8 ath derivada substancial woc

28
Noção de Derivada Substancial (ou Material) A variação das grandezas físicas “transportadas” ou “associadas” a um determinado elemento de fluido em movimento (ex.: velocidade, de uma partícula de água) deve levar em conta: 1) A variação da grandeza em ordem ao tempo, num determinado local do espaço (derivada parcial em ordem ao tempo - derivada local); 2) A variação da grandeza do ponto de vista espacial, isto é, a variação da grandeza de ponto para ponto num determinado instante de tempo (derivada em ordem ao espaço – derivada advectiva).

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Page 1: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Noção de Derivada Substancial (ou Material)

A variação das grandezas físicas “transportadas” ou “associadas”a um determinado elemento de fluido em movimento (ex.: velocidade, de uma partícula de água) deve levar em conta:

1) A variação da grandeza em ordem ao tempo, num determinado local do espaço (derivada parcial em ordem ao tempo - derivada local);

2) A variação da grandeza do ponto de vista espacial, isto é, a variação da grandeza de ponto para ponto num determinado instante de tempo (derivada em ordem ao espaço – derivada advectiva).

Page 2: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial (ou Material)de uma grandeza pontual

A variação temporal de uma grandeza pontual ou seja de uma grandeza “associada” ou “transportada” por

uma partícula fluida em movimentopode ser obtida analisando a

variação total dessa grandeza ao longo da trajectória

Page 3: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r

) - (),,,(),( Escalar ouVector pontualgrandezatzyxftxf =r

)( fdetotalldiferenciadzzfdy

yfdx

xfdt

tfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

kwjviukzjyixdtd

dtxdV ˆˆˆ)ˆˆˆ( ++=++==rr

u v w

zfw

yfv

xfu

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=→

)ˆˆˆ:( kz

jy

ix

recordando∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

fVft

fdtdescreverentãoPodemos )(

: ∇•+

∂∂

=rr

Page 4: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r

) - (),,,(),( Escalar ouVector pontualgrandezatzyxftxf =r

)( fdetotalldiferenciadzzfdy

yfdx

xfdt

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∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

kwjviukzjyixdtd

dtxdV ˆˆˆ)ˆˆˆ( ++=++==rr

u v w

zfw

yfv

xfu

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=→

)ˆˆˆ:( kz

jy

ix

recordando∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

fradgVtf

DtDfescreverentãoPodemos )(

: rr

•+∂∂

=

Page 5: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r

) - (),,,(),( Escalar ouVector pontualgrandezatzyxftxf =r

)( fdetotalldiferenciadzzfdy

yfdx

xfdt

tfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

kwjviukzjyixdtd

dtxdV ˆˆˆ)ˆˆˆ( ++=++==rr

u v w

zfw

yfv

xfu

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=→

)ˆˆˆ:( kz

jy

ix

recordando∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

)( )( )( )(: ∇•+

∂∂

=rr

VtDt

DescreverentãoPodemos

Page 6: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r

) - (),,,(),( Escalar ouVector pontualgrandezatzyxftxf =r

)( fdetotalldiferenciadzzfdy

yfdx

xfdt

tfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

kwjviukzjyixdtd

dtxdV ˆˆˆ)ˆˆˆ( ++=++==rr

u v w

zfw

yfv

xfu

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=→

)ˆˆˆ:( kz

jy

ix

recordando∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

zw

yv

xu

tDtDentãoOu

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

)()()()()(:

Page 7: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial (ou Material)de uma grandeza pontual

A variação temporal de uma grandeza“transportada” ou “associada” a um elemento de fluido em

movimentofoi obtida determinado a

variação dessa grandeza ao longo da trajectória percorrida pelo elemento de fluido (perspectiva lagrangeana) sendo

possível relacioná-la com a prespectiva euleriana

Page 8: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Descrição de Lagrange - Variáveis de Lagrange

O Observador está solidário com o elemento de fluido colhendo a informação sobre as alterações (pressão, velocidade, temperatura, etc.) que o referido elemento de fluido vai sofrendo ao longo do escoamento. (segue o elemento de fluido ao longo da sua trajectória)

As variáveis (x,y,z,t) associadas a este processo de observação dizem-se Variáveis de Lagrange.

Page 9: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Descrição de LAGRANGE – Imagine que a embarcação consegue PERSEGUIR UMA PARTÍCULA DE FLUIDO INDIVIDUALIZADA medindo a sua TEMPERATURADescrição de LAGRANGE – O tripulante OBSERVA a VARIAÇÃO DA TEMPERATURA COM O TEMPO:

DtTempD )(

Page 10: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Descrição de Euler - Variáveis de Euler

O Observador é Exterior ao escoamento de onde colhe a informação sobre as características do escoamento

(pressão, velocidade, temperatura, etc.). (por exemplo tem a visão da distribuição das

velocidades instantâneas do escoamento ou seja conhece as linhas de corrente)

As variáveis (Velocidade ou Temperatura - função da posição e do tempo) associadas a este processo de

observação dizem-se Variáveis de Euler.

