A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof. 

Exemplo 1 

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos: 

a) g o f 

(g o f)(x) = g(f(x)) 

g(x) = x² + 5 g(4x) = (4x)² + 5 g(4x) = 16x² + 5 

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5 

b) f o g 

(f o g)(x) = f(g(x)) 

f(x) = 4x f(x² + 5) = 4 * (x² + 5) f(x² + 5) = 4x² + 20 

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20 

Exemplo 2 

Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1. 

(g o f)(x) = g(f(x)) 

g(x) = 4x² – 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1 g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1 g(x + 2) = 4x² + 16x + 15 

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15 

(f o g)(x) = f(g(x)) 

f(x) = x + 2 f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2 f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2 f(4x² – 1) = 4x² + 1 

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1 1 - FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -

1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x .

Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .

d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3Explicitando y em função de x, vem:2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exercício resolvido:A função f: R ® R , definida por f(x) = x2 :a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Ö xb) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Ö xc) não é inversíveld) é injetorae) é bijetora

SOLUÇÃO:Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, 

f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C.

2 - FUNÇÃO COMPOSTA

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:

Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .

Exemplo:Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).Teremos:gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3Observe que fog ¹ gof .

Exercícios resolvidos:

1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd 

d) ad = bc e) a = bc

SOLUÇÃO:Teremos:fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + bgof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:ad + b = cb + dad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .

2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 *d) 5 - 2x e) uma função par.

SOLUÇÃO:Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2uPortanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

Agora resolva esta:

Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:*a) -1/3 b) 1/3 c) 0 

d) 1 e) -1

Entenda SistemasNas equações de 1º grau, cada equação tinha uma incógnita, em geral representada pela letra x. Sabemos também que qualquer equação com duas incógnitas (x e y) não pode ser resolvida porque, para cada valor de x, podemos calcular um valor diferente para y. Por exemplo, na equação 2x + y = 20, se fizermos x = 3 e x = 6 então teremos, respectivamente:

2 · 3 + y = 20 ; y = 20 - 6 = 142 · 6 + y = 20 ; y = 20 - 12 = 8

e assim por diante. 

Sistemas Matemáticos

Vemos então que, para saber os valores corretos de x e y precisamos de uma outra informação a respeito das nossas incógnitas. Se conseguimos obter duas equações a respeito das mesmas incógnitas, temos um sistema.

Por exemplo:

2x + y = 203x - y = 10

é um sistema de duas equações nas incógnitas x e y. É possivel resolver esse sistema, ou seja, é possivel descobrir quais são os valores de x e y que satisfazem às duas equações simultaneamente.

Você pode verificar que x = 6 e y = 8 é a solução do nosso sistema, substituindo esses valores nas duas equações, temos:

2 · 6 + 8 = 203 · 6 - 8 = 10

Nesta aula vamos aprender a resolver sistemas de duas equações com duas incógnitas.

Mas, antes, vamos perceber que, para serem resolvidos, muitos problemas dependem dos sistemas.

Sistemas aparecem em problemas 

Para que você perceba que os sistemas aparecem em problemas simples,

Imagine a situação a seguir.

Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo comum, que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos aindam estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:

- Que idade vocês têm?Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:- Nós temos 72 anos.A conversa, então, segue assim:José - Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e você certamente não chegou aos 50.Pedro - Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos juntos 72 anos.José - Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês têm. Mas, pela sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um.Pedro - É claro que não. Você tem duas coisas desconhecidas e apenas uma informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, aí sim, você determina nossas idades. José - Diga.Pedro - Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre elas. Com a ajuda da matemática, você poderá saber nossas idades.

Vamos pensar um pouco no sistema apresentado. José tem duas coisas a descobrir: a idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas são suas incógnitas.

Podemos então dar nomes a essas incógnitas:

idade de Pedro = xidade de Paulo = y

A primeira informação que temos é que os dois juntos possuem 72 anos.

