exerc cos fee0001 prova 1

Fsica para Engenharia Eltrica Lista de Exerccios Resolvidos

EXERCCIOS DE

APLICAO

FSICA PARA ENGENHARIA ELTRICAJos Fernando Fragalli

Departamento de Fsica Udesc/Joinville

Near the end of this decade, when they beginenumerating the names of the people who had thegreatest impact on the 20th century, the name of JohnBardeen, who died last week, has to be near, orperhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic]Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerousother honors. But what greater honor can there bewhen each of us can look all around us andeverywhere see the reminders of a man whose geniushas made our lives longer, healthier and better. Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991.

1. Introduo

2. Conceitos de Relatividade

3. Radiao de Corpo Negro

4. Propriedades Corpusculares da Radiao

5. Propriedades Ondulatrias da Matria

6. Conceitos de Mecnica Quntica

7. Modelos Atmicos

8. tomos de Muitos Eltrons e Molculas

LISTA DE EXERCCIOS RESOLVIDOS


9. Introduo Fsica do Estado Slido

Exerccios da Lista 11. Uma barra de 1,00 m projetada ao espao com

velocidade to grande que seu comprimento aos olhos de um

observador na Terra parece contrado para apenas 0,500 m.Determine a velocidade de percurso desta barra.

Trata-se de analisar o comportamento cinemtico dabarra que se move com uma velocidade elevada.

2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Para todos os efeitos, um observador solidrio barra est em repouso em relao ela.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se coma velocidade que queremos determinar em relao barralanada ao espao.



Exerccios da Lista 1Para resolver este problema, usamos a frmula que

relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais queesto a velocidades diferentes.


Como visto em sala de aula, a relao entre oscomprimentos medidos por um referencial S que se movecom velocidade V em relao a um referencial S em repouso

S

SSL

c

VLL == 22

'1



Exerccios da Lista 1 importante ter clareza aqui que neste problema S

o observador na Terra e S o observado solidrio barra.


Assim, temos que

00,1100,1500,0 2

2

==

c

V

mLS 500,0' = mLS 00,1=Assim, temos que

00,2=



Exerccios da Lista 1Com o valor de determinado, possvel calcular a

velocidade com que se move a barra.


Assim, temos que

00,21

1

2

2=

=

c

V

Assim, temos que

cV = 867,0



250,01 22

=

c

V750,02

2

=

c

V

Exerccios da Lista 12. Um foguete possui na Terra um comprimento de 100 m.

Quando est voando o seu comprimento de 99,0 m para umobservador situado na Terra. Determine o valor de sua velocidade.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar ocomportamento cinemtico do avio que se move com umavelocidade elevada.


Para todos os efeitos, um observador solidrio aoavio est em repouso em relao ele.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se coma velocidade que queremos determinar em relao ao avio.



Exerccios da Lista 1Para resolver este problema, usamos a frmula que

relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais queesto a velocidades diferentes.


Como visto em sala de aula, a relao entre oscomprimentos medidos por um referencial S que se movecom velocidade V em relao a um referencial S em repouso

S

SSL

c

VLL == 22

'1




o observador na Terra e S o observado solidrio ao avio.


Assim, temos que

10011000,99 2

2

==

c

V

mLS 0,99' = mLS 100=Assim, temos que

01,1=



Exerccios da Lista 1Com o valor de determinado, possvel calcular a

velocidade com que se move a barra.


Assim, temos que

01,11

1

2

2=

=

c

V

Assim, temos que

cV = 141,0



980,01 22

=

c

V0199,02

2

=

c

V

Exerccios da Lista 13. Um foguete deixa a Terra com uma velocidade de 0,980c.

Um observador situado na Terra mede o tempo que o ponteiro

dos minutos de um relgio da nave leva para efetuar uma

revoluo completa. Determine o valor deste tempo.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar ocomportamento cinemtico do avio que se move com umavelocidade elevada.


Para todos os efeitos, um observador solidrio aofoguete est em repouso em relao ele.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se coma velocidade de 0,980c.



Exerccios da Lista 1Neste caso, queremos determinar o tempo medido

por um observador na Terra aps o observador no fogueteter observado que o relgio marcou a passagem de 1 hora(uma revoluo completa no ponteiro dos minutos).


Como visto em sala de aula, a relao entre ostempos medidos por um referencial S que se move comvelocidade V em relao a um referencial S em repouso



SSS t

c

Vtt

==

2

2'

1

1


o observador na Terra e S o observado solidrio ao avio.


Assim, temos que

horatS 00,1=Assim, temos que

03,5=



22 980,01

1

1

1

=

=

c

c

c

V

cV = 980,0

Exerccios da Lista 1Com o valor de determinado, possvel calcular o

tempo que o observador em S (na Terra) mede no relgio dofoguete.


Assim, temos que

horastS 03,5' =



00,103,5' == SS tt

Exerccios da Lista 14. Um avio faz a volta em torno da Terra com uma

velocidade de 300 m/s. Determine o nmero de anos antes queum relgio no avio e outro na Terra difiram de 1,00 s.

