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Encontro Nacional BETÃO ESTRUTURAL - BE2012

FEUP, 24-26 de outubro de 2012

Desenvolvimento de um programa de cálculo de secções de betão

armado em Estado Limite Último segundo o Eurocódigo 2.

André Monteiro

1 Paulo Cachim

2 Miguel Morais

3

RESUMO

O presente trabalho teve como objectivo o desenvolvimento de um programa informático, o

XD-CoSec, destinado ao dimensionamento e verificação da segurança de secções transversais de betão

armado, em estado limite último, segundo o disposto no Eurocódigo 2. Pretendeu-se que a aplicação

fosse o mais universal possível, englobando a maioria dos casos, admitindo por isso a consideração de

secções de geometria qualquer, definida pelo utilizador, sujeitas a diversos tipos de esforços (flexão

simples, composta e desviada, esforço transverso e torção).

A aplicação foi idealizada de forma à sua utilização ser expedita e intuitiva. Para isso, desenvolveu-se

uma interface gráfica que facilita a introdução dos dados, possibilitando o uso de secções e materiais

predefinidos. Foram criadas ferramentas que permitem visualizar gráficos de interacção de esforços

resistentes, para situações de flexão composta e desviada, bem como a elaboração da superfície

tridimensional de flexão desviada sob forma de ábaco.

Os materiais predefinidos no programa foram descritos e caracterizados a nível mecânico, através das

leis constitutivas de comportamento definidas no EC2 [1]. Neste artigo são expostas as bases teóricas

que, fundamentam os cálculos executados pelo programa. Recorrendo ao programa, foram resolvidos

alguns casos práticos, validando os resultados com recurso a programas, tabelas e ábacos existentes.

A linguagem de programação adoptada para o desenvolvimento do XD-CoSec foi a linguagem C#,

uma linguagem orientada a objectos, que deu um forte contributo à versatilidade do produto final. Por

fim, foi elaborado um manual de utilização do XD-CoSec, onde se explica o modo de utilização da

aplicação, e uma memória de cálculo, ambos disponíveis a partir da aplicação.

Palavras-chave: Betão armado, flexão desviada, método das fibras, Eurocódigo 2, software em C#.

1Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/CICECO, 3810-193 [email protected]

2Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/LABEST/CICECO, 3810-193 [email protected]

3Universidade de Aveiro, Departamento de Engenharia Civil/LABEST, 3810-193 [email protected]

mailto:[email protected]



Desenvolvimento de um programa de cálculo de secções de betão armado em flexão composta

desviada segundo o Eurocódigo 2

2

1. INTRODUÇÃO

O cálculo isolado de secções de betão armado surge com frequência em situações de projeto, tanto no

meio académico, como profissional. Situações de flexão simples, geralmente em vigas, são facilmente

resolvidas através de formulações simples, desde que se considerem disposições de armaduras

elementares. A consideração de disposições de armadura mais complexas ou de secções sujeitas à

flexão composta desviada, torna-se mais complicada, havendo necessidade de recorrer a processos

iterativos e, no caso da flexão desviada, de discretizar as secções. Apesar de existirem no mercado

tabelas e ábacos para o cálculo de secções correntes, a oferta de aplicações de utilização livre para

secções e esforços mais complexos e que utilizem as regras de verificação e dimensionamento do EC2

[1] é muito reduzida e limitada.

O presente trabalho consiste na elaboração de uma ferramenta de cálculo automático, o

XD-CoSec - Xpress Design of Concrete Sections, desenvolvida em linguagem C#, destinada ao

dimensionamento e verificação da segurança de secções transversais de betão armado, em estado

limite último, segundo o Eurocódigo 2. Esta aplicação é de utilização livre e pretende ajudar alunos e

profissionais de engenharia fornecendo-lhes uma ferramenta útil e prática para o dimensionamento de

secções transversais de betão armado. Pretendeu-se que a aplicação fosse o mais genérica possível,

permitindo a consideração de secções de geometria qualquer, sujeitas a esforços de flexão biaxial,

esforço axial, esforço transverso e, para algumas situações, torção.