Page 11: 8 ATh Derivada Substancial WOC

1) Descrição de EULER – O Observador verifica que a TEMPERATURA varia:

- Ao LONGO DAS SUCESSIVAS POSIÇÕES OCUPADAS PELA EMBARCAÇÃO; - Nessas POSIÇÕES a TEMPERATURA vai VARIANDO com o TEMPO (Ex. basta analisar os registos das diversas embarcações que ao longo do DIA passam nas MESMAS POSIÇÕES)

Page 12: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial da grandeza pontual TEMPERATURA

emp)( )( )(

)(: TVt

TempDtTempDescreverentãoPodemos ∇•+

∂∂

=rr

Perspectiva Euleriana(observar do lado de fora

do escoamento)

Perspectiva Lagrangeana(observar de dentro do escoamento)

Page 13: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

fradgVftDt

DfescreverentãoPodemos )(

:rr

•+∂∂

=

Perspectiva Euleriana(observar do lado de fora

do escoamento)

Perspectiva Lagrangeana(observar de dentro do escoamento)

Page 14: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f (cont.)

(VERIFICAÇÃO)

⇔∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⇔∂∂

+∂∂

+∂∂

•+++∂∂

=

fz

wy

vx

utf

dtdf

fkz

jy

ix

kwjviutf

dtdf

)(

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

fVft

fdtdescreverentãoPodemos )( : ∇•+

∂∂

=r

zfw

yfv

xfu

tf

dtdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Page 15: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual f / EXEMPLO DE APLICAÇÃO

A aceleração de uma partícula em variáveis de Euler relativamente a um sistema inercial de coordenadas rectangulares resulta da aplicação da expressão:

( ) ⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

•++=∇• Vz

wy

vx

uVkz

jy

ix

kwjviuVVrrrr ˆˆˆˆˆˆ)(

( ) ktwj

tvi

tukwjviu

ttV ˆˆˆˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=++∂∂

=∂∂r

VVtV

dtVdaVfdoconsideranfV

tf

dtdf rr

rrrrr

)(,)( ∇•+∂∂

==→=∇•+∂∂

=

( )

kzwwk

ywvk

xwu

jzvwj

yvvj

xvui

zuwi

yuvi

xuukwjviu

zw

yv

xuVV

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)(

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇•rr

kzww

ywv

xwu

twj

zvw

yvv

xvu

tvi

zuw

yuv

xuu

tu

dtVd ˆˆˆ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=r

ax ay az

Cf. Eq. (2.57) NB

Page 16: 8 ATh Derivada Substancial WOC

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 1

:min tedirectamenaplicandodtVdeDeterr

zw

yv

xu

tDtD

dtd

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂==→

)()()()()()(

Page 17: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f

)ˆˆˆ(,)()()()()( kwjviuVzVw

yVv

xVu

tV

DtVD

⋅+⋅+⋅=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=→r

rrrrr

kzwwj

zvwi

zuw

zkwjviuw

zVw

kywvj

yvvi

yuv

ykwjviuv

yVv

kxwuj

xvui

xuu

xkwjviuu

xVu

ktwj

tvi

tu

tkwjviu

tV

ˆˆˆ)ˆˆˆ()(

ˆˆˆ)ˆˆˆ()(

ˆˆˆ)ˆˆˆ()(

ˆˆˆ)ˆˆˆ()(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

⋅+⋅+⋅∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

⋅+⋅+⋅∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

⋅+⋅+⋅∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

⋅+⋅+⋅∂=

∂∂

r

r

r

r

kzww

ywv

xwu

twj

zvw

yvv

xvu

tvi

zuw

yuv

xuu

tu

dtVd ˆˆˆ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=r

ax ay az

Page 18: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Aceleração de uma partícula em variáveis de Euler relativamente a um sistema inercial de coordenadas rectangulares

VVtV

dtVdkajaiaa zyx

rrrr

r)(ˆˆˆ ∇•+

∂∂

==++=

zuw

yuv

xuu

tua x ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zvw

yvv

xvu

tva y ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zww

ywv

xwu

twa z ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Aceleração Local

AceleraçãoAdvectiva

(Convectiva)

Page 19: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Visualização de tipos de escoamentos

Escoamento VARIÁVEL0≠

∂∂

tVr

0≠∂∂

tVr

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 1:

( ) ( ) ( ) ( ) advectiva aceleração existe Não ; 1100 ⇒== tVtVtVtV baba

rrrr

( ) ( ) ( ) ( ) LOCAL ACELERAÇÃO Existe ; 1010 ⇒>> tVtVtVtV bbaarrrr

)( 0tVa

r)( 0tVb

r0t

1t

)( 1tVb

r)( 1tVa

r)( 0tVa

r)( 0tVb

r

0t

0)( =∇• VVerrr

0)( ≠∇• VVerrr

(Escoam. UNIFORME)

(e UNIFORME)