Neste caso trata-se de analisar o comportamentocinemtico de um relgio dentro de um avio viajando a 300m/s com outro na Terra.


Fazemos a suposio que antes do avio decolar orelgio na Terra e aquele no avio foram sincronizados.

Tambm neste caso um observador solidrio ao avioest em repouso em relao a ele.



Exerccios da Lista 1


Tambm aqui um observador na Terra desloca-se coma velocidade de 300 m/s em relao ao avio.

Para resolver este problema, usamos a frmula querelaciona os tempos medidos em dois referenciais que estoa velocidades diferentes.


SSS t

c

Vtt

==

2

2'

1

1





Como o relgio na Terra viaja a 300 m/s em relao aorelgio no avio, ento o tempo se dilatar para o observadorna Terra, tal que

Em 1 ANO (1 ANO = 3,11106 s), os dois relgios vodiferir de

AT tt

=2

81000,33001

1

ATtt

AT tt

Assim, para que a diferena entre eles seja de 1,00 s,o nmero de anos deve ser igual a



Exerccios da Lista 15. Um homem deixa a Terra em um foguete que faz uma

viagem de ida e volta estrela mais prxima distante 4,00anosluz com uma velocidade de 0,900c. No seu retornodetermine o tempo que ele mais jovem do que seu irmo

gmeo que permaneceu na Terra.

Neste caso trata-se de analisar o comportamentocinemtico do irmo gmeo que viaja ao espao comvelocidade 0,900c comparando sua idade com a do irmogmeo que fica na Terra.


Fazemos a suposio que antes do foguete decolaros dois irmos gmeos tenham a mesma idade.







Neste caso o irmo gmeo solidrio ao foguete estem repouso em relao a ele.

Por outro lado, o irmo gmeo que ficou na Terradesloca-se com a velocidade de 0,900c em relao ao seuirmo que viaja no foguete.

Para resolver este problema, usamos a frmula querelaciona os tempos medidos em dois referenciais que estoa velocidades diferentes.






SSS t

c

Vtt

==

2

2'

1

1

Como o irmo gmeo que fica na Terra viaja a 0,900cem relao ao irmo que est no foguete, ento o tempo sedilatar para o irmo gmeo na Terra, tal que

GFGT t

c

c

t

=2900,01

1 GFGT tt = 29,2





Precisamos calcular agora quanto tempo durou aviagem do irmo gmeo que est no foguete.

Como a estrela para a qual o irmo gmeo do foguetese destinou est a 4,00 anosluz da Terra e como ele se deslocaa 0,900c, ento o tempo de viagem deste gmeo (ida e voltaat a estrela)

Por sua vez, para o gmeo que ficou na Terra, otempo que seu irmo demorou para ir e vir da estrela a 4,00anosluz dado por

canosc

tGF

=900,0

00,42 anostGF 89,8=





Assim, o diferena entre estes dois tempos oquanto o irmo gmeo que ficou no foguete mais jovem doque aquele que ficou na Terra.

89,84,20 =t

GFGT tt = 29,2 anostGT 4,20=

anost 5,11=

Exerccios da Lista 16. Certa partcula possui vida mdia igual a 1,0010-7 s

quando medida em repouso. Determine o valor desta vida mdia

caso a sua velocidade no instante de sua criao for igual a

0,990c.

Neste caso trata-se de analisar o comportamentocinemtico dos dois relgios naturais, um no referencial dapartcula em repouso e outro no referencial da partcula emmovimento com velocidade V = 0,990c.


Tanto o tempo medido em repouso quanto aquelemedido em movimento dizem respeito medidas feitas noreferencial do laboratrio.




O tempo de vida mdio obtido com a partcula emrepouso corresponde ao tempo medido no referencial S, jque este referencial est solidrio partcula.





SSS t

c

Vtt

==

2

2'

1

1


o observador no laboratrio e S o observado solidrio partcula.


Assim, temos que

stS71000,1 =

Assim, temos que

09,7=



22 990,01

1

1

1

=

=

c

c

c

V

cV = 990,0

Exerccios da Lista 1Com o valor de determinado, possvel calcular o

tempo que o observador em S (na Terra) mede no relgio dofoguete.


Assim, temos que

stS7

'1009,7 =



7'

1000,109,7 == SS tt

1. Introduo






7. Modelos Atmicos





Exerccios da Lista 21. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade

a 6000 K irradia mais energia por comprimento de onda?Justifique a sua resposta.

Um irradiador de cavidade uma outra forma de sereferir a um corpo negro.

3. RADIAO DE CORPO NEGRO

Por outro lado, a energia por comprimento de onda proporcional radincia espectral R.

Desta forma o problema nada mais pede do que ocomprimento de onda na qual a radincia espectral emitidapor um corpo negro mxima.





Abaixo mostramos espectros de R() = I() de umcorpo negro para vrias temperaturas.

bTMAX =Kmb = 31089,2



Exerccios da Lista 2Para determinar este comprimento de onda onde a

radiao emitida seja mxima usamos a Lei de Deslocamentode Wien.

