DERIVADA

Aula 02 – Matemática I – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava

correndo a 42 mph”.

Como pode ser provada tal afirmação?

Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado –

não ajudará em nada.

Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em

um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único

instante de tempo, interrompemos o movimento!

É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a

velocidade de um objeto em algum instante de tempo.

• Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no

século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do

cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para

o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da

velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em

questão.

A Derivada

• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para

estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.

• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.

Taxa de Variação nas

Ciências Naturais e Sociais

Aplicações

Na Física

• Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade.

• A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração.

• A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.

Na Química

• Os químicos têm interesse em

calcular a taxa de reação

instantânea de uma reação química.

• A taxa de reação instantânea é

calculada pelo quociente entre a

concentração de um reagente em

função do tempo, quando o intervalo

de tempo tende para zero.

Na Biologia

• Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos

de uma população animal ou de plantas.

Na Economia

• Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de

variação do custo em relação ao número de itens produzidos).

Outras Ciências

• Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de

rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a

envolve.

Engenheiro

• Saber a taxa segundo a qual a

água escoa para dentro ou

para fora de um reservatório.

Agrônomo

• Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio.

• Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz

absorvida em diferentes densidades de plantas.

Geógrafo urbano

• Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à

medida que a distância do centro aumenta.

Meteorologista

• Busca calcular a taxa de variação

da pressão atmosférica em

relação à altura.

Psicologia

• Interessados na teoria de

aprendizagem estudam a chamada

curva de aprendizado, que é o

gráfico de desempenho de alguém

aprendendo alguma coisa como

função do tempo de treinamento.

Sociologia

• O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões).

• Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.

A Derivada

• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.

• Tem-se a produção de milho por hectare 𝑓 (𝑘𝑔/ℎ𝑎) como

função da quantidade de nitrogênio 𝑥 (𝑘𝑔/ℎ𝑎), cujos resultados

são apresentados na tabela a seguir:

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x) 1451 1651,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4

Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22

kg/ha?

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Valores Y

Derivada

• Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30,

encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30,

1945,4).

• Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação:

𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐: 𝑓 30 − 𝑓(20)

30 − 20

• Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4).

• Logo a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝒂. 𝑥, para qualquer 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 a partir de x = 20, será:

𝑓 20 + 𝑥 = 𝑓 20 + 12,88𝑥

• Com essa função podemos calcular o f(22).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

• Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor ∆𝑥.

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40

f(x) 1451 1555,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2

Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).

• Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que ∆𝑥2, mais precisa será a estimativa para x = 22.

• Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como

lim∆𝑥→0

𝑓 20 + ∆𝑥 − 𝑓(20)

∆𝑥

lim∆𝑥→0

𝑓 20 + ∆𝑥 − 𝑓(20)

∆𝑥

Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da

inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e

(20+∆x; f(20+ ∆x) estarão muito próximos pelo limite.

Derivada - Definição

• A expressão:

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

é chamada de quociente da diferença da função f(x).

• Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado.

• Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.

Derivada de uma Função

• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f ’(x) dada por:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.

• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f ’(c) existe, ou seja, se o

limite do quociente diferença que define f ’(x) existe no ponto x = c.

Exemplo

• Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = 4,9𝑥2.

Taxa de Variação instantânea como uma

Derivada

• A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto 𝑥 = 𝑐 é dada por 𝑓’(𝑐).

• A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática:

𝑓 𝑥 = −0,18𝑥2 + 21,88𝑥 + 1451

• Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f ’(22).

Significado do sinal da Derivada f ’(x)

Se a função f é derivável em x = c,

f é crescente em x = c

f ’(x) > 0

f é decrescente em x = c

f ’(x) < 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) = 4,9x²

Notação de Derivada • A derivada f ’(x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (dê y

sobre dê x) ou 𝑑𝑓

𝑑𝑥 (dê f sobre dê x).

• Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f ’(c)] é escrito na forma:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥 = 𝑐 ou

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥 = 𝑐

• Assim, por exemplo, se y = x², temos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥 = −3 = 2𝑥 𝑥 = −3 = 2. −3 = −6

Tangentes

• Se uma curva C tiver uma equação y = f(x) e quisermos encontrar a reta tangente a C em uma ponto 𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 ), consideramos um ponto

próximo 𝑄 𝑥, 𝑓 𝑥 , onde 𝑥 ≠ 𝑎, e calculamos a inclinação da reta secante PQ. 0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8

𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

a x

𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 )

𝑥 − 𝑎

𝑚𝑃𝑄 =𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

• Então fazemos 𝑄 aproximar-se de

𝑃 ao longo da curva 𝐶 ao obrigar

𝑥 a tender a 𝑎. Se 𝑚𝑃𝑄 tender a

um número m, então definimos a

tangente t como a reta que passa

por P e tem inclinação m.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8

t

P

Q Q

Q

A reta tangente

• A reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑃(𝑎, 𝑓 𝑥 ) é a reta

passando por P com a inclinação

𝑚 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

desde que o limite exista.

Exemplo

• Encontre a equação da reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P (1,1).

Inclinação como uma derivada

• A inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto [𝑐, 𝑓(𝑐)] é dada por 𝑚𝑡𝑎𝑛 = 𝑓′ 𝑐 .

• Usamos:

𝑦 − 𝑓 𝑐 = 𝑓′ 𝑐 𝑥 − 𝑥1

ou

𝑦 − 𝑓 𝑐 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

Exemplo 2

• Calcule a derivada de f(x) = x³ e

use-a para determinar a

inclinação da reta tangente à

curva y = x³ no ponto x = -1.

• Qual a equação da reta tangente

neste ponto?

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=x³

Exercícios:

1) Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 e determine a inclinação da

reta tangente à curva da função no ponto x = 2.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Descansando a mente • Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

Técnicas de Derivação

Regra da Constante Para qualquer constante c,

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula.

𝑓 𝑥 = 𝑐 → 𝑓′ 𝑥 = 0

Esta regra é comprovada pela regra da potência.

𝑓 𝑥 = 15 → 𝑓′ 𝑥 = 0

Regra da Potência Para qualquer número real n,

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛. 𝑥𝑛−1

Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e

multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente.

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑛. 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥 = 2𝑥3; 𝑓 𝑥 =1

𝑥2; 𝑓 𝑥 = 𝑥7

Regra da multiplicação por uma constante Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, 𝑐𝑓(𝑥) também é uma

função derivável e

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]

A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada.

𝑔 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑥 → 𝑔′ 𝑥 = 𝑐𝑓′(𝑥)

𝑓 𝑥 = 3𝑥4; 𝑓 𝑥 = 7

𝑥

Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 , ou seja:

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]

A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.

ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 .

Se f ’(x) e g’(x) existem, então: ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 8𝑥 + 5

𝑔(𝑦) = 9𝑦5 – 4𝑦² + 2𝑦 + 7

Regra da subtração Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 , ou seja:

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]

A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.

ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 .

Se f ’(x) e g’(x) existem, então: ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 8𝑥2 + 4

𝑔 𝑦 = 2𝑦3 − 5𝑦

Derivada da função exponencial

Dada uma função exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).

A derivada 𝑓´ 𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).

Derivada da função exponencial natural

• Se 𝑦 = 𝑒𝑥 , então 𝑦 ´ = 𝑒𝑥 ln 𝑒 = 𝑒𝑥 .

Função Derivada

𝑦 = 𝑐 𝑦′ = 0

𝑦 = 𝑥

𝑦′ = 1

𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥)

𝑦′ = 𝑐. 𝑓′(𝑥)

𝑦 = ℎ 𝑥 + 𝑔(𝑥)

𝑦′ = ℎ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

𝑦 = ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑥)

𝑦′ = ℎ′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 . 𝑔′(𝑥)

𝑦 =ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑦′ =𝑔 𝑥 . ℎ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 . ℎ(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑦′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎

Calcule a derivada das funções: a) 𝑦 = 𝑥−4

b) 𝑦 = −2

c) 𝑦 = 𝜋𝑟2

d) 𝑦 = 2𝑥

e) 𝑦 = 9

𝑡

f) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3

g) 𝑦 = 𝑥9 − 5𝑥8 + 𝑥 + 12

h) 𝑦 = −0,02𝑥3 + 0,3𝑥

i) 𝑦 = 1

𝑡+

1

𝑡2 −1

𝑡

j) 𝑦 = 𝑥5−4𝑥²

𝑥³

k) 𝑦 = 𝑥3 +1

𝑥3

Problemas

• Estima-se que daqui a x meses a população de um município será 𝑃 𝑥 =𝑥2 + 20𝑥 + 8000.

a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses?

b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?

• O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por 𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 +106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995.

a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005?

b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?

• Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 5.

a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4.

b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4.

c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.