funÇÃo composta observe o diagrama: prof. meire de fátima

FUNÇÃO COMPOSTA

• Observe o diagrama:

Prof. Meire de Fátima

Função composta:

Ídeia de função composta: Paulo administra o Simba-safari ( parque de animais selvagens), precisa fazer um levantamento do número de pessoas que visitam o parque aos domingos.

Para realizar este cálculo, ele levou em conta que cada ingresso dá direito à entrada de um veículo, independentemente do número de passageiros que ele tenha.


Primeiro, ele calculou que, aos domingos, entraram em média 35 veículos no parque a cada hora. Com esses dados, escreveu uma função relacionando o número de horas, após a abertura do parque, com o número de veículos que entram no parque:

v = v(t) = 35 . t (v= nº veículos e t = nº horas

Depois de diversas observações e cálculos. Paulo percebeu que, em média, o número de pessoas e o número de veículos relacionavam-se de acordo com outra função:

p = p(v) = 4 . v (v = nº veículos e p= nº pessoas


Por fim, fez uma composição entre as duas funções e encontrou uma terceira função que relaciona

diretamente o número de pessoas com o número de horas.

v = 35 t

v = 4 v P = 4. ( 35. t ) P = 140 t

Esta última função é chamada de função composta de p com v e indicamos por p o v



A última função que Paulo encontrou é chamada função composta de p com v e indicada por p o v ou p(v(x))

Assim ele concluiu que em 8 horas

1.120 pessoas visitam o parque aos

domingos

p = 140 t

p = 140 . 8 = 1120


Função composta: • Dadas as funções f: A em B e g: B em C,

denominamos função composta de g e f a função g ◦ f: A em C, que é definida por (g ◦ f) (x) = g ( f ( x) ), x ∈ A.

• Exemplo:• Dados A ={ 1, 2, 3, 4}, B ={ 2, 3, 4, 5} e

C ={ 4, 9, 16, 25} vamos considerar as funções:

f: A B dada por f(x) = x + 1 e g: B C dada por g (x) = x 2


Observe o diagrama:

f(x)=x+1 g(x)= x2 g (f ( x ) = ( x+1)2

D(f) CD(f) = D (g) CD (g)


Observações:

A função composta g o f só está definida se CD (f) = D (g).

A composição ( g o f ) o h indica primeiro “ g composta com f” e em seguida “(g o f ) composta com h”

Na composição de funções, vale a propriedade associativa ou seja:

(g o f) o h = g o ( f o h )


Notamos que:

(g o f ) (1) = g ( f ( 1 ) ) = 4 e que (1 + 1 ) 2 = 4 (g o f ) (2) = g ( f ( 2 ) ) = 9 e que (2 + 1 ) 2 = 9

(g o f ) (3) = g ( f ( 3 ) ) = 16 e que (3 + 1 ) 2 = 16

(g o f ) (4) = g ( f ( 4 ) ) = 25 e que (4 + 1 ) 2 = 25

Percebemos que g( f ( x ) ) = ( x + 1 )2 , ou seja,

(g o f) (x) = g ( f ( x ) ) = g (x+1) = ( x + 1 )2


Para resolver uma função composta f de g de x ( f ( g ( x )) basta substituir g(x) em f(x) ( f ◦ g )

Para resolver uma função composta g de f de x g ( f ( x )) basta substituir f (x) em g(x) ( g ◦ f )


Exemplos:

• Seja f(x) = 2x + 1 e g ( x ) = 3x – 2 • Vamos montar a composta g ◦ f • Substitui f em g • g(x) = 3 x – 2 • g ( f ( x ) = 3 (2x + 1 ) – 2 • g( f ( x ) ) = 6 x + 3 – 2 • g ( f ( x ) ) = 6 x + 1 ( composta ) • Ou g o f = 6x + 1


Atividades: Dadas f(x) = 2x + 2 , g(x) = 3x2, p(x) = x – 6 Encontre: a) f( g ( x ) )b) g( f ( x ) )c) g( p ( x ) )d) p( g ( x ) )e) f( p ( x ) )


Respostas: a) f(g(x)) = 6x2 + 2 b) g(f(x)) = 12x2 + 24x + 12c) g(p(x)) = 3x2-36x+108d) p(g(x)) = 3x2-6e) f(p(x)) = 2x-10


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