matemática - · pdf filefunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras....

MATEMÁTICA

316 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS POR ASSUNTOS

Edição 2017

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SUMÁRIO

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Inteiros e suas propriedades. Números Racionais. Noções

Elementares de Números Reais. Aplicações ............................................................................................ 05

2. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcional, Regras de Três

Simples e Composta ............................................................................................................................ 14

3. FUNÇÕES: Noção de Função. Gráficos. Funções Crescentes e Decrescentes. Funções Injetoras, Sobrejetoras e

Bijetoras. Função Composta e Função Inversa. Funções Lineares, Afins e Quadráticas. Funções Exponenciais e

Logarítmicas. Equações e Inequações. Aplicações ................................................................................... 27

4. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES ............................................... 46

5. MATRIZES: Operações com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicações ..................................................................... 48

6. DETERMINANTES: Cálculos de Determinantes ................................................................................... 50

7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: Resolução de Sistemas Lineares ............................................. 51

8. ANÁLISE COMBINATÓRIA: Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações. Aplicações ...................... 52

9. PROBABILIDADE: Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e

Eventos Independentes. Aplicações ....................................................................................................... 55

10. POLINÔMIOS: Conceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Polinômios e Propriedades. Equações Algébricas:

Raízes, Relação entre Coeficientes e Raízes. Aplicações ........................................................................... 60

11. TRIGONOMETRIA: Arcos e Ângulos. Funções Trigonométricas. Aplicações das Leis do Seno e do Cosseno.

Resolução de Triângulos. Aplicações ..................................................................................................... 62

12. GEOMETRIA PLANA: Retas. Feixe de Paralelas. Teorema de Tales. Congruência e Semelhança de Triângulos.

Relações Métricas no Triângulo. Áreas de Figuras Planas. Aplicações......................................................... 67

13. GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações ...................... 77

14. GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordenadas Cartesianas, Distância entre Dois Pontos, Equações da Reta, Área de

um Triângulo. Aplicações. Posições Relativas ......................................................................................... 81

GABARITOS ..................................................................................................................................... 85

SOLDADO PM-MS

Matemática Questões por Assuntos

5

MATEMÁTICA

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Números Naturais, Inteiros e suas propriedades. Números Racionais. Noções Elementares de Números Reais. Aplicações.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS NÃO COMENTADAS

1. [Assistente de Administração-(NM)-(T)-Pref. Munic. Camapuã-MS/2016-FAPEC].(Q.26) Sendo A = 10, B = 20 e C = 30,

calcule o valor da expressão algébrica: CA

CBA

652

a) 500

b) 180

c) 20

d) 1

e) 200

2. [Assistente de Administração-(NM)-(T)-Pref. Munic. Camapuã-MS/2016-FAPEC].(Q.29) Assinale a alternativa que indica

a geratriz da dízima periódica 2,4444...

a) 19

24

b) 10

24

c) 9

24

d) 10

21

e) 9

22

3. [Assistente de Administração-(NM)-(T)-Pref. Munic. Camapuã-MS/2016-FAPEC].(Q.31) Henrique foi a uma concessionária

com o objetivo de trocar seu carro usado por um novo. Chegando lá, ele gostou de um carro no valor de R$ 42.000,00. O

vendedor propôs receber seu carro usado no valor de R$ 27.000,00 como entrada, e dividir o restante em 24 parcelas

iguais e sem juros. Se ele aceitar a proposta, o valor de cada parcela será de:

a) R$ 560,00

b) R$ 585,00

c) R$ 600,00

d) R$ 620,00

e) R$ 650,00

4. [Assistente de Administração-(NM)-(T)-Pref. Munic. Camapuã-MS/2016-FAPEC].(Q.34) Efetue: 100

10

5

5,2

6

)42,1(3

a) 6,5

b) 8

c) 4,2

d) 3,6

e) 3

SOLDADO PM-MS


6

5. [Téc. Adm. Educação-(Auxiliar de Enfermagem)-(Classe C)-(NF)-(T)-UFMS/2016.1-COPEVE].(Q.22) Duas peças de fitas

de tecidos medindo 450 cm e 756 cm serão cortadas em tiras para a confecção de rosas de fitas. Se as peças forem

divididas em tiras de mesmo comprimento e de maior tamanho possível serão obtidos quantos pedaços de fitas?

a) 25.

b) 36.

c) 40.

d) 42.

e) 67.

6. [Téc. Adm. Educação-(Auxiliar de Enfermagem)-(Classe C)-(NF)-(T)-UFMS/2016.1-COPEVE].(Q.24) Em uma corrida de

rua, uma atleta percorre inicialmente 3/6 do percurso. Então, pega uma água no posto de água e segue hidratando-se.

Numa segunda etapa, percorre 3/8 do percurso, ainda lhe faltam 3 km para correr. Qual é a medida do percurso todo

da corrida?

a) 10 km.

b) 12 km.

c) 18 km.

d) 24 km.

e) 48 km.

7. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2016.2-COPEVE].(Q.16) Se x = 3800000

e y = 0,00003, qual o valor de x.y ?

a) 0,114

b) 1,14

c) 14,2

d) 114

e) 1420

8. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2016.2-COPEVE].(Q.25) Para realizar a

reforma do piso de sua loja, Paulo gastou do dinheiro que tinha 1/3 com areia e cimento. Do valor que sobrou gastou 3/4

comprando a cerâmica, ficando com R$120,00. Qual o valor que Paulo tinha inicialmente?

a) R$ 240,00.

b) R$ 360,00.

c) R$ 600,00

d) R$ 720,00

e) R$ 860,00.

9. [Téc.-Adm. Educação-(Auxiliar em Administração)-(Classe C)-(NF)-(T)-UFMS/2015-COPEVE].(Q.16) Observe a sequência

de raízes:

749 , 674894 , 667889444 , 667688944844 , 667668894884444 .

