modelagem, identificac¸ao e controle de altitude de …
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MODELAGEM, IDENTIFICACAO E CONTROLE DE ALTITUDE DE UM
HELICOPTERO EM ESCALA REDUZIDA
William Vairo dos Santos
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACAO DOS PRO-
GRAMAS DE POS-GRADUACAO EM ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FE-
DERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS
PARA A OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHA-
RIA ELETRICA.
Aprovada por:
Prof. Ramon Romankevicius Costa, D.Sc.
Prof. Liu Hsu, Docteur d’Etat
Prof. Paulo Cesar Pellanda Dr. ENSAE
Prof. Jose Paulo Vilela Soares da Cunha, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2005
SANTOS, WILLIAM VAIRO DOS
Modelagem, identificacao e controle de alti-
tude de um helicoptero em escala reduzida [Rio
de Janeiro] 2005
XII, 999p., 29.7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc.,
Engenharia Eletrica, 2005)
Tese — Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro, COPPE
1. Modelagem de helicoptero em escala redu-
zida, identificacao de parametros, controle de
altitude, eletronica embarcada.
I. COPPE/UFRJ II. Tıtulo (serie).
ii
Aos meus pais, Abel e Clea,
e a minha famılia, Flavia, Junior e Luiz Guilherme, com amor.
iii
Aos colegas Cıcero Ricardo Maximo Bezerra, Filippe Simoes Hallack e Alessandro
Jacoud Peixoto pelas suas contribuicoes ao sucesso deste trabalho.
Ao instrutor de voo e piloto de helicoptero miniatura Marcelo Ribeiro Barros pela
colaboracao inestimavel. Gracas a sua perıcia durante os voos experimentais a in-
tegridade do helicoptero foi preservada.
iv
Resumo da tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessarios
para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M..Sc.)
MODELAGEM, IDENTIFICACAO E CONTROLE DE ALTITUDE DE UM
HELICOPTERO EM ESCALA REDUZIDA
William Vairo dos Santos
Abril/2005
Orientador : Ramon Romankevicius Costa
Programa : Engenharia Eletrica
Este trabalho aborda a modelagem, identificacao e controle de altitude de um he-
licoptero em escala reduzida. A partir do modelo analıtico simplificado da dinamica
do helicoptero, foi obtido um modelo de identificacao linearizado de ordem 11 na
condicao de voo pairado. Deste modelo linearizado completo da aeronave, foi enfo-
cada a dinamica vertical com a finalidade de se identificar suas derivadas de estabili-
dade para, posteriormente, projetar-se um controlador que regule a altitude em um
valor desejado. Para a identificacao dessas derivadas, foi desenvolvido um conjunto
eletronico, composto de um sensor ultra-sonico de altitude e um computador em-
barcado, o qual possibilitou a aquisicao dos dados de voo. A precisao das derivadas
identificadas foi verificada pela comparacao entre os valores teoricos e os obtidos na
identificacao. Em seguida, essas derivadas foram utilizadas para o projeto de um
controlador PD para a regulacao da altitude. A robustez do controlador, em relacao
as incertezas parametricas e ao ruıdo de medida de altitude, foi verificada atraves
de simulacoes em ambiente Matlab/Simulink. O algoritmo do controlador foi imple-
mentado no mesmo computador embarcado utilizado na identificacao parametrica.
Com a finalidade de se diminuir os riscos de acidentes, foi desenvolvido um circuito
comutador, independente do computador embarcado, cuja funcao e chavear o con-
trole de altitude da aeronave entre um piloto humano e o controlador PD embarcado.
O controlador desenvolvido foi capaz de regular a altitude em um valor desejado e
rastrear os comandos de altitude enviados por radio-controle por um piloto humano.
v
Abstract of the Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the re-
quirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
MODELING, IDENTIFICATION AND ALTITUDE CONTROL OF A
SMALL-SCALE HELICOPTER
William Vairo dos Santos
April/2005
Advisor : Ramon Romankevicius Costa
Department : Electrical Engineering
This work addresses the modeling, identification and altitude control of a small-
scale helicopter. An 11th order linearized hover model was obtained from a simplified
analytic helicopter dynamic model. Using this complete linearized model, the ver-
tical dynamics was focused with the purpose of identifying its stability derivatives
for, later, designing a controller to regulate the altitude in a desired value. In or-
der to identify the derivatives, an electronic assembly composed of an ultrasonic
altitude sensor and an embedded computer was developed for flight data acquisi-
tion. The correctness of the identified derivatives was verified by their comparison
with the values obtained theoretically. After that, these derivatives were used for
the design of a PD altitude controller. The robustness of the controller to para-
metric uncertainties and altitude measure noise was verified through simulation in
Matlab/Simulink environment. The algorithm of the controller was implemented in
the same embedded computer used for parametric identification. To reduce flight
accident risks, a second independent embedded microcomputer circuit was develo-
ped with the function of switching the aircraft altitude control between a human
pilot and the embedded PD controller. The developed controller was able to regu-
late the altitude in a desired value and to track the altitude commands sent by a
human pilot using a radio-control unit.
vi
Conteudo
1 Introducao 1
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Metodos de Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Voo Experimental de Identificacao . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Simulacao/Validacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Voo Experimental de Teste do Controlador . . . . . . . . . . . 7
1.4 Descricao do Veıculo de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Modelagem da Dinamica 9
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Sistemas de Referencia e Transformacoes de Coordenadas . . . . . . . 10
2.3 Equacoes de Movimento do Corpo Rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Estendendo o Modelo do Corpo Rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Dinamica Simplificada do Rotor Principal . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1 Construcao Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 Aerodinamica do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.3 Dinamica do Rotor Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Forcas e Torques do Rotor Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2 Forcas e Torques do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.3 Equacoes do Movimento da Dinamica Acoplada Rotor-Fuselagem 41
vii
2.6.4 Torque em Guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Modelo linearizado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Identificacao 48
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Identificacao Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Fundamentacao Teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Aquisicao de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Modelo de Identificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 Criterio de Otimizacao dos Mınimos-Quadrados . . . . . . . . 53
3.4 Identificacao da Dinamica Vertical do Raptor-30 . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Aplicacao do Metodo dos Mınimos-Quadrados . . . . . . . . . 55
3.4.3 Voo Experimental de Identificacao . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.4 Resultados da Identificacao Parametrica . . . . . . . . . . . . 57
3.4.5 Validacao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Projeto do controlador 59
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Projeto do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Controlador PID Pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Requisitos do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Robustez do Controlador em Relacao as Incertezas de Zcol e Zw . . . 65
4.4 Discretizacao do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Simulacao do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Aspectos Praticos da Implementacao do Controlador . . . . . . . . . 79
4.7 Testes Experimentais em Voo do Controlador . . . . . . . . . . . . . 82
viii
5 Descricao do Conjunto Eletronico 87
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Eletronica de Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Eletronica Embarcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.1 Sonar-Altımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Computador de Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.3 Circuito Comutador de Malha Aberta/Malha Fechada . . . . . 94
5.3.4 Montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6 Conclusoes 96
6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Identificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Projeto do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Observacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6 Pontos a Desenvolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ix
Lista de Sımbolos
a . . . . . . . . . . Inclinacao da curva de sustentacao
a0 . . . . . . . . . Angulo de cone da pa do rotor principal
a . . . . . . . . . . Angulo de batimento longitudinal
b . . . . . . . . . . Angulo de batimento lateral
a . . . . . . . . . . Vetor de estado do Plano de Rotacao (TPP)
x . . . . . . . . . . Eixo longitudinal do sistema de referencia do corpo do helicoptero,positivo a frente
y . . . . . . . . . . Eixo lateral do sistema de referencia do corpo do helicoptero, positivoa direita do piloto
z . . . . . . . . . . Eixo vertical do sistema de referencia do corpo do helicoptero, positivopara baixo
X . . . . . . . . . Forca externa que atua na direcao do eixo x
Y . . . . . . . . . . Forca externa que atua na direcao do eixo y
Z . . . . . . . . . . Forca externa que atua na direcao do eixo z
L . . . . . . . . . . Torque externo que atua na direcao do eixo x
M . . . . . . . . . Torque externo que atua na direcao do eixo y
N . . . . . . . . . Torque externo que atua na direcao do eixo z
u . . . . . . . . . . Velocidade linear na direcao do eixo x
v . . . . . . . . . . Velocidade linear na direcao do eixo y
w . . . . . . . . . . Velocidade linear na direcao do eixo z
p . . . . . . . . . . Velocidade angular na direcao do eixo x
q . . . . . . . . . . Velocidade angular na direcao do eixo y
r . . . . . . . . . . Velocidade angular na direcao do eixo z
ωb . . . . . . . . . Vetor velocidade angular da aeronave no sistema de coordenadas docorpo
φ . . . . . . . . . . Angulo de Euler relativo ao eixo x
θ . . . . . . . . . . Angulo de Euler relativo ao eixo y
ψ . . . . . . . . . . Angulo de Euler relativo ao eixo z
x . . . . . . . . . . Vetor de estado da aeronave
x
u . . . . . . . . . . Vetor de entrada de controle da aeronave
δx . . . . . . . . . Perturbacao do vetor de estado da aeronave
δu . . . . . . . . . Perturbacao do vetor de entrada de controle da aeronave
X . . . . . . . Perturbacao da componente longitudinal da forca que atua na aeronave
Y . . . . . . . . Perturbacao da componente lateral da forca que atua na aeronave
Z . . . . . . . . Perturbacao da componente vertical da forca que atua na aeronave
L . . . . . . . . Perturbacao da componente longitudinal do torque que atua naaeronave
M . . . . . . . Perturbacao da componente lateral do torque que atua na aeronave
N . . . . . . . Perturbacao da componente vertical do torque que atua na aeronave
Θ(Ψ) . . . . . . Angulo de passo da pa do rotor principal
Θ(Ψ)fly . . . . Angulo de passo da pa do rotor da barra estabilizadora
Θ0 . . . . . . . . . Angulo de passo medio da pa do rotor principal
ucol . . . . . . . . Entrada de comando de coletivo
ulon . . . . . . . . Entrada de comando cıclico-longitudinal
ulat . . . . . . . . Entrada de comando cıclico-lateral
uped . . . . . . . . Entrada de comando de guinada (pedal)
δcol . . . . . . . . Perturbacao da entrada de comando de coletivo
δlon . . . . . . . . Perturbacao da entrada de comando cıclico-longitudinal
δlat . . . . . . . . Perturbacao da entrada de comando cıclico-lateral
δped . . . . . . . . Perturbacao da entrada de comando de guinada (pedal)
Xu . . . . . . . . Derivada parcial da forca longitudinal em relacao a u
Xa . . . . . . . . . Derivada parcial da forca longitudinal em relacao a a
Yv . . . . . . . . . Derivada parcial da forca lateral em relacao a v
Yb . . . . . . . . . Derivada parcial da forca lateral em relacao a b
Zu . . . . . . . . . Derivada parcial da forca vertical em relacao a a
Zw . . . . . . . . . Derivada parcial da forca vertical em relacao a w, amortecimentovertical
Zcol . . . . . . . . Sensibilidade da entrada de coletivo
xi
Lb . . . . . . . . . Derivada parcial do torque longitudinal em relacao b b, devida a molade batimento
Ma . . . . . . . . Derivada parcial do torque vertical em relacao a a, devida a mola debatimento
Nr . . . . . . . . . Derivada parcial do torque vertical em relacao a r, amortecimento deguinada
Kr . . . . . . . . . Realimentacao de velocidade de guinada
Nped . . . . . . . Derivada parcial do torque vertical em relacao a δped, sensibilidade daentrada de pedal
Θlon . . . . . . . Coeficiente do termo senoidal de Θ(Ψ) devido a δlon
Θlat . . . . . . . . Coeficiente do termo cossenoidal de Θ(Ψ) devido a δlat
Ψ . . . . . . . . . . Angulo de azimute da pa do rotor principal
β(Ψ) . . . . . . Angulo de batimento da pa do rotor principal
β(Ψ)fly . . . . Angulo de batimento da pa do rotor da barra estabilizadora
kβ . . . . . . . . . Constante da mola equivalente de batimento do rotor principal
γ . . . . . . . . . . Lock number, razao entre as forcas aerodinamicas e inerciais do rotorprincipal
Iβ . . . . . . . . . Momento de inercia da pa do rotor principal em relacao a dobradicade batimento
τmr . . . . . . . . Constante de tempo do rotor principal
τfly . . . . . . . . Constante de tempo do rotor da barra estabilizadora
β1cfly. . . . . . Componente cossenoidal do angulo de batimento da barra estabiliza-
dora, idem a d
d . . . . . . . . . . Componente cossenoidal do angulo de batimento da barra estabiliza-dora
β1sfly. . . . . . Componente senoidal do angulo de batimento da barra estabilizadora,
idem a c
c . . . . . . . . . . Componente senoidal do angulo de batimento da barra estabilizadora
Rmr . . . . . . . Raio do rotor principal
Ω . . . . . . . . . . Velocidade angular do rotor principal
Aδlon. . . . . . . Ganho regime permanente da entrada cıclica δlon
Bδlat. . . . . . . Ganho em regime permanente da entrada cıclica δlat
C1 . . . . . . . . . Coeficiente cossenoidal do angulo de passo das pas da barra estabiliza-dora
xii
D1 . . . . . . . . . Coeficiente senoidal do angulo de passo das pas da barra estabilizadora
δlat . . . . . . . . Comando cıclico lateral acrescido da contribuicao da barra estabiliza-dora
δlon . . . . . . . . Comando cıclico longitudinal acrescido da contribuicao da barraestabilizadora
Kc . . . . . . . . . Ganho mecanico do misturador Bell-Hiller relativo ao angulo c
Kd . . . . . . . . . Ganho mecanico do misturador Bell-Hiller relativo ao angulo d
Alon,eff . . . . Ganho longitudinal efetivo da entrada δlon, para rotor com barraestabilizadora
Blat,eff . . . . Ganho lateral efetivo da entrada δlat, para rotor com barra estabiliza-dora
τeff . . . . . . . . Constante de tempo efetiva do rotor principal com barra estabilizadora
µ . . . . . . . . . . Razao de avanco
vipairado. . . . . Velocidade induzida no ar pelo rotor principal em voo pairado
ma . . . . . . . . Massa da aeronave
A . . . . . . . . . . Area do disco do rotor principal
CT . . . . . . . . Coeficiente de empuxo
λipairado. . . . Fluxo de ar para voo pairado
hmr . . . . . . . . Distancia do cubo do rotor principal ao centro de gravidade da aeronave
CQ . . . . . . . . Coeficiente de torque de guinada
λ0 . . . . . . . . . Componente uniforme do fluxo de ar no rotor
σ . . . . . . . . . . Razao de solidez do rotor
cd0. . . . . . . . . Coeficiente de arrasto aerodinamico de um aerofolio com angulo de
ataque igual a zero
Qmr . . . . . . . Torque do rotor principal
ρ . . . . . . . . . . Densidade do ar
g . . . . . . . . . . Aceleracao da gravidade
τλ . . . . . . . . . Constante de tempo de acomodacao do fluxo de ar no rotor
U . . . . . . . . . . Resultante da velocidade do ar em relacao as pas do rotor
UT . . . . . . . . . Componente tangente ao plano de impulsao da velocidade do ar emrelacao as pas do rotor
xiii
UP . . . . . . . . Componente perpendicular ao plano de impulsao da velocidade do arem relacao as pas do rotor
φ . . . . . . . . . . Angulo medido entre a velocidade resultante U e o plano de impulsao
α . . . . . . . . . . Angulo de ataque, medido entre a corda da pa e a velocidade resultanteU
c . . . . . . . . . . Corda da pa
b . . . . . . . . . . Comprimento da pa
cl . . . . . . . . . . Coeficiente de sustentacao
cd . . . . . . . . . Coeficiente de arrasto
L . . . . . . . . . . Forca de sustentacao de uma secao elementar da pa
D . . . . . . . . . Forca de arrasto de uma secao elementar da pa
Tmr . . . . . . . . Empuxo do rotor principal
Q . . . . . . . . . . Torque do rotor
P . . . . . . . . . . Potencia do rotor
N . . . . . . . . . Numero de pas do rotor
AR . . . . . . . . Razao de aspecto de um aerofolio
Fz . . . . . . . . . Forcas aerodinamicas elementar normal ao plano de impulsao
Fx . . . . . . . . . Forcas aerodinamicas elementar paralela ao plano de impulsao
CT . . . . . . . . Coeficiente de empuxo
CP . . . . . . . . Coeficiente de potencia
CQ . . . . . . . . Coeficiente de torque
V . . . . . . . . . . Velocidade de subida
σ . . . . . . . . . . Razao de solidez do rotor
Tx . . . . . . . . . Componente do empuxo na direcao do eixo x
Ty . . . . . . . . . Componente do empuxo na direcao do eixo y
Tz . . . . . . . . . Componente do empuxo na direcao do eixo z
e(k) . . . . . . . Ruıdo branco discreto
y(k) . . . . . . . Saıda do modelo discreto de identificacao no instante k
y(k − na) . . Saıda do modelo discreto de identificacao atrasada de na unidades detempo discreto
xiv
u(k) . . . . . . . Entrada externa do modelo discreto de identificacao
θ . . . . . . . . . . Vetor de parametros que descrevem o sistema que se deseja identificar
ϕ(k) . . . . . . . Vetor de medidas da entrada e da saıda do sistema que se desejaidentificar
θ . . . . . . . . . . Estimativa dos parametros θ
y . . . . . . . . . . Variavel computada com base em ϕ(k) e θ
J(θ) . . . . . . . Funcao custo
Φ . . . . . . . . . . Matriz de medidas
ΦT . . . . . . . . Pseudo-inversa de Φ
h . . . . . . . . . . Intervalo de tempo discreto do controlador
y(t) . . . . . . . . Saıda do processo
uc(t) . . . . . . . Entrada de comando do processo
e(t) . . . . . . . . Diferenca entre o sinal de entrada de comando uc(t) e a saıda doprocesso y(t)
Kp . . . . . . . . . Ganho proporcional do controlador PID
Ti . . . . . . . . . Tempo de integracao do controlador PID
Td . . . . . . . . . Tempo derivativo do controlador PID
U(s) . . . . . . . Transformadas de Laplace de u(t)
Y (s) . . . . . . . Transformadas de Laplace de y(t)
E(s) . . . . . . . Transformadas de Laplace de e(t)
φ(s) . . . . . . . Equacao caracterıstica do controlador contınuo
ζ . . . . . . . . . . Coeficiente de amortecimento
ωn . . . . . . . . . Frequencia natural nao-amortecida
G(s) . . . . . . . Funcao de transferencia em malha fechada do sistema contınuo
P (t) . . . . . . . Termo proporcional do controlador PD contınuo
D(t) . . . . . . . Termo derivativo do controlador PD contınuo
P (s) . . . . . . . Transformadas de Laplace de P (t)
D(s) . . . . . . . Transformadas de Laplace de D(t)
P (k) . . . . . . . Discretizacao de P (t)
D(k) . . . . . . Discretizacao de D(t)
xv
uc(k) . . . . . . Entrada de comando discreta do processo
y(k) . . . . . . . Saıda discreta do processo
D(z) . . . . . . . Transformadas z de D(k)
Y (z) . . . . . . . Transformadas z de y(k)
delta(k) . . . Diferenca entre duas medidas consecutivas de altitude saturada
Lista de Acronimos
PD . . . . . . . . Proporcional e Derivativo
PID . . . . . . Proporcional, Integral e Derivativo
V ANT . . . . Veıculo Aereo Nao-Tripulado
GPS . . . . . . Global Positioning System
IMU . . . . . . Inertial Measurement Unit
CIFER . . . Comprehensive Identification from FrEquency Responses
NASA . . . . National Aeronautics and Space Administration
DGPS . . . . Differential Global Positioning System
MIT . . . . . . Massachusetts Institute of Technology
OFE . . . . . . Operational Flight Envelope
SEF . . . . . . Safe Envelope Flight
TPP . . . . . . Tip Path Plane (plano de rotacao do rotor principal
ARX . . . . . . AutoRegressive with eXtra input
ARMAX . . AutoRegressive Moving Average with eXtra input
EEPROM Memoria Programavel Somente de Leitura Apagavel Eletricamente
SISO . . . . . Single Input Single Output
ZOH . . . . . . Zero Order Holder
RISC . . . . . Reduced Instruction Set Computer)
TX . . . . . . . . Transmissor
RX . . . . . . . . Receptor
xvi
MIPS . . . . Milhoes de Instrucoes Por Segundo
SRAM . . . . Memoria Estatica de Acesso Aleatorio
USART . . . Receptor Transmissor Sıncrono Assıncrono Universal
LCD . . . . . . Mostrador de cristal lıquido
IHM . . . . . . Interface Homem-Maquina
IDE . . . . . . Ambiente integrado de desenvolvimento
xvii
Capıtulo 1
Introducao
O principal objetivo deste trabalho foi realizar o controle de altitude de um he-
licoptero em escala reduzida. Tendo-se em vista as caracterısticas dinamicas do
sistema a ser controlado, este objetivo e na verdade um desafio. Um erro na imple-
mentacao do controlador ou uma falha nos procedimentos dos teste de voo poderia
facilmente destruir o helicoptero. Assim, para assegurar o sucesso do projeto, a
seguinte metodologia foi cuidadosamente aplicada.
Inicialmente foi desenvolvido um modelo dinamico nao-linear de baixa ordem
(contendo apenas 11 estados) para helicopteros em escala reduzida, partindo-se das
equacoes de Newton-Euler para corpos rıgidos. O modelo nao-linear foi linearizado
em voo pairado. Para validar parte do modelo linearizado, um helicoptero minia-
tura RAPTOR-30 foi equipado com um conjunto de avionica digital capaz de fazer
aquisicao de dados em voo e armazena-los para posterior processamento.
A aeronave foi testada em voo pairado e em algumas sequencias de manobras
em torno deste ponto de operacao, e o conjunto aeronave-avionica demonstrou ser
adequado a identificacao da dinamica vertical em voo pairado. Baseado nestes re-
sultados, foram obtidos os parametros do modelo linear simplificado desta dinamica.
Posteriormente, este modelo linear foi utilizado no desenvolvimento de um contro-
lador PD capaz de controlar a altitude da aeronave. O controlador assim projetado
foi exaustivamente simulado antes de se realizar os voos experimentais em malha
fechada.
Utilizando-se um conjunto adequado de sensores, e aplicando-se os mesmos metodos
aqui utilizados para a identificacao e validacao da dinamica vertical, e possıvel obter-
se um modelo completo do RAPTOR-30, como ja realizado por (Mettler 2003) e
(Gavrilets, Mettler & Feron 2001). Esta aeronave, uma vez identificado o seu mo-
1
delo completo, podera vir a ser uma plataforma de testes para tecnicas de controle
avancadas e simuladores em tempo real, com aplicacoes em helicopteros em escala
reduzida.
1.1 Motivacao
Os helicopteros sao as aeronaves mais versateis da atualidade por serem capazes de
decolar e aterrissar verticalmente, pairar no ar, girar em torno de seu eixo vertical,
se moverem lateralmente e longitudinalmente em avanco e recuo. Os helicopteros
sao tambem conhecidos pela sua instabilidade em malha aberta e dificuldade de
controle. Sua dinamica tem modos acoplados e instaveis que exigem muito dos
pilotos humanos. Isso leva os fabricantes a dotarem estas aeronaves de algum tipo
de assistencia ao piloto, atraves de controles automaticos de orientacao, velocidade
ou altitude, com a finalidade de diminuir o esforco de pilotagem. Esta assistencia
ao piloto e obtida com o aumento do sistema dinamico da aeronave pela utilizacao
de estabilizadores mecanicos, sensores e circuitos eletronicos embarcados.