Então, nossa primeira equação é:x + y = 72

A outra informação que temos é que a idade de Pedro é o dobro da idade de Paulo. Com isso, podemos escrever a nossa segunda equação:

x = 2y

Essas duas equações formam o nosso sistema:

x + y =72x =2y

Esse sistema, por simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma técnica especial. Se a segunda equação nos diz que x é igual a 2y, então substituiremos a letra x da primeira equação por 2y. Veja.

x+y = 722y+y = 723y = 723y/3 = 72/3y = 24

Como x = 2y, então x = 2 · 24 = 48. Assim, concluimos que Pedro tem 48 anos e que Paulo tem 24.

Nem sempre os sistemas são tão simples assim. Nesta aula, vamos aprender dois métodos que você pode usar na solução dos sistemas.

O Método da Substituição

O sistema do problema que vimos foi resolvido pelo método da substituição.

Vamos nos deter um pouco mais no estudo desse método prestando atenção na técnica de resolução.

Agora, vamos apresentar um sistema já pronto, sem a preocupação de saber de onde ele veio. Vamos, então, resolver o sistema:

3x + 2y= 224x - y = 11

Para começar, devemos isolar uma das letra em qualquer uma das equações.Observando o sistema, vemos que o mais fácil é isolar a incógnita y na segunda equação; assim:

4x - y =11- y =11 - 4x - y =-11 + 4x

Isso mostra que o valor de y é igual a 4x - 11. Assim, podemos trocar um pelo outro, pois são iguais. Vamos então substituir y por 4x - 11 na primeira equação.

3x + 2y = 223x + 2(4x - 11) = 22

Temos agora uma equação com uma só incógnita, e sabemos o que temos de fazer para resolvê-la:

3x + 2(4x - 11) = 223x + 2 · 4x - 2 · 11 = 223x + 8x = 22 + 2211x = 4411x/11 = 44/11x = 4

Já temos o valor de x. Repare que logo no inicio da solução tínhamos concluido que y = - 11 + 4x. Então, para obter y, basta substituir x por 4.

y = - 11 + 4xy = - 11 + 4 · 4y = - 11 + 16y = 5

A solução do nosso sistema é, portanto, x = 4 e y = 5.

Observações - Ao resolver um sistema, é sempre aconselhável conferir a resposta encontrada para ver se não erramos na solução. Os valores de x e de y encontrados estarão certos se eles transformarem as duas equações em igualdades verdadeiras.

3x + 2y = 224x - 0y = 11 x = 4, y = 53 · 4 + 2 · 5 = 22 4 · 4 - 5 = 11 

Tudo confere. Os valores encontrados estão corretos.

Outra coisa que desejamos esclarecer é que isolamos a incógnita y na segunda equação porque isso nos pareceu mais simples. No método da substituição, você pode isolar qualquer uma das duas incógnitas em qualquer das equações e, depois, substituir a expressão encontrada na outra equação.

O Método da Adição

Para compreender o método da adição, vamos recordarinicialmente o que significa somar duas igualdades membro a membro. Se temos:

A = BeC = D

Podemos somar os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir:

A + C = B + D

Considere agora o seguinte problema.

“Encontrar 2 números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.”

Para resolvê-lo, vamos chamar nossos números desconhecidos de x e y. De acordo com o enunciado, temos as equações:

x + y = 27x - y = 3 

Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equações:

x + y = 27x - y = 03 +x + x + y - y = 27 + 32x = 302x/2 = 30/2x = 15

Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em qualquer uma das equações. Por exemplo, na segunda:

15 - y = 3- y = 3 - 15- y = - 12y = 12

A solução do nosso problema é, portanto, x = 15 e y = 12.

O método da adição consiste em somar membro a membro as duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. No sistema que resolvemos, a incógnita y foi eliminada quando somamos membro a membro as duasequações. Mas isso freqüentemente não acontece dessa forma tão simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes de somar.

Vamos mostrar a técnica que usamos resolvendo o seguinte sistema:

8x + 3y = 215x + 2y = 13

Para começar, devemos escolher qual das duas incógnitas vamos eliminar.

