geometria espacial facil

8/10/2019 Geometria Espacial Facil

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Geometria Espacial

1) Poliedros convexos

Observe os slidos abaixo cujas faces so polgonos convexos.

Podemos observar que:a) Cada aresta comum a duas e somente a duas facesb) !uas faces nunca esto num mesmo plano

c) O plano de cada face deixa as demais faces no mesmo semi"espa#o.

$os slidos que satisfa%em essas condi#&es c'amamos poliedros convexos.$ssim( um poliedro possui

aces *so polgonos convexos) $restas *so os lados do polgono) +rtices *so os vrtices do polgono) ,uperfcie * a unio das faces do poliedro)

1.1) ClassificaoClassificamos um poliedro de acordo com o n-mero de faces. O n-mero mnimo de faces de um poliedroconvexo so quatro.

+eja alguns exemplos: etraedro : / faces Pentaedro : 0 faces 1exaedro : 2 faces 1eptaedro : 3 faces Octasedro : 4 faces !ecaedro : 56 faces !odecaedro : 57 faces 8cosaedro: 76 faces

1.2) Teorema de Euler

9um poliedro convexo( se +( $ e so os n-meros respectivamente( de vrtices( de arestas e defaces( ento vale a seguinte rela#o:

2V A F + =

+eja:

Poliedro convexo V A V ! A" 1exaedro 4 57 2 4 57 2 ; 71eptaedro 56 50 3 56 50 < 3 ; 7!ecaedro 57 76 56 57 76 < 56 ; 7!odecaedro 76 =6 57 76 =6


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1.#) Poliedros re$ulares

>m poliedro regular se( e somente se( forem obedecidas as seguintes condi#&es:

odas as suas faces so polgonos regulares e congruentes entre si odos os seus ?ngulos polidricos so congruentes entre si.

Exemplos

a) >m poliedro convexo tem 77 arestas. O n-mero de vrtices igual ao n-mero de faces. Calcular on-mero de vrtices desse poliedro

%oluao&

apenas utili%ando a formula resolvera o exerccio logo + $ < ; 7 como o numero de vrtices igual aonumero de faces temos:

7+ $ ; 7(7+ ; 7 < 77(

+ ; 57

') >m poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Calcular o n-mero dearestas e o n-mero de vrtices.

Exerc(cios

5) *>P$) >m poliedro convexo tem 2 faces e 4 vrtices. O n-mero de arestas :

a) 2 b) 4 c) 56 d) 57

7) *P>C",P) O n-mero de vrtices de um poliedro convexo que possui 57 faces triangulares :

a) 2 b) 4 c) 56 d) 57

=) *Cesgranrio) >m poliedro convexo formado por 46 faces triangulares e 57 pentagonais. O numero devrtices do poliedro :

a) 46 c) 06b) 26 d) /4

/) *$cafe",C) >m poliedro convexo tem 50 faces triangulares( 3 faces pentagonais e 7 faces 'exagonais. On-mero de vrtices desse poliedro :

a) 70 c)3=b) /4 d) @2

0) *Puccamp",P) O Acubo octaedroB um poliedro que possui 2 faces quadrangulares e 4 triangulares. On-mero de vrtices desse poliedro :

a) 52 c) 57b) 5/ d) 56

GAA*+T,

5) d 7) b =) b /) a 0) c

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2) Prismas

O prisma um slido delimitado por faces planas( conforme verificamos nas figuras seguintes.

2.1) Elementos principais

ases& formada por polgonos Arestas das 'ases& lados das bases aces laterais& formadas por paralelogramos Altura & dist?ncia 1 entre os planos das bases

%uperf(cie lateral& conjunto de todas as faces laterais %uperf(cie total & unio da superfcie lateral com as duas bases

2.2) Classificao&

Podemos classificar um prisma de acordo com o n-mero de lados das duas bases. Prisma trian$ular: bases : tri?ngulos Prisma -uadran$ular : bases : quadrilteros Prisma penta$onal: bases: pentgonos Prisma exa$onal: bases: 'exgonos

,e as bases so polgonos regulares( o prisma c'amado re$ular.

>m prisma reto se as arestas laterais forem perpendiculares Ds basesE caso contrrio( o prisma dito o'l(-uo.

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2.#) Paralelep(pedos

!enomina"se paraleleppedo o prisma no qual as seis faces so perpendiculares.

$s dimens&es so c'amadas comprimento/ lar$ura e altura( cujas medidas so indicadas por a/ 'e c( respectivamente.

2.0) Cu'o

F um paraleleppedo cujas arestas so congruentes entre si. O cubo tambm c'amado 'exaedroregular.

2.) ia$onal

C'amamos diagonal ! de um prisma todo segmento de reta cujas extremidades so vrtices queno pertencem a uma mesma face desse prisma.

O paraleleppedo a seguir apresenta as arestas de medidas a( b( e c.

2 2 2D a b c= + +

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Considerando o cubo um caso particular( temos todas as arestas iguais e de medida a.

2 2 2

2 2 2

D a b c

D a a a

= + +

= + +

3D a=

2.3) 4reas

Como a superfcie lateral de um prisma a reunio de suas faces laterais( ento a readessa superfcie a soma das reas das faces laterais( indicamos a rea da superfcie lateral por $G.

A56 soma das 7reas das faces lateraisA56 2p8/ onde 2p 9 o per(metro da 'ase e 8 9 a altura do prisma.

,'servao

,uperfcie total de uma prisma a reunio das suas faces laterais com as suas bases.8ndicamos a rea da superfcie total por $.

2T L BA A A= +

!evemos considerar dois casos particulares:

9o paraleleppedo as arestas a( b e c( temos como faces

!ois ret?ngulos de rea : a . b !ois ret?ngulos de rea : a . c !ois ret?ngulos de rea : b . c

Gogo temos

( )2TA ab ac bc= + +

9o cubo de aresta de medida a( temos

( )

( )2 2 22

2

T

T

A aa aa aa

A a a a

= + +

= + +

2 6TA a=

2.:) Volume

odo slido ocupa uma por#o do espa#o. Hssa por#o o volume desse slido.

O volume + de um prisma igual ao produto da rea de sua base $Ipela medida da sua altura 8.

.BV A H=

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Para um paraleleppedo( devemos considerar a rea da base como sendo o produto a . b e aaltura a aresta c. Gogo

. .V a b c=

9o caso de uma cubo( as arestas de medida a( o volume

3V a=

Exemplos&

1) !eterminar a rea total( o volume e a diagonal do paraleleppedo de dimens&es =cm( / cm e 0 cm.

2)O volume de um cubo mede 73 cm

=

. Calcule.a) sua rea total

b) sua diagonal da face

c) sua diagonal

3) >m prisma regular triangular tem arestas laterais de 2 cm e arestas de base de / cm. Obter:

a) O seu volume

b) $ sua rea lateral

c) $ sua rea total

Exerc(cios

5) Calcule a rea total dos prismas retos das figuras.

7) >m prisma reto com 5(0 m de altura tem sec#o transversal como mostra a figura. !etermine area total desse prisma.

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=) >m prisma pentagonal regular tem 76 cm de altura. $ aresta da base do prisma mede / cm.!etermine a sua rea lateral.

/) 9um prisma quadrangular( a aresta da base mede a ; 2 m. sabendo que a rea lateral do prisma 725 mJ( calcule a medida hda altura do prisma.

0) >m prisma reto tem por base um tri?ngulo issceles com medidas 4dm de base e altura = dm.

,abendo que a altura do prisma igual a 5K= do permetro da base( calcule a rea da superfcie total doprisma.

2) *>P$) 9um prisma regular de base 'exagonal a rea lateral mede =2 mJ e a altura = m. $ arestada base :

a) 7 m b) / m c) 2 m d) 4 m e) 56 m

3) *>CH) $s dimens&es de um paraleleppedo ret?ngulo so proporcionais a =( 0 e 3. ,abendo que adiagonal mede / cm( calcule o volume do paraleleppedo.

4). *>Pel"L,) !e um reservatrio de forma c-bica c'eio de gua forma retirados 7 litros dessa gua.+erificando"se que 'ouve uma varia#o de 0 cm no nvel do liquido( calcule quanto mede a aresta interna dacaixa"reservatrio.