No problema em questo temos que T = 6000 K, o quenos conduz ao seguinte resultado para o comprimento deonda onde a radiao emitida pelo irradiador mxima

bTMAX =


Kmb = 31089,2

nmMAX 481= nmnm azul 492455 azul



Exerccios da Lista 23. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifcio de

0,10 mm de dimetro feito em sua parede. Determine a potnciairradiada atravs do orifcio

a) no intervalo de comprimentos de onda entre 550 e 552nm.

Queremos determinar a potncia irradiada por umorifcio, que neste caso representa o corpo negro.

A radincia definida como sendo a energia irradiadapor unidade de rea, por unidade de tempo.

Assim, a radincia nada mais do que a potnciairradiada por unidade de rea.

3. RADIAO DE CORPO NEGROLISTA DE EXERCCIOS RESOLVIDOS


Exerccios da Lista 2Assim, como a rea do orifcio A = pipipipiD2/4, onde D o

seu dimetro, temos que

Por sua vez, a radincia determinada atravs daintegrao da radincia espectral no intervalo decomprimentos de onda solicitado, isto

4

2DRARP == pi

( ) = 21

dRR

Vamos usar nesta equao a frmula de R() obtidapor Planck para a radiao de corpo negro.



Exerccios da Lista 2Desta forma, usamos

Substitumos ento a frmula de Planck e calculamosa radincia no intervalo de comprimentos de onda solicitado.

( )

=

1exp

125

2

Tkch

chR

B

pi

=2

1

1exp

125

2

pi d

Tkch

chR

B



Exerccios da Lista 2Aqui ns observamos que o intervalo de

comprimentos de onda solicitado de apenas 2 nm (de 550 a552 nm)

Para intervalos de comprimentos de ondasuficientemente pequenos (como o caso neste problema),podemos aproximar o resultado da integral por

( )

pi

=

= Rd

Tkch

chR

B

2

1

1exp

125

2

Nesta equao = 551 nm a mdia do intervalo decomprimentos de onda considerado e = 2 nm.



Exerccios da Lista 2Assim, obtemos ento o seguinte resultado para a

potncia irradiada pelo orifcio

pi

pi

=

41exp

12 25

2 D

Tkch

chP

B

Usamos h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108 m/s, = 551nm, kB = 1,3810-23 J/K, T = 6000 K, D = 0,10 mm, = 2 nm, eobtemos

mWP 50,1=



Exerccios da Lista 23. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifcio de

0,10 mm de dimetro feito em sua parede. Determine a potnciairradiada atravs do orifcio

b) no intervalo de comprimentos de onda entre 200 e 800nm.

Neste caso, no podemos simplificar o clculo daintegral.

Para tanto devemos resolver a integral nos limitessolicitados pelo problema.

=2

1

1exp

125

2

pi d

Tkch

chR

B



Exerccios da Lista 2Esta integral no tem soluo analtica e para o seu

clculo devemos faz-lo atravs de mtodos numricos.

Para resolver esta integral, fazemos a seguintemudana de varivel

( )Tk

chx

B

=

Assim, nos limites entre 200 nm e 800 nm, obtemos

=

= nm

nm

B

d

Tkch

chDP800

200 52

2

1exp

1124

pi

pi

( )Tkx

chx

B

= dxxTk

chdB

= 21



Exerccios da Lista 2Substitumos a expresso para e d na integral e

obtemos a seguinte expresso para a potncia

=

0,12

00,3

3

23

4422

12dx

e

x

chTkDP

x

Bpi

Para determinar os limites de integrao, usamos

( )Tk

chx

B

=

Tkch

xBmai

= min

nmmai 800=

Tkch

xBmen

= max0,12max =x00,3min =x

nmmen 200=



Exerccios da Lista 2Calculamos a integral numericamente e obtemos

[ ] adxexx

=

0,12

00,3

3

1

aP = 21084,8

Usamos h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108 m/s, D = 0,10mm, kB = 1,3810-23 J/K, T = 6000 K e obtemos



=

0,12

00,3

3

23

4422

12dx

e

x

chTkDP

x

Bpi

Exerccios da Lista 23. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro.a) Supondo que a temperatura da superfcie do Sol 5700

K, use a Lei de Stefan-Boltzmann para determinar a massa derepouso perdida por unidade de tempo pelo Sol na forma deradiao eletromagntica. Para este clculo, considere que odimetro do Sol seja 1,40109 m.

A Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a intensidade daradiao eletromagntica irradiada pelo corpo negro com atemperatura.

4TR =



428 /1067,5 KmW =

Exerccios da Lista 2Calculamos ento a intensidade de radiao irradiada

pelo Sol, considerando que sua temperatura seja de 5700 K.

Como j visto antes, podemoscalcular a potncia irradiada pelo Solmultiplicando a radincia pela rea do Sol.

27 /1099,5 mWR =

24 SOLrA = pi



Em termos do seu dimetro, a reado Sol dada por

ARP =

Logo, temos que 2dRP = pi2d

r =

Exerccios da Lista 2Como d = 1,40109 m, temos que a potncia irradiada

igual a

WP 261069,3 =A hiptese que a energia irradiada associada a esta

potncia seja transformada em perda de massa do Sol.2cmE =



2cmE = 2ct

m

t

EP

=

=

Igualamos esta potncia relativstica com a potnciairradiada pelo corpo negro e determinamos ento a taxa deperda de massa m/t.


