estudos de controle - aula 4: modelagem (2)
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Estudos de Controle – Modelagem (2)
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Controladores Automáticos
• Compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência.
• Produz sinal de controle que reduz o desvio.
• Ação de controle é a maneira pela qual isso é feito.
• Tipos:
• Duas posições (on-off)
• Proporcional
• Integral
• Proporcional-integral
• Proporcional-derivativo
• Proporcional-integral-derivativo
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Duas posições (on-off)
• O elemento atuante tem somente duas posições fixas.
• Simples e barato.
• Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante:
𝑢 𝑡 = 𝑈1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 > 0
𝑈2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 < 0
onde 𝑈1 e 𝑈2 são constantes.
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Duas posições (on-off)
• Intervalo diferencial é o intervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação.
• Relacionado com a vida útil dos componentes.
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Duas posições (on-off)
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Proporcional
• Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝
onde 𝐾𝑝 é o ganho proporcional.
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Integral
• O valor da saída u(t) é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante e(t).
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑡𝑡
0
𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)=𝐾𝑖𝑠
onde 𝐾𝑖 é o ganho integral.
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Proporcional-integral
• Propriedades do controle proporcional e integral.
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +𝐾𝑝
𝑇𝑖 𝑒 𝑡𝑡
0
𝑑𝑡
𝑜𝑢 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇𝑖𝑠
onde 𝑇𝑖 é o tempo integrativo.
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Proporcional-derivativo
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠
onde 𝑇𝑑 é o tempo derivativo.
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Proporcional-integral-derivativo • Tem as vantagens individuais de cada uma das
três ações de controle
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +𝐾𝑝
𝑇𝑖 𝑒 𝑡𝑡
0
𝑑𝑡 +𝐾𝑝𝑇𝑑𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠
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Distúrbios em malha fechada
• Como é um sistema linear, as entradas podem ser tratadas independentemente. Considerando 𝐶𝐷 𝑠 a resposta somente ao distúrbio:
𝐶𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
• E 𝐶𝑅 𝑠 a resposta somente à entrada ao sistema: 𝐶𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
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Distúrbios em malha fechada
• A resposta à aplicação simultânea das duas entradas pode ser obtida somando as respostas individuais:
𝐶 𝑠 = 𝐶𝑅 𝑠 + 𝐶𝐷 𝑠
𝐶(𝑠) =𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠(𝐺1 𝑠 𝑅 𝑠 + 𝐷(𝑠))
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Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação: 𝐶𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠)1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)+ 1
• Se 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 o efeito do distúrbio é suprimido.
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Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação: 𝐶𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1𝐻(𝑠)1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)+ 1
• Se |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 então a função de transferência é inversamente proporcional a H(s) e independe de 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠).
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Construção de diagramas de bloco • Descrever as equações que descrevem o
comportamento dinâmico de cada componente.
• Obter a transformada de Laplace dessas equações, admitindo as condições iniciais como nulas.
• Representar individualmente cada transformada em um bloco.
• Agrupar os elementos.
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Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC.
• Equações do circuito:
𝑖 = 𝑒𝑖−𝑒0
𝑅 e 𝑒0 =
𝑖𝑑𝑡
𝐶
• Transformada de Laplace:
𝐼 𝑠 =𝐸𝑖 𝑠 −𝐸0(𝑠)
𝑅 e 𝐸0 𝑠 =
𝐼(𝑠)
𝐶𝑠 16
Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC
• Diagrama de blocos de cada transformada:
• Agrupado:
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Redução do diagrama de blocos • Podem ser conectados em série.
• Podem ser substituídos por um único bloco, cuja função de transferência é o produto das funções de transferência individuais.
• Exemplo: circuito RC.
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1
𝑅𝐶𝑠
Redução do diagrama de blocos • Simplificação facilita a análise posterior:
• O produto das funções de transferência no sentido da ação deve permanecer o mesmo.
• O produto das funções de transferência ao redor da malha deve permanecer o mesmo.
• Exemplo:
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Redução do diagrama de blocos • Exemplo:
• G1:
• Realimentação H1:
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Redução do diagrama de blocos • G3:
• Realimentação:
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