@) *>nicru%"L,) ,e a soma das arestas de um cubo igual a 37 cm( ento o volume do cubo igual a:

a) 566 cmM d) 52 cmMb) /6 cmM e) 752 cmMc) 5// cmM

56). *>HPN"PL) $s medidas internas de uma caixa dgua em forma de paraleleppedo ret?ngulo so:5(7 m( 5 m e 6(3 m. ,ua capacidade de:

a) 4 /66 litros d) 4(/ litrosb) 4/ litros e) n.d.a

c) 4/6 litros55) O volume do paraleleppedo ret?ngulo cuja diagonal mede 3 cm e duas de suas dimens&es medem(respectivamente( 7 cm e = cm

a) 2 cmM c) =2 cmMb) 3 cmM d) /@ cmM

57) *>N) $s dimens&es de um paraleleppedo ret?ngulo so trQs n-meros inteiros e consecutivos.,e a diagonal desse paraleleppedo ret?ngulo cm( ento seu volume( em cmM( :

a) 2 c) =2b) 7/ d) 26

5=) *acR) $ figura abaixo mostra um reservatrio de gua( totalmente c'eio *medidas em metros). $psterem sido consumidos 57 litros de gua( o nvel dgua ter abaixado

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a) = dm c) 53 cmb) = cm d) 53 dm

5/). *Cesgranrio) $o congelar"se( a gua aumenta de 5K50 o seu volume. O volume de gua a congelar(para obter"se um bloco de gelo de 4 dm x / dm x = dm(

a) 46 dmM c) @0 dmMb) @6 dmM d) 566 dmM

50). *uvest) >m tanque em forma de paraleleppedo ret?ngulo tem por base um ret?ngulo 'ori%ontal delados 6(4 m e 5(7 m. >m individuo( ao mergul'ar completamente no tanque( fa% o nvel da gua subir 6(630m. Hnto o volume do individuo( em mM( :

a) 6(622 c) 6(6@2b) 6(637 d) 6(266

52). *N+) O acrscimo de volume do paraleleppedo ret?ngulo de aresta de medidas a( b e c( quandoaumentamos cada aresta em 56S( :

a) =6S c) 75Sb) ==(5S d) 56S

53) *>N) O volume de uma caixa c-bica 752 litros. $ medida de sua diagonal( em centmetros( :

a) 2 c) 26b) 26 d) @66

54) *acR) 9a figura( cada cubo tem volume 5. O volume da pil'a( incluindo"se os cubos invisveis nocanto( :

a) 2 b) 4 c) @ d) 56

54) >m prisma reto de base um 'exgono regular de lado 2 cm. Cada face tem rea igual a 3 ve%es a

rea da base. ,ua altura( em cm( :

a) 50 b) 54 c) 7/ d) 73

5@) 9um prisma regular de base 'exagonal( a rea lateral mede =2 m 7e a altura = m. a aresta

da base :

a) 7 m b) / m c) 2 cm d) 4 m

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76) !ado um prisma 'exagonal regular( sabe"se que sua altura mede = cm e que sua rea lateral o dobroda rea de sua base. O volume deste prisma( em cm=( :

)13 3 d) 27 3

)17 3 e) 54 3

a

b

75) ,e a rea da base de um prisma diminui 56 S e a altura aumenta 76S( os seu volume:

a) $umenta 4Sb) !iminui 56Sc) $umenta 50Sd) 9o se altera

77) >m reservatrio tem a forma de um prisma ( cuja base reta um tri?ngulo $IC( ret?ngulo em $. $smedidas( em metros( esto indicadas na figura. $ capacidade do reservatrio( em litros :

a) 5/ 666

b) 5/ 606c) 5/ 066d) 50 666

7=) >m prisma de altura ' ; 5(7 m tem por base um tri?ngulo equiltero de lado /6 cm. O volume desseprisma( medido em litros( :

)96 3 d) 36 3

)48 3 e) 24 3

a

b

Ga'arito

A ; 1< ; 21 ! 22 ! 2#C 1= ! 2>E

#) Pir?mide

$ pir?mide um slido delimitado por faces planas. ,ua base um polgono e suas faces lateraisso tri?ngulos.

Observe as figuras seguintes:

#.1) Elementos principais

ase& formada por polgono V9rtice& ponto + Arestas da ase : lados do polgono da base aces laterais: formada por tri?ngulos

Arestas laterais&lados dos tri?ngulos das faces laterais( com exce#o dos lados do polgonoda base Altura&dist?ncia 1 do ponto + ao plano da base

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%uperf(cie lateral&conjunto de todas as faces %uperf(cie total: unio da superfcie lateral com a base

#.2) Classificao

Podemos classificar uma pir?mide de acordo com o tipo de polgono que constitui a sua base.

Pir?mide trian$ular: base tri?ngulo Pir?mide -uadran$ular: base quadriltero Pir?mide penta$onal: base : pentgono Pir?mide exa$onal: base : 'exgono

,e a base um polgono regular( a pir?mide c'amada regular. $s arestas laterais so congruentes entre sie as faces laterais so tri?ngulos issceles congruentes entre si.

#.#) imens@es lineares da pir?mide

9a figura a seguir( temos uns pir?mide regular( na qual vamosdestacar alguns segmentos importantes. $ medida de cada um estarsendo representada por uma letra.

$resta da base *b) $ptema da base *m) Laio da base *r ) $ltura *') $resta lateral *a) $ptema da pir?mide *g)

C'ama"se aptema de uma pir?mide regular cada uma das alturas de suas faces laterais( relativasDs arestas da base.

Os tri?ngulos +O( +OI e +I so ret?ngulos. $plicando"se o teorema de Pitgoras( obtemosalgumas rela#&es importantes entre as dimens&es lineares citadas anteriormente. +ejamos:

9o tri?ngulo +O : g7; 17< m7 9o tri?ngulo +OI : a7; 17< r7

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9o tri?ngulo +I : a7; g7< *bK77

#.0) 4reas

%uperf(cie 5ateral 9a reunio das faces laterais. T a %uperf(cie Total a reunio das faces laterais com

a base.

8ndicando por $I( $Ge $( respectivamente( as reas da base( da superfcie lateral e da superfcietotal de uma pir?mide( temos:

T B LA A A= +

BA ; *depender do polgono da base)

LA ; soma das reas das faces laterais

#.) Volume &

O volume de uma pir?mide a ter#a parte do volume de um prisma de base e altura iguais Ds dapir?mide. $ssim temos :

3

BA HV

=

Exemplo&

5) !eterminar o volume( a rea lateral e a rea totalde uma pir?mide 'exagonal regular cujo aptema

da base mede 3 cm e o aptema da pir?mide

mede 2 cm.

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7) >ma pir?mide quadrangular regular de altura / cm tem arestada base medindo 2 cm. !eterminar:

a) O seu volume

b) O seu aptemac) $ sua rea total

=) 9uma pir?mide regular de base quadrada( a rea da base 52cm

7

e a altura mede 4 cm. !eterminar:a) $ aresta da baseb) O aptema da basec) O aptema da pir?mided) $ aresta laterale) $ rea lateralf) $ rea totalg) O volume

#.3) Tetraedro *e$ular

C'ama"se tetraedro regular o tetraedro que possui as seis arestas congruentes entre si. 9esse caso( todasas faces so tri?ngulos equilteros. O tetraedro uma pir?mide triangular.

Para o clculo da rea total( da altura e do volume de um tetraedro regular( utili%amos

2 3TA a=6

3

aH=

3 2

12

aV =

Exemplo&

5) !ado um tetraedro regular de aresta 57 cm( calcular a medida 1 da altura( a rea total e o volume.

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#.:) Tronco de pir?mide

!ada uma pir?mide e uma se#o transversal qualquerparalela D base( c'ama"se tronco de pir?mide a regio entre abase e essa se#o transversal.

9esse caso( podemos di%er que as pir?mides +$IC! e+$IC! so semel'antes. Portanto ocorrem( entre seuselementos( rela#&es muito importantes( que podem serdemonstradas utili%ando semel'an#a de tri?ngulos.

Gogo( nas duas pir?mides( temos:

$ ra%o entre dois segmentos correspondentes *alturas(arestas das bases( arestas laterais(...) igual a umaconstante R.

' ' '

H VA ABk

h VA A B= = =

$ ra%o entre duas reas correspondentes *reas das bases( reas laterais( reas totais) igual a R7.

2

' ' ' '

ABCD

A B C D

Ak

A

=

$ ra%o entre seus volumes igual a R=

3

' ' ' '

ABCD

A B C D

V

k V

=

Exemplo&

5) >ma pir?mide 'exagonal regular de altura 50 cm e volume igual a =76 cm = seccionada por umplano paralelo D base( a uma dist?ncia = cm do vrtice. !eterminar a rea da se#o e o volume dotronco obtido.

Exerc(cios

5. *>P$) >ma pir?mide regular cuja base um quadrado de diagonal 2cm e a altura igual a 7K= do ladoda base tem rea total igual a:

a) 744 cmJ c) 7=4 cmJb) 707 cmJ d) 767 cmJ

7. O volume de uma pir?mide regular quadrangular +$IC! 73 3 mM. ,e a altura da pir?mide igual a

aresta da base( ento a rea do tri?ngulo +I! vale( em mJ(

,'s.& *I e ! so vrtices opostos da base $IC!)

a) 27 32

b) 9 22

c) 9 32

d) 27 22

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=. *>N) $ rea total de uma pir?mide regular( de altura =6 mm e base quadrada de lado 46 mm(mede( em mmJ(

a) 5/ /66 c) 02 666b) // 666 d) 20 666

/. *8$) $ rea lateral de uma pir?mide quadrangular regular de altura / m e de rea da base 2/ mJ vale:

a) 574 mJ c) 5=0 mJ

b) 2/ 2 mJ d) 26 5 mJ

0. *>NO) $ base de uma pir?mide um triangulo eqUiltero( cujo lado mede / cm. ,endo a altura dapir?mide igual D altura do triangulo da base( o volume da pir?mide( em cmJ( :

a) / b) 2 c) 4 d) 56

2. O volume do tetraedro( conforme a figura( :

2

) 2

2)

24

2)

6

2)

3

a

b

c

d

3. *>PL) O volume de um tetraedro regular de 56 cm de altura ( em cmM(

a) 570 c) 706b) 570 d) =30

4. >ma pir?mide( que tem por base um quadrado de lado / cm( tem 56 cm de altura. $ que dist?ncia dovrtice deve passar um plano paralelo Ds bases( de modo que a sec#o transversal ten'a uma rea de /cmJV

a) 7 cm c) / cmb) = cm d) 0 cm

@. *P>C"N) Cortando"se uma pir?mide de =6 dm de altura por um plano paralelo D base e distante 7/ dm

do vrtice( obtm"se uma se#o cuja rea mede 5// dmJ. $ medida da rea da base de tal pir?mide( emdmJ( :

a) 770 c) 766b) 757 d) 546

56. *atec) ,ejam $5 e $7 duas pir?mides semel'antes. ,abe"se que a rea da base de $5 do%e ve%esmaior que a rea da base de $7. ,e o volume de $7 +( ento o volume de $5 :

a) @ 2 + c) 57 2 +

b) 7/ 3 + d) 57 3 +

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55. *>I$) >ma pir?mide regular cuja base um quadrado de diagonal medindo 2 6 cm e a

medida a altura igual a2

3da medida do lado da base tem rea total igual a:

a) @2 3 cmJ d) 4/ 3 cmJ

b) 707 cmJ e) 032 cmJc) 744 cmJ

57. *>HPN"PL) $ aresta lateral e a aresta da base de uma pir?mide quadrangular regular so iguais e

medem 2 cm . Wual a altura da pir?mide( em cmV

a) 2 d) 7 2b) / e) 7c) 5

5=. *P>CC",P) >m octaedro regular um poliedro constitudo de 4 faces triangulares congruentesentre si e ?ngulos polidricos congruentes entre si( conforme mostra figura abaixo.

