Captulo 5APLICAES DA DERIVADA5.1 Variao de FunesDenio 5.1. Seja fuma funo e x0 Dom(f).1. fpossui um ponto de mximo relativo ou de mximo local no ponto x0, se existe um pequenointervalo aberto Ique contem x0 tal que:f(x0) f(x), para todo x I Dom(f)A imagem de x0, f(x0), chamada valor mximo local de f.2. fpossui um ponto de mnimo relativo ou de mnimo local no ponto x0, se existe um pequenointervalo aberto Ique contem x0 tal que:f(x) f(x0), para todo x I Dom(f)A imagem de x0, f(x0), chamada valor mnimo local de f.MaxMinFigura 5.1: Pontos de mnimo e mximo.Em geral, um ponto de mximo ou de mnimo chamado ponto extremo.Exemplo 5.1.[1] Seja f(x)=sen(x),x R;x0=2 um ponto de mximo relativo, pois sen(x) 1 paratodox R ef(2) =1; x0= 2 um ponto de mnimo relativo,poissen(x) 1, para185186 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAtodo x R e f(2)= 1. Observe que x0=32+ k , para todo k Z, so tambm pontosextremos de f. De fato :sen(32+k ) = cos(k ) = (1)k+1.[2] Seja f(x) = x2, x R; x0= 0 um ponto de mnimo relativo, pois x2 0 para todo x R ef(0) = 0. Na verdade x0= 0 o nico ponto extremo de f.[3] Seja f(x) = |x|, x R; x0= 0 um ponto de mnimo relativo, pois |x| 0 para todo x Re f(0) = 0. Como no exemplo anterior, x0= 0 o nico ponto extremo de f.[4] Sejaf(x)=x,x R. fno possui pontos de mximo ou mnimo relativos emR. Se frestrita ao intervalo_1, 1, ento f possui o ponto x0= 1 de mximo relativo. Se f restrita aointervalo [0, 2], ento fpossui o ponto x0= 2 de mximo relativo e o ponto x0= 0 de mnimorelativo. Se f restrita ao intervalo (0, 1), ento f no possui pontos de mximo relativo ou demnimo relativo.Estes exemplos nos indicam a importncia dos domnios das funes quando queremos deter-minar pontos extremos.Proposio 5.1. Se f uma funo derivvel no intervalo (a, b) e x0 (a, b) um extremo relativo def, ento f(x0) = 0.A proposio nos indicaque num ponto de mximoou de mnimo relativode uma funof, a reta tangente ao grco defnesses pontos paralela ao eixo dos x. Para a prova veja oapndice.Figura 5.2:A proposio no garante a existncia de pontos extremos; por exemplo: f(x) =x3 umafuno derivvel emR e f(x)=3x2; logo f(0)=0, mas x0=0 no ponto de mximo nemde mnimo relativo def; de fato,f(1) 0 para todo x < x0 e f(x) < 0 para todo x > x0, ento x0 ponto de mximo de f.f(x )< 0 > 000f(x)=0xf(x)+Figura 5.13: Mximo local.2. Se f(x) < 0 para todo x < x0 e f(x) > 0 para todo x > x0, ento x0 ponto de mnimo de f.5.3. DETERMINAO DE MXIMOS E MNIMOS 195f(x) +> 0f(x )x0f(x) < 00=0Figura 5.14: Mnimo local.Prova: 1. Se f(x)>0 para todo x 01 se x < 0.[2] f(x) = x3. Oponto crtico a soluo da equao f(x0) = 0 ou, equivalentemente, 3 x20= 0;ento, x0=0.Por outro lado, f(x)= 3 x2>0, se x =0; logo, x0=0 no ponto de mximonem de mnimo de f.[3] f(x) = x33 x + 1. As solues da equao f(x0) = 0 so x0= 1 e x0= 1. Do exemplo 2do pargrafo anterior, f(x) > 0, se x (, 1) (1, +) e f(x) < 0, se x (1, 1): +1+1Figura 5.15: EsquematicamenteEnto, x0= 1 ponto de mximo e x0= 1 ponto de mnimo de f.-2 -1 1 2-11Figura 5.16: Grco de f(x) = x33 x + 1.196 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA[4] f(x) = 1 3x2, x R. f no derivvel em 0.De fato, f(x) = 233x se x = 0. Por outro lado, f(x) < 0 se x > 0 e f(x) > 0 se x < 0. Ento,x = 0 ponto de mximo e f(0) = 1 o valor mximo.2 1 1 20.50.51.0Figura 5.17: Grco de f(x) = 1 x2/3.Teorema 5.6. Seja fuma funo duas vezes derivvel e x0 um ponto crtico de f. Se:1. f(x0) > 0, ento x0 um ponto de mnimo relativo de f.2. f(x0) < 0, ento x0 um ponto de mximo relativo de f.Prova: 1. Como f(x0) = 0 e:0 < f(x0) =limxx0f(x)x x0,ento existe>0 tal que:f(x)xx0> 0, para todo x (x0 , x0+ ) (veja o apndice); ento,f(x)>0, sex>x0 ef(x)x. Pelo teorema 5.5, temos quex0 um ponto demnimo local de f.2. A prova anloga.Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de mximos e mnimos so no spontos crticos, mas tambm, podemser os pontos do domnio onde a funo no derivvel.No caso em que o domnio def um intervalo do tipo[a, b], aps determinar os pontos demximo e de mnimo no intervalo (a, b), devemos calcular os valores da funo nos extremosdo intervaloe compararestes valorescom os valoresmximose mnimosobtidos anterior-mente nos pontos crticos; o maior valor corresponder ao mximo absoluto e o menor valorao mnimo absoluto da funo e os pontos correspondentes sero, respectivamente, os pontosde mximo e de mnimo absolutos.No caso em que f(x0)=0, o teorema 5.6 no arma nada; quando acontecer isto, recomen-damos usar o teorema 5.5.Exemplo 5.8.