GEOMETRIA ESPACIAL

Axiomas da Geometria Diferencial:

Incidência

• Axioma 𝐼1: Para todo ponto 𝑃 e para todo ponto 𝑄 distinto

de 𝑃, existe uma única reta l que passa por 𝑃 e 𝑄.

• Axioma 𝐼2: Toda reta possui pelo menos dois pontos

distinto.

• Axioma 𝐼3: Existe pelo menos 3 pontos não colineares.

Axioma 𝐼4: Dados três pontos não colineares do espaço,

existe um, e somente um, plano que os contém.

• Axioma 𝐼5:. Se uma reta possui dois de seus pontos em um

plano, ela está contida no plano.

• Axioma 𝐼6: Existe pelo menos 4 pontos não coplanares

• Axioma 𝐼7: Se dois planos possuem um ponto em comum,

então eles possuem pelo menos uma reta em comum.

Teorema 1. Existe um único plano que contém uma reta e

um ponto não pertencente a ela.

• Que combinações de pontos e retas determinam um

plano?

• Como pode ser a interseção de duas retas no espaço?

• E de dois planos?

• E de uma reta e um plano?

Posição de Retas

Como pode ser a interseção de duas retas?

Pelo Axioma 𝐼1, duas retas distintas podem ter no máximo

um ponto comum. De fato, como existe uma única reta que

passa por dois pontos distintos, duas retas que tenham

mais de um ponto comum são obrigatoriamente

coincidentes (isto é, são a mesma reta).

Quando duas retas têm exatamente um ponto comum, elas

são chamadas de concorrentes.

Proposição: Duas retas concorrentes determinam um único

plano.

De fato, seja P o ponto de interseção das retas r e s.

Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de

P. Os pontos P, R e S são não colineares; portanto,

determinam um único plano , que certamente contém r e

s, já que essas retas têm dois de seus pontos em .

Já quando duas retas não possuem ponto em comum, elas

podem ou não determinar um plano. Consideremos a

situação da figura abaixo, que mostra três pontos não

colineares A, B e C, que determinam um plano , um ponto

D exterior a , e as retas r e s, definidas por A e B e por C e

D, respectivamente. É claro que não existe nenhum ponto

comum a r e s.

Note que s só tem o ponto 𝐶 em comum com ; se tivesse

um outro ponto comum, 𝑠 teria que estar contida em , o

que é impossível, já que 𝐷 é exterior a . Por outro lado,

não existe nenhum plano que contenha, simultaneamente,

𝑟 e 𝑠. Basta observar que é o único plano que passa por

𝐴, 𝐵 e 𝐶 e que 𝐷 não pertence a este plano. Retas como 𝑟

e 𝑠 são chamadas de retas não-coplanares ou reversas.

Retas reversas sempre possuem interseção vazia.

Mas duas retas do espaço podem não ter pontos de

interseção e serem coplanares. Neste caso, dizemos

que as retas são paralelas. Sabemos, da Geometria

Plana, que por um ponto do plano exterior a uma reta

passa uma única reta paralela a ela. O mesmo ocorre

no espaço. Isto é,

Por um ponto 𝑃 exterior a uma reta 𝑟 do espaço passa

uma única reta 𝑠 paralela a ela.

De fato, seja 𝑟 uma reta do espaço e seja 𝑃 um ponto não

pertencente a 𝑟 . Como vimos, existe um único plano que

contém 𝑃 e 𝑟; nesse plano, existe uma, e somente uma, reta

𝑠 paralela a 𝑟 passando por 𝑃. Por outro lado, não existem

retas paralelas a 𝑟 passando por 𝑃 que não estão contidas

em , já que todas as retas coplanares com r passando por 𝑃

estão contidas em . Assim, a reta 𝑠 é a única reta do espaço

que contém 𝑃 e é paralela a 𝑟.

Em resumo, duas retas distintas do espaço estão em um dos

casos dados no quadro abaixo:

Posição Relativa de Reta e Plano

A pergunta agora é: como pode ser a interseção de uma

reta e um plano? Pelo Axioma 𝐼5, se uma reta r possui dois

ou mais pontos pertencentes a um plano , todos os seus

pontos estarão em ; isto é r estará contida em .

