Com a abolição das distâncias, os homens passaram a se reconhecer uns aos outros como irmãos...No plano moral nossa sociedade avança tateando. Suas prioridades parecem mal-orientadas. Os problemas de espaço preocupam mais que a procura ética... A matéria a interessa mais que o coração do homem. Este, por sua vez, passeia sobre a Lua, mas não se aproxima de seus semelhantes. Explora as profundezas do oceano e os limites do Universo, porém o seu vizinho mais próximo é para ele um desconhecido.

Elie Wiesel

INTRODUÇÃO

Vamos pensar na função f de R em R definida pela lei f(x) = x + 1. Então f leva cada real x ao número x + 1.

Em seguida, pensemos na função g de R em R definida pela lei g(x) = x2. Sabemos que g leva cada real x ao número x2.

Qual será o resultado final se tomarmos um x real e a ele aplicarmos sucessivamente a lei de f e a lei de g?

Teremos:

x x + 1 (x + 1)2f gsomar 1 quadrar

O resultado final é que x é levado a (x + 1)2. Essa função h de R em R, que leva x até (x + 1)2 é chamada composta de g com f. Indica-se h = gof (lê-se “g bola f”), tal que h(x) = gof(x) = g(f(x)).

DEFINIÇÃO:

Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f:AB e g:B C.

A função h:A C tal que h(x) = g(f(x)) é chamada de função composta de g com f.

Esquematicamente, temos:

x f(x) g(f(x))

f g

h = g o f

A B C

NOTA: A composta é uma função que faz o papel de duas funções.

• A população de sapos de um certo ambiente depende da população de cobras.

• A população de cobras depende da população de gaviões.

• Se aumentar o número de gaviões o que acontecerá com a população de cobras?

• Se aumentar o número de gaviões, o que acontecerá com a população de sapos?

• É possível estimar a população de sapos conhecendo somente a população de gaviões?

Fazendo uma analogia:

FUNÇÃO COMPOSTA

Aplicação

Exercício resolvidoDados

y = 3x – 4,

x = 2t + 5 e

t = k2 + 4. Pede-se:

a) x em função de k.

b) y em função de t.

c) y em função de k.

Resolução:

a) x = 2(k2 + 4) + 5 x = 2k2 + 13

b) y = 3(2t + 5) – 4 y = 6t + 11

c) y = 6(k2 + 4) + 11 y = 6k2 + 35

Exercício propostoSendo y = 2x + 1; x = k – 4 e k = 3t – 3, pede-se:

a) O valor de y se t = 2.

b) Escreva x em função de t.

c) Escreva y em função de k.

d) Escreva y em função de t.

Aplicação:Uma chácara de área z foi dividida em 10 lotes, todos de forma quadrada de lado x e área y. Escreva a fórmula matemática que expresse:

(A)y em função de x.

(B) z em função de y.

(C)z em função de x.

(A)y = x2

(B)z = 10y

(C) z = 10x2

Lado x e área y.

Observe que y = x2, pois a figura é quadrada.

Aplicação: Para um quadrado de lado , perímetro P e diagonal D, faça o que se pede:

(A)Escreva P em função de .

(B) Escreva D em função de .

(C)Escreva P em função de D.

4P

2D

DPD

PP 222

244

Observe que:

-O perímetro é uma função do lado.

-A diagonal é uma função do lado.

-O perímetro pode ser escrito como uma função da diagonal e vice-versa.

Isto quer dizer que dado o perímetro, podemos calcular a diagonal sem sabermos a medida do lado.

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

Seja a medida do lado de um quadrado, S a medida de sua área e P a medida do perímetro desse quadrado. Pede-se:

a) Escreva S = f()

b) Escreva = f(S)

c) Escreva P = f(S)

d) Escreva S = f(P)

Respostas:

a) S() = 2

b) (S) = S

c) P() = 4 P(S) = 4 S

d) P2 = 16S S(P) = P2/16

Exercício propostoPara uma circunferência, considere:

R = medida do seu raio; D = medida do diâmetro

C = medida do comprimento; S = área do círculo associado.

Pede-se:

a) Escreva R em função de D;

b) Escreva C em função de R e de D;

c) Escreva S em função de R e de D;

d) Escreva S em função de C.

Como encontrar a composta de duas funções reais?