A sequência acima permite que se conclua, corretamente, que a soma de todos os algarismos da raiz quadrada de 44

444 444 448 888 888 889 é igual a

a) 49.

b) 61.

c) 67.

d) 76.

e) 889.

10. [Téc.-Adm. Educação-(Auxiliar em Administração)-(Classe C)-(NF)-(T)-UFMS/2015-COPEVE].(Q.17) Dado que a massa

de um átomo de hidrogênio é aproximadamente 1,66 . 10–25 g e a massa de um átomo de oxigênio é aproximadamente

2,66 . 10–23 g. Qual é a massa de uma molécula de água, sabendo que esta é formada por dois átomos de hidrogênio e

um átomo de oxigênio?

a) 2,6932 . 10–23

b) 3,3466 . 10–25

c) 5,98 . 10–25

d) 5,98 . 10–23

e) 334,66 . 10–23

SOLDADO PM-MS


7

11. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2015-COPEVE].(Q.17) Um marceneiro

descobriu que a melhor maneira de aproveitar uma placa de madeira retangular é cortando-a em pedaços quadrados

iguais. Ele dispõe de uma placa retangular de dimensões 414 cm por 216 cm. Cortando essa placa, de modo que cada

placa quadrada tenha a maior área possível e que não seja desperdiçado algum pedaço da placa, quantas placas

quadradas serão obtidas?

a) 18

b) 12

c) 23

d) 276

e) 4968

12. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2015-COPEVE].(Q.19) Uma pessoa a

fim de organizar seus documentos decide colocá-los em caixas de modo que cada caixa tenha apenas um tipo de

documento e todas as caixas tenham a mesma quantidade de documentos. Fazendo uma contagem, a pessoa

observa que possui 84 documentos de um tipo, 168 documentos de outro tipo e 105 documentos de um terceiro tipo.

Qual a menor quantidade de caixas que a pessoa deve utilizar para esta tarefa?

a) 28

b) 21

c) 84

d) 132

e) 17

13. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2014-FAPEC].(Q.37) O número racional n = 400

13 é entre:

a) 0,01 e 0,02.

b) 0,02 e 0,03.

c) 0,04 e 0,05.

d) 0,05 e 0,06.

e) 0,03 e 0,04.

14. [Agente Metrológico-(NM)-(T)-SAD-AEM-MS/2014-FAPEC]. (Q.21) Utilizando as propriedades da Potenciação e Radiciação

pode-se afirmar que o valor da expressão 751248147E é igual a:

a) 0

b) 03

c) 05

d) 06

e) 07

15. [Técnico Metrológico-(Administração)-(NS)-(T)-SAD-AEMS-MS/2014-FAPEC].(Q.36) A soma dos elementos do conjunto M =

[x Z | 2 + 3 < x < 7 + 2 ], sendo Z o conjunto dos números inteiros, é:

a) 17

b) 24

c) 25

d) 30

e) 39

16. [Técnico Metrológico-(Administração)-(NS)-(T)-SAD-AEMS-MS/2014-FAPEC].(Q.37) Considerando as propriedades da

potenciação, pode-se afirmar que a metade do número 230 (dois elevado a trinta) é:

a) 214

b) 215

c) 222

d) 228

e) 229

SOLDADO PM-MS


8

17. [Téc. Adm.-(NM)-(M)-SAD-SEJUSP-DETRAN-MS/2014-FAPEC].(Q.29) O valor da expressão 5

22 1820 é:

a) 210

b) 215

c) 216

d) 218

e) 220

18. [Ag. Tribut. Est.-ATE-(P1)-(NS)-(M)-SAD-SEFAZ-MS/2014-FAPEC].(Q.33) Um zoológico exibe em suas dependências um

total de 1.500 espécies diferentes. Entre as espécies exibidas 573 são mamíferos, 865 são da fauna Brasileira e 342

mamíferos da fauna Brasileira. Quantas espécies em exibição no zoo são da fauna estrangeira e não são mamíferos?

a) 280

b) 333

c) 404

d) 523

e) 603

19. [Oficial-(NM)-SAD-SEJUSP-CFO-CBM-MS/2013-Fund. Escola Gov.-MS].(Q.32) Um grupo de amigos, divididos em três

equipes (Equipe Salobra, Equipe Abobral e Equipe Formoso), organizam-se para um torneio de pesca esportiva em rios

do Pantanal Mato-Grossense. Todo pescado, para ser pontuado, deve ter o comprimento mínimo ditado pela legislação.

Após medido e pesado, o espécime será devolvido ao rio, com todos os cuidados necessários. A tabela 1 especifica os

comprimentos mínimos de algumas espécies encontradas na bacia do rio Paraguai. Segundo as regras estabelecidas

pelos amigos participantes do torneio, a cada espécime capturado que pertença à Classe I caberão 20 pontos; a cada

espécime pertencente à Classe II, 10 pontos; outros espécimes não listados na tabela não serão pontuados, a não ser na

pesagem. A quantidade em quilogramas de pescado receberá pontuação equivalente, isto é, a um peixe de 9 kg serão

creditados nove pontos à equipe, além da pontuação devida à classe a que pertença o espécime. A tabela 2 exibe o

resultado ao final do primeiro dia de competição.

SOLDADO PM-MS


9

Tais resultados permitem afirmar que:

a) a Equipe Formoso teve o pior desempenho, ficando com 25 pontos a menos que a segunda classifica, a Equipe Abobral.

b) a Equipe Salobra, apesar de ter conquistado a maior pontuação em quilogramas de pescado, está na segunda

posição ao final do primeiro dia de torneio.

c) a Equipe Abobral, apesar de não ter conquistado a maior pontuação devida aos espécimes capturados, obteve a

maior pontuação devida à quantidade em quilogramas de pescado.

d) a Equipe Abobral está à frente na competição, com uma dianteira de 39 pontos sobre a segunda colocada, a

Equipe Salobra.

e) a Equipe Salobra teria atingido a primeira colocação se tivesse capturado mais um dourado de 9 quilogramas.