[1]Calculeospontosextremosdef(x) =a x2+b x+c; a,b,c Rea=0. Comofdiferencia vel em todo ponto, calculemos os pontos crticos de f. f(x)=2 a x + b e f(x)=0,se, e somente, se: x = b2a que o ponto crtico de f. f(x) = 2 a; ento,f(x) > 0 se a > 0f(x) < 0 se a < 0.5.3. DETERMINAO DE MXIMOS E MNIMOS 197Logo, o vrtice x = b2a um ponto de mximo absoluto de f se a < 0 e um ponto de mnimoabsoluto se a > 0.[2] Calcule os pontos extremos de f(x) =x64x42+ 2 se x [2, 2].Como f diferencia vel em todo ponto, calculemos os pontos crticos de f:f(x) =x3(3 x24)2.f(x)=0 se, e somente, se: x=0, x= 23ex=23, que so os pontos crticos def. Asegunda derivada:f(x) =3 x22(5 x24) =f_23_ > 0 ef_23_ > 0;logo, x= 23e x=23so pontos de mnimo relativo de f. Como f(0)=0 utilizamos oteorema 5.5: f(x)>0 se 23 0 se x > 0 e f(x)< 0 se x < 0;logo, x0= 0 ponto de inexo de f.202 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA[2] Seja f(x) = x4x2; ento: f(x) = 2 (6 x21).f(x) > 0 se x _, 16__16, +_f(x) < 0 se x _16,16_.Ento x =16e x = 16so os pontos de inexo de f.-1 -0.5 0.5 1Figura 5.27: Grco de f(x) = x4x2.[3] Seja f(x) = sen(2 x) 2 sen(x), < x < ; ento:f(x) = 2_sen(x) 2 sen(2 x)_ = 2 sen(x)_4 cos(x) 1_f(x) > 0 se x _arccos_14_, 0__arccos_14_, _.f(x) < 0 se x _, arccos_14___0, arccos_14__.Ento x = 0, x = arccos(14) e x = arccos(14) so os pontos de inexo de f.3 2 1 1 2 32112Figura 5.28: Grco de f(x) = sen(2 x) 2 sen(x), < x < .5.5 Esboo do Grco de FunesPara obter o esboo do grco de uma funo, siga os seguintes passos:a) Determine o Dom(f).b) Calcule os pontos de interseo do grco com os eixos coordenados.5.5. ESBOO DO GRFICO DE FUNES 203c) Calcule os pontos crticos.d) Determine se existem pontos de mximo e mnimo.e) Estude a concavidade e determine os pontos de inexo.f) Determine se a curva possui assntotas.g) Esboo.Exemplo 5.11.Esboce o grco das seguinte funes:[1] y= f(x) = (x21)3.a) Dom(f) =R.b) Intersees com os eixos coordenados: Se x=0, ento y= 1 e se y=0, ento x= 1; acurva passa pelos pontos (1, 0), (1, 0) e (0, 1).c) Pontos crticos de f: f(x)=6 x(x2 1)2; logo, resolvendo a equao f(x)=0, obtemosx = 0, x = 1 e x = 1, que so os pontos crticos de f.d) Mximos e mnimos relativos de f: f(x) = 6 (x21) (5 x21). Logo, f(0) > 0 e 0 pontode mnimo relativo def. f(1)=0 e o teorema 5.6 no pode ser aplicado;mas, usamos oteorema 5.5 para analisar a mudana do sinal da primeira derivada de f.f(x) < 0 para todo x < 0; ento x = 1 no ponto extremo de f.f(x) > 0 para todo x > 0;ento x = 1 no ponto extremo de f.e)Estudemos a concavidade def: f(x) =6 (x2 1) (5 x2 1) =0 implicaemx= 1 ex = 55.f(x) > 0 se x A = (, 1) (55,55) (1, +).f(x) < 0 se x B= (1, 55) (55, 1).f cncava para cima em A e cncava para baixo em B. As abscissas dos pontos de inexode f so x = 1 e x = 55.f) A curva no possui assntotas.g) Esboo do grco: O grco de fpassa pelos pontos (1, 0), (1, 0) e (0, 1), onde (0, 1) o ponto de mnimo de f.204 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA1 111Figura 5.29: Grco de y= (x21)3.[2] y= f(x) =sen(x)2 +cos(x), x .a) Dom(f) = [, ].b) Intersees com os eixos coordenados: se y= 0, ento sen(x) = 0 o que implica em x = ou x = 0; a curva passa pelos pontos (0, 0), (, 0) e (, 0).c) Pontos crticos de f em (, ): f(x) =2 cos(x) + 1(2 +cos(x))2; logo, resolvendo a equao f(x) = 0,obtemos x = 2 3que so os pontos crticos de f.d) Mximosemnimosrelativosdef em(, ): f(x) =2 sen(x) (cos(x) 1)(2 +cos(x))3. Logo,f(2 3) < 0 e f(2 3) > 0; ento x =2 3 ponto de mximo relativo e x = 2 3 ponto demnimo relativo de f. Por outro lado, f() = f() = 0; logo,2 3 ponto de mximo absolutoe 2 3 ponto de mnimo absoluto de f.e) Estudemos a concavidade de f em (, ):f(x) = 0 implica em sen(x) = 0 ou cos(x) = 1;logo, x0= 0; x = . Ento,f(x) > 0 se x (, 0)f(x) < 0 se x (0, ).f cncava para cima em (, 0) e f cncava para baixo em (0, ); logo, x=0 a abscissado ponto de inexo de f.f) A curva no possui assntotas.g) Esboo do grco:O grco de f passa pelos pontos (0, 0), (, 0), (, 0) (2 3, f(2 3)) = (2 3,33), que o pontode mximo de f; (2 3, f(2 3)) = (2, 33), que o ponto de mnimo de f; (0, 0) o pontode inexo de f.5.5. ESBOO DO GRFICO DE FUNES 2051 2 3 1 2 30.50.5Figura 5.30: Grco de y=sen(x)2+cos(x).[3] y= f(x) =x2+ 1x21.a) Dom(f) =R {1,1}.b) Intersees com os eixos coordenados: sex=0, entoy= 1; logo, a curva passa peloponto (0, 1).c) Pontos crticos de f. f(x) = 4 x(x21)2; logo f(x) = 0 implica em que x = 0, que o pontocrtico de f.d) Mximos e mnimos relativos de f. f(x) =12 x2+ 4(x21)3. f(0) < 0; logo, 0 ponto de mximorelativo de f.e) Concavidade de f. f(x)> 0 se x _ , 1_ ou x _1, _, f(x) < 0 se x _ 1, 1_. f cncava para baixo em (1, 1) e cncava para cima em (, 1) (1, +). 