252 1022,9 =

ct

m Usamos c = 3,00108 m/s, eobtemos



skgt

m /1008,4 9=

b) Que frao da massa de repouso do Sol perdida cadaano sob forma de radiao eletromagntica? Para este clculoconsidere a massa do Sol como sendo 2,001030 kg.

Com o valor da taxa de perda de massa calculadaacima, podemos determinar a massa do Sol perdida em umano.

Exerccios da Lista 2Para isto, basta fazer t = 1 ano = 3,15107 s.

kgm 171029,1 =

Assim, temos que em um ano a massa perdida iguala



141044,6 =f

A frao de massa perdida pelo Sol em forma deradiao ento f = m/MSOL.

Considerando MSOL = 2,001030 kg temos que

1. Introduo






7. Modelos Atmicos





Exerccios da Lista 31. A energia necessria para que um eltron seja removido

do sdio 2,30 eV. O sdio apresenta Efeito Fotoeltrico para aluz amarela com comprimento de onda = 589 nm?

Queremos saber se ao incidir luz de comprimento deonda = 589 nm (amarela 565 nm amarela 590 nm) estesftons tero energia suficiente para retirar eltrons de umaplaca de sdio.

Para isto usamos o balano de energia para o EfeitoFotoeltrico e calculamos o valor do potencial de corte V0.

Se V0 > 0, ento ocorre Efeito Fotoeltrico e se V0 < 0,ento tal efeito no se manifesta.

4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAOLISTA DE EXERCCIOS RESOLVIDOS


Exerccios da Lista 3Abaixo mostramos o grfico de V0 em funo da

frequncia da luz que incide sobre um dado metal.

00 EhVe =

c

=



4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAO

Exerccios da Lista 3O balano de energia imposto ao Efeito Fotoeltrico

conduz seguinte relao entre o potencial de corte V0 e ocomprimento de onda da luz incidente

00 EchVe =




Nesta equao E0 a chamada funo trabalho, quesignifica a menor energia que prende um eltron ao metal, oua menor energia necessria para liberar o eltron do metal.

Exerccios da Lista 3Deduzimos ento que para o problema proposto

temos que E0 = 2,30 eV = 3,6810-19 J.

VV 19,00 =




Usamos e = 1,610-19 C, h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108m/s e neste caso temos que = 589 nm.

Obtemos ento o seguinte valor para V0

00

Exerccios da Lista 32. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma

superfcie de alumnio. Para o alumnio, so necessrios 4,2 eVpara remover um eltron.

a) Qual a energia cintica do eltron mais rpido emitido?

Como vimos, eltrons fotoejetados com maiorvelocidade (mais rpidos) so aqueles associados aopotencial de corte V0.



00 EhVeKMAX ==

Exerccios da Lista 3Assim, para determinar a energia cintica do eltrons

mais rpido, precisamos conhecer o valor do potencial decorte V0.

00 EhVe = c

=




00 EchVe =

O problema informa que so necessrios 4,2 eV pararetirar um eltron do alumnio.

Isto significa que a funo trabalho do alumnio igual a este valor, ou seja, E0 = 4,20 eV = 6,7310-19 J.


JKVe MAX19

0 1023,3==




Assim, usamos os valores das constantes doproblema e = 1,610-19 C, h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108 m/s eneste caso temos que = 200 nm.

Obtemos ento o seguinte valor para eV0

eVKMAX 02,2=



b) Qual a energia cintica do eltron mais lento emitido?

Eltrons so fotoejetados com uma distribuio develocidades que vai desde a mais baixa (v = 0) at a maisalta, calculada a partir da energia cintica mxima.



0=MINKDesta forma, o eltron mais

lento (no) sai do alumnio comvelocidade nula, e portanto suaenergia cintica tambm zero.



c) Qual o valor do potencial de corte?

Como vimos, existe uma relao direta entre aenergia cintica mxima dos eltrons fotoejetados e opotencial de corte Vo.



J determinamos o valor deKMAX e obtemos o valor 3,2310-19 Jou 2,02 eV. 0

VeKMAX =


JKVe MAX19

0 1023,3==




Assim, usamos os valores das constantes doproblema e = 1,610-19 C e determinamos facilmente o valorde V0.


VV 02,20 =



d) Qual o comprimento de onda limite para o alumnio?

Para determinar o comprimento de onda de corte doalumnio, usamos a equao do balano de energia do efeitofotoeltrico.



Para ocaso limite,fazemos V0 = 0 eobtemos ento

00 EchVe = 0E

chC

=






Assim, usamos os valores das constantes doproblema e = 1,610-19 C, h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108 m/s eneste caso para o alumnio temos que E0 = 4,20 eV = 6,7210-19 J.

nmC 294= ultravioleta

Exerccios da Lista 33. O potencial de corte para eltrons emitidos por uma

superfcie atingida por luz de comprimento de onda 491 nm 0,71 V. Quando se muda o comprimento de onda da radiaoincidente encontra-se para este potencial um valor de 1,42 V.Qual o valor do comprimento de onda da luz?