Os helicopteros em escala reduzida nao sao uma excecao a esta regra, geralmente
possuem um estabilizador eletronico que amortece o movimento angular em torno
do seu eixo vertical (movimento de guinada) e um estabilizador mecanico (barra
estabilizadora) cuja finalidade principal e tornar mais lenta a dinamica do rotor
principal, a qual governa as forcas e torques externos aplicados pelas entradas de
comando a fuselagem da aeronave. Sem esta ajuda a pilotagem humana fica muito
dificultada ou impossıvel.
Os helicopteros em escala reduzida possuem caracterısticas que os tornam ainda
mais versateis que os helicopteros em escala normal. Sua pequena massa e elevada
relacao potencia/peso permitem que estas aeronaves executem manobras acrobaticas,
as quais sao difıceis para outras aeronaves. Seu momento de inercia diminui com a
quinta potencia do fator de escala (I = Σmir2i , onde mi sao as massas das partıculas
do corpo e ri suas respectivas distancias do eixo de rotacao), enquanto o empuxo de-
cresce proporcionalmente a massa, ou seja, com a terceira potencia (o empuxo e pro-
porcional a potencia do motor, que e proporcional ao deslocamento volumetrico do
cilindro). Helicopteros em escala reduzida podem ter elevada relacao empuxo/peso,
podendo chegar facilmente a dois ou tres, o que permite que executem manobras
acrobaticas, as quais sao difıceis para aeronaves em tamanho normal.
2
O interesse em VANT’s (Veıculos Aereos Nao-Tripulados) vem aumentando consi-
deravelmente, tanto para aplicacoes civis como militares. Entre elas estao filmagem
em locais perigosos ou inacessıveis, vigilancia e reconhecimento. Para a maioria das
aplicacoes, as aeronaves em escala reduzida atendem aos requisitos de capacidade de
carga util e autonomia, e tendo como vantagens adicionais um menor custo e mais
agilidade.
As principais universidades do mundo que desenvolvem projetos com VANT’s
preferem faze-lo utilizando como plataformas os helicopteros em escala reduzida,
principalmente devido a facilidade operacional e as peculiaridades de sua dinamica
que permitem testar tecnicas de controle avancadas.
A principal motivacao para o presente trabalho de modelagem dinamica, iden-
tificacao e controle de uma helicoptero miniatura foi o desenvolvimento de uma
plataforma versatil e economica que permita o teste de diversas tecnicas avancadas
de controle e que permita comparacoes com tecnicas tradicionais como os controla-
dores PID. Esta plataforma podera vir a servir a futuros trabalhos de projetos de
controladores que permitam manobras completamente autonomas e, ainda, para o
planejamento de trajetorias, em ambos os casos com o auxılio de uma unidade de
medidas inerciais (IMU) em conjunto com um receptor de GPS (Global Positioning
System).
1.2 Objetivos
Os principais objetivos da presente tese sao:
• Desenvolver um modelo dinamico analıtico de baixa ordem de um helicoptero
miniatura;
• Projetar, construir e testar a instrumentacao eletronica embarcada e de terra;
• Identificar os parametros da dinamica vertical extraıda do modelo linearizado
em voo pairado;
• Simular a dinamica vertical em ambiente Matlab/Simulink;
• Projetar um controlador que regule a altitude, e
• Realizar testes experimentais deste controlador.
3
1.3 Metodos de Modelagem
Existe farta literatura que aborda a modelagem dinamica de helicopteros de es-
cala normal baseados nos primeiros princıpios (princıpios basicos da Mecanica e da
Fısica). Alguns servem de referencia como o (Heffley & Mnich 1987), (Harris 1972),
(Padfield 1996) e (Johnson 1980).
Geralmente, os modelos utilizados sao de ordem elevada e possuem uma grande
quantidade de parametros que geralmente nao podem ser medidos diretamente.
Apos seu desenvolvimento, estes modelos requerem uma extensa validacao e refina-
mentos antes que eles possam predizer o comportamento dinamico da aeronave com
confiabilidade e precisao. Portanto, a modelagem detalhada usando os princıpios
basicos da Mecanica e da Fısica nao e uma tarefa trivial, e necessita recursos muitas
vezes indisponıveis ou onerosos, como um tunel de vento, por exemplo.
Os helicopteros desenvolvem suas manobras em um conjunto complexo de condicoes
aerodinamicas. O fluxo de ar descendente gerado pelo rotor principal e, por si so,
um sistema dinamico complexo. A dinamica do helicoptero envolve interacoes com-
plexas deste fluxo de ar com a fuselagem, o rotor de cauda e outras superfıcies de
estabilizacao. A complexidade aumenta mais ainda a medida que a aeronave sai da
condicao de voo pairado para a de voo de cruzeiro e ganha velocidade.
Devido as diferencas de escala e caracterısticas construtivas dos helicopteros em
escala reduzida, estes efeitos sao dominados pelas relativamente grandes forcas e
torques que sao gerados quase que instantaneamente apos aplicadas as entradas de
controle (Gavrilets 2003).
Como opcao as modelagens fısicas complexas e de ordem elevada, existe a tecnica
de modelagem baseada na identificacao parametrica de sistemas, a qual tem sido
utilizada com frequencia para o desenvolvimento de modelos linearizados em pontos
de operacao especıficos (principalmente voo pairado e de cruzeiro).
Estes modelos tem se mostrado uteis em projetos de controladores, estudos de
qualidade de voo e, ainda, em validacao e refinamento de modelos nao-lineares
detalhados baseados nos princıpios basicos da Fısica. Metodos como o CIFER
(Comprehensive Identification from FrEquency Responses) da NASA (Heffley &
Mnich 1987) foram usados para o desenvolvimento de modelos linearizados rela-
tivamente simples ((Mettler 2003) pp. 30 e 40), os quais capturaram com precisao o
comportamento da dinamica do veıculo em torno de pontos de operacao especıficos.
4
Embora se buscasse um modelo simplificado, este modelo teria que ter uma boa
precisao e guardar uma direta relacao com os princıpios fısicos basicos que regem
os movimentos do helicoptero e os seus parametros mensuraveis, ou seja, o modelo
deveria ter uma visao fısica. Esta visao e imprescindıvel, pois permite que falhas
na modelagem, e/ou nas medidas realizadas durante os testes experimentais, fossem
mais visıveis, e depuradas com mais facilidade. Uma vantagem adicional advinda
desta abordagem e a possibilidade de se aproveitar boa parte do modelo, se nao todo,
ao se modelar outro helicoptero miniatura, de dimensoes e construcao diferentes,
substituindo-se os parametros mensuraveis, estimando-se outros nao mensuraveis
diretamente, e utilizando-se tecnicas de escalamento (Mettler 2003).
A modelagem parte das equacoes de movimento do corpo rıgido dadas pelas
equacoes de Newton-Euler, onde os produtos cruzados das inercias foram despreza-
dos. O rotor principal gera as principais forcas e torques que agem sobre a aeronave
e sua dinamica e fundamental no modelo a ser obtido. A barra estabilizadora, que
esta acoplada ao rotor principal, domina a dinamica do conjunto rotor/barra esta-
bilizadora, e este aumento do sistema dinamico tambem esta explicitado no modelo.
O modelo captura ainda o aumento do sistema dinamico devido a um sistema de
estabilizacao eletronica da dinamica de guinada.
Parametros importantes do helicoptero foram, quando possıvel, calculados e/ou
medidos, e reservados para posterior comparacao com os obtidos na fase de identi-
ficacao parametrica nos voos experimentais. A semelhanca dos valores medidos ou
calculados com os obtidos no processo de identificacao nos da uma ideia da ade-
quacao do nosso modelo sob as condicoes testadas.
1.3.1 Voo Experimental de Identificacao
Uma vez obtido um modelo com as caracterısticas desejadas, segue-se o processo
de identificacao. O modelo nao-linear descrito acima e linearizado em voo pairado
(velocidades angulares e lineares nulas), o que nos permite obter um modelo em
espaco de estados de 11a. ordem. Este modelo linearizado tem como entradas
os quatro comando usuais de helicopteros, que sao coletivo (δcol), cıclico-lateral
(δlat), cıclico-longitudinal (δlon) e pedal (δped). Devido as limitacoes impostas
pela falta de um conjunto de sensores adequado, incluindo sensores inerciais precisos
e DGPS (Differential Global Positioning System), somente uma parte da dinamica
sera identificada. A parte a ser identificada e a dinamica vertical, ou seja, a variacao
5
da altitude do helicoptero em resposta ao comando coletivo, gracas a um medidor
de altitude ultra-sonico (sonar-altımetro), desenvolvido exclusivamente para esta
finalidade, cuja precisao e melhor que um centımetro, sob as condicoes de teste. Alem
do sonar-altımetro, tambem foi desenvolvido um conjunto de eletronica embarcada
cuja finalidade e a aquisicao dos dados do sonar-altımetro, das entradas recebidas
via radio-controle e o registro em memoria nao-volatil de todas estas informacoes
para posterior processamento. Outra funcao desta eletronica e computar o algoritmo
do controlador PD desenvolvido para a dinamica vertical.
O processo de identificacao da dinamica vertical sera feito com a aeronave no
ponto de operacao proximo ao voo pairado, ou seja, o helicoptero tem sua ori-
entacao estabilizada por um piloto humano via radio-controle, sendo permitido que
o helicoptero derive poucos metros, em baixa velocidade, nos sentidos lateral e lon-
gitudinal, ao mesmo tempo que o piloto aplica comandos de coletivo, de modo que
a aeronave suba e desca dentro de uma determinada faixa de altitude. O piloto e
instruıdo a aplicar os comandos de coletivo com uma frequencia que comeca baixa
e vai aumentando gradativamente, ate a aeronave nao responder aos comandos com
uma variacao significativa na sua altitude. Varias series de testes com perıodos de
40 segundos sao executadas.
Os dados, assim obtidos, passam por um processo de selecao onde sao escolhidas
as series que melhor representem as excitacoes solicitadas ao piloto (uma vez que
o comando da aeronave se da em malha aberta, e de se esperar que parte dos da-
dos nao possa ser aproveitada). Os dados sao filtrados para se retirar os ruıdos de
frequencia superior as da dinamica dominante do helicoptero, principalmente devi-
das as vibracoes produzidas pelo motor, engrenagens de reducao e ruıdos eletricos,
alem das perturbacoes de baixa frequencia devidas as rajadas de vento. Dos dados
tambem e subtraıdo o valor medio. Os dados, assim selecionados e processados, sao
divididos em duas partes: a primeira sera utilizada para a identificacao parametrica
e a segunda parte para a validacao da identificacao.
1.3.2 Simulacao/Validacao
Os dados reservados para a validacao serao aplicados ao modelo linearizado em voo
pairado, desenvolvido em ambiente Matlab/Simulink, e os resultados da simulacao
serao comparados aos obtidos nos voos experimentais. Esta comparacao podera per-
mitir a avaliacao das deficiencias do modelo, e onde serao necessarios refinamentos.
6
Figura 1.1: O Raptor-30 tem uma escala aproximada de 1:12 em relacao ao he-licoptero Bell UH-1H, um dois mais utilizados helicopteros de emprego multiplo.
1.3.3 Voo Experimental de Teste do Controlador
Apos a identificacao da dinamica vertical sera projetado um controlador embarcado
que seja capaz de regular a altitude em um valor desejado enquanto o piloto humano
aplica comandos, via radio-controle, para controlar os outros movimentos.
1.4 Descricao do Veıculo de Testes
A aeronave utilizada no desenvolvimento deste trabalho foi um helicoptero miniatura
Raptor-30 de fabricacao Thunder Tiger Corporation. Vem equipado com um motor
de 0,3 polegadas cubicas (≈ 5 cc) de dois tempos e seu combustıvel e metanol com
18% de oleo 2T. Seu uso e muito difundido entre os aeromodelistas brasileiros e
seu custo e relativamente baixo. Pesa 2,85 kg em condicoes de voo, excluindo-se o
combustıvel, e sua carga util e de 0,225 kg.
A Fig. 1.2 mostra suas principais caracterısticas dimensionais. A escala aproxi-
mada do Raptor-30 e 1:12, comparado ao Bell UH-1H, vide Fig. 1.1.
A Fig. 1.3 compara as dimensoes do Raptor-30 com outras duas aeronaves em
escala reduzida que ja foram utilizadas como plataformas de VANT’s: o X-Cell-60
no MIT (Gavrilets 2003), fabricado pela Miniature Aircraft Corporation e o R-50
na Carnegie Mellon (Mettler 2003), da Yamaha Motors Company.
7
Figura 1.2: Principais caracterısticas fısicas do Raptor, valores em metros.
Figura 1.3: Raptor-30 comparado com outras duas aeronaves utilizadas como plata-formas em projetos de VANT‘s em universidades americanas: o X-Cell-60 do MITe o Yamaha R50 da Carnegie Mellon.
8
Capıtulo 2
Modelagem da Dinamica
2.1 Introducao
Padfield (Padfield 1996) observa que a dinamica do helicoptero e dominada pelo
rotor principal, o que justifica a atencao especial que e dada a dinamica do rotor.
Ele classifica a modelagem do rotor em tres nıveis crescentes de complexidade, cada
um adequado a um tipo de aplicacao. O nıvel 1, sendo o mais simples, e adequado
a analise das tendencias parametricas para o estudo de qualidades de voo e desem-
penho, e ao controle em largura de banda estreita, desde que limitados a uma faixa
nao-extrema do envelope operacional de voo (OFE - operational flight envelope), o
que significa manobras suaves, limitadas em amplitude e frequencia, mas que repre-
sentam a maior parte das manobras de rotina da aeronave. O nıvel 2 tem as mesmas
aplicacoes do nıvel 1, abrangendo todo o OFE, e e apropriado para o controle ativo
de voo com alto ganho e com largura de banda media. O nıvel 3 e adequado ao
projeto do rotor, a predicao de limite de carga do rotor, analise de vibracao, analise
de estabilidade do rotor, indo alem do OFE ate o limite do envelope seguro de voo
(SEF - safe envelope flight).
Como visto em ((Gavrilets 2003), p. 14), a dinamica dos helicopteros miniatura
e dominada pelos fortes torques produzidos pelo rotor principal, o que relaxa a
necessidade de modelos complicados de efeitos secundarios, usualmente encontrados
na literatura de helicopteros em escala normal, como a supracitada. Alem disto,
seu envelope de velocidade relativamente baixa facilita ainda mais a modelagem.
Gavrilets et al (Gavrilets 2003), a partir de recente trabalho de Mettler (Mettler
2003), que se baseia na identificacao da dinamica de um helicoptero linearizada
em torno de condicoes de equilıbrio, mostraram que uma dinamica de batimento
de primeira ordem acoplada com a dinamica de corpo rıgido e suficiente para uma
9
descricao precisa da dinamica de atitude ate mesmo em voos acrobaticos, e para o
projeto de sistemas de controle de banda larga de frequencia, necessarios aos voos
acrobaticos autonomos.
Devido ao exposto, a modelagem aqui descrita sera uma adaptacao para he-
licopteros miniatura da modelagem de nıvel 1, na qual resulta em erros parametricos
inferiores a 20%, para helicopteros em escala normal, e representa com melhor fi-
delidade os helicopteros em escala reduzida. Como objetivamos um modelo para
identificacao, somente as caracterısticas pertencentes ao helicoptero devem ser in-
cluıdas, o que simplifica ainda mais a modelagem.
2.2 Sistemas de Referencia e Transformacoes de
Coordenadas
Com a finalidade de se simplificar a obtencao das equacoes de movimentos transla-
cional e rotacional de um helicoptero sera suposto que:
• O helicoptero e um corpo rıgido;
• Um sistema de eixos de referencia tem sua origem fixada ao centro de massa
do helicoptero, que e fixo em relacao a aeronave (supondo que o centro de
massa nao muda de posicao em relacao a aeronave). O eixo x esta na direcao
longitudinal da aeronave, sendo positivo na direcao de movimento a frente; o
eixo y esta na direcao lateral e e positivo para a direita do piloto; e o eixo
z e determinado pela regra da mao direita, tendo a direcao vertical e sentido
positivo para baixo.
• A terra e tratada como sendo plana e estacionaria no espaco inercial.
• Os eixos movem-se com velocidades variaveis com o tempo, cujas componentes
translacionais sao u, v e w, e as rotacionais sao p, q e r, sob a acao das forcas
X, Y e Z e torques L, M e N , conforme a Fig. 2.1.
Angulos de Euler
Uma forma usual de se descrever a orientacao angular de uma aeronave em relacao
a um dado sistema de referencia inercial e atraves dos angulos de Euler, que se
10
Figura 2.1: Forcas e torques que atuam no helicoptero. Tmr e Ttr sao os empuxosgerados pelos rotores principal e de cauda, respectivamente. Fvf , Fht eFfus saoforcas de arrasto relativas aos estabilizadores vertical e horizontal, e a fuselagem,respectivamente. Qe e o torque produzido pelo motor para se contrapor ao torqueaerodinamico das pas do rotor principal Qmr, quando giram para gerar sustentacao.
11
compoem de uma sequencia especıfica de tres rotacoes em torno dos eixos ortogonais
fixados ao corpo da aeronave. Diversas parametrizacoes sao possıveis alterando-se
a sequencia das rotacoes em torno dos tres eixos ortogonais. A sequencia padrao
para aeronaves e guinada (rotacao de um angulo ψ em torno do eixo z), arfagem
(angulo θ em torno do “novo” eixo y), e rolagem (angulo φ em torno do, outra vez,
“novo” eixo x).
Esta representacao tem a vantagem de ser a composicao de rotacoes em torno de
eixos fixos a aeronave, as quais sao rotacoes elementares, o que facilita o seu desen-
volvimento. A matriz de rotacao obtida relaciona as coordenadas de um ponto dado
no sistema de referencia inercial as coordenadas do ponto no sistema de referencia
do corpo rodado. Utilizando a notacao abreviada c para cosseno e s para seno e Rbi
para designar a rotacao do sistema de referencia inercial para o sistema de referencia
do corpo da aeronave, temos a seguinte matriz ((Padfield 1996), p. 178):
Rbi =
cθ cψ cθ sψ −sθsφ sθ cψ − cφ sψ sφ sθ sψ + cφ cψ sφ cθcφ sθ cψ + sφ sψ cφ sθ sψ − sφ cψ cφ cθ
. (2.1)
O vetor gravidade, expresso no sistema de referencia inercial e gi =[
0 0 g]T
,
aplicando (2.1), podemos obter seus componentes no sistema de referencia do corpo:
gb = Rbigi =
−g senθg cos θ senφg cos θ cosφ
. (2.2)
2.3 Equacoes de Movimento do Corpo Rıgido
As equacoes de movimento dos seis graus de liberdade da fuselagem sao desenvolo-
vidas a partir da aplicacao da segunda lei de Newton, na forma linear F = ma e na
forma angular M = Iw. A lei de Newton e aplicada em referencia aos eixos do corpo
e levam em conta as forcas da gravidade e de Coriolis. Como em (Gavrilets 2003),
os produtos cruzados de inercia serao desprezados. A derivacao completa destas
equacoes pode ser encontrada no Apendice 3A.1 de (Padfield 1996).
12
Equacoes de Forca:
u = −(wq − vr) +X
ma
− g sen θ , (2.3)
v = −(ur − wp) +Y
ma
+ g cos θ senφ , (2.4)
w = −(vp− uq) +Z
ma
+ g cos θ cosφ . (2.5)
Equacoes de Torque:
p =qr(Iyy − Izz)
Ixx
+L
Ixx
, (2.6)
q =rp(Izz − Ixx)
Iyy
+M
Iyy
, (2.7)
r =p q(Ixx − Iyy)
Izz
+N
Izz
, (2.8)
onde, u, v e w sao as velocidades inerciais translacionais, p, q e r sao as veloci-
dades rotacionais inerciais expressas nos eixos do corpo do helicoptero e φ, θ e ψ
sao os angulos de rotacao de Euler que definem a orientacao dos eixos do corpo do
helicoptero em relacao ao sistema de referencia inercial na terra. Estes angulos defi-
nem as componentes da forca de gravidade nos eixos do corpo, como em (2.2). Ixx,
Iyy e Izz sao os momentos de inercia da fuselagem em torno dos eixos de referencia
do corpo e ma e a massa da aeronave.
As forcas e os torques externos X, Y , Z, L, M e N podem ser escritos como
a soma das contribuicoes dos diferentes componentes do helicoptero, aqui conside-
radas apenas as que tem efeito dominante na dinamica da aeronave. Para uma
melhor compreensao, serao utilizados os seguintes subscritos: mr para rotor princi-
pal, tr para rotor de cauda, fus para fuselagem, vf para aerofolio vertical, ht para
estabilizador horizontal e e para motor.
13
X = Xmr +Xfus , (2.9)
Y = Ymr + Yfus + Ytr + Yvf , (2.10)
Z = Zmr + Zfus + Zht , (2.11)
L = Lmr + Lvf + Ltr , (2.12)
M = Mmr +Mht , (2.13)
N = −Qe +Nvf +Ntr , (2.14)
onde Qe e o torque produzido pelo motor para se contrapor ao torque aerodinamico
das pas do rotor principal Qmr, quando giram para gerar sustentacao. No nosso
helicoptero, o rotor gira no sentido horario, visto de cima, portanto, no sistema
de referencia do corpo, temos Qe > 0 e Qmr < 0. Veja a Fig. 2.1, onde sao
representadas as forcas e torques que agem sobre a aeronave, juntamente com suas
principais variaveis.
Equacoes Cinematicas:
Podemos ver nas equacoes acima a dependencia dos termos da forca da gravidade
em relacao a dois angulos de Euler, θ e φ. Entao, o sistema ainda nao esta completo.
A velocidade angular da aeronave ωb, no sistema de referencia do corpo, esta
relacionada a taxa de variacao dos angulos de Euler no tempo atraves das relacoes
((Padfield 1996), p. 178) e (Munzinger 1998), p. 112):
ωb =
pqr
=
φ− ψ sen θ
θ cosφ+ ψ senφ cos θ
ψ cosφ cos θ − θ senφ
, (2.15)
de onde se obtem:
φ = p+ (q senφ+ r cosφ) tan θ , (2.16)
θ = q cosφ− r senφ , (2.17)
ψ = (q senφ+ r cosφ) sec θ . (2.18)
Uma vez obtidas as seis equacoes diferenciais de primeira ordem do corpo rıgido
(Eqs. (2.3) a (2.8)) em funcao de forcas e torques externos, devemos agora derivar
14
as expressoes matematicas que descrevem estas forcas e torques como funcao das
entradas de controle e estados da aeronave. Na sua forma geral, estas equacoes
podem ser representadas como um vetor nao-linear de equacoes diferenciais:
x = f(x,u), (2.19)
onde x e o vetor de estado do veıculo, e u e o vetor de entradas de controle. Para
as equacoes do corpo rıgido o vetor de estado e:
x := [u, v, w, φ, θ, ψ, p, q, r ]T . (2.20)
Mais adiante, na Secao 2.5.3, veremos que sera necessario adicionar estados para
incluirmos outros componentes do helicoptero.
