est - bacen 2013 - est - aula 01

7/28/2019 Est - Bacen 2013 - Est - Aula 01

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Curso Regular de Estatstica.

Prof. Vtor Menezes Aula 1

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 1: Mdia.

1. MEDIDAS DE POSIO.................................................................................................................... 2

2. MDIA ............................................................................................................................................. 2

2.1. Mdia para dados em rol .............................................................. ........................................................ 2

2.2. Propriedades da mdia aritmtica ........................................................... ............................................. 9

2.3. Mdia para dados agrupados por valor.............................................................. ................................ 13

2.4. Mdia para dados em classe .................................................................... ........................................... 20

2.5. Mdia ponderada ................................................................ ................................................................ 35

2.6. Mdia geomtrica e mdia harmnica ................................................................. ............................... 493. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 56

4. GABARITO ..................................................................................................................................... 65


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1. MEDIDAS DE POSIOMedidas de posio nos fornecem informaes acerca de posies que os dados ocupam.Podem ser de dois tipos:

Medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda). Medidas separatrizes

As medidas de tendncia central indicam valores em torno dos quais os dados giram. Umexemplo a mdia. Se dissermos que a nota mdia dos alunos em uma prova foi 6, razovel esperar que as notas giraram em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma notaintermediria, uns 4, 5, 6 ou 7.

Se dissermos que a nota mdia desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, razovelesperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante

deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz o quartil. Uma srie de dados possui trs quartis que separam a srie de dados em quatropartes com mesmo nmero de elementos.

2. MDIAA mdia aritmtica dos dados dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total

de observaes.Vamos agora aprender a calcul-la, conforme os dados estejam em rol, agrupados por valorou em classes.

2.1. Mdia para dados em rolVoltemos nossa pesquisa sobre o salrio dos moradores do bairro, visto l na aulaanterior. Relembrando o nosso rol:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.Calculando a soma dos dados, temos:

3610

1

==i

iX

S relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois h umsmbolo de somatrio). Quais valores? Valores deXpara os quais i vai de 1 at 10. Ou seja,queremos somar todos os 10 valores observados.

A mdia fica:

6,31036___ ==X


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Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salrio mdio de R$ 3.600,00.

Mdia apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo nmero de dados.

Este smbolo adotado para mdia ( X ) muito comum. Muitos autores o utilizam.

importante saber isto porque s vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e

no explicam que se trata da mdia.

Para um conjunto de n dados, a mdia pode ser representada por:

n

X

X

n

i= 1

___

A frmula acima indica que, para obter a mdia aritmtica, somamos todos os dados edividimos por n.

Uma coisa que muita gente confunde o seguinte. Muitas pessoas acham que a mdia

precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto falso. No exemplo acima, a mdia foi 3,6. Ena nossa amostra no h nenhuma pessoa que ganhe um salrio de R$ 3.600,00.

Este valor 3,6 s um indicativo de que os salrios das pessoas entrevistadas devem girarem torno de R$ 3.600,00.

Exerccios

Questo 1 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]A mdia aritmtica dos salrios dos 200 funcionrios de uma empresa igual a R$ 1.500,00.

Caso haja a demisso de todos os funcionrios que ganham, cada um, R$ 2.000,00 eadmisso de 10 funcionrios ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a mdia aritmtica fica com ovalor de R$ 1.325,00. Isto significa que o nmero de funcionrios da empresa passa a ser de

(A) 135

(B) 140

(C) 150

(D) 160

(E) 170

Resoluo:

Inicialmente, a mdia igual a 1.500.

Lembrando, para calcular a mdia, somamos todos os dados e dividimos por 200 (pois so200 funcionrios)

Logo:

200

500.1

=X

Do que resulta:


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000.300200500.1 ==X

A soma dos salrios de todos os funcionrios igual a R$ 300.000,00.

Depois das demisses, o salrio total diminui. Se foram demitidos kfuncionrios, e cada umdeles ganhava R$ 2.000,00, ento a nova soma de salrios fica:

k 000.2000.300

Em seguida, temos as admisses. So contratados 10 funcionrios e cada um deles ganha R$1.200,00. O novo total passa a ser de:

10200.1000.2000.300 + k

Nesta situao, o nmero de funcionrios na empresa igual a:

10200 + k

Para obter a nova mdia, dividimos a soma de todos os salrios pelo novo quantitativo de

funcionrios:

10200

10200.1000.2000.300325.1

+

+=

k

k

k

k

=

210

000.2000.312325.1

Multiplicando cruzado:

kk = 000.2000.312325.1210325.1

50=k

Descobrimos que foram demitidos 50 funcionrios. Como, em seguida, foram contratados10 empregados, ento o nmero de funcionrios na empresa passou a ser de:

10200 + k 160=

Gabarito: D

Questo 2 Fiscal ICMS/DF 2001 [FCC]Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo, efetuados por53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova

empresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foide:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00

Resoluo:


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Antes de fazer a questo, olhemos atentamente as alternativas. D pra descartar algumasem precisar fazer contas?

Sim! possvel descartar as letras A e B.

Com as 53 empresas, a mdia era de R$ 2.340,00. Depois, uma quinquagsima quarta

empresa se juntou s 53 iniciais. E a mdia aumentou para R$ 2.480,00.

Ora, se a mdia aumentou, porque o tributo pago por esta ltima empresa foi maior que amdia anterior. Ou seja, o tributo pago pela ltima empresa foi maior que R$ 2.340,00.

E antes mesmo de resolver a questo, podemos j arriscar um chute. Uma nica empresaaumentou a mdia em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto,se fssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E melhor que a D. Isto porque a letra B igual letra E dividido por 10, possivelmenteesperando um erro de conta do candidato.

Vamos resoluo. No incio, quando eram apenas 53 empresas, a mdia podia ser escrita

como:

53

53

1

=

iX

X

Substituindo o valor de X por 2.340, temos:

23405353

234053

1

53

1 ==

i

i

X

X

(I)

O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o totalobtido ser 53 x 2340.

Depois que a ltima empresa pagou seu tributo, a mdia passa a ser escrita como:

54'

54

1

=

iX

X

Modifiquei o smbolo da mdia s para diferenciar da mdia anterior.

Substituindo o valor de 'X por 2.480, temos:

24805454

248054

1

54

1 ==

i

i

X

X

(II)

Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53empresas iniciais e mais a ltima empresa a pagar tributo), o resultado obtido ser 54 2480.

Na equao (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equao (I) eu tenho o totalpago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o

tributo pago pela ltima empresa (X54). Ficamos com:


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54

53

1

54

1

XXX ii =

Caso tenha ficado difcil de entender, como se estivssemos fazendo a seguinte conta:

(X1 +X2 +X3 + ... +X52 +X53 +X54) (X1 +X2 +X3 + ... +X52 +X53) =X54.

Continuando:

54

53

1

54

1

XXX ii =

54234053248054 X=

Se voc quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo.

S vou dar uma sugesto. Na conta acima, temos duas multiplicaes envolvendo nmerosde quatro dgitos. So trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Alm das multiplicaes,

temos uma subtrao. Seria timo se eu pudesse primeiro fazer a subtrao, diminuir osvalores, e depois fazer a multiplicao. Com esta idia, podemos fazer o seguinte:

Continuando a soluo:

234053248053248054

+=X

Colocando o 53 em evidncia:

)23402480(53248054 +=X

)140(53248054 +=X

Pronto, agora temos apenas uma multiplicao e envolvendo nmeros menores.

7420248054 +=X

E nem precisamos fazer essa soma. J sabemos que o tributo pago pela ltima empresa serigual a 7.420 mais 2.480. Logo, esse valor ser maior que 7.420. Portanto, a nica alternativapossvel a letra E.

990054 =X

Gabarito: E.

Questo 3 TCU 2009 [CESPE]Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentestipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores(xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa ovalor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram

encontrados:

23405324805454

=X

234053248053248054

+=X


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+ = 130; = 10

+

= 1.790;

= 26

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

96. A mdia amostral dos valores x1, x2, ..., x10 13% maior do que a mdia amostral dosvalores y1, y2, ..., y10.

98. A mdia aritmtica da distribuio x1 y1, x2 y2, ..., x10 y10 maior que 43.

Resoluo:

Nessa questo utilizaremos as propriedades do somatrio, vistas na aula passada.

Item 96.

Temos:

+ = 130

+ = + =130equaoISabemos tambm que:

= 10

= =10equaoIISomando as duas equaes:

+ + =130 + 10

2 = 140

= 70Voltando na equao I:

=10

70 + = 10

= 60

Mdia dos valores de x:


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= = 7010 = 7Mdia dos valores de y:

=

=6010 = 6

A mdia de x vale 7. A mdia de y vale 6.

76 = 1,1666

A mdia de x 16,6% maior que a de y.

Item errado.