20. [Oficial-(NM)-SAD-SEJUSP-CFO-CBM-MS/2013-Fund. Escola Gov.-MS].(Q.27) Na figura a seguir, são apresentadas as

abscissas dos números reais a, b e de seus simétricos em um eixo real.

A abscissa do número a . b estará entre as abscissas:

a) de – 1 e – b.

b) de – b e a.

c) de a e 0.

d) de 0 e – a.

e) de – a e b.

21. [Oficial-(NM)-SAD-SEJUSP-CFO-CBM-MS/2013-Fund. Escola Gov.-MS].(Q.40) Certa montadora de veículos automotores,

após ter vendido 360.000 veículos de certo modelo verificou que 4% das unidades tomadas como amostra para o setor

de controle de qualidade apresentaram defeito no sistema de freios, 6% apresentaram falhas no câmbio e em 1% da

amostra foram detectados os dois problemas. Por meio da mídia impressa e eletrônica foi anunciado o recall, para que

os proprietários de tais veículos os conduzissem à rede de concessionárias autorizadas para a substituição, sem custos,

das peças defeituosas. A perspectiva da quantidade de veículos apresentando falhas no sistema de freios, feita pela

montadora, a atingiu o número de:

a) 3.600.

b) 10.800.

c) 18.000

d) 21.600.

e) 39.600.

22. [Oficial-(NM)-SAD-SEJUSP-CFO-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.-MS].(Q.36) Todos os números decimais e dízimas periódicas

podem ser escritos na forma b

a, com a Z e b z*, o que define um número racional. Se

b

a é a mais simples fração

geratriz do número N = 1,575757... + 2,434343..., então a – b é um número:

a) par.

b) múltiplo de 3.

c) divisível por 7.

d) múltiplo de 11.

e) primo.

23. [Oficial-(NM)-SAD-SEJUSP-CFO-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.-MS].(Q.39) A figura a seguir representa nove quadrados,

dispostos em três linhas e três colunas.

6 2 A

B 4 3

1 C 5

Os números que aparecem nos quadrados são naturais, de 1 a 9 (incluindo os extremos). Além disso, a soma dos

números dos quadrados de uma mesma linha ou de uma mesma coluna é constante.

Nessas condições, o valor de A + B – C é igual a:

SOLDADO PM-MS


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GABARITOS (316 QUESTÕES)

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Números Naturais, Inteiros e suas propriedades. Números Racionais. Noções Elementares de Números Reais. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

D E D E E D D D B A D E E A D E D C D C B A E B

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

E E E A C A B C B C E A C B B D E A

2 NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções. Divisão Proporcional. Regras de Três Simples e Composta.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (a)

Identificação do tipo de relação:

x

28

dias

140

120

osfuncionári

As grandezas funcionários e dias são inversamente proporcionais, isto é, se aumenta o número de funcionários, o número

de dias diminui. Assim, a proporção que soluciona a regra e três é dada por:

120

140=𝑥

28 𝑜𝑢

140

120=28

𝑥⇒

𝒙 =120

140×28 =

120

5= 𝟐𝟒

Portanto, x = 24 dias e (a) é a alternativa correta.

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Identificação do tipo de relação:

Dez homens, trabalhando oito horas por dia, completam a tarefa em cinco dias. Precisamos saber em quantos dias oito

homens, trabalhando dez horas por dia, completam a tarefa. Seja 𝑥 esse número de dias.

x

5

dias

10

8

dia/horas

8

10

enshom

SOLDADO PM-MS


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Tomando como referência o número de dias (x), temos que o número de horas/dia é uma grandeza inversamente

proporcional ao número de dias (trabalhando mais dias é necessário trabalhar menos horas para cumprir a tarefa) e que

o número de homens também é uma grandeza inversamente proporcional ao número de dias (trabalhando mais dias

são necessários menos homens). Então, temos a razão:

5

x=10

8×8

10= 1 ⇒

x

5= 1 ⇒ 𝐱 = 𝟓

Portanto, (b) é a alternativa correta.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

C B A E E B C B A D B C D D E D D E B C B D B D

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C C E E D E D B B C C B E B A A E E B B B A B C

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

E A C D A D E D C C E C B E C C

3

FUNÇÕES: Noção de Função. Gráficos. Funções Crescentes e Decrescentes. Funções Injetoras, Sobrejetoras e

Bijetoras. Função Composta e Função Inversa. Funções Lineares, Afins e Quadráticas. Funções Exponenciais e Logarítmicas. Equações e Inequações. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (e)

Vamos analisar as alternativas uma a uma:

Alternativa (a): Vamos utilizar a seguinte regra prática para encontrar funções inversas: substituir, na lei da função, 𝑦 por 𝑥

e vice-versa; depois, isolar 𝑦 em função de 𝑥. Veja:

f(x) = y =x

x − 1

f−1(x) → x =y

y − 1⇒1

x=y − 1

y=y

y−1

y= 1 −

1

y→1

x= 1 −

1

y⟹

1

y= 1 −

1

x=x − 1

x→1

y=x − 1

x⇒ y =

x

x − 1

Conclusão: 𝐟−𝟏(𝐱) =𝐱

𝐱−𝟏≠

𝐱+𝟏

𝐱

Portanto, a alternativa (a) está incorreta.