,e o volume desse poliedro 37 2 cmM( a medida de sua aresta( em centmetros( :

a)

2

b) =

3

c) = d) 2

2

e) 2

3

5/. *P>CC",P) >ma reta tem altura de =6 cm e base de rea B. 8ntercepta"se essa pir?mide por umplano paralelo D sua base( obtendo"se uma outra pir?mide( semel'ante D primeira. ,e esse plano dista76 cm da base da pir?mide( a rea da base da nova pir?mide :

2 4 2) ) ) ) )

9 9 9 3 3

B B B B Ba b c d e

50. *P>C",P) >m tronco de pir?mide de bases quadradas tem 7 45/ cmM de volume. $ altura do troncomede 54 cm e o lado do quadrado da base maior mede 76 cm. Hnto( o lado do quadrado da basemenor mede:

a) 4 cm d) 57 cm

b) 2 cm e) 5/ cmc) = cm

GAA*+T,

A ; 1( #/ C ; / 11/ 12/ 1 ; 2/ =/ 1#.

0) Cilindro

0.1) Classificao e elementos129


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>m cilindro pode ser classificado em:

Cilindro retoWuando as geratri%es so perpendiculares Ds bases. 9esse caso( a sec#o meridiana um ret?ngulo. 9umcilindro reto( a geratri% e a altura so iguais *g ; ')

Cilindro o'l(-uoWuando as geratri%es so obliquas Ds bases. 9esse caso( a sec#o meridiana um paralelogramo.

Cilindro e-uil7tero,e a altura do cilindro for igual ao di?metro da base( ou seja( ' ; 7L(ento a sec#o meridiana um quadrado e o cilindro recebe o nome de cilindroequiltero.

,'servao&O cilindro tambm recebe o nome de cilindro de revolu#o( porque pode serpensado como um ret?ngulo que gira em torno de um dos seus lados.+eja a figura a seguir:

0.2) 4rea da 'ase/ 7rea lateral/ 7rea total e volume do cilindro reto

Consideremos um cilindro de raio L e altura '.

0.2.1) 4rea da 'ase

$ rea da base de um cilindro reto um crculo cuja rea definida por :

2

BA r=

0.2.2) 4rea lateral

$ rea lateral do cilindro a reunio de todas as suasgeratri%es.

130


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!esenvolvendo"se a superfcie lateral( obtm"se um ret?ngulo cuja base mede 2 r ( e cuja altura '. assim(

base x altura = 2LA rh=

0.2.#) 4rea total

$ rea total do cilindro dada por

T L B

2

T

A =A + 2A

A =2 + 2 R

Rh

( )2TA R h R= +

0.2.0) Volume

O volume do cilindro reto dado pelo produto da rea da base pela altura ou pela geratri%.

2

BV A h R h= =

2V R h=

Exemplo &

5) >m ret?ngulo de dimens&es = cm e 2 cm gira segundo um eixo que contm seu maior lado. Obter ovolume do solido gerado.

7) 9um cilindro circular reto( a rea lateral o dobro da rea da base( e sua altura igual a 0 cm. Obter area de sua sec#o meridiana.

131


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=) >m cilindro apresenta o raio da base medindo 0 cm. Hle seccionado atravs de um plano paralelo aoseu eixo( a uma dist?ncia de /cm. $ sec#o obtida um ret?ngulo cuja rea mede 7/6 cm 7. Obter area total e o volume desse cilindro. Observar a figura dada. Considerando O o centro da figura( temos :

OI ; L ; 0 cm

/) Obter a ra%o entre os volumes de dois cilindros: o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a umcubo de aresta a.

9a figura( temos um cilindro inscrito num cubo de aresta a

Hxerccios

5. *P>C",P) Wuantos litros comporta( aproximadamente( uma caixa dgua cilndrica com 7 m de di?metro e36 cm de alturaV

a) 5 706 c) 7 /06b) 7 766 d) = 5/6

7. *P>C"L,) !ois cilindros( um de altura / e outro de altura 2( tQm para permetro de suas bases 2 e /(respectivamente. ,e +5 o volume do primeiro e +7 o volume do segundo( ento:

a) +5 ; +7b) +5 ; 7+7c) +5 ; =+7d) 7 +5 ; =+7

=. *>NO) Para enc'er um reservatrio de gua que tem forma de um cilindro circular reto( so

necessrias 0 '. ,e o raio da base = m e a altura 56 m( o reservatrio recebe gua D ra%o de:

a) 54 mMK' c) 76 mMK'

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19/77

b) =6 mMK' d) 2 mMK'

/. *P>C",P) Wuantos mililitros de tinta podem ser acondicionados no reservatrio cilndrico de uma canetaesferogrfica( sabendo que seu di?metro 7 mm e seu comprimento 57 cmV

a) 6(=324 c) 6(6=324

b) =(3234 d) =3(240. *>CPL) emos dois vasil'ames geometricamente semel'antes. O primeiro uma garrafa das de vin'o(

cuja altura 73 cm. O segundo uma miniatura do primeiro( usado como propaganda do produto( e cujaaltura @ cm. Wuantas ve%es seria preciso esva%iar o conte-do da miniatura na garrafa comum( paraenc'e"la completamenteV

a) = b) @ c) 54 d) 73

2. *>N) !ois cilindros tQm reas laterais iguais. O raio do primeiro igual a um ter#o do raio dosegundo. O volume do primeiro +5. o volume do segundo cilindro( em fun#o de +5( igual a :

a) +5 K = c) 7+5

b) =+5 K 7 d) =+53. *atec) >m cilindro reto tem volume igual a 2/ dmM e rea lateral igual a /66 cmJ. O raio da base mede:

a) 52 dm c) =7 dmb) 7/ dm d) /4 dm

4. *>L9) ,e um cilindro eqUiltero mede 57 m de altura( ento o seu volume em mM vale

a) 5// c) /=7 b) 766 d) /46

@. *P>C",P) ,e triplicarmos o raio da base de um cilindro( mantendo a altura( o volume do cilindro fica

multiplicado por:

a) = b) 2 c) @ d) 57

56. *>CH) O raio de um cilindro circular reto aumentado em 76S e sua altura diminuda em 70S.O volume deste cilindro sofrer um aumento de :

a) 7S b) /S c) 2S d) 4S

55. *>P$) >m cilindro eqUiltero est inscrito em um cubo de volume 73 cmM. O volume do cilindromede( em cmM(

a) @ K/ c) 73 K/

b) 73 K4 d) 73

57. *>N) 9um cilindro reto cuja altura igual ao di?metro da base( a rea de uma sec#operpendicular Ds bases( contendo os centros dessas( 2/ mJ. ento a rea lateral desse cilindro( em mJ(:

a) 4 c) =7 b) 52 d) 2/

5=. *8$",P) 9um cilindro circular( sabe"se que a altura he o raio da base rso tais que os n-meros , h,r,formam( nessa ordem( uma P$ de soma 2 . O valor da rea total deste cilindro :

a)3

d)3

20

b)3

2 e)3

30

133


20/77

c)3

15

GAA*+T,

A ;#(0/ / 12/ 1#

; 2/ / 3/ 11/

) Cone

.1) Conceito

Consideremos um crculo de centro O e raio r( situado num plano ( eum ponto + fora de . C'ama"se cone circular( ou cone( a reunio dos

segmentos com uma extremidade em + e a outra em um ponto do crculo.

.2) Elementos

Considerando o cone representado a seguir( temos:

O ponto + o v9rticedo cone: O crculo de raio r a 'asedo coneE Os segmentos com um extremidade em + e a outra nos pontos da circunferQncia da base so as

$eratriesdo coneE

$ dist?ncia do vrtice ao plano da base a alturado cone ,ec#o transversal de um cone qualquer interse#o no va%ia

do cone com um plano paralelo D base *desde que este no passepelo vrtice)E trata"se de um crculo.

.#) Classificao

>m cone pode ser classificado conforme a inclina#o da reta +O sendo O o centro da base( em rela#o aoplano da base:

134


21/77

O cone circular obliquo quando a reta +O oblqua D baseE O cone circular reto quando a reta +O perpendicular D base

,'servao

O cone circular reto tambm c'amado cone de revolu#o . Hle gerado pela rota#o de um tri?ngulo

ret?ngulo em torno de um de seus catetos.