Item 98.

Temos:

+ = 1.790Desenvolvendo o quadrado da soma:

+ + 2 = 1.790

+ + 2 = 1.790equaoI

Alm disso:

= 26Desenvolvendo o quadrado da diferena:

+ 2 = 26

+ 2 = 26equaoII

Fazendo a subtrao entre I e II:

+ + 2 + 2 = 1.790 26

2 + 2 = 1.764

2 + 2 = 1.764

4 = 1.764

= 441


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Logo, a mdia do produto fica: 10 =

44110 = 44,1

Item certo

Gabarito: errado, certo

Questo 4 Besc 2004 [FGV]Os 100 alunos admitidos em uma faculdade foram divididos em duas turmas.

Na turma I, puseram-se os 50 alunos de melhores mdias no vestibular; na turma II, osdemais. Entretanto, resolveu-se, posteriormente, transferir, para a turma II, o pior aluno daturma I. Aps a transferncia, o que aconteceu com as mdias das notas, no vestibular, dosalunos das turmas I e II?

(A) Ambas aumentaram.

(B) Ambas diminuram.

(C) Aumentou a de I e diminuiu a de II.

(D) Diminuiu a de I e aumentou a de II.

(E) No h dados suficientes para que se possa responder.

Resoluo.

Da turma I foi extrado o aluno com pior nota. Com isso, a mdia da turma I vai aumentar.

Esse mesmo aluno e includo na turma II. S que, na turma II, ele no mais o pior. Ele tera melhor nota da turma II, pois a turma II formada pelos alunos que foram mal na prova.

Assim, na turma II, est sendo acrescido um aluno com nota muito boa. Logo, a mdia daturma II vai aumentar.

Gabarito: A.

2.2. Propriedades da mdia aritmticaVoltemos nossa pesquisa de salrios dos moradores do bairro.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00.Agora, seus salrios so:

Salrios aps o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Qual a nova mdia?

A nova mdia ser:


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6,410

8765543332=

+++++++++=X

O salrio mdio agora de R$ 4.600,00.

Antes, com os salrios antigos, a mdia era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram

somados em R$ 1.000,00. E a mdia tambm foi somada de R$ 1.000,00.

Suponhamos agora que todos esses funcionrios, alm do salrio normal (j reajustado emR$ 1.000,00), vo receber em dezembro o dcimo terceiro integral. Assim, no ms dedezembro, os salrios vo ficar:

Salrio mais dcimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

A nova mdia fica:

2,910

161412101086664=

+++++++++=X

Note que todos os valores foram dobrados. A mdia, que era de R$ 4.600,00, passou a R$9.200,00. Portanto, a mdia tambm dobrou.

Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, amdia do novo conjunto fica aumentada ou diminuda de c.

multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constantec, a mdia do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

Outras duas propriedades da mdia so:

a mdia aritmtica o valor em relao ao qual mnima a soma dos quadrados dosdesvios.

a soma de todos os desvios em relao mdia aritmtica igual a zero.

Sobre essas duas ltimas propriedades, por enquanto vai ficar s o registro de que elasexistem. Explicaremos com mais detalhes no tpico de medidas de disperso.

Exemplos

Exemplo 1Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {1, 3, 5}

Resoluo:

33

531=

++=X

Exemplo 2Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida apartir da sequncia anterior, somando 2 a todos os elementos).


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Resoluo:

53

753=

++=X

Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relao sequncia anterior), amdia tambm foi adicionada de 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelosdados.

Exemplo 3Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {6, 10, 14} (observe que esta sequnciafoi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).

Resoluo:

103

14106=

++=X

Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relao sequnciaanterior), a mdia tambm foi multiplicada por 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alteraosofrida pelos dados.

Questo 5 SEFAZ BA 2004 [FCC]Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercado em suaregio, procedeu s seguintes operaes:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valores dosalugueis em reais :

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Resoluo:

Vamos chamar a mdia dos aluguis de X .


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Primeiro, todos os valores so dobrados. Ou seja, a mdia desses novos valores tambmser dobrada.

Mdia dos valores obtidos no item I:2 Depois, todos os valores so subtrados por R$ 1.200,00. Ou seja, a mdia desses novos

valores tambm ser reduzida de R$ 1.200,00.

Mdia dos valores obtidos no item II: 2 1200Por fim, todos os valores so divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a mdia tambm ficardividida por mil.

Mdia dos valores obtidos em III:

2 12001000

O enunciado me disse que a mdia dos valores obtidos no item III de 3/10. Portanto:

2 12001000 =

310

2 1200 = 300010 = 3002 = 1200 + 300 = 1500

= 750

Gabarito: E.

Questo 6 BACEN/2006 [FCC]A mdia aritmtica dos salrios dos 100 empregados em uma empresa de R$ 1.500,00. Nahiptese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salrio de R$2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salriosremanescentes, a nova mdia aritmtica dos salrios ser de:

a) R$ 1.375,00

b) 1.350,00

c) R$ 1.345,00

d) 1.320,00

e) 1.300,00

Resoluo:

A mdia inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa mdia? Somamos todos os 100salrios e dividimos por 100.


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000.150100

1500100

1

100

1 ==

=

=

i

i

i

i

X

X

A soma de todos os 100 salrios de R$ 150.000,00.

Foram demitidos 20 funcionrios que ganhavam, cada um, o salrio de R$ 2.500,00. A somados salrios desses 20 funcionrios :

000.50500.220 =

Agora, a soma dos salrios dos oitenta funcionrios remanescentes fica:

000.100000.50000.150 =

E a nova mdia fica:

00,250.180

000.100

80

80

1 ==

=i

iX

A nova mdia de 1.250,00.

Depois disso, todos os funcionrios ganham um reajuste de 10%. Portanto, a mdia sofre amesma alterao, e tambm aumentada em 10%.

Aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1

1250 101 = 1375Gabarito: A.

2.3. Mdia para dados agrupados por valorAcima, vimos que, quando os dados esto em rol, basta somar todos eles e dividir por n(onde n o nmero de dados).

Quando os dados esto agrupados por valor, a ideia de clculo da mdia ser a mesma.

Vamos ver como fica. Para tanto, voltemos aos salrios dos moradores do bairro.

Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a mdia a seguinte.

Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores.

Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 12 3 6

3 1 3

4 2 8

5 1 5

6 1 67 1 7

Segundo passo: calculamos os totais das duas ltimas colunas.


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Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 1

2 3 6

3 1 3

4 2 85 1 5

6 1 67 1 7

TOTAL 10 36

Terceiro passo: a mdia ser dada pela diviso do total da coluna (salrio x frequncia) pelototal da coluna de frequncias.

6,310

36==X

Repare que a mdia foi de R$ 3.600,00. A mesma mdia obtida quando os dados estavamem rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, so os mesmos dados, apenas dispostosde forma diferente.

Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salrio x frequncia) justamente a somade todos os salrios.

Para fazer este procedimento, importante que se trabalhe apenas com frequnciassimples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o exerccio te deruma tabela de frequncias acumuladas, antes de resolver, tem que passar para a respectivafrequncia simples.

Vamos ver como seria. Se o exerccio trouxesse a seguinte tabela:Salrios

(em R$ 1.000,00)Frequncia relativa

acumulada

1 0,1

2 0,4

3 0,54 0,7

5 0,86 0,9

7 1,0

Como voc calcularia a mdia?

Antes de comear a resolver, temos que achar a frequncia relativa simples, pois, paracalcular a mdia, no serve a frequncia acumulada.


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Salrios(em R$ 1.000,00)

Memriade clculo

Frequnciarelativa simples

Frequnciarelativa acumulada

1 (=0,1) 0,1 0,1

2 (=0,4 0,1) 0,3 0,4

3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5

4 (=0,7-0,5) 0,2 0,75 (=0,8 0,7) 0,1 0,8

6 (=0,9 0,8) 0,1 0,97 (= 1 0,9) 0,1 1,0

Feito isto, podemos criar a coluna de (frequncia x salrios), calcular os totais de cadacoluna e achar a mdia.

Salrio(em R$ 1.000,00)

Frequncia relativasimples ( fr)

= Salrio x frequncia

1 0,1 0,12 0,3 0,6

3 0,1 0,34 0,2 0,8

5 0,1 0,5

6 0,1 0,67 0,1 0,7

TOTAL 1 3,6

E a mdia fica:

6,31

6,3

==X

Observe que a resposta a mesma (tanto para frequncias absolutas quanto relativas). Oque importa que as frequncias sejam simples. Nunca acumuladas.

Se fssemos resumir todos os procedimentos para calcular a mdia, poderamos express-los por meio das seguintes frmulas:

n

fXX

ii = (quando trabalhamos com frequncias absolutas)

1

=

ii frX

X (quando trabalhamos com frequncias relativas)

Quando os dados esto em ROL, vimos no comeo desta aula que a frmula da mdia :

n

X

X

n

i

i== 1

E agora, quando temos dados agrupados, a frmula mudou. Mas todas elas so formasligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A ttulo de exemplo, vamos comparar

n

Xn

i

i=1 com

nfX ii

.


