geometria espacial e aplicações

8/19/2019 Geometria Espacial e Aplicações

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GEOMETRIA ESPACIAL E APLICAÇÕES

JULIANA SCALASSARA CAMPOS

IES UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

Orientador PROF. Dr. ULYSSES SODRÉ

Área MATEMÁTICA

DEZEMBRO - 2008

LONDRINA


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ÍNDICE

1. IDENTIFICA!O

2. TEMA DE EST"DOS DA INTER#EN!O

$. T%T"LO

&. INTROD"!O

'. DESCRI!O DAS ATI#IDADES

ATI#IDADE 1( INTROD"!O

ATI#IDADE 2( )ONTO* RETA E )LANO

ATI#IDADE $( INTROD"!O AOS )OLIEDROS

ATI#IDADE &( )OLIEDROS+ )RISMAS

ATI#IDADE '( )IR,MIDES

ATI#IDADE ( EOMETRIA E /"%MICA

ATI#IDADE ( CILINDRO* CONE E ESFERA

. REFERNCIAS


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1. IDENTIFICAÇÃO

1.1- Professora PDE: Juliaa S!ala""ara Ca#$%"

1.2- Área: Ma&'#(&i!a

1.3- NRE: L%)ria

1.4- Professor orientador: Pr%*. Dr. Ul+""'" S%)r,

1.5- IES: Ui-'r"i)a)' E"&a)ual )' L%)ria

1.6- Escola de Imlementa!"o: C%l,i% E"&a)ual Pr%*'""%r Vi!'&' Ri/%

1.#- P$%lico &l'o da Inter'en!"o: Alu%" )a" 0a" ",ri'" )% E"i% M,)i%

0. TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO

'%#'&ria E"$a!ial ' A$li!a23'"

4. T5TULO

'%#'&ria E"$a!ial

6. INTRODUÇÃO

& (eometria Esacial ) *ma +rea da matem+tica ,*e est+ resente no

cotidiano. Por esse moti'o foi escolida como tema deste tra%alo. & id)ia )

reali/ar ati'idades ,*e en'ol'am (eometria Esacial e ,*e se0am relacionadas

com sit*a!es de di'ersas +reas do conecimento sit*a!es reais da 'ida do

al*no da escola da cidade ara ,*e se erce%a ,*e a matem+tica n"o )

isolada mas resente no nosso m*ndo.

Em cada ati'idade est"o descritos os o%0eti'os ,*e se retende atinir e as

eectati'as ,*e o docente de'e ter em rela!"o aos res*ltados da alica!"o

destas ati'idades.

Estas ati'idades ser"o alicadas nas a*las de atem+tica no Ensino m)dio do

ol)io Estad*al Professor icente Ri0o no rimeiro semestre de 2778.

& finalidade desta rod*!"o ) descre'er as ati'idades ,*e ser"o

desen'ol'idas.


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7. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

Nome da atividade: '%#'&ria E"$a!ial8 I&r%)u29%

Tempo da atividade: 1 :%ra;aula

Objetivo desta atividade

1. Esta ati'idade introd*/ir+ os al*nos no est*do de (eometria Esacial.

2. 9%0eti'a reali/ar leit*ras disc*tir id)ias o%ser'ar as int*ras mostradas

e reali/ar ati'idades l$dicas.

3. &esar de tetos e,*enos e 0oos simles retende-se desertar o

interesse do al*no elo conte$do e mostrar aos discentes a resen!a da

eometria nas o%ras de arte mostradas ati'ando neles a erce!"o de

,*e a eometria est+ resente em m*itas +reas do nosso cotidiano.

Materiais necessários

1- om*tadores

2- &cesso internet

3- 9 la%orat;rio de'e ser rearado antes da a*la e as ati'idades de'em

ser testadas.

4- aderno l+is e caneta.

Desenvolvimento da aula

& arte inicial deste ro0eto de'er+ ser *ma a*la no la%orat;rio de inform+tica

ara introd*!"o e moti'a!"o ao est*do de (eometria Esacial.

Ser+ acessado o site


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ala'ra esa!o. 9 se*ndo trata das dimenses do esa!o. 9 terceiro trata

so%re o sinificado da ala'ra Esa!o do onto de 'ista do est*do de &rtes.

&o lado dos tetos s"o mostradas tr@s o%ras de arte: Metaesquema de A)lio

9iticicaB Ar e Água de .. EscerB A crucifi!o de icente Do R@o onteiro.

Eiste *m 0oo simles onde o al*no o%ser'a *m deseno e al*ns olConos

ara encaiar nele tendo ,*e ir+-los se necess+rio.

