente o nível da bola. Quanto mede a altura “h”, ( em cm )?

15) Os centros de três esferas que se tangenciam duas a

duas, externamente, formam um triângulo cujos lados medem 3cm, 4cm e 5cm. A soma dos volumes das três esferas é, em cm3. (divida o resultado por π).

16) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é:

a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1

17) ( ITA-SP ) Um cone circular reto tem altura 12cm e

raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:

a) 10/3 b) 7/4 c) 12/5 d) 3 e) 2

18) ( ITA-SP ) A área da intersecção de um plano com

uma bola, cujo raio mede 13cm, é 144π cm2. Determine as distâncias polares.

GABARITO ESFERAS

1) 39 2) 64 3) c 4) b 5) d 6) 12 7) 108π 8) d 9) b 10) 96 11) b 12) 03 13) 3cm 14) 08 15) 48 16) a 17) a

18) 4 13 e 6 13