A aplicação foi idealizada de forma a permitir uma utilização expedita e intuitiva, através da criação

de uma interface gráfica que facilita a introdução de dados, e possibilita o uso de secções e materiais

predefinidos. Para além da obtenção de resultados numéricos, pretendeu-se a obtenção de resultados

gráficos relativamente à flexão composta e composta desviada, sob forma de diagramas e ábacos de

interacção, que definem a resistência de uma secção qualquer através de curvas.

Em suma, o programa de cálculo elaborado visou cumprir os seguintes objectivos:

- Efectuar a verificação da segurança e dimensionamento de secções em Estado Limite Último

segundo o EC2;

- Abranger os principais esforços possíveis de existir numa secção de Betão Armado;

- Gerar diagramas/ábacos de interacção de flexão composta/desviada exportáveis em ficheiro de

imagem;

- Desenvolver uma interface gráfica intuitiva e de utilização expedita;

- Disponibilizar secções correntes e materiais predefinidos;

- Permitir o ajuste de parâmetros de cálculo, segundo as necessidades do utilizador.

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 Flexão composta desviada - verificação da segurança

O cálculo de secções de betão armado sujeitas a flexão composta desviada baseia-se na resolução do

sistema de equações de equilíbrio representado pela Expressão 1 [2]. Este impõe que seja satisfeito o

equilíbrio estático em todos os domínios ( , e ), para as condições de estado limite último

(E.L.U.). O sistema de equações não é linear, pelo que, a sua resolução requer o uso de um método

iterativo. No caso do presente trabalho, foi usado o método iterativo da secante. É de notar que as

parcelas do sistema entre parêntesis são relativas ao pré-esforço, não abordado no presente trabalho.

{

∑ ∑ ( ∑ )

∑ ∑ ( ∑ )

∑ ∑ ( ∑ )

(1)

A. Monteiro, P. Cachim e M. Morais

3

A capacidade resistente de uma determinada secção de betão armado, relativamente à flexão composta

desviada, é definida pelos seus esforços resistentes , e , existindo uma infinidade de

combinações possíveis para estes três valores. Estas combinações permitem representar uma nuvem de

pontos inseridos num referencial cartesiano tridimensional ( , e ),

gerando uma superfície designada por diagrama de interação tridimensional de flexão desviada. A

superfície estabelece os limites de segurança de uma secção, para determinados parâmetros

geométricos, materiais e de armadura. Posto isto, pode assumir-se que uma secção está em segurança

se o ponto de coordenadas , e se encontra situado no espaço interior

da superfície ou se coincidir com esta (situação limite). Posto isto, a problemática da verificação da

segurança consiste na determinação da superfície de interação. A Fig. 1 representa um exemplo de

uma superfície de interação de flexão desviada genérica, com exemplo de três situações de flexão

distintas.

Figura 1. Diagrama de interação tridimensional de flexão desviada genérico, com exemplo de uma

secção transversal em três situações distintas de flexão, baseado em [3].

Conclui-se então que cada ponto xyz relativo a uma combinação de esforços resistentes corresponde a

uma posição de eixo neutro (e.n.), com determinada profundidade e inclinação. O método adotado

para a determinação dos esforços relativos a um valor de e.n. baseia-se na modelação das secções pelo

método das fibras [3]. Este consiste na discretização de secções através da sua divisão em áreas

elementares de betão ou aço, formando uma malha de fibras, cujo refinamento é definido pelo

utilizador do programa (Fig. 2). Cada fibra pode ser representada por um ponto (no estudo da secção

transversal), cada um possuindo propriedades mecânicas e geométricas próprias, sendo estas, a posição

( e ), tensão ( ), extensão ( ) e a força normal elementar ( ). A tensão nas fibras

comprimidas de betão é calculada segundo o modelo parábola-retângulo, enquanto a tensão nas

armaduras é calculada segundo o modelo bilinear, ambos definidos no EC2.

Figura 2. Exemplo de discretização de uma secção genérica através do método das fibras. À esquerda,

discretização da secção de betão e à direita, da armadura.