Na +rea >(eometria? deste site est"o disonC'eis:

1. 9s tetos fa/endo *m %re'e ist;rico da eometria citando Pit+oras e

E*clidesB

2. &s o%ras de arte mostradas s"o: Metaesquema de A)lio 9iticicaB

"larovermel#o de &l*Csio ar'"oB "omposi$!o em %ermel#o& Amarelo

e A'ul de Piet ondrian.

3. m 0oo comosto or '+rios mosaicos tendo ares com as mesmas

fi*ras eom)tricas mas com int*ras diferentes o ,*e fa/ com ,*e

tais mosaicos are!am diferentes. 9s al*nos de'em identificar os ares

de mosaicos ,*e aresentam as mesmas fi*ras eom)tricas.

Atividades interativas com outras áreas

No lane0amento an*al da escola ,*e ) reali/ado na semana eda;ica no

inCcio do ano esta ati'idade de'er+ ser mostrada ara a rofessora de &rtes da

t*rma. & rofessora de'er+ articiar do lane0amento desta a*la e tra%alar

em con0*nto com a matem+tica ,*ando a a*la acontecer.

Paralelamente a rofessora de &rtes da t*rma tra%alada far+ coment+riosem s*as a*las e a cone"o das o%ras de arte mostradas no site com a

matem+tica comlementando a a*la de introd*!"o. Se ossC'el a rofessora

oder+ estar resente no la%orat;rio de inform+tica no dia da a*la fa/endo

inter'en!es e conees 0*nto com a rofessora de matem+tica.

(pectativa

1- Esera-se ,*e os al*nos saiam moti'ados desta a*la ara o est*do de


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(eometria Esacial.

2- Esera-se ,*e o rofessor de &rtes articie deste tra%alo tra/endo

contri%*i!es da s*a +rea e relacionando-as com os conte$dos

matem+ticos.

3- Esera-se ,*e os al*nos sintam-se ro'ocados a roc*rar a matem+tica

em o*tras +reas de conecimento e no se* cotidiano tendo 'ontade de

tra/er desco%ertas e d$'idas ara serem disc*tidas em sala de a*la.

.


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ATIVIDADE 0

Nome da atividade8 '%#'&ria E"$a!ial8 P%&%< R'&a ' Pla%

Tempo da atividade: 0 :%ra";aula


1. 9 o%0eti'o desta ati'idade ) ,*e o al*no tena clare/a acerca dos

conceitos de onto de reta e de lano.

2. *e os al*nos comreendam os ost*lados da reta e os ost*lados do

lano.3. *e os al*nos identifi,*em as formas de determinar *m lano.

4. *e os al*nos recone!am a osi!es relati'as entre onto e reta entre

onto e lano entre d*as retas entre *ma reta e *m lano e entre dois

lanos.


1. F endri'e.

2. aderno li'ro de matem)tica l+is e caneta.

3. 9%0etos fi*ras fotos ,*e d@em id)ia de onto de reta e de

lano.


Nesta a*la o rofessor iniciar+ com *ma disc*ss"o com os al*nos so%re os

conceitos de: onto reta e lano ,*e os al*nos tra/em da s*a 'i'@ncia o*

mesmo ,*e tenam est*dado em o*tras discilinas.

9 rofessor de'er+ mostrar aos al*nos ,*e onto reta e lano s"o entesrimiti'os o* se0a s"o adotados sem defini!"o mostrando a id)ia do ,*e s"o


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mas sem oder definir.

Ser"o aresentados aos al*nos al*ns o%0etos do am%iente de est*do como

or eemlo: o com*tador li'ros mesas arm+rios marcas na arede o iso

e o teto da sala de a*la ,*e nos lem%ram esses entes rimiti'os.

9 conceito de onto ode ser reresentado or *m r"o de areia *m ino

feito or *m l+is n*m ael *m f*ro feito or *ma a*la.

9 conceito de reta: *m fio esticado as linas de *ma fola de caderno.

Planos arecem na 'ida das essoas atra')s da s*erfCcie de *ma mesa *ma

fola de ael o c"o da sala.

Na disc*ss"o com os al*nos de'em ser aresentados eemlos na sala de

a*la em se* material escolar em se*s o%0etos essoais o* em o*tras artes

da escola.

Em se*ida a teoria ser+ dada com *ma aresenta!"o na F endri'e no

formato Po


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ATIVIDADE 4

Nome da atividade8 '%#'&ria E"$a!ial8 I&r%)u29% a%"

P%li')r%"

Tempo da atividade8 0 :%ra";aula


1. 9 o%0eti'o desta a*la ) ,*e os al*nos ossam identificar *m oliedro.

2. *e os al*nos recone!am oliedros em o%0etos di'ersos do cotidiano.

3. e'ar os al*nos a diferenciar oliedros con'eos e n"o-con'eos.