Neste problema no conhecemos o metal sobre oqual incidimos luz, mas por outro lado conhecemos tanto ovalor do potencial de corte V0 = 0,71 V, bem como ocomprimento de onda utilizado = 491 nm.

Usamos ento o balano de energia para o EfeitoFotoeltrico para determinar o valor da funo trabalho E0.



Exerccios da Lista 3Abaixo mostramos o grfico de V0 em funo da

frequncia da luz que incide sobre um dado metal.

00 EhVe = c

=




00 EchVe =


JE 190 1091,2=




Usamos e = 1,610-19 C, h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108m/s e neste caso temos que V0 = 0,71 V e = 491 nm.

Obtemos ento o seguinte valor para E0

Conhecido o valor da funo trabalho E0, voltamos aobalano de energia e podemos calcular o valor docomprimento de onda quando V0 = 1,42 V.

eVE 82,10 =

00 EchVe =


nm384=




Usamos e = 1,610-19 C, h = 6,6310-34 Js, c = 3,00108m/s e neste caso temos que V0 = 1,42 V e E = 2,9110-19 J =1,82 eV.

Obtemos ento o seguinte valor para

nmUV 390ultravioleta

Exerccios da Lista 313. Ftons com comprimento de onda 2,4010-12 m incidem

sobre eltrons livres.a) Determine o comprimento de onda de um fton que

espalhado de um ngulo de 30 em relao direo deincidncia, e a energia cintica transmitida ao eltron.

Para resolver este problema comeamos usando afrmula obtida por Compton para comprovar o efeito queleva o seu nome.



( ) cos1= C mcmhC 120 1043,2 ==C comprimento de onda de Compton





Na equao acima, o ngulo entre a radiaoespalhada (de comprimento de onda )e a radiao incidente(de comprimento de onda ), como mostra a figura abaixo, aqual ilustra o Efeito Compton.

Para = 30, temos ento que

m131026,3 =Sabemos que = , logo,

temos que

m121076,2' = Raios-X

Exerccios da Lista 313. Ftons com comprimento de onda 2,4010-12 m incidem

sobre eltrons livres.b) Faa o mesmo para um ngulo de espalhamento de 150.

Repetimos o mesmo procedimento usado na primeiraparte deste problema e encontramos



m121053,4 =m121096,6' =

Raios-X

1. Introduo






7. Modelos Atmicos





Exerccios da Lista 42. O comprimento de onda da emisso espectral amarela de

sdio 589 nm. Com que energia cintica um eltron livre tem omesmo comprimento de onda de De Broglie?

O comprimento de onda de De Broglie dado por

5. PROPRIEDADES ONDULATRIAS DA MATRIALISTA DE EXERCCIOS RESOLVIDOS


ph

DB =Nesta equao h = 6,6310-34 Js a

constante de Planck e p o momento linearda partcula (neste caso, o eltron).

Neste caso, temos que DB = 589 nm, ecom isto obtemos

smkgp /1013,1 27 =





Desejamos determinar a energia cintica de umeltron livre que tem o momento linear determinado acima.

Sabemos que para um eltron livre a sua energiacintica dada por

em

pK

=

2

2 Consideramos me = 9,1110-31 kg, ecom isto obtemos

JK 251096,6 =

eVK 35,4=

Exerccios da Lista 46. O espaamento planar principal em um cristal de KCl

0,314 nm. Compare o ngulo de reflexo de Bragg de primeiraordem por esses planos, de eltrons livres com energia cintica de40 keV com o de ftons de energia 40 keV.



Como vimos, a condio de reflexo de Bragg dadapor

=

2cos

dn




Precisamos ento determinar o comprimento de ondatanto do feixe de ftons, quanto do feixe de eltrons, e apartir disto, determinar o ngulo de reflexo para cada caso.

Nesta equao n a ordem dereflexo, o comprimento de onda doobjeto a ser refletido, d oespaamento entre os planos do cristalusado e o ngulo de reflexo.

Para os ftons a relao entreenergia e comprimentos de onda dada porF

FchhE

==

=

2cos

dn





Para o clculo de F, usamos os valores dasconstantes h = 6,6310-34 Js e c = 3,00108 m/s, alm deneste caso termos que EF = 40,0 keV = 6,4010-15 J, eobtemos

Substitumos este valor de na condio de reflexo deBragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos

mF111011,3 =

0990,02

cos =

F o169=F





Para o clculo de e, usamos o fato que toda energiado eltron cintica, e assim podemos determinar o seumomento linear atravs da equao

Usamos me = 9,1110-31 kg e para aenergia cintica Ke = 40 keV = 6,4010-15 Jobtemos

em

pK

=

2

2

smkgp /1008,1 22 =

Usamos ento a frmula de DeBroglie para determinar o comprimentode onda do eltron.p

hDB =





Usamos h = 6,6310-34 Js e obtemos ento

me121014,6 =

Substitumos este valor de na condio de reflexo deBragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos

196,02

cos =

e o157=e

Exerccios da Lista 412. Determine a incerteza na medida da velocidade de uma

partcula quando a incerteza na medida de sua posio aproximadamente igual ao seu comprimento de onda de DeBroglie.



