APLICAÇÕES DA DERIVADA – Roteiro de estudo

1 RELEMBRANDO O CONCEITO DE DERIVADA

1)Tangente à circunferência 2) Reta t tangente à curva, cortando outro

ponto da mesma

3) Aproximações para a reta tangente a P a partir da secante por P e Q

4) 5)

6)

2 CONSEQUÊNCIA IMEDIATA DA DEFINIÇÃO: A DERIVADA COMO TAXA DE

VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

A derivada pode ser vista como taxa de variação instantânea de uma determinada

propriedade ou variável em estudo de acordo com a Ciência específica que a estuda.

Substituindo f(x) por outra simbologia, temos o seguinte:

a) Na Física

Se f(x) for substituída por s(t), em que s(t) denota a posição de um ponto material no

plano ou espaço com o tempo t, a derivada s’(t) denotará a velocidade instantânea do

ponto material.

b) Na Química

Se f(x) for substituída por C(t), em que C(t) denota a concentração molar de um dado

reagente químico em uma reação química com o tempo, a derivada C’(t) denotará a taxa

de variação instantânea de mols de reagente, enquanto este reduz a sua quantidade

durante a reação.

c) Nas Ciências Biológicas

Se f(x) for substituída por p(t), em que p(t) é a população de uma colônia de bactérias

com o tempo, p’(t) representará a taxa de variação instantânea de bactérias dessa

população.

d) Em Economia

Se f(x) for substituída por C(x), em que C representa o custo da quantidade de unidades x

produzidas em uma empresa, então C’(x) será a taxa de custo em se produzir o próximo

produto, ou custo marginal, conforme terminologia adotada em Economia.

O uso da derivada está envolvido em inúmeras outras aplicações tais como:

- teste das derivadas primeira e segunda para inferir o esboço de gráficos (com o uso também

de limites) para se fazer a localização de máximos ou mínimos absolutos ou locais, pontos de

crescimento ou decrescimento, pontos que indiquem concavidade para cima ou para baixo na

função;

- regra de L’hospital, com a qual se pode avaliar limites de quocientes ou divisão de funções

em que recai em formas indeterminadas difíceis de serem avaliadas;

- linearização de funções mais complexas para tornar mais fácil a aplicação das mesmas em

modelos matemáticos usados em diversas Ciências, pelo fato de produzir uma estimativa boa,

embora sujeita a pequenos erros, do verdadeiro valor da função;

- problemas que envolvem minimização de custos e tempos operacionais, de uso de material,

de distância a se percorrer, e também maximização de lucro, de velocidade atingida de

volume ou área, etc, enfim, problemas que envolvam a otimização de algo

- problemas de taxas relacionadas, as quais relacionam a taxa de variação de uma determinada

propriedade em um sistema com a de outra propriedade que se deseja saber, através da

modelagem de como ocorre a relação dessas propriedades.

Pode-se citar mais aplicações, porém vamos explorar a priori apenas as aqui as aqui

mencionadas.

Exemplo 1:

3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES

DEFINIÇÃO 1

A função tem um máximo absoluto (ou máximo global) em c, se f(c) ≥ f(x) para todo x em

D, onde D é o domínio de f. O número f(c) é chamado valor máximo de f em D. Do mesmo

modo, f tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o número f(c) é

chamado valor mínimo de f em D diante. Os valores máximos e mínimos de f são chamados

de valores extremos de f.

DEFINIÇÃO 2

DEFINIÇÃO 3

exemplos na figura f

7) Mínimo em a e máximo em d

DEFINIÇÃO 4

Uma função tem um máximo local (ou máximo relativo) a em c, se f(c) ≥ f(x) quando x estiver

próximo de c. [Isto significa que f(c) ≥ f(x) para todos x em algum intervalo aberto contendo

c.] Do mesmo modo,f tem um mínimo local em c f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.

(exemplos nas figuras g e h)

8) Valor mínimo em 0, nenhum máximo 9) Nenhum máximo, nem mínimo

TEOREMA DO VALOR EXTREMO

Exemplos:

10) curvas e seus valores extremos

O teorema não se contradiz, as duas hipóteses tem que ser observadas

11) função com valor mínimo f(2)=0, 12) função sem máximo

mas não tem máximo, quebra a e sem mínimo, quebra a hipóte-

hipótese da continuidade da função se do intervalo ser fechado.

TEOREMA DE FERMAT

13) Ilustração do teorema de Fermat

Cuidados com o teorema de Fermat

Sua recíproca não é verdadeira. Exemplo.