Alternativa (b): Utilizaremos o mesmo processo da alternativa (a) para encontrar g−1(x):

g(x) =x + 1

x

g−1(x) → x =y + 1

y= 1 +

1

y⟹

1

y= x − 1 ⇒ y =

1

x − 1

Conclusão: 𝐠−𝟏(𝐱) =𝟏

𝐱−𝟏≠

𝐱

𝐱−𝟏

Portanto, a alternativa (b) está incorreta.

SOLDADO PM-MS


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Alternativa (c):

f(x) = x.1

x − 1

f[g(x)] = (x + 1

x) .

1

x + 1x

− 1= (

x + 1

x) .

1

1 +1x− 1

=x + 1

x. x = x + 1

Conclusão: 𝐟[𝐠(𝐱)] = 𝐱 + 𝟏 ≠𝟐𝐱−𝟏

𝐱

Portanto, a alternativa (c) está incorreta.

Alternativa (d):

g(x) = (x + 1).1

x

g[f(x)] = (x

x − 1+ 1) .

x − 1

x= (

x + x − 1

x − 1) .x − 1

x=2x − 1

x

Conclusão: 𝐠[𝐟(𝐱)] =𝟐𝐱−𝟏

𝐱≠ 𝐱 + 𝟏

Portanto, a alternativa (d) está incorreta.

Alternativa (e):

Os conjuntos A e B são os contradomínios das funções 𝑓 e 𝑔, respectivamente. Nas funções inversas, 𝑓−1 e 𝑔−1, eles

passam a ser os domínios. Analisemos as expressões das inversas:

f−1(x) =x

x − 1; g−1(x) =

1

x − 1

Percebemos que elas estão definidas para qualquer valor real de 𝑥 ≠ 1, pois, se 𝑥 = 1, temos zero no denominador.

Portanto, A e B podem ser expressos por ℝ− {1}, validando a alternativa (e).

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Seja 𝒙 o soldo de MiliCão. Sabe-se que 1

10 de

1

3 do soldo não foi gasto;

1

8 de

1

3 do soldo também não foi gasto, e essas

frações foram somadas a 1

3, totalizando R$ 1274,00.

Montando a equação que expressa essa igualdade, temos:

1

10.1

3. 𝑥 +

1

8.1

3. 𝑥 +

1

3. 𝑥 = 1274

Colocando 1

3 em evidência:

1

3(1

10+1

8+ 1)𝑥 =

1

3(8 + 10 + 80

80) 𝑥 =

1

3(98

80)𝑥 =

1

3(49

40) 𝑥 =

49

120𝑥 = 1274

Isolando 𝑥:

𝒙 = 1274×120

49= 26×120 = 𝟑𝟏𝟐𝟎

Portanto, o soldo de MiliCão é R$ 3120,00, e a alternativa correta é (b).

SOLDADO PM-MS


88

QUESTÃO 3

COMENTÁRIO:

Gabarito: (c)

Analisemos as alternativas:

I – (correta): A área da menor parte escura será dada pelo produto de 𝑥 por (𝑎 − 𝑥), que são o lado do quadrado claro e

o lado menor do retângulo claro, respectivamente; a área da maior parte escura é dada pelo produto de 𝑥 por (𝑏 − 𝑥),

que são o lado do quadrado claro e o lado maior do retângulo claro, respectivamente. Então, 𝑆(𝑥) fica dada pela soma

das duas áreas escuras:

S(x) = x(a − x) + x(b − x)

Distribuindo 𝑥 e agrupando os termos semelhantes, temos:

𝐒(𝐱) = ax − x2 + bx − x2 = 𝐱(𝐚 + 𝐛) − 𝟐𝐱𝟐

II – (incorreta): Temos 𝐒(𝐱) = 𝐱(𝐚 + 𝐛) − 𝟐𝐱𝟐. Denotemos os coeficientes reais que multiplicam a variável na expressão da

função por A como sendo o que acompanha o termo quadrático (de ordem 2), B o que acompanha o termo linear (de

ordem 1) e C o termo independente. Temos então 𝐴 = −2, 𝐵 = (𝑎 + 𝑏) e 𝐶 = 0.

Perceba que A é negativo (-2), portanto a concavidade da parábola é para baixo e seu vértice é um ponto de máximo,

e não de mínimo.

Calculemos a coordenada 𝑥 do vértice (denotada aqui por 𝑿𝑽):

𝐗𝐯 = −B

2A= −

(a + b)

2. (−2)=(𝐚 + 𝐛)

𝟒

Portanto, 𝑺(𝒙) atinge o valor máximo para 𝒙 =(𝒂+𝒃)

𝟒, e não o valor mínimo.

III – (incorreta): Nessa afirmação, o erro está na mesma sutileza da afirmação II: o valor 𝑆(𝑥) =(𝑎+𝑏)2

8 é máximo, e não

mínimo. Veja:

Substituindo 𝑥 por 𝑋𝑣 na função 𝐒(𝐱) = 𝐱(𝐚 + 𝐛) − 𝟐𝐱𝟐temos a coordenada 𝑦 do vértice da parábola, que vamos denotar

por 𝑌𝑉:

𝐒(𝐗𝐯) = 𝐘𝐕 =(a + b)

4(a + b) − 2 (

a + b

4)2

=(a + b)2

4−(a + b)2

8=(𝐚 + 𝐛)𝟐

𝟖

Podemos também calcular 𝒀𝑽 pela fórmula:

𝐘𝐕 = −Δ

4A= −

(B2 − 4AC)

4A= −

((a + b)2 − 4. (−2). 0)

4(−2)= −

(a + b)2

−8=(𝐚 + 𝐛)𝟐

𝟖

IV – (correta): Fazendo 𝑥 = (𝑏 − 𝑎) na função 𝐒(𝐱) = 𝐱(𝐚 + 𝐛) − 𝟐𝐱𝟐, temos:

𝐒(𝐛 − 𝐚) = (b − a)(a + b) − 2(b − a)2

Distribuindo a multiplicação e desenvolvendo o produto notável:

𝐒(𝐛 − 𝐚) = ab − a2 + b2 − ab − 2(b2 − 2ab + a2) = −a2 + b2 − 2b2 + 4ab − 2a2 = 𝟒𝐚𝐛 − 𝟑𝐚𝟐 − 𝐛𝟐

Apenas as afirmativas I e IV estão corretas. Portanto, (c) é a alternativa correta.