Dadas as duas funções, por exemplo, f e g, através de suas fórmulas:

-Se for pedido f(g(x)):chegamos a f(g(x)) a partir de f(x), trocando-se x por g(x) .

-Se for pedido g(f(x)): no lugar do x da função g, colocamos f(x).

-Exemplo: f(x) = 3 x + 4 e g(x) = 2 x – 1, funções reais.

Assim: f(g(x)) = 3g(x) + 4 [O x da função f passa a ser g(x)]

f(g(x)) = 3(2 x – 1) + 4 [Substituímos g(x) por sua fórmula.]

f(g(x)) = 6 x + 1 [Reduzimos os termos semelhantes.]

- Como atividade, encontre g(f(x)).

Mais exemplos:1) f(x) = x – 1 e g(x) = 5 x + 4.

f(g(x)) = g(x) – 1 g(f(x)) = 5f(x) + 4

f(g(x)) = (5 x + 4) – 1 g(f(x)) = 5(x – 1) + 4

f(g(x)) = 5 x + 3 g(f(x)) = 5 x – 1

2) f(x) = x2 e g(x) = x + 1

f(g(x)) = [g(x)]2 g(f(x)) = f(x) + 1

f(g(x)) = (x + 1)2 g(f(x)) = x2 + 1

f(g(x)) = x2 + 2 x + 1

3. Sejam f e g funções tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = x – 2, determine:

(a) f(g(5)) (c) f(g(x))

(b) g(f(-2)) (d) g(f(x))

-)) g(f(-

x - f(x)) g( - -) g(-)) g(f(-

) - x ( -) f(-

) x g(f(x)) d) g( )(- ) b) f(-

)) f(g(

x - (g(x)) f )() f()) f(g(

) (x- ) g(

)f(x-)) c) f(g(x - )a) g(

72

132552

21352

131232

105

5313335

12335

2255

Exercício propostoDadas as funções reais de variável real, definidas por

f(x) = 2 x + 3 e g(x) = 3 x – 2, pede-se:

a) f(2)

b) g(3)

c) g(f(2))

d) f(g(3))

e) f(g(x))

f) g(f(x))

4. Sejam as funções f e g reais definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 3x – 2, e a pertencente a R. Determine a a fim de que, para todo x real, f(g(x)) = g(f(x)).

f(g(x)) = f(3x – 2)

f(g(x)) = 2(3x – 2) + a

g(f(x)) = g(2x + a)

g(f(x)) = 3(2x + a) – 2

Logo, 2(3x – 2) + a = 3(2x + a) – 2

6x – 4 + a = 6x + 3a –2

– 2a = 2

a = – 1

Resposta: a = – 1.

Exercício propostoDadas as funções reais definidas por f(x) = 3 x + 2 e g(x) = 2 x + a, determine o valor de a de modo que se tenha f o g = g o f.

Exercícios propostosSe f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que f o g(x) = g o f(x).

Se f(x) = xe g(x) = 3 x + 4, encontre g(f(-2)).

Até aqui, demos funções e pedimos sua composição.

Também, aplicamos valor a uma delas e o resultado, na outra.

Outro tipo de exercício consiste em apresentar uma função e sua composta com outra função. Daí, pede-se a função desconhecida.

Exemplo: f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = 6 x + 1. Qual foi a função que colocada no lugar do x da função f e, feitos os cálculos, chegou-se a 6 x + 1?

Vamos derramar luzes sobre este tipo de exercício.

Siga.

5. Sejam f e g funções reais tais que g(x) = – 4x + 2 e g(f(x)) = –12x –18. Obtenha f(x).

g(x) = – 4x + 2

g(f(x)) = –4f(x) + 2

Então, –4f(x) + 2 = –12x – 18

–4f(x) = –12x – 20

4f(x) = 12x + 20 (Multipliquemos ambos os membros por ¼ )

f(x) = 3x + 5Resposta: f(x) = 3x + 5.

Exercício propostoSejam as funções reais f(x) = 3 x – 5 e f(g(x)) = x2 – 3. Determine a lei da função g.

6. Sabendo que f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, obtenha g(x).

Resolução:g(3x + 5) = 3x + 3

Fazendo 3x + 5 = t

3x = t – 5

x = t –53

2)(

35)(

33

53)(

ttg

ttg

ttg

Conclusão: g(x) = x – 2 .

Calcule f(x) sabendo que f(2x – 1) = 3x + 2.

