(6) geometria espacial vi

GEOMETRIA ESPACIAL – VI Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(123) Calcule a área total de um prisma hexagonal regular de 8 m de altura, inscrito numa

esfera de 10 m de diâmetro.

Solução

(124) Em uma esfera de raio R, inscrevemos oitos esferas iguais. Sabendo que cada esfera

tangencia outras três e tangencia a esfera maior, determine os raios das esferas inscritas

considerando que os seus centros são os vértices de um cubo.

Solução

(125) Seis esferas de mesmo raio 4 cm têm por centros os centros das faces de um cubo e

são tangentes exteriormente, cada uma, a outras quatro. Calcule o raio da esfera tangente

exteriormente a essas seis esferas.

Solução


2

(126) No interior de um cubo regular de aresta “a”, existem 9 esferas de mesmo raio “r”. O

centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais

esferas tangencia a esfera e três faces do cubo. Exprima “a” em função de “r”.

Solução

(127) Uma esfera de raio R está colocada em uma caixa cúbica, sendo tangente às paredes

da caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu lugar são colocadas 8 esferas iguais,

tangentes entre si e também às paredes da caixa. Determine a relação entre o volume não

ocupado pela esfera única e o volume não ocupado pelas 8 esferas.


3

Solução

Resposta: Os volumes são iguais.

(128) Calcule o diâmetro da esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base

mede 12 cm e a geratriz 20 cm.

Solução

(129) Determine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral mede

50π cm².

Solução


4

(130) Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:

r = raio da esfera;

R = raio da base do cone;

G = Geratriz

H = altura.

Resolva os problemas:

a) dados G e R, calcule H e r;

b) dados G e H, calcule R e r;

c) dados H e R, calcule g E R;

D) Dados H e r, calcule G e R.

Solução


5

(131) Determine o volume e a área lateral de um cone em função da altura h do cone e do

raio r de uma esfera inscrita nesse cone.

Solução


6

(132) Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com √ cm de geratriz e √

cm de altura. Sabendo que os pontos de tangenciadas geratrizes com a superfície esférica

estão a 3 cm do vértice, calcule o raio da esfera.

Solução

(133) Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da

esfera inscrita e a área total do cone é igual a 4/9.

Solução


7

(134) Determine a altura e o raio da base de um cone de revolução em função do raio da

esfera inscrita r e do raio da esfera circunscrita R, sabendo que a geratriz do cone mede

5r.

Solução


8

(135) Determine o volume de um cone, sabendo que uma esfera de raio inscrita no cone

tangencia-o internamente num ponto P de sua geratriz a uma distância d do vértice do cone.

Solução

(136) Determine a área de uma semiesfera inscrita em um cone equilátero, sabendo que a

base do cone contém o círculo maior da semiesfera e que o raio da base do cone mede 36 m.

Solução

(137) Em um cone inscrevemos uma semiesfera de tal modo que o círculo maior dessa

semiesfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo

que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como 18/5.

Solução


9

(138) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo que a

base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3a e o vértice do cone está no

centro da face oposta.

Solução


10

(139) Em uma pirâmide triangular PABC, as arestas PA, PC e PB são duas a duas

perpendiculares. Sabendo que as arestas AB e BC medem 10 cm e a aresta BP mede 6 cm,

determine o raio da esfera inscrita nessa pirâmide.

Solução


11

(140) Determine a relação entre o volume de uma pirâmide regular hexagonal e o volume de

uma esfera inscrita nessa pirâmide, sabendo que a base da pirâmide e cada face lateral

estão inscritas em circunferências de raio r.

Solução


12

(141) Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo

que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6.

Solução


13

(142) Em uma pirâmide regular hexagonal, cujo ângulo diedro da base mede , inscrevemos

uma esfera de raio r. Determine a relação entre o volume da esfera e o volume da pirâmide.

Solução


14

(143) Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio

unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da secção áurea da

altura daquele cone.

Solução

(144) Dado num plano π um triângulo equilátero ABC de lado l, sobre a perpendicular em A

ao plano π toma-se um ponto D tal que AD = 2 l, Determine a posição do centro e calcule o

raio da esfera circunscrita ao tetraedro ABCD.

Solução


15

(145) Prove que a área total de um cone equilátero inscrito em uma esfera é igual a ¼ da

área total do cone equilátero circunscrito à mesma esfera.

Solução

(146) Determine a área de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de raio R,

sabendo que o volume do tronco é igual ao triplo do volume da esfera.

Solução


16

(147) Um plano secciona uma esfera de raio r, determinando um círculo que é base

de um cilindro e um cone de revolução inscritos nessa esfera. Sabendo que o

cilindro e o cone estão situados num mesmo semiespaço em relação ao plano e que

os volumes do cilindro e do cone são iguais, determine a distância do centro da

esfera ao plano.

Solução


17

(148) É dado um cone circular reto de altura 8 dm, cortado por um plano paralelo à

base, a uma distância 3 dm do vértice. Inscrevendo no tronco de cone que resulta

um tronco de pirâmide hexagonal e sabendo que o raio da base menor do tronco de

cone é 1 dm, calcule o volume do tronco de pirâmide inscrito.

Solução

(149) Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine

a que distância do centro da esfera deve-se traçar um palno paralelo à base do

cone, para que a diferença das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da

base do cone.

Solução


18

(150) Determine o volume de um cone reto, sabendo que seu vértice coincide com o

centro de uma esfera, sua base é circunscrita à base de um cubo inscrito nessa

mesma esfera e que o raio da esfera mede r.

Solução

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