aplicações adicionais da derivada · aplicaÇÕes adicionais da derivada aula 05 – matemática...
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APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA
Aula 05 – Matemática I - Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
•Intuitivamente, sabemos que uma função f(x) é crescente quando a curva de f se inclina para cima e decrescente quando a curva se inclina para baixo.
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8
9
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
PDB/Ano
Gráfico dos gastos
com armamentos dos
países do antigo
bloco soviético como
porcentagem do PDB
durante o período
crucial de 1990 a
1995 que se seguiu
à extinção da União
Soviética.
DEFINIÇÃO
Função Crescente e Função Decrescente: Seja f(x) uma função definida no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 e sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois números no intervalo. Nesse caso,
𝑓(𝑥) é crescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2 > 𝑥1.
𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2 > 𝑥1.
Como se pode ver nas figuras acima, se as inclinações das retas tangentes à curva de uma função f(x) são
todas positivas no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, a inclinação da curva é para cima e f(x) é crescente no intervalo.
Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada f’(x), concluímos que f(x) é crescente nos
intervalos em que 𝑓’(𝑥) > 0. Da mesma forma, f(x) é decrescente nos intervalos em que 𝑓’(𝑥) < 0.
-30
-20
-10
0
10
20
30
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) à adição de fósforo x, em que 0 ≤ 𝑥 ≤ 210 (ppm P),
aproximou-se pela função:
𝑓 𝑥 = −0,00000083𝑥3 + 0,0000678 𝑥2 + 0,061792𝑥+ 6,7287
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e o ponto de inflexão e justifique seu
significado.
USO DA DERIVADA PERA DETERMINAR OS INTERVALOS EM QUE A FUNÇÃO F É CRESCENTE E DECRESCENTE
1º passo: Determine todos os valores de x para os quais 𝑓’(𝑥) = 0 ou 𝑓’(𝑥) não é contínua e assinale estes valores em uma reta de números dividindo, assim, a reta em um certo número de intervalos abertos.
2º passo: Escolha um número de teste c para cada intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 determinado no 1º passo e calcule 𝑓’(𝑐).
Se 𝑓’(𝑐) > 0, a função 𝑓(𝑥) é crescente no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
Se 𝑓’(𝑐) < 0, a função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
EXEMPLO 1
Determine os intervalos em que a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ + 3𝑥² − 12𝑥 − 7 é crescente ou decrescente.
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-10
0
10
20
30
40
50
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Valores Y
EXEMPLO 2
Determine os intervalos em que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥²
𝑥−2 é crescente e decrescente.
𝑓 𝑥 = −0,00000083𝑥 3 + 0,0000678 𝑥 2 + 0,061792𝑥 + 6,7287
0
2
4
6
8
10
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14
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0 50 100 150 200 250
Valores Y
𝑓´ 𝑥 = −0,00000249𝑥2 + 0,0001356𝑥 + 0,061792
𝑓´ 𝑥 = 0
𝑥´ = −132,64 𝑒 𝑥´´ = 187,1
𝑓´ 𝑐 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −132,64 𝑒 − 132,64 < 𝑥 < 187,1 ⇒ 𝑓 𝑥 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑓´ 𝑐 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 187,1 ⇒ 𝑓 𝑥 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
EXERCÍCIOS
Determine os intervalos em que a função dada está aumentando e diminuindo:
A) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
B) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 4
C) 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥4 + 100
0
5
10
15
20
25
30
-4 -2 0 2 4 6 8
f(x)=x²-4x+5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
f´(x)=2x-4
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x³-3x-4
-5
0
5
10
15
20
25
30
-4 -2 0 2 4 6
f´(x)=3x²-3
𝑓 𝑥 = 𝑥 5 − 5𝑥 4 + 100
-175
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-100
-75
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-25
0
25
50
75
100
125
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
-4 -2 0 2 4 6
𝑓´ 𝑥 = 5𝑥 4 − 20𝑥 3
EXEMPLO
A receita obtida com a venda de um tipo de máquina t semanas após o lançamento do produto é dada por:
𝑅 𝑡 =63𝑡−𝑡²
𝑡2+63 0 ≤ 𝑡 ≤ 63
milhões de reais.
Em que instante a receita é máxima?
Qual é esta receita?
Receita máxima?
EXTREMOS RELATIVOS A simplicidade dos gráficos das figuras anteriores pode ser enganadora.
A figura a seguir mostra um gráfico mais geral.
Observe que existem “picos” e “vales”. Mas
só é possível traçar tangentes horizontais em
alguns pontos.
Em x5 temos um “ponto de quebra”, não
existe tangente.
O ponto x1 existe uma tangente horizontal
que não é um pico nem um vale.
EXTREMOS RELATIVOS Como os métodos do cálculo podem ser usados para localizar e identificar os “picos”
e “vales” de uma função?
(o que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver problemas de otimização).
Os “picos” de uma função f são chamados de máximos relativos
de f e os “vales” são chamados de mínimos relativos.
Os máximos e mínimos relativos são conhecidos pelo nome global
de extremos relativos.
EXTREMOS RELATIVOS
Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) possui um máximo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 que contenha o ponto c. Uma função 𝑓(𝑥) possui um mínimo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.
NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS
Como uma função 𝑓(𝑥) é crescente quando 𝑓’(𝑥) > 0 e decrescente quando 𝑓’(𝑥) < 0, os únicos pontos nos quais 𝑓(𝑥) pode possuir um extremo relativo são aqueles em que 𝑓’(𝑥) é nula ou não existe. Estes pontos são tão importantes que recebem um nome especial.
Números Críticos e Pontos Críticos – um número 𝑐 pertencente ao domínio
de 𝑓(𝑥) é chamado de número crítico se 𝑓’(𝑐) = 0 ou se 𝑓’(𝑐) não existe.
O ponto correspondente (𝑐, 𝑓(𝑐)) no gráfico de 𝑓(𝑥) é chamado de ponto
crítico de 𝑓(𝑥). Os extremos relativos podem ocorrer apenas em pontos
críticos. gráficos
Três pontos críticos
(c, f(c)) nos quais
f´(c)=0.
Máximo Relativo
Mínimo Relativo Nem máximo nem mínimo Relativo
Como
fica f´(x)
em cada
caso?
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 2 4 6
Três pontos críticos
(c, f(c)) nos quais
não existe.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5
Máximo
Relativo
Mínimo
Relativo
Nem Máximo
nem Mínimo
Relativo
O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Podemos usar o sinal da derivada para determinar os pontos críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nenhuma coisa nem outra.
Seja um número crítico de 𝑓(𝑥) (isto é, 𝑓´(𝑐) = 0 ou 𝑓´(𝑐) não existe). Neste caso, o ponto crítico 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) é:
Um máximo relativo se 𝑓´(𝑥) >0 à esquerda de c e
𝑓´(𝑥) < 0 à direita de 𝑐.
Um mínimo relativo se 𝑓´(𝑥) < 0 à esquerda de c e
𝑓´(𝑥) > 0 à direita de 𝑐.
Um ponto ordinário se 𝑓´(𝑥) > 0 ou 𝑓´(𝑥) < 0 dos
dois lados de 𝑐.
Representar graficamente.
EXEMPLO
Determine todos os números críticos da função: 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 4𝑥² + 3.
APLICAÇÕES
Depois de determinar os intervalos nos quais a função f(x) é crescente ou decrescente e localizar os extremos relativos, podemos esboçar a curva da função.
Segue uma descrição passo a passo do método para esboçar o gráfico de uma função contínua usando a derivada.
MÉTODO PARA ESBOÇAR UM GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA 𝑓(𝑥) USANDO A DERIVADA 𝑓´(𝑥)
1º passo: Determinar o domínio de 𝑓(𝑥). Construa uma reta de números restrita
apenas aos números do domínio de 𝑓(𝑥).
2º passo: Determine 𝑓´(𝑥) e assinale os números críticos na reta de números obtida
no 1º passo.
3º passo: Para cada número crítico c, calcule o valor de 𝑓(𝑐) e plote o ponto crítico
𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) em um sistema de eixos coordenados, com uma “copa” ∩ em P se P for
um máximo relativo (↗ ↘) ou um “copo” ∪ se P for um mínimo relativo (↘ ↗). Plote
também os pontos correspondentes a interseções com eixos x e y e outros pontos
fáceis de determinar.
4º passo: Desenhe o gráfico de 𝑓 como uma curva suave ligando os pontos críticos
de tal forma que a curva suba nas regiões em que 𝑓´(𝑥) > 0, desça das regiões
em que 𝑓´(𝑥) < 0 e tenha uma tangente horizontal nos pontos em que 𝑓´(𝑥) = 0.
EXEMPLO
Trace a curva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 + 18𝑥² − 8.
Trace a curva da função 𝑔 𝑥 = 3 − 2𝑥 − 𝑥².
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x)=x4 +8x3 + 18x²-8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
g(x) = (3-2x-x²)1/2
EXERCÍCIOS
1) Determine os intervalos em que a função está aumentando e diminuindo:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1
b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3
2) Determine os pontos críticos da função dada e classifique como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário:
a) 𝑓 𝑡 = 10𝑡6 + 24𝑡5 − 15𝑡4 + 3
b) 𝑓 𝑥 = 3 − (𝑥 + 1)3
3) Use os métodos de cálculo para traçar o gráfico da função dada:
A) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2
B) 𝑓 𝑥 = 𝑥3(𝑥 + 5)2
4) O custo para produzir x unidades de uma mercadoria é C(x) milhares de reais, onde 𝐶 𝑥 = 𝑥3 − 20𝑥2 + 179𝑥 + 242.
A) Determine 𝐴´(𝑥), onde 𝐴(𝑥) =𝐶(𝑥)
𝑥 é a função custo médio.
B) Para que valores de x a função A(x) é crescente? Para que valores é decrescente?
C) Para que nível de produção x o custo médio é mínimo? Qual é este custo?
5) Uma empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de um produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde 𝑆 𝑥 = −2𝑥3 + 27𝑥2 + 132𝑥 + 207 0 ≤ 𝑥 ≤ 17.
A) Desenhe a curva de S(x).
B) Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em publicidade?
C) Quanto a empresa deveria investir em publicidade para maximizar as vendas? Qual é o nível máximo de vendas?