4. ostrar aos al*nos *ma forma de reconecer a )ela$!o de (uler nos

oliedros aresentados.


1. 9%0etos em forma de s;lidos eom)tricos como latas f*nil caias...

2. Sa%"o e o%0eto cortante Go *so desses o%0etos cortantes de'er+ ser

monitorado e %em controlado elo rofessorH.

3. aderno l+is e caneta.


9 rofessor de'e solicitar ,*e os al*nos traam de casa *tensClios da co/ina

como or eemlo: coo lata f*nil caia o%0etos com formas 'ariadas. 9

docente analisar+ em sala de a*la tais formas eom)tricas o%ser'ando as

s*as caracterCsticas e classificando-as.

9s al*nos da sala de a*la de'er"o formar e,*ies de ,*atro essoas. Fodos

de'er"o eor ara os coleas os o%0etos ,*e eles tro*eram de casa.

9 rofessor ent"o de'er+ fa/er er*ntas so%re as caracterCsticas desses


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o%0etos como arestas ')rtices faces le'ando os al*nos a ar*ar tais

o%0etos.

Eles de'em terminar esta ati'idade sa%endo o ,*e ) oliedro e ,*ando os

mesmos s"o con'eos o* n"o.

Para a a*la se*inte ser+ solicitado ,*e cada al*no le'e *ma %arra de sa%"o

em edra. Nestas %arras ser"o reali/ados cortes a*mentando o n$mero de

faces ')rtices e arestas do s;lido. 9s res*ltados ser"o anotados em *ma

ta%ela montada elos al*nos. Reali/ando a an+lise desta ta%ela os al*nos

de'er"o cear Rela!"o de E*ler: %*A+,-.

9 rofessor diriir+ a ati'idade edindo ,*e os al*nos reali/em cortes de

modo ,*e o sa%"o fi,*e na forma de *m c*%o o* de *m araleleCedo

retJn*lo. &;s os cortes os al*nos de'er"o contar e anotar o n$mero de

faces arestas e ')rtices na ta%ela.

Em se*ida os al*nos de'er"o cortar *m >bico? G*ma irJmide com %ase

trian*larH do s;lido erando *m no'o s;lido. 9s al*nos de'er"o contar e

anotar o n$mero de faces ')rtices e arestas deste no'o s;lido dando

contin*idade ta%ela. &ssim s*cessi'amente o rofessor le'ar+ os al*nos a

modificar o s;lido com '+rios cortes semre anotando os dados na ta%ela.

Deois ser+ reali/ada *ma an+lise da ta%ela comarando os res*ltados e

identificando ,*al ) a rela!"o entre o n$mero de faces ')rtices e arestas

desses oliedros.

& concl*s"o de'er+ ser a Rela!"o de E*ler: %*A+,-. Essa a*la foi retirada do

site: G


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(pectativa

1.Esera-se ,*e os al*nos articiem e ostem desta ati'idade

arendendo assim de maneira arad+'el a )ela$!o de (uler e

identificando os s;lidos onde ela se alica.

0. Esera-se ,*e essa ati'idade deie os al*nos moti'ados ara as

ati'idades ,*e d"o se,@ncia ao conte$do. *e eles sintam c*riosidade

e este0am receti'os ara o est*do dos oliedros.

4. Esera-se ,*e os al*nos sintam-se desafiados ela matem+tica.


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ATIVIDADE 6

Nome da atividade: '%#'&ria E"$a!ial8 P%li')r%"= Pri"#a"



1. Essa ati'idade tem or o%0eti'o le'ar ao conecimento do al*no a

no!"o de oliedro.

2. Oa/er com ,*e os al*nos se0am caa/es de identificar as diferen!as

entre oliedros con'eos e oliedros n"o-con'eos.

3. e'ar os al*nos a identificar os oliedros re*lares.

4. e'ar os al*nos a identificar os rismas e reconecer os mesmos nos

o%0etos do cotidiano e na ar,*itet*ra.

5. 9s al*nos de'er"o ser caa/es de reconecer a lanifica!"o dos

rismas.

6. 9s al*nos de'er"o ser caa/es de calc*lar as +reas dos rismas

assim como se*s 'ol*mes.


1. F endri'e.

2. aderno li'ro l+is e caneta.

3. Detales so%re esta ati'idade.

4. Em%alaens caias o%0etos em forma de rismas.

5. artolina teso*ra cola fita adesi'a e r)*a.


Esta ati'idade est+ rearada em forma de aresenta!"o na F endri'e

Gmaterial aneado no final desta rod*!"oH. &o lono da a*la tam%)m ser"o

mostrados o%0etos caias e em%alaens relacionando-os com os oliedros

aresentados.

9s al*nos de'er"o articiar da a*la reali/ando anota!es e er*ntas so%re


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d$'idas ,*e encontrarem.