Usamos aqui o Princpio da Incerteza de Heisenbergno limite de sua igualdade, isto

h= xpO texto do problema afirma que

ph

x DB ==




Desta forma, temos que

pi==

2h

php h

Sabemos tambmque a relao entre omomento linear de umapartcula de massa m esua velocidade dada porvmp =

pi=

2

1pp

vmp =Assim, temos que

vm

vm

pp

=

pi

=

2

1v

v

pi=

2v

v

Exerccios da Lista 417. A energia de uma partcula em um movimento

harmnico linear



222

21

2xm

m

pE +

=

Nesta equao p o momento linear da partcula, m a sua massae a sua frequncia angular.

a) Determine o valor da distncia a que minimiza a energiada partcula.

a) Admitimos que a partcula em movimentoharmnico oscila em um intervalo definido.




Do grfico e do tipo de movimento executado pelapartcula, temos que se soltarmos a partcula de uma posiox = a, ela oscilar em posies no intervalo a x +a.

Este intervalo est associado curva de energiapotencial associada ao movimento desta partcula.

22

21)( xmxU =





Assim, a incerteza na medida da posio destapartcula admite o valor do prprio intervalo, isto

Por sua vez, dada a caracterstica do movimento,tambm podemos afirmar que a incerteza da medida de seumomento linear igual medida do prprio momento linear,isto

ax = 2

pp = Para provar este resultado,veja o Exerccio 12 desta lista.





Usamos ento o Princpio da Incerteza de Heisenbergpara procurar uma relao entre o momento linear dapartcula e a amplitude de sua oscilao.

h= xp

Obtemos ento a relao entre p e a,dada ao lado.

ap

=

2h

ax = 2 pp =

Lembremos os resultadosencontrados para a incerteza namedida da posio e do momentolinear da partcula.





Substitumos este resultado na equao da energiatotal da partcula em oscilao, e encontramos umaexpresso desta energia em termos do parmetro a.

Para saber qual o valor da distancia a que minimizaesta energia, basta derivar E(a) em relao ao parmetro a eigualar este resultado a zero.

( ) 2222

28

amam

aE +

= h

Encontramos ento arelao

( ) 044

23

2

=+

= amamda

adE

h





Obtemos ento o seguinte resultado para o parmetroa que minimiza a energia do oscilador

Para saber qual o valor da distancia a que minimizaesta energia, basta derivar E(a) em relao ao parmetro a eigualar este resultado a zero.

possvel mostrar que esteresultado implica que a segundaderivada Encontramos ento a relao

=

maMIN 4

h

Exerccios da Lista 417. A energia de uma partcula em um movimento

harmnico linear



222

21

2xm

m

pE +

=

Nesta equao p o momento linear da partcula, m a sua massae a sua frequncia angular.

b) Determine este valor de mnima energia.

a) Admitimos que a partcula em movimentoharmnico oscila em um intervalo definido.

1. Introduo






7. Modelos Atmicos Clssicos e Semiclssicos





Exerccios da Lista 62. Calcule a frequncia de revoluo de um eltron no

Modelo de Bohr para o tomo de hidrognio em termos daenergia total do eltron.



No Modelo de Bohr consideramos que o movimentodo eltron ao redor do ncleo seja uma circunferncia.

Para este eltron a velocidade escalar a razo entreo comprimento da circunferncia e o perodo do movimentocircular uniforme.

frT

rv =

= pipi 22

n

nn

r

vf

=

pi2




As expresses para vn e rn foram deduzidas em salade aula.

( ) 3204 1

24 nemfn

=

pipi

h

h

22

204 nem

rn

=

hpi

n

evn

14 0

2

=

hpi

Substitumos ento os resultados mostrados acimana equao anterior.

n

nn

r

vf

=

pi2




Aps alguma manipulao obtemos o resultadoabaixo.

m

Ee

f nn3

20 22

=

Exerccios da Lista 63. Mostre que no estado fundamental do tomo de

hidrognio a velocidade do eltron pode ser escrita como v = c,onde a constante de estrutura fina. Calcule o valor de ecomente este resultado..



Para obter a constante de estrutura fina partimos daexpresso da velocidade do eltron no Modelo de Bohr.

n

evn

14 0

2

=

hpi

Multiplicamos o numerador e odenominador da equao ao lado pelavelocidade da luz c e fazemos n = 1(estado fundamental) para obtermos oresultado esperado.




cc

ev

=

h0

2

4 pi

Com os valores das constantes fundamentais,calculamos o valor da constante de estrutura fina.

31033,7 =

c

e

=

h0

2

4 pi

1137

1

Exerccios da Lista 64. Determine a energia, o momento linear e o comprimento

de onda de um fton emitido por um tomo de hidrognio aofazer uma transio direta de um estado excitado com n = 10para o estado fundamental. Usando a Lei da Conservao doMomento Linear, obtenha a velocidade de recuo do tomo dehidrognio neste processo.