As variaveis de entradas de controle sao as usuais de um helicoptero: controles
cıclicos lateral (ulat) e longitudinal (ulon); angulo de passo coletivo (ucol); e
angulo de passo coletivo do rotor de cauda, tambem denominado pedal (uped). Os
termos em negrito serao utilizados ao longo deste trabalho quando nos referirmos a
estas entradas. O vetor de entrada de controle e:
u := [ulat, ulon, ucol, uped]T . (2.21)
Modelo de Derivadas de Estabilidade do Corpo Rıgido
O modelo de derivadas de estabilidade e uma forma linearizada das equacoes do
movimento onde os torques e forcas externas sao representadas atraves do produto
de derivadas e estados do corpo rıgido e entradas de controle.
Linearizacao das Equacoes do Movimento
As equacoes diferenciais do movimento podem ser linearizadas em torno de um
estado de equilıbrio x0:
x =
(
∂f
∂x
)
x0,u0
δx +
(
∂f
∂u
)
x0,u0
δu(t) . (2.22)
Podemos representar esta expressao na forma usual de espaco de estados, com
matriz de sistema A e de controle B:
δx = Aδx + Bδu , (2.23)
15
a qual usa as perturbacoes lineares dos vetores de estado e entrada ((Mettler 2003),
p. 58). A trajetoria dos estados do veıculo e as entradas de controle em torno de
um ponto de equilıbrio e dado por:
x = x0 + δx , (2.24)
u = u0 + δu . (2.25)
As condicoes de ajuste para um ponto de operacao escolhido sao determinadas
pela fixacao de estados conhecidos em valores que caracterizem o ponto de equilıbrio
e pela solucao das equacoes de equilıbrio f(x,u) = 0 para os valores dos estados
restantes do veıculo e entradas de controle. Um ponto de equilıbrio, em que es-
tamos especialmente interessados e a condicao de voo pairado, caracterizada por
velocidades lineares e angulares nulas:
v0 = [u0, v0, w0] = [0, 0, 0]T , (2.26)
ω0 = [p0, q0, r0] = [0, 0, 0]T . (2.27)
Outros pontos de equilıbrio sao as famılias de trajetorias retilıneas niveladas e
voos em curvas estaveis.
As equacoes rotacional e translacional do movimento do corpo rıgido linearizadas
em torno de um ponto de equilıbrio generico sao ((Mettler 2003), p. 59):
δu = (−w0 δq + δw q0 + v0 δr + δv r0) +Xma
, (2.28)
δv = (−u0 δr + δu r0 + w0 δp+ δw p0) +Yma
, (2.29)
δw = (−v0 δp+ δv p0 + u0 δq + δu q0) +Zma
, (2.30)
δp = (−q0 δr − δq r0)(Iyy − Izz)
Ixx
+LIxx
, (2.31)
δq = (−p0 δr − δp r0)(Izz − Ixx)
Iyy
+MIyy
, (2.32)
δr = (−p0 δq − δp q0)(Ixx − Iyy)
Izz
+NIzz
. (2.33)
Elas descrevem a resposta do veıculo em torno de uma condicao de ajuste (trim)
em funcao de perturbacoes nas forcas e torques externos, F e M , respectiva-
mente. Podemos ver que em voo pairado os termos entre parenteses se anularao
(veja Eqs. (2.26) e (2.27)).
16
Expandindo as Forcas e Torques Externos
As forcas e torques externos podem ser considerados como funcoes contınuas dos es-
tados do veıculo e variaveis de controle. Assim, podemos expressar suas perturbacoes
usando expansao em series de Taylor. Uma vez que desejamos uma dependencia li-
near dos estados e controles, somente serao usados os termos de primeira ordem das
series. Por exemplo, para a componente da forca longitudinal obtemos:
X =∂x
∂uδu+
∂x
∂vδv +
∂x
∂pδp+ . . .+
∂x
∂δlat
δlat + . . . . (2.34)
As derivadas parciais de forca (ou torque) com respeito aos estados do veıculo sao
chamadas derivadas de estabilidade. Por exemplo, a derivada de forca longitudinal
com respeito a velocidade longitudinal e abreviada como:
∂x
∂u= Xu . (2.35)
Analogamente, as derivadas parciais de forca (ou torque) com respeito as entradas
do veıculo sao chamadas derivadas de controle. Por exemplo, a derivada de forca
longitudinal com respeito a entrada cıclica lateral e abreviada como:
∂x
∂δlat
= Xδlat. (2.36)
Usando a notacao de derivadas de estabilidade, a componente longitudinal total
da forca de perturbacao e:
X = Xuδu+Xvδv +Xpδp+ . . .+Xδlatδlat +Xδlon
δlon + . . . . (2.37)
O mesmo se aplica as outras componentes das perturbacoes das forcas e torques.
Por exemplo, para a perturbacao do torque de rolagem temos:
L = Luδu+ Lvδv + Lpδp+ . . .+ Lδlatδlat + Lδlon
δlon + . . . . (2.38)
Nem todos os estados e variaveis de controle influenciam em cada forca ou torque.
Uma importante tarefa no desenvolvimento da estrutura do modelo consiste em
decidir quais derivadas sao relevantes em cada forca ou torque. Podemos encontrar
expressoes analıticas destas derivadas na literatura sobre helicopteros ( (Bramwell
2001), (Johnson 1980)), (Padfield 1996), (Stepniewski 1984), (Keys 1984)). Estas
expressoes sao usualmente obtidas pela diferenciacao analıtica de equacoes nao-
lineares detalhadas do movimento e desprezando-se os termos de menor magnitude.
17
Tais detalhes podem, algumas vezes, ser uteis na determinacao de quais derivadas
desempenham um papel significativo em uma forca ou torque particular. Ao longo
deste trabalho calcularemos algumas destas derivadas para servir de comparacao
com os resultados obtidos na fase de identificacao parametrica.
Para simplificar a notacao, no restante deste trabalho, descartaremos os deltas (δ
e ) de todas as variaveis, exceto das entradas de controle.
2.4 Estendendo o Modelo do Corpo Rıgido
Nos helicopteros, as forcas e os torques externos de controle sao produzidos pelo
rotor principal e pelo rotor de cauda. Nas equacoes do corpo rıgido as componentes
destas forcas e torques, como por exemplo Lmr e Ltr, sao expressas sem dinamica,
ou seja, sao consideradas instantaneas e proporcionais as entradas de controle. Na
verdade estas forcas e torques sao funcoes da dinamica dos seus respectivos roto-
res, das entradas e do movimento da aeronave, alem dos acoplamentos entre estes
movimentos e as forcas e torques.
O acoplamento dinamico rotor/fuselagem e fundamental para se melhorar a fi-
delidade do modelo do helicoptero. A determinacao de quais dinamicas sao crıticas
na modelagem de helicopteros miniatura e abordada em trabalhos de identificacao
desenvolvidos por (Gavrilets 2003), (Mettler 2003), (Munzinger 1998), (Gavrilets,
Frazzoli, Mettler, Piedmonte & Feron 2001), alem de outros. Todos estes trabalhos
sao essencialmente modelos hıbridos do corpo rıgido aumentados com a dinamica de
rotor simplificada.
Uma caracterıstica de helicopteros miniatura e a dificuldade que um piloto hu-
mano tem para controla-los, que e muito mais rapida do que a de um helicoptero em
escala normal. Por isso, e frequente a utilizacao de um rotor-estabilizador conhecido
como flybar entre os pilotos de tais miniaturas e, geralmente, referido como barra
estabilizadora ou misturador Bell-Hiller na literatura tecnica. Outra ajuda ao piloto
e a utilizacao de um girometro de velocidade angular de guinada em conjunto com
um regulador eletronico que produz realimentacao negativa, atuando no angulo de
passo do rotor de cauda, formando um sistema ativo de amortecimento da dinamica
de guinada.
Estes aumentos do sistema dinamico precisam ser incorporados ao modelo do
corpo rıgido para se melhorar a fidelidade do modelo de identificacao.
18
2.5 Dinamica Simplificada do Rotor Principal
O rotor e um conjunto de varios corpos, rıgidos e flexıveis, acoplados atraves de do-
bradicas e/ou juntas elastomericas com caracterısticas amortecedoras. As suas pas,
geralmente, possuem tres graus de liberdade em relacao ao cubo do rotor principal
(estrutura onde sao fixadas as pas ao mastro do rotor): batimento (β), avanco-recuo
(ξ) e passo (Θ). O movimento de passo varia o angulo de passo das pas e e coman-
dado pelas entradas e pelos acoplamentos com os movimentos do helicoptero. As
pas estao sujeitas as forcas aerodinamicas e inerciais, que tambem dependem dos
movimentos da aeronave e das pas. Alem de tudo, o rotor opera dentro do fluxo de
ar que ele proprio gera (wake), que por si so ja e um sistema dinamico complexo,
resultando em condicoes aerodinamicas complexas. As condicoes aerodinamicas nas
quais o rotor opera sofrem grandes mudancas em funcao do regime de operacao da
aeronave (voo pairado, voo de cruzeiro, pouso, decolagem, etc). Em resumo, as
equacoes detalhadas de movimento do rotor sao demasiadamente complexas para
sua utilizacao para fins de controle.
Nem todos estes efeitos sao relevantes na identificacao, ou modelagem para pro-
jeto de controladores, principalmente quando se trata de helicopteros miniatura.
Baseado em trabalhos de identificacao de aeronaves similares, ja citados, descreve-
mos os aspectos fundamentais da dinamica de rotor desta classe de helicopteros.
Desenvolvemos um modelo do plano de rotacao do rotor (TPP - Tip Path Plane),
que e o plano descrito pela trajetoria da ponta das pas do rotor principal, que e a
base dos modelos altamente simplificados usados para a identificacao de helicopteros.
2.5.1 Construcao Mecanica
Movimentos da Lamina:
As pas do rotor do RAPTOR-30 possuem tres graus de liberdade (3-DOF - Degrees
Of Freedom) em relacao plano de impulsao (plano perpendicular ao mastro e que
passa pelo cubo do rotor principal), como descrito acima, alem de girarem solidari-
amente ao mastro do rotor, sendo este ultimo movimento descrito pela posicao de
azimute Ψ e velocidade angular Ω. Estes tres graus de liberdade sao os movimentos:
batimento, avanco-recuo e passo, veja a Fig.(2.2). O movimento de batimento ocorre
na direcao normal ao plano de impulsao e e descrito pelo angulo β. Este movi-
mento e permitido, no nosso helicoptero, pelo fato do acoplamento das pas a cabeca
19
Figura 2.2: Movimentos fundamentais das pas do rotor principal.
do rotor ser feito atraves de uma bucha de elastomero e, tambem, pela flexibilidade
das pas, veja a Fig.(2.3). O movimento de passo ocorre no sentido longitudinal das
pas e e descrito pelo angulo de passo (Θ) e e referenciado ao plano de impulsao. O
movimento de avanco-recuo e o movimento das pas no plano de rotacao e e descrito
pelo angulo ξ, o qual nao tem relevancia na nossa modelagem e sera desconsiderado.
O Mecanismo do Prato Cıclico
O controle translacional do helicoptero, tanto em voo pairado quanto em cruzeiro, se
da atraves da inclinacao do vetor de empuxo do rotor principal, e ha tres maneiras
de se obter esta inclinacao ((Stepniewski 1984), p. 27): pela inclinacao do eixo de
rotacao, do cubo do rotor principal ou do prato cıclico. Devido a sua simplicidade
e eficiencia, o prato cıclico se tornou de uso corrente em helicopteros, e o nosso
helicoptero miniatura e dotado deste mecanismo, por isso passamos a descreve-lo
com as peculiaridades do modelo de helicoptero que estamos utilizando (Raptor 30),
as quais sao muito semelhantes as de outros modelos miniatura.
O prato cıclico consiste de dois pratos circulares que, atraves das entradas de
controle do piloto (manche), podem ser arbitrariamente inclinados com respeito ao
plano perpendicular ao eixo do rotor (Figs. 2.4, 2.5 , 2.6 e 2.7). O prato superior
gira solidariamente ao eixo do rotor e esta acoplado a este atraves de uma junta
com tres graus de liberdade, dois de revolucao e um prismatico (rotula), este ultimo
permite que o prato cıclico suba e desca deslizando ao longo do mastro do rotor.
20
Figura 2.3: Acoplamento das pas a cabeca do rotor atraves de buchas de elastomero.
Figura 2.4: Componentes do prato cıclico.
Figura 2.5: Componentes do prato cıclico.
21
Figura 2.6: Controle do rotor atraves do prato cıclico.
Figura 2.7: O prato cıclico do Raptor 30 e suas bielas.
22
Bielas de angulo de passo, conectando o prato superior aos bracos de angulo de
passo das pas, transmitem a inclinacao do prato cıclico as pas na forma de angulo
de passo de acordo com a expressao:
Θ(Ψ) = Θ0 +Θlat cosΨ+Θlon sen Ψ+kflyβfly = Θ0 +A1cosΨ+B1 sen Ψ+kflyβfly ,
(2.39)
onde Θ0 e o angulo de passo medio, que e ajustado fazendo-se o prato cıclico subir
e descer ao longo do eixo do rotor, ao comando da entrada de coletivo δcol; Θlat,
que passaremos a denominar A1, e o coeficiente do termo cossenoidal e representa o
angulo de passo devido a entrada cıclica-lateral δlat e e o valor de angulo de passo
transmitido a pa quando esta esta sobre a direcao −y, ou seja, a esquerda do piloto
(para rotores que giram no sentido horario); Θlon, que passaremos a denominar B1,
e o coeficiente do termo senoidal e representa o angulo de passo devido a entrada
cıclica-longitudinal δlon e e o valor de angulo de passo transmitido a pa quando esta
esta sobre a cauda, estes angulos correspondem a contribuicao direta do prato cıclico
no misturador Bell-Hiller; o termo kflyβfly e a contribuicao da barra estabilizadora
no misturador, e sera discutida mais adiante (vide Secao 2.5.1) . Outras quatro
bielas interligam os tres servos de controle ao prato inferior, estes servos recebem
comandos das entradas δlat, δlon e δcol.
A Barra Estabilizadora
As forcas aerodinamicas produzidas pelo rotor principal precisam ser grandes para
gerarem a sustentacao da aeronave e as necessarias aceleracoes aos seus movimen-
tos. Estas forcas aerodinamicas sao muito grandes comparadas a massa das pas do
rotor, provocando a tendencia natural das pas responderem muito rapidamente aos
comandos cıclicos (δlat e δlon). Este efeito e acentuado nos helicopteros miniatura
devido as suas grandes relacoes potencia/peso.
Para superar esta dificuldade, a quase totalidade dos helicopteros miniatura em-
pregam um sistema de controle mecanico que utiliza uma barra estabilizadora.
A barra estabilizadora tem dois graus de liberdade em relacao ao cubo do rotor
principal, alem de girar solidariamente ao rotor principal: pode pivotear em relacao
a um pivo central (batimento) e girar em torno da barra que une as duas pas (passo),
de tal forma que as bielas de controle possam aplicar um angulo de passo cıclico as
pas.
23
Figura 2.8: Barra estabilizadora.
A barra estabilizadora, como ilustrado na Fig. 2.8, consiste de duas pas unidas
por uma barra, a qual esta montada perpendicularmente as pas do rotor principal,
formando um conjunto que gira solidariamente em relacao ao eixo de rotacao do
mastro do rotor. A barra estabilizadora possui uma dobradica central sem mola
torsional, portanto seu movimento de batimento e livre. As duas pas estao em
um mesmo plano, ou seja, diferentemente do rotor principal, a barra estabilizadora
nao tem angulo de passo coletivo, somente angulo de passo cıclico, nao gerando
sustentacao. Desta maneira, ela nao gera forcas nem torques significativos na fuse-
lagem. Ao receber um comando de angulo de passo cıclico, a barra estabilizadora
comeca a alterar o angulo de inclinacao do seu plano de rotacao, ate se estabilizar
(angulo de batimento). Este angulo e quem comanda o angulo de passo das pas do
rotor principal atraves de um conjunto de bielas e alavancas.
A barra estabilizadora pode ser vista como um giroscopio que pode ser mano-
brado pelos controles cıclicos, porem, quando nao esta sendo manobrado, tende a
manter fixo seu eixo de rotacao com relacao a terra (aqui considerada um sistema
de referencia inercial) ao inves do sistema de referencia do corpo do helicoptero ou
do ar.
Existem dois sistemas de controle cuja finalidade e aumentar a estabilidade do
helicoptero, e os dois utilizam a barra estabilizadora. O sistema Hiller e o Bell-
Hiller. Apesar de serem utilizados tambem em helicopteros em escala normal, nas
miniaturas e muito difıcil um bom controle da aeronave sem estes recursos.
24
Figura 2.9: Sistema de controle Hiller.
Sistema de Controle Hiller
No sistema Hiller os controles sao transmitidos apenas dos servos para a barra
estabilizadora, nao sendo aplicados diretamente as pas do rotor principal. Deste
modo as variacoes de angulo de passo cıclico das pas principais sao controladas
exclusivamente pela inclinacao da barra estabilizadora (angulo de batimento), de
acordo com a seguinte sequencia:
• Os servos dos comandos cıclico-lateral e/ou cıclico-longitudinal agem sobre a
inclinacao do prato cıclico.
• As bielas que acoplam os movimentos do prato cıclico a barra estabilizadora
alteram o angulo de passo das pas da barra estabilizadora.
• O angulo de passo cıclico aplicado faz a barra estabilizadora comecar a se
inclinar na direcao desejada.
• A medida que a barra estabilizadora se inclina, o angulo de passo cıclico comeca
a ser aplicado as pas do rotor principal, que comecam a seguir a barra estabi-
lizadora.
• O torque das pas do rotor principal age no corpo do helicoptero provocando
um movimento de rolagem e/ou arfagem.
• A taxa de variacao deste movimento de rolagem e/ou arfagem e determinada
pela barra estabilizadora.
O sistema Hiller aumenta a constante de tempo do conjunto rotor/barra estabili-
zadora, mas o piloto precisa esperar ate que a barra estabilizadora comece a alterar
25
o angulo de passo do rotor principal, e este retardo prejudica o sentimento do piloto
em relacao a resposta do helicoptero aos seus comandos.
Sistema de Controle Bell-Hiller (Misturador Bell-Hiller)
O misturador Bell-Hiller e constituıdo por um conjunto de bielas e alavancas, for-
mando um misturador mecanico com duas entradas: uma direta, vinda do prato
cıclico e outra vinda da barra estabilizadora (Fig. 2.10). A entrada direta, por ser
rapida, fornece ao piloto uma resposta rapida ao seu comando, limitada em ampli-
tude, mas suficiente para o piloto perceber se esta aplicando a entrada adequada, e
a segunda, vinda da barra estabilizadora, confere o desejado aumento na constante
de tempo do sistema.
Em resumo, os dois sistemas visam a tornar a resposta do rotor principal mais
lenta e mais estavel. Como o rotor da barra estabilizadora tem uma constante
de tempo superior a do rotor principal (aproximadamente quatro vezes maior), o
helicoptero respondera a um comando de modo mais lento, como se tivesse um rotor
maior.
Vantagens adicionais resultam da utilizacao dos sistemas com barra estabiliza-
dora. Devido as reduzidas dimensoes de seus aerofolios (pas), o rotor da barra
estabilizadora e menos suscetıvel as rajadas de vento que o rotor principal, funcio-
nando como um grande giroscopio, e desta maneira conferindo maior estabilidade a
aeronave nestas situacoes.
Outra vantagem e aliviar os esforcos nos servoatuadores e no prato cıclico. Uma
vez que as pas da barra estabilizadora possuem peso e dimensoes menores que as
pas do rotor principal, necessitam menor forca de controle de passo. A alteracao do
passo das pas da barra estabilizadora gera forcas aerodinamicas que alteram a sua
inclinacao, e esta inclinacao e responsavel pela maior parcela do controle do passo
das pas do rotor principal. Desta forma a barra estabilizadora funciona como um
amplificador das forcas geradas pelo servo e transmitidas pelo prato cıclico.
2.5.2 Aerodinamica do Rotor
A aerodinamica do rotor e complexa, e uma analise profunda e desnecessaria ao nosso
objetivo, porem Johnson fornece uma abordagem simplificada ((Johnson 1980), p.
49). Com a finalidade de se obter solucoes analıticas, algumas suposicoes sao ne-
26
Figura 2.10: Sistema de controle Bell Hiller
cessarias. Sera suposto que a carga aerodinamica no disco do rotor e pequena, e
serao desprezados os efeitos do stall e da compressibilidade do ar. De fato, no he-
licoptero Raptor-30 a carga aerodinamica, definida como w = W/A, onde W e o
peso total da aeronave e A e a area do disco, e menor que 3kg/m2, valor cerca de
dez vezes inferior a de um helicoptero em escala normal ((Stepniewski 1984), p. 4).
Na figura (2.11) podemos ver as definicoes da geometria ((Padfield 1996), p. 33),
velocidades e forcas que agem sobre uma secao da pa do rotor. Os angulos sao
referenciados ao plano de impulsao (hub plane), que passa pelo cubo e e perpen-
dicular ao mastro do rotor principal. Θ e o angulo de passo das pas, e e medido
entre a corda da pa e o plano de impulsao. A velocidade do ar, que passa pela pa,
tem duas componentes: UT que e tangente ao plano de impulsao, devida, principal-
mente, a rotacao em torno cubo; e UP que e perpendicular, devida, principalmente,
ao movimento vertical da aeronave e a velocidade induzida no ar pelo rotor. Outras
contribuicoes sao os movimentos translacionais e rotacionais da aeronave e o movi-
mento de batimento. A velocidade resultante U faz um angulo φ com o plano de
impulsao, cujas expressoes sao:
U =√
U2T + U2
P , (2.40)
φ = tan−1 UP
UT
. (2.41)
O angulo de ataque α e medido entre a corda e a velocidade resultante U :
α = θ − φ . (2.42)
27
Figura 2.11: Componentes da velocidade do ar em relacao as pas do rotor
O fluxo de ar provoca forcas de sustentacao e arrasto na secao elementar de pa,
a primeira perpendicular e a segunda paralela a velocidade resultante U , com as
seguintes expressoes:
L =1
2ρU2 c cl α , (2.43)
D =1
2ρU2 c cd , (2.44)
onde ρ = 1, 23kg/m3 e a densidade do ar, r e a distancia entre a raiz e a posicao
do elemento de pa, c e a corda da pa, cl e cd sao os coeficientes de sustentacao e
de arrasto, respectivamente. Estes coeficientes sao funcoes complexas do angulo de
ataque, numero de Mach e outros parametros. Resolvendo as forcas aerodinamicas
elementares normal e paralela ao plano de impulsao, obtemos ((Johnson 1980), p.
50):
Fz = L cos φ+D senφ , (2.45)
Fx = L senφ+D cos φ . (2.46)
Podemos, entao, definir as expressoes elementares de empuxo, torque e potencia
28
na pa do rotor:
dT = N Fzdr , (2.47)
dQ = N Fx r dr , (2.48)
dP = Ω dQ = N Fx Ω r dr , (2.49)
onde N e o numero de pas. As forcas totais sao obtidas pela integracao pelo com-
primento da pa, da raiz a ponta, ou seja, da raiz a Rmr.