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89

QUESTÃO 4

COMENTÁRIO:

Gabarito: (c)

Temos que a quantidade de operações realizadas em um determinado espaço de tempo é proporcional ao logaritmo

de base 10 da dose de cafeína. Como o espaço de tempo considerado para as duas doses é o mesmo, podemos omiti-

lo dos cálculos. Levando em conta a proporcionalidade descrita acima, é correto escrever a seguinte razão:

21

log 5=

𝑥

log 50

onde 𝑥 é a quantidade de operações que queremos descobrir. Isolando essa incógnita, temos:

𝑥 =21 log 50

log 5

É dado do problema que log 2 = 0,3. A expressão que obtivemos para 𝑥 está em termos de log 5 e log 50. Faz-se necessário

escrever esses logaritmos em função de valores conhecidos. Perceba que 5 = 10 2⁄ e 50 = 100 2⁄ . Então:

𝒙 =21 log 50

log 5=21 log 100 2⁄

log 10 2⁄=21(log 100 − log 2)

log 10 − log 2=21(2 − 0,3)

1 − 0,3=21×1,7

0,7= 𝟓𝟏

Portanto, sob efeito de 50cg de cafeína, pode-se esperar que a pessoa realize 51 operações em 30s, conforme

alternativa (c).

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

A A B B A A B E C B E D E A A E E C E A E B A D

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

D A D C E A C B E C A A E A D D E D D B D E C A

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

C A E E D C C A E B B C E A D D A C C D C C C B

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

B C C B B B B E A A B C B C

4 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES.

1 2 3 4 5 6 7 8

A C D C C E A D

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90

5 MATRIZES:

Operações com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (c)

Vamos efetuar o produto entre as matrizes e depois analisaremos as afirmações uma a uma.

Perceba que, no produto entre duas matrizes, o número de colunas da primeira tem de ser igual ao número de linhas da

segunda, e o resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Por isso,

o produto entre matrizes não é comutativo (a ordem dos fatores altera o produto) e, no caso desta questão, o produto

B. A é impossível, mas A. B é possível. Então:

C=A.B=[5 4 1]× [44 47 4235 37 3925 25 27

]=[(5.44+4.35+1.25) (5.47+4.37+1.25) (5.42+4.39+1.27)]=[385 408 393]

I – (correta): Vimos que o produto B. A é impossível, então a ordem conveniente é A. B.

II – (incorreta): A matriz C é de ordem 1x3.

III – (incorreta): O elemento c12 é, de fato, o total a ser pago na loja B, mas o valor é R$ 408,00.

IV – (correta): A loja A é a que apresenta o orçamento de menor valor: R$ 385,00.

Portanto, das quatro afirmações, exatamente duas estão corretas (I e IV), conforme alternativa (c).

2 3 4

A E B

6 DETERMINANTES:

Cálculos de Determinantes

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Fazendo a multiplicação, temos:

A. B = [1 −1 52 3 10 2 −1

]× [0 −2 13 1 01 1 2

] = [2 2 1110 0 45 1 −2

]

Utilizemos a regra de Cramer para calcular o determinante de matriz resultante:

𝐝𝐞𝐭(𝐀. 𝐁) = (2 2 1110 0 45 1 −2

|2 210 05 1

) = 110 + 40 + 0 − 0 − 8 − (−40) = 𝟏𝟖𝟐

182 ÷ 13 = 14

Portanto, o número que expressa det(A. B) é divisível por 13, conforme alternativa (b).

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91

2 3

B E

7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

Resolução de Sistemas Lineares

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (d)

Analisemos as afirmações uma a uma, na ordem inversa, de IV para I:

IV – (correta): A solução trivial é a terna (0, 0, 0). Substituindo essa solução no sistema, obtemos:

{0 = 50 = 13

0 = 2a + 2

Pelas primeira e segunda equações, é fácil ver que o sistema não admite a solução trivial, independentemente do valor

de 𝑎.

III – (correta): Fazendo 𝑎 = 2 no sistema, temos:

{

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 52𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6

Substituindo a terna (8, 4, 1) no sistema, verificamos que as equações são satisfeitas.

Para apreciação das duas afirmações restantes (I e II), vamos escalonar o sistema aplicando as operações elementares

sobre as equações. Denotemos as primeira, segunda e terceira equações por (1), (2) e (3), respectivamente. No primeiro

passo, substituímos (3) por (3)-(1):

{

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13

𝑥 − 𝑦 + 𝑎𝑧 = 2𝑎 + 2→ {

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13(𝑎 − 1)𝑧 = 2𝑎 − 3

Agora, multiplicamos (1) por 𝑎 e substituímos (2) por (2)-a.(1):

{

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13(𝑎 − 1)𝑧 = 2𝑎 − 3

→ {

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 5𝑎𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13(𝑎 − 1)𝑧 = 2𝑎 − 3

→ {

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5(𝑎 − 1)𝑦 + (1 − 𝑎)𝑧 = 13 − 5𝑎

(𝑎 − 1)𝑧 = 2𝑎 − 3

Agora, temos o sistema escalonado.

Para discuti-lo, interessa-nos a equação (𝒂 − 𝟏)𝒛 = 𝟐𝒂 − 𝟑.