9o cone de revolu#o a reta +O o eixo( e vale a rela#o

2 2 2r h g+ =

.0) 4reas

.0.1) 4rea da 'ase

$ rea da base de um cone a rea de um crculo de raio r.

2

bA r=

.0.2) 4rea 5ateral & lA

135


22/77

$ planifica#o da superfcie lateral *ou a reunio das geratri%es) de um cone nos d um setor circular com asseguintes caractersticas:

Laio : g * geratri% do cone) Comprimento do arco : 2 r *permetro da base)

$ rea lateral do cone dada por:

lA rg=

.0.#) 4rea total&t

A

$ superfcie total de um cone a reunio da superfcie lateral com o crculo da base. $ rea dessasuperfcie c'amada rea total.

t l bA A A= +

2

tA rg r = +

( )tA r g r= +

Exemplos&

5) O raio de um setor circular de 506X( em papel( mede 56 cmE o setor vai ser utili%ado na confec#o de umcone. +amos determina a rea lateral e a rea total desse cone.

.) Volume&

136


23/77

O volume de um cone vale um ter#o do produto da rea da base pela altura:

21

3V r h=

Exemplo&7) ,eja um cone reto de geratri% de 56 cm e altura de 4 cm. +amos determinar o seu volume.

.3) %eo meridiana e cone e-uil7tero

,e#o meridiana de um cone a intersec#o dele com um plano que contm o eixo.$ se#o meridiana de um cone reto um tri?ngulo equiltero.

Cone equiltero um cone cuja se#o meridiana um tri?ngulo equiltero.

.:) Tronco de cone

ronco de cone de bases paralelas a reunio da base de um cone com uma se#o transversal e como conjunto dos pontos do cone compreendidos entre os planos da base e da se#o transversal.

.:.1) Elementos

$ base do cone a base maior do tronco( e a se#o transversal a base menor. $ dist?ncia entre os planos das bases a altura do tronco.

.:.2) 4reas

137


24/77

4reas das 'ases& ,B bA A

$ rea da Iase maior a rea de um crculo de raio L. Gogo:

2

BA R=

$ rea da base menor a rea de outro crculo( de raio r. Gogo:

2

bA r=

4rea lateral: $ superfcie lateral de um tronco de cone reto de raios r e L e geratri%es g equivalente a um

trap%io de bases 2 r e 2 R e altura g. Gogo:

( )tA R r g= +

4rea total &t

A

$ rea de um tronco de cone a soma da rea lateral com a rea da base maior e com a rea da basemenor:

t l B bA A A A= + +

.:.#) Volume

138


25/77

O volume de um tronco de cone de bases paralelas obtido pela diferen#a dos volumes de dois cones.Gogo:

( )2 23

hV R Rr r

= + +

Exemplo &

=) Calcular a rea lateral( a rea total( o volume de um tronco de cone reto de bases paralelas( cujageratri% mede 3 cm( e os raios das bases medem = cm e 0 cm.

Exerc(cios

5) *uvest) O volume do cilindro 3(642 cmM. O volume do cone ( portanto( em mmM(

5

a) 7=(27 c) =0/=b) =0(/= d) 7=27

7. *>nirio) >ma tulipa de c'ope tem a forma cYnica( como mostra a figura ao lado. ,abendo"se que sua capacidade de 566ml( a altura ' igual a:

a ) 76 cm c) 57 cmb) 52 cm d) 4 cm

=. *8$) ,abendo"se que um cone circular reto tem = dm de raio e 50 dmJ de rea lateral( o valor de seu volume( emdmM( :

a) @ c) 76 b) 57 d) =2

/. *P>C"L,) 9um cone de revolu#o( a rea da base =2 mJ e a rea total @2 mJ. $ altura do cone( em m( igual a:

a) / b) 2 c) 4 d) 56

0. *>OP) um cone circular reto tem por base uma circunferQncia de comprimento igual a 2cm e sua altura 7K= dodi?metro da base. Posto isto( sua rea lateral( em cmJ( :

139


26/77

a) 0 c) 57 b) @ d) 50

2. *>HG"PL) O di?metro da base de um cone circular reto mede 57 cm. ,e a rea da base =K4 da rea total( o volumedesse cone( em cmM( :

a) /4 c) 5//

b) @2 d) 5@4

3. *>P$) >m cone eqUiltero tem a rea da base /cmJ. $ sua lateral( em cmJ( :

a) 7 c) 4 b) / d) 52

4. *acR) >m cone e um prisma quadrangular regular retos tQm bases de mesma rea. O prisma tem altura 57 e volumeigual ao dobro do volume do cone. Hnto a altura do cone vale:

a) =2 b) 7/ c) 54 d) @

@. *>N) >m cone circular reto tem raio da base igual a = e altura igual a 2. $ ra%o entre o volume e a rea da base

:

a) = b) 5(0 c) 7 d) /

56. *atec) ,upon'am"se dois cones retos( de modo que a altura do primeiro quatro ve%es a altura do segundo eo raio da base do primeiro a metade do raio da base do segundo. ,e +5 e +7 so( respectivamente( os volumesdo primeiro e do segundo cone( ento:

a) +5 ; +7b) +5 ; 7+7c) 7+5 ; =+7d) = +5 ; 7+7

55. *>N) Considerem"se dois cones. $ altura do primeiro o dobro da altura do segundoE o raio da base do

primeiro a metade do raio da base do segundo. O volume do segundo de @2 . O volume do primeiro :a) /4 c) 574 b) 2/ d) 5//

57. *>N) >m reservatrio de gua tem foram de um cone circular reto( de eixo vertical e vrtice para baixo.Wuando o nvel de gua atinge a metade da altura do tanque( o volume ocupado igual a . $ capacidade dotanque :

a) 7 c) 2 b) / d) 4

5=. *>N) >m tanque de gua tem a forma de um cone circular reto( com seu vrtice apontado para baixo. O raiodo topo igual a @ m e a altura do tanque de 73 m. pode6"se afirmar que o volume + da gua no tanque( como

fun#o da altura ' da gua :

140


27/77

a) + ;3

27

h c) + ;

3

3

h

b) + ;3

9

h d) + ; =h

5/. *uvest)>m copo tem a forma de um cone com altura 4 cm e raio da base = cm. Wueremos enc'Q"lo com

quantidades iguais de suco e de gua. Para que isso seja possvel( a altura x atingida pelo primeiro liquido colocadodeve ser:

a)8

3cm

b) 2 cm

c) / 3 cm

d) 2 3 cm

e) 34 4 cm

GAA*+T,

A ;/ 1> 11.

; #/ 3

C ; 2/ 0/ :/ =/ ma esfera seccionada por um plano a 4 cm do centro( a se#o obtida tem rea =2 cm7.!eterminar a rea da superfcie da esfera e seu volume.

3..#) 4rea do fuso

Para

em graus:2

9fuso

rA

=

Para em radianos: 22fusoA r=

143


30/77

3..0) Volume da cuna

Para em graus:3

27cunha

rV

=

Para em radianos:3

2

3cunha

rV

=

Exemplo&

3) Calcular a rea total e o volume de um cun'a esfrica de

6

radianos( retirada de uma esfera de 56 cm

de raio.

Exerc(cios

5. F dada uma esfera de raio 56 cm. >m plano secciona essa esfera a uma distancia de 2 cm do centroda mesma. Calcule o raio da sec#o.

7. Calcule a rea de uma superfcie esfrica de raio L ; = cm.

=. >ma sec#o feita numa esfera por um plano 7 cm. $ dist?ncia do centro da esfera ao plano e2 2 . Calcule a medida rdo raio da esfera.

/. ,abendo que a rea de uma superfcie esfrica 4cm7( calcule o raio da esfera.

0. $ figura mostra uma esfera inscrita num cubo de aresta / cm *note que o plano de cada face do cubo tangente D esfera). Calcule a rea da superfcie esfrica.

2. *aap",P) $ rea da superfcie de uma esfera e rea total de um cone reto so iguais. !etermine o raioda esfera( sabendo que o volume do cone 57 dm=e o raio da base = dm.

3. Wual a rea da superfcie esfrica gerada pela rota#o completa do semicrculo da figura em torno doseu di?metro $I V$O ; 0 cm

144


31/77

4. >m plano secciona uma esfera de raio 76 cm. $ dist?ncia de centro da esfera ao plano 57 cm. Calculea rea da sec#o obtida.

@. *>nicamp",P) O volume + de uma bola de raio r dado pela formula 34

3V r= .

a) Calcule o volume de uma bola de raio r ;3

4cm. Para facilitar os clculos vocQ deve substituir pelo

n-mero22

7.

b) ,e uma bola de raio r ; 34

cm feita com um material cuja a densidade volumtrica *quociente da

massa pelo volume) de 0(2 gKcmM( qual ser a sua massaV

56. >m reservatrio em forma de uma semi"esfera tem 54 m de di?metro. Wual o volume de gua quecabe nesse reservatrioV

55. O recipiente da figura feito de madeira com densidade 6(3 gKmM e tem a forma de uma semi"esfera comraio externo de 76 cm e raio interno de 53 cm. Calcule a massa( em quilogramas( desse recipiente.

57. *>C",P) >m joal'eiro fundiu uma esfera de ouro de raio 2 mm para transform"la num bastocilndrico reto( cujo raio da base era igual ao da esfera. Calcule o comprimento do basto.

5=. >ma esfera seccionada por um plano distante 57 cm do centro da esfera. O raio da sec#o obtida @ cm. Calcule o volume da esfera.

5/. *>nitau",P) >ma esfera est inscrita em um cubo de aresta / cm. Calcule a rea da superfcie esfricae o volume da esfera.