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A primeira frmula para dados em rol. A segunda, para dados agrupados.

O denominador das duas frmulas o mesmo. No caso dos salrios das pessoas do bairro,so 10 observaes. Portanto, 10=n . Agora vamos nos concentrar nos numeradores.

Quando os dados esto em rol, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quando escrevemos os dados em rol, representamos cada termo por iX . Assim, temos dez

valores deXi.

X1 = 1;X2 = 2;X3 = 2;X4 = 2;X5 = 3;X6 = 4;X7 = 4;X8 = 5;X9 = 6;X10 = 7.

Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos:

=

10

1i

iX =36

E 36 o numerador da frmulan

Xn

i

i=1 .

J quando os dados esto agrupados, a notao muda um pouco. Ficamos com:

Salrios Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 14 2

5 1

6 17 1

Continuamos tendo dez observaes. Mas, para represent-las, no usamos mais dezvalores deXi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salrio.

Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salrio observado igual a 1.

Dizemos tambm queX1 tem frequncia igual a 1 ( 11 =f ).

Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado igual a 2. Dizemos tambm

que sua frequncia igual a 3 ( 32 =f ). Ou seja, este segundo valor, na verdade, representa

trs termos. Trs observaes esto representadas por este X2 = 2. Por isso dizemos que osdados esto agrupados. Agrupamos trs termos em uma nica linha da tabela.

Nesta representao, de dados agrupados, temos:

X1 = 1;X2 = 2;X3 = 3;X4 = 4;X5 = 5;X6 = 6;X7 = 7.

Mas, agora, se quisermos somar todas as observaes, no podemos simplesmente fazer:

2876543217

1

=++++++==i

iX

Isto estaria errado porque, como j dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de

uma observao. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva


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Prof. Vtor Menezes

frequncia. Deste modo, qualigeiramente diferente. Neste

17

1

==i

ii fX

Resumindo:

Quando os dados est

Quando os dados est

Estas duas frmulas fornece

Questo 7 CEAP PB 2009

O grfico acima mostra avelocidades aproximadas, revelocidade mdia aproximad

a) inferior a 40.

b) superior a 40 e inferior a 4

c) superior a 43 e inferior a 4

d) superior a 46.

Resoluo.

O grfico de colunas uma fuma tabela, teramos:

Curso

Prof.

www.estrategiaconcursos.com.

ndo os dados esto agrupados, a soma de texemplo da pesquisa de salrios, ficamos c

1716152413321 =++++++

o em rol, para somar todos os dados fazem

o agrupados, para somar todos os dados faz

exatamente o mesmo resultado.

[CESPE]

distribuio percentual de veculos deistradas por meio de um radar instalado e, em km/h, dos veculos que foram registra

.

.

rma de representar dados agrupados. Pass

Regular de Estatstica.

Vtor Menezes Aula 1

br 17

dos os valores ficam:

36

s: iX .

emos: ii fX .

acordo com suasm uma avenida. Aos pelo radar foi

ndo os dados para


18/65




Velocidade frequncia relativa (%) Frequncia vezes valor (%)

20 5 100

30 15 450

40 30 1200

50 40 200060 7 420

70 2 14080 1 80

Total 100 4390

A tabela est aproximada, pois no sabemos, com exatido, as frequncias relativas dasvelocidades 60, 70 e 80.

90,43100

4390==X

Gabarito: C

Questo 8 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]Em uma licitao para aquisio de lotes destinados construo de residncias, quinzepropostas foram apresentadas. Os valores das propostas e a frequncia com queapareceram se encontram na tabela a seguir.

Valor (R$) Frequncia

100.000,00 1

105.000,00 2

110.000,00 5112.000,00 4

115.000,00 3

A mdia aritmtica de um conjunto de dados a soma de todos os valores dividida pelonmero total de itens. Para o conjunto de valores apresentados pelos licitantes, a mdiaaritmtica, em R$,

(A) 107.000,00.

(B) 108.250,00.

(C) 110.020,00.

(D) 111.500,00.

(E) 113.000,00.

Resoluo.

Para facilitar nossas contas, vamos dividir todos os valores por 1.000.

Os dados esto agrupados por valor. Para calcular a mdia, primeiro criamos uma colunaadicional, de valor vezes frequncia.


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Valor (R$ 1.000) Frequncia Valor vezes frequncia

100 1 100

105 2 210

110 5 550

112 4 448115 3 345

Agora calculamos os totais das colunas de frequncia e de valor vezes frequncia.

Valor (R$ 1.000) Frequncia Valor vezes frequncia

100 1 100

105 2 210

110 5 550

112 4 448115 3 345

Total 15 1653

A mdia dada pela diviso entre os totais acima obtidos:

165315 = 110,2

Mas ns dividimos todos os valores por 1.000. Pelas propriedades da mdia, conclumos quea mdia tambm foi dividida por 1.000.

Para achar a mdia dos dados originais, temos que, novamente, multiplicar por 1.000.

110,2 1.000 = 110.200Na minha opinio, no h alternativa correta e a questo deveria ser anulada.

No gabarito definitivo, foi indicada a letra C.

Caso vocs encontrem algum erro na minha soluo, por favor me avisem.

Gabarito: C

Questo 9 MPE PE 2006 [FCC]Em uma linha de produo de montadoras de tratores, existem 5 verificaes realizadaspela equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do ms e anotados os

nmeros de controles em que o trator produzido foi aprovado nestes dias.Aprovaes N de tratores

3 2504 500

5 1250

Total 2000

A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovao implica emcustos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor bsico de R$ 10,00 por cadaitem reprovado no trator produzido, a mdia da despesa adicional por trator produzido ser

(A) R$ 1,00(B) R$ 10,00


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(C) R$ 6,00

(D) R$ 5,00

(E) R$ 7,00

Resoluo:

Um trator com 3 aprovaes teve 2 reprovaes. Ou seja, representa uma despesa adicionalde R$ 20,00.

Um trator com 4 aprovaes teve 1 reprovao. Ou seja, representa uma despesa adicionalde R$ 10,00.

Um trator com 5 aprovaes no teve reprovao. No representa nenhuma despesaadicional.

Podemos construir a seguinte tabela:

Despesa adicional(X)

N de tratores(f)

20,00 250

10,00 5000,00 1250

Total 2000

Vamos calcular a mdia de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor vezesfrequncia.

X f fX

20,00 250 5.00010,00 500 5.000

0,00 1250 0

Total 2000 10.000

A mdia fica:

5000.2

000.10==X

A mdia de R$ 5,00 por trator.

Gabarito: D

2.4. Mdia para dados em classeConsidere a tabela abaixo, que representa os dados da nossa pesquisa sobre os salrios dosmoradores do bairro.


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Classes de valores Frequncia absoluta simples

[1;4) 5

[4;7) 4

[7;10) 1

A tabela acima outra forma de representao do rol que estamos estudando. Apenasagrupamos os valores, distribuindo-os em classes.

Vamos agora calcular a mdia. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dadosagrupados por valor, temos que garantir que as frequncias sejam simples. Tanto faz seremabsolutas ou relativas. Mas tm que ser simples. Se o exerccio pedir clculo de mdia efornecer frequncias acumuladas, voc tem que achar as respectivas frequncias simples.

Neste caso, j temos direto as frequncias absolutas simples. J d para comear a calcular amdia.

Para clculo da mdia, sempre utilize frequncias simples (pode ser absoluta ou relativa).

Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia informao.Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. Sabemos quecinco pessoas esto nesta classe, mas no temos como determinar o salrio de cada umadelas. Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 at R$ 3.999,99 (repare que nestaclasse no levamos em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00).

Para calcular a mdia, precisaramos somar todos os dez salrios e dividir por 10. Ora, seno sabemos mais, com exatido, o salrio de cada uma das dez pessoas, no temos maiscomo calcular a mdia.

Assim, quando os dados estiverem em classes, no possvel saber qual a verdadeira mdiados dados. O que fazemos simplesmente dar um chute. isso mesmo! Um chute.

A mdia verdadeira, esta no d para achar. Mas d para estimar um valor para esta mdia.Como fazer?

O primeiro passo calcular o ponto mdio de cada classe.

Classes de valores Ponto mdioFrequncia absoluta

simples

[1;4) 2,5 5

[4;7) 5,5 4

[7;10) 8,5 1

Pronto, agora vamos ao nosso chute. Vamos considerar que todas as pessoas de cadaclasse ganham exatamente o salrio correspondente ao ponto mdio da classe. Ou seja, as 5pessoas da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe ganham R$

5.500,00. E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto apenas umchute.