Nas d*as rimeiras a*las desta ati'idade o rofessor de'er+ aresentar o

conte$do atra')s do material em formato Po


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(pectativa

1. Esera-se ,*e os al*nos se aroriem do conte$do aresentado e

sintam-se moti'ados ara a contin*idade do mesmo.

2. Esera-se ,*e os al*nos arendam sem dific*ldades e articiem das

ati'idades.

3. Esera-se ,*e os al*nos relacionem o conte$do est*dado com o%0etos

,*e est"o ao se* redor.

4. Esera-se ,*e os al*nos reali/em as ati'idades roostas com

emeno.


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ATIVIDADE 7

Nome da atividade: '%#'&ria E"$a!ial8 Pir>#i)'"



1. e'ar os al*nos a reconecer os tios de irJmides.

2. e'ar os al*nos a definir irJmide.

3. e'ar os al*nos a o%ser'arem a resen!a de irJmides em o%0etos na

ar,*itet*ra na ist;ria.

4. *e os al*nos calc*lem corretamente a +rea da s*erfCcie de *ma

irJmide assim como o 'ol*me da mesma.


1. F endri'e.

2. aderno li'ro l+is caneta.

3. 9%0etos em forma de irJmides.

4. Ootos de irJmides em endri'e o* D.


Na semana de lane0amento no inCcio do ano leti'o o rofessor de matem+ticade'er+ lane0ar com os rofessores de ist;ria e artes ara ,*e na mesma

)oca desta ati'idade os al*nos o*!am so%re irJmides tam%)m nessas

o*tras discilinas. E a artir dessas a*las os al*nos comecem a o%ser'ar a

resen!a de irJmides nem l*ares e o%0etos conecidos or eles.

9 rofessor de matem+tica aresentar+ a defini!"o de irJmide os tios de

irJmides os c+lc*los +reas e 'ol*mes de irJmides atra')s de aresenta!"o

na F endri'e Gmaterial aneado no final desta rod*!"oH. E no final desta


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aresenta!"o os al*nos ter"o a se*inte ati'idade: fotorafar irJmides e

tra/er na a*la se*inte ara serem mostradas na F endri'e. 9s al*nos

de'er"o roc*rar na ar,*itet*ra local e em o%0etos do se* cotidiano. 9s al*nos

de'er"o tam%)m le'ar irJmides ara a sala de a*la. 9 rofessor de'er+

roor sala ,*e me!am as irJmides e fa!am os c+lc*los de +reas e

'ol*mes.

(pectativa

1.

Esera-se ,*e os al*nos fi,*em moti'ados com o est*do dos s;lidoseom)tricos e tenam a arendi/aem facilitada e com sinificado real.

2. Esera-se ,*e os al*nos ad,*iram o +%ito de o%ser'ar o m*ndo s*a

'olta fa/er comara!es an+lises tirar concl*ses e reconecer a

resen!a da matem+tica com fre,@ncia.

3. Esera-se ,*e a arendi/aem aconte!a de forma arad+'el.

4. Esera-se ,*e os al*nos sintam 'ontade de arender e c*riosidade

elas r;imas ati'idades.


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ATIVIDADE ?

Nome da atividade: '%#'&ria E"$a!ial8 '%#'&ria ' @u#i!a



1. 9 o%0eti'o desta ati'idade ) ,*e os al*nos recone!am a resen!a da

matem+tica na *Cmica.

2. *e os al*nos es,*isem e constr*am al*ns modelos matem+ticos

c*0as formas s"o s;lidos eom)tricos conecidos.3. *e os al*nos ossam reali/ar eeri@ncias e identificar a resen!a dos

s;lidos.


1. Pes,*isa r)'ia so%re os modelos molec*lares da s*%stJncia escolida.

2. aretas e %olas de isoor.

3. R)*a l+is caderno e %orraca.

4. Á*a sal de co/ina %ar%ante e fo"o ara fer'er a +*a com sal.


Esta ati'idade de'er+ ser lane0ada com o rofessor de *Cmica na semana do

lane0amento an*al ,*e ocorre no inCcio do ano leti'o.

9s al*nos de'er"o ser di'ididos em e,*ies de ,*atro essoas.

9 rofessor de ,*Cmica de'er+ edir aos al*nos ,*e es,*isem os modelos

molec*lares das s*%stJncias S93 NA3 A4 e SO3 de forma ,*e cada e,*ie

es,*ise *m modelo.

Deois de reali/ada a es,*isa os al*nos de'er"o confeccionar esses

modelos na a*la de ,*Cmica *sando 'aretas e %olas de isoor. 9 rofessor


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ATIVIDADE B

Nome da atividade: '%#'&ria E"$a!ial8 Cili)r%< !%' ' '"*'raTempo da atividade: 0 :%ra";aula


1. *e os al*nos recone!am cilindros cones e esferas.