Um outro caso possível é aquele em que r tem apenas um

ponto em comum com (dizemos nesse caso que r é

secante a ).

Finalmente, uma reta pode não ter pontos em comum com

um plano (dizemos que a reta e o plano são paralelos).

Seja um plano, 𝑟 uma reta contida em e 𝑃 um ponto

exterior a . A reta s, paralela a r passando por 𝑃, é

paralela a . De fato, seja o plano definido por 𝑟 e 𝑠. Se

s não fosse paralela a , a interseção de 𝑟 e seria um

ponto 𝑄 não pertencente a 𝑟, já que 𝑟 e 𝑠 são paralelas.

Mas isto faria com que os planos distintos e tivessem

em comum a reta 𝑟 e o ponto exterior 𝑄 , o que é

impossível.

Em resumo, uma reta 𝑟 e um plano podem estar em um

dos casos a seguir:

Posição Relativa de Dois Planos

Obtemos uma classificação para a posição relativa de dois

planos procurando responder à pergunta: como pode ser a

interseção de dois planos distintos? O primeiro resultado é

a seguinte:

• Proposição: Se dois planos distintos possuem mais de

um ponto em comum, sua interseção é uma reta (neste

caso, dizemos que os planos são secantes).

• De fato, se os pontos P e Q são comuns a e , então,

pelo Axioma 𝐼5, a reta r definida por P e Q está contida,

simultaneamente, em e e, portanto, em sua

interseção. Por outro lado, se houvesse um ponto R

comum a e que não pertencesse a r, os planos e

seriam coincidentes, já que r e R determinam um único

plano. Logo, r é a interseção de e .

A próxima possibilidade a ser considerada é a de dois

planos terem exatamente um ponto em comum. Esta

possibilidade é descartada pelo Axioma 𝐼7.

Resta-nos apenas mais uma possibilidade: a de que os

planos sejam paralelos (isto é, não possuam pontos

comuns). Mas existem realmente planos que não tenham

ponto em comum?

Construção de um plano paralelo a um plano dado.

Seja 𝑃 um ponto exterior ao plano . Tomemos duas retas

concorrentes 𝑟 e 𝑠 em . Sejam 𝑟´ e 𝑠´ as paralelas a 𝑟 e 𝑠

passando por 𝑃. Estas retas determinam um plano , que

é, como vamos provar, paralelo a .

Suponhamos que não seja paralelo a . Então e

possuem uma reta de interseção 𝑡. As retas 𝑟´, 𝑠´ e 𝑡 são

coplanares. Por outro lado, as retas 𝑟´ e 𝑠´ não podem ser

ambas paralelas a 𝑡 . Logo, pelo menos uma delas

(digamos 𝑟´ ) é concorrente com 𝑡 e, portanto, secante a .

Mas como 𝑟´ é paralela a uma reta de , resulta que 𝑟´ é

paralela a . Temos, portanto, uma contradição, o que

demonstra que e são paralelos.

A construção acima mostra como construir um plano

paralelo a passando pelo ponto exterior 𝑃.

O quadro abaixo resume as situações possíveis para a

posição relativa de dois planos distintos e :

PLANOS, TEOREMA DE

TALES, SÓLIDOS

Com as propriedades já estabelecidas, podemos, já nesse

ponto, construir nossos primeiros sólidos. A maior parte

dos livros didáticos para o Ensino Médio adia a

apresentação dos sólidos clássicos (prismas, pirâmides,

esfera, etc) para mais tarde, quando se ensina a calcular

áreas e volumes desses sólidos.

Nada impede, no entanto, que eles sejam apresentados

mais cedo, de modo a colaborar na fixação dos conceitos

fundamentais, já que exemplos muito mais ricos de

situações envolvendo pontos, retas e planos podem ser

elaborados com seu auxílio.

Pirâmide

Consideremos um prisma triangular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 . Quantos

planos distintos são determinados por um subconjunto dos

6 vértices do paralelepípedo?

Descobrindo Relações de Paralelismo

Vamos tomar um paralelepípedo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e observar

algumas relações de paralelismo entre as retas e planos lá

presentes.

Planos Paralelos e Proporcionalidade Teorema 1(Teorema de Tales para Planos Paralelos) Um

feixe de planos paralelos determina segmentos

proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer.

Construção de Pirâmides Semelhantes