MyMz

N

z

(a)

x

(b)

Caso (a)

Caso (c)

Caso (b)

x

(c)

y

y

y

x

y

x

CG e.n.

cu2

c,i

d,i

X

c,i

fcd

PCi (PCx,i ; PCy,i)

y

x

CG

cu2

X

s,j

fyd

d,j

s,j

e.n.

fyd

As,j (Psx,j ; Psy,j)



4

De seguida, são expostas as formulações resultantes do método implementado, para a determinação

dos esforços resistentes relativos a uma determinada posição do eixo neutro, que resultam do

somatório entre a contribuição do betão e do aço, descrito pelas Eqs (2), (3) e (4), com m = nº de fibras

comprimidas de betão e n = nº de varões. Nessas expressões, o sistema de eixos considerado para o

cálculo dos esforços resistentes é um sistema , com no eixo das abcissas e z nas ordenadas, em

sintonia com o EC2. Os índices i e j referem-se às fibras de betão e aos varões respetivamente.

∑

∑

∑

∑

(2)

∑

∑

(3)

∑

∑

(4)

Os domínios de distribuição de extensões admissíveis em E.L.U. estão representados na Figura 4.

Observando a figura, podem definir-se três domínios de rotura distintos, diretamente relacionados com

a profundidade do eixo neutro.

Figura 3. Distribuição de extensões admissíveis em estado limite último [1].

Com base nos parâmetros expostos para cada domínio, é possível determinar a extensão em cada fibra

da secção à profundidade ( ), dada uma determinada profundidade do e.n., ( ). Posto isto, deduziram-se as três equações representativas dos diagramas de extensão, , para

os respectivos domínios (Quadro 1).

Quadro1. Equações usadas na determinação da extensão em cada fibra da secção.

Domínio Extensão em cada fibra Intervalo de variação do e.n.

1 (

)

2

3 (

)

O método de resolução implementado no algoritmo está descrito, passo a passo, com mais pormenor

na tese de mestrado que serve de base ao presente artigo, [4].


5

2.2 Flexão composta desviada - dimensionamento

O processo de dimensionamento implementado para secções sujeitas a flexão composta desviada

consiste na determinação do valor mínimo de armadura necessário para a verificação da segurança da

secção. Para isso, executam-se sucessivos processos de verificação da segurança (ver secção 2.1) até

se atingir a convergência para uma quantidade de armadura ótima, ou seja, com um aproveitamento

próximo dos 100%. O utilizador define o número de varões pretendidos em cada face da secção,

através do qual o programa determina cada uma das posições no referido referencial (Fig. 2). Cada

iteração, correspondente a uma verificação de segurança, é executada para um determinado valor de

área de armadura, sucessivamente obtido pelo método da secante.

2.3 Esforço transverso - Verificação da segurança e dimensionamento

Segundo o EC2, a resistência ao esforço transverso de uma secção pode ser calculada como um

sistema de treliça, formado por escoras comprimidas de betão associadas a tirantes constituídos pelas

armaduras transversais tracionadas. São estabelecidos os parâmetros , e , que

definem a resistência da secção sem armadura, a resistência com armadura e a resistência máxima

admissível da secção, respetivamente. As expressões usadas na determinação desses três parâmetros

figuram no EC2 e estão representadas pelas Eqs (5), (6) e (7).

{[ ⁄ ] ( ) } (5)

(6)

(7)

2.4 Torção - Verificação da segurança e dimensionamento

De acordo com o EC2, o cálculo da resistência à torção pode ser efetuado com base numa secção

fechada de paredes finas, onde o equilíbrio é satisfeito por um fluxo de tensões tangenciais. A tensão

tangencial e o esforço tangencial na parede i de uma secção sujeita a um momento torsor , podem

ser calculados pelas Eqs (8), (9) e (10). A armadura transversal de torção, , é determinada a partir

da Eq. (6), com . A armadura longitudinal de torção, , é determinada a partir da

Eq. (10), devendo ser distribuída uniformemente por toda a secção e acrescentada à existente.

(8)

(9)

∑

(10)

3. PROGRAMA XD-CoSec

3.1 Iniciar um novo cálculo e gestão dos separadores de cálculo

Ao iniciar o XD-CoSec, surge a janela temporária de abertura da aplicação (Fig. 4), seguida da janela

principal do programa, onde irão ser executados os diferentes tipos de cálculos. A Fig. 5 representa a

janela principal aquando a sua abertura. Um cálculo inicia-se escolhendo a tarefa pretentedida

(verificação ou dimensionamento), seguida da escolha da secção pretendida (Fig. 6), indicando o

resptivo nome da tarefa.