2. *e os al*nos identifi,*em o%0etos ,*e reresentem cilindros cones e

esferas.

3. *e os al*nos este0am atos a determinar +reas e 'ol*mes de cilindros

cones e esfera.

4. *e os al*nos recone!am a *tilidade desses s;lidos e a imortJncia de

calc*lar medida em di'ersas sit*a!es.

5. *e os al*nos se0am caa/es de resol'er ro%lemas en'ol'endo esses

s;lidos.

6. *e os al*nos se0am caa/es de resol'er ro%lemas en'ol'endo f*so

esf)rico e c*na esf)rica.


1. F endri'e

2. aderno li'ro de matem+tica l+is e caneta.

3. 9%0etos em forma de cilindro cone e esfera.

4. (lo%o terrestre e maas.


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1. Esera-se ,*e os al*nos articiem ati'amente das a*las com

ent*siasmo e dedica!"o.

2. Esera-se ,*e os al*nos arendam o conte$do aresentado e ossam

tra%alar com ele sem randes dific*ldades.

3. Esera-se ,*e os al*nos tomem osto ela matem+tica e a 'e0am como

arte imortante de nosso cotidiano.

4. Esera-se ,*e os al*nos arendam o%ser'ar analisar concl*ir e

es,*isar.

5. Esera-se ,*e os al*nos tornem-se mais moti'ados e interessados em

ad,*irir no'os conecimentos matem+ticos como tam%)m de o*tras+reas.


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?. REFERNCIAS

D&NFE *i/ Ro%erto. Ma&'#(&i!a. 1Q edi!"o. S"o Pa*lo: Ática 277.

SEREF&RI& DE ESF&D9 D& ED&T9 U SEED. Dir'&ri'" Curri!ular'"

)a r')' Pli!a )' E)u!a29% G("i!a )% E"&a)% )% Para(. *riti%a 277.

V9SSEO &ntnio Nicola*B OERN&NDEW icente Pa/B S9&RES Eli/a%et.

A""'""%ria P')aHi!a. 1Q edi!"o. S"o Pa*lo: Sciione 2771.

SIFES:


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ATIVIDADE 2

(E9EFRI& ESP&I&P9NF9 REF& E P&N9

[I&N& S&&SS&R& &P9SPDE - 277

2

&ss*ntos a%ordados Ponto reta e lano

Post*lados da reta Post*lados do lano

Oormas de erar *m lano

Posi!es relati'as entre retas

Posi!es relati'as entre reta e lano

Posi!es relati'as entre lanos

2Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


24/73

3

Ponto reta e lano

Entes rimiti'os. &ceitos sem defini!"o.Pode-se eemlificar.


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

4

Ponto

Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


25/73

5

Reta

Antena de telefone sem fio rades de um port!o

5

Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

"

Plano

tapete

"Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


26/73

#

No!es rimiti'as

• A

Ponto Reta

r

Plano

#Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

α

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

$

Defini!es

Post*lado Go* aiomaH: fato matem+tico aceitosem defini!"o. Aioma em reo sinifica dinode confian$a.

Feorema: fato matem+tico 'erdadeiro ,*e odeser demonstrado a artir de o*tros teorema o*de aiomas. Teorema em reo sinifica

penso.

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



27/73

%

P9SF&D9S D& REF& I

N*ma reta %em como fora dela eistem infinitosontos.

9s ontos & e \ ertencem reta r. 9s ontos e D n"o ertencem reta r.

r

•G

•

A

•

C

•

D

%


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

&'

Post*lados da reta II

• Por *m onto assam infinitas retas.

• 9 onto & ertence s retas r s t * '.

]A'

s

*

t

r

•G

•

E

•

C

•

D

&'


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


28/73

&&

Post*lados da reta III

Dois ontos distintos determinam *ma $nicareta ,*e os cont)m.

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

r

•

•

A

G


&2

Post*lados do lano I N*m lano %em como fora dele eistem infinitos ontos.

9s ontos & e \ n"o ertencem ao lano.

9s ontos e D ertencem ao lano.

•A

•G

•C

•D

&2Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


29/73

&3

Post*lados do lano II

(ontos pertencentes a um mesmo plano s!ocoplanares.

)s pontos A* + e , s!o coplanares.

A •

G •

C •

&3

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


&4

Post*lados do lano III

Foda reta ,*e tem dois ontos contidos n*m lanofica inteiramente contida neste lano.

em%re-se: o lano ) infinito.

r

•

•

A

G

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



30/73

&5

Post*lados do lano I

Fr@s ontos n"o colineares Gn"o sit*ados namesma retaH determinam *m lano.