Considerando-se as suposicoes preliminares, e que os rotores trabalham com pe-
quenos angulos, especificamente φ, θ, α ≪ 1 rad, podemos fazer as seguintes apro-
ximacoes: φ ≈ UP
UT, cos φ ≈ 1, sen φ ≈ φ, e U ≈ UT .
Pode-se, entao, estabelecer que o coeficiente de sustentacao cl esta linearmente
relacionado ao angulo de ataque: cl = aα. Onde a e a inclinacao da curva de
sustentacao (lift curve slope) que, para aerofolios simetricos e com grandes razoes
de aspecto AR = bc
( onde b e o comprimento e c a corda da pa, respectivamente),
tem uma valor tıpico de a = 5, 7 ((Johnson 1980), p. 51). Gavrilets, em seu recente
trabalho ((Gavrilets 2003), p. 37), utilizou o valor de a = 5, 5 para um helicoptero
similar (X-Cell-60).
E fornecida em ((Munzinger 1998), p. 61), uma expressao para o calculo de a,
em funcao do AR:
a =2π
1 + 2AR
. (2.50)
O rotor principal do Raptor-30 tem asas com AR = 10, o que resulta em a′ =
5, 27, e para a barra estabilizadora, que tem AR = 2, obtemos a′ = 3, 14. Para
cd, Johnson propoe uma formula empırica, frequentemente usada em calculos de
helicopteros ((Johnson 1980), p. 54): cd = cd0− 0, 216α + 0, 400α2, onde cd0
=
0, 0087 e o coeficiente de arrasto para um angulo de ataque α = 0. Como no nosso
helicoptero, em voo pairado, o angulo de ataque das pas do rotor principal e α ≈ 0, 1
rad ((Thu 1999), p. 17) obtemos um cd = 0, 011. Entao, as forcas se reduzem a:
29
L ≈ 1
2ρU2
T c a(θ −UP
UT
) , (2.51)
D ≈ 1
2ρU2
T c cd , (2.52)
dT ≈ NLdr , (2.53)
dQ ≈ N(Lφ+D)rdr . (2.54)
Em seguida, todas as quantidades sao escritas na forma adimensional, normali-
zadas com respeito a densidade do ar, velocidade angular e raio do rotor (ρ, Ω e R).
Em forma de quociente, os resultados da contribuicao de uma secao de pa para o
empuxo e a potencia sao ((Johnson 1980), p. 51):
dCT =σa
2
(
θ − λ
r
)
r2dr , (2.55)
dCP = dCQ =
[
σa
2(θrλ− λ2) +
λcd2r2
]
rdr , (2.56)
onde λ = (V + vi)/ΩR e o fluxo de ar (V e a velocidade de subida e vi e dada por
2.82), σ = Nc/πR e a razao de solidez. Estas expressoes podem ser integradas nume-
ricamente ao longo do comprimento da pa do rotor, mas, com alguma simplificacoes,
resultante de suposicoes como: fluxo de ar uniforme, corda e drag constantes. Isso
pode ser feito analiticamente ((Johnson 1980), p. 51). Uma forma alternativa,
e mais simples, de se calcular o empuxo e utilizando a teoria da conservacao da
quantidade de movimento, que sera analisada a seguir.
2.5.3 Dinamica do Rotor Principal
Equacoes do Plano de Rotacao do Rotor (TPP)
Como dito anteriormente, e o rotor principal quem gera as principais forcas e tor-
ques externos que agem sobre a fuselagem do helicoptero. A maneira usual de se
representar esta dinamica e atraves da inclusao de dois estados no sistema, que sao
os angulos de batimento, que descrevem a inclinacao do TPP, que e o plano descrito
pelo caminho das pontas das pas ao girarem no ar, os quais passamos a descrever.
A quase totalidade dos helicopteros miniatura possuem acoplamento rıgido entre
as pas e o eixo do rotor principal e, devido a sua flexibilidade, estas pas tem liberdade
para se flexionar, fazendo suas pontas subirem e descerem perpendicularmente ao
30
Figura 2.12: Diferentes modelos aproximados para um rotor sem dobradica.
plano de impulsao (plano perpendicular ao eixo de rotacao do rotor), fazendo o
movimento conhecido como batimento. Segundo Padfield ((Padfield 1996), p. 127),
este movimento pode ser aproximado por qualquer um dos tres modelos a seguir
(vide Fig.2.12):
1. Lamina rıgida, dobradica central e mola (centre spring);
2. Lamina rıgida, dobradicas com excentricidade e mola (offset hinge and spring)
e
3. Lamina elastica sem dobradica (hingeless ou elastic).
No primeiro caso, o rotor e livre para inclinar-se, limitado apenas por batentes,
e esta inclinacao produz uma componente de torque devida a existencia de uma
mola central e outra devida a inclinacao do vetor empuxo, cuja mudanca de direcao
faz aparecer um braco de momento hmr sen β, vide Fig. 2.15. No segundo caso
, temos duas dobradicas que distam de igual valor do eixo, tambem dotadas de
molas, fazendo surgir uma terceira componente de torque devida a forca centrıfuga
das pas. No terceiro caso nao ha dobradicas, nem molas. Laminas elasticas sao
fixadas rigidamente ao cubo do eixo. Devido a sua simplicidade utilizaremos o
primeiro modelo, onde a pa sera considerada rıgida, dotada de uma dobradica junto
ao cubo do rotor principal e sera calculada uma mola de batimento equivalente kβ.
O movimento de batimento e periodico e funcao do angulo Ψ, que descreve o
azimute da pa do rotor principal ao girar em torno do cubo, com a posicao Ψ = 0
31
Figura 2.13: Movimento de batimento do rotor principal
correspondendo a pa sobre a cauda. No nosso helicoptero a rotacao tem sentido
horario visto por cima, logo seu sinal e positivo em relacao ao eixo z. Por ser
uma funcao com perıodo 2π, a solucao geral do movimento de batimento pode ser
expressa como uma serie de Fourier em sua versao trigonometrica:
β(Ψ) = β0 + β1c cos Ψ + β1s sen Ψ + β2c cos 2Ψ + β2s sen 2Ψ − ... (2.57)
De acordo com Glessow e Myers (Glessow & Myers 1952), a magnitude do segundo
harmonico e menor que 10% da magnitude do primeiro harmonico e, portanto,
serao desprezados. Desta forma escreveremos o movimento de batimento em sua
forma quasi-steady-state, ou seja, os transitorios do movimento de batimento do
rotor sao desprezados e assume-se que as pas reagem imediatamente a uma entrada
(Banks 1999) e ((Padfield 1996), p. 35):
β(Ψ) = β0 + β1c cos Ψ + β1s sen Ψ . (2.58)
Na figura 2.13 podemos ver as convencoes de sinal para os angulos de batimento,
com seus 3 graus de liberdade (DOF): β0, denominado angulo de cone, o qual e
devido ao empuxo e a forca centrıfuga que agem sobre as pas, que passaremos a
chamar a0; β1ce o componente cossenoidal, que passaremos a chamar de a; e β1s
e
o componente senoidal, que passaremos a chamar de b.
Finalmente temos:
β(Ψ) = a0 + a cos Ψ + b sen Ψ . (2.59)
Ao representarmos o movimento de batimento com um termo independente e dois
termos de primeiro harmonico de Ψ, estamos definindo as equacoes do TPP. Devido
32
ao termo nao-periodico a0 (angulo de cone), as pas descrevem um cone quando
giram. O TPP e o disco descrito pelo caminho no ar das pontas das pas, sendo o
topo do cone. Os termos periodicos a e b descrevem, respectivamente, a inclinacao
do TPP nas direcoes longitudinal e lateral. Desta maneira podemos definir o vetor
de estado do TPP como sendo a =[
a0 a b]T
.
Mettler ((Mettler 2003), p. 71) desenvolveu a equacao diferencial de segunda
ordem do TPP:
a + Da + Ka = F , (2.60)
onde D e a matriz de amortecimento, K e a matriz de rigidez e F e o termo forcante.
Um modelo para identificacao deve incluir somente os efeitos pertencentes a
dinamica do veıculo, por isto, Mettler, a partir das matrizes dadas por (Chen 1980),
e apos introduzir simplificacoes, obteve as seguintes matrizes de amortecimento e
rigidez reduzidas:
D = Ω
[
γ8
2−2 γ
8
]
K = Ω2
[
kβ
IβΩ2
γ8
−γ8
kβ
IβΩ2
]
. (2.61)
E para o termo forcante obteve:
F = Ω2
[
γ8
00 γ
8
] [
A1
B1
]
+ Ω
[
−2 −γ8
−γ8
2
] [
pq
]
+ Ω
[
0 − 1Ω
− 1Ω
0
] [
pq
]
, (2.62)
onde A1 = Bδlatδlat e B1 = Aδlon
δlon sao, respectivamente, os angulos cıclicos de
passo lateral e longitudinal das pas do rotor principal e sao comandados pela entrada
Bell do prato cıclico e foram introduzidos na equacao (2.39); kβ e a constante da
mola equivalente de batimento; Iβ e o momento de inercia da pa em relacao a
dobradica de batimento; e γ e o lock number, que representa a relacao entre as
forcas aerodinamicas e inerciais que agem sobre a pa, e e dado pela expressao:
γ =ρ c a R4
mr
Iβ. (2.63)
Em seguida, reduziu a ordem das equacoes do rotor para eliminar-se as dinamicas
de alta-frequencia. Isto foi obtido descartando-se os termos de ordem superior nas
equacoes de movimento do TPP (2.60), ou seja, as aceleracoes de batimento da pa
a e b e as aceleracoes angulares do veıculo p e q.
Usando-se as Eqs. (2.60), (2.61) e (2.62), e as simplificacoes, obtem-se as seguintes
equacoes de primeira ordem acopladas do movimento do plano de rotacao do rotor
33
(TPP):
a = −q − a
τmr
− p
τmrΩ− kβ
2ΩIβb +
Aδlonδlon
τmr
, (2.64)
b = −p− b
τmr
+q
τmrΩ+
kβ
2ΩIβa +
Bδlatδlat
τmr
, (2.65)
onde Aδlone Bδlat
sao os ganhos lateral e longitudinal, em regime permanente,
respectivamente, das entradas cıclicas δlon e δlat provenientes do comando do ma-
nete do radio-controle ou das saıdas do sistema de controle embarcado. O termo
τmr = 16γΩ
= 0, 0276 s, e um parametro chave da dinamica do TPP e corresponde a
constante de tempo do rotor principal.
Dinamica da Barra Estabilizadora
Podemos descrever o movimento de batimento da barra estabilizadora de maneira
analoga a utilizada no rotor principal (2.59). Devido ao fato da barra estabilizadora
nao gerar sustentacao, e por isso nao ter angulo de cone, sua equacao nao tem o
termo independente:
β(Ψ)fly = β1cflycos Ψ + β1sfly
senΨ , (2.66)
onde β1cflye o componente cossenoidal, que passaremos a chamar de d, e β1sfly
e o
componente senoidal, que passaremos a chamar de c.
Reescrevendo a Eq.(2.66) temos:
β(Ψ) = c cos Ψ + d senΨ , (2.67)
c = −q − c
τfly
+p
τflyΩ+C1
τfly
, (2.68)
d = −p− d
τfly
+q
τflyΩ+D1
τfly
. (2.69)
Como a constante de tempo da barra estabilizadora e significativamente maior
que a do rotor principal (τmr = 0, 0276 s e τfly = 0, 1446 s, ou seja, 5,24 vezes maior),
os modos acoplados de batimento lateral e longitudinal sao reduzidos nesta mesma
proporcao em relacao ao rotor principal, por isso podemos despreza-los, resultando
nas seguintes expressoes simplificadas ((Mettler 2003), p. 81):
c = −q − c
τfly
+C1
τfly
, (2.70)
d = −p− d
τfly
+D1
τfly
, (2.71)
34
Figura 2.14: Mecanismo do misturador Bell-Hiller
onde C1 = Clonδlon e D1 = Dlatδlat sao, respectivamente, os coeficientes cossenoidal
e senoidal do angulo de passo das pas da barra estabilizadora, cuja expressao e:
Θ(Ψ)fly = C1 cos(Ψ) + A1 sen(Ψ) . (2.72)
Acoplando a Dinamica do Rotor Principal com a da Barra Estabilizadora
Como descrito anteriormente, o batimento da barra estabilizadora aumenta o sis-
tema dinamico do comando de angulo de passo das pas do rotor principal atraves
do misturador Bell-Hiller. Como este acoplamento e mecanico e determinado por
relacoes entre bracos de alavanca e bielas de acoplamento (veja Fig. 2.14), podemos
descrever estes comandos modificados pelas relacoes:
δlat = δlat +Kdd e δlon = δlon +Kcc , (2.73)
onde Kc e Kd sao determinados pela relacao das entradas do misturador Bell-Hiller.
Ele representa a razao entre os ganhos da entrada Hiller (da barra estabilizadora) e a
entrada Bell (do prato cıclico). No Raptor-30 foi medido um valor deKc = Kd ≈ 2, 6.
O valor encontrado e coerente com o do X-Cell-60, que foi identificado por Mettler
como sendo Kc = 2, 17 e Kd = 2, 74 ((Mettler 2003), p. 129), e o do Yamaha
R-50, identificado por Munzinger (Munzinger 1998) como sendo Kc = Kd ≈ 1, 95.
Podemos, agora, acoplar as dinamicas do rotor principal e a da barra estabilizadora
pela substituicao das entradas cıclicas δlat e δlon pelas entradas cıclicas aumentadas
35
δlat e δlon nas Eqs. (2.74) e (2.75), obtendo assim as equacoes aumentadas do TPP:
a = −q − a
τmr
+p
τmrΩ+
kβ
2ΩIβb − Bδlat
δlat
τmr
, (2.74)
b = −p− b
τmr
+q
τmrΩ+
kβ
2ΩIβa − Aδlon
δlon
τmr
, (2.75)
onde Alon e Blat sao, respectivamente, os ganhos longitudinal e lateral das entradas
cıclicas para os angulos de batimento do rotor principal e dependem da razao entre
os angulos de inclinacao do prato cıclico, devidas as entradas cıclicas, e o angulo de
passo resultante nas pas do rotor principal, equivale ao ganho da entrada Bell no
misturador. No Raptor-30 foram encontrados os seguintes valores: Alon = Blat =
0, 38.
Gavrilets ((Gavrilets, Frazzoli, Mettler, Piedmonte & Feron 2001), p. 39) obteve
resultados na identificacao no domınio da frequencia de um helicoptero X-Cell-60,
similar ao Raptor-30, mostrando que a razao entre o termo cruzado e o direto dos
acoplamentos entre o batimento e os movimentos angulares da aeronave (arfagem e
rolagem) nas equacoes do TPP e de aproximadamente uma ordem de grandeza e,
por isso, podem ser desprezados.
Mettler ((Mettler 2003), p. 129), para o mesmo helicoptero miniatura, X-Cell-60,
desprezou o termo cruzado de batimento, pois e comum neste tipo de miniatura a
introducao de uma pequena defasagem no prato cıclico para compensar este acopla-
mento, que e funcao direta do coeficiente Kβ do rotor principal.
Fazendo estas simplificacoes obtemos:
a = −q − a
τmr
+Alon(δlon +Kc c)
τmr
, (2.76)
b = −p− b
τmr
+Blat(δlat +Kd d)
τmr
. (2.77)
Gavrilets ((Gavrilets 2003), p. 39), baseado nos resultados obtidos por Mettler
em (Mettler 2003), descreveu as equacoes (2.76) e (2.77) com apenas dois estados,
agrupando os sistemas dinamicos do rotor principal e da barra estabilizadora, resul-
tando nas expressoes:
a = −q − a
τeff
+Alon,effδlon
τeff
, (2.78)
b = −p− b
τeff
+Blat,effδlat
τeff
, (2.79)
36
onde Alon,eff e Blat,eff sao, respectivamente, os ganhos longitudinal e lateral efetivos
em regime permanente das entradas cıclicas para os angulos de batimento do rotor
principal, para a entrada dada em radianos, τeff e a constante de tempo efetiva do
rotor com a barra estabilizadora, que pode ser calculada por
τeff = τmr +BlatKd τfly
= τmr + AlonKc τfly .
Para o Raptor-30 foram medidos Alon,eff = Blat,eff = 1, 5 e calculado o valor
teorico de τeff = 0, 17 s.
Podemos observar das equacoes de primeira ordem TPP ( Eqs. (2.78) e (2.79))
que a resposta de angulo de batimento longitudinal e lateral em regime permanente
para um degrau nas entradas cıclicas pode ser obtida fazendo a = b = 0, e assu-
mindo que nao ha movimento angular da fuselagem, resultando no proprio angulo
comandado no prato cıclico multiplicado pelo ganho determinado pela mecanica dos
acoplamentos :
a = Alon,effδlon , (2.80)
b = Blat,effδlat . (2.81)
2.6 Forcas e Torques do Rotor Principal
Passamos a derivar as contribuicoes do rotor principal na geracao de forcas e torques
que agem no helicoptero, as quais sao dominantes em helicopteros miniatura.
Como visto na Secao 2.5.2, o calculo do empuxo pode tornar-se muito complexo.
Uma maneira alternativa de se obter o CT e a partir da teoria da conservacao da
quantidade de movimento, que aplica as leis basicas de conservacao da mecanica dos
fluidos (conservacao da massa, quantidade de movimento e energia), ao rotor e ao
fluxo como um todo, para estimar a performance do rotor. E uma analise global que
relaciona as velocidades de fluxo e os totais de empuxo e potencia ((Padfield 1996),
p. 46 e (Johnson 1980), p. 30).
37
2.6.1 Empuxo
Teoria da Conservacao da Quantidade de Movimento
Gavrilets (Gavrilets 2003) cita resultados obtidos em tunel de vento com um rotor de
1,52m de diametro (o do Raptor-30 tem 1,2m), dados por Harris (Harris 1972) e re-
sumidos em ((Bramwell 2001), pp. 109-114), mostrando que a teoria da conservacao
da quantidade de movimento e adequada a estimacao do empuxo em regime perma-
nente, tanto para voo pairado como para voo rapido para frente. Verificou-se que o
coeficiente de inclinacao da curva de sustentacao (lift curve slope) (a) pode ser de-
terminado experimentalmente, permitindo a utilizacao desta teoria para se predizer
com precisao o empuxo para uma grande faixa de razao de avanco µ =√u2 + v2/ΩR
e angulo de passo (Θ).
Essa teoria considera o rotor como um disco atuador que acelera uma massa de
ar. Para voo pairado, assume-se que esta massa de ar esta em repouso sobre o rotor,
deste modo, o disco do rotor induz nela uma velocidade dada pela expressao:
vipairado=
√
T
2ρA =
√
mag
2ρπR2mr
= 3, 5 m/s , (2.82)
onde ma e a massa da aeronave, ρ e a massa especıfica do ar, A e a area do disco,
Rmr e o raio do rotor principal , e T e o empuxo, que neste caso, e igual ao peso da
aeronave em voo pairado.
A forma normalizada de vi e o fluxo de ar, que relaciona a velocidade induzida no
ar pelo rotor e a velocidade das pontas das pas, ou seja ((Padfield 1996), p. 116):
λipairado=
vipairado
ΩmrRmr
= 0, 03 . (2.83)
Reescrevendo a Eq. (2.82) temos que:
T = 2 v2i ρ A = 2 v2
i ρ π R2mr , (2.84)
e na sua forma normalizada:
CTpairado= 2λ2
ipairado=
2v2i
Ω2mrR
2mr
=mag
ρ(ΩmrRmr)2πR2mr
= 0, 0018 . (2.85)
Observe-se que, para o caso especial de voo pairado, conhecemos T , entao po-
demos calcular λ i. Em outros modos de operacao, precisamos conhecer T para
calcular λ i, e precisamos de λ i para calcular T . Como um depende do outro,
38
Padfield ((Padfield 1996), p. 123) propoe um processo iterativo, adaptado por
((Gavrilets 2003), p. 35), para este calculo.
O empuxo do rotor depende da constante de tempo para a acomodacao dos
transitorios do fluxo de ar. De acordo com Padfield ((Padfield 1996), p. 126), para
o helicoptero ajustado em voo pairado, este tempo e dado por:
τλ =0, 849
4λipairadoΩmr
. (2.86)
Para o Raptor-30, encontramos um tempo de acomodacao do fluxo de ar do rotor
principal τλ = 0, 038 s, o que e bem mais rapido do que a dinamica da fuselagem.
Como visto, o tempo necessario para pequenos ajustes no fluxo de ar e muito rapido,
e sera considerado instantaneo para o calculo do empuxo dos rotores principal e de
cauda.
Em voo vertical, quando a velocidade de descida da aeronave se iguala a veloci-
dade induzida, ocorre uma condicao denominada vortex-ring state, que nao pode ser
modelado com exatidao pela teoria da conservacao da quantidade de movimento.
Padfield ( (Padfield 1996), p. 118), cita uma solucao empırica, fornecida por Young
(Young 1978), que pode ser usada para uma calculo mais preciso do empuxo. Na
pratica, esta situacao e evitada, pois provoca a perda de controle, tanto se ocorrer
no rotor principal, como no rotor de cauda. Durante os experimentos de voo verti-
cal, devem ser evitadas velocidades descendentes maiores que 2m/s, devido ao fato
de o modelo nao representar adequadamente a dinamica do helicoptero proximo ao
vortex-ring state.
2.6.2 Forcas e Torques do Rotor
As principais forcas e torques de controle do helicoptero sao produzidos pelo ba-
timento e a consequente inclinacao do TPP, a Fig. 2.15 mostra a relacao entre o
angulo de inclinacao do TPP, o empuxo, forcas e torques produzidos pelo rotor.
Forcas do Rotor
Para voo pairado e baixa velocidade (µ < 0, 15) podemos assumir que o vetor de
empuxo e perpendicular ao TPP. Deste modo, as forcas exercidas sobre o cubo do
rotor sao as projecoes do vetor empuxo nas direcoes x e y dos eixos do plano do cubo.
Como, para a classe de helicopteros em estudo, os angulos de batimento do TPP
39
Figura 2.15: Momentos resultantes da deflexao do angulo de batimento das pas dorotor principal
sao inferiores a 10o, o que nos permite fazer outras simplificacoes, e as componentes
do empuxo ao longo dos eixo do corpo do veıculo podem ser aproximadas para:
Tx = −Tmr sen a cos b ≈ −Tmr a , (2.87)
Ty = Tmr sen b cos a ≈ Tmr b , (2.88)
Tz = −Tmr cos a cos b ≈ −Tmr. (2.89)
Torques do Rotor
A inclinacao do rotor faz aparecer na fuselagem um torque devido a existencia da
mola torsional equivalente representativa da elasticidade das pas do rotor kβ. Outra
componente e devida a projecao do empuxo no plano do cubo do rotor principal,
equacao (2.87), multiplicado pela distancia hmr do cubo do rotor principal ao centro
de gravidade, resultando nas seguintes projecoes nos eixos do corpo:
Lmr = hmr Tmr b + kβb = (hmr Tmr + kβ) b , (2.90)
Mmr = hmr Tmr a + kβa = (hmr Tmr + kβ) a . (2.91)
40
2.6.3 Equacoes do Movimento da Dinamica Acoplada Rotor-Fuselagem
As equacoes do corpo rıgido da fuselagem (2.3) a (2.8) e as equacoes do TPP (2.78)
e (2.79) sao acopladas atraves de derivadas de batimento. Nas equacoes de movi-
mentos translacionais longitudinal e lateral (Eqs. (2.92) e (2.92)), as derivadas de
entrada Xlon e Ylat sao substituıdas pelas derivadas de batimento Xa e Yb, respecti-
vamente, isto e:
u = −(w0q − v0r) − gθ +Xuu+ . . .+Xaa , (2.92)
v = −(u0r − w0p) + gφ+ Yvv + . . .+ Ybb , (2.93)
w = −(v0p− u0q) + Zuu+ Zww + . . .+ Zcolδcol . (2.94)
Nas equacoes de movimento de rolagem e arfagem (Eqs. (2.95) e (2.96)) as derivadas
de entrada Mlon e Llat sao substituıdas pelas derivadas de batimento Ma e Lb,
respectivamente, isto e:
p = Luu+ Lvv + . . .+ Lbb , (2.95)
q = Muu+Mvv + . . .+Maa , (2.96)
r = Nrr + . . .+Npedδped . (2.97)
2.6.4 Torque em Guinada
O torque gerado pelo rotor principal tem uma componente dominante na direcao
do seu eixo, alem de outras menores em arfagem e rolagem, devidas a inclinacao
do disco definido pelo caminho descrito pelas pontas das pas (TPP - Tip Path
Plane) em relacao ao plano de impulsao (plano perpendicular ao eixo do rotor).