6

Figura 4. Janela de abertura do XD-CoSec. Figura 5. Janela principal do XD-CoSec.

O XD-CoSec permite a execução de várias tarefas de cálculo em simultâneo. Para isso, cada cálculo

iniciado pelo utilizador gera um novo separador de cálculo (Fig. 7). Esta funcionalidade possibilita a

comparação entre diversas soluções em simultâneo, dando assim maior versatilidade ao programa.

Cada separador pode ser fechado separadamente, a qualquer momento, seleccionando-o e clicando no

ícone , na barra de ferramentas, ou no ícone do separador activo. Os utilizadores podem guardar

separadores de cálculo em ficheiros .xcs para posterior visualização ou alteração.

Figura 6. Janelas de

seleção de secções.

Figura 7. XD-CoSec com várias tarefas iniciadas em simultâneo. O

separador selecionado corresponde à verificação de uma secção em T.

O utilizador pode escolher entre a visualização de uma esquematização da secção onde estão indicados

os diferentes parâmetros, e a esquematização real da secção, que permite ao utilizador verificar a

correcta introdução dos dados do problema, alternando ambas através do comando . Como

exemplo, podem observar-se as Figs 7 e 9, respetivamente.

3.2 Funcionalidades

3.2.1 Secções disponíveis

No que diz respeito à verificação da segurança, são disponibilizados cinco tipos de secções

predefinidas: retangulares, circulares, em T, em U e em L. Estas são secções correntes que

provavelmente irão representar a maioria dos cálculos efetuados pelos utilizadores do programa. Uma

vez que o código computacional é genérico para qualquer geometria, disponibilizou-se uma ferramenta

que permite a definição de secções quaisquer, pelas posições dos seus vértices e armaduras através de

tabelas de introdução de dados. No caso do dimensionamento, optou-se por disponibilizar três tipos


7

secções predefinidas: secções retangulares, em T e circulares. Como já referido, para esse processo, o

programa precisa de admitir, previamente, o número e a posição das armaduras na secção. No caso das

três secções referidas, a disposição de armaduras é simples. Secções com disposições mais complexas

ou de maiores dimensões, como por exemplo em U, possuem critérios específicos de disposição de

armadura, não abrangidos no âmbito deste trabalho.

3.2.2 Esforços

O XD-CoSec abrange, para qualquer secção, todos os tipos de flexão: simples ( ), composta

( ) e desviada ( ). Relativamente ao esforço transverso, este pode ser considerado

em ambas as direções ( ), em todas as secções, exceto em secções em T e U (nas quais só é

admitido segundo o eixo y - vertical) e nas secções definidas pelo utilizador (nas quais não é admitido

em nenhuma das direções). Quanto à torção, optou-se por disponibilizar o cálculo apenas no

dimensionamento de secções retangulares e circulares e não na verificação da segurança.

3.2.3 Materiais

De modo a possibilitar uma entrada de dados mais expedita no programa, implementou-se uma

biblioteca de dados, que contém materiais predefinidos para o cálculo. No que diz respeito ao betão, as

classes disponíveis vão desde C12/15 até C90/105. Relativamente ao aço, existem três classes

disponíveis, A235, A400 e A500. Contudo podem ser consideradas classes específicas, escrevendo “c”

seguido de ”fck”, no caso do betão ou “a” seguido de “fyk”, no caso do aço (Ex: “c52,5” ou “a450”).

3.3 Resultados

3.3.1 Verificação da segurança

Para todos os casos de flexão, o programa devolve os esforços resistentes, que permitiram efetuar a

verificação da segurança, assim como o esforço axial máximo admissível em tração/compressão

simples. No caso da flexão simples, este indica o momento máximo admissível na secção, .

Relativamente à flexão composta, devolve o momento máximo admissível na secção, , para

= . No caso da flexão composta desviada, são indicados os momentos resistentes admissíveis,

e (proporcionais aos atuantes), quando = . Através dos valores dos esforços

resistentes e dos esforços actuantes, é finalmente calculado o nível de aproveitamento da secção.