α

]

]

]A

G

C

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


&"

Post*lados da reta

ma reta de *m lano di'ide-o em d*as reies camadassemiplano.

9s semilanos α 1 e α 2 s"o camados oostos.

& reta r ) considerada oriem dos semilanos.

α

r

1

0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



31/73

Post*lados do lano I m lano di'ide o esa!o em d*as reies denominadas semi*

espa$os.

O plano / considerado a origem dos semi*espa$os.

0ma reta que passa de uma dessas regi1es 2 outra&necessariamente intercepta o plano.

α

E1

E0

(

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


&$

Post*lados do lano II

(or uma reta passam infinitos planos.

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


r

α

β γ

δ


32/73

&%

O9R&S DE (ER&R P&N9 I

Fr@s ontos n"o colineares determinam *mlano.

α

A •

G •

C •

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


2'

Oormas de erar *m lano II

ma reta e *m onto fora dela eram *m lano.

Nota 1: Eistem infinitos lanos contendo reta r.

Nota 2: &enas *m lano conter+ a reta r e o onto P.

α

r

]P

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



33/73

2&

Oormas de erar *m lano III D*as retas concorrentes determinam *m lano.

α

r

s

P

•

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


22

Oormas de erar *m lano I

D*as retas aralelas determinam *m lano.

α

r s

α

t

*

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



34/73

23

Posi!es relati'as entre retas I

)eversas: N"o eiste *m lano ,*e as cont)m.

"oplanares: Eiste *m lano ,*e as cont)m.


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

Posi!es relati'as entre retas II

& retas a e % s"ocolanares.

&s retas a e c s"ocolanares.

&s retas % e c s"ore'ersas.

%

a

c


35/73

25

REF&S 9P&N&RES

CONCORRENTES

PARALELAS

COINCIDENTES

PERPENDICULARES


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

2"

Retas concorrentes

Retas colanares.

Poss*em *m $nico onto GPH em com*m.

r

"

•P

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



36/73

2#

Retas aralelas Retas colanares.

N"o t@m onto em com*m.

Indicamos: r == s.s

2#


r

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

2$

Retas coincidentes

Retas colanares.

Poss*em todos os ontos em com*m.

Indicamos: r ≡ s.r r ≡ s.

2$Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


37/73


38/73

3&

Posi!es relati'as entre reta e lano

Reta contida no lano: *ando a reta r e olano α oss*em mais ,*e *m onto emcom*m. Nota!"o: r ⊂ α

α

r

•

• &

\

3&


1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%

32

Reta concorrente ao lano

& reta r e o lano α t@m *m 3nico onto emcom*m.

Nota!"o: r ∩ α (

α

r

•P

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



39/73

33

Reta aralela ao lano & reta e o lano n"o t@m onto em com*m. Nota!"o: r == α .

α

r

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


34

Posi!es relati'as entre lanos

Planos concorrentes

9 lano α e o lano β t@m *ma $nica reta rcom*m.

αβ

r 34Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE ; 0

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


40/73

35

Planos aralelos

9 lano α e o lano β n"o t@m onto emcom*m.

Nota!"o: α == β

β

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%


3"

Planos coincidentes

9 lano α e o lano β t@m mais de *ma reta emcom*m.

α ≡ β

1'%#'&ria E"$a!ial – P%&%< r'&a ' $la%



41/73

3#

So%re esse tra%alo Fra%alo rod*/ido em Po


42/73

ATIVIDADE 4

(E9EFRI& ESP&I&

P9IEDR9SBPRIS&S

[I&N& S&&SS&R& &P9S

PDE - 277

2

&ss*ntos a%ordados

JULIANA SCALASSARA CAMPOS – UEL – PDE 0

] Poliedros

] Poliedros re*lares] Prismas

] Áreas de rismas

] ol*me de rismas

EOMETRIA ESPACIAL – POLIEDROS= PRISMAS


43/73

3

Poliedros

] Poliedros: fi*ras esaciaisformadas ela re*ni"o de*m n$mero finito dereies olionais lanascamadas faces.

] &s intersec!es das facess"o as arestas.

] &s intersec!es dasarestas s"o os ')rtices.


1EOMETRIA ESPACIAL – POLIEDROS= PRISMAS

tt:==


44/73

5

Poliedro con'eo

] m oliedro ) con'eose o semento ,*e liadois de se*s ontos est+inteiramente contido nele.

\

&



6

Poliedro n"o con'eo

] 9 oliedro ao lado n"o) con'eo ois osemento &\ tem asetremidades

ertencentes a ele mas*ma arte fora dele.



&

\

tt:==t.


45/73

#

Poliedros re*lares] m oliedro con'eo ) re*lar ,*ando

todas as faces s"o reies olionaisre*lares e conr*entes e o mesmon$mero de arestas se encontram em cada')rtice.



