(5) geometria espacial v

GEOMETRIA ESPACIAL - V Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(101) Dada uma esfera de 6√ m de diâmetro, considere o octaedro regular nela inscrito,

bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas

duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2. Calcule a área da secção que

o plano considerado produz no octaedro regular.

Solução

(102) Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo

tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros.

Solução


2

(103) O segmento AB de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a

área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do

octaedro dado.

Solução

(104) Dados um cubo e um tetraedro regular nele inscrito, considere o plano que contém o

centro do cubo e que é paralelo a uma das faces do tetraedro. Calcule a razão entre as áreas

das secções que esse plano produz nos dois sólidos dados.

Solução


3

(105) Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as

áreas laterais desses dois sólidos?

Solução


4

(106) Determine o volume de um cilindro de revolução circunscrito a um prisma triangular de

12 cm de altura, sendo a base do prisma um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice mede

30°, sendo 5 cm a medida da base do triângulo.

Solução

(107) O raio de um cone é igual ao raio de uma esfera de 144π cm² de superfície, a geratriz

é os 5/3 do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sólidos e o volume da

pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone.

Solução


5

(108) Determine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do

paralelepípedo reto-retângulo de dimensões “a”, “b” e “c”.

Solução

(109) Calcule o volume de um cubo inscrito numa pirâmide quadrangular regular a 6 m de

altura e 3 m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as arestas da

pirâmide.

Solução


6

(110) Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre a base

um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadrado de lado “a”.

Calcule o lado da base da pirâmide.

Solução

(111) Um prisma quadrangular regular de 12√ m² de área lateral está inscrito num octaedro

regular de 32 √ m² de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices

pertencem a arestas do octaedro.

Solução


7

(112) Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas as arestas

e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num

mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do

paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de a, b,

c.

Solução


8

(113) Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro

equilátero circunscrito a esse octaedro.

Solução

(114) Um vaso cilíndrico cujo raio da base é “r” e cuja altura é 2r está cheio de água.

Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do

cilindro. Há transbordamento de água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da

coluna de água?

Solução


9

(115) Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de

revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.

Solução

(116) É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. Inscreva um cilindro de modo

que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base

superior do cilindro.

Solução


10

(117) Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um cone

menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo

que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.

Solução

(118) Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e apótema G, de modo que a área lateral

do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base

do cilindro e a do cone.


11

Solução

(119) Um cilindro de revolução tem raio r E ALTURA 2r.No seu interior constroem-se dois

cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base

oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones.

Solução

(120) Um cone e um cilindro têm um a base comum, e o vértice do cone e encontra no centro

da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pelo eixo do cone e sua

geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do cone estão entre si como 7/14.


12

Solução

(121) Em uma vasilha de forma cilíndrica colocamos uma esfera de raio R. Sabendo que o raio

da base da vasilha mede r, responda: Em quanto se eleva o nível da água contida na vasilha,

sabendo que a esfera está totalmente submersa na água?

Solução


13

(122) Inscreva um cilindro circular reto de área lateral πa² numa esfera de diâmetro “d”.

Solução

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