Bniocontradomí)fIm( =

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MATEMÁTICAAula 6

FUNÇÕES

TÓPICOS

- Sobrejetora, Injetora e Bijetora- Função Composta- Função Inversa

FUNÇÃO SOBREJETORA

Definição:

“Não sobram elementos no contradomínio B”.

A f B

.y)x(fquetalAxexiste,Byasobrejetoréf

BA:f

=

ŒŒ"¤

Æ

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FUNÇÃO INJETORA

Definição:

“Elementos diferentes se associam a imagens diferentes”.

A f B

)x(f)x(fxxse

Ax,xinjetoraéf

BA:f

2121

21

≠fi≠

Œ"¤

Æ

)x(f)x(fxx:injetoraf 2121 ≠fi≠

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FUNÇÃO BIJETORA

Definição:

i) É sobrejetora A B f

ii) É injetora A B f

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.injetoraeasobrejetoréfbijetoraéf

BA:f

¤

Æ

Bniocontradomí)fIm( =-

)x(f)x(fxxSe 2121 ≠fi≠-

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A B f

FUNÇÃO COMPOSTA

Função h capaz de levar diretamente de A para C, sem passar por B, isto é,numa única etapa. B

f(x) •A c f g

x • • g(f(x)) h

Notação: )x)(fg())x(f(g)x(h o== lê-se “g” de “f” de x ou g bola f(x).

InjetoraaSobrejetor:bijetoraf

-

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Exemplo: B 2 •

4 •

f(x)=2.x g(x)=3.x 6 •

A C

1• • 6

2• • 12

3• • 18 h(x)

Obtenção da composta: g(x) = 3.x g(f(x)) = 3.f(x) g(f(x)) = 3.2x g(f(x)) = 6.x x.6)x(h =fi

FUNÇÃO INVERSA

Seja f uma função bijetora de A em B.Existe uma função capaz de nos levar de B para A. Essa função é a inversa.

A B A B f f-1

bijetoraf

BA:f Æ Notação: AB:f 1 Æ-

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••

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Observações:

A B A B f f-1

D = A D = B Im = B Im = A

Exemplo:

A B A B

1 2 1 2

2 4 2 4

“Se a função dobra um número do domínio, a inversa dividi por dois”.

• •

x.2yxBA:f

=

Æ

a

2

xyx

AB:f 1

=

Æ-

a

Obtenção formal da inversa:

Seja a função y = 2.x

I) Trocar x por y e y por x: x = 2.y

II) Isola-se o y: 2.y = x fi y = 2

x

INVERSA f-1

Graficamente verifica-se uma simetria entre o gráfico da função e o gráficoda inversa. São simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares,isto é, a reta y=x.

y y = x y = 2.x

2

1

x1 2

2

xy =

Exercícios:

1)Dadas as funções f e g de ¬ de ¬ , sendo g(x) = 4x – 5 ef(g(x)) = 13 – 8x, obter f(x).

2)Obtenha a inversa da função bijetora y = 2.x – 3, e represente nummesmo diagrama função e inversa.

Resoluções:

1)

x.23)x(f

)x(g.23))x(g(f

10)x(g.213))x(g(f

]5)x(g.[213))x(g(f

4

5)x(g.813))x(g(f

x.813))x(g(f

-=

-=

--=

+-=

˙˚

˘ÍÎ

È +-=

-=

2)

x f y

0 -4

2 0 2

x -4 2

-4

4

5)x(gx

5)x(gx4

x45)x(g

5x4)x(g

+=

+=

=+

-=

2

4xf

2

4xy

4xy.2y.24x)II4y.2x)I4x.2y

1 +=

+=

+=

=+

-=

-=

-