Estudos de Controle - Introdução

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Motivação

• Controles automáticos são muito utilizados em diversas aplicações:

• Máquinas nas indústrias manufatureiras;

• Sistemas de piloto automático na indústria aeroespacial;

• Sistemas de carros e caminhões na indústria automotiva;

• Operações industriais como monitoramente de temperatura, pressão, umidade, viscosidade e vazão.

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Histórico

• Na década de 40 e 50:

• Métodos de resposta em frequência (diagramas de Bode) e lugar das raízes são a essência da teoria clássica de controle.

• Na década de 60 a 80:

• Controle ótimo de sistemas determinísticos e estocásticos.

• Controle Adaptativo e de aprendizagem.

• A partir da década de 80 até hoje:

• Controle robusto e H infinito . 3

Terminologia

• Variável controlada: grandeza ou condição que é medida e controlada. Geralmente é a saída do sistema.

• Variável manipulada: grandeza ou condição manipulada pelo controlador, de modo que afeta a variável controlada.

• Planta: sistema a ser controlado.

• Sistemas: combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo.

• Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa o sinal da variável de saída do sistema. Pode ser interno ou externo.

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Controle de Malha Aberta

• O sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema, não é medido nem realimentado.

• Cada entrada corresponde a uma condição fixa de operação.

• O controle não funciona na presença de distúrbios.

• Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego por sinais.

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Controle de Malha Fechada

• Também chamados de controle com realimentação.

• Estabelece uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência, utilizando a diferença como meio de controle.

• Robusto a distúrbios.

• Exemplo: controle de temperatura por temostato, temperatura corporal e pressão sanguínea.

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Transformada de Laplace

• Método operacional para solucionar equações diferenciais linerares.

• Fornece simplificações:

• Funções senoidais e exponenciais se tornam funções algébricas;

• Diferenciação e integração se tornam operações algébricas para variáveis complexas.

• Soluções fornecem tanto a componente transitória quanto a componente estacionária.

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Variáveis complexas

• Número complexo: possui uma parte real e uma parte imaginária, ambas constantes:

𝑅 + 𝑗𝐼

• Se alguma das partes for variável, temos uma variável complexa. Na transformada de Laplace utiliza-se a notação s:

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

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Funções complexas

• São funções que possuem uma parte real e uma parte imaginária:

𝐺 𝑠 = 𝐺𝑥 + 𝑗𝐺𝑦

• Módulo:

|𝐺 𝑠 | = 𝐺𝑥2 + 𝐺𝑦

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• Argumento angular de G(s): 𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺𝑥/ 𝐺𝑦)

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Módulo:

Função complexa analítica

• Uma função complexa é dita analítica em uma região se G(s) e suas derivadas existirem nessa região.

• Derivada de G(s): 𝑑

𝑑𝑠𝐺 𝑠 = lim

∆𝑠→0

𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠)

∆𝑠= lim∆𝑠→0

∆𝐺(𝑠)

∆𝑠

• Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 por infinitos diferentes caminhos. Por isso, a derivada pode não existir. 10

Condições de Cauchy-Riemann

• Se as derivadas calculadas ao longo de dois caminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔) forem iguais, então a derivada será a mesma para qualquer outro percurso.

• Com as duas condições satisfeitas:

𝜕𝐺𝑥

𝜕𝜎=𝜕𝐺𝑦

𝜕𝜔 e 𝜕𝐺𝑦

𝜕𝜎= −

𝜕𝐺𝑥

𝜕𝜔

• Então a derivada de G(s) é única e G(s) é analítica.

• Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1

𝑠+1

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Derivada de uma função analítica • Pode ser obtida simplesmente pela derivação de

G(s) em relação a s.

• Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1

𝑠+1

𝑑

𝑑𝑠

1

𝑠 + 1= −

1

(𝑠 + 1)2

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Função complexa analítica

• Pontos ordinários: pontos nos quais a função G(s) é analítica.

• Pontos singulares: pontos nos quais a função G(s) não é analítica.

• Pólos: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a infinito.

• Zeros: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a 0.

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Pólos e Zeros

• Dada a função: 𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝)𝑛

• Considerando que G(s) tende ao infinito quando s se aproxima de -p, mas a função acima seja finita e não nula, então s=-p é chamado pólo de ordem n.

• Os pólos podem ser simples (n=1), de segunda ordem (n=2) e assim por diante.

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Teorema de Euler

𝑒𝑗𝜃 = cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃

𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃

• Ou:

cos 𝜃 =1

2𝑒𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃

sin 𝜃 =1

2𝑗(𝑒𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃)

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Transformada de Laplace

𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡∞

0

𝑓 𝑡 =1

2𝜋𝑗 𝐹(𝑠)𝑐+∞

𝑐−∞

𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠

onde c é a abscissa de convergência, uma constante real escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s).

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Transformada de Laplace

• Condição de existência:

• A integral deve convergir.

• f(t) contínua em todo intervalo finito de tempo para t > 0 e se ela for de ordem exponencial quanto t tender a infinito.

• Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡|𝑓 𝑡 | deve tender a 0 quando t tende a infinito.

• Funções do tipo 𝑡, sin𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin𝜔𝑡 sempre possuem a transformada de Laplace.

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Transformada de Laplace

• Propriedades:

• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠

• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠)

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Transformada de Laplace

• Exponencial:

𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 =𝐴

𝑠 + 𝛼

• Função degrau:

𝑇𝐿 𝐴 = 𝐴

𝑠

• Função rampa:

𝑇𝐿 𝐴𝑡 = 𝐴

𝑠2

• Função senoidal:

𝑇𝐿 𝐴 sin𝜔𝑡 = 𝐴𝜔

𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos𝜔𝑡 =

𝐴𝑠

𝑠2+𝜔2

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