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Feito isso, agora a questo que temos basicamente o clculo de uma mdia para dadosagrupados. O procedimento o mesmo que vimos no tpico anterior. Relembrando.

Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suasrespectivas frequncias.

Ponto mdio Frequncia absolutasimples

Ponto mdio xfrequncia

2,5 5 12,55,5 4 22

8,5 1 8,5

Segundo passo: somamos os valores das colunas.

Ponto mdioFrequncia absoluta

simplesPonto mdio x

frequncia2,5 5 12,5

5,5 4 228,5 1 8,5

Totais 10 43

Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x frequncia) pelo total da coluna defrequncias.

3,410

43==X

Pronto, est calculada a mdia (ou melhor, chutada). Repare que este valor no igual mdia verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salrio mdio das

dez pessoas pesquisadas de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as informaes,estimamos a mdia em R$ 4.300,00.

Antes de irmos para os exerccios, s um comentrio. Alm da mdia aritmtica, h outras(veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmtica a maisimportante (porque a mais cobrada). Portanto, se o exerccio falar apenas mdia, semmencionar que a aritmtica, pode supor que se trata dela.

Vamos a alguns exerccios sobre o assunto.

Questo 10 Petrobras 2008 [CESGRANRIO]A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequncias.No h observaes coincidentes com os extremos das classes.


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O peso mdio do conjunto de pessoas, em kgf,

(A) 60

(B) 65

(C) 67

(D) 70

(E) 75

Resoluo:

Os dados esto em classe. Quando isso ocorre, temos perda de informao.

Exemplo: no sabemos quais os valores das cinco observaes da segunda classe. Sabemosapenas que esto entre 50 e 60 kgf.

Se no sabemos mais os valores de cada uma das observaes, no temos mais como somartodas elas, portanto, no possvel calcular a mdia.

O que fazemos dar um chute. Fazemos uma considerao. Consideramos que asfrequncias se referem aos pontos mdios das classes.

Ento, o primeiro passo para calcular a mdia para um conjunto de dados em classes achar os pontos mdios das classes.

Classes Ponto mdio (X)

[40; 50) 45

[50 ; 60) 55

[ 60; 70) 65[ 70; 80) 75

[ 80; 90) 85

Observem que todas as classes tm a mesma amplitude (no caso, a amplitude 10).

Quando isso ocorre, precisamos calcular apenas o primeiro ponto mdio (=45).

Para obter os demais, basta ir somando de 10 em 10 (que justamente a amplitude declasse).

Assim, os pontos mdios seguintes so: 55, 65, 75, 85.


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Agora, calculamos a mdia dos pontos mdios.

Classes Ponto mdio (X) f fX

[40; 50) 45 2 90[50 ; 60) 55 5 275

[ 60; 70) 65 7 455[ 70; 80) 75 8 600

[ 80; 90) 85 3 255

total 25 1675

A mdia dada pela diviso entre os dois valores acima (total de valor vezes frequnciadividido pelo total das frequncias):

==25

1675X 67

Uma dificuldade neste tipo de questo so as contas envolvidas. Uma alternativa para

facilitar as contas trabalhar com uma varivel auxiliar (d).

Esta varivel auxiliar d obtida a partir da varivel original (X). Podemos usar somas,subtraes, multiplicaes e divises, com o intuito de chegar a nmeros mais fceis.Atingido este objetivo, a transformao vlida.

Quando todas as classes tm a mesma amplitude, uma maneira de calcular d assim:subtramos o primeiro valor deX; dividimos pela amplitude de classe.

Neste exerccio, o primeiro valor deX 45. A amplitude de classe 10. Ficamos com:

10

45=

Xd

A tabela abaixo traz os valores de d:


10

45=

Xd

f fd

[40; 50) 45 0 2 0[50 ; 60) 55 1 5 5

[ 60; 70) 65 2 7 14

[ 70; 80) 75 3 8 24

[ 80; 90) 85 4 3 12

Total 25 55E agora calculamos a mdia de d. Por qu? Porque mais fcil (j que os nmeros somenores).

2,2100

220

25

55===d

A mdia de d 2,2. Mas ns no queremos a mdia de d. Ns queremos a mdia deX. Istopode ser conseguido isolandoX.

4510

10

45+=

= dX

Xd


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Toda vez que somamos, subtramos, multiplicamos ou dividimos um conjunto de dados poruma constante, a mdia sofre a mesma variao. Logo, a relao entre as mdias de Xe dfica:

4510 += dX

674522 =+=X

Gabarito: C

Questo 11 SEFAZ PAR 2002 [ESAF]A tabela de frequncias abaixo apresenta as frequncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, dodepartamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com asextremidades das classes salariais.

Classes F

29,5 39,5 239,5 49,5 6

49,5 59,5 13

59,5 69,5 2369,5 79,5 36

79,5 89,5 4589,5 99,5 50

Assinale a opo que corresponde ao salrio anual mdio estimado para o departamento defiscalizao da Cia. X.

a) 70,0

b) 69,5

c) 68,0

d) 74,4

e) 60,0

Resoluo:

Primeiramente, repare que as frequncias fornecidas so acumuladas. Para calcular amdia, sempre temos que utilizar frequncias simples.

Faamos isto.


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Classes Frequncia simples Frequncia acumulada

29,5 39,5 2 2

39,5 49,5 4 6

49,5 59,5 7 13

59,5 69,5 10 2369,5 79,5 13 36

79,5 89,5 9 4589,5 99,5 5 50

Agora sim, podemos continuar com o clculo.

Vamos encontrar os pontos mdios de cada classe.

Classes Pontos mdios Frequncia simples

29,5 39,5 34,5 2

39,5 49,5 44,5 4

49,5 59,5 54,5 759,5 69,5 64,5 10

69,5 79,5 74,5 1379,5 89,5 84,5 9

89,5 99,5 94,5 5

Note que todas as amplitudes de classes so iguais a 10. Assim, podemos simplesmenteencontrar o primeiro ponto mdio (=34,5). Os demais so obtidos por soma. Basta somar 10sempre.

Como no temos acesso a todos os dados, vamos dar um chute. Vamos supor que todas as

observaes coincidem com os pontos mdios de cada classe.O que temos agora um clculo de mdia para dados agrupados. So trs passos a fazer.

Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, multiplicando cada valor por sua respectivafrequncia simples.

Pontos mdios Frequncia simples Valor x frequncia

34,5 2 6944,5 4 178

54,5 7 381,5

64,5 10 64574,5 13 968,5

84,5 9 760,5

94,5 5 472,5

Segundo passo: calculamos os totais das colunas.


27/65




Pontos mdios Frequncia simples Valor x frequncia

34,5 2 69

44,5 4 178

54,5 7 381,5

64,5 10 64574,5 13 968,5

84,5 9 760,594,5 5 472,5

Totais 50 3475

Terceiro passo: dividir o total da coluna (valor x frequncia) pelo total da coluna defrequncias.

5,6950

3475==X

Gabarito: B.

Outra soluo possvel envolve a utilizao da varivel auxiliar.

Vamos partir da tabela de pontos mdios com suas respectivas frequncias simples.

Classes Pontos mdios Frequncia simples

29,5 39,5 34,5 239,5 49,5 44,5 4

49,5 59,5 54,5 759,5 69,5 64,5 10

69,5 79,5 74,5 13

79,5 89,5 84,5 9

89,5 99,5 94,5 5

Antes de criar a coluna adicional, contendo a multiplicao de valor e frequncia, vamoscriar uma varivel auxiliar.

Vamos cham-la de varivel d.

Vamos chamar os pontos mdios deX.

Vou agora mostrar uma forma ligeiramente diferente de calcular a varivel d.

Para cada valor deX, encontramos um valor de d, da seguinte maneira:

10

5,74=

Xd

Vamos verificar mais de perto esta equao.

No problema anterior, subtramos X do primeiro ponto mdio.

Agora, optamos por subtrair por 74,5, que o ponto com maior frequncia. Isso facilitar ascontas, pois a maior frequncia ser multiplicada por zero, como veremos mais adiante.


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Sempre bom lembrar: no h regra fixa para o clculo da varivel auxiliar. Atingido oobjetivo de chegarmos a nmeros mais amigveis, ok, tudo certo.

O primeiro valor deX 34,5.

5,341 =X

O primeiro valor da nossa varivel auxiliar dser:

410

5,745,341 =

=d

O segundo valor deX 44,5.

5,442 =X

O segundo valor da nossa varivel auxiliar dser:

310

5,745,442 =

=d

E assim por diante.

Podemos resumir todos os valores de d com a tabela abaixo.