De forma analisar o comportamento de secções sujeitas a flexão composta ou composta desviada,

desenvolveram-se ferramentas gráficas que permitem visualizar diagramas de interação de esforços

resistentes para secções de forma qualquer (Fig. 8). Estas ferramentas consistem no traçado de

diagramas de flexão composta ( - ), diagramas de flexão desviada ( - ) e superfícies

tridimensionais de flexão desviada sob forma de ábacos ( - - ). O diagrama de interação de

flexão composta, relaciona o momento resistente segundo o eixo , , com o esforço axial

resistente da secção, . O diagrama de interação de flexão desviada, relaciona o momento resistente

segundo , , com o momento resistente segundo , , para um determinado esforço axial

resistente, . Os ábacos de flexão desviada representam a superfície de flexão desviada de uma

determinada secção através do traçado sucessivo de curvas de nível, correspondentes aos respetivos

diagramas de flexão desviada. O intervalo, , para o qual são geradas as curvas é definido pelo

utilizador após o programa indicar um intervalo aconselhado, correspondente à representação de um

ábaco através de aproximadamente 10 curvas.

Quanto ao esforço transverso, o programa calcula a quantidade de armadura transversal, ,

necessária à garantia da segurança, nas direcções e , e compara-a com a existente. São também

apresentados alguns parâmetros como: , e , no caso da armadura transversal da

alma e , , e , no caso da armadura transversal de ligação entre alma e banzo.



8

a) b) c)

Figura 8. Ábacos e Diagramas a)flexão composta, b) flexão desviada, c) flexão desviada.

3.3.2 Dimensionamento

As três secções disponíveis podem ser calculadas considerando todo o tipo de flexão, à exceção das

secções em T, que não permitem o dimensionamento à flexão desviada. O programa determina os

valores das áreas de aço necessárias, consoante os parâmetros de distribuição de armadura escolhidos

pelo utilizador, indicando automaticamente os diâmetros comerciais correspondentes. Além dos

valores das áreas de aço, o XD-CoSec devolve o valor da profundidade do eixo neutro, , e a sua

inclinação, , para a solução encontrada. Fazendo o quociente entre a área de aço ótima determinada e

a área da armadura colocada na secção, é calculado o respetivo aproveitamento da secção.

Quanto ao esforço transverso, o programa calcula a quantidade de armadura transversal, ,

necessária à garantia da segurança, nas direções e . São também apresentados alguns parâmetros

como: , e (armadura transversal da alma) ou , e (armadura

transversal de ligação entre alma e banzo).

Quanto à torção, é calculada a área de armadura transversal necessária, , e a área mínima de

armadura longitudinal de torção, . Ambas deverão ser acrescentadas às já existentes. São também

apresentados parâmetros de cálculo como: , , , , e .

3.4 Ajuste dos parâmetros de cálculo

Os parâmetros possíveis de ajustar consistem essencialmente nos coeficientes de segurança dos

materiais, na precisão da discretização das secções para o dimensionamento/verificação e nos

parâmetros de visualização dos diagramas de interação (Fig. 10). É ainda possível visualizar os

parâmetros de cálculo de cada classe de betão e aço, calculados pelo programa segundo o prescrito no

EC2. Pode obter-se mais informação acerca de cada parâmetro clicando nos ícones .

Figura 9. Resultados obtidos após o

dimensionamento de uma secção circular.

Figura 10. Exemplo de um dos separadores da

janela de definição de parâmetros.


9

4. EXEMPLOS PRÁTICOS

Num primeiro exemplo, pretende-se verificar a segurança de um pilar de secção oval. A Fig. 11 ilustra

os dados do problema, a introdução dos mesmos no XD-CoSec e respetivos resultados obtidos.

Esforços:

= 5000 kN

= 200 kN.m

= 100 kN.m

Materiais:

A500

C30/37

Figura 11. Esquema da secção oval a verificar (dimensões em metros).

O XD-CoSec devolve os momentos máximos, proporcionais aos atuantes, = 252,65 kN.m e

= 126.33 kN.m, para os quais se esgota a capacidade resistente da secção, dado o esforço

axial atuante, = 5000 kN. Posto isto, a secção está em segurança relativamente à flexão desviada,

verificando-se um bom aproveitamento (79,2 %). De modo a comprovar os resultados obtidos, é

possível traçar um diagrama de flexão desviada (semelhante ao representado pela Fig. 8 b)) e verificar

o nível de segurança da secção.