145


32/77

50. >ma esfera est inscrita num cilindro eqUiltero de raio a. Wual a ra%o entre o volume +5 da esfera eo volume +7 do cilindroV

52. *>nI"!) >m sorveteiro vende sorvetes em casquin'as de biscoito que tQm a forma de cone de =cm de di?metro e 2 cm de profundidade. $s casquin'as so totalmente preenc'idas se sorvete e( ainda(nelas superposta uma meia bola de sorvete de mesmo di?metro do cone. Os recipientes onde arma%enado o sorvete tQm forma cilndrica de 54 cm de di?metro e 0 cm de profundidade. !etermine onumero de casquin'as que podem ser servidas com o sorvete arma%enado em um recipiente c'eio.

53. *>PH) $ figura ilustra a esfera de maior raio contida no cone reto de raio da base igual a 2 e alturaigual a 4( tangente ao plano da base do cone. Wual o inteiro mais prximo da metade do volume daregio do cone exterior D esferaV

54. *>LT) Ping Oin recol'eu /(0 mM de neve para construir um grande boneco de = m de altura( emcomemora#o D c'egada do vero no Plo ,ul. O boneco ser composto por uma cabe#a e um corpo(ambos em forma de esfera( tangentes( sendo o corpo maior que a cabe#a( conforme mostra a figura.Para calcular o raio de cada uma das esferas( Ping Oin aproximou por =.

Calcule( usando a aproxima#o considerada( os raios das duas esferas.

5@. Calcule( aproximadamente( a capacidade em mililitros do recipiente indicado na figura. $dote ;=(5/.

146


33/77

76. *>,C) >m recipiente de forma cilndrica medindo 57 cm de raio interno preenc'ido com gua atuma altura h. >ma bola *esfera) de raio 57 cm colocada no fundo desse recipiente e constatamos quea gua recobre exatamente o nvel da bola. Wuanto mede a altura h*em centmetros)V

75. $c'e a rea de um fuso esfrico de /0[( contido numa circunferQncia de raio 4 cm.

77. Calcule o volume de uma cun'a esfrica de raio 2 cm( cujo ?ngulo diedro mede:

a) 26[ b)4 rad

7=. $ rea de um fuso esfrico mede 70 cmJ. ,abendo que o ?ngulo do fuso mede2

rad( calcule o

raio da superfcie esfrica.

GAA*+T,

1) = cm2) #3cmB#) # cm

0) 2 cm

) 13cmB

3) 6 dm

:) 1>>cmB=) 23cmBm cubo de base $IC! tem volume 752 m=. Os pontos P e W dividem adiagonal IH em trQs segmentos congruentes( como mostra a figura aolado. $ dist?ncia do ponto P D base $IC! :

)2 2

)4

)3 2

)3 3

)5

a m

b m

c m

d m

e m

147


34/77


35/77

1)

9

1)

3

) 3

)9)27

a

b

c

d

e

3) Considere um peda#o de cartolina retangular de lado menor 56 cm e lado maior 76 cm. Letirando"se /quadrados iguais de lados x cm *um quadrado de cada canto) e dobrando"se na lin'a tracejadaconforme mostra a figura( obtm"se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinYmio na varivelx que representa o volume desta caixa( em cm=( :

3 2

2

3 2

3 2

3 2

)4 6 2

)4 6 2)4 6 2

) 3 2

) 15 5

a x x x

b x x

c x x

d x x x

e x x x

+

+

+

+

+

4) Observe a piscina ao lado. Hla representa um piscina retangular com 56 m de comprimento e 3 m delargura. $s laterais $HT! e IN1C so ret?ngulos( situados em planos perpendiculares ao plano quecontm o ret?ngulo $IC!. O fundo da piscina tem uma rea total de 33 m 7e formado por doisret?ngulos( N18 e H8T. O primeiro desse ret?ngulos corresponde D parte da piscina onde aprofundidade de /m e o segundo( D parte da piscina onde a profundidade varia entre 5 m e / m. $piscina( inicialmente va%ia( recebe gua D taxa de 4 666 litros por 'ora. $ssim sendo( o temponecessrio para enc'er totalmente a piscina de:

149


36/77

a) 7@' e =6 minb) =6' e 50 minc) 7@' e /0 mind) =6' e 70min

@) 9a figura tem"se o prisma reto $IC!H( no qual !H ; 2cm ( H ; 4 cm e !H perpendicular a H. ,eo volume desse prisma 576 cm=( a sua rea total( em centmetros quadrados( :

a) 5//b) 502c) 526d) 524e) 537

56) >m prisma reto tal que sua base um tri?ngulo eqUiltero cujolado mede 4 3 cm e o seu volume igual ao volume de um

cubo de aresta medindo 4 3 cm. $ rea total desse prisma( em centmetros quadrados :

)24 3

)192 3

)24 3

)216 3

)228 3

a

b

c

d

e

55) >m recipiente em forma de prisma 'exagonal regular contm um lquido at certo nvel. Colocando"senesse recipiente um cubo( o nvel do lquido aumenta 7 dm. ,abendo"se que a aresta da base dorecipiente mede = dm( conclui"se que a aresta do cubo mede( em dm:

3

6

6

5

)2 2

)3 2

)3 3

)3 6

)3 3

a

b

c

d

e

57) !ado um prisma 'exagonal regular( sabe"se que sua altura mede = cm e que sua rea lateral o dobroda rea de sua base. O volume desse prisma ( em cm=:

150


37/77

)27 3

)13 2

)12

)54 3

)17 5

a

b

c

d

e

5=) >m tanque tem a forma de um prisma reto de base quadrada e est totalmente c'eio dgua. ,e aaresta de sua base mede 7 m e a altura mede 6(@ m ( quantos litros dgua devem ser retirados do seu

interior para que o lquido restante ocupe os2

3se sua capacidadeV

a) 576 b) 7/6 c) 5766 d) 7/66 e) 57666

5/) >ma fol'a de papel colorido( com a forma de um quadrado de 76 cm de lado( ser usada para cobrir

todas as faces e a base de uma pir?mide quadrangular regular com altura de 57 cm e aptema da basemedindo 0 cm. $ps se ter concludo essa tarefa( e levando"se em conta que no 'ouve desperdcio depapel( a fra#o percentual que sobrar dessa fol'a de papel corresponde a:a) 76 Sb) 52Sc) 50Sd) 57Se) 56S

50) O tetraedro regular $IC! est representado na figura ao lado. o ponto mdio da aresta IC e 9 oponto mdio da aresta C!. O cosseno do ?ngulo 9$ :

1)6

3)6

1)3

3)3

3)2

a

b

c

d

e

52) ,eja uma pir?mide regular de base 'exagonal e altura 56 m. a que dist?ncia do vrtice devemos cort"

la por um plano paralelo D base de forma que da pir?mide obtida seja1

8do volume da pir?mide

originalVa) 7 mb) / mc) 0 md) 2 m

e) 4 m

53) O volume do slido da figura ao lado :

151


38/77

!ados: 3 ! 6 !CAB DAC BCD AC DC = = = \

3)12

3)18

3)2

3)24

3)36

a

b

c

d

e

54) Observe a figura . Hla representa um prisma de base triangular. O plano que contm os vrtices I( ! e divide esse prisma em dois slidos: !$CI( de volume + 5e !HI( de volume +7. $ssim sendo( a

ra%o1

2

V

V:

)1

3)

2

)2

5)

2

a

b

c

d

5@) >m tcnico agrcola utili%a um pluviYmetro na forma de pir?mide quadrangular para verificar o ndicepluviomtrico de um certa regio. $ gua( depois de recol'ida( colocada num cubo de 56 cm dearesta. ,e( a pir?mide( a gua atinge uma altura de 4 cm e forma uma pequena pir?mide de 56 cmde aptema lateral( ento a altura atingida pela gua no cubo de :

a) 7(7/ cmb) 7(4/ cmc) =(4/ cmd) /(7/ cm

e) 2(37 cm

76) $umentando"se o raio de um cilindro em / cm e mantendo"se a sua altura( a rea lateral do novocilindro igual D rea total do cilindro original. ,abendo"se que a altura do cilindro original mede 5cm( ento o seu raio mede( em cm:

a) 5b) 7

c) /d) 2

152


39/77

75) >ma fbrica precisa produ%ir embalagens cilndricas para acondicionar um de seus produtos(todavia pretende investir na apresenta#o e na economia do material a ser gasto. 9esse sentidoforam pensados dois tipos de embalagens cilndricas *figura 5 e 7). O material gasto norevestimento de cada embalagem corresponde Ds suas reas totais , 5 e ,7 ( respectivamente.