Pontos mdios (X) Varivel auxiliar (d) Frequncia simples

34,5 -4 2

44,5 -3 454,5 -2 7

64,5 -1 10

74,5 0 1384,5 1 9

94,5 2 5

Agora continuamos o exerccio. S que em vez de calcular a mdia dos valores de X, vamoscalcular a mdia dos valores de d. Por qu? Porque os valores da varivel d so menorese, alm disso, no apresentam casas aps a vrgula. As contas ficam mais fceis de fazer.

Primeiro passo: criamos uma coluna auxiliar de (valor x frequncia).

Varivel auxiliar)(d

Frequncia simples)( f

fd

-4 2 -8

-3 4 -12-2 7 -14

-1 10 -10

0 13 0

1 9 9

2 5 10

Perceberam que o 13 (maior frequncia) foi multiplicado por 0? Por isso eu disse que ascontas ficariam ainda mais fceis.


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Segundo passo: calculamos os totais das colunas.

Varivel auxiliar)(d

Frequncia simples)( f

fd

-4 2 -8-3 4 -12-2 7 -14

-1 10 -100 13 0

1 9 9

2 5 10Totais 50 -25

Terceiro passo: encontramos a mdia:

5,050

25==d

Ou seja, a mdia dos valores auxiliares de -0,6.

S que no queremos a mdia dos valores auxiliares. Queremos a mdia dos valores deX.

Sabemos que:

10

5,74=

Xd

IsolandoX, temos:

5,7410 += dX

Ou seja, para obterX, pegamos cada valor de d, multiplicamos por 10 e somamos 34,5.

S que ns vimos, l em propriedades da mdia (matria da aula anterior), que sempre quesomamos, subtramos, multiplicamos ou dividimos os valores por uma dada constante, amdia sofre exatamente a mesma alterao.

Ou seja, a mdia deXfica:

5,7410 += dX

5,74)5,0(10 +=X

5,69=X

No custa nada reforar: usar a varivel auxiliar opcional. s uma maneira que podeajudar a diminuir as contas.

Questo 12 AFRF/2001 [ESAF]Frequncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa


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Classes de Salrio Frequncias Acumuladas

( 3; 6] 12

(6; 9] 30

(9; 12] 50

(12; 15] 60(15; 18] 65

(18; 21] 68

Quer-se estimar o salrio mdio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opoque representa a aproximao desta estatstica calculada com base na distribuio defrequncias.

a) 10,00

b) 9,93

c) 13,50

d) 15,00

e) 12,50

Resoluo:

Foram dadas frequncias acumuladas. S que para calcular a mdia sempre trabalhamoscom frequncias simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Vamos encontrar asfrequncias absolutas simples correspondentes.

ClassesDe Salrio

MemriaDe clculo

FrequnciasSimples

FrequnciasAcumuladas

( 3; 6] =12 12 12

(6; 9] =30-12 18 30(9; 12] =50-30 20 50

(12; 15] =60-50 10 60

(15; 18] =65-60 5 65(18; 21] =68-65 3 68

Agora podemos comear a trabalhar, pois j temos as frequncias simples.

Precisamos encontrar os pontos mdios das classes.


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Classesde Salrio

Pontomdio

FrequnciasSimples

FrequnciasAcumuladas

( 3; 6] 4,5 12 12

(6; 9] 7,5 18 30

(9; 12] 10,5 20 50

(12; 15] 13,5 10 60(15; 18] 16,5 5 65

(18; 21] 19,5 3 68

Mais uma vez, todas as amplitudes de classes so iguais (todas valem 3). Podemos encontrarapenas o primeiro ponto mdio. Os demais so obtidos por soma (basta somar 3).

Para facilitar as contas, criamos a varivel auxiliar d. Vamos pegar cada valor deXe subtrair4,5 (pois 4,5 igual ao primeiro ponto mdio). Em seguida dividimos por 3 (pois 3 aamplitude de classe).

35,4= Xd

Ponto mdio d Frequncias Simples

4,5 0 12

7,5 1 1810,5 2 20

13,5 3 10

16,5 4 5

19,5 5 3

Vamos calcular a mdia dos valores de d.Primeiro passo: criamos a coluna de valor vezes frequncia.

d FrequnciasSimples ( f )

fd

0 12 0

1 18 182 20 40

3 10 30

4 5 205 3 15

Segundo passo: Calculando os totais


32/65




d FrequnciasSimples ( f )

fd

0 12 0

1 18 18

2 20 403 10 30

4 5 205 3 15

TOTAL 68 123

Terceiro passo: encontrando a mdia de d:

68

123=d

S que no queremos a mdia de d. Queremos a mdia deX. Sabemos que:

3

5,4=

Xd

Isolando oX:

5,43 += dX

E a mdia deXfica:

5,43 += dX

93,95,4

68

1233 +=X

Gabarito: B

Questo 13 CGU 2008 [ESAF]Uma distribuio de freqncias com dados agrupados em classe forneceu os pontosmdios de classes m e as respectivas freqncias absolutas f abaixo:

m f

49 7

52 15

55 12

58 5

61 1

Calcule a mdia aritmtica simples dos dados.

a) 52

b) 52,25


33/65




c) 53,35

d) 54,15

e) 55

Resoluo:

Para calcular a mdia, criamos a coluna adicional de valor vezes freqncia.

Para facilitar as contas, podemos criar a varivel transformada d.

Neste caso, no possvel adotar o procedimento de sempre porque no foi dado o valor daamplitude de classe. Mas, de todo modo, possvel fazer criar uma varivel que facilitenossas contas. Vamos subtrair 49 de cada valor de m. Depois, dividimos por 3.

= 49

3

Observe como a varivel d apresenta valores mais amigveis:

49 0 7 0

52 1 15 1555 2 12 24

58 3 5 15

61 4 1 4TOTAL 40 58

A mdia de dfica:

= 5840 = 1,45Mas ns queremos a mdia de m.

= 493 = 3 + 49

= 3 + 49

= 3 1,45 + 49 = 53,35

Gabarito: C.

Questo 14 SEF SC 2010 [FEPESE]Considere a tabela agrupada em classes mostrada a seguir, referente a um conjunto com asnotas de 100 alunos (considerados como a populao da pesquisa) para a resoluo daquesto.


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Qual a mdia das notas dos alunos?

a) 58b) 61

c) 72d) 75e) 76,875

Resoluo:

Inicialmente, cumpre dizer que a questo foi anulada porque o assunto no estava explicitona ementa.

Primeiro calculamos as frequncias relativas simples:

Classes Memria de clculo Freq. Simples Freq. Acumulada1535 = 30 30 303555 = 40 30 10 405575 = 60 40 20 607595 = 90 60 30 9095115 = 110 90 10 100

Agora atribumos cada frequncia ao ponto mdio da classe.

Classes Ponto mdio (X) Freq. Simples

1535 25 303555 45 105575 65 207595 85 3095115 105 10

Para facilitar os clculos, podemos criar a varivel auxiliar "d", assim:

= 6520

Tomamos X, subtramos do ponto central (65) e dividimos pela amplitude de classe (20).


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Para simplificar ainda mais, podemos dividir todas as frequncias por 10. Isso no altera amdia.

Vamos ento chamar as frequncias modificadas de .


1535 25 -2 3 -63555 45 -1 1 -15575 65 0 2 07595 85 1 3 395115 105 2 1 2

A mdia de "d" fica:

=

2

10 = 0,2

A relao entre "x" e "d" dada por:

= 6520 = 20 + 65 = 20 + 65

= 20 0,2 + 65 = 61Deste modo, eu marcaria a alternativa B.

Gabarito: anulado

MEDIA PARA DADOS EM CLASSES

Utilize sempre frequncias simples.

Considerar que as frequncias so associadas aos pontos mdios das classes.

Procedimento opcional: criar varivel auxiliar.

Primeira forma usual: subtrair do primeiro ponto mdio e dividir pela amplitude de classe.

Outra forma possvel: subtrair do ponto mdio com maior frequncia e dividir pelaamplitude de classe.

2.5. Mdia ponderadaA mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que se trata pormeio de um exemplo.


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Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia dessas quatro provas.Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

84

67910=

+++=

NF

Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica normal, a mesma que vimosnos tpicos anteriores.

Esse mesmo aluno faz outro curso, em que so aplicadas apenas duas provas. Suas notasso: 9,5 e 7,5.

A mdia aritmtica dessas notas fica:

5,82

5,75,9=

+

S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada simplesmente por meio da mdiaaritmtica. Isso porque a primeira prova de mltipla escolha. A segunda discursiva.Como a segunda prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso trs. Aprimeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale trs vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, igual a:

84

5,735,91' =

+=NF

como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos, na verdade, fazendouma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porqueela tem peso 3.

A nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas das duas provas. uma modificao da mdia aritmtica. Na mdia ponderada, cada valor tem um pesodiferente.