Num segundo exemplo, pretende-se dimensionar um pilar de secção quadrangular. A Fig. 12 ilustra os

dados do problema, a sua introdução no XD-CoSec e os despectivos resultados obtidos. Após

executado o dimensionamento, é fornecida a área de aço ótima para cada varão ( ), a profundidade

do eixo neutro ( ) e respectiva inclinação ( ), o diâmetro comercial adoptado para os varões, por

excesso, entre 6 e 32 mm, a eficiência e a taxa de armadura na secção, ambas em percentagem.

Consequentemente, obtêm-se os seguintes resultados: = 1,61 cm2, = 0,37 m, = 36,1º, Ø = 16

mm, aproveitamento da armadura = 80,17 % e taxa de armadura na secção = 1,01 %.

No caso do dimensionamento ao esforço transverso, o programa determina a armadura a adotar para

cada direção, considerando e a atuar separadamente. Os resultados obtidos são o esforço

transverso resistente da secção sem armadura ( ), o esforço transverso resistente da secção

limitado pelo esmagamento das escoras comprimidas ( ), o valor de mais favorável, a área

de armadura transversal ( ) e o respetivo espaçamento, dado o diâmetro dos varões e o número

de ramos pretendidos. Neste caso, a armadura mais desfavorável verificou-se na direção y, para a qual

0,40

0,80

C=0,051412

Esforços:

= 2000 kN

= 150 kN.m

= 100 kN.m

= 80 kN.m

= 50 kN.m

Materiais:

A500

C30/37

Condições:

3 varões por face

Figura 12. Esquema da secção quadrangular a verificar (dimensões em metros).

0,40

0,40

C=0,04

14Ø12



10

se obtêm os seguintes resultados: = 183,63 kN, = 471,92 kN, = 2,50, =

2,27 cm2/m e espaçamento entre estribos 24,90 cm (considerando estribos em Ø6). Neste caso, como

> , apenas seria necessário colocar a armadura mínima de esforço transverso prescrita no

EC2.

5. CONCLUSÕES

O programa desenvolvido revela-se robusto e capaz de englobar grande parte dos casos de cálculo e

análise de secções transversais de betão armado. A facilidade de utilização do programa, torna-o

acessível a estudantes e profissionais, o que permite estender a sua utilização a cálculos expeditos de

análises de esforços, em situações práticas de projeto, assim como no apoio à realização de exercícios

académicos. Os resultados do XD-CoSec foram verificados através de cálculos manuais, recorrendo à

utilização de tabelas e ábacos existentes [5], de fiabilidade comprovada. Em alguns casos, não foi

efetuada essa verificação, pelo facto desses elementos não abrangerem todo o tipo de secções. Porém,

os resultados consideram-se válidos, devido ao facto dos processos de cálculo implementados serem

comuns para todas as situações. Apesar do XD-CoSec apenas permitir o cálculo em situação de estado

limite último, consiste num importante alicerce para o desenvolvimento de novas funcionalidades no

âmbito de trabalhos futuros. Nesta ótica, a linguagem de programação adotada desempenha um papel

fundamental, devido à sua elevada versatilidade e extensibilidade, permitindo ao programador efetuar

facilmente alterações ou acrescentar funcionalidades.

6. REFERÊNCIAIS BIBLIOGRÁFICAS

[1] NP EN 1992-1-1. 2010, Eurocódigo 2 - Projecto de estruturas de betão. Regras gerais e regras para

edifícios. Lisboa: IPQ. 259p.

[2] Montoya, P. J. [et al.] (2000). Hormigón Armado. 14th ed. Barcelona: Editorial Gustavo Gili,

844p.

[3] Lejano, B. (2007). Investigation of Biaxial Bending of Reinforced Concrete Columns Through

Fiber Method Modeling. Journal of research in science, computing and engineering, Vol. 4, N. 3,

pp. 61-73.

[4] Monteiro, André (2011). Desenvolvimento de um programa de cálculo de secções de betão

armado. Departamento de Engenharia Civil da universidade de Aveiro, Tese de Mestrado.

[5] Barros H, Figueiras J. (2010). Tabelas e Ábacos de Dimensionamento de Secções de Betão

Solicitadas à Flexão e a Esforços Axiais Segundo o Eurocódigo 2. 1st ed. Porto: FEUP edições,

151p.

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