Page 20: 8 ATh Derivada Substancial WOC

)( 0tVa

r)( 0tVb

r

0t

Visualização de tipos de escoamentos

Escoamento VARIÁVEL0≠

∂∂

tVr

0≠∂∂

tVr

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ADVECTIVA ACELERAÇÃO Existe ; 1100 ⇒<< tVtVtVtV baba

rrrr

( ) ( ) ( ) ( ) LOCAL ACELERAÇÃO Existe ; 1010 ⇒>> tVtVtVtV bbaarrrr

)( 0tVa

r)( 0tVb

r

0t

1t

)( 1tVb

r)( 1tVa

r

0)( =∇• VVerrr

0)( ≠∇• VVerrr

(Escoam. NÃO UNIFORME)

(e NÃO UNIFORME)

Page 21: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Visualização de tipos de escoamentos

Escoamento PERMANENTE0=

∂∂

tVr

0=∂∂

tVr

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 1 (Prof. Quintela p.41: Escoamento UNIFORME é um caso particular do esc. PERM.) ? . . .

( ) ( ) advectiva aceleração existe Não C te ⇒== tVtV ba

rr

tea CtV =)(r

( ) local aceleração existe Não ⇒= tea CtVr

Constante Nível

teb CtV =)(r

Constante Nível

( ) local aceleração existe Não ⇒= teb CtVr

1 m3s-1

1 m3s-1

)(0)( UNIFORMEVVe =∇•rrr

0)( ≠∇• VVerrr

(e UNIFORME)

Page 22: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Visualização de tipos de escoamentos

Ex. 2:

( ) ( ) ADVECTIVA ACELERAÇÃO Existe ⇒< tVtV ba

rr

Escoamento PERMANENTE0=

∂∂

tVr

0=∂∂

tVr

Ex. 1:

Ex. 2:

1 m3s-1

1 m3s-1

tea CtV =)(r

teb CtV =)(r

Constante Nível

Constante Nível

( ) local aceleração existe Não ⇒= tea CtVr

( ) local aceleração existe Não ⇒= teb CtVr

0)( =∇• VVerrr

0)( ≠∇• VVerrr

VARIADO (≠VARIÁVEL)

e NÃO UNIFORME

Page 23: 8 ATh Derivada Substancial WOC

1 l/s

1 l/s

Nível constante

TrajectóriaLinha de corrente

Visualização de tipos de escoamentos

Se o escoamento é PERMANENTE ⇒ trajectórias coincidem com linhas de corrente

Se as trajectórias coincidem com linhas de corrente ⇒ escoamento PERMANENTE

Page 24: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Nível variável

Linha de corrente

Se as trajec. não coincidem com as linhas de corrente ⇒ escoamento é VARIÁVEL

t=0t=dtt=2dtt=3dt

TrajectóriaEx.: t=0

Trajectória

Se o escoam. é VARIÁVEL ⇒ as trajec. não coincidem com as linhas de corrente

Page 25: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Caracterize o tipo de escoamento que ocorre no troço SC da conduta de diâmetro constante que liga dois reservatórios de pequenas dimensões e nível constante.

1 m3s-1

1 m3s-1

Constante NívelConstante Nível

S

C

Escoamento PERMANENTE (mas não UNIFORME)

Se o escoamento é UNIFORME ⇒ escoamento RECTILÍNEOSe o escoamento é RECTILÍNEO ⇒ escoamento UNIFORME

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 2

Page 26: 8 ATh Derivada Substancial WOC

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 3. Um líquido escoa-se no interior de um espaço limitado por uma superfície de revolução de

equação Z r2 = A e com fundo horizontal.

O campo de velocidades do escoamento é representado pela equação: V = 1

2 B x î + 1

2 B y ˆ j – B z ̂k

a) Verifique a equação da continuidade; b) Calcule o caudal escoado na secção aa; c) Calcule o caudal escoado na secção bb; d) Defina as linhas de corrente; e) Defina as trajectórias; f) Classifique o tipo de escoamento.

Page 27: 8 ATh Derivada Substancial WOC

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

zuw

yuv

xuu

tua x ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zvw

yvv

xvu

tva y ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zww

ywv

xwu

twa z ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

PERMANENTEEscoamtw

tv

tu .0;0;0 ⇒=

∂∂

=∂∂

=∂∂

kzBjyBixBV ˆ21ˆ

21ˆ

21

−+=r

VARIADOEscoamCONCLUSÃOUNIFORMENÃOEscoamx

BxBzuw

yuv

xuu

.:.0:

,0:,00041 2

⇒≠∀

≠∀≠−+=∂∂

+∂∂

+∂∂

Page 28: 8 ATh Derivada Substancial WOC

Nas próxima aulas iremos alargar o conceito de derivada substancial a Sistemas Materiais introduzindo a noção de Volume e Superfícies de controlo e depois aprender conceitos suplementares de hidrocinemáticaque nos permitirão dar resposta às questões a), b), c) e d) as quais resolveremos nas aulas teóricas especificamente reservadas para o efeito, mais para o final do semestre.