Se 𝒂 = 𝟏, temos 𝟎 = −𝟏, o que torna o sistema impossível, contrariamente ao que diz a afirmação I.

Se 𝒂 ≠ 𝟏, temos 𝒛 =𝟐𝒂−𝟑

𝒂−𝟏 e, para cada valor de 𝑎, um único valor de 𝑧 (e também de 𝑥 e 𝑦, consequentemente). Logo,

temos uma terna (x, y, z) única para cada 𝑎, o que torna o sistema possível e determinado, em conformidade com a

afirmação II.

Portanto, das quatro afirmações, exatamente três estão corretas (II, III e IV), conforme alternativa (d).

2 3

B C

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92

8 ANÁLISE COMBINATÓRIA:

Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (e)

Perceba que, para ir do ponto A ao ponto B no menor percurso possível, a viatura deverá andar pelas arestas dos

quadrados, fazendo cinco movimentos na vertical (sempre para baixo) e dez na horizontal (sempre para a direita).

Então, o número de formas possíveis de a viatura ir de A a B é o número de anagramas da palavra VVVVVHHHHHHHHHH,

ou seja, uma permutação de 15 elementos com um que se repete 5 vezes e outro que se repete 10 vezes.

P155,10=

15!

5!10!=15.14.13.12.11.10!

5.4.3.2.1.10!=3.14.13.12.11

1.12.2.1=3.14.13.1.11

1.2=3.7.13.11=3003

Portanto, 3003 é o número de formas possíveis de a viatura ir de A até B percorrendo a menor distância possível,

conforme alternativa (e).

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (e)

Para cada disciplina, temos de encontrar quantos conjuntos de 10 questões distintas podem ser formados a partir do

número de questões disponíveis de cada matéria no banco. O número de conjuntos será dado pelas combinações:

Língua portuguesa: C6010 =

60!

10!(60−10)!=

60!

10!50!

Matemática: C5510 =

55!

10!(55−10)!=

55!

10!45!

Ciências humanas: C7010 =

70!

10!(70−10)!=

70!

10!60!

Observe que a prova pode ser formada por cada um dos conjuntos de questões de língua portuguesa com cada um

dos conjuntos de questões de matemática com cada um dos conjuntos de questões de ciências humanas. Portanto o

produto das três combinações deve dar o número de maneiras distintas de o exame ser montado:

𝐂𝟔𝟎𝟏𝟎. 𝐂𝟓𝟓

𝟏𝟎. 𝐂𝟕𝟎𝟏𝟎 =

𝟔𝟎!

10! 50!×

55!

10! 45!×

70!

10! 𝟔𝟎!=

𝟓𝟓! 𝟕𝟎!

(𝟏𝟎!)𝟑𝟓𝟎! 𝟒𝟓!

Portanto, (e) é a alternativa correta.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A D B C D A A E D A B B

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93

9 PROBABILIDADE:

Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e Eventos Independentes. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Como os eventos são independentes, aplicamos a regra do produto.

Sejam:

A o evento Alcebíades errar o alvo e

B o evento Zebedeu acertar o alvo.

Temos:

P(A) = 4% =4

100= 0,04 e

P(B) = 95% =95

100= 0,95.

Então:

𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏(𝐀). 𝐏(𝐁) = 0,04×0,95 = 0,038 = 0,038.100% = 𝟑, 𝟖%

Portanto, (b) é a alternativa correta.

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (d)

Se, de 150, 135 são homens, então 150 – 135 = 15 são mulheres.

Sabe-se que 10 mulheres concluíram apenas o ensino médio, então 5 estão cursando ou concluíram o ensino superior.

Se, de 30 pessoas que estão cursando ou concluíram o ensino superior, 5 são mulheres, então 25 são homens.

Portanto, a probabilidade de se sortear um homem que esteja cursando ou tenha concluído o ensino superior, nesse

caso, é 25

150=

1

6, conforme alternativa (d).

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

C A A A B D C D C A D D B C D D

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94

10 POLINÔMIOS:

Conceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Polinômios e Propriedades.

Equações Algébricas: Raízes, Relação entre Coeficientes e Raízes. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Se o polinômio é divisível por x – 1, x + 1 e x – 2, então o produto desses três binômios é um polinômio divisível por eles.

Veja:

(x − 1)(x + 1)(x − 2) = (x2 + 𝐱 − 𝐱 − 1)(x − 2) = (x2 − 1)(x − 2) = 𝐱𝟑 − 𝟐𝐱𝟐 − 𝐱 + 𝟐

O polinômio obtido é o de menor grau possível, pois o produto de três binômios de 1º grau é um polinômio de 3º grau: há

o produto de x por x por x.

O problema dá que p(3) = 16. Verifiquemos:

p(x) = x3 − 2x2 − x + 2

p(3) = (3)3 − 2. (3)2 − 3 + 2 = 27 − 2.9 − 1 = 27 − 18 − 1 = 𝟖

Multiplicando p(x) por 2, obtemos um polinômio p’(x):

p′(x) = 2p(x) = 2x3 − 4x2 − 2x + 4

p′(3) = 2. (3)3 − 4. (3)2 − 2. (3) + 4 = 2.27 − 4.9 − 6 + 4 = 54 − 36 − 2 = 𝟏𝟔

Portanto, p’(x) = 2x3 − 4x2 − 2x + 4 é o polinômio que procuramos: é divisível por x – 1, x + 1 e x – 2, tem o menor grau

possível e p’(3) = 16.

Então, temos p′(0) = 2. (0)3 − 4. (0)2 − 2. (0) + 4 = 𝟒, conforme alternativa (b).

