Ensino Superior

Cálculo 1

2- Derivada- A Linguagem do Movimento

Amintas Paiva Afonso

A linguagem do movimento

A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções.

Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas derivadas.

Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

A lei da queda dos corpos

A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático

- as derivadas.

Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...

Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.

Sir Isaac Newton

(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)

Gottfried Wilhelm von Leibniz

(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716)

A linguagem do movimento

() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.

Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial

e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos

físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram

as portas ao espectacular desenvolvimento

científico e tecnológico que transformou o mundo

em 3 séculos tanto ou mais que em toda a

história anterior. Parecia que por fim se tinha

cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo

com a Matemática.

Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica

Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica

Introdução

a

f(b)

x

y

O b

f(a)

f(b) - f(a) y

b – a x

Se uma função é representada graficamente por uma reta (função

afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.

Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da função.

yx

f b f a

b am

yy

xx

tmv = tg =tmv = tg =

taxa média de variaçãotaxa média de variação

O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…

E...  se o gráfico da função não for uma reta?

Com que velocidade (rapidez) varia essa função?

O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…

a

f(b)

b

f(a) b – a x

f(b) - f(a) y

x O

y

E...  se o gráfico da função não for uma reta?

Com que velocidade (rapidez) varia essa função?

yx

f b f a

b am

yy

xx

tmv =tmv =

E… quando tomamos o limite?

O

ZOOM IN

x-x0

x0

f(x)

x

f(x0)

y f(x) - f(x0)

x O

y Vamos, então, estudar Derivadas!

0

0

xx0Δx0 xx

)f(xf(x)lim

Δx

Δylim)(x' f

0

mtgα)(x' f 0

)x(x).(x' f)f(xf(x) 00 x

)x'.(xy )f(xy 00

)xm(x)f(xf(x) 00

Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2

Outros Exemplos

O limite da razão y/x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.

(aproximadamente, pois se trata de limites)

hCxfx

xx

x

xf

x

xx

/º2)1(lim)1('1

)1)(1(lim

1

1lim)1('

1

1

2

1

0

0

00

)()(limlim)('

0 xx

xfxf

x

yxf

xxx

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

x x f(x) x y y/ x

1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5

1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2

1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1

1h1seg1,000277

71,00055

50,000277

70,00055

52,000360

1

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Temperatura de uma sala

• Noção Intuitiva – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de

x0 = 1h.

À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

Exemplos

Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

3

)3)(3(2lim

3

)9(2lim

3

182lim)3('

3

2

3

2

3

x

xx

x

x

x

xf

xxx

Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

12)3(2lim)3('3

xfx

Exemplos

Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

2)4(lim2

)4)(2(lim

2

86lim)2('

22

2

2

x

x

xx

x

xxf

xxx

Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

Exemplos

Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

xx

x

x

xf

xxx

1limlim

0

0lim)0('

000

Temos: x0 = 0 e f(x0) = f(0) = 0 = 0

Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x0 = 0.

ExemplosExemplo 5 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por:

C(x) = 1500 + 220x (em reais).

a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.

b) Interprete o resultado obtido.

b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores.

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

11)10)(10(

)10(220lim

100

37002201500lim)('

1001000

xx

x

x

xxf

xx

a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220(100)1/2 = 3700

Exemplos

Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.

Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.

O que significa isso?

Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

Temperatura de uma sala

x

xfxxf

xxx

xfxxfxf

xx

)()(lim

)()(lim)(' 00

000

00

0

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

a) Se x x0, então x 0.

b) Se x = x - x0, então x = x + x0

c) f(x) = f(x + x0)

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x