1/ Dom(f);logo, o grco de f no possui pontos de inexo.f) Assntotas. limxx2+ 1x21= 1. Logo, y= 1 uma assntota horizontal da curva.limx1+x2+ 1x21= +, limx1x2+ 1x21= .limx1+x2+ 1x21= , limx1x2+ 1x21= +.Logo, x = 1 e x = 1 so assntotas verticais da curva.g) Esboo do grco:206 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA2 1 1 21Figura 5.31: Grco de y=x2+1x21.[4] y= f(x) =3x2(1 x2).a) Dom(f) =R.b) Intersees com os eixos coordenados: Se x = 0, ento y= 0; logo, a curva passa pelo ponto(0, 0). Se y= 0, ento x = 0 ou x = 1; logo, a curva passa pelos pontos (0, 0), (1, 0) e (1, 0).c) Pontos crticos de f: Se x = 0; ento, f(x) =2 x(1 4 x2)3 (x2)23.A funo f(x) =3x2(1 x2) contnua para todo x R. Mas no existe f(0); logo, no ponto(0, 0) do grco deve existir uma "cspide"como foi observado no grco do valor absoluto. Sex = 0, os pontos crticos de f so x = 12 e x =12.d) Mximos e mnimos relativos de f. Se x =0; ento, f(x) = 2 (20 x2+ 1)9 (x2)23. f(12)0, representa uma famlia de curvas e chamada funodensidade de probabilidade normal padro, que tem um papel relevante em Probabilidade eEstatstica.a) Dom(f) =R.b) A curva passa pelo ponto (0, ea2b).c) Pontos crticos de f: f(x) = 2 (x a)be(xa)2b; logo, x = a o ponto crtico de f.d) Mximos e mnimos relativos de f:f(x) =2be(xa)2b_2(x a)2b1_. f(a)< 0; logo, a ponto de mximo relativo de f.e) As abscissas dos pontos de inexo so: x = a _b2f) Assntotas: limxe(xa)2b= 0. Logo, y= 0 a assntota horizontal da curva.g) Esboo dos grcos para a = 0,b = 1, a = b = 1, a = 2,b = 1 e a = 1,b = 2.Figura 5.33: Grco de y= e(xa)2b.[6] y=1x2+ 2 x +c, (c R), que representa uma famlia de curvas.a) A soluo da equao x2+ 2 x + c= 0 r0= 1 1 c; ento, se c> 1, Dom(f) =R, sec = 1, Dom(f) =R {1} e se c < 1, Dom(f) =R {r0}.b) Se x = 0, ento y=1c, se c = 0. Neste caso, a interseo com o eixo dos y (0,1c).c) Pontos crticos: f(x) = 2 (x + 1)(x2+ 2 x +c)2,f(x) = 0 se x = 1, (c = 1). Neste caso, o ponto crtico (1,1c 1).d) Mximos e mnimos: f(x) =2 (3 x2+ 6 x + 4 c)(x2+ 2 x +c)3e vf(1) = 2(c1)2< 0; logo, x = 1 ponto de mximo relativo se c = 1.e)Resolvendof(x) =0, obtemosx=3 _3 (c 1)3. Sec >1, temos doispontos deinexo.208 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAf) Assntotas.Assntotas horizontais: limx1x2+ 2 x +c= 0; ento, y= 0 assntota horizontal.Assntotas verticais:Se c = 1, limx11x2+ 2 x + 1= e se c < 1, limx11c1x2+ 2 x +c= .x = 1 e x = 11 c so assntotas verticais da curva, para c = 1 e c < 1, respectivamente.g) Esboo dos grcos:4 2 2 42112-3 -2 -1 112345Figura 5.34: Esboo dos grcos para c = 2 e c = 1, respectivamente.3 2 1 0 1 2 30.51Figura 5.35: Esboo para c = 2.[7] y=c x1 +c2x2, (c R), que representa uma famlia de curvas.a) Dom(f) =R.b) Intersees com os eixos coordenados: (0, 0).c) Pontos crticos de f: f(x) = c (c x 1) (c x + 1)(1 +c2x2)2; se c =0, x=1ce x= 1cso os pontoscrticos de f.d) Mximos e Mnimos: f(x) =2 c3x(c2x23)(1 +c2x2)3; f(1c) = c22 ; logo,x=1c ponto de m-ximo relativo de f e f(1c) =c22 ; logo, x = 1c ponto de mnimo relativo de f. (c = 0).e) Pontos de inexo: x = 0, x = 3ce x =3c.f) Assntotas: y= 0 assntota horizontal da curva.g) Esboo dos grcos. Observe que a funo mpar.5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 2093 2 1 1 2 30.40.20.20.43 2 1 1 2 30.40.20.20.4Figura 5.36: Esboo dos grcos para c = 12, c = 1, e c = 2, c = 45.6 Problemas de OtimizaoNesta seo apresentaremos problemas de maximizaoe minimizaoaplicados diversasreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema determinar, de forma precisa, afuno a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expresso de duas variveis, mas usando ascondies adicionais do problema, esta expresso pode ser reescrita como uma funo de umavarivel derivvel e assim poderemos aplicar os teoremas.Exemplo 5.12.[1] Determine dois nmeros reais positivos cuja soma 70 e tal que seu produto seja o maiorpossvel.Considere x,y> 0 tal que x +y= 70; logo, x,y [0, 70]; o produto : P= xy. Esta a funoque devemos maximizar. Como y= 70 x, substituindo em P:P(x) = xy = x(70 x).P:[0, 70] R uma funo derivvel. Derivando: P(x)=70 2 x=2 (35 x); o pontocrtico x=35. Analisando o sinal deP, claro que este ponto ponto de mximo paraPey =35; logo, P =1225 o produto mximo. Os nmeros sox=y =35. Note queP(0) = P(70) = 0.[2] Determine os pontos da curva xy= 1 mais prximos da origem.Seja(x, y) um ponto da curva e considere: d((0, 0), (x, y)) =_x2+y2. Minimizard equi-valente a minimizard2((0, 0), (x, y)) =x2+ y2; mas como(x, y) pertence curva, temos quey= x1; logo, obtemos a seguinte funo:f(x) = x2+1x2.Derivando e igualando a zero:f(x) = 2 x 2x3= 0,obtem-se x = 1. Calculando a segunda derivada de f: f(x) = 2 +6x4, que sempre positiva;logo, x = 1 so pontos de mnimo; os pontos mais prximos da origem so (1, 1) e (1, 1).210 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA1 111Figura 5.37: Exemplo [2].