Considerando 1r r= e 22

rr = E 1h r= e 2 2h r= ( um tcnico conseguiu detectar que:

1 2

1 2

1 2

1 2

21

)

)

)

) 2

)2

a S S

b S S

c S S

d S S

Se S

=

>

ma lata de forma cilndrica( com tampa( deve ser construda com 26 cm7de fol'a de alumnio. ,e r

o raio da Ise e ' a altura da lata que proporcionam o volume mximo( ento o valor der

h:

a) 5b) 7

c)1

2

d)1

3

e)1

4

72) >m aqurio cilndrico( com =6 cm de altura e rea da base igual a 5766 cm 7( est com gua at ametade de sua capacidade. Colocando"se pedras dentro desse aqurio( de modo que fiquemtotalmente submersas( o nvel da gua sobe para 52(0 cm. Hnto( o volume das pedras :

a) 5766 cm7b) 7566 cm7c) 5066 cm7d) 5466 cm7

e) 7666 cmJ

73) O raio de um cilindro circular reto aumentado de 70SE para que o volume permane#a o mesmo( aaltura do cilindro deve ser diminuda de RS. Hnto R vale:

a) 70b) 74c) =6d) =7e) =2

74) O volume de um cilindro circular reto 336 6 cm . ,e a altura desse cilindro mede 6 6 cm(

ento a rea total desse cilindro( em cm7( :)72

)84

)92

)96

a

b

c

d

7@) O setor circular da figura a superfcie lateral de um cone cuja base tem di?metro / e rea igual aRS da rea total do cone. Hnto R vale:

a) 76b) 70c) =6d) =0e) /6

154


41/77

=6) 9um cone circular reto( a altura a mdia geomtrica entre o raio da base e a geratri%. $ ra%oentre a altura e o raio da base :

3

1 5)

2

1 5

) 2

1 5)

2

1 5)

3

1 5)

2

a

b

c

d

e

+

+

+

+

+

=5) >m cone circular reto tem altura de 4 cm e raio da base medindo 2 cm. Wual ( em centmetros

quadrados( sua rea lateralV)2

)3

)4

)5

)6

a

b

c

d

e

=7) >ma caixa dgua( com capacidade de 456 m=de volume( te a forma de um cone circular reto

invertido( conforme a figura. ,e o nvel da gua na caixa corresponde a1

3

da altura do cone( o

volume de gua existente( em litros( :

a) 56 666b) 76 666c) =6 666d) /6 666e) 06 666

==) >ma ta#a perfeitamente cYnica foi colocada sob uma torneira que

estava pingando. Hm 76 minutos o nvel da gua atingia a metade da altura da ta#a. $ continuarnesse ritmo( a ta#a estar completamente c'eia em mais:

a) 76 minutosb) /6 minutosc) 5 'ora e 76 minutosd) 7 'oras e 76 minutose) = 'oras

=/) 9a figura( a base do cone reto est inscrita na face do cubo. ,upondo 3= ( se a rea total docubo 0/( ento o volume do cone :

155


42/77

81)

2

27)

2

9)

427

)4

81)

4

a

b

c

d

e

=0) $ altura de um cone circular reto mede o t0riplo da medida do raio da Ise. ,e o comprimento dacircunferQncia dessa base 8 cm( ento o volume do cone( em centmetros c-bicos( :

)64

)48

)32)16

)8

a

b

c

d

e

=2) O raio da base de um cone circular reto igual D mdia aritmtica da altura e a geratri% do cone.,abendo"se que o volume do cone 128 m=( temos que o raio da Ise e a altura do cone medem(respectivamente( em metros:

a) @ e 4b) 4 e 2c) 4 e 3d) @ e 2

e) 56 e 4

=3) Calculou"se o volume de um cone reto de geratri% 5 e a rea lateral R. O maior valor inteiro que Rpode assumir :

a) 7b) =c) /d) 0e) 2

=4) O volume da esfera $ 18

do volume de uma esfera I. ,e o raio da esfera I mede 56( ento o raio

da esfera $ mede:

a) 0b) /c) 7(0d) 7e) 5(70

=@) ,endo , uma esfera de raio r( o valor pelo qual deveramos multiplicar r( a fim de obtermos umanova esfera , ( cujo volume seja o dobro do volume de ,( :

156


43/77

3

3

) 2

)2 2

)2

)3

) 3

a

b

c

d

e

/6) 9a famosa cidade de ,ucupira( foi feito um monumento de concreto com pedestal em forma de umaesfera de raio 0m( em 'omenagem ao anti"'eroi A]eca !iaboB. O cidado A9e%in'o do TegueB foiinformado de que( apesar de o pre#o do metro c-bico do concreto ser 726 reais( o custo total doconcreto do pedestal( feito com din'eiro p-blico( foi de 066 mil reais. 9e%in'o do Tegue verificou(ento( que 'ouve um superfaturamento: * use 3,14 = )

a) enor que 06 mil reaisb) Hntre 06 e 766 mil reaisc) Hntre 766 e =66 mil reaisd) Hntre =66 e /66 mil reaise) $cima de /66 mil reais

/5) !erretendo uma pe#a maci#a de outro de forma esfrica( quantas pe#as da mesma forma se podeconfeccionar com esse ouro( se o raio das novas pe#as um ter#o do raio da anteriorV $dmita queno 'ouve perda de ouro durante o derretimento:

a) =b) @c) 54d) 75e) 73

/7) $s cidades de Wuito e Cingapura encontram"se prxima D lin'a do equador e em pontosdiametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da erra igual a 2 =36 Rm( pode"seafirmar que um avio saindo de Wuito. +oando em mdia 466 RmK'( descontando as paradas deescala( c'ega a Cingapura em aproximadamente:

a) 52 'orasb) 76 'orasc) 70 'orasd) =7 'orase) =2 'oras

/=) >m plano seciona uma esfera determinando um crculo de 216 cm de rea. ,abendo"se que oplano dista = cm do centro da esfera. Hnto o volume da esfera igual a:

3

3

3

3

3

1)3

125)

3

)15

5)

3

)2

a cm

b cm

c cm

d cm

e cm

//) 9a figura esto representados trQs slidos de mesma altura ' um cilindro( uma semi"esfera e umprisma cujos volumes so +5( +7e +=( respectivamente.$ rela#o entre +5( +7e +=:

157


44/77

3 2 1

2 3 1

1 2 3

3 1 1

2 1 3

))

)

)

)

a V V V b V V V

c V V V

d V V V

e V V V

< ma pir?mide tem altura 1. $ que dist?ncia do vrtice deve"se passar um plano paralelo D base paradividi"la em duas partes de mesmo volumeV

160


47/77

3

3

)2

)2

)3

)3

)2

Ha

Hb

c H

Hd

He

00) Considere o tronco de uma pir?mide regular de bases quadradas representado na figura. ,e as

diagonais das bases medem 1 2 "# e 4 2 "# ( a rea total desse tronco( em centmetros

quadrados( :

a) 524b) 542c) 704d) 722e) 74/

02) >ma pir?mide regular tem altura 2 e lado da basequadrada igual a /. Hla deve ser cortada por um plano paralelo D base( a uma dist?ncia d dessa base(de forma a determinar dois slidos de mesmo volume. $ dist?ncia d deve ter:

3

3

3

3

)6 3 2

3 4)3

2

)6 3 4

)6 2 2

a

b

c

d

03) O proprietrio de uma fa%enda quer construir um silo com capacidade para 336 m= ( paraarma%enamento de gros. O engen'eiro encarregado do projeto mostrou"l'e o esquema do silo(composto de um cilindro acoplado a um tronco de cone( como mostra a figura. ,e( em seus clculos( o

engen'eiro considerou22

7= ( ento a altura 1 do silo( em metros( :

a) 50b) 52c) 53d) 54

161


48/77

e) 5@

04) Considere que cada vrtice de um cubo de aresta 5 cm tambm o centro de uma esfera de raio1

2

cm. O volume da regio do espa#o interna ao cubo e externa Ds oito esferas igual a:

3

3

3

3

12)

12

3)

3

6)

6

2)

2

a cm

b cm

c cm

d cm

0@) Cada vrtice de um cubo de aresta x o centro de uma esfera de raio2

x. O volume da parte comum ao

cubo e Ds esferas :

3

3

3

3

3

)12

)8

)6

)4

)2

xa

xb

xc

xd

xe

26) >m len'ador empil'ou = troncos de madeira num camin'o de largura 7(0 m( conforme a figura. Cadatronco um cilindro reto( cujo raio mede 6(0 m. Gogo( a altura ' ( em metros( :

162


49/77


50/77

9a figura acima( que representa o projeto de uma escada com 0 degraus de mesma altura( ocomprimento total do corrimo e igual a:

a) 5(4 m.

b) 5(@ m.

c) 7(6 m.

d) 7(5 m.

e) 7(7 m.

#) IEEH 2>>=)

O tangram um jogo oriental antigo( uma espcie de quebra"cabe#a( constitudo de sete pe#as: 0 tri?ngulos

ret?ngulos e issceles( 5 paralelogramo e 5 quadrado. Hssas pe#as so obtidas recortando"se um quadradode

acordo com o esquema da figura 5. >tili%ando"se todas as sete pe#as( possvel representar uma grandediversidade

de formas( como as exemplificadas nas figuras 7 e =.

,e o lado $I do 'exgono mostrado nafigura 7 mede 7 cm( ento a rea da figura =(que representa uma Acasin'aB( igual a:

a) / cmJ.

b) 4 cmJ.

c) 57 cmJ.

d) 5/ cmJ.

e) 52 cmJ.

#.1)IEEH 2>>=) ractal *do latim fractus( fra#o( quebrado) _ objeto que pode ser dividido em

partes que possuem semel'an#a com

o objeto inicial. $ geometria fractal( criada no sculo ``( estuda as propriedades e o comportamento dosfractais _objetos geomtricos formados por repeti#&es de padr&es similares.

O tri?ngulo de ,ierpinsRi( uma das formas elementares da eometria fractal( pode ser obtido por meiodos seguintespassos:

5. comece com um tri?ngulo equiltero *figura 5)E

7. construa um tri?ngulo em que cada lado ten'a a etade do taman'o do lado do tri?nguloanterior e

fa#a trQs cpiasE

164


51/77

=. posicione essas cpias de maneira que cada tri?ngulo en'a um vrtice comum com um dosvrtices de cada m dos outros dois tri?ngulos( conforme ilustra a figura 7E

/. repita sucessivamente os passos 7 e = para cada pia dos tri?ngulos obtidos no passo = *figura =).