Os nveis de energia de um eltron no tomo dehidrognio so determinados a partir da seguinte frmula

( ) 22204 1

42 nemEn

=

hpieV

nEn 2

6,13=




No problema em questo temos que ni = 10 e nf = 1(estado fundamental); assim, obtemos

A partir desta equao, temos que a diferena deenergia entre dois estados, o inicial com ndice ni e o finalcom ndice nf dada por

eVnn

Eif

= 22

116,13

eVE 5,13=





Ao mudar do nvel de energia correspondente a ni =10 para o estado fundamental (nf = 1), o eltron perde energiana forma de um fton com a mesma energia correspondentea esta diferena de nveis de energia. Assim, temos que

O momento linear do fton com energia EF dada por

eVEF 5,13=

c

Ep F=





Neste caso usamos c = 3,00108 m/s e obtemos

Para determinar o comprimento de onda do ftonemitido usamos a equao

msJpF /1020,727

=

Neste caso usamos h = 6,6310-34 Js, eobtemos

FF p

h=

nmF 1,92= ultravioleta





Para calcular a velocidade de recuo do tomo aoemitir o fton impomos a Lei de Conservao do MomentoLinear.

Supomos que inicialmente o tomo esteja emrepouso, isto , o momento linear do sistema tomo + fton zero.

Aps perder o fton com momento linear pF o tomodeve recuar com uma dada velocidade tal que, em mdulo,seu momento linear seja igual ao momento linear do ftonemitido.

Ftomo pp =





Mas, para o tomo de hidrognio, temos que

Sabemos que mp = 1.838,6me = 1,67510-27 kg. Assim,obtemos

( )recuopeH vmmp +=

smvrecuo /30,4=

Exerccios da Lista 68. Calcule a energia necessria para remover um eltron

de um tomo de hidrognio que est em um estadocorrespondente a n = 8..



Os nveis de energia de um eltron no tomo dehidrognio so determinados a partir da seguinte frmula

( ) 22204 1

42 nemEn

=

hpieV

nEn 2

6,13=

Remover o eltron do tomo significa, no mnimo,que sua energia final seja igual a zero (n ).




No problema em questo temos que ni = 8 e nf = (eltron fora do tomo); assim, obtemos

Novamente, temos que a diferena de energia entredois estados, o inicial com ndice ni e o final com ndice nf dada por

eVnn

Eif

= 22

116,13

eVE 212,0=

Exerccios da Lista 611. Supondo que seja possvel colocar uma quantidade de

trtio (hidrognio com nmero de massa trs) suficiente paraexames espectroscpicos em um tubo contendo hidrogniocomum, determine a separao entre a primeira linha da srie deBalmer (m =2 e n = 3) para o tomo de hidrognio normal e a damistura.



( ) 22204 1

42 neEn

=

hpi

Levando em conta que o ncleo tenha uma massafinita, os nveis de energia de um eltron no tomo dehidrognio so dados por

Nesta equao a massareduzida do sistema ncleo + eltron.




No caso de duas partculas de massa m1 e m2, amassa reduzida dada por

Lembremos da Mecnica o conceito de massareduzida, o qual tem origem no movimento do centro demassa de sistemas de duas ou mais partculas.

21

21

mm

mm

+

=

Para o hidrognio normal m1 = me = 9,1110-31 kg ealm disso m2 = mp = 1,6710-27 kg.

J para o trtio temos que m1 = me = 9,1110-31 kg ealm disso m2 = 3mp = 5,0110-27 kg.




Desta forma, para cada caso temos que os nveis deenergia de cada sistema so dados agora por

Para a transio ni nf , temos que

( ) ( ) 222204 55,131

42 nne

mm

mmE

pe

penH =

+

=

hpi

( ) ( ) 222204 56,131

4233

nn

e

mm

mmE

pe

penT =

+

=

hpi

eVnn

Efi

H

= 22

1155,13 eVnn

Efi

T

= 22

1156,13




Assim, para a transio ni= 3 para nf = 2, temos que

eVeVEH 882,191

4155,13 =

= eVeVET 883,19

14156,13 =

=

Esta transio se d atravs da emisso de um fton,cujo comprimento de onda calculado igualando estasenergias energia do fton.

chE =

Calculamos ento o comprimento deonda correspondente a cada elemento namistura.

Para este clculo usamos as constantesh = 6,6310-34 Js e c = 3,00108 m/s.




Obtemos ento

nmH 5,660=nmT 2,660=

vermelho

Exerccios da Lista 616. Determine a probabilidade do eltron no estado

fundamental do tomo de hidrognio ser encontrado entre a/3 e2a/3.



=V

dVP 2

A probabilidade de se encontrar uma partculaquntica dada por

Nesta equao a funo deonda que descreve a partcula.

No problema em questo o eltron descrito pelafuno de onda 100 , correspondente a n = 1, l = 0 e m = 0.




Por sua vez, a funo de onda 100 dada por

Tambm, sabemos que o elemento de volume dV nosistema de coordenadas esfricas dado por

dddrrdV = sin2Substitumos ento estes resultados na frmula da

probabilidade.