[3] Determine as dimenses do retngulo de maior rea que pode ser inscrito na elipsex2a2+y2b2= 1; a,b > 0.xyFigura 5.38: Exemplo [3].Pelasimetriadagura, estudaremosoproblemanoprimeiroquadranteemultiplicaremoso resultado por quatro. A rea do retngulo 4 xy, masotimizaremos o quadrado de reaA = 16 x2y2; como y2= b2_1 x2a2_, ento:A(x) = 16 b2x2 _1 x2a2_, x > 0.Derivando e igualando a zero:A(x) =32 b2a2_x(a22 x2) = 0,obtem-sex=2 a2. Estudando o sinal da derivada deA temos quex=2 a2 ponto demximo deA ey=2 b2; logo, a rea do maior retngulo que pode ser inscrito na elipse :A = 2 a b. As dimenses do retngulo so 2 x =2 a e 2 y=2 b.[4] Uma lata cilndrica semtampa superior temvolume 5 cm3. Determine as dimenses da lata,de modo que a quantidade de material para sua fabricao seja mnima.5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 211rhFigura 5.39: Exemplo [4].Devemos minimizar a rea. A rea do cilindro e da tampa inferior so: A1= 2 r h e A2= r2,respectivamente, onde r e h so o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:A = A1 +A2= 2 r h + r2.Mas o volume 5; logo, 5=V =r2h e h=5r2; substituindo h na expresso a minimizar,temos:A(r) =10r+r2.Derivando e igualando a zero:A(r) = 10r2+ 2r = 0,obtem-se r =3_5.A(r) =20r3+ 2> 0;r =3_5 o ponto de mnimo e h =3_5. Logo, as dimenses da lata so r = h =3_5 cm.[5] Quadrados iguais so cortados de cada canto de um pedao retangular de cartolina, me-dindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa construda virando oslados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortadospara a produo de uma caixa de volume mximo.x8-2 x15815-2 xxFigura 5.40: Exemplo [5].212 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAA altura da caixa x; a largura 8 2 x e o comprimento 15 2 x, observando que 0 < x < 4.Logo, devemos maximizar:V (x) = x(8 2 x) (15 2 x) = 4 x346 x2+ 120 x.Derivando e igualando a zero:V(x) = 12 x292 x + 120 = (x 6) (12 x 20) = 0,obtemosx =6oux =53. Mas. 6 / (0, 4); ento, x0=53onicopontocrticodeV ;logo, estudando o sinal deV, x0 ponto de mximo. Ento,x0=1.6 cm eV =90.74 cm3.(Verique!).[6] Calcule as dimenses de um cone circular de volume mximo que pode ser inscrito numaesfera de raio a.arhFigura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].Usando o teorema de Pitgoras temos que r2= a2(h a)2= 2 a h h2.O volume V=r2h3; logo,V (h) =h3_2 a h h2_,sendo 0 < h < 2 a. Derivando e igualando a zero:V(h) =4 h3_a 3 h4_ = 0,obtemosh=0ouh=4 a3; h=0nosoluo; ento, h=4 a3oponto demximoer =2 a23.[7] Um tanque cnico de ao, semtampa, tem capacidade de 1000 m3. Determine as dimensesdo tanque que minimiza a quantidade de ao usada na sua fabricao.5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 213rh llhrFigura 5.42: Exemplo [7].A rea do cone : A1=rl =rr2+h2, onde na ltima igualdade usamos o teorema dePitgoras. Poroutrolado, ovolumedotanquede1000 m3; logo, 1000 =V =13 r2heh =3000r2; substituindo h na expresso a minimizar:A1= r_r2+(3000)22r4.Como antes, minimizaremos A = (A1)2. Logo:A(r) = 2r4+k r2,onde k = (3000)2. Derivando e igualando a zero:A(r) = 4 2r32kr3= 0,obtemosr =6_k2 2. Usando oteorema A, temos quer =6_k2 2 oponto de mnimoeh =6_4 k2 . As dimenses do tanque so r= 8.773 m e h= 12.407 m e A1 = 418.8077m2.[8] Um pescador est a2 km de um ponto A de uma praia e deseja alcanar um depsito decombustvel no ponto B, a3 km deA. Sua velocidade na gua de 5 km por hora e na terra de 13 km por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcanado pelo pescador parachegar ao depsito no tempo mnimo .A Bx2yFigura 5.43: Exemplo [8].214 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADANo desenho y=4 +x2. A funo a minimizar :f(x) =4 +x25+3 x13.Derivando e igualando a zero:f(x) = 113+x54 +x2= 0,obtemos x =56 e, calculando a derivada segunda de f:f(x) =45(x2+ 4)32> 0.Logo, f_56_ > 0 e x =56 o ponto procurado.[9] Uma folha de ao de 10 metros de comprimento e 4 metros de largura dobrada ao meiopara fazer um canal em forma de V de 10 metros de comprimento. Determine a distncia entreas margens do canal, para que este tenha capacidade mxima.2 2hw/2Figura 5.44: Exemplo [9].Observemos quew2=2 sen() eh=2 cos(). Ento, podemos escrever a rea do tringulocomo funo de . De fato,A() =wh2= 2 sen(2 ), (0, 2).DerivandodAd= 4 cos(2 ) e igualando a zero, obtemos que cos(2 ) = 0 se =4. Calculandoa derivada segunda:d2Ad2= 8 sen(2 ) < 0; logo, =4 ponto de mximo e:w = 4 sen(4) = 22 metros.