Este torque pode ser aproximado pela soma do torque induzido pelo empuxo gerado
(primeira parcela de (2.98)) e o torque resultante do arrasto aerodinamico das pas
(segunda parcela), o qual e aqui apresentado em sua forma normalizada denominada
coeficiente de torque ( (Padfield 1996), pp. 113-114 e (Gavrilets 2003), p. 37):
CQ =Q
ρ(ΩmrRmr)2πR3mr
= CT (λ0 − µz) +cd0σ
8
(
1 +7
3µ2
)
, (2.98)
onde Q e o torque; λ0 e a componente uniforme do fluxo de ar, que em voo pairado
e λ0 = λitrim= 0, 03; µz e o taxa de avanco na direcao z do corpo, que e nula em
voo pairado; σ = 2c/πRmr = 0, 0513 e a razao de solidez do rotor, que e definida
41
como sendo a razao entre as areas das pas e a do disco do rotor, onde c e a corda
da pa. Embora o valor de cd0= 0, 0087, fornecido por (Johnson 1980) e citado
anteriormente, seja compatıvel com o valor cd0= 0, 008 utilizado por ((Gavrilets,
Mettler & Feron 2001), p. 4), usaremos o valor 0, 014, estimado com base na potencia
gasta com as perdas de arrasto de um helicoptero classe 30 em voo pairado (Mill
1996). Uma vez obtido CQ, reescrevendo-se (2.98) pode-se calcular o torque de
guinada:
Qmr = CQρ(ΩmrRmr)2πR3 . (2.99)
Dinamica de Guinada
As equacoes do movimento para a dinamica de guinada sao derivadas da equacao
de Euler (2.8). A principal contribuicao para o torque de guinada externo vem
do torque gerado pela forca aerodinamica do rotor de cauda, que e controlada pelo
angulo de passo de sua pa δped. Devido ao seu pequeno tamanho e grande velocidade
angular, a resposta desta forca a uma variacao do angulo de passo das pas pode
ser considerada instantanea. Esta resposta e muito mais rapida que a dinamica
de guinada, deste modo a dinamica do rotor de cauda nao precisa ser modelada
(Mettler 2003). Um tempo de retardo e, usualmente, suficiente para representar a
dinamica nao modelada. A velocidade do ar tambem produz torques, tanto atraves
das forcas aerodinamicas da empenagem vertical como atraves de alteracoes no
empuxo do rotor de cauda. Tais efeitos sao modelados usualmente atraves das
derivadas de velocidade Nu e Nv. Finalmente o mastro da cauda e o rotor de cauda
produzem torques de amortecimento que podem ser modelados atraves da derivada
Nr. A base do modelo de derivadas de estabilidade e:
r = Nv v +Nr r +Nped δped . (2.100)
Todos os helicopteros miniatura contam com um sistema dinamico de amorteci-
mento de guinada, baseado em um girometro (sensor que mede velocidade angular)
que mede r e um circuito eletronico associado. Para incluir este sistema na dinamica
de guinada, Mettler (Mettler 2003) sugere a inclusao de mais um estado rfb (fb de
feedback), resultando nas seguintes equacoes diferenciais:
r = Npp+Nrr +Nrfbrfb +Npedδped , (2.101)
˙rfb = −2Nrfbrfb +Krr . (2.102)
42
b
a
p
q teta
phi
w
v
rr_fb
delta_ped
u
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1s1
s
1s
1s
1s
1s
1s
1s
1s
1s
1s
L_v
L_u
A_lon
B_lat
1/Tal
1/Tal
giroscopio_yaw
entradas
flybar
M_w
N_col
N_ped
K_r
fuselagem
K_rfb
N_rfb
N_p
N_r
Z_col
Z_w
Y_vY_ped
M_col
M_a
L_w
−g
g
Y_b
X_a
M_v
M_u
L_b
X_u
4delta_col
3
2delta_lon
1delta_lat
v
Figu
ra2.16:
Diagram
ade
blo
cosdo
modelo
de
iden
tificacao.
43
Dinamica do Movimento de Translacao Vertical
A base do modelo de derivadas de estabilidade para dinamica de translacao vertical
e:
w = (−v0p+ uoq) + Zww + ZcolδcolNv v +Nr r +Nped δped . (2.103)
Os termos entre parenteses sao forcas centrıfugas que estao presentes em condicoes
de voo de cruzeiro, e para voo pairado serao desprezadas.
Em voo pairado, a aceleracao vertical pode ser representada pela relacao linear
((Gavrilets 2003), p. 37):
az = w = Zww + Zcolδcol , (2.104)
onde δcol e uma perturbacao do angulo Θ0 de equilıbrio em voo pairado, dado em
radianos (veja Eq. (2.39)). Padfield ((Padfield 1996) pp. 219-229) nos fornece as
derivadas Zw e Zcol, obtidas atraves da linearizacao analıtica das equacoes da teoria
da conservacao da quantidade de movimento, ja discutidas na Secao 2.6.1, aqui
representadas sem os subscritos ()mr :
Zw = −2aπR2ρ(ΩR)λipairado
(16λipairado+ aσ)ma
, (2.105)
Zcol = −8
3
aπR2ρ(ΩR)2λipairado
(16λipairado+ aσ)ma
. (2.106)
O valor obtido na equacao (2.105) foi Zw = −0, 97. O valor de Zcol, calculado
na equacao (2.106) depende da unidade da entrada δcol. Obteremos Zcol = −125
para uma entrada de coletivo δcol expressa em radianos, cuja faixa de valores e
−0, 1 ≤ δcol ≤ 0, 1 para o nosso helicoptero, assim como para a maioria dos he-
licopteros miniatura. Se utilizamos uma entrada adimensional normalizada de ±1
correspondendo a ±0, 1 rad o valor sera Zcol = −12, 5. E, finalmente, para uma
entrada em forma de largura de pulso, universalmente utilizada nos servos de ae-
romodelos, que varie na faixa de ±0, 5 ms correspondendo a ±0, 1 rad, teremos
Zcol = −25.
Ao longo deste trabalho utilizaremos duas formas de representar o valor de δcol. A
primeira sera utilizada na maior parte das simulacoes, onde uma entrada de ±0, 1 rad
sera normalizada para ±1, desta forma o valor de Zcol utilizado nas simulacoes sera o
valor calculado na Eq. (2.106) dividido por 10, devido ao fato de termos multiplicado
o valor da entrada por 10. A segunda forma sera utilizada na implementacao do
44
controlador embarcado da dinamica vertical e nas suas simulacoes. Isto se deve ao
fato de que os servos utilizados nos comandos dos helicopteros miniatura tem como
entrada pulsos eletricos de amplitude (4,8 V) e frequencia fixas (70 Hz) e largura
variavel. Esta largura deve variar na faixa 1, 5±0, 5ms para obtermos uma variacao
de ±0, 1rad no angulo de passo coletivo, ou seja uma variacao de ±0, 5 ms no pulso
corresponde a uma variacao de ±1 da entrada normalizada do primeiro caso.
Identificacao da Dinamica do Atuador
Segundo Mettler a dinamica dos servoatuadores usados para comandar o prato
cıclico pode ser aproximada pela funcao de transferencia de primeira ordem:
GR(s) =1
τsas+ 1. (2.107)
A constante de tempo do servoatuador (τsa) foi identificada em laboratorio e, por
ser muito mais rapida que a dinamica do conjunto rotor/barra estabilizadora, foi
desprezada.
2.7 Modelo linearizado completo
Uma vez modeladas todas as dinamicas relevantes, e feitas diversas simplificacoes,
podemos combinar os estados das equacoes de movimento do corpo rıgido com os
estados adicionais para formar o modelo parametrizado em espaco de estados que
sera utilizado na identificacao.
O modelo em espaco de estados parametrizado tem a seguinte forma geral:
x = Ax +Bu (2.108)
com o vetor de estado
x = [u, v, p, q, φ, θ, a, b, w, r, rfb ]T , (2.109)
e o vetor de entradas e:
u = [ δlat, δlon, δcol, δped]T . (2.110)
A dinamica completa do veıculo pode ser descrita pelas nove seguintes equacoes
diferenciais de primeira ordem acopladas:
45
• dinamica lateral e longitudinal acopladas fuselagem/rotor/barra estabiliza-
dora:
- movimento lateral e longitudinal da fuselagem (u e v) Eqs. (2.92) e (2.93);
- movimento de rolagem e arfagem da fuselagem (p e q) Eqs. (2.95) e (2.96);
- batimento lateral e longitudinal do rotor (a e b) Eqs. (2.78) e (2.79);
• dinamica vertical:
- movimento de translacao vertical da fuselagem (w) Eq. (2.94);
• dinamica de guinada aumentada:
- movimento de guinada da fuselagem (r) Eq. (2.101);
- realimentacao com girometro de guinada (rfb) Eq. (2.102).
A equacao (2.111) mostra o modelo em espaco de estados resultante. Foram adi-
cionados dois estados (φ, θ) para os angulos de rolagem (roll) e arfagem (pitch ),
respectivamente, resultando em um sistema de equacoes de 11a ordem. As dinamicas
dos atuadores nao foram incluıdas no modelo, mas podem ser identificadas separa-
damente e adicionadas ao modelo.
46
uvpq
φ
θa
bwrrfb
=
Xu 0 0 0 0 −g Xa 0 0 0 00 Yv 0 0 g 0 0 Yb 0 0 0Lu Lu 0 0 0 0 0 Lb Lw 0 0Mu Mv 0 0 0 0 Ma 0 Mw 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 − 1
τeff0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0 − 1τeff
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 Zw 0 00 0 Np 0 0 0 0 0 0 Nr Nrfb
0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kr Krfb
uvpqφθabwrrfb
+
+
0 0 0 00 0 Yped 00 0 0 00 0 0 Mcol
0 0 0 00 0 0 00 Alon 0 0Blat 0 0 00 0 0 Zcol
0 0 Nped Ncol
0 0 0 0
δlat
δlon
δped
δcol
. (2.111)
47
Capıtulo 3
Identificacao
3.1 Introducao
Este capıtulo apresenta uma estrategia cuja finalidade e simplificar a identificacao do
modelo linearizado (2.111), com a sua subdivisao em partes menores correspondentes
aos principais modos, para serem identificados individualmente e, posteriormente,
acopladas para obtermos a identificacao do modelo completo.
Uma vez obtido o modelo linearizado de identificacao devemos escolher um metodo
de identificacao, que nos permita, pelo conhecimento da historia das entradas e
saıdas, obter as derivadas do modelo. O modelo de funcao de transferencia esco-
lhido foi o do tipo ARX (AutoRegressive with eXtra input) ((Ljung 1999), p. 81) e
o criterio de otimizacao dos mınimos-quadrados (least squares). Sera apresentada
uma breve fundamentacao teorica destes metodos.
Esses metodos serao aplicados a identificacao da dinamica vertical da aeronave,
que foi discretizada para que fosse possıvel descreve-la na forma do modelo escolhido.
Em seguida sao apresentados os resultados experimentais da identificacao pa-
rametrica da dinamica vertical.
3.2 Identificacao Parametrica
Uma estrategia de trabalho e a subdivisao em identificacoes parciais da dinamica e a
utilizacao dos resultados parciais para se avaliar a adequacao do metodo empregado,
alem de seu aproveitamento como condicoes iniciais para os passos seguintes da
identificacao ((Mettler 2003), p. 99). Uma possıvel sequencia de identificacao e
descrita a seguir juntamente com seus resultados:
48
• Dinamica de rolagem e arfagem para se obter a constante de tempo efetiva do
rotor (τeff ), derivadas da mola de batimento (Ma, Lb) e derivadas efetivas de
entradas longitudinal e lateral (Alon,eff , Blat,eff , respectivamente).
• Equacoes dos movimentos translacionais lateral e longitudinal para se obter
as derivadas de velocidade (Xu e Yv) e a posicao real do centro de gravidade
(hcg).
• Dinamica vertical para se obter a derivada de amortecimento vertical (Zw) e
a sensibilidade da entrada de coletivo (Zcol).
• Dinamica de guinada para se obter o amortecimento de guinada (Nr), reali-
mentacao de velocidade de guinada (Kr) e a sensibilidade da entrada de pedal
(Nped).
• Acoplamento da dinamica vertical e de guinada para se obter as derivadas de
coletivo-para-guinada (Ncol) e guinada-para-coletivo (Zr).
• Modelo em espaco de estado completo acoplando as dinamicas longitudinal e
translacional com as de guinada e vertical.
Para a identificacao de cada subsistema proposto acima sao necessarias as historias
das entradas e saıdas de cada subsistema do sistema. A medida das entradas, que
sao geradas pelo piloto humano, e direta, uma vez que estao disponıveis na saıda
do receptor de radio-controle. Por outro lado, a medida das saıdas exige sensores
inerciais, altımetro barometrico e receptores de DGPS nao disponıveis.
A solucao encontrada para a identificacao de parte da dinamica do helicoptero foi
o desenvolvimento de um sonar-altımetro com resolucao de 1 cm e alcance de 6 m.
Este sensor permitiu a identificacao da dinamica vertical (derivada de amortecimento
vertical (Zw) e o ganho da entrada de coletivo (Zcol)) e o controle de altitude da
aeronave em malha fechada.
O sonar-altımetro foi implementado na mesma eletronica embarcada que captura
a entrada de coletivo proveniente do receptor de radio-controle e registra os valores
das entradas e saıdas em memoria nao-volatil (EEPROM) para posterior proces-
samento (processamento off-line), constituindo assim um sistema de aquisicao de
dados. Este sistema e capaz de registrar ate 4 voos, de aproximadamente 8 minutos
cada, em blocos distintos de memoria. Apos a realizacao dos voos, os dados sao des-
carregados diretamente para um computador tipo PC-IBM atraves de uma entrada
49
serial do tipo RS-232. Os dados podem ser capturados diretamente no ambiente
Matlab/Simulink, ou qualquer outro software do tipo terminal, e processados em
seguida.
3.3 Fundamentacao Teorica
O problema da identificacao parametrica se divide em quatro partes principais:
1. Aquisicao dos dados de entrada e de saıda do processo.
2. Escolha de uma classe de modelos.
3. Escolha de um criterio de otimizacao.
4. Validacao do modelo.
3.3.1 Aquisicao de Dados
Durante a aquisicao de dados, os seguintes aspectos devem ser observados:
• As experiencias devem ser realizadas aplicando-se sinais de entrada ricos em
termos de amplitude e espectro de frequencia, capazes de excitar os modos
dinamicos que se deseja identificar.
• As amplitudes das entradas devem ser limitadas para se evitar as saturacoes
(nao-linearidades) do modelo.
• Quando possıvel, deve-se realizar os experimentos com o sistema em malha
aberta. Ou, pelo menos com o mınimo de realimentacao. A realimentacao
pode mascarar a dinamica de malha aberta da aeronave. Uma maneira de
se visualizar o problema e atraves de um exemplo simples. Considere um
sistema SISO com uma funcao de transferencia da planta P(s) e uma reali-
mentacao do sistema de controle com funcao de transferencia C(s). Por de-
finicao, o ganho do sistema de controle e grande para frequencias abaixo da
frequencia de corte (C(jω) ≫ 1, ω < ωc) e pequeno em frequencias maiores
que ωc (C(jω) ≪ 1, ω > ωc). Logo, pode-se afirmar o seguinte a respeito da
50
funcao de transferencia nos dois extremos da faixa de frequencias:
Gmf (jω) =P (jω)
1 + P (jω)C(jω)≈ 1/C(jω) para ω < ωc , e (3.1)
P (jω) para ω > ωc . (3.2)
Logo, para frequencias bem abaixo da frequencia de corte, a dinamica de ma-
lha fechada e completamente dominada pelo sistema de controle, ou seja, a
dinamica da planta desaparece. Para frequencias bem acima da frequencia
de corte, a dinamica de malha fechada e completamente determinada pele
dinamica de malha aberta da planta. Em resumo, se a realimentacao e abso-
lutamente necessaria, devem ser usados os menores ganhos de realimentacao
possıveis (frequencia de corte mınima) ((Mettler 2003), p. 43).
• Os dados obtidos durante os experimentos devem ser gravados para posterior
processamento (processamento off-line).
3.3.2 Modelo de Identificacao
Dentre as classes de modelos de identificacao disponıveis, foi escolhido o que utiliza
a estrutura de modelo do tipo ARX, que e descrito na forma de equacao linear a
diferencas, que passamos a descrever.
Seja e(k), k = . . . ,−1, 0, 1, . . . uma perturbacao do tipo ruıdo branco. O mo-
delo de descricao de um sistema dado pela equacao:
y(k) + a1 y(k − 1) + . . .+ anay(k − na) = e(k) , (3.3)
e chamado de autoregressao, ou modelo AR, devido a dependencia das saıdas pas-
sadas. Ja o modelo de descricao dado pela equacao:
y(k)+a1 y(k−1)+ . . .+anay(k−na) = b1 u(k−1)+ . . .+bnb
u(k−nb)+e(k) , (3.4)
onde u(k) e uma entrada externa, e chamado de modelo ARX. Na denominacao
ARX, AR se refere a parte auto-regressiva e o X se refere aos termos de entrada
extra u(·) ((Ljung 1999), p. 81).
A descricao de um modelo atraves de equacoes lineares a diferenca tem a seguinte
expressao geral ((Astrom & Wittenmark 1997), p. 507),
A(q) y(k) = B(q)u(k) + C(q) e(k) , (3.5)
51
onde u e a entrada, y a saıda, e A(q), B(q) e C(q) sao polinomios do operador de
avanco q, da forma:
A(q) = qna + a1qna−1 + . . .+ ana−1q + ana
,
B(q) = b0qnb + b1q
nb−1 + . . .+ bnb−1q + bnb,
C(q) = qna + c1qna−1 + . . .+ cna−1q + cna
.
Sendo na = n a ordem do sistema e de A(q), e nb = n − 1 a ordem de B(q), e
expandindo a equacao (3.5), temos:
(qn + a1qn−1 + . . .+ an−1q + an) y(k) = (b0q
n−1 + . . .+ bn−2q + bn−1)u(k)+
+ (qn + c1qn−1 + . . .+ cn−1q + cn) e(t) . (3.6)
Alterando-se a representacao de (3.6) para operador de atrasado (q−1), para ob-
termos a expressao de y(k) em funcao das saıdas e entradas passadas, temos:
(1 + a1q−1 + . . .+ anq
−n) y(k) = (b0q−1 + . . .+ bn−1q
−n)u(k)+
+ (1 + c1q−1 + . . .+ cnq
−n) e(k) . (3.7)
Neste trabalho sera considerado apenas o erro de medida da saıda C(q) e(k),
que sera tratado como sendo um ruıdo branco, que nao dependente de seus valores
passados (e(k − 1), e(k − 2), etc.), ou seja C(q) = 1. Quando o polinomio C(q)
possui outros termos diz-se que o modelo do erro e do tipo MA (Moving Average)
e passamos a ter uma estrutura do tipo ARMAX.
Aplicando-se os operadores de atraso e isolando-se y(k) temos:
y(k) = −a1y(k−1)− . . .−any(k−n)+b0u(k−1)+ . . .+bn−1u(k−n)+e(k) , (3.8)
que pode ser representado tambem em notacao compacta:
y(k) = θT ϕ(k) + e(k) ,
onde
θ =[
a1 · · · an b0 · · · bn−1
]T,
ϕ(k) =[
−y(k − 1) · · · −y(k − n) u(k − 1) · · · u(k − n)]T
.
52
O vetor θ contem os parametros que descrevem o sistema que desejamos identificar
e ϕ(k) e o vetor de medidas das entradas e saıdas passadas em um dado instante k
do tempo discreto.
Para a identificacao de um sistema, devemos obter sua representacao conforme
o modelo descrito acima. Obtida esta representacao, e aplicada uma sequencia de
entradas conhecidas e realizada uma sequencia de medidas da saıda. Com estas
informacoes sera estimado um vetor de parametros θ que melhor se correlacione,
segundo um determinado criterio de otimizacao, com as medidas realizadas.
3.3.3 Criterio de Otimizacao dos Mınimos-Quadrados
O criterio de otimizacao adotado foi o dos mınimos-quadrados, que minimiza a
soma dos quadrados das diferencas entre as medidas observadas e as computadas
pelo modelo. De acordo com Gauss, o princıpio dos mınimos-quadrados e tal que
os parametros desconhecidos de um modelo devem ser escolhidos de tal forma que
“a soma dos quadrados das diferencas entre os valores observados e os computados
multiplicados por numeros que medem o grau de precisao seja mınima”. Para se
encontrar uma solucao analıtica para o problema dos mınimos-quadrados, os valores
computados pelo modelo devem ser funcoes lineares dos parametros desconhecidos.
No problema geral dos mınimos-quadrados, a variavel computada e dada por:
y = θ1ϕ1(x) + θ2ϕ2(x) + . . .+ θnϕn(x) , (3.9)
onde ϕ1, ϕ2, ... ,ϕn sao funcoes conhecidas (medidas) e θ e uma estimativa dos
parametros θ. Sao obtidos pares de observacoes (xi, yi), i = 1, 2, . . . , N de um
experimento. O problema mınimos-quadrados visa a determinar os parametros de
tal forma que as variaveis computadas yi pelo modelo (3.9) e com os valores experi-
mentais de xi se aproxime o melhor possıvel das variaveis medidas yi. Assumindo-se
que todas as medidas tem a mesma precisao, o princıpio dos mınimos-quadrados
estabelece que os parametros devem ser selecionados de tal modo que a funcao de
custo
J(θ) =1
2
N∑
i=1
ε2i , (3.10)
seja mınima, onde
εi = yi − yi = yi − θ1ϕ1(xi) − . . .− θnϕn(xi) , i = 1, 2, . . . , N .
53
Para tornar a notacao mais compacta introduzimos:
ϕ =[
ϕ1 ϕ2 · · · ϕN
]T,
θ =[
θ1 θ2 · · · θN
]T,
Y =[
y1 y2 · · · yN
]T,
Y =[
y1 y2 · · · yN
]T,
ε =[
ε1 ε2 · · · εN
]T,
Φ =
ϕT (x1)...
ϕT (xN)
.