( ) ( )0

320

1001 a

r

e

a

r

=pi




Por sua vez, a funo de onda 100 dada por

Observamos que o integrando depende apenas davarivel r, o que simplifica bastante o processo deintegrao.

( )

=

V

a

r

dddrra

eP pi

sin2

2

30

0

( )

=

pipi

pi

2

00

32

3

22

30

sin10

0

0 dddrrea

P

a

a

a

r

2sin0

=pi

d

=

pi

pi2

0

2d




Substitumos o resultado destas integrais na frmulada probabilidade.

Para fazer a integral desta ltima expresso, fazemosa seguinte troca de varivel

( )

=

32

3

22

30

0

0

04

a

a

a

r

drrea

Ppi

pi

0

2a

ru

=

( )

=

32

3

22

30

0

0

04

a

a

a

r

drrea

P

ua

r =2

0

3

4

32

32

3

0

0

dudra

a

duadr =2

0




Substitumos tambm esta troca de varivel com asconsequncias sobre os limites de integrao na frmula daprobabilidade.

Consultamos uma tabela de integrais e obtemos oseguinte resultado para a integral desta ltima expresso

( )

=

34

32

02

023

0 224 duaaue

aP u

+

=

222 22

aa

xx

a

edxxexa

xa

=

34

32

2

21 duueP u

1=a ( )2222 ++= uueduue uu




Impomos os limites de integrao e obtemos

+

+

+

+

=

2322

322

342

34 232

23

434

32

2 eeduue u

++

++=

238

9162

34

94 3432

34

32

2 eeduue u

++

++=

9182416

918124 3432

34

32

2 eeduue u

=

958

934 3432

34

32

2 eeduue u

=

34

323

4

32

2 291792

eeduue u ( )084,1923

4

32

2=

duue u

241,03

4

32

2=

duue u =

34

32

2

21 duueP u 120,0=P %0,12=P

1. Introduo






7. Modelos Atmicos





Exerccios da Lista 81. Faa uma estimativa da largura da banda de conduo de

um metal cujo espaamento interatmico vale 3,510-10 m.

8. INTRODUO FSICA DO ESTADO SLIDOLISTA DE EXERCCIOS RESOLVIDOS


Para um metal os nveis de energia dos eltrons sodados atravs de

Nesta equao m a massa do eltron, N o nmerode eltrons do metal, a o espaamento interatmico e atrinca nx,ny,nz so os contadores que definem os estados doeltron.

( ) ( )222222

2 zyxnnnnnn

aNmE

zyx++

=

hpi




O nvel de energia mais baixo corresponde aosvalores nx = ny = nz = 1, logo temos que

J os nveis de energia mais elevados correspondema nx = ny = nz = N, logo temos que

8. INTRODUO FSICA DO ESTADO SLIDO

( )222

min 23

aNmE

=

hpi

2

22

max 23

amE

=

hpi




Por sua vez, a largura da banda de conduo dadapela diferena entre estes dois nveis, isto

Assim, usando os resultados calculadosanteriormente, obtemos

minmax EEE =


( )

=

= 2222

2

22

2

22 1123

23

23

NamaNmamE hhh pipipi

Para todos os efeitos, consideramos que N >> 1, logochegamos a




Para os resultados numricos, usamos h = 6,6310-34Js, m = 9,1110-31 kg e a = 3,5010-10 m, e obtemos


2

22

23

amE

= hpi

JE 181048,1 =

eVE 23,9=

Exerccios da Lista 82. O cobre um metal formado a partir de tomos de Cu

monovalentes, cuja densidade vale 8,0 g/cm3. A massa atmicados tomos de Cu vale 64,0 g/mol.

a) Determine o Nvel de Fermi para este metal.b) Faa uma estimativa da largura da banda de conduo

para este metal.



a) Para determinar o Nvel de Fermi do Cu necessrio conhecer a densidade de eltrons livres, j que

( ) 2/33

2/3

32

FEm

n

=

hpi( )

m

nEF

=

23 3/23hpi




Por sua vez, o nmero de eltrons livres calculadopela frmula.

MOLdZN

n mAV

=

Nesta equao NAV = 6,021023 o Nmero deAvogadro, Z = 1 a valncia do Cu, dm = 8,00 g/cm3 adensidade do Cu e MOL = 64,0 g a massa molecular do Cu.

328 /1052,7 meltronsn =

Com os valores acima, obtemos




Substitumos este resultado na frmula de EF e comos valores de h = 6,6310-34 Js, m = 9,1110-31 kg, obtemos

JEF191086,4 =( )

m

nEF

=

23 3/23hpi

eVEF 04,3=

Fsica para Engenharia Eltrica Exerccios

APRESENTAO DA

DISCIPLINA

FSICA PARA ENGENHARIA ELTRICAJos Fernando Fragalli

Departamento de Fsica Udesc/Joinville

Near the end of this decade, when they beginenumerating the names of the people who had thegreatest impact on the 20th century, the name of JohnBardeen, who died last week, has to be near, orperhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic]Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerousother honors. But what greater honor can there bewhen each of us can look all around us andeverywhere see the reminders of a man whose geniushas made our lives longer, healthier and better. Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991.

exerc cos fee0001 prova 1

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