Façamos t = 2 x – 1.

Assim, x = ½ (t+1)

Voltando à função: f(t) = 3[ ½(t + 1)] + 2

f(t) = 3t/2 + 7/2. Podemos trocar t por x.

f(x) = 3x + 7

2

Exercício proposto Dados o diagrama seguinte e as funções f:AB e g:B C, determine:

1 •

2 •

3 •

• 4

• 5

• 6

• 7

• 8

• 9

• 10

• 11

• 12A B C

fg

a) Os pares ordenados de g[f(x)]

b) f(3) = , g(5)= e g[f(2)] =

c) Os domínios de f, g e de g[f(x)]

d) As imagens de f, g e de g[f(x)].

Exercício propostoConsiderando a função f:RR, definida por f(x) = 5x + 2, calcule a e b sabendo que f(a) = b e f(b) = 36a + 1.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Dadas as funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, resolva a equação

)0(

)2(

)]2([

)()1(

f

f

gf

xgf

Resolução: Calculemos, inicialmente, f(1), g(2), f[g(2)], f(2) e f(0), que representam números reais.

f(1) = 12 – 5(1) + 6 = 2

g(2) = 2(2) + 1 = 5 e f[g(2)] = f(5) = 52 – 5(5) + 6 = 6

f(2) = 22 – 5(2) + 6 = 0

f(0) = 02 – 5(0) + 6 = 6. Substituindo na equação, vem:

2

10122

6

0

6

)12(2

xx

x

Resposta: S = { ½ }

7. (Unicap – PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p – 1 ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes. Daqui a t anos, a população será de p(t) = 10 + 0,1t2.

(a) Atualmente, qual é a taxa de monóxido no ar?

(b) Qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a 4 anos?

(c) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido será de 9 ppm?

(d) Determine o nível de monóxido em função do tempo.

Roteiro para resolução:

(a) Tomar t = 0, calcular p(0) e C(p(0)).

(b) Idem t = 4.

(c) Calcular p para C = 9; calcular t para o valor de p encontrado.

(d) Obter a função C(10 + 0,1t2).

Exercício resolvido

Encontre f(x) em cada caso:

a) f(x – 2) = x + 3. Adicionando 2 a x – 2, vamos fazer o mesmo com o x no segundo membro. f(x – 2 + 2) = x + 2 + 3 f(x) = x + 5.

b) f(x + 3) = x2 – 1 f(x + 3 – 3) = (x – 3)2 – 1 f(x) = x2 – 6x + 8.

c) f(2x + 2) = 3x – 1 f(x) = 3[ ½ (x – 2)] – 1 f(x) = 3/2 x – 4 .

d) f( ½ x – 4) = 2x + 1 f(x) = 2(2x + 8) + 1 f(x) = 4x + 17.

FUNÇÃO COMPOSTA

Testes

1. (PUC – SP) Sendo f(x) = x3 + 1 e g(x) = x – 2, então g(f(0)) é igual a:

a) 1

b) 3

c) 0

d) 2

e) –1

2. (Faap – SP) Dadas as funções reais f(x) = 2 – 3x e g(x) = 3x + k, determine o valor de k de modo que f[g(x)] = g[f(x)].

3. (UFMG) Considere a função definida por

Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é:

a) 1/3

b) 1

c) 3

d) 5

e) 9

.4 se ,4

41 se ,5

11 se ,3

)(

xx

x

x

xf

x

4. Dadas as funções reais de variável real f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 2, determine:

a) (g o f)(5) =

b) (f o g)(5) =

c) (g o f)(x) =

d) (f o g)(x)

5. Seja f uma função real de variável real tal que f(2x + 6) = 14x – 1. Determine:

a) f(10)

b) f(2)

c) f(x)

Resolução:

a) Façamos 2x + 6 = 10, onde resulta x = 2.

Assim, f(10) = 14(2) – 1 f(10) = 27.

b) Tomando 2x + 6 = 2, vem que x = – 2.

Assim, f(2) = 14(– 2) – 1 f(2) = – 29

c) De t = 2x + 6, resulta x = ½ (t – 6)

Portanto, f(t) = 14. ½ (t – 6) – 1

f(t) = 7t – 43

Logo, f(x) = 7x – 43.