O problema dos mınimos-quadrados pode ser agora apresentado de forma com-
pacta. A funcao custo pode ser escrita como:
J(θ) =1
2εT ε =
1
2‖ε‖2 , (3.11)
onde
ε = Y − Y ,
e
y = Φ θ .
A solucao do problema dos mınimos-quadrados e a determinacao do parametro θ
tal que ‖ε‖2 seja mınimo. E esta solucao e dada pelo seguinte teorema:
Teorema 3.1 ((Astrom & Wittenmark 1997), p. 511)
A funcao custo de (3.11) e mınima para os parametrosˆθ tal que
ΦT Φ θ = ΦTY . (3.12)
Se a matriz ΦT Φ e nao-singular (denominada condicao de identificabilidade
do sistema, que depende da riqueza do sinal aplicado a entrada), o mınimo e unico
e dado por
θ = (ΦT Φ)−1 ΦT Y = Φ† Y . (3.13)
A equacao (3.12) e a equacao normal, e a matriz Φ† = (ΦT Φ)−1 ΦT e denominada
de pseudo-inversa de Φ, desde que ΦT Φ seja nao-singular.
54
3.4 Identificacao da Dinamica Vertical do Raptor-
30
3.4.1 Discretizacao
Para possibilitar a identificacao parametrica da dinamica vertical, e necessario ex-
pressa-la na forma da equacao (3.8). Partindo da equacao (2.104), obtemos a funcao
de transferencia da posicao vertical z em relacao a entrada de coletivo δcol:
z
δcol
=Zcol
s(s+ Zw). (3.14)
A posicao vertical z corresponde ao y(k) e δcol ao u(k) do modelo discreto.
Como (3.14) e um sistema de segunda ordem da forma Kas(s+a)
, seu equivalente
ZOH e dado por ((Astrom & Wittenmark 1997), p. 54):
y(k) = −a1y(k − 1) − a2y(k − 2) + b1u(k − 1) + b2u(k − 2) , (3.15)
com seus coeficientes expressos por:
b1 =Zcol
Z2w
(Zwh− 1 − e−Zwh) , (3.16)
b2 =Zcol
Z2w
(1 − e−Zwh − Zwhe−Zwh) , (3.17)
a1 = −(1 + e−Zwh) , (3.18)
a2 = e−Zwh . (3.19)
3.4.2 Aplicacao do Metodo dos Mınimos-Quadrados
O metodo de otimizacao dos mınimos-quadrados descrito na Secao 3.3.3 foi aplicado
a dinamica vertical do Raptor-30, a partir da sua equacao a diferencas descrita por
(3.15), com a finalidade de se identificar Zcol e Zw.
Aplicou-se uma sequencia de entradas conhecidas u1, u2, . . . , uN ao sistema e a
correspondente sequencia de saıdas y1, y2, . . . , yN foi observada, obtendo-se os resul-
55
tados da forma:
Y =
y(3)y(4)
...
y(N)
, (3.20)
Φ =
−y(2) −y(1) u(2) u(1)−y(3) −y(2) u(3) u(2)
......
......
−y(N − 1) −y(N − 2) u(N − 1) u(N − 2)
. (3.21)
Os parametros estimados foram obtidos pela equacao (3.13). O algoritmo foi
implementado em MATLAB.
3.4.3 Voo Experimental de Identificacao
O Raptor-30 foi equipado com um computador embarcado, um sistema de aquisicao
de dados e um sonar-altımetro, para a realizacao de uma serie de voos de identificacao
da dinamica vertical em malha aberta.
Durante os voos de identificacao, a aeronave foi pilotada, atraves de radio-controle,
por um instrutor de aeromodelismo com grande experiencia em helicopteros minia-
tura.
O piloto foi orientado a descrever movimentos pre-estabelecidos, capazes de ex-
citar a dinamica da aeronave no modo desejado, que consistiram de movimentos
verticais do helicoptero entre uma altitude mınima de 0, 5m e uma maxima de 6m
(limite inferior imposto pela seguranca da aeronave e limite superior determinado
pelo alcance maximo do sonar-altımetro). As entradas do comando coletivo (posicao
do manete de coletivo) nao deveriam exceder ±30% em torno de seu ponto de voo
pairado (posicao do manete de coletivo, aproximadamente no centro de seu curso,
em que a aeronave tem velocidade vertical proxima de zero).
Os movimentos verticais deveriam ser alternados entre subir e descer, comecando
lentos, levando 4 a 6 s por ciclo e ir aumentando gradativamente sua velocidade ate
que a altitude da aeronave variasse menos de um metro com uma comando variando
±30%.
Estas entradas tem a finalidade de simular um sinal do tipo chirp, que e um
sinal senoidal que varia continuamente sua frequencia dentro de uma certa banda
Ω : ω1 ≤ ω ≤ ω2 e dentro de um certo perıodo de tempo 0 ≤ t ≤ M , o qual
56
fornece um bom controle sobre a banda de frequencia excitada, e e um tipo de sinal
comumente utilizado em identificacao de sistemas dinamicos ((Ljung 1999), p. 423).
As melhores series de dados foram selecionadas, subtraıdos seu valores medios e
filtradas por um filtro passa-banda de faixa entre 0, 02 e 20 rad/s.
Foram realizados ao todo tres voos bem sucedidos de identificacao com o seguinte
historico:
• Primeiro voo - realizado sobre pista de asfalto nos fundos do bloco H da Centro
de Tecnologia da UFRJ. Neste teste foram realizadas duas series bem sucedi-
das de dois minutos cada, mas foi constatada a necessidade de se melhorar o
alcance do sonar-altımetro, que era de 2, 5m para 8m, e de se aumentar a re-
solucao do armazenamento de dados de 8 para 16 bits. Percebeu-se, tambem,
a necessidade de se aumentar o tempo de gravacao de cada serie de medidas
de 2 para 8 minutos.
• Segundo voo - realizado na praca General San Martin, as margens da Lagoa
Rodrigo de Freitas. Foram realizadas duas series bem sucedidas de 8 minutos
cada. Apesar do voo ter sido realizado em dia de muito vento, o que provocou
forte perturbacao nas medidas, este voo forneceu as melhores e mais longas
series de dados dos tres voos.
• Terceiro voo - realizado sobre pista de asfalto nos fundos do bloco H da Centro
de Tecnologia da UFRJ. Neste teste foi realizada uma serie bem sucedida de
4 minutos. Os resultados destes testes confirmaram os resultados obtidos no
segundo voo.
3.4.4 Resultados da Identificacao Parametrica
A aplicacao do metodo dos mınimos-quadrados (3.4.2) resultou nos valores: Zw =
1, 1 e Zcol = −121. Estes valores estao muito proximos dos valores teoricos (Zw = 0, 9
e Zcol = −125, vide Eqs. (2.105) e (2.106)).
3.4.5 Validacao do Modelo
O modelo identificado foi simulado em Simulink, e aplicou-se a sua entrada uma
das sequencias de entradas coletadas em voo experimental, apos a filtragem descrita
57
0 5 10 15 20 25 30−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo − segundos
Var
iaçã
o de
Alti
tude
− m
etro
s
Saídas Medida e Simulada da Dinâmica de Altitude do Raptor−30
saida medidasaída simulada
Figura 3.1: Comparacao entre dados de saıda coletados em voo experimental deidentificacao e os obtidos na simulacao do modelo identificado. Pode-se verificar aboa concordancia entre as duas curvas.
na Secao 3.4.3. A saıda do modelo simulado foi comparada a saıda observada no
experimento para se avaliar o grau de concordancia entre elas.
A figura 3.1 mostra a comparacao entre os dados coletados em voo experimental
e os obtidos na simulacao do modelo. Pode-se verificar a boa concordancia entre as
duas curvas.
58
Capıtulo 4
Projeto do controlador
4.1 Introducao
A partir do modelo da dinamica vertical desenvolvido no capıtulo 2, passamos ao
projeto, simulacao e implementacao de um controlador que regule a altitude do he-
licoptero em voo pairado, em um valor desejado. Devido ao fato do modo vertical
ser bem desacoplado dos demais modos dinamicos do helicoptero, e possıvel imple-
mentar um controlador SISO que tenha como entrada de controle o comando de
pitch coletivo δcol, e como saıda a posicao vertical z. Os outros modos dinamicos da
aeronave continuarao em malha aberta e serao controlados pelo piloto humano.
Segundo ((Mettler 2003), p.163), para aeronaves em escala normal, ha, na pratica,
uma prevalencia da metodologia classica de controle de aeronaves baseadas na rea-
limentacao PID (Proporcional-Integral-Derivativa). Existem projetos que utilizam
metodos de controle robusto, porem nao sao ainda largamente utilizados. Para he-
licopteros nao-tripulados, tem sido aplicados tanto metodos classicos como robustos,
porem, ha uma limitada experiencia de voo com os metodos modernos.
A escolha da metodologia da sıntese ou projeto esta tanto relacionada com o de-
sempenho desejado como com os recursos disponıveis e restricoes de implementacao,
sendo um dos principais fatores limitantes a existencia e a qualidade dos senso-
res inerciais. Estas limitacoes, em geral, levam a uma escolha inicial do metodo
classico, com a utilizacao de controladores PD e PID, como e o caso de grande
parte dos projetos de controladores praticos testados em voo real. Como exem-
plo de projetos de helicopteros miniatura autonomos que utilizam controladores
PID, podemos citar os projetos das seguintes instituicoes: CSIRO Manufacturing
and Infrastructure Technology (Helicoptero X-Cell 60), University of Southern Cali-
59
fornia (Helicoptero Industrial Bergen), Stanford University (Helicoptero X-Cell 60)
(Saripalli & Roberts 2003), Carnegie Mellon University (Helicoptero Yamaha R-50),
MIT (Helicoptero X-Cell 60) (Mettler 2003), Simon Fraser University (Helicoptero
TSK Mystar 60) (Haintz, Mierau, Tsai, Georgiou & Tcaciuc 2003).
Para um sistema complexo como o helicoptero, um controlador classico levara
a um desempenho inferior comparado a um projeto utilizando tecnicas H∞. En-
tretanto, com um melhor entendimento da dinamica do veıculo, o potencial da
arquitetura classica pode ser significativamente aumentado (Mettler 2003). Alem
disso, o conhecimento previo do desempenho da aeronave utilizando controladores
classicos fornece uma excelente referencia para a avaliacao do desempenho de outras
metodologias, que porventura venham a ser desenvolvidas posteriormente.
O controlador escolhido para a altitude do helicoptero foi o PD, uma vez que a
planta possui um polo naorigem, tornando o controle integral desnecessario.
Neste capıtulo tambem serao analisados aspectos relativos a robustez do contro-
lador PD em face as incertezas dos parametros identificados e a presenca de ruıdo
de medida da saıda. Finalmente, sera apresentado um metodo de discretizacao do
controlador para permitir a sua implementacao pratica no computador embarcado,
que e baseado em um microcontrolador de tecnologia RISC (Reduced Instruction Set
Controller - conjunto reduzido de instrucoes), que sera detalhado no Capıtulo 5.
4.2 Projeto do Controlador
4.2.1 Controlador PID
Os controladores PID sao largamente utilizados, bem dominados e sao raras as
aeronaves que utilizam outros tipos de controladores, sendo uma escolha natural
para o controle da dinamica vertical do nosso helicoptero.
A versao classica de um controlador PID pode ser descrita pela equacao
u(t) = Kp
(
e(t) +1
Ti
∫ t
0
e(σ)dσ + Tdd e(t)
dt
)
, (4.1)
onde o erro (e) e a diferenca entre o sinal de entrada de comando uc (referencia) e a
saıda do processo (variavel medida), Kp e o ganho proporcional do controlador, Ti
o tempo integral ou tempo de reset e Td o tempo derivativo.
Atualmente, todas as implementacoes praticas dos controladores PID’s sao digi-
60
tais e incorporam as melhorias herdadas das implementacoes analogicas. O grande
conhecimento acumulado mostrou que e possıvel se obter melhorias no desempenho
do controlador com algumas alteracoes no algoritmo apresentado em (4.1), algumas
dessas alteracoes serao apresentadas mais adiante quando sera apresentada uma
versao pratica de um PID.
A implementacao digital dos controladores PID e mais simples e flexıvel que
a analogica, pois capacitores, resistores e ganhos dos amplificadores operacionais
sao substituıdos por um programa de computador que executa operacoes algebricas
simples. Alteracoes e ajustes em um programa de computador sao muito mais
simples que alteracoes em um circuito eletronico, e isto explica, em parte, o virtual
desaparecimento da versao analogica.
4.2.2 Controlador PID Pratico
Em (Astrom & Wittenmark 1997) sao apresentadas algumas das modificacoes na
versao classica do controlador PID que se baseiam no conhecimento obtido em tra-
balhos anteriores com controladores analogicos, que passamos a descrever.
A funcao de transferencia do PID, descrito em (4.1), tem a seguinte expressao:
U(s) = Kp
(
E(s) +1
s Ti
E(s) + Td sE(s)
)
, (4.2)
onde U e E representam, respectivamente, as transformadas de Laplace de u e e.
A implementacao pratica dos PID’s mostrou que uma simples derivada nao deve
ser implementada, pois isto iria gerar um amplificacao muito grande do ruıdo de
medida. O ganho da derivada deve, entao, ser limitado. Para tanto, devemos
substituir o termo s Td pela seguinte aproximacao:
s Td ≈ sTd
1 + sTd
N
, (4.3)
onde N e o limite do ganho para altas frequencias e esta tipicamente na faixa de 3
a 20. Este substituto se aproxima bem da derivada em baixas frequencias, mas seu
ganho em altas frequencias fica limitado a N .
A experiencia mostrou, tambem, ser vantajoso nao permitir a acao do ganho
derivativo no sinal de comando. Expandir-se o erro na forma E(s) = Uc(s) − Y (s),
onde Uc e a transformada de Laplace de uc , que e a entrada de comando, e Y denota
61
a transformada de Laplace da saıda y, o algoritmo do PID passa a ser descrito por:
U(s) = Kp
(
Uc(s) − Y (s) +1
sTi
(Uc(s) − Y (s) ) − sTd
1 + sTd
N
Y (s)
)
. (4.4)
4.2.3 Requisitos do Controlador
Para o projeto do controlador foi adotada a utilizacao das especificacoes usuais de
desempenho: coeficiente de amortecimento (ζ) e frequencia natural nao-amortecida
(ωn). A motivacao para esta escolha esta nas normas militares americanas que
especificam as qualidades de voo de aeronaves pilotadas (MIL-STD-1797A 1990),
as quais exigem que as aeronaves possuam valores bem determinados em termos
de ζ e ωn. Os valores de ωn variam muito com cada modo da aeronave (curto-
perıodo, phugoid, dihedral, espiral,dutch roll, etc.), mas os valores de ζ se situam
numa faixa bem determinada (entre 0,5 e 0,8). Os valores exigidos sao baseados
em decadas de experiencia no projeto de aeronaves e nos sentimentos e preferencias
de dezenas dos melhores pilotos de testes das forcas armadas dos EUA. E evidente
que o tipo e a aplicacao da aeronave (caca, transporte, patrulha, etc.) tambem sao
fatores determinantes destas caracterısticas. Estas normas sao amplamente aceitas,
tanto para aeronaves militares como civis. Embora a finalidade deste trabalho seja
o desenvolvimento de um controlador autonomo, e considerada uma boa estrategia
faze-lo baseado na experiencia de pilotos humanos (Gavrilets, Frazzoli, Mettler,
Piedmonte & Feron 2001).
Para a dinamica vertical do helicoptero Raptor-30, serao adotados os seguintes
valores: coeficiente de amortecimento ζ = 0, 7 e frequencia natural nao-amortecida
ωn = 2. Estes valores conferem ao sistema um sobre-sinal menor que 5% e tempo
de subida menor do que 1, 1s. Outro fator levado em consideracao foi o esforco de
controle. O polinomio caracterıstico associado aos coeficientes escolhidos e:
φ(s) = s2 + 2ζωns+ ω2n = s2 + 2, 8s+ 4 , (4.5)
o que posiciona os polos da funcao de transferencia em malha fechada em λ1 =
−1, 40 + 1, 43i e λ2 = −1, 40 − 1, 43i rad/s.
A funcao de transferencia da dinamica vertical do helicoptero e a seguinte:
Y (s) =−Zcol
s(s+ Zw)U(s) . (4.6)
Deve-se notar que o numerador esta com o sinal invertido, pois um comando
positivo na alavanca de comando do controle coletivo no radio-controle (manche
62
Figura 4.1: Diagrama de blocos da dinamica vertical do Raptor-30 realimentadopelo controlador PD.
para a frente) faz a aeronave subir, ou seja, se movera no sentido negativo de z que
e direcionado para baixo. Como visto anteriormente, o calculo de Zw resulta em um
valor negativo, porem, para efeito de clareza, preferiu-se introduzir esta inversao,
posteriormente, no sinal de controle, para que pudessemos trabalhar com um valor
positivo no numerador.
Devido ao fato da planta possuir um polo na origem a acao integral do controlador
e desnecessaria. O controlador PD resultante tem a seguinte expressao:
U(s) = Kp
(
Uc(s) − Y (s) − sTd
1 + sTd
N
Y (s)
)
. (4.7)
Na Fig. 4.1 podemos ver o diagrama de blocos da dinamica vertical do Raptor-30
realimentado com o controlador PD.
A funcao de transferencia do sistema em malha fechada pode ser expressa por:
G(s) =ZcolKp
(
s+ NTd
)
s3 +(
Zw + NTd
)
s2 +(
ZwNTd
+ (1 +N)ZcolKp
)
s+ ZcolNKp
Td
. (4.8)
Verificamos que o termo derivativo introduz um polo e um zero no sistema em
malha fechada. Devemos, entao, escolher um valor de N suficientemente baixo
para limitar a amplificacao do ruıdo de medida, e suficientemente grande para nao
interagir significativamente com os polos dominantes. Se denotarmos o polo in-
troduzido por α, e escolhermos os polos dominantes em λ1 = −1, 40 + 1, 43i e
λ2 = −1, 40− 1, 43i rad/s, o polinomio caracterıstico do sistema em malha fechada
passa a ser:
φ(s) = s3 + (α+ 2, 8)s2 + (2, 8α + 4)s+ 4α . (4.9)
63
Igualando os coeficientes do denominador de (4.8) com os de (4.9), obtemos as
seguintes relacoes:
Zw +N
Td
= α+ 2, 8 , (4.10)
ZwN
Td
+ (1 +N)ZcolKp = 2, 8α + 4 , (4.11)
ZcolNKp
Td
= 4α . (4.12)
Conhecendo-se Zw e Zcol e deixando-se N como parametro livre, temos a seguinte
solucao para o sistema
(N + 1)(2Zw − 11)
NT 2
d + (3, 8 + 4(N + 1) − 2, 8Zw)Td + (Zw − 2, 8)N = 0 , (4.13)
α =NTd − 2, 8 + Zw
Td
, (4.14)
Kp =4N + (4Zw − 11)Td
NZcol
. (4.15)
As duas solucoes da equacao (4.13) devem ser testadas para o calculo do valor
de α, deve-se entao escolher aquela que resultar no maior valor de α (polo mais
a esquerda no plano complexo). Obtido o valor de Td, os calculos de Kp e α sao
diretos.
Foram realizadas simulacoes em ambiente Matlab/Simulink para se verificar o
desempenho do controlador projetado. Foram utilizados os valores de Zw = −1, 1 e
Zcol = −12 (para uma entrada padronizada de ±1 ao inves de ±0, 1 rad ), identifica-
dos no capıtulo 3. Podemos ver na figura 4.2 o desempenho do controlador projetado
para uma entrada do tipo degrau unitario. Nota-se que valores de N iguais ou supe-
riores a 4 interferem pouco nas caracterısticas escolhidas para o sistema em malha
fechada, portanto o valor N = 4 sera adotado para a implementacao do controlador.
Resolvendo-se as equacoes (4.13) a (4.15) para N = 4, foram obtidos os seguintes
ganhos para o controlador:
Td = 0, 39 ,
Kp = 0, 14 .
A funcao de transferencia em malha fechada com os parametros selecionados e
com os valores nominais de Zw e Zcol e
Gc l(s) =3, 3s+ 34
s3 + 11s2 + 28s+ 34. (4.16)
64
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
N=3N=4N=5
Figura 4.2: Resposta ao degrau unitario do controlador PD para valores de N entre3 e 5.
4.3 Robustez do Controlador em Relacao as In-
certezas de Zcol e Zw
Os valores de Zcol e Zw dependem da velocidade angular do rotor principal Ω (vide
Eqs. (2.106) e (2.105)). Para se evitar que Ω variasse durante as alteracoes de angulo
de passo das pas, o Raptor-30 foi equipado com um regulador de velocidade angular,
que mantem Ω = 1500 ± 50 rpm. No entanto, Zcol e Zw tambem sao influenciados
por outros fatores, como por exemplo a densidade do ar (ρ), efeito solo e o peso
da aeronave. Devemos somar a esses efeitos as incertezas inerentes ao processo de
identificacao. Com a finalidade de se verificar a robustez do controlador em relacao
as incertezas nos valores identificados e as variacoes de Zcol e Zw, devemos conhecer
o comportamento dos polos do sistema em malha fechada em face as variacoes destes
parametros. Durante a fase de identificacao foram observadas variacoes menores do
que 10% entre cada teste, mas, por seguranca, serao consideradas variacoes de 20%
para a verificacao da robustez do controlador.
Uma maneira de se verificar a robustez em relacao a variacao dos coeficientes de
um polinomio real e atraves da aplicacao do teorema de Kharitonov ((Bhattacharyya,
65
Chapellat & Keel 1995), p. 224).
Teorema de Kharitonov
Considere o conjunto Υ(s) de polinomios reais de grau n da forma:
δ(s) = δ0 + δ1s+ δ2s2 + δ3s
3 + δ4s4 + . . .+ δns
n , (4.17)
onde os coeficientes estao situados dentro de faixas determinadas,
δ0 ∈ [x0, y0], δ1 ∈ [x1, y1], . . . , δn ∈ [xn, yn] . (4.18)
Escreva
δ := [ δ0 , δ1 , . . . , δn ] (4.19)
relacionando o polinomio δ(s) com o vetor de coeficientes δ. Defina o hiper-retangulo
ou box de coeficientes
∆ := δ : δ ∈ Rn+1, xi ≤ δi ≤ yi , i = 0, 1, . . . , n . (4.20)
Assume-se que o grau permaneca invariante na famılia, tal que 0 /∈ [xn, yn]. Tal
conjunto de polinomios Υ(s) e chamado de famılia de intervalos reais. O teorema de
Kharitonov fornece uma simples condicao necessaria e suficiente para a estabilidade
Hurwitz da famılia inteira, cujo enunciado apresentamos abaixo.