Se vocs lembrarem da mdia para dados agrupados, sua frmula era:

( )5,735,914

1' +=NF

primeira notasegunda nota

peso da primeira notapeso da segunda nota

soma dos pesos

(=1+3)


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n

fXX

ii =

Esta frmula a de cima no deixa de ser uma mdia ponderada. Fazemos a mdia entre osvalores deXi, onde os pesos de ponderao so as frequncias.

A mdia ponderada tambm empregada quando queremos calcular a mdia da reunio dedois conjuntos. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 825,00.A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, de homens e mulheres?

Resoluo

Vamos chamar o salrio dos homens de H.

Como assim???

Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salrios:

725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

Pronto, a mdia desses salrios de 825,00.

Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

O salrio do primeiro homem 725. Portanto: 7251 =H

O salrio do segundo homem 800. Portanto: 8002 =H

E assim por diante.

Pois bem, somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente amdia de salrio dos homens. Fica assim:

4825

=

H


33008254 ==H Ou seja, a soma dos salrios de todos os homens igual a R$ 3.300,00.

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres edividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

300060055

600 ===

MM

Ou seja, a soma dos salrios de todas as mulheres igual a R$ 3.000,00.

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.


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Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, edividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9_

+=

MH

geralMdia

Substituindo os valores:

7009

30003300_ =

+=geralMdia

A mdia geral, incluindo homens e mulheres, de R$ 700,00.

Vamos reescrever a soluo? Vamos agora fazer aparecer a tal da mdia ponderada.

Chamamos os salrios dos homens de H.

Somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia desalrio dos homens. Fica assim:

4825

=

H


8254=H

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres edividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

60055

600 == MM

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, edividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9

_ +

=MH

geralMdia

Substituindo os valores:

7009

60058254_ =

+=geralMdia

Observe que a mdia geral uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e dasmulheres. O peso da mdia dos homens o nmero de homens. O peso da mdia dasmulheres o nmero de mulheres.


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Um outro tipo de exerccio semelhante a este, porm com um nvel de dificuldade umpouco maior, o que segue.

Exemplo 5Numa empresa, temos 100 funcionrios. A mdia do salrio dos homens de R$ 1.000,00. Amdia do salrio das mulheres de R$ 900,00. A mdia geral, considerando homens emulheres, R$ 960,00. Quantas mulheres h na empresa?

Resoluo

Este exerccio um pouco mais difcil que o anterior.Como no sabemos o nmero de homens e de mulheres, vamos dizer que so a homens eb mulheres.

Portanto: 100=+ ba (h 100 funcionrios na empresa).

Esta a primeira equao.

100=+ ba (I)

Vamos, novamente, chamar o salrio dos homens de H e o das mulheres de M.

A mdia dos salrios dos homens R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salrios dos

homens e dividindo por a (so a homens), temos a mdia salarial masculina (=1000).

a

H=1000


aH = 1000

Assim, a soma dos salrios de todos os homens igual a mil vezes o nmero de homens.

A mdia dos salrios das mulheres R$ 900,00. Portanto, somando o salrio de todas as

mulheres e dividindo por b (so b mulheres), temos a mdia salarial feminina (=900):

mdia dos

homens

mdia das

mulheres

peso da mdia dos

homenspeso da mdia das

mulheres

soma dos pesos

(=4+5)

( ) 700600582549

1_ =+=geralMdia


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b

M=900


bM =

900

A soma dos salrios de todas as mulheres igual a 900 vezes o nmero de mulheres.

A mdia geral R$ 960,00. Ou seja, somando o salrio de todos os homens e de todas asmulheres, dividindo pelo nmero de pessoas (= ba + ), temos a mdia geral.

ba

MH

+

+=

960


)(960 baMH +=+

Ou seja, a soma de salrios de homens e mulheres igual a 960 vezes o nmero de pessoas.

Substituindo as somas de salrios de homens e mulheres:

)(9609001000 baba +=+ (II)

Esta a equao II. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de resolver.Aqui, vamos fazer o seguinte:

)(9609001000 baba +=+

Substitumos a1000 por aa + 900100

Continuando:

)(960900900100 babaa +=++

Colocando 900 em evidncia:

)(960)(900100 babaa +=++

Lembrando que 100=+ ba

100960100900100 =+ a

Dividindo todos os termos por 100:

960900 =+a

4060 == ba

So quarenta mulheres na empresa.

Para quem tem facilidade com contas, esta resoluo rpida. J outras pessoas preferem,

em vez de ficar montando essas equaes, decorar uma frmula que d direto o percentual

)(9609001000 baba +=+

)(960900900100 babaa +=++


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de homens (ou de mulheres). Esta frmula nada mais que uma combinao das duasequaes vistas acima.

Vamos chamar a mdia dos salrios das mulheres de M . A mdia dos salrios dos homens

de H. A mdia geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e

mulheres no conjunto fica:

%60100

60

9001000

900960hom__ ==

=

=

MH

MXensdeperc

%40100

40

1000900

1000960__ =

=

=

=

HM

HXmulheresdeperc

Outra opo fazer um desenho esquemtico, identificando os termos da frmula.

O tamanho total do segmento de reta igual a 100. Ele equivale, em mdulo, aosdenominadores de ambas as frmulas. E os numeradores correspondem, em mdulo, sdiferenas abaixo indicadas:

E temos que ter o cuidado na hora de montar as fraes. O nmero 60, que corresponde diferena entre a mdia feminina e a geral, vai entrar na frmula do percentual de homens.O nmero 40, correspondente diferena entre a mdia masculina e a geral, vai entrar na

frmula do percentual de mulheres.

%60100

60hom__ ==ensdeperc

%40100

40__ ==mulheresdeperc

Por que que temos que fazer essas inverses?

Vamos imaginar uma situao em que a proporo de homens maior que a de mulheres.Nesse caso, a mdia geral vai estar mais prxima da mdia masculina. como se a mdia

masculina puxasse a mdia geral mais para o seu lado.


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Do contrrio, se tivermos mais mulheres que homens, a a mdia geral estar mais prximada mdia feminina. A mdia feminina puxa a mdia geral para o seu lado.

Em resumo, o sexo que detiver a maior proporo puxar a mdia geral para prximo dasua mdia.

Quanto menor a proporo de mulheres, maior a distncia entre a mdia feminina e amdia geral. Assim, uma distncia grande (entre a mdia feminina e a geral) estrelacionada a uma proporo pequena de mulheres.

Para os homens a situao anloga. Quanto maior a proporo de homens, menor ser adistncia entre a mdia masculina e a geral. Em outras palavras, uma distncia pequenaentre a mdia masculina e a geral corresponde a uma proporo grande de homens.

Notaram que as grandezas tm relao inversa? Quanto maior a proporo menor adistncia. Quanto menor a proporo, maior a distncia.

Da que surgem as inverses.

Questo 15 Prefeitura de Recife 2003 [ESAF]Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homense mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observadopara os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opocorreta.

a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.

b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.

c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.

d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.

e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

Resoluo:

Repare que a mdia de homens de 1300. A mdia de mulheres de 1100.

Se no conjunto tivssemos mais homens, a mdia geral (considerando homens e mulheres)

estaria mais prxima de 1300.Do contrrio, se tivssemos mais mulheres, a mdia geral estaria mais prxima de 1100.

Contudo, a mdia geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o nmero dehomens igual ao nmero de mulheres. Nem precisou fazer conta.

De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resoluo.


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Os percentuais ficam:

%50200

100hom__ ==ensdeperc

%50

200


Gabarito: A

Questo 16 Prefeitura de So Paulo 2007 [FCC]No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi deR$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres sorespectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No prximo ms, todos os homensrecebero um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobreos salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps essesreajustes, o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

Resoluo:

A mdia dos homens de 600, a das mulheres de 500 e a mdia geral 530. Note que amdia geral est mais prxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos usar as frmulas que vimos l no Exemplo 5.

%30500600

500530hom__ =

=

=

MH

MXensdeperc

%70100

70

600500

600530__ =

=

=

=

HM

HXmulheresdeperc

Outra resoluo possvel seria fazer aquele nosso desenho:


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Novamente, obtemos:

%30100

30hom__ ==ensdeperc

%70

100


Conclumos que 30% so homens e 70% so mulheres.

Ou seja, nesta empresa, de cada 100 funcionrios, 30 so homens.

Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionrios. Inicialmente, temos que a mdia doshomens de R$ 600,00 e a mdia das mulheres R$ 500,00.

Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens tm seussalrios acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a mdia dos homens sofrer a mesma

alterao. A nova mdia dos homens ficar igual a R$ 620,00.

Ok, a mdia dos salrios dos homens igual a 620. Significa que, somando todos os salriosdos homens (aps o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620.

3062030

620 ==

HH

Todas as mulheres tero seu salrio multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em10% o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a mdia dos salrios das mulheres sofrera mesma alterao. Ser tambm multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00.Assim, somando os salrios das mulheres (aps o aumento) e dividindo por 70, obtemos550.