Fetraedro

] *atro GtetraH faces GedrosHB OM4.

] &s faces s"o triJn*lose,*il+teros conr*entes.

] 9 semento a ) aresta.

] Seis arestas conr*entesB &M6.

] 9 onto A ) ')rtice.] *atro ')rticesB M4.

] O_M&_2

A



tt:==


46/73

8

Aeaedro

] Seis GeaH faces GedrosHB OM6.] &s faces ,*adradas conr*entes.


] Do/e arestas conr*entesB &M12.

] 9 onto A ) ')rtice.

] 9ito ')rticesB M.

] O_M&_2

A



tt:==


47/73

11

Dodecaedro

] Do/e GdodecaH faces GedrosHBOM12.

] Oaces s"o ent+onos re*laresconr*entes.


] Frinta arestas conr*entesB &M37

] 9 onto A ) ')rtice.

] inte ')rticesB M27.

aA



-


48/73

13

Prismas

] S;lido eom)trico delimitado orfaces lanas.

] \ases em lanos aralelos.] &s %ases s"o olConos ,*e d"o

nome aos rismas.] &s %ases s"o triJn*los] & fi*ra ) *m risma trian*lar.] &s faces laterais s"o

araleloramos.



tt:==


49/73

15

Prismas 9%lC,*os

] No risma ) o%lC,*oas aresta laterais n"os"o erendic*laress %ases.


EOMETRIA ESPACIAL – POLIEDROS= PRISMAS

tt:==


50/73

1#

*%o

] 9 c*%o ) *m caso artic*lar dearaleleCedo retJn*lo.

] Fem as faces ,*adradas econr*entes.

] ` *m risma re*lar.



1

Diaonal do araleleCedo I


&

\

D

E

O(

A

d

a

%

c

a

%

c

d



51/73

18

omo o triJn*lo &\D ) retJn*lo em & elo teorema de Pit+oras temos:

omo o triJn*lo \DO ) retJn*lo em \ elo teorema de Pit+oras temos:

S*%stit*indo a rimeira e,*a!"o na se*nda teremos:

222 ba x +=


222 c xd +=

2222 cbad ++=

222

cbad ++=


Diaonal do araleleCedo II

27

aa

ad

No c*%o como ele ) *m caso artic*lar do araleleCedo retJn*lo temos:


222aaad ++=

23a=


3a=

Diaonal do araleleCedo III


52/73

21

Área de risma

] S*erfCcie lateral: comostaor faces laterais ,*e s"oaraleloramos.

] Área lateral: +rea das*erfCcie lateral.

] S*erfCcie total: comosta ors*erfCcie lateral e %ases.

] Área total: soma das +reasdas %ases com a +rea lateral.



tt:==


53/73

23

So%re esse tra%alo

] Fra%alo rod*/ido em Po


54/73

ATIVIDADE 5

(E9EFRI& ESP&I&

PIRIDES

[I&N& S&&SS&R& &P9S

PDE - 277

2

&ss*ntos a%ordados

] &s irJmides do Eito.

] onceito de irJmide.] lassifica!"o das irJmides.] PirJmide re*lar reta.] aso artic*lar: Fetraedro re*lar.] Área da s*erfCcie de *ma irJmide.] ol*me de *ma irJmide.

1'%#'&ria E"$a!ial ; Pir>#i)'"

Juliaa S!ala""ara Ca#$%" – UEL – PDE 0


55/73

3

&s irJmides do Eito

] &s $ir>#i)'" s"o estr*t*rasmon*mentais constr*Cdas emedra.

] &credita-se ,*e as irJmides doEito antio eram edifCciosf*ner+rios.

] Ooram constr*Cdas + cerca de2.#77 anos a..

] 9 erCodo das irJmides orecel@ncia come!o* com a IIIdinastia e termino* na I

dinastia G266-2345 a..H. tt:==t.


56/73

5

PirJmide trian*lar

] Fetraedro.

] & %ase ) *m triJn*lo.

] Fr@s faces laterais.

] Fotal: 4 facesB OM4.

] *atro ')rticesB M4.

] Seis arestasB &M6.

] O_M&_2.

tt:==t.#i)'"



57/73

#

PirJmide entaonal

] & %ase ) *m ent+ono.

] inco faces laterais.

] Fotal: 6 facesB OM6.

] Seis ')rticesB M6.

] De/ arestasB &M17.

] O_M&_2.tt:==*load.#i)'"



58/73

8

PirJmide re*lar reta

] & %ase ) *m olConore*lar.

] & ro0e!"o ortoonal do')rtice da irJmide so%re olano da %ase coincide como centro da %ase.