Cada polinomio na famılia Υ(s) e Hurwitz se, e somente se, os seguintes quatro
polinomios extremos sao Hurwitz:
K1(s) = x0 + x1s+ y2s2 + y3s
3 + x4s4 + x5s
5 + y6s6 + . . . , (4.21)
K2(s) = x0 + y1s+ y2s2 + x3s
3 + x4s4 + y5s
5 + y6s6 + . . . , (4.22)
K3(s) = y0 + x1s+ x2s2 + y3s
3 + y4s4 + x5s
5 + x6s6 + . . . , (4.23)
K4(s) = y0 + y1s+ x2s2 + x3s
3 + y4s4 + y5s
5 + x6s6 + . . . (4.24)
Aplicando o Teorema de Kharitonov
Reescrevendo o polinomio caracterıstico da funcao de transferencia em malha fe-
chada da dinamica vertical do Raptor-30 (4.8) na forma de (4.17) obtemos:
φ(s) =ZcolNKp
Td
+
(
ZwN
Td
+ (1 +N)ZcolKp
)
s+
(
Zw +N
Td
)
s2 + s3 . (4.25)
66
Podemos, entao escrever o vetor de coeficientes de δ:
δ := [ δ0 , δ1 , δ2 , δ3 ] =
[
ZcolNKp
Td
,ZwN
Td
+ (1 +N)ZcolKp , Zw +N
Td
, 1
]
.
(4.26)
Considerando incertezas de ±20% nos valores dos parametros identificados obte-
remos as seguintes faixas de valores: Zcol ∈ [ 19, 2 , 28, 8 ] e Zw ∈ [ 0, 88 , 1, 32 ],
resultando nos seguintes limites para os coeficientes de δ(s):
δ3 ∈ [ 1 , 1 ] , δ2 ∈ [ 11, 14 , 11, 58 ] , δ1 ∈ [ 22, 39 , 33, 57 ] , δ0 ∈ [ 27, 41 , 41, 12 ] ,
(4.27)
resultando nos seguintes polinomios de Kharitonov:
K1(s) = s3 + 11, 58s2 + 22, 39s+ 27, 41 , (4.28)
K2(s) = s3 + 11, 58s2 + 33, 57s+ 27, 41 , (4.29)
K3(s) = s3 + 11, 14s2 + 22, 39s+ 41, 12 , (4.30)
K4(s) = s3 + 11, 14s2 + 33, 57s+ 41, 12 . (4.31)
Utilizando-se a funcao roots do Matlab verificou-se que os quatro polinomios
sao Hurwitz, o que garante que toda a famılia de polinomios e Hurwitz. Em con-
sequencia, pode-se afirmar que o controlador e robusto em relacao as incertezas de
Zcol e Zw. O Matlab tambem dispoe da funcao rootsrpc, pertencente ao Robust
Parametric Control Toolbox (Ahmad, Bhattacharyya & Keel 1995), que desenha o
espaco das raızes da famılia de polinomios Υ(s), que para o sistema em questao pode
ser visto na Fig. 4.3. Verifica-se que o espaco descrito pelas raızes esta totalmente
situado no semiplano esquerdo do plano complexo.
Coma a utilizacao da funcao rootsrpc, tambem foi possıvel verificar-se qual seria a
variacao parametrica que nao garantiria a estabilidade do sistema em malha fechada.
Uma sequencia de simulacoes mostrou que, se a incerteza nos valores dos parametros
fosse de ±75%, a estabilidade nao estaria garantida. Para tal faixa de variacao do
parametros, o espaco das raızes da famılia de polinomios Υ(s) pode ser visto na Fig.
4.4.
67
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 4.3: Espaco das raızes de Υ(s) para uma variacao de ±20% dos parametrosZcol e Zw.
68
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura 4.4: Espaco das raızes de Υ(s) para uma variacao de ±75% dos parametrosZcol e Zw.
69
4.4 Discretizacao do Controlador
Para implementar-se o controlador PD projetado em um microcontrolador embar-
cado no helicoptero, e preciso primeiro discretiza-lo, ou seja, os sinais de entrada
de comando e de saıda serao amostrados a uma determinada taxa de amostragem.
Duas etapas importantes da discretizacao sao as escolhas da taxa de amostragem
e da aproximacao da funcao de transferencia do controlador expressa na forma de
equacoes diferenciais ou na sua transformada de Laplace. Estas escolhas devem le-
var em conta criterios de estabilidade e desempenho do sistema amostrado. Taxas
de amostragens muito baixas podem levar a instabilidade e degradar o desempe-
nho do sistema, por outro lado, taxas elevadas podem exceder a capacidade de
processamento do microcontrolador. Tambem deve ser observada a complexidade
do algoritmo do controlador, devido as limitacoes de processamento e recursos de
memoria do microcontrolador.
Taxa de Amostragem
Um criterio pratico para a escolha da taxa de amostragem e dado em ((Astrom &
Wittenmark 1997), p.66), que recomenda que sejam feitas de 4 a 10 amostragens
durante o tempo de subida do sistema em malha fechada, quando e excitado por uma
entrada em degrau que, para um sistema de segunda ordem, e dado pela expressao:
Tr =eϕ/ tan ϕ
ωn
, (4.32)
onde ϕ = arccos ζ. Para ωn = 2 e ζ = 0, 7, o tempo de subida sera Tr ≈ 1, 1s, o que
determina, pelo referido criterio, uma faixa de taxa de amostragem 3, 6 a 9, 1 Hz.
Para facilitar o sincronismo do controlador com os sinais periodicos de comando de
radio-controle (70 Hz) e da saıda do sonar-altımetro (70/4 = 17, 5 Hz), sera utilizada
uma frequencia de 70/8 = 8, 75 Hz, que corresponde a um perıodo de amostragem
de h = 0, 114 s.
Aproximacao
A lei de controle do PD (4.7) pode ser escrita como:
u(t) = P (t) +D(t) , (4.33)
70
Y(s)
−0.56s
s+10
Tds / 1+Tds/4
Osciloscópio
0.14
Kp
s +1.1s224
Dinâmica Vertical
Degrau
Uc(s)
D(s)
P(s)
U(s)
U(s)U(s)
Figura 4.5: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada com controladorcontınuo.
onde P (t) representa o termo proporcional e D(t) o termo derivativo. O termo
proporcional e dado por
P (s) = Kp(Uc(s) − Y (s)) . (4.34)
Uma vez que o termo proporcional e estatico (nao depende de valores passados),
este pode ser discretizado de forma direta, sem aproximacao:
P (k) = Kp(uc(k) − y(k)) , (4.35)
onde k representa o tempo discreto.
A funcao de transferencia do termo derivativo e descrita por:
D(s) = −KpTds
1 + sTd
N
Y (s) =−0, 56s
s+ 10, 3Y (s) , (4.36)
que pode ser reescrita como:
D(s) +Td
Ns D(s) = −KpTd s Y (s) . (4.37)
A Fig. 4.5 mostra o diagrama de blocos da dinamica vertical do Raptor-30
realimentado pelo controlador contınuo e sendo excitado por uma entrada em degrau.
O diagrama destaca os termos proporcional e derivativo.
A aproximacao escolhida foi a do tipo Euler atrasado ((Astrom & Wittenmark
1997), p.295), a qual nao introduz instabilidade nos polos do sistema, e que substitui
a variavel complexa s em (4.37) por s′ = z−1zh
, onde z e a variavel complexa discreta
71
ZOH
z
1
z
1
Osciloscópio
0.46
0.26
0.14s +1.1s2
24
Dinâmica Vertical
Degrau
u(t)
u(t)u_c(k) P(k) U(k)
D(k)
D(k)
y(t)
y(t)
y(t)
Figura 4.6: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada com controladordiscreto.
da transformada z. Apos a substituicao obtemos:
D(z) +Td
N
(
z − 1
zh
)
D(z) = −KpTd
(
z − 1
zh
)
Y (z) , (4.38)
ou melhor,
D(z) = −0, 26z − 1
z − 0, 46Y (z) , (4.39)
que, voltando para o domınio do tempo discreto, resulta:
D(k) = 0.46 D(k − 1) − 0.26 (y(k) − y(k − 1)) . (4.40)
Podemos, entao, escrever a expressao final para a implementacao do controlador:
P (k) = 0, 14 ( uc(k) − y(k) ) , (4.41)
D(k) = 0, 46 D (k − 1) − 0.26 ( y(k) − y(k − 1) ) , (4.42)
u(k) = P (k) +D (k) . (4.43)
A Fig. 4.6 mostra o diagrama de blocos da dinamica vertical do Raptor-30
realimentado pelo controlador discreto dado pelas equacoes (4.41), (4.42) e (4.43),
tendo como entrada de comando um degrau unitario.
4.5 Simulacao do Controlador
Os controladores contınuo e discreto foram simulados em ambiente Matlab/Simulink
para se avaliar e comparar seus desempenhos. As simulacoes foram realizadas con-
72
0 2 4 6 8−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo − segundos
entr
ada
de c
olet
ivo
norm
aliz
ada
entrada
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo − segundos
varia
ção
de a
ltitu
de −
met
ros
saída
Figura 4.7: Resposta ao degrau unitario do sistema em malha fechada usando ocontrolador continuo com os valores identificados de Zcol e Zw.
0 2 4 6 8−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo − segundos
entr
ada
de c
olet
ivo
norm
aliz
ada
entrada
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo − segundos
varia
ção
de a
ltitu
de −
met
ros
saída
Figura 4.8: Resposta ao degrau unitario do sistema em malha fechada usando ocontrolador discreto com os valores identificados de Zcol e Zw.
73
Y(s)
−0.56s
s+10
Tds / 1+Tds/4 Ruído Branco
Osciloscópio
0.14
Kp
s +1.1s224
Dinâmica Vertical
Degrau
Uc(s)
Y(s) + ruidoY(s) + ruido
D(s)
P(s)
U(s)
U(s)U(s)
Figura 4.9: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada com controladorcontınuo com ruıdo de medida da saıda
siderando como entrada de comando o degrau unitario com inıcio em t = 1s. Ini-
cialmente foram feitas simulacoes sem levar em conta o ruıdo de medida da saıda.
A Fig. 4.7 mostra os resultados obtidos com o controlador contınuo e a Fig. 4.8
mostra os resultados do discreto.
Desempenho com Ruıdo de Medida
Presumir que o ruıdo de medida e nulo nao e realista, por isso foram feitas novas
simulacoes, nas quais foi somado a saıda do sistema (que corresponde a variacao de
altitude da aeronave) um ruıdo branco com banda limitada com variancia aproxi-
mada de 0, 05m. Os diagramas de blocos com estas alteracoes podem ser vistos nas
figs. 4.9 e 4.10.
Pode-se verificar que a introducao do ruıdo de medida nao provoca alteracoes
significativas nas caracterısticas do sistema em malha fechada e, tambem, que o
sistema continua estavel, tanto para o controlador contınuo como para o discreto.
Desempenho com Ruıdo de Medida e Variacao Parametrica
Os dois controladores foram analisados nas simulacoes anteriores considerando-se a
planta com seus valores nominais. Mas, como ja mencionado na Secao 4.3, devido
as incertezas relativas a identificacao e possıveis variacoes parametricas devidas a
diversos outros fatores, foram realizadas simulacoes dos dois controladores consi-
derando variacoes independentes de 20% nos parametros Zcol e Zw da planta. Os
resultados podem ser vistos nas figs. 4.11, 4.12 e 4.13 , para o controlador contınuo
74
ZOH
z
1
z
1
Ruído Branco
Osciloscópio
0.46
0.26
0.14s +1.1s2
24
Dinâmica Vertical
Degrau
u(t)
u(t)u_c(k) P(k) U(k)
D(k)
D(k)
y(t) + ruído
y(t) + ruído
y(t)
y(t)
Figura 4.10: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada com controladordiscreto com ruıdo de medida da saıda.
e nas figs. 4.14, 4.15 e 4.16, para o discreto.
75
0 2 4 6 8 10−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo − segundos
u(t)
− n
orm
aliz
ada
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo − segundosy(
t) −
met
ros
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.11: Resposta ao degrau unitario, com controlador contınuo, sem ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw . Entrada u(k) normalizada e saıda y(t).
0 2 4 6 8 10−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
tempo − segundos
u(t)
− n
orm
aliz
ada
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundos
y(t)
− m
etro
s
zcol=19.2 ; zw=0.88zcol=19.2 ; zw=1.32zcol=28.8 ; zw=0.88zcol=28.8 ; zw=1.32zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88zcol=19.2 ; zw=1.32zcol=28.8 ; zw=0.88zcol=28.8 ; zw=1.32zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.12: Resposta ao degrau unitario, com controlador contınuo, com ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw. Entrada u(t) e saıda y(t).
76
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundos
y(t)
− m
etro
s
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundosy(
t) +
ruíd
o −
met
ros
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.13: Resposta ao degrau unitario, com controlador contınuo, com ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw. Saıda y(t) e y(t) + ruıdo de medida.
0 2 4 6 8 10−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo − segundos
u(k)
− n
orm
aliz
ada
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo − segundos
y(t)
− m
etro
s
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.14: Resposta ao degrau unitario, com controlador discreto, sem ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw.
77
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundos
y(t)
− m
etro
s
0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
tempo − segundosu(
k) −
nor
mal
izad
a
zcol=19.2 ; zw=0.88zcol=19.2 ; zw=1.32zcol=28.8 ; zw=0.88zcol=28.8 ; zw=1.32zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88zcol=19.2 ; zw=1.32zcol=28.8 ; zw=0.88zcol=28.8 ; zw=1.32zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.15: Resposta ao degrau unitario, com controlador discreto, com ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw. Saıda (y(t) e entrada u(k) da planta
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundos
y(t)
− m
etro
s
0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo − segundos
y(t)
+ r
uído
−
m
etro
s
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
zcol=19.2 ; zw=0.88
zcol=19.2 ; zw=1.32
zcol=28.8 ; zw=0.88
zcol=28.8 ; zw=1.32
zcol=24 ; zw=1.1 − NOMINAL
Figura 4.16: Resposta ao degrau unitario, com o controlador discreto ,com ruıdo demedida e com variacao de Zcol e Zw. Saıda da planta y(t) e saıda da planta comruıdo y(t) + ruıdo.
78
ZOH
z
1
z
1
Osciloscópio
0.46
0.26
0.14s +1.1s2
24
Dinâmica Vertical
Degrau
Atraso 20 ms
+500 −500
+100 −100
u(t)u_c(k) P(k) U(k)
D(k)
delta(k)
u_sat(t)
u(t)
Figura 4.17: Diagrama de blocos do controlador PD implementado em microcontro-lador embarcado.
4.6 Aspectos Praticos da Implementacao do Con-
trolador
Podemos ver na Fig. 4.17 o diagrama de blocos do controlador em sua versao final,
como foi implementado em microcontrolador embarcado na aeronave.
Entre as diferencas que podem ser notadas em relacao aos diagramas de blocos do
controlador utilizados nas secoes anteriores esta a inclusao de duas saturacoes. A pri-
meira, na entrada da planta previne que se envie para o servo que comanda o angulo
de passo coletivo um pulso com uma variacao de largura superior a ± 500 µs, que e
o limite especificado pelo fabricante. A outra saturacao, que limita em ± 100 mm a
diferenca entre duas medidas consecutivas de altitude, visa a filtrar eventuais erros
de leitura do sonar-altımetro que poderiam gerar a desestabilizacao da aeronave.
Partindo-se do princıpio que o helicoptero tem um limite de velocidade vertical,
a diferenca entre duas medidas consecutivas da altitude e limitada. O valor de
saturacao permite velocidades verticais de aproximadamente ± 1 m/s.
E importante observar que essas saturacoes nao introduziram nao-linearidades
no sistema durante os voos experimentais de identificacao, uma vez que estes sao
realizados em malha-aberta.
Na figura 4.18 encontra-se a simulacao do sistema em Simulink para uma en-
trada em degrau de 0, 6m de amplitude. Verifica-se que tal entrada nao leva os
termos delta(k) (diferenca entre duas medidas consecutivas de altitude saturada em
±100mm) e u(t) a saturacao, e na figura 4.19 encontra-se a mesma simulacao para
79
0 2 4 6 8 10−50
0
50
100
tempo − segundos
milí
met
ros
delta(k)
0 2 4 6 8 10−50
0
50
100m
icro
segu
ndos
saída saturada do controlador − usat
(t)
0 2 4 6 8 100
500
1000altitude − y(t)
milí
met
ros
Figura 4.18: Simulacao do PD implementado em microcontrolador embarcado comentrada em degrau de 0, 6m, o que nao provoca saturacoes em usat(t) e delta(k).
uma entrada em degrau de 1m de amplitude. A simulacao mostra que tal entrada
levaria a saturacao o termo delta(k), o que nao alteraria significativamente o com-
portamento do sistema, o que pode ser verificado comparando-se as duas simulacoes.
Outra diferenca no diagrama de blocos da figura 4.17 e a inclusao de um retardo
de 20ms entre saıda da planta e a entrada do controlador. Este retardo representa o
atraso medio na medida da altitude da aeronave, devido ao tempo de retorno do eco
do sonar-altımetro. Este valor leva em conta uma altitude media de 1, 5m durante
os voos experimentais. Foram realizadas varias simulacoes com valores de atraso
variando de 0 a 40ms, com resultados muito semelhantes aos apresentados nas figs.
4.18 e 4.19, por isto foram omitidos.
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100
0
100
200
mic
rose
gund
os
saída saturada do controlador − usat
(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
milí
met
ros
altitude − y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−50
0
50
100
tempo − segundos
milí
met
ros
delta(k)
Figura 4.19: Simulacao do PD implementado em microcontrolador embarcado comentrada em degrau de 1m, levando o termo delta(k) a saturacao.
81
4.7 Testes Experimentais em Voo do Controlador
Com a finalidade de se diminuir o risco de acidentes, o helicoptero foi inicialmente
posicionado por radio-controle pelo piloto humano a uma altitude de 1, 5m e, em
seguida, foi chaveado para o modo automatico. A chave que faz a comutacao de
manual para automatico esta disponıvel no console do radio-controle e o circuito
embarcado que faz a comutacao no helicoptero e completamente independente do
computador de bordo, inclusive sua alimentacao, por medida de seguranca. A qual-
quer momento o piloto humano pode resgatar o controle da aeronave, bastando
acionar a chave no console do transmissor de radio-controle. Caso o helicoptero
se desestabilize ao se comutar do modo manual para automatico, este sistema pos-
sibilita ao piloto humano retornar imediatamente ao modo manual e estabilizar a
aeronave.
Apos o chaveamento para o modo automatico, o manete do comando de coletivo
do radio-controle muda de funcao, passando a fornecer um sinal de comando que
representa a altitude desejada. O manete na posicao mais baixa (equivalente a
entrada de coletivo mınima do modo manual) envia um comando de altitude de
1m, e no outro extremo envia um comando de altitude de 1, 8m.
A Fig. 4.20 mostra o Raptor 30 equipado para os voos experimentais de identi-
ficacao e em malha fechada.
Primeiro Experimento com Malha Fechada
A primeira tentativa de se realizar um voo experimental com a malha de controle
fechada ocorreu juntamente com o segundo voo de identificacao.
Ao se tentar fechar a malha do controlador, passando do modo manual para
automatico, a aeronave iniciava uma oscilacao que ia aumentando de amplitude,
e em poucos segundos alcancava mais de um metro entre picos. Para se evitar o
acidente iminente, comutava-se para o modo manual e se estabilizava a aeronave.
Varias tentativas foram feitas com os mesmos resultados.
Apos se descartar a possibilidade de inversao de sinal do controlador, buscou-
se o real motivo da instabilidade. A resposta surgiu apos a analise dos dados do
voo de identificacao que foram realizados no mesmo dia do teste do controlador.
A identificacao preliminar, feita com os dados do primeiro voo e com a utilizacao
de dados seriamente prejudicados pelo mau funcionamento do sonar-altımetro e a
82
Computador de
bordo
Sonar-altímetro
Receptor
Futaba
Comutador
malha aberta/
malha fechada
Bateria do conjunto
computador/sonar-
altímetro
Bateria do
receptor e servos
Girômetro
de guinada
Figura 4.20: Helicoptero Raptor 30 equipado para voos de identificacao e em malhafechada.
83
ZOH
z
1
z
1
Scope
0.56
1.19
0.53s +1.1s2
24
Dinâmica Vertical
Degrau
Atraso 20 ms
+500 −500
+100 −100
u(t)u_c(k) P(k) U(k)
D(k)
delta(k)
u_sat(t)
u(t)
Figura 4.21: Diagrama de blocos do controlador PD implementado em microcontro-lador embarcado calculado considerando Zcol = 5 e Zw = 0, 5.
consequente saturacao das medidas de altura, nos levou a subestimar os valores de
Zcol e Zw.
Os valores utilizados para os calculos do primeiro controlador foram Zcol = 5
(para uma entrada normalizada) e Zw = 0, 5, o que nao seria suficiente para provocar
a instabilidade observada, porem um erro no algoritmo do controlador introduzia
um ganho adicional de 2 na saıda do controlador, o que, conforme se verificou nas
simulacoes realizadas provocou a instabilidade.
A figura 4.21 mostra o diagrama de blocos do controlador PD implementado em
microcontrolador embarcado no helicoptero com os valores de ganhos calculados
baseados em valores subestimados de Zcol e Zw. O atraso de 20ms entre a saıda
da planta e a entrada do controlador representa o tempo que o sonar-altımetro leva
para de medir a altitude do helicoptero. Foi verificado nas simulacoes que este tempo
de atraso nao influencia significativamente o comportamento do controlador, nem a
identificacao parametrica. As figuras 4.22 e 4.23 apresentam a simulacao e os dados
obtidos em voo experimental em malha fechada. Pode-se observar a boa semelhanca
entre a simulacao e os dados reais.
Apos a correcao dos ganhos do controlador, foi realizado um segundo voo ex-
perimental com a malha fechada, em conjunto com o terceiro voo de identificacao.
Desta vez foi possıvel fechar a malha e a aeronave se manteve estavel, permitindo
ao piloto manter uma posicao constante no manete de controle de altitude para ae-
ronave manter a altitude comandada mesmo sob a influencia do vento que soprava
84
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−500
0
500m
icro
degu
ndos
Saída saturada do controlador
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2000
−1000
0
1000
2000
milí
met
ros
Variação da posição vertcal (altitude)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100
−50
0
50
100
tempo − segundos.
Diferença saturada de posição vertical
Figura 4.22: Simulacao do controlador PD implementado em microcontrolador em-barcado calculado com Zcol = 50 e Zw = 0, 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
tempo − segundos
altit
ude
− m
ilím
etro
s
Figura 4.23: Dados obtidos em voo experimental com o controlador PD implemen-tado em microcontrolador embarcado calculado com Zcol = 50 e Zw = 0, 5.
85
0 5 10 151450
1500
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
tempo − segundos
altit
ude
− m
ilím
etro
s
Vôo em mala fechada
Figura 4.24: Voo com a malha de controle fechada. O helicoptero e comandado air da altitude 1500 ate 1830mm e nesta permaneceu durante aproximadamente 10 ssem a interferencia do piloto.
moderadamente.
Foi solicitado ao piloto que comandasse ao helicoptero entre os dois extremos de
altitude determinados pela posicao do manete do radio controle ( 1000 a 1800mm).
O grafico da Fig. 4.24 apresenta a variacao da altitude quando o piloto comandou
a aeronave para ir da sua posicao inicial em 1500 ate a posicao 1830mm, ficando
estabilizada nesta posicao dentro de uma variacao de ±30mm, no intervalo de tempo
entre 6 e 12 s, sem a interferencia do piloto no controle de altitude.
86
Capıtulo 5
Descricao do Conjunto Eletronico
5.1 Introducao
O Raptor-30 foi adquirido em conjunto com os equipamentos e acessorios usuais
para este tipo de aeronave. Uma parte para uso em terra e outra de utilizacao
embarcada.