!e acordo com o procedimento descrito( a figura / da eqUQncia apresentada acima

a)

b)

c)

d)

e)

165


52/77

0) IEEH 2>>1>)

166


53/77

6) (ENEM 2010)

167


54/77

168


55/77

:) IEEH 2>1>)

8) IEEH 2>11)

>m mec?nico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas reali%adas em um carrosejam obtidas em metros:

a)dist?ncia a entre os eixos dianteiro e traseiroE

')altura ' entre o solo e o encosto do piloto.

169


56/77

$o optar pelas medidas a e ' em metros( obtQm"se( respectivamente(

a)6(7= e 6(52.

') 7(= e 5(2.

c) 7= e 52.d) 7=6 e 526.

e)7 =66 e 5 266.

>)

Os trQs recipientes da figura tQm formas diferentes( mas a mesma altura e o mesmo di?metro da boca.

9eles so colocados lquido at a metade de sua altura( conforme indicado nas figuras. Lepresentando por+5( +7 e += o volume de lquido em cada um dos recipientes( tem"se:

*$) +5 ; +7 ; +=

*I) +5 Z += Z +7

*C) +5 ; += Z +7

*!) += Z +5 Z +7

*H) +5 Z +7 ; +=

1>) IEEH 2>>3)

>ma artesa confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartoes de

170


57/77

papel retangulares de 76 cm x 56 cm *conforme ilustram as figuras abaixo). >nindo dois lados opostos docartao( de duas maneiras( a artesa forma cilindros e( em seguida( os preenc'e completamente comparafina.

,upondo"se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado( o custoda

vela do tipo 8( em rela#o ao custo da vela do tipo 88( ser

A) o triplo.

) o dobro.

C) igual.

)a metade.

E)a terca parte.

11) IEEH 2>>3)

Hclusa e um canal que( construido em aguas de um rio com grande desnivel( possibilita a navegabilidade(subida ou descida de embarcacoes. 9o esquema abaixo( esta representada a descida de uma embarcacao(pela eclusa do porto Primavera( do nivel mais alto do rio Parana ate o nivel da jusante.

$ camara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 766 m e largura igual a 53 m. $va%ao aproximada da gua durante o esva%iamento da camara e de /.766 m= por minuto.$ssim( para descer do nivel mais alto ate o nivel da jusante(uma embarcacao leva cercade

A)7 minutos. C)55 minutos. E)75 minutos.

)0 minutos. )52 minutos.

12) IEEH 2>>:)

171


58/77

$ figura ao lado mostra um reservatrio de gua na forma de um cilindro circular reto( com 2 m de altura.Wuando est completamente c'eio( o reservatrio suficiente para abastecer( por um dia( @66 casas cujoconsumo mdio dirio de 066 litros de gua. ,upon'a que( um certo dia( aps uma campan'a deconscienti%a#o do uso da gua( os moradores das @66 casas abastecidas por esse reservatrio ten'amfeito

economia de 56S no consumo de gua. 9essa situa#o(

A)a quantidade de gua economi%ada foi de /(0 m=.

)a altura do nvel da gua que sobrou no reservatrio( no final do dia( foi igual a 26 cm.

C)a quantidade de gua economi%ada seria suficiente para abastecer( no mximo( @6 casas cujo consumo

dirio fosse de /06 litros.

)os moradores dessas casas economi%ariam mais de L^ 766(66( se o custo de 5 m= de gua para o

consumidor fosse igual a L^ 7(06.

E)um reservatrio de mesma forma e altura( mas com raio da base 56S menor que o representado( teria

gua suficiente para abastecer todas as casas. 2 m

1#) IEEH 2>1>)

172


59/77

173


60/77

10) IEEH 2>1>)

1) IEEH 2>1>)

174


61/77

13) IEEH 2>1>)

175


62/77

1:) IEEH 2>1>)

1=) IEEH 2>1>)

176


63/77

11>)

177


64/77

2>) IEEH 2>1>)

21) IEEH 2>1>)

178


65/77

22) IEEH 2>11)

A)todos iguais.

)todos diferentes.

C)trQs iguais e um diferente.

)apenas dois iguais. E)iguais dois a dois.

179


66/77

Ga'arito enem&

1) e 2) d#) b 0)c ) e3) d:) b=) b ) b

11) d12) b1#) e10) b1) b13) a1:) a1=) d1) b21) d22) e

Extras&

emonstrao Jrmula Volume Tronco de Cone

,e imaginarmos uma pir?mide de infinitos lados( isso nos leva a um caso particular de pir?mide: o Cone.

180
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-tronco-de.htmlhttp://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-tronco-de.html


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$ demonstra#o para a rmula do +olume de ronco de Cone ser feita de duas formas: algebricamente epor semel'an#a de tri?ngulos.

1) emonstrao al$9'rica da Jrmula do Volume de Tronco de Cone

Partindo da frmula ronco de Pir?mide( temos:

Como no tronco de cone as reas das bases $Ie $bso:

Podemos reescrever a frmula do +olume de ronco como:

Wue a rmula para o clculo do +olume do tronco de Cone.

2) emonstrao por semelana de tri?n$ulos da Jrmula do Volume de Tronco de Cone

!ado o Cone abaixo( seccionado paralelamente a uma altura Hde sua base.

181
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-tronco-de-piramide.htmlhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel39nGjrI/AAAAAAAABE4/ZjrWifBg82I/s1600-h/clip_image006%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel25Y-BUI/AAAAAAAABEw/sHDXY5IW9Nw/s1600-h/clip_image004%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel12Q5p7I/AAAAAAAABEo/2Q0strYHHzM/s1600-h/clip_image002%5B8%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel0-v6pAI/AAAAAAAABEg/8CV74AITpRQ/s1600-h/clip_image002%5B6%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skelz8rquGI/AAAAAAAABEY/hZQ7meSjPGg/s1600-h/clip_image004%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkelzIXeQVI/AAAAAAAABEQ/WUGfpshZfwA/s1600-h/clip_image002%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkelyK5mD3I/AAAAAAAABEI/VwkN2peYDKs/s1600-h/clip_image002%5B3%5D.gifhttp://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-tronco-de-piramide.html


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!estacamos o tri?ngulo ret?ngulo:

Por semel'an#a de tri?ngulos( temos:

!a temos:

182
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel70_ey4I/AAAAAAAABFY/J1O-sL02H-c/s1600-h/clip_image006%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel6ylhS5I/AAAAAAAABFQ/6dm8yQwder8/s1600-h/clip_image004%5B6%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel6EuRIsI/AAAAAAAABFI/vXSQyybTTY8/s1600-h/Semelhan%C3%A7a%20tri%C3%A2ngulos%5B9%5D%5B4%5D.jpghttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel41sx_YI/AAAAAAAABFA/pbO1OI9X1Oc/s1600-h/Cone%5B4%5D.jpg


69/77

emos que:

,ubstituindo *8) em *88)( obtemos:

emonstrao da Jrmula do Volume de Pir?mide

183
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-da-formula-do-volume-de.htmlhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemGK4FYzI/AAAAAAAABGw/kX6aRycW6vU/s1600-h/clip_image028%5B3%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemFIXQgyI/AAAAAAAABGo/aY27_pnANv0/s1600-h/clip_image026%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemEP5tJVI/AAAAAAAABGg/KkvE8QXmSdI/s1600-h/clip_image024%5B3%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemDY_LXVI/AAAAAAAABGY/adAuvaDmWp8/s1600-h/clip_image022%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemCZmFsgI/AAAAAAAABGQ/jrfbEYe4NM0/s1600-h/clip_image020%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemBVFmnFI/AAAAAAAABGI/DAMoKBjW_8k/s1600-h/clip_image018%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkemAfnNObI/AAAAAAAABGA/VngKbvmEiW4/s1600-h/clip_image016%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel_gKYfEI/AAAAAAAABF4/8OjRvkL1EPc/s1600-h/clip_image014%5B3%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel-rGyvLI/AAAAAAAABFw/0cs6rJKO2rA/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel95NtXYI/AAAAAAAABFo/uh5povn9uCo/s1600-h/clip_image010%5B3%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skel8xL1epI/AAAAAAAABFg/tE7Chg7tjpQ/s1600-h/clip_image008%5B3%5D.gifhttp://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-da-formula-do-volume-de.html


70/77

!emonstra#o rmula +olume Pir?mide de Iase Circular

+amos considerar primeiramente um caso particular de pir?mide: o cone.