14) f(x) = x3, f’(0) = 0, mas f(0) não é 15) Para esta função, f’(0) não existe m

máximo nem mínimo desta função mas f(0) é mínimo absoluto de f(x)

DEFINIÇÃO 5

A figura 14 tem um ponto crítico em 0, pois f’(0) = 0 e também figura 15 tem um ponto

crítico em 0, pois f’(0) não existe.

Exemplo:

Observação: Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c então c é um número crítico

de f.

MÉTODO DO INTERVALO FECHADO

Estes três procedimentos ajudam muito na determinação de valores máximo e mínimo

de uma função f em um intervalo fechado [a,b]

Exemplo 2 : Ache os extremos de f em [-2, 1/2] se

16)

Exemplo 3: Maximização de área envolvendo o método do intervalo fechado

4 A DERIVADA COMO FERRAMENTA PARA SE INFERIR

INFORMAÇÕES DE GRÁFICO DE FUNÇOES

4.1) TEOREMA DE ROLLE

Exemplo: Dada

4.2) TEOREMA DE DOVALOR MÉDIO

Geometricamente, o teorema do valor médio afirma que f’(c) éo ceficiente angular da

reta tangente a f por c e que é secante a (a, f(a)) e (b,f(b)), conforme abaixo

17)

Os teoremas de Rolle e do Valor médio são usadso para se demonstrar outros teoremas

no Cálculo. eles servem para ajudar a inferir informações sobre funções para ajudar a traçar

seu gráfico.

4.3 TESTES ENVOLVENDO DERIVADA PRIMEIRA

Uma função interessante da derivada é ajudar a inferir informações do traçado do

gráfico de funções. Geometricamente percebemos que uma função crescente sempre possui

reta tangente com inclinação positiva, no intervalo de crescimento. Por outro lado apresenta

inclinação negativa no intervalo de decrescimento Isso podemos ver na figura 18.

18)

Assim podemos enunciar o seguinte teorema:

4.3.1 TESTE CRESCENTE/DECRESCENTE

Dada a percepção geométrica do teorema, não valos aqui demonstrá-lo ficando para os

os interessados consultarem Stewart (2009), ou Leithold ()

Para informações mais detalhadas para se inferir gráficos de funções, ainda se pode

usar o teste da derivada primeira, o qual com o auxílio do teste crescente/decrescente ajuda a

desvendar se um ponto crítico de f é um máximo ou mínimo local. A seguir o enunciado deste

teste, cuja prova também pode ser consultada nas mesmas referências citadas.

4.3.2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

A figura 19 ajuda a enxergar geometricamente a validade deste teste. Na prática,

quando o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo pelo ponto crítico c, temos que esse

ponto crítico f(c) é um mínimo local, já quando o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo

pelo ponto crítico c, f(c) é um máximo local.

19) a- máximo local b -mínimo local

Exemplo 1: Dada

Exemplo 2: Dada

21)

4.2 TESTE ENVOLVENDO A DERIVADA SEGUNDA

Observando as figuras abaixo, percebemos que há regiões em cada curva que está

acima ou abaixo de sua tangente.

22)a- concavidade para cima b- concavidade para baixo

Assim temos as seguinte definições

DEFINIÇÃO 6

a)

b)

Pode-se então enunciar o seguinte teorema:

TEOREMA

Se f é função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então:

(i) Se f’’(c)> 0, o gráfico de f é côncavo para cima em, (c, f(c))

(ii) Se f’’(c)< 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em, (c, f(c))

A recíproca deste teorema não é verdadeira

DEFINIÇÃO 7 : PONTOS DE INFLEXÃO

A definição 7 na prática define pontos nos quais há a transição da concavidade da

curva de côncava para côncava para baixo ou vice-versa. Na figura abaixo podemos ver

exemplos.

23) curva com pontos de inflexão: b,c,d e p, onde b,d e p indicam transição de concavidade

para baixo para concavidade para cima, apenas c indica transição de concavidade para cima

para concavidade para baixo e e não é ponto de inflexão.

O teorema a seguir trata do valor de f’’ no ponto de inflexão

TEOREMA:

Exemplo: Dada

Abaixo está o gráfico deste problema

24)

De posse de todas essas informações ainda podemos acrescer outra também

interessante que é o teste da derivada segunda, o qual nos dá informações sobre se os

extremos de uma função são máximos ou mínimos locais.

TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Exemplo: Dada

25)

Expostas todas essas informações sobre os testes da derivada primeira e segunda, há

uma maneira prática de se traçar gráficos de funções aliando estas informações ao

conhecimento das assíntotas do gráfico que são determinadas por meio de limites. Vamos

listar aqui um bom esquema de como usar estas informações visando um bom esboço do

gráfico de uma função.

DICAS PARA TRAÇADO DE GRÁFICO A PARTIR DE INFORMAÇÕES DA

DERIVADA

Exemplo:

Tabela 6

26)

5 REGRA DE L’HOSPITAL

Formas indeterminadas do tipo

,

, possuem uma maneira diferente de serem

determinadas. Para resolvê-los de forma mais eficiente usa-se a regra de L’Hospital, conforme

definida abaixo

Que dispensando o rigor da demonstração pode ser vislumbrada pelo seguinte resultado

Exemplos:

Quando for o caso, pode-se aplicar duas vezes seguidas ou mais, como a seguir:

Deve-se evitar erros do tipo:

Este limite não é de uma das formas

,

, devendo-se aplicar de forma direta, como a seguir:

As expressões também da forma tem

também uma tratamento diferenciado pela regra de L’Hospital.

Exemplos:

a) Em que

tínhamos uma indeterminação uma indeterminação do tipo 0.∞.

b)

Já esta era do tipo

∞ - ∞

c) , que é do . Nela se usa o artifício

(exemplo a)

Onde teremos que , e por consequência

Assim, a regra de L’Lospital pode ser vista como mais uma aplicação da derivada,

uma vez que facilita bastante o cálculo de certos limites que com os métodos convencionais

seriam impossíveis de se determinar.

6 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES

A linearização de funções é outra aplicação da derivada que é muito importante nas

Ciências. Vejamos o exemplo a seguir:

Sabemos que a derivada é define o coeficiente angular da reta tangente em um ponto

do domínio de uma função. Assim, nas proximidades deste ponto o comprimento da curva

tende ao comprimento de um pequeno segmento de reta da reta tangente L(x), de forma que

podemos aproximar o valor de uma função em um ponto x através do cálculo de L(x) neste

ponto, como na figura abaixo.

27)

Facilmente se sabe que a equação dareta tangente a a na figura 27 é

, logo uma aproximação linear para o valor de f(x) é

e assim a função que representa esta aproximação é

que é chamada função aproximação linear de f (x).

Exemplo:

Determinar a linearização da função em a = 1.E a use para

aproximar os números e As aproximações são sobrestimadas ou substimadas?

Solução:

A derivada de é e como f(1) = 2, e f’(1) =

, temos

que a equação da função de linearização de f(x) é tal que:

, logo , onde x

está próximo de 1.

Em particular temos que e

onde se vê que é uma boa aproximação, embora esteja sobrestimada pelo fato de L(x) estar

sobre a curva, conforme a figura 28.

28)

Também pela tabela percebe-se a proximidade dos valores a intervalos de pequena

dimensão em torno de 1, da mesma percebe-se que quanto mais L(x) se afasta de L(1), menos

precisa é a aproximação feita por L(x) para f(x).

Tabela 7

7 TAXAS DE RELACIONADAS

Há fenômenos físicos observáveis que uma taxa de variação instantânea de uma

variável do fenômeno está relacionada a outra de outra variável observável. Ao se usar o

devido equacionamento do fenômeno podemos encontrar a relação entre ambas e assim

determinar a que se deseja saber em função da que é dada. A estes problemas em que mais

uma vez a derivada se aplica damos o nome de taxas relacionadas. Vamos resolver o exemplo

a seguir:

29)

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A derivada é um conceito da matemática que bem mais que outros mostra o quanto

que a matemática é útil na vida prática, mas vem sendo desmerecida no ensino básico devido

a falta de contextualização com a realidade do público alvo. Vemos aplicações dentro da

própria Matemática, como no Cálculo Numérico, Ciências Naturais, Ciências Sociais

Aplicadas, Economia, administração etc. É necessário que o aluno resolva bastante problemas

para que se crie uma intimidade comeste maravilhoso conceito explorado e formalizado no

séc. XVII por gênios como Isaac Newton, Isaac Barrow, Pierre Fermat, entre outros. A seguir

se encontra uma boa seleção de exercícios para uma boa prática deste conceito

LISTA DE EXERCÍCIOS

Taxas de variação e taxas instantâneas

Regra de L´Hopital

Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital se for o caso

apropriado

Esboço de gráficos

Esboce os gráficos a seguir com as dicas da pág. 19

Problemas de otimização (máximos e mínimos)

Taxas relacionadas