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (a)

Sejam A, B e C os coeficientes que multiplicam 𝑥3, 𝑥2 e 𝑥, respectivamente, e D o independente. Então, para a equação

em questão, temos as seguintes relações de Girard:

{

a + b + c = −

B

A= 7

ab + bc + ac =C

A= 14

abc = −D

A= 8

Perceba que:

1

𝑎+1

𝑏+1

𝑐=𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏

𝑎𝑏𝑐

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95

Então, substituindo na equação de E os valores do sistema acima:

𝑬 = (1

𝑎 + 𝑏 + 𝑐) . (

𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏

𝑎𝑏𝑐) =

1

7×14

8=2

8=𝟏

𝟒

Portanto, (a) é a alternativa correta.

QUESTÃO 3

COMENTÁRIO:

Gabarito: (d)

Precisamos encontrar os valores de A, B e C. O enunciado do problema nos dá a seguinte informação:

4x2 − 8x + 6

x3 − 2x2 − x + 2=

A

x − 1+

B

x + 1+

C

x − 2

Colocando o 2º membro sobre um denominador comum:

A

x − 1+

B

x + 1+

C

x − 2=A(x + 1)(x − 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 1)

(x − 1)(x + 1)(x − 2)=A(x2 − x − 2) + B(x2 − 3x + 2) + C(x2 − 1)

(x − 1)(x + 1)(x − 2)

Fazendo a distribuição e depois colocando em evidência 𝑥2 e 𝑥, temos:

4x2 − 8x + 6

x3 − 2x2 − x + 2=x2(A + B + C) − x(A + 3B) − 2A + 2B − C

(x − 1)(x + 1)(x − 2)

Como temos uma igualdade de frações, então os denominadores de cada membro têm de ser iguais, bem como os

numeradores. Fazendo a distribuição e agrupando os termos semelhantes do produto do denominador do 2º membro, é

possível verificar que (x − 1)(x + 1)(x − 2) = x3 − 2x2 − x + 2. Então, temos:

4x2 − 8x + 6 = x2(A + B + C) − x(A + 3B) − 2A + 2B − C.

Como há a igualdade entre os polinômios, então os coeficientes que multiplicam as potências de 𝑥 dos dois lados e os

termos independentes são iguais, o que nos dá o seguinte sistema:

{−2A + 2B − C = 6A + B + C = 4A + 3B = 8

Aplicando as operações elementares sobre esse sistema, vamos escaloná-lo: primeiro, multiplicando a linha 2 por 2 e a

substituindo pela sua soma com a linha 1, temos:

{−2A + 2B − C = 62A + 2B + 2C = 8

A + 3B = 8→ {

−2A + 2B − C = 64B + C = 14A + 3B = 8

Agora, multiplicamos a linha 3 por 2 e a substituímos pela sua soma com a linha 1:

{−2A + 2B − C = 64B + C = 142A + 6B = 16

→ {−2A + 2B − C = 64B + C = 148B − C = 22

Por fim, multiplicamos a linha 2 por 2 e substituímos a linha 3 pela subtração linha 2 − linha 3, obtendo o sistema

escalonado:

{−2A + 2B − C = 68B + 2C = 288B − C = 22

→ {−2A + 2B − C = 68B + 2C = 28

3C = 6

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96

Da linha 3, temos que 𝐂 = 𝟐. Fazendo C = 2 na linha 2, temos 𝐁 = 𝟑. E fazendo C = 2 e B = 3 na linha 1, temos 𝐀 = −𝟏.

Logo:

A + B

C=−1 + 3

2=2

2= 1

Portanto, (d) é a alternativa correta.

4 5 6 7 8 9 10 11

E A B A B E D D

11 TRIGONOMETRIA:

Arcos e Ângulos. Funções Trigonométricas. Aplicações das Leis do Seno e do Cosseno. Resolução de Triângulos. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (a)

Nenhuma das afirmações está correta. Veja:

I – 2040° = 5×360° + 240°. Isto é, 2040° correspondem a cinco voltas na circunferência trigonométrica (5×360°) e mais

240°.

240° negativos (ou seja, contados no sentido horário) correspondem a 120° positivos.

Então: 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝟎𝟒𝟎°) = 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝟒𝟎°) (a diferença está no sinal).

II – Considerando a identidade cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b), a, b ∈ ℝ, temos:

cos(90° + x) = cos(90°) cos(x) − sen(90°) sen(x). Como cos(90°) = 0 e sen(90°) = 1, então cos(90° + x) = −sen(x). Não há

restrições quanto ao valor de 𝑥, pois as funções estão definidas para qualquer valor real de 𝑥.

Portanto: 𝐜𝐨𝐬(𝟗𝟎° + 𝐱) = −𝐬𝐞𝐧(𝐱),𝐱 ∈ ℝ (a diferença está no sinal).

III – (−31π

4) = −(7π +

3π

4) = −(7π +

π

2+π

4). Isto é, (−

31π

4) correspondem, em sentido horário, a três voltas e meia na

circunferência trigonométrica, mais 1 4⁄ de uma volta, mais 1 8⁄ de uma volta (2π correspondem a uma volta). Então,

(−31π

4), na circunferência trigonométrica, é a mesma posição de

π

4 (faça o desenho e verifique!). Portanto,

𝐭𝐠 (−𝟑𝟏𝛑

𝟒) = 𝐭𝐠 (

𝛑

𝟒) = 𝟏.

Para fins didáticos, abordemos, agora, essa afirmação em termos de graus em lugar de radianos:

Temos que 2π = 360°, π = 120°, π

2= 90° e

π

4= 45°. Então (−

31π

4) = −(7π +

π

2+π

4) = −(1200° + 90° + 45°) = −1335°.