6. Sendo f uma função real de variável real tal que f(x3) = 2x + 1, determine:

a) f(8)

b) f(-1)

c) f(x)

7. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f(x) = x + 1 e g(x) = x4 – 1. Resolva a equação (g o f)(x) = 0.

Resolução:

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1)

= (x + 1)4 – 1 (Não esquecer: substituímos o x da função g pela função f.)

Assim, temos (x + 1)4 – 1 = 0 (pois a composta deve ser nula)

(x + 1)4 = 1

x + 1 = 1x = 0 ou x = – 2 .

Resposta: S = {– 2, 0}

8. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f(x) = 2x + 5 e g(x) = x2 – 49. Determine as raízes da equação g[f(x)] = 0.

9. Sejam f, g e h três funções reais de variável real tais que f(x) = 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x2 – 1. Determine:

a) [(h o g) o f](1)

Calculemos f(1): f(1) = 2(1) + 1f(1) = 3

Calculemos g[f(1)] = g(3): g(3) = 3 + 2 = 5.

Calculemos h[g(3)] = h(5): h(5) = 52 – 1 h(5) = 24. Resposta.: 24

b) [(h o g) o f](0)

c) [(h o g) o f](x)

10. (UFRN) A imagem da função f:RR, definida por

contém o elemento:21

1)(

xxf

a) –2

b) 0

c) ½

d) 2

e) 5

11.(Cesgranrio) Se , então f(– ½ ) é:1)(

24

x

xxxf

8

5)

32

5)

8

5)

32

5)

24

5)

e

d

c

b

a

Exercício resolvido:

.2

5 com ,

52

2))((

2

)2(211

))((

22

11

))((2)(

1))((

:Resolução

f(f(x)). encontre 2, x com ,2

1)(por definida f, real função a Dada

xx

xxff

x

xxff

x

xffxf

xff

xxf

12.(PUC – SP) Se , o valor de x, de modo que f[f(x)] = 1, ......é: 1

1)(

xxf

a) 1,0

b) 2,0

c) 1,5

d) -1,0

e) -1,5

13. (UFSE) Se a função f:RR é definida por f(x) = 2x, então ......f(f(x)) é igual a:

a) 4x2

b) 4x

c) x

d) 2x

e) 2x2

14. (Cesgranrio) Sejam f e g duas funções definidas em R por .......f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O valor de g o f (3) é:

a) –1

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

15. (PUC – SP) se f(x) = 3 x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:

a) –2

b) 0

c) 1

d) 3

e) 5

16.(UFMG) Sendo P(x) = a x + b, o valor da expressão

.....P(x + 1) – P(x) é:

a) a + 1

b) a x

c) a(x + 1)

d) a + b

e) a

17. (U. Mack) Se f(g(x)) = 2 x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é:

a) –2

b) 2

c) 0

d) 6

e) 14

Resolução:

Se f(x – 2) = x + 2, então f(x) = x + 4

Assim, f(g(x)) = g(x) + 4 = 2x2 – 4x + 4

g(x) = 2x2 – 4x

g(2) = 2(2)2 – 4(2)

g(2) = 0 (Letra c)

18. (UFRN) Seja f uma função real de variável real. Se

f(x + 3) = x2 + 2, então f(– 1) é igual a:

a) 12

b) 18

c) 24

d) 30

e) 36

19. (UA – AM) Se f e g são funções, tais que f(x) = 2x – 3 e f[g(x)]=x, então g(x) é igual a:

a) ½ (x + 3)

b) 3x + 2

c) (2x – 3)-1

d) 2x + 3

20. (PUC – SP) Sendo f(x) = 3x – 2, g(x) = 2x + 3 e b = f(a), então g(b) vale:

a) 6a – 4

b) 5a + 1

c) 3a – 2

d) 6a – 6

e) 5a – 2

21. (Mack – SP) Se f(x) = 3 e g(x) = x2, então f(g(x)) é igual a:

a) 9

b) 3

c) 3x2

d) 9x2

e) x2

EXERCÍCIO RESOLVIDO(UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine o valor de f(0).

Resolução:

Façamos x = 0: f(0 + 1) = 2f(0) – 15

f(1) = 2f(0) – 15 43 = 2f(0) – 15

2f(0) = 43 + 15

f(0) = 29

Resposta: f(0) = 29.

EXERCÍCIO PROPOSTO(UFMG) Uma função f:RR é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é:

a) 3

b) 5

c) 15

d) 25

e) 45