Considere a rea sombreada sob a curva f( x ) = ax:

Podemos notar que a figura formada um tri?ngulo ret?ngulo com um dos vrtices na origem. ,erotacionarmos este tri?ngulo =26[ em torno do eixox( observamos que a figurar formada um cone comvrtice na origem:

Para encontrarmos o volume deste cone( vamos supor fatias paralelas ao eixo y com largurasinfinitesimais dx e raio y:

184
http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FByxyLuI/AAAAAAAAAv4/JEjnURUSDBY/s1600-h/fx%20ax%20cone%5B4%5D.jpghttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FA7FRW_I/AAAAAAAAAvw/kNldk7RBZh8/s1600-h/triangulo%20ret%5B4%5D.jpg


71/77

O +olume de um Cilindro dado por:

+ ; $b . '

+ ; pi rJ '

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal igual a ye sua altura igual a dx( podemos reescrever afrmula de seu volume como:

Podemos di%er que o cone formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimaisdx( onde o raio yvarivel para cada cilindro. $ soma destes cilindros ser dada pela integral definida:

Wue equivale a di%er:

185
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FIMAwPzI/AAAAAAAAAww/cVQBF12OLXM/s1600-h/clip_image0028%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FHFr-pyI/AAAAAAAAAwo/UtbgwYwzk8w/s1600-h/clip_image0044%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FGYVuocI/AAAAAAAAAwg/A6xPVzXu9KM/s1600-h/clip_image0026%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FFqZ_F4I/AAAAAAAAAwY/iS5mYL33s7Q/s1600-h/clip_image0024%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FE_4NKTI/AAAAAAAAAwQ/Evs4ByZU8Dw/s1600-h/clip_image004%5B4%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FD9FsBZI/AAAAAAAAAwI/hGLb-CzO944/s1600-h/clip_image002%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FDM3QGvI/AAAAAAAAAwA/QsxhNF9brSY/s1600-h/cilindro%20infinitesimal%20dx%202%5B14%5D.jpg


72/77

onde f ( x ) a curva f ( x ) = ax(x0ex1 so os limites da rea sob a curva *o vrtice e o centro da base docone gerado( respectivamente).

emos ento que o volume do cone dado por:

mas f ( x ) = ax( portanto:

8ntegrando em rela#o ax( temos:

mas comox0= 0*origem)( temos:

Hm contrapartida temos que:

,ubstituindo ( II )em ( I )( obtemos:

186
http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FRT-YpgI/AAAAAAAAAyI/Ecdxp1Uq-BQ/s1600-h/clip_image0048%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FQj9LHEI/AAAAAAAAAyA/ZJaBONMvsO8/s1600-h/clip_image00226%5B4%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FP8BC8iI/AAAAAAAAAx4/UPvLFPilKso/s1600-h/clip_image006%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FO2OKTmI/AAAAAAAAAxw/LcR1ZznX2hM/s1600-h/clip_image0046%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FOBGEZcI/AAAAAAAAAxo/Exz1VxExkgI/s1600-h/clip_image00224%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FNNxiVCI/AAAAAAAAAxg/mR135u0Q6LY/s1600-h/clip_image00222%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FMPdiWVI/AAAAAAAAAxY/rgU_DlwG0S0/s1600-h/clip_image00220%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FLXVwdTI/AAAAAAAAAxQ/S1tdH50p4hM/s1600-h/clip_image00218%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FKbgrmMI/AAAAAAAAAxI/YU5ZPxhRF0w/s1600-h/clip_image00214%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FJr11BXI/AAAAAAAAAxA/50ootpcBUSE/s1600-h/clip_image00212%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FIzEYUGI/AAAAAAAAAw4/dfJX5pl5DP8/s1600-h/clip_image00210%5B2%5D.gif


73/77

as y1 o raio da base no cone ex1 sua altura. Hnto podemos reescrever o volume como:

,e a rea da base do cone :

emos que:

Wue a famosa frmula para clculo de volume de uma pir?mide qualquer.

Hxemplo 5: !ado o cone abaixo( calcular seu volume.

Primeiramente( vamos remanejar o cone acima para mel'or entendimento:

187
http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FWgD7obI/AAAAAAAAAy4/jpbrRMCoAb8/s1600-h/cone%20ex22%5B4%5D.jpghttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FVofTMTI/AAAAAAAAAyw/JuJH4zE3vck/s1600-h/cone%20ex11%5B5%5D.jpghttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FU8CfF4I/AAAAAAAAAyo/GRaYn32WfrY/s1600-h/clip_image00232%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FT4vKx0I/AAAAAAAAAyg/VUDQ8YtjdWA/s1600-h/clip_image00230%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FTBVj10I/AAAAAAAAAyY/0r7wD3nqrWs/s1600-h/clip_image00228%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FSY2h6sI/AAAAAAAAAyQ/La50oJ4tYa0/s1600-h/clip_image0064%5B2%5D.gif


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,e utili%armos a frmula pronta para clculo de volume de pir?mide( temos:

Wue o mesmo valor encontrado utili%ando o conceito de integral definida.

emonstrao Jrmula Volume de Esfera

Para esta demonstra#o( utili%amos o conceito de integral definida. +amos supor a circunferQncia abaixo

com centro na origem:

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http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.htmlhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FgJCeEcI/AAAAAAAAA0Q/EDk9GGFYnLo/s1600-h/clip_image006%5B5%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FfX9sr8I/AAAAAAAAA0I/rHgb3znqlJI/s1600-h/clip_image004%5B7%5D%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FepNi28I/AAAAAAAAA0A/lNuVh90NdJE/s1600-h/clip_image002%5B6%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7Fd-9PxuI/AAAAAAAAAz4/7Gaj4o5zMHo/s1600-h/clip_image016%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7Fc608TXI/AAAAAAAAAzw/2OP103ott_s/s1600-h/clip_image014%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FcGtMkVI/AAAAAAAAAzo/orv1E6-VdHk/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7Fbc4mR7I/AAAAAAAAAzg/rmIF6NEr6CU/s1600-h/clip_image010%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FaalGJ6I/AAAAAAAAAzY/Otz06p3iPN8/s1600-h/clip_image008%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FZY0rd9I/AAAAAAAAAzQ/f6f19HCXywk/s1600-h/clip_image006%5B3%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FYlevN4I/AAAAAAAAAzI/fSpEUMoqG3A/s1600-h/clip_image004%5B5%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Sj7FXrtvapI/AAAAAAAAAzA/RPDkE63Eojo/s1600-h/clip_image002%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html


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,e rotacionarmos a circunferQncia em torno do eixox( obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

emos que a equa#o da circunferQncia :

Como a esfera tem centro na origem( temos que a; 0e b; 0( logo:

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http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldeN7uieI/AAAAAAAABHg/REhh0SN99WA/s1600-h/clip_image004%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldcvabWTI/AAAAAAAABHY/lS5j-MKiKBU/s1600-h/clip_image002%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldZt_yrUI/AAAAAAAABHQ/H6inh0GBb4M/s1600-h/clip_image002%5B3%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldX3WlgkI/AAAAAAAABHI/z-yOlsgrHM0/s1600-h/Esfera%202%5B14%5D.jpghttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldSthjC0I/AAAAAAAABHA/Psy4Nkr4oHU/s1600-h/Circunfer%C3%AAncia%202%5B4%5D.jpg


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Para encontrarmos o volume desta esfera( vamos supor fatias de larguras infinitesimais dxe raio y.

O volume do cilindro dado por:

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal igual a dxe seu raio da base igual ay( podemos reescrevera frmula de seu volume como:

Podemos di%er que a esfera formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimaisdx( onde seu raio yvarivel para cada cilindro.

$ soma desses cilindros de alturas infinitesimais dado pela integral definida:

Como:

emos:

190
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld1KGDSJI/AAAAAAAABIY/S1KwmNT5oWE/s1600-h/clip_image002%5B18%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldzRMNUAI/AAAAAAAABIQ/3IMm-qrwhN8/s1600-h/clip_image004%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skldx0RI2gI/AAAAAAAABII/TjD5rGc4GEI/s1600-h/clip_image002%5B16%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skldq8mgY1I/AAAAAAAABIA/rpvDCGUCWKE/s1600-h/clip_image002%5B8%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldqMgyJCI/AAAAAAAABH4/XeVXBxVSV-0/s1600-h/clip_image002%5B14%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skldkte8xxI/AAAAAAAABHw/xGBRtB5ibtA/s1600-h/clip_image002%5B10%5D%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkldhLUI2uI/AAAAAAAABHo/528pVS5noYg/s1600-h/cilindro%20infinitesimal%20dx%202%5B6%5D.jpg


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$plicando a integral:

Wue a famosa frmula para o clculo do volume de uma esfera.

,e derivarmos seu volume em rela#o ao raio r( obtemos sua rea:

crditos'ttp:KKobaricentrodamente.blogspot.comsem eles os extras teriam dado trabal'o
http://obaricentrodamente.blogspot.com/http://obaricentrodamente.blogspot.com/http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkleFd-Ds1I/AAAAAAAABJo/oZ0a3OgOchM/s1600-h/clip_image004%5B10%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkleElfQNrI/AAAAAAAABJg/6IEw67aNns4/s1600-h/clip_image002%5B24%5D%5B2%5D.gifhttp://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkleDsBgHYI/AAAAAAAABJY/hth2r6y1J78/s1600-h/clip_image010%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SkleBXKyixI/AAAAAAAABJQ/PxcVni8FNjw/s1600-h/clip_image008%5B3%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld-5vS2FI/AAAAAAAABJI/hc2-beGUJvE/s1600-h/clip_image006%5B4%5D%5B2%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld9ea6oWI/AAAAAAAABJA/Ot9G8ApweNo/s1600-h/clip_image004%5B8%5D%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld6x1ifkI/AAAAAAAABI4/xow32UvNrRw/s1600-h/clip_image002%5B22%5D%5B2%5D.gifhttp://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld5Bp14xI/AAAAAAAABIw/YqPjg9uXuu0/s1600-h/clip_image006%5B3%5D.gifhttp://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld3kBpRTI/AAAAAAAABIo/hb199YueH_s/s1600-h/clip_image004%5B6%5D%5B2%5D.gifhttp://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/Skld1x0BAvI/AAAAAAAABIg/RhjLg0eIOQY/s1600-h/clip_image002%5B20%5D%5B2%5D.gifhttp://obaricentrodamente.blogspot.com/

geometria espacial facil

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