7055070

550 ==

MM

A mdia geral simplesmente somar todos os salrios dos homens, todos os salrios dasmulheres, e dividir por 100.

571385186755362100

7055030620

100_ =+=+=

+=

+=

MHgeralMdia

Gabarito: C.


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Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 385186+

O algarismo das unidades da soma ser igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, s aj d para marcar letra C.

Outra opo para calcular a mdia geral, era lembrar que ela uma mdia ponderada entre

as mdias dos homens e das mulheres. E os pesos so, respectivamente, o nmero dehomens e o nmero de mulheres.

Ficaria assim:

( ) 5715507062030100

1_ =+=geralMdia

Questo 17 TCU 2008 [CESPE]

Considerando a tabela acima, que apresenta a distribuio do quadro de colaboradores daCAIXA, em mil pessoas, no final dos anos de 2006 e 2007, julgue os itens seguintes.

Se as mdias das idades dos funcionrios, estagirios e prestadores de servio em 2007

foram, respectivamente, iguais a 40 anos, 20 anos e 35 anos, ento a mdia das idades doscolaboradores em 2007 foi inferior a 35 anos.

Resoluo:

A mdia geral uma mdia ponderada das mdias de cada grupo. Os pesos de ponderaoso as quantidades de observaes em cada grupo.

= 74 40 + 16 20 + 10 3574 + 16 + 10

= 74 40 + 16 20 + 10 35100 = 2960 + 320 + 350100

= 36,3Gabarito: errado


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Questo 18 Minc 2006 [FGV]Um aluno faz 3 provas com pesos 2, 3 e 5, nessa ordem. Suas notas, na primeira e segundaprovas foram 3 e 7, respectivamente. Para ter mdia maior que ou igual a 6, sua nota naterceira prova dever ser igual a ou maior que:

(A) 6,0

(B) 6,5

(C) 6,6

(D) 7,5

(E) 8,0

Resoluo.

Sejam 3, 7 e k as notas do aluno.O exerccio pede pra gente fazer a mdia entre esses trs valores.

Se fosse para fazer a mdia aritmtica, bastaria somar todas as observaes e dividir por 3.

A mdia aritmtica a mais importante em concursos, porque a mais cobrada. Se oexerccio falar simplesmente em mdia, sem dizer se aritmtica, pode ter certeza de quese trata dela.

Mas, aqui nesta questo, temos a mdia ponderada. Na mdia ponderada, cada observaotem um peso diferente.

Dizer que a primeira nota (=3) tem peso 2 significa que ela deve ser duplicada. como sefossem duas observaes iguais a 3.

Dizer que a segunda nota (=7) tem peso 3 significa que ela deve ser multiplicada por 3. como se fossem trs notas iguais a 7.

Finalmente, se a nota k tem peso 5, ela deve ser multiplicada por 5.

como se tivssemos as seguintes notas:

3, 3, 7, 7, 7, k, k, k, k, k

Os pesos tm este efeito: replicar valores.

Ou seja, como se estivssemos fazendo a mdia aritmtica destes 10 valores acima.Somamos todos eles e dividimos por 10 (que o total de observaes, j considerando oefeito da replicao).

Assim, a mdia ponderada das observaes originais (3, 7, k) corresponde mdiaaritmtica do conjunto gerado pelas replicaes das notas (3, 3, 7, 7, 7, k, k, k, k, k).

Ou seja:

Mdia ponderada do conjunto original (3, 7, k, com pesos 2, 3, 5) =

= Mdia aritmtica do conjunto obtido pelas replicaes


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Fazendo a mdia aritmtica, temos:

10

77733 kkkkk +++++++++

Reescrevendo o numerador:

10

)5()3(7)2(3 ++ k

Entre parntesis obtivemos justamente os pesos das notas.

Com isso, chegamos ao que voc deve guardar para a prova.

Para clculo da mdia ponderada do conjunto original (3, 7 e k, com pesos 2, 3 e 5), bastamultiplicar cada nota pelo seu peso. Em seguida, dividimos pelo total dos pesos (=10).

Mdia ponderada =10

)5()3(7)2(3 ++ k

O exerccio pede que a mdia ponderada seja maior ou igual a 6.

610

)5()3(7)2(3

++ k

610

)5(27

+ k

60527 + k

335 k

6,6k Gabarito: C.

Questo 19 Minc 2006 [FGV]Em um colgio, h apenas duas turmas de oitava srie. Aplicada uma mesma prova deMatemtica, a mdia da primeira turma foi 6,4, e a da segunda turma foi 5,8. Se, naprimeira turma, h 30 alunos, e, na segunda, h 20 alunos, qual foi a mdia da oitava srienessa prova?

(A) 6,10(B) 6,12

(C) 6,14

(D) 6,16

(E) 6,18

Resoluo.

Vamos chamar as turmas de X e Y.

As notas da primeira turma sero designadas porXie as da segunda turma, por Yi.


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A mdia da primeira turma 6,4. O que isto significa? Significa que, somando as notas detodos os seus 30 alunos e dividindo por 30, obtemos 6,4. Ou seja:

30

30

1

== i

iX

X

=

= ==30

1

30

1 4,63030

4,6i

i

i

i

X

X

O que isto significa?

Significa que o produto 30 6,4 igual soma de todas as 30 notas.

Para a segunda turma, podemos fazer o mesmo procedimento.

20

20

1

== i

iY

Y

=

= ==30

1

20

1 8,52020

8,5i

i

i

i

Y

X

Para obter a mdia geral, das duas turmas reunidas, fazemos assim. Queremos somar asnotas de todos os 50 alunos (os trinta da primeira turma, mais os vinte da segunda turma).

Depois, dividimos por 50, que o total de alunos das duas turmas. Fica assim:

Mdia geral =50

+ ii YX

E ns j sabemos quanto vale cada um desses somatrios.

Mdia geral =50

8,5204,630 +

E aqui ns podemos visualizar um resultado importante. Observe que a mdia geral umamdia ponderada entre as mdias de cada turma. Os pesos de ponderao so justamente o

nmero de elementos em cada conjunto.Assim, temos a primeira mdia (= 6,4) multiplicada pelo seu peso. Depois, multiplicamos asegunda mdia (= 5,8) pelo seu peso. Somamos e dividimos pela soma dos pesos.


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Ou seja, nem precisaramos perder tempo com todo o passo a passo do comeo doexerccio. Se voc j soubesse que a mdia geral simplesmente uma mdia ponderada dasmdias de cada turma, resolveria a questo em uma linha.

Mdia geral =

50

8,5204,630 += 6,16

Gabarito: D.

2.6. Mdia geomtrica e mdia harmnicaEste assunto no muito cobrado em concursos. Mas no custa nada comentar.

Aqui, tambm estamos interessados em calcular um valor mdio, assim como feito com amdia aritmtica. S que a conta que fazemos outra.

Por definio, a mdia geomtrica de n valores no negativos (X1,X2, ...,Xn) :

n

n

i

in

n XXXXG =

==1

21 ...

Por definio, a mdia harmnica de n valores diferentes de zero (X1,X2, ...,Xn) :

1

1

11

=

=

n

i

iXn

H

Frmulas meio complicadas, no?

Vamos ver alguns exemplos que fica mais fcil.

Suponhamos que nossos dados so apenas: 3 e 12. Apenas dois nmeros (para facilitar ascontas).

Para calcular a mdia aritmtica, conforme vimos na seo anterior, ficamos com:

5,72

123=

+=X

A mdia geomtrica diferente. Para obt-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramosa raiz ensima. Como neste caso so apenas dois valores, ser a raiz quadrada.

61232 ==G

A mdia harmnica um pouco mais complicada. Vamos dividir em trs passos.

Primeiro passo: achamos os recprocos de cada valor.

Para obter o recproco de um nmero, basta inverter seu numerador com seu denominador.Vamos a um exemplo.

Tomemos o nmero3

2. Seu recproco

2

3.

No nosso caso, os valores so 3 e 12.


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O recproco de 3 3

1.

O recproco de 12 12

1.

Segundo passo: calculamos a mdia aritmtica dos recprocos.

Ficamos com:

24

5

2

12

14

2

12

1

3

1

=

+

=

+

Terceiro passo: calculamos o recproco do valor obtido acima. Pronto. Esta a mdiaharmnica.

5

24=H

8,4=H

Se resumirmos todos esses trs passos numa frase, podemos dizer que a mdia harmnica o recproco da mdia aritmtica dos recprocos dos valores.

Uma coisa que cai bastante em concurso no essa parte de contas. simplesmente sabero seguinte:

Para qualquer conjunto de n nmeros positivos, a mdia harmnica menor ou igual

mdia geomtrica e esta menor ou igual mdia aritmtica. A igualdade s ocorre setodos os nmeros forem iguais entre si.