] &s faces laterais s"otriJn*los is;sceles

conr*entes.tt:==#i)'"



59/73

11

aso artic*lar: tetraedro re*lar

] 9 tetraedro re*lar )*ma irJmide artic*lar .

] Oormada or ,*atrotriJn*los conr*entes ee,*il+teros.

] *al,*er *ma das facesode ser considerada%ase.

tt:==t.#i)'"



60/73

13

ol*me da irJmide

] 9 'ol*me de *mairJmide ) *m ter!odo rod*to da +reada %ase ela alt*ra.

h AbV ×=3

1

1'%#'&ria E"$a!ial ; Pir>#i)'"


14

So%re esse tra%alo



61/73

ATIVIDADE 7

.EOMETRIA ES)ACIAL

CILINDRO* CONE E ESFERA

?"LIANA SCALASSARA CAM)OS)DE - 2008

2

&ss*ntos a%ordados

] ilindro] ilindro reto

] ilindro o%lC,*o] ilindro e,*il+tero] Área da s*erfCcie de

*m cilindro] ol*me de *m

cilindro] one] one reto

] one e,*il+tero] one o%lC,*o

] Área da s*erfCcie de*m cone] ol*me de cone] Esfera] Esfera e disco

esf)rico] S*erfCcie de esfera] ol*me da esfera

1'%#'&ria E"$a!ial – Cili)r%< C%' ' '"*'ra



62/73

3

ilindro

] 9 cilindro ) encontrado emo%0etos ,*e est"o resentesnas co/inas nas constr*!esnos materiais escolares eo*tros.



4

&

\

onceito de cilindro] Se0am os lanos α e β &

distintos e aralelos.

] m semento A5 com Aertencente a α e \ertencente a β .

] m cCrc*lo " contido em α .

] Cilindro: re*ni"o de todos ossementos de reta aralelos econr*entes ao semento A5,*e *nem *m onto cCrc*lo " a*m onto de β .

β

α




63/73

5

Elementos do cilindro I

] 5ase6 cCrc*lo .] 9 cilindro tem d*as %ases.] (io: semento de reta ,*e lia os

centros das %ases do cilindro.] Altura6 distJncia entre as d*as

%ases do cilindro.] 7uperf8cie lateral6 con0*nto de todos

os ontos do esa!o ,*e n"oeste0am nas %ases o%tidos elodeslocamento aralelo da eratri/semre aoiada so%re a c*r'a

diretri/.



Ctt:==


64/73

#

ilindro reto

] Semento &\erendic*lar aolano ,*e cont)m ocCrc*lo .

tt:==


65/73

8

ilindro e,*il+tero

] Se!"o meridiana ) *m,*adrado.

] & alt*ra do cilindro )conr*ente ao diJmetrodo cCrc*lo da %ase.

tt:==


66/73

11

ol*me do cilindro

] Prod*to da +rea da %aseela alt*ra do cilindro.

] Sendo assim:

H AV b ×=

hr V 2π =

r



12

one

] 9%0etos ,*e lem%ram cone s"ocom*ns no nosso cotidiano.omo cas,*ina de sor'eteca)* de ani'ers+rio onta

de *m l+ise o*tros.




67/73


68/73

15

Elementos do cone II

] 7uperf8cie do cone: ) a re*ni"o das*erfCcie lateral com a s*erfCcie da%ase do cone.

] Área lateral : ) a medida da s*erfCcielateral.

] Área da base: ) a medida das*erfCcie da %ase do cone.

] Área total : ) a +rea lateral somada +rea da %ase do cone.

] 7e$!o meridiana: ) o triJn*lo o%tidoela interse!"o do lano ,*e cont)mo eio do cone com o cone.



tt:==


69/73

1#

one o%lC,*o

] 9 eio do cone n"o )erendic*lar ao lano da%ase.

tt:==


70/73

18

one e,*il+tero

] one reto.

] Se!"o meridiana ) *mtriJn*lo e,*il+tero.

] (eratri/ ) conr*enteao diJmetro da %ase.

tt:==


71/73

21

Esfera

] 9%0etos ,*e reresentam*ma esfera odem serfacilmente encontrados na'ida de todas as essoascomo %ola de f*te%ol%as,*ete %ola de *dee!as de %i0*terias o%0etosde decora!"o e o*tros. 9r;rio laneta Ferra

reresenta *ma esfera.



eracao%raa2778.%losot.com

22

onceito de esfera

] Se0a *m onto .

] m n$mero real ositi'o R.

] 9 con0*nto de todos os ontosdo esa!o ,*e est"o a *ma

distJncia R do onto )camado esfera.

] & esfera tem centro e raio R.

C



tt:==


72/73


73/73

25

So%re esse tra%alo


geometria espacial e aplicações

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