[10] Em que ponto da curva y= 1 x2, a reta tangente curva nesse ponto forma no primeiroquadrante um tringulo de rea mnima? Determine a rea.5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 215ACBPFigura 5.45: Exemplo [10].Seja P= (x0, y0) o ponto procurado. A equao da reta tangente curva passando pelo pontoPy y0= 2 x0 (x x0). Comoy0=1 x20, temosy = 2 x0x + x20+1. Sex=0,y= 1 + x20 e se y= 0, x =x20 + 12 x0. O tringulo ABC formado por A = (0, 0), B=_x20 + 12 x0, 0_e C= (0, 1 +x20). A rea :A(x0) =(x20 + 1)24 x0, x0> 0.Derivando e igualando a zero:dAdx0=(3 x201) (x20 + 1)4 x20,obtemos x0=33. Calculando a segunda derivada:d2Adx20=3 x40 + 12 x30;como para todo x0> 0,d2Adx20(x) > 0, x0=33 ponto de mnimo. A rea A_33_ =439.[11] Um fton (raio de luz) parte de um ponto A para um ponto Bsobre um espelho plano,sendo reetido quando passa pelo ponto P. Estabelea condies para que o caminhoAPBseja o mais curto possvel.APBa bx dx Figura 5.46: Exemplo [11].Devemos minimizar o comprimento L do percurso:L(x) =_a2+x2+_b2+ (d x)2.216 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADADerivando,dLdx=xa2+x2 d x_b2+ (d x)2e igualando a zero, obtemos:xa2+x2=d x_b2+ (d x)2,queequivalenteaax=bd x, dondeobtemosque=. Estaacondioparaqueocaminho APB seja o mais curto. De fato, o ponto crtico x =a da +b de mnimo, pois,d2Ldx2 (x) =a2(x2+a2)32+b2((d x)2+b2)32> 0;em particular,d2Ldx2_ada +b_ > 0.[12] A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetria que requer tempo mnimo.Suponha que a luz tenha velocidade de propagao v1 no ar e v2 na gua (v1> v2). Se a luz vaide um ponto Pno ar a um ponto Q na gua, que lei determina este percurso?OPRQxdxbaDFigura 5.47: Exemplo [12].Sejama= |OP|, b= |DQ|,d= |OD|,x= |OR|,=(OPR) e=(RQD). Os temposnecessrios para o raio de luz ir de Pa R e de R a Q so, respectivamente:T1=x2+a2v1e T2=_(d x)2+b2v2.O tempo total de percurso de Pa Q T= T1 +T2. Minimizemos T(x), x [0, d].dTdx=xv1x2+a2 d xv2_(d x)2+b2=sen()v1sen()v2.dTdx= 0 sesen()v1=sen()v2, equao conhecida como lei de Snell. Para vericar que a condi-o:sen()v1=sen()v2corresponde ao percurso de tempo mnimo, mostraremos que T cncava para cima em todoponto.d2Tdx2=a2v2 (b2+ (d x)2)32+b2v1(a2+x2)32v1v2 (a2+x2)32((d x)2+b2)32.5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 217T(x) > 0 para todo x, pois todas as quantidades envolvidas so positivas.[13] Um quadro de altura a est pendurado em uma parede vertical, de modo que sua bordainferior est a uma altura h acima do nvel do olho de um observador.A que distncia da pa-rede deve colocar-se o observador para que sua posio seja a mais vantajosa para contemplaro quadro, isto , para que o ngulo visual seja mximo?Perl do problema:ahFigura 5.48: Exemplo [13].Seja = + . Logo, tg() = tg( ) =tg() tg()1 +tg()tg(). Ento, tg()=a +hxe tg()=hx;logo:tg() =a xx2+a h +h2.Maximizemos a seguinte funo:f(x) =a xx2+a h +h2.Derivando f:f(x) =a (h2+a h x2)(x2+a h +h2)2 .Oponto crticox0=_h(a +h); observe queaeodominador defsopositivos; logo,examinemos o numerador de f.f crescente sex 0, onde5.7. TEOREMA DE LHPITAL 219m=_r2r1_4. Logo, o melhor ngulo para fazer o implante 0=arccos(m). Por exemplo,supondo que r1 3 vezes r2, obtemos m =181 e = arccos_181_.5.7 Teorema de LHpitalComumente, ao estudar limites, aparecem expresses indeterminadas. Por exemplo:limx0xex1,onde a expresso indeterminada do tipo (00). O teorema de LHpital nos indica um mtodopara fazer desaparecer estas indeterminaes e calcular limites de uma forma mais eciente.Teorema 5.7. (LHpital)SejamfegfunesderivveisnumdomnioDquepodeserumintervaloabertoouumareuniodeintervalos abertos, exceto possivelmente num ponto a e g(x) = 0, para todo x = a.1. Selimxaf(x) =limxag(x) = 0 elimxaf(x)g(x)= L, ento:limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= L2. Selimxaf(x) =limxag(x) = elimxaf(x)g(x)= L, ento:limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= LPara a prova do teorema veja o apndice. O teorema tambm vlido para limites laterais epara limites no innito. Se f e g satisfazem s hipteses do teorema elimxaf(x)g(x)= L, ento:limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= L;logo; limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= L.Em geral se f(n)e g(n)satisfazem s hipteses do teorema elimxaf(n)(x)g(n)(x)= L, ento:limxaf(x)g(x)=limxaf(n)(x)g(n)(x)= L.Se a funo da qual estamos calculando o limite n vezes derivvel, podemos derivar suces-sivamente at "eliminar"a indeterminao. Para indicar o tipo de indeterminao, denotamos(00), (), etc.220 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAExemplo 5.13.[1] Calcule limx+x24 x + 4x2x 2. Primeiramente observamos que o limite apresenta uma inde-terminao do tipo (). Aplicando o teorema, derivamos o numerador e o denominador dafuno racional duas vezes; ento:limx+x24 x + 4x2x 2= limx+2 x 42 x 1= limx+22= 1.