O equipamento de terra e constituıdo de um radio-transmissor, um conjunto de
baterias recarregaveis para o radio-transmissor, um iniciador de vela (glow star-
ter), um motor de partida, bateria de partida, carregadores de bateria, bomba de
combustıvel, alem de outros acessorios.
O equipamento embarcado inclui um radio-receptor, cinco servos, um giroscopio
(rate gyro) e um conjunto de baterias recarregaveis para alimentar o conjunto.
Com a finalidade de se realizar as tarefas de identificacao e controle da aeronave,
foi desenvolvida uma eletronica embarcada adicional, da qual passamos a apresentar
uma descricao sumaria.
5.2 Eletronica de Terra
A eletronica utilizada em terra se resume a um radio-transmissor, Futaba modelo
T8UHP, de oito canais, de aplicacao especıfica em helicopteros aeromodelo, cujas
funcionalidades foram utilizadas de maneira nao-convencional para a realizacao do
voo em malha fechada.
87
Figura 5.1: A altitude (z) e estimada com base no tempo que a onda ultra-sonicaleva para percorrer o caminho de ida e volta entre a aeronave e o solo.
5.3 Eletronica Embarcada
A eletronica embarcada se constitui de:
• radio-receptor de helicoptero aeromodelo,
• cinco servos de aeromodelo compatıveis com a aeronave,
• sonar-altımetro ultra-sonico,
• computador de bordo microprocessado,
• circuito comutador de malha aberta/fechada microprocessado,
• conjunto de baterias recarregaveis de 4,8V/1000mAh,
• bateria de 9V convencional.
O radio-transmissor, o radio-receptor, os servos e o conjunto de baterias recar-
regaveis de 4,8V sao os tipos e modelos recomendados pelo fabricante do Raptor-30,
e os demais ıtens adicionados foram especialmente projetados para este trabalho.
Deste modo, sera feita uma descricao mais detalhada destes ultimos.
88
5.3.1 Sonar-Altımetro
A medida da altitude do Raptor-30 ao solo foi realizada por um sonar-altımetro
que possui um transmissor e um receptor de ultra-som. A estimativa da altitude
se baseia no tempo que a onda ultra-sonica leva para percorrer o caminho de ida
e volta entre a aeronave e o solo (vide Fig. 5.1). O sonar-altımetro e dotado de
dois transdutores ultra-sonicos, um transmissor (TX) e outro receptor (RX), ambos
otimizados para trabalhar a 40KHz.
O transdutor TX, que converte pulsos eletricos em ondas mecanicas, emite um
trem de 10 pulsos ultra-sonicos de 25µs de duracao e 40 KHz de frequencia. Esse
trem de pulsos e repetido a uma taxa de 17,5 Hz , ou seja, a cada 57 ms. A onda
ultra-sonica gerada pelo transdutor e dirigida ao solo, nele refletindo e retornando ao
helicoptero. A onda refletida e captada pelo RX, que converte a onda ultra-sonica
novamente em sinais eletricos. Apos amplificado, filtrado e demodulado, o sinal
captado e utilizado para se computar o tempo que a onda levou para percorrer o
dobro da altitude do helicoptero.
O circuito eletronico do sonar-altımetro foi obtido a partir da adaptacao de
uma trena eletronica comercial. Somente a parte analogica da trena foi utilizada,
desprezando-se toda a parte digital, ou seja, foram aproveitados: transdutores de
transmissao e recepcao; e amplificador, filtro e demodulador de sinal de recepcao. A
trena, originalmente, era capaz de realizar apenas uma medida a cada dois segundos,
com uma resolucao de 1 cm. Apos algumas modificacoes na parte analogica e a sua
integracao com o computador de bordo, foi possıvel realizar ate 17,5 medidas por
segundo com resolucao de 3 mm. O circuito utilizado da trena eletronica aparece
representado no diagrama esquematico do computador de bordo como um bloco
denominado Sonar-Altımetro (vide Fig. 5.4).
5.3.2 Computador de Bordo
O computador de bordo e um conjunto de circuitos eletronicos cujo componente
central e um microcontrolador (microprocessador com diversos perifericos em um
unico chip, incluindo memoria de programa, memoria de dados, temporizadores,
saıdas seriais, circuito oscilador, etc.) de 8 bits.
89
Figura 5.2: Eletronica embarcada desmontada. O comutador de malhaaberta/fechada e o sonar-altımetro encontram-se protegidos com manta de espumade poliuretano, usada para absorver vibracoes durante os voos experimentais.
Figura 5.3: Eletronica embarcada sem as espumas protetoras.
90
Escolha dos Componentes
O microcontrolador escolhido para a implementacao do computador de bordo foi o
ATmega162, da famılia AVR, fabricado pela Atmel, que possui as seguintes carac-
terısticas principais (Atmel 2003):
• arquitetura RISC (Reduced Instruction Set Controller),
• palavra de dados: 8 bits,
• palavra de programa: 16 bits,
• velocidade maxima de processamento: 16 MIPS (Milhoes de Instrucoes por
Segundo),
• 16K bytes de memoria de programa do tipo FLASH no chip,
• 512 bytes EEPROM (Memoria Programavel Somente de Leitura Apagavel
Eletricamente),
• 1024 bytes de memoria SRAM (Memoria Estatica de Acesso Aleatorio) interna,
• 2 temporizadores/contadores de 8 bits,
• 2 temporizadores/contadores de 16 bits,
• 2 saıdas seriais do tipo USART (Receptor Transmissor Sıncrono Assıncrono
Universal),
• baixo consumo (≈ 8mA - alimentado com 5V e com frequencia de relogio de
4 MHz),
• alimentacao de 2,7 a 5,5 V.
A escolha deste microcontrolador se deve, principalmente aos seguintes motivos:
• incorpora todas os recursos necessarios as funcoes que o computador de bordo
deve executar,
• dispoe de compilador C-ANSI de interface amigavel (CVAVR - Code Vision
AVR - versao 1.24.0), com diversas funcoes extras incorporadas, como por
exemplo as de controle de mostrador LCD (mostrador de cristal lıquido) e
comunicacao serial,
91
• experiencia anterior com a famılia de microcontroladores AVR e com o com-
pilador CVAVR,
• baixo consumo.
Para a Interface Homem-Maquina (IHM) foi utilizado um mostrador do tipo
LCD de duas linhas de 16 caracteres alfanumericos cada, e um teclado matricial
de membrana de 16 teclas. Esse conjunto permite ao operador introduzir dados;
alterar configuracoes; selecionar trechos de memoria a serem gravados, apagados ou
descarregados para um PC pela serial, e ressetar o computador de bordo.
Descricao do Circuito
A porta A do microcontrolador ATmega162 (U1) esta ligada a um teclado matricial
de 16 teclas para a entrada de dados e comandos pelo operador (vide Fig. 5.4), a
porta C esta ligada a um mostrador LCD (LCD1) de 2 linhas de 16 caracteres cada, a
porta E esta ligada a um banco de memorias do tipo FLASH (nao-volateis) formado
por 4 memorias seriais 24LC256, de 32Kx8 bits de capacidade cada (U4 a U7), com
o qual se comunica atraves de um barramento I2C. A interface entre o computador
de bordo e um PC, para se possibilitar a descarga dos dados gravados durante os
voos experimentais, e constituıda pelo transistor PNP BC557 (Q2), o CI regulador
de tensao 78L05 (U3) e outros componentes que formam o bloco “INTERFACE
SERIAL RS-232” no diagrama esquematico. O CI 7805 (U2) regula a tensao de
alimentacao de entrada, proveniente de uma bateria de 9V, para o valor de +5V
que alimenta o microcontrolador, o mostrador LCD e o banco de memorias. O
transistor NPN BC547 (Q1) compatibiliza o nıvel de tensao que sai de U1 (+5V)
com o utilizado pelo circuito do sonar-altımetro (+9V).
Na Fig. 5.3 pode ser vista a montagem final do computador de bordo.
Descricao do Programa
O programa que e executado no microcontrolador foi escrito em linguagem C-ANSI, e
compilado com o CodeVisionAVR versao 1.24.0 da HP InfoTech (www.hpinfotech.ro),
que e um ambiente integrado de desenvolvimento (IDE) e compilador especıficos
para a famılia AVR da Atmel. As principais funcoes do programa do computador
de bordo sao:
92
ENTRADA DE RXD
SAÍDA DE TXD
VDD
VDD
VDD
VDD VDD
VDD
4 x 1N4148
Obs.: Resistores em ohms e capacitores em farads
4 - DTR
TECLADO MATRICIAL
8 - CTS
5 - GND
7 - RTS
9 - RI
ALIMENTAÇÃO EXTERNA DE 9V
6 - DSR
3 - TxD
Mostrador LCD 16
carac x 2 linhas
2 - RxD
1 - CD
Sinal de saída doamplificador/detectordo sonar
Pulsos de 40 KHzpara o sonar
fio marrom
fio verde
entrada dos pulsos do RC (1a 2ms)canal 3 do RC(coletivo)
+5V
+5V
1 2 3 Reset
4
7
Limpa
5 6
8 9
0 Entra
F1
F2
Volta
Programação serial
ComunicaçãoRS-232
BANCO DE MEMÓRIA NÃO-VOLÁTIL
+9V PARA ALIMENTAR O SONAR
TERRA PARA O SONAR
fio amarelo
fio branco
+5V
SONAR-ALTÍMETRO
INTERFACE SERIAL RS-232MOSTRADOR LCD
R12 5k6R12 5k6
+ C347u x 25V
+ C347u x 25V
C7.1u
C7.1u
R54K7R54K7
C9.1u
C9.1u
12345678910
J101STICK M 2 X 5 90 graus J101STICK M 2 X 5 90 graus
R109 10kR109 10k
C1.1uC1.1u
D31N4148
D31N4148
A0 1
A1 2
A2 3
VS
S4
SDA 5
SCL6
WP7
VC
C8
U6 24LC256U6 24LC256
+ C8
100u
+ C8
100u
C2.1uC2.1u
D1091N4148
D1091N4148
C101.1uC101.1u
594837261 P1
DB9 macho p/ PCI
P1
DB9 macho p/ PCI
A0 1
A1 2
A2 3
VS
S4
SDA 5
SCL6
WP7
VC
C8
U5 24LC256U5 24LC256
D11N4148
D11N4148
VIN1 VOUT 3
GN
D2
U2 7805/SIPU2 7805/SIP
Q1BC547
Q1BC547
1 2 3 4 5 6 7 8 91
01
11
21
31
4
LCD1LCD1
R10810k
R10810k
D102D102
+ C6
100u
+ C6
100u
R94K7R94K7
R135k6R135k6
A0 1
A1 2
A2 3
VS
S4
SDA 5
SCL6
WP7
VC
C8
U7 24LC256U7 24LC256
D101D101
A0 1
A1 2
A2 3
VS
S4
SDA 5
SCL6
WP7
VC
C8
U4 24LC256U4 24LC256
D71N4148
D71N4148
123J103
Jack J2 STEREO p/ PCI
J103
Jack J2 STEREO p/ PCI
Y14MHzY14MHz
R110 5K6R110 5K6
OUT1
GN
D2
IN 3
U3
L78L05/TO92
U3
L78L05/TO92
Q2BC557Q2BC557
RST9
XTAL218XTAL119
PE2 (OC1B) 29PE1 (ALE) 30
PE0 (ICP/INT2) 31
VCC40
PC0 (A8/PCINT8) 21
PC1 (A9/PCINT9) 22
PC2 (A10/PCINT10) 23
PC3 (A11/PCINT11) 24
PC4 (A12/TCK/PCINT12) 25
PC5 (A13/TMS/PCINT13) 26
PC6 (A14/TDO/PCINT14) 27
PC7 (A15/TDI/PCINT15) 28
PD0/RXD 10
PD1/TXD 11
(INT0/XCK1) PD2 12
(INT1/ICP3) PD3 13
PD4(TOSC1/XCK0/OC3A) 14
PD5(OC1A/TOSC2) 15
PD6/WR 16
PD7/RD 17
PB0 (OC0/T0)1
PB1 (OC2/T1)2
PB2 (RXD1/AIN0)3
PB3 (TXD1/AIN1)4
PB4 (SS/OC3B)5
PB5/MOSI6
PB6/MISO7
PB7/SCK8
PA0 (AD0/PCINT0)39
PA1 (AD1/PCINT1)38
PA2 (AD2/PCINT2)37
PA3 (AD3/PCINT3)36
PA4 (AD4/PCINT4)35
PA5 (AD5/PCINT5)34
PA6 (AD6/PCINT6)33
PA7 (AD7/PCINT7)32
U1
ATmega162
U1
ATmega162
D171N4148
D171N4148
R107470RR107470R
R24K7R24K7
+
C447u x 25V
+
C447u x 25V
D103D103 D104D104
R154K7R154K7
Figu
ra5.4:
Diagram
aesq
uem
aticodo
Com
putad
orde
Bord
oe
Son
ar-Altım
etro.
93
• exibir informacoes sobre o modo de operacao do computador de bordo em
mostrador do tipo LCD alfanumerico,
• receber comandos do operador atraves de teclado, antes do inıcio e apos o
termino os voos experimentais,
• gerar pulsos de 40 KHz para o funcionamento do sonar-altımetro,
• ler os pulsos de retorno do sonar-altımetro e computar a altitude do he-
licoptero,
• ler os pulsos de comando coletivo oriundos dos receptor de radio-controle (RX)
e interpretar seu valor,
• armazenar os valores dos comandos de coletivo e das altitudes em memoria
nao-volatil.
• computar o algoritmo de controle no modo malha fechada e gerar os pulsos de
comando do servo de coletivo,
• descarregar os dados de voo para computador do tipo PC atraves de saıda
serial RS-232 apos os voos experimentais,
• realizar outras funcoes de gerenciamento de memoria de dados de voo.
5.3.3 Circuito Comutador de Malha Aberta/Malha Fechada
Na Fig. 5.5 podemos ver o circuito comutador, que e baseado no microcontrolador
PIC16F676 (U1) de 8 bits de fabricacao da Microchip. O microcontrolador recebe os
pulsos de saıda do canal 7 do radio-receptor Futaba. Esses pulsos tem sua largura
variada por uma chave do tipo alavanca de tres posicoes situada no console de
controle remoto do helicoptero. As larguras do pulso sao 2000, 1500 e 1000 µs para
as posicoes 1, 2 e 3 da chave, respectivamente. A largura do pulso e medida, e se for
maior do que 1750 µs (posicao 3 da chave) e acionado um rele (LS1) que comuta a
entrada de comando do servo de coletivo, que normalmente esta conectada ao canal
3 do radio-receptor, para conecta-la a saıda do controlador PD implementado no
computador de bordo, ocasionando a comutacao do controle de altitude da aeronave
de manual para autonomo.
94
+5V
+5V
+5V
ENTRADA DE PULSOS DO CANAL 7 DO RC
+5V
AO SERVO DE COLETIVO
AO CANAL 3 DO RECEPTOR
AO COMPUTADOR DE BORDO
TERRA
R1
2K2
R1
2K2
GN
D14
RC4 6RC3/AN7 7RC2/AN6 8RC1/AN5 9RC0/AN4 10
VDD1
RC5 5
RA3/MCLR/VPP4
RA0/AN0/CIN+/ICSPDAT13
RA1/AN1/CIN-/VREF/ICSPCLK12
RA2/AN2/COUT/T0CKI/INT11
RA4/~T1G/OSC2/AN3/CLKOUT3
RA5/T1CKI/OSC1/CLKIN2
U1
PIC16F676
U1
PIC16F676
R32kR32k
C3
100n
C3
100n
35
4
1
2
LS1LS1 Q1BC547
Q1BC547
D3D3
C2
0.1
C2
0.1
D11N4148
D11N4148
+ C1
100u 25V
+ C1
100u 25V
Figura 5.5: Diagrama esquematico do Comutador de Malha Aberta/Malha Fechada.
O programa do microcontrolador U1 foi escrito em linguagem C-ANSI e compi-
lado na IDE PicantIDE, que inclui o compilador C2C, ambos produtos da Picant
(www.picant.com).
A escolha do microcontrolador PIC16F676 teve motivacoes semelhantes as da
escolha do ATmega162 para o computador de bordo.
Na Fig. 5.3 pode ser vista a montagem final do circuito do circuito comutador.
5.3.4 Montagem
O sonar-altımetro e o comutador de malha aberta/fechada foram protegidos com
manta de espuma de poliuretano para protege-los das vibracoes, fuligem e intemperies
durante os voos experimentais. O computador de bordo fica acondicionado em gabi-
nete de ABS, onde e colado o teclado de membrana, confeccionado em policarbonato,
que tambem incorpora um visor para o mostrador LCD, vide Fig. 5.2.
95
Capıtulo 6
Conclusoes
6.1 Introducao
Os resultados obtidos na fase de identificacao parametrica da dinamica vertical do
helicoptero Raptor-30 foram utilizados em simulacoes e no projeto de um controlador
de altitude. Os voos experimentais foram plenamente satisfatorios, validando a
dinamica vertical do modelo desenvolvido neste trabalho.
Um ponto relevante deste trabalho foi a realizacao de cinco voos experimentais,
sendo dois em malha-fechada, sem nenhum acidente e sem danos a aeronave.
Passamos a descrever alguns aspectos do aprendizado obtido.
6.2 Modelagem
O metodo de modelagem escolhido, baseada na dinamica do corpo rıgido acoplada
a dinamica de batimento de primeira ordem do conjunto rotor principal/barra esta-
bilizadora, como ja demonstrado por Mettler (Mettler 2003) e, posteriormente, por
Gavrilets et al (Gavrilets 2003), e suficiente para uma descricao precisa da dinamica
de atitude ate mesmo em voos acrobaticos, e para o projeto de sistemas de controle
de banda larga de frequencia, necessarios aos voos acrobaticos autonomos.
As equacoes aproximadas, assim obtidas, descrevem com boa fidelidade a dinamica
da aeronave, alem de guardarem forte relacao com os parametros-chaves qualitativos
usualmente empregados para descrever e comparar helicopteros. Esta abordagem
facilita muito a adaptacao do modelo a uma outra aeronave.
Os resultados obtidos nos voos experimentais de identificacao e com malha-
fechada validam a boa adequacao do modelo no que diz respeito a dinamica vertical.
96
6.3 Identificacao
Inicialmente, temia-se que um modelo simples como o ARX em conjunto com o
criterio de otimizacao dos mınimos-quadrados nao fosse suficiente para identificar
a dinamica vertical do helicoptero, principalmente devido a existencia de ruıdos
de medida, fortes vibracoes provocadas pelo conjunto motor/engrenagens/rotor e
perturbacoes provocadas por rajadas de vento.
Durante a realizacao dos voos experimentais, verificou-se, porem, que os ruıdos
de medida e as vibracoes estavam muito acima da faixa de frequencia de interesse
na identificacao da dinamica vertical, o que facilitou seu reconhecimento e filtragem.
Por outro lado, as perturbacoes devidas as rajadas de vento, caracterizadas pelas
baixas frequencias, tem conteudo espectral proximo a faixa de interesse na identi-
ficacao da dinamica. Com uma adequada escolha da faixa de frequencia de entrada,
foi possıvel filtrar as perturbacoes sem perda de informacao.
Os resultados obtidos na identificacao de Zcol e Zw com os metodos escolhidos
foram satisfatorios e muito se aproximam dos valores teoricos.
6.4 Projeto do Controlador
Um dos principais desafios do projeto do controlador era garantir sua robustez contra
a incerteza nos parametros Zcol e Zw, a presenca de ruıdos de medida, alem das
perturbacoes impostas principalmente pelo vento. O controlador escolhido foi o
PD, e suas caracterısticas como: robustez; comportamento na presenca de ruıdo de
medida; e resposta a uma entrada em degrau; foram verificadas por meio de uma
serie de simulacoes em ambiente Matlab/Simulink, para variacoes independentes de
Zcol e Zw na faixa de ±20%, e os resultados obtidos foram satisfatorios. Verificou-
se, tambem, qual seria o limite de variacao parametrica suportada pelo sistema em
malha fechada, e chegou-se a resultados que indicam que o sistema se manteria
estavel ate uma faixa limite de ±75%, o que conferia uma boa margem para erros
na realizacao do primeiro voo em malha-fechada.
Devido a problemas no primeiro voo de identificacao, relacionados as nao-linearidades
ocorridas nas medidas de altitude, o primeiro controlador foi projetado baseado em
uma planta com valores subestimados de Zcol e Zw, resultando em valores de ganho
muito superiores aos corretos. Adicionalmente, um erro de fator de escala no algo-
97
ritmo multiplicou por dois esses ganhos, provocando a instabilidade do helicoptero
no primeiro voo em malha-fechada, que felizmente nao chegou a provocar danos
a aeronave, devido a habilidade do piloto e ao sistema de comutacao remota que
permitia abrir a malha e devolver o controle da dinamica vertical ao piloto.
Corrigidos os erros de identificacao e reprojetado o controlador, um segundo voo
em malha-fechada foi realizado, e o helicoptero se comportou da maneira esperada,
mantendo-se estavel e obedecendo aos comandos de pairar nas altitudes desejadas,
comandadas pelo piloto, e nelas permanecendo mesmo sob a acao de rajadas de
vento moderadas, que ocorriam durante a realizacao dos testes.
6.5 Observacoes
A realizacao de voos experimentais com aeronaves, e especialmente com helicopteros,
envolve muitos riscos, tanto as pessoas como aos equipamentos. Tais experimentos
so devem ser realizados com o acompanhamento de pessoal experiente com tais
aeronaves. Pudemos contar com um excelente instrutor de helicopteros aeromodelo
neste trabalho, o que certamente nos poupou muitos problemas.
Para a realizacao de tais voos experimentais autonomos devemos nos cercar de
algumas precaucoes. E desejavel que o computador de bordo permita, no local
dos experimentos, algumas alteracoes e correcoes em seus programas e algoritmos,
pois sao comuns erros de inversao de sinal de controle ou de parametros de um
controlador, entre outros.
Uma precaucao utilizada nos voos experimentais do Raptor-30, que evitou a perda
da aeronave, foi a utilizacao de um circuito microprocessado para a comutacao de
pilotagem manual para automatica completamente independente do computador de
bordo, cuja finalidade e resgatar para o piloto o controle da aeronave em caso erro
de algoritmo ou defeito no computador de bordo.
Em VANT’s, caso haja recursos de carga util e equipamentos, e conveniente haver
redundancia de meios. Uma redundancia importante e o computador de bordo, de
modo que se um falhar o outro pode assumir o controle da aeronave.
98
6.6 Pontos a Desenvolver
A utilizacao dos angulos de Euler nas equacoes cinematicas impedem a sua uti-
lizacao em voos acrobaticos, com manobras do tipo loopping, por exemplo, uma vez
que esta descricao possui singularidades. Este problema pode ser solucionado pela
substituicao dos angulos de Euler pelos quaternions, que possuem representacao
global para as transformacoes de sistemas de coordenadas.
A falta de um sistema de avionica adequado, incluindo um receptor de DGPS
e uma IMU (Inertial Measurement Unit), impossibilitou uma identificacao mais
completa do modelo desenvolvido.
O desenvolvimento de um sistema de avionica mais complexo demandara, tambem,
um sistema de comunicacao, como por exemplo uma rede sem fio, capaz de realizar
em tempo-real a aquisicao de dados de voo, alteracao de parametros do controlador
e a redefinicao de trajetorias, para efeitos de identificacao e testes de desempenho
do controlador.
99
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