Vamos olhar no caso dos nmeros 3 e 12. A mdia aritmtica foi de 7,5. Foi a maior dasmdias. A mdia harmnica foi de 4,8. Foi a menor das trs. E a mdia geomtrica foi de 6, ovalor intermedirio.

Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, a teramos:

12=== HGX

Quando todos os valores so iguais, as mdias coincidem.

Resumindo, o que geralmente cai em prova saber que:

XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)


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COMPARAO DAS MDIAS

XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

Exemplo 6Para a sequncia (4,6,9), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo:

Mdia aritmtica:

3

19

3

964

3=

++==

iXX

Mdia geomtrica:

6216964 33 ===G

Mdia harmnica:

Primeiro passo: encontrando os recprocos:

9

1,

6

1,

4

1

Segundo passo: mdia dos recprocos:

108

19

3

1

36

469

3

9

1

6

1

4

1

=++

=

++

Terceiro passo: recproco do valor acima:

19

108=H

Exemplo 7Para a sequncia (4,4,4), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo:Como todos os valores so iguais, todas as mdias so iguais a 4.


52/65




Questo 20 AFRF 2005 [ESAF]Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica ( X ), geomtrica (G) eharmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) XHG , com XHG == somente se os n valores forem todos iguais.

b) HXG , com HXG == somente se os n valores forem todos iguais.

c) HGX , com HGX == somente se os n valores forem todos iguais.

d) XGH , com XGH == somente se os n valores forem todos iguais.

e) GHX , com GHX == somente se os n valores forem todos iguais.

Resoluo:

Aplicao direta do resumo visto acima.

Gabarito: D.

Questo 21 ENAP 2006 [ESAF]O valor mais prximo da mdia harmnica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9,3} igual a

a) 6.b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

Resoluo:

Os recprocos so:

1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3.

Fazendo a mdia desses valores, temos:

=

+++++++++3

1

9

1

8

1

3

1

10

1

5

1

4

1

3

1

5

1

10

1

10

1

Agrupando os termos iguais:

=

+++++10

12

5

12

3

13

9

1

8

1

4

1

10

1

Simplificando 2 com 10:


53/65




=

+++++5

1

5

12

3

13

9

1

8

1

4

1

10

1

Agrupando 2/5 com 1/5; agrupando 1/4 com 1/8:

++++= 5

133

139

1

8

1

8

2

10

1

Fazendo as divises:

+++= 6,01

9

1375,0

10

1

Observe que 1/9 uma frao mais complicada. D uma dzima peridica. Vamosaproximar 1/9 por 0,11.

)085,2(

10

16,01

9

1375,0

10

1

+++

E a mdia harmnica fica:

085,2

10H

Outra diviso complicada de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085por 2.

52

10

085,2

10=H

Quando ns trocamos o denominador 2,085 por 2, ns aumentamos um pouco a nossafrao. Portanto, na verdade, a mdia harmnica um pouco menor que 5.

O nmero mais prximo disto o 4,794.

Gabarito: C.

Achou a questo muito trabalhosa?

Numa eventual falta de tempo, uma maneira mais rpida para orientar o chute seriacalcular a mdia aritmtica dos valores fornecidos.

610

60

==X

Como a mdia harmnica menor que a aritmtica, j descartamos as alternativas A, B e D.A ficaramos entre as alternativas C e E. No chute, ficaramos com 50% de chance de acerto.

Questo 22 TCU 2009 [CESPE]Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentestipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores(xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e y i representa o

valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foramencontrados:


54/65




+ = 130; = 10

+

= 1.790;

= 26

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

99. A mdia harmnica dos valores x1, x2, ..., x10 menor que 8.

Resoluo.

J vimos na Questo 3 que a mdia aritmtica de x 7.

Como a varivel x representa valores de itens de consumo, ento s assume valores maioresque zero.

Logo, a mdia aritmtica maior ou igual s demais mdias, harmnica e geomtrica.

Conclumos que a mdia harmnica menor ou igual a 7. Portanto, certamente menorque 8.

Gabarito: certo

Questo 23 CGU 2002 [ESAF]Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a So Paulo a uma velocidade

mdia de 50 Km por hora; aps, retorna de So Paulo para Curitiba a uma velocidade mdiade 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade mdia, em Km/h foide:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Resoluo:

Para simplificar, vamos supor que o trajeto tem 150 km, pois 150 um mltiplo comum de50 e de 75.

Na ida, o carro anda a 50 km por hora. Assim, ele demora 3 horas para percorrer 150 km.

Na volta, o carro percorre 75 km em 1 hora. Logo, demora 2 horas para voltar.

Ao todo, ele gasta 5 horas para percorrer os 300 km de ida e volta. A velocidade mdia fica:


55/65




3005 = 60

Gabarito: A

Interessante observar que, nesse tipo de situao, a velocidade mdia justamente a mdia

harmnica das velocidades individuais.Vejam:

1

= 1 50 + 1 752 1

= 1100 +1

150 =6 + 4600

1

= 10600

= 60010 = 60

Questo 24 CGU 2000 [ESAF]Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade mdia de 75 Km por hora (Km/h);aps, retorna de B para A a uma velocidade m-dia de 50 Km/h. Considerando todo opercurso de ida e volta, a velocidade mdia, em Km/h foi de:

a) 50

b) 60c) 62,5

d) 70

e) 72,5

Resoluo:

Exerccio idntico ao anterior.

Gabarito: B

Questo 25 Minc 2006 [FGV]Quanto vale a mdia geomtrica dos nmeros 1, 2 e 32?

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 35/3


56/65




Resoluo

Para obter a mdia geomtrica, a gente multiplica todos os dados. Depois, tiramos a raizensima. Neste caso, como so 3 observaes, tiramos a raiz cbica.

33 643221 ==G

Para tirar a raiz cbica, devemos fatorar o nmero dentro da raiz.

3 34=G

4=G

Gabarito: B

3. QUESTES APRESENTADAS EM AULAQuesto 1 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]A mdia aritmtica dos salrios dos 200 funcionrios de uma empresa igual a R$ 1.500,00.Caso haja a demisso de todos os funcionrios que ganham, cada um, R$ 2.000,00 eadmisso de 10 funcionrios ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a mdia aritmtica fica com ovalor de R$ 1.325,00. Isto significa que o nmero de funcionrios da empresa passa a ser de

(A) 135

(B) 140

(C) 150

(D) 160

(E) 170

Questo 2 Fiscal ICMS/DF 2001 [FCC]Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo, efetuados por53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma novaempresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi

de:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00


57/65




Questo 3 TCU 2009 [CESPE]Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentestipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores(xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o

valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foramencontrados:

+ = 130; = 10

+ = 1.790; = 26

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.96. A mdia amostral dos valores x1, x2, ..., x10 13% maior do que a mdia amostral dosvalores y1, y2, ..., y10.

98. A mdia aritmtica da distribuio x1 y1, x2 y2, ..., x10 y10 maior que 43.

Questo 4 Besc 2004 [FGV]Os 100 alunos admitidos em uma faculdade foram divididos em duas turmas.

Na turma I, puseram-se os 50 alunos de melhores mdias no vestibular; na turma II, os

demais. Entretanto, resolveu-se, posteriormente, transferir, para a turma II, o pior aluno daturma I. Aps a transferncia, o que aconteceu com as mdias das notas, no vestibular, dosalunos das turmas I e II?

(A) Ambas aumentaram.

(B) Ambas diminuram.

(C) Aumentou a de I e diminuiu a de II.

(D) Diminuiu a de I e aumentou a de II.

(E) No h dados suficientes para que se possa responder.

Questo 5 SEFAZ BA 2004 [FCC]Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercado em suaregio, procedeu s seguintes operaes:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valores dosalugueis em reais :


58/65

Prof. Vtor Menezes

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Questo 6 BACEN/2006 [A mdia aritmtica dos salrihiptese de serem demitid2.500,00, e ser concedido,remanescentes, a nova mdi

a) R$ 1.375,00

b) 1.350,00

c) R$ 1.345,00

d) 1.320,00

e) 1.300,00

Questo 7 CEAP PB 2009

O grfico acima mostra avelocidades aproximadas, revelocidade mdia aproximad

a) inferior a 40.

b) superior a 40 e inferior a 4

c) superior a 43 e inferior a 4

d) superior a 46.

Curso

Prof.

www.estrategiaconcursos.com.

CC]

s dos 100 empregados em uma empresa s 20 empregados, que ganham cada u

posteriormente, um aumento de 10% emaritmtica dos salrios ser de:

[CESPE]

distribuio percentual de veculos deistradas por meio de um radar instalado e, em km/h, dos veculos que foram registra

.

.

Regular de Estatstica.

Vtor Menezes Aula 1

br 58

de R$ 1.500,00. Nao salrio de R$

todos os salrios

est - bacen 2013 - est - aula 01

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