[2] Calculelimx0ax1x. O limite apresenta uma indeterminao do tipo (00). Aplicando o teo-rema:limx0ax1x=limx0axln(a)1= ln(a).[3] Calculelimx0sen(x)x. O limite apresenta uma indeterminao do tipo (00). Aplicando o teo-rema:limx0sen(x)x=limx0cos(x)1= 1.5.7.1 Outros tipos de indeterminaesO teorema de LHpital nos indica somente como resolver indeterminaes do tipo (00) e ().Outros tipos, como (0 ), 0, , 00e 1, podem ser resolvidos transformando-os nostipos j estudados no teorema.Caso (0 )[1] Calcule limx0+xln(x). O limite uma forma indeterminada do tipo (0 ); ento fazemos:limx0+xln(x) = limx0+ln(x)1x.limx0+ln(x)1x uma forma indeterminada do tipo (). Aplicando o teorema:limx0+xln(x) = limx0+ln(x)1x= limx0+_ln(x)__1x_= limx0+1x1x2= limx0+(x) = 0.[2] Um objeto de massa m deixado cair a partir do repouso. Sua velocidade aps t segundos,tendo em conta a resistncia do ar, dada por:v=mgc(1 ectm), onde g acelerao devida gravidade e c > 0. Calculemos limm+v. O limite uma forma indeterminada do tipo (0 );ento fazemos:limm+v=gclimm+1 ectm1m,que uma forma indeterminada do tipo (00). Aplicando o teorema:5.7. TEOREMA DE LHPITAL 221limm+v =gclimm+1 ectm1m=gclimm+c t ectm= g t.Como exerccio, interprete este limite.Caso ()[1] Calculelimx0_1x2 1x2sec(x)_. O limite uma forma indeterminada do tipo (); entofazemos:limx0_1x2 1x2sec(x)_ =limx0sec(x) 1x2sec(x).limx0sec(x) 1x2sec(x) uma forma indeterminada do tipo (00). Aplicando o teorema:limx0_1x2 1x2sec(x)_ =limx0sec(x) 1x2sec(x)=limx0tg(x)2 x +x2tg(x).Observamos quelimx0tg(x)2 x +x2tg(x) uma forma indeterminada do tipo (00) e novamente apli-camos o teorema ao ltimo limite:limx0tg(x)2 x +x2tg(x)=limx0sec2(x)2 + 2 xtg(x) +x2sec2(x)=12.[2] Calcule limx2_sec(x) tg(x)_. Olimite uma forma indeterminada do tipo (); entofazemos:limx2_sec(x) tg(x)_ = limx2_1cos(x) sen(x)cos(x)_ = limx21 sen(x)cos(x).limx21 sen(x)cos(x) uma forma indeterminada do tipo (00) e novamente aplicamos o teorema:limx21 sen(x)cos(x)= limx2cotg(x) = 0.Caso (1)[1] Calculelimx0_1 +x_cotg(x). O limite uma forma indeterminada do tipo (1); fazendo:u(x) = ln__1 +x_cotg(x)_ = cotg(x) ln(x + 1),temos: limx0u(x) =limx0cotg(x) ln(x + 1). Este limite uma forma indeterminada do tipo (0 );ento, aplicamos o caso A:limx0cotg(x) ln(x + 1) =limx0ln(x + 1)tg(x);limx0ln(x + 1)tg(x) uma forma indeterminada do tipo (00). Aplicando o teorema:limx0ln(x + 1)tg(x)=limx01(1 +x) sec2(x)= 1;222 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAlogo; limx0u(x) =limx0ln__1 +x_cotg(x)_ = 1. Como ln(x) uma funo contnua em seu dom-nio, temos:limx0ln__1 +x_cotg(x)_ = ln_ limx0_1 +x_cotg(x)_ = 1.Da ltima igualdade: limx0_1 +x_cotg(x)= e.[2] Calcule limx+_1 +1x_x. O limite uma forma indeterminada do tipo (1); ento fazemos:u(x) = ln__1 +1x_x_ = xln_1 +1x_;ento, limx+u(x) = limx+xln_1 +1x_. O limite uma forma indeterminada do tipo(0 );ento aplicamos o caso A:limx+xln_1 +1x_ = limx+ln_1 +1x_1x.O limite uma forma indeterminada do tipo (00). Aplicando o teorema:limx+ln_1 +1x_1x= limx+x1 +x.O limite uma forma indeterminada do tipo () e novamente aplicamos o teorema:limx+u(x) = limx+x1 +x= limx+1 = 1.Como ln(x) uma funo contnua em seu domnio, temos:limx+ln__1 +1x_x_ = ln_limx+_1 +1x_x_ = 1.Da ltima igualdade: limx+_1 +1x_x= e.Caso (0)[1] Calcule limx+(x)ex. O limite uma forma indeterminada do tipo (0); fazemos:u(x) = ln_(x)ex_ =ln(x)ex;ento, limx+u(x) = limx+ln(x)ex. O limite uma forma indeterminada do tipo() e nova-mente aplicamos o teorema:limx+u(x) = limx+ln(x)ex= limx+1xex= 0.Como ln(x) uma funo contnua em seu domnio, temos:limx+ln_(x)ex_ = ln_limx+(x)ex_ = 0.5.7. TEOREMA DE LHPITAL 223Da ltima igualdade: limx+(x)ex= 1.[2] Calcule limx0+_1x_tg(x). O limite uma forma indeterminada do tipo (0); fazemos:u(x) = ln__1x_tg(x)_ =ln_1x_cotg(x);ento, limx0+u(x) = limx0+ln_1x_cotg(x). O limite uma forma indeterminada do tipo() e nova-mente aplicamos o teorema:limx0+u(x) = limx0+ln_1x_cotg(x)= limx0+sen2(x)x= 0.Sendo ln(x) uma funo contnua em seu domnio, temos:limx0+ln__1x_tg(x)_ = ln_limx0+_1x_tg(x)_ = 0.Da ltima igualdade: limx0+_1x_tg(x)= e0= 1.Caso (00)[1] Calculelimx0xx. O limite uma forma indeterminada do tipo (00); fazemos:u(x) = ln(xx) = xln(x);ento: limx0u(x) =limx0xln(x). O limite uma forma indeterminada do tipo (0 ) e novamenteaplicamos o teorema:limx0u(x) =limx0ln(x)1x=limx0(x) = 0.Sendo ln(x) uma funo contnua em seu domnio, temos:limx0ln(xx) = ln(limx0xx) = 0.Da ltima igualdade: limx0xx= e0= 1.