Por exemplo, o y será eliminado.

Observe que, multiplicando toda a primeira equação por 2 e toda a segunda equação por 3, conseguimos tornar os coeficientes de y iguais.

Para que o y seja eliminado, devemos trocar os sinais de uma das equaçõese depois somá-las membro a membro.

Veja:

Em seguida, substituimos esse valor em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, na primeira.

8 · 3 + 3y = 21 24 + 3y = 213y = 21 - 243y = - 33y/3 = -3/3y = - 1

A solução do nosso sistema é, portanto, x = 3 e y = -1

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 

Método da substituição Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 

Dado o sistema   , enumeramos as equações. 

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 

x + y = 20 x = 20 – y 

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 

 3x   +   4 y   = 72 3 (20 – y) + 4y = 72  60-3y + 4y  = 72  -3y + 4y   =   72 – 60       y = 12 

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na

equação x = 20 – y. x = 20 – y x = 20 – 12 x = 8 

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 

Método da adição 

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 

Dado o sistema: 

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 

Agora, o sistema fica assim: 

Adicionando as duas equações: 

       - 3x – 3y = - 60 +     3x + 4y = 72  

                 y   = 12 

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 

x + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 – 12 x = 8 

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.

2 – Produto cartesiano 

Produto cartesiano é o conjunto formado por pares ordenados. 

Considere M e N como dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados é

o produto cartesiano de M e N. 

Esse conjunto é indicado por: 

Lê-se: M por N 

representação do conjunto formado por todos os pares ordenados (x; y) com x ∈

M e y ∈ B. 

Simbolicamente, temos: 

Se M = ∅ ou N = ∅, nesse caso M x N = ∅. 

Exemplo: 

Se A = {4, 5, 6} e B = {1, 3}, então: 

A x B = {(4,1) (4, 3) (5, 1) (5, 3) (6, 1) (6, 3)} 

B x A = {(1, 4) (1, 5) (1, 6) (3, 4) (3, 5) (3, 6)} 

B x B = B2 = {(1, 1) (1, 3) (3, 1) (3, 3)}

Um par ordenado é formado pelos valores de x e y agrupados, os quais determinam pontos no plano cartesiano. A coordenada (x, y) indica que os valores de x estão atribuídos à abscissa (eixo x) e os valores de y à ordenada (eixo y). Produto cartesiano é a multiplicação entre pares ordenados envolvendo conjuntos distintos. Por exemplo, temos o conjunto “A” formado pelos seguintes pares ordenados {1, 2, 3, 4} e o conjunto “B” formado pelos elementos {2, 3}, o produto entre eles será o resultado de A x B, considerando que nos pares ordenados, formados pelo produto, a ordem seja a seguinte: 

Os elementos de A devem assumir a posição da abscissa, e os elementos de B da ordenada. 

Portanto, temos que A x B: 

{(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)} 

Também podemos realizar o produto de B x A e verificar que os pares formados são diferentes, concluindo que A x B ≠ B x A. Observe: 

B x A 

{(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)} 

Observe que temos a formação de 8 pares ordenados nas duas multiplicações. Isso decorre do fato de que o conjunto A é formado por 4 elementos e o conjunto B por dois elementos. Assim sendo, constituímos a multiplicação: 

n(A x B) = n(A) * n(B) n(A x B) = 4 * 2 n(A x B) = 8 

Vamos estabelecer os pares ordenados relativos às seguintes operações: A² e B². 

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3} 

A² = A x A {(1, 1); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4)} 

B² = B x B {(2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)}

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b ≥ 0;ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0x – 10 ≤ 02x + 5 ≤ 012 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:-2x > -7Multiplicando por (-1)

2x < 7x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:2x < 6x < 6/2x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:-2x + 7 > 0-2x + 7 = 0x = 7/2

Exemplo 2:2x – 6 < 02x – 6 = 0x = 3