(−1335°) são, na circunferência trigonométrica, três voltas e meia, mais 1 4⁄ de uma volta, mais 1 8⁄ de uma volta, em

sentido horário. Essa posição é a mesma de 1 8⁄ de uma volta no sentido anti-horário, ou seja, 45°. Então, 𝐭𝐠 (−𝟑𝟏𝛑

𝟒) =

𝐭𝐠(−𝟏𝟑𝟑𝟓°) = 𝐭𝐠(𝟒𝟓°) = 𝟏 (a diferença está no sinal).

IV – Considerando as identidades cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b) e sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b), a, b ∈ ℝ,

e que sen(π) = 0 e cos(π) = −1 temos:

tg(π + x) =sen(π) cos(x) + cos(π)sen(x)

cos(π) cos(x) − sen(π)sen(x)=sen(x)

cos(x)= tg(x)

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97

Como cos(x) está no denominador, então 𝑥 não pode assumir o valor de nenhum múltiplo inteiro de π

2, pois cos (

π

2+

kπ) = 0, k ∈ ℤ. Então:

tg(π + x) = tg(x),x ∈ ℝ − {π

2+ kπ} , k ∈ ℤ (a diferença está no sinal)

Portanto, (a) é a alternativa correta.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

C B A B A A C D D A A B

12 GEOMETRIA PLANA:

Retas. Feixe de Paralelas. Teorema de Tales. Congruência e Semelhança de Triângulos. Relações Métricas no Triângulo. Áreas de Figuras Planas. Aplicações.

QUESTÃO 1

COMENTÁRIO:

Gabarito: (e)

Como AB é a hipotenusa do triângulo ABD, temos, pelo teorema de Pitágoras, que AB2 = AD2 + DB2. O problema nos dá

que AD = BD = 𝑎, então AB2 = 2𝑎2.

Os triângulos ACD e BCD são congruentes, porque AD = BD, o lado CD é comum aos dois, e os respectivos ângulos entre

os lados AD e CD e entre os lados BD e CD são congruentes. A partir disso, podemos afirmar que AC = CB. Aplicando a lei

dos cossenos ao ângulo ACB no triângulo ACB:

AB2 = AC2 + CB2 − 2.AC. CB. cos(45°)

Como AC = CB, temos:

AB2 = 2a2 = 2AC2 − 2AC2cos(45°) = 2AC2(1 − cos(45°))

2AC2 =2a2

(1 − cos(45°))⟹ AC2 =

a2

(1 − cos(45°))

Multiplicando o segundo termo por 1+cos(45°)

1+cos(45°), temos, no denominador, um produto da soma pela diferença, cujo resultado é a

diferença entre o quadrado do primeiro termo e o quadrado do segundo. Veja:

AC2 =a2

(1 − cos(45°))×1 + cos(45°)

1 + cos(45°)=a2(1 + cos(45°))

1 − cos2(45°)

Da identidade sen2(x) + cos2(x) = 1, 𝑥 ∈ ℝ, temos que 1 − cos2(45°) = sen2(45°).

Sabendo que sen(45°) = cos(45°) =√2

2:

AC2 =a2(1 + cos(45°))

sen2(45°)=

a2 (1 +√22)

24

= 2a2 (1 +√2

2) = a2(2 + √2)

𝐀𝐂 = 𝐚√𝟐 + √𝟐

Portanto, (e) é a alternativa correta.

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98

QUESTÃO 2

COMENTÁRIO:

Gabarito: (b)

Para descobrir o valor de 𝑥, podemos calcular a área total do terreno e utilizar a informação de que a área que cabe a

cada irmão é proporcional à sua idade. Calculando a área total:

Vamos calcular separadamente as áreas 1 (um trapézio) e 2 (um retângulo), segregadas pela linha pontilhada:

𝐀𝟏 =(B + b). h

2=(2 + 1). 1

2= 𝟏, 𝟓𝐤𝐦𝟐

𝐀𝟐 = b. h = 4.2 = 𝟖𝐤𝐦𝟐

Então, a área total do terreno é 𝐀 = A1 + A2 = 𝟗, 𝟓𝐤𝐦𝟐.

Sejam 𝒂 a área que cabe ao irmão mais novo e 𝒃 a área que cabe ao irmão mais velho. Como as idades são

proporcionais à área que cabe a cada um, utilizamos a razão entre as idades do mais novo e do mais velho para

montar o sistema:

{18

20=a

ba + b = 9,5

Simplificando a fração e resolvendo o sistema:

{18

20=a

b→ a =

9

10b

a + b = 9,5

9

10b + b = 9,5 → 𝐛 = 𝟓𝐤𝐦𝟐

a + 5 = 9,5 → 𝐚 = 𝟒, 𝟓𝐤𝐦𝟐

Então, 4,5km2 é a área que o irmão mais novo receberá e é a área que fica à direita da divisa da primeira figura. Logo, a

medida 𝑥 tem de ser tal que o seu produto pelo tamanho do segmento 𝐵𝐶 é igual à área 4,5km2. Veja:

2x = 4,5 → 𝐱 = 𝟐, 𝟐𝟓𝐤𝐦

Portanto, a medida de 𝑥 é 2,25km, o que corresponde à alternativa (b).

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99

QUESTÃO 3

COMENTÁRIO:

Gabarito: (c)

Pelo teorema dos senos, os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de

proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Então, seja 𝑟 o raio da circunferência.

Temos:

𝐱 = 2rsen(45°) = 2×4√2×√2

2= 4(√2)2 = 4.2 = 𝟖𝐜𝐦

Portanto, o número que expressa 𝑥 é divisível por 8, conforme alternativa (c).

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

E E C E B A E A C E C B D C E E B B C A C B E

13 GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

D B E A D B E C A

14 GEOMETRIA ANALÍTICA:

Coordenadas Cartesianas, Distância entre Dois Pontos, Equações da Reta, Área de um Triângulo. Aplicações. Posições Relativas.

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A E B C E E D B E

matemática - · pdf filefunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras....

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