[2] Calcule limx2_cos(x)_2x. O limite uma forma indeterminada do tipo (00); fazemos:u(x) = ln(_cos(x)_2x);ento: limx2u(x) =limx2_2 x_ln_cos(x)_. O limite uma forma indeterminada do tipo (0 )e novamente aplicamos o teorema:limx2u(x) =limx2_2 x_ln_cos(x)_ =limx2_2 x_2sen(x)cos(x)= 0.Sendo ln(x) uma funo contnua em seu domnio, temos:224 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADAlimx2ln__cos(x)_2x_ = ln_limx2_cos(x)_2x_ = 0.Da ltima igualdade: limx2_cos(x)_2x= e0= 1.Em geral, nos casos de potncias indeterminadas, usamos a funo logartmica y= ln(x) parapoder aplicar o teorema de LHpital. A continuidade da funo logartmica y= ln(x) e de suainversa y= expermite resolver este tipo de limite.5.8 Diferencial de uma FunoA diferencial de uma funo ser introduzida de maneira formal. Ao leitor interessado reco-mendamos abibliograaavanada. Sejay =f(x) uma funodenida numdomnioDediferencivel no ponto x0 D. Denotemos por dx o nmero (no nulo), tal que dx +x0 D.Denio 5.7.1. Para cada x0 D, a diferencial de y=f(x) no ponto x0 denotada por dy ou df(x0) e denidapor dy= f(x0) dx.2. O incremento de y= f(x) em x0 denotado por y e denido por y= f(x0 +dx) f(x0).Para x0 xado, dy uma funo linear sobre o domnio de todos os valores possveis de dx ey uma funo sobre o domnio de todos os valores possveis de dx. Seja dx = x x0, ento:limxx0y dyx x0= 0 Se f(x0) = 0: limxx0ydy= 1. temos que dy uma "boa"aproximao para y:f(x) = f(x0) +f(x0) dx+R(xx0), onde R(xx0) uma funo tal que limxx0R(x x0)x x0= 0.Compare com linearizao.Exemplo 5.14.Seja y= f(x) = x2; dy= 2 xdx; no ponto x0: dy= 2 x0dx e f(x0+dx)f(x0) = 2 x0dx+(dx)2;logo y=2 x0dx + (dx)2. Ento:limxx0y dyx x0=limxx0(x x0) = 0, limxx0ydy=limxx0(1 +x x02x0) = 1.Por outro lado, x2= x20 + 2 x0 dx + R(x x0), entoR(x x0)x x0=x2x202 x0dxx x0= x x0 elimxx0R(x x0)x x0=limxx0(x x0) = 0.PropriedadesSejam y= f(x) e y= g(x) funes denidas num domnio D e diferenciveis no ponto x0 D,ento:1. d(f+g)(x0) = d(f)(x0) +d(g)(x0).2. d(f g)(x0) = g(x0) d(f)(x0) +f(x0) d(g)(x0).5.9. EXERCCIOS 2255.9 Exerccios1. Verique as condies do teorema de Rolle e determine os x0 correspondentes conclusodo teorema:(a) f(x) = x27 x + 10, no intervalo [0, 7](b) f(x) = x24 x, no intervalo [1, 5](c) f(x) = x35 x217 x + 21, no intervalo [3, 7](d) f(x) = sen(x) +cos(x), no intervalo [4, 34]2. Verique as condies do teorema do valor mdio e determine os x0 correspondentes concluso do teorema.(a) f(x) = x32 x2, no intervalo [1, 3](b) f(x) = x48 x2, no intervalo [1, 1](c) f(x) = x25 x + 6, no intervalo [1, 6](d) f(x) = sen(2 x), no intervalo [0, ]3. Calcule os pontos crticos (se existem) de:(a) y= 3x + 4(b) y= x23x + 8(c) y= 2 + 2x x2(d) y= (x 2)(x + 4)(e) y= 3 x3(f) y= x3+ 2x2+ 5x + 3(g) y= x4+ 4x3(h) y= sen(x)(i) y= cos(x)(j) y= sen(x) cos(x)(k) y= exx(l) y=3_(x29)2(m) y=xx24(n) y= |2x 3|(o) y= (4 x23 x 1)7(p) y= xm(a x)n, n,m Z e a > 04. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimentodas seguintes funes:(a) f(x) = 6 x420 x36 x2+ 72 x + 12(b) f(x) = 4 x33 x(c) f(x) = exx(d) f(x) = ln(x2+ 1)(e) f(x) = x2ln(x)(f) f(x) =1x2+ 1(g) y= 2x 1(h) y= 3 5x(i) y= 3x2+ 6x + 7(j) y= x3+ 2x24x + 2(k) y= (x 1)(x 2)(x + 3)(l) y= sen(x) +x2(m) y= 2x(n) y= ex(o) y= xex(p) y=x2x 1226 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA5. Calcule os pontos de mximos e de mnimos relativos (se existem) de:(a) y= 7x26x + 2(b) y= 4x x2(c) y=x33+ 3x27x + 9(d) y=x44+53 x3+ 4x2(e) y=36 x22x(f) y= 5 +5_(x 2)7(g) y= 3 +3_(2x + 3)4(h) y=4 xx2+ 4(i) y=x + 1x2+ 2x + 1 2x(j) y= (x + 2)2(x 1)3(k) y= x216 x(l) y= x4+4 x33+ 3 x2(m) y= x 3 +2x + 1(n) y= x23 x2(o) y= x25 +x(p) y=3x(x + 2)23(q) y= (x + 2) (x 2)3(r) y= 2 x2+2x26. Calcule os pontos de inexo (se existem) e estude a concavidade de:(a) y= x3+ 5 x26 x(b) y= 3 x410 x312 x2+ 10 x + 9(c) y=1x + 4(d) y= 2 xe3x(e) y= x213 x2(f) y=x2+ 9(x 3)2(g) y= ex2(h) y= (x + 4) ex+4(i) y=x + 1x(j) y= x1 x2(k) y= sen( x)(l) y= ln(x22 x + 2)(m) y= cos( x)(n) y= ex217. Esboce os grcos de:(a) y= x2+ 4x + 2(b) y= x4x32x2(c) y=3x + 1(x + 2)(x 3)(d) y= ln(x2+ 1)(e) y=4x + 2(f) y=x2x 3(g) y= 2x x(h) y= x33x2(i) y= x +1x(j) y=1x2 1x(k) y= x5x3(l) y= x6x4.(m) y=x + 1x2+ 2 x(n) y= (x + 1) (x 3)23(o) y=1x3+ 1(p) y=x2+ 2x2x 2(q) y=(x + 1)2(x 1) (x + 2)2(r) y=x24 x 5x 5(s) y= (x21)2(t) y= 2 xln2(x)(u) y=x(x 1)x24(v) y=x2ex2(w) y= (x4x2) ln(x)(x) y=3x23x4(y) y=3_(x 1)25.9. EXERCCIOS 2278. Determine o valor de k tal que a funo y= x3+kx2+x+1 admita um ponto de inexoem x = 1.9. Seja y= ax3+bx2+cx +d;a,b,c,d R e a = 0.(a) Determine o nico ponto de inexo de y.(b) Verique que y tem um ponto de mximo e um ponto de mnimo se b23ac > 0.10. Seja y= xm(1 xn), onde m,n so nmeros naturais. Verique:(a) Se m par, y tem um ponto de mnimo em x = 0.(b) Se n par, y tem um ponto de mnimo em x = 1.11. Esboce o grco da famlia de curvas y= x4+x3+c x2, c R.Problemas de Otimizao1. Determine areado retngulomximo, combasenoeixo dosxe vrticessuperioressobre a parbola y= 12 x2.2. Com uma quantidadeA de material dada deve-se construir um depsito de base qua-drada e paredes verticais. Determine as dimenses que do o volume mximo.3. Uma reta passando por (1, 2) corta o eixo dos x emA = (a, 0) e o eixo dos y emB= (0, b).Determine o tringulo AOB de rea mnima para a e b positivos.4. Um cartaz deve conter 50 cm2de matria impressa com duas margens de 4 cm cada, naparte superior e na parte inferior e duas margens laterais de2 cm cada. Determine asdimenses externas do cartaz de modo que sua rea total seja mnima.5. Faz-se girar um tringulo retngulo de hipotenusah em torno de um de seus catetos,gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume mximo.6. Determine o ponto da curva y2= 2(1 x) situado a menor distncia da origem.7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera deraio r.8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular,com volume igual a125m3. Deter-mine os valores do raio r e da profundidade h (altura), de modo que a piscina possa serconstruida com a menor quantidade de material possvel.9. Determineaalturadomaiorconequepodesergeradopelarotaodeumtringuloretngulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos catetos.10. Determine o ponto do eixo dos x cuja soma das distncias a (4, 5) e (2, 3) mnima.11. Entre todos os retngulos de rea dada a, qual o que tem menor permetro?228 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA12. Determine os catetos de um tringulo retngulo de rea mxima sabendo que sua hipo-tenusa h.13. Uma janela tem formato retangular com um semi-crculo no topo. Determine as dimen-ses da janela de rea mxima, se o permetro de 12 metros.14. Determine a rea do maior retngulo com lados paralelos aos eixos coordenados e quepode ser inscrito na regio limitada pelas curvas y=1 x2e y= 0.15. Para fazer umcilindro circular reto de umretngulo de folha de ao colam-se duas bordasparalelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento l aolongo da diagonal do retngulo. Ache a tangente do ngulo formado pela diagonal e olado no colado, de tal modo que o cilindro tenha volume mximo.16. Umslidoconstruido, colandoumcilindrocircularretodealturaheraioraumasemi-esfera de raio r. Se a rea do slido 5 , determine r e h para que o volume sejamximo.17. Suponha que a resistncia de uma viga retangular dada pela frmula: R=l h2, onde le h so, respectivamente, a largura e a altura da seo da viga. Determine as dimensesda viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de rvore cilndrico de raio a.18. Uma janela tem forma de um retngulo, tendo acima um tringulo equiltero. Sabendoque o permetro da janela igual a 4 metros, determine as dimenses do retngulo queproporciona a rea mxima para a janela.19. A diferena de dois nmero 20. Determine os nmeros de modo que o produto seja omenor possvel.20. A soma de duas vezes um nmeros e cinco vezes um segundo nmero 70. Determineos nmeros de modo que o produto seja o maior possvel.21. Determine as dimenses do retngulo de maior permetro que pode ser inscrito na elipsecentradax2a2+y2b2= 1; a,b = 0.22. Suponha que numa experincia realizada foram coletados os seguintes pares de dados:(x1, y1),(x2, y2), ..................., (xn1, yn1),(xn, yn), tais que osxino so todos iguais.A teoria subjacente experincia sugere que os dados devem estar ao longo de uma retay= mx. Devido a erros experimentais, os pontos no so colineares. Oproblema consisteem determinar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar mde modo que a soma dos desvios verticais seja mnima. O ponto sobre a reta y= mx queest mais prximo (distncia vertical) dos pontos dados tem coordenadas (xi, mxi); logoo quadrado da distncia vertical a estes pontos : Ei= (mxiyi)2, 1 i n.(a) Minimize a funo:f(m) = E1 +E2 +........ +En=n

i=1(mxiyi)2.(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (0, 0), (1, 2), (3, 1) e (4, 3).5.9. EXERCCIOS 22923. Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em guas profundas, dada por:v = M_LB+BL,ondeMeBso constantes positivas, qual o comprimento da onda que minimizaavelocidade?24. A taxa aerbica de uma pessoa com x anos de idade dada por:A(x) =110 (ln(x) 2)x,sendo x 11. Em que idade a pessoa tem capacidade aerbica mxima?25. Com um o de comprimento 2 a constroi-se um arco de crculo de modo que a rea dosegmento circular que determina seja mxima. Qual o raio?26. Se uma droga injetada na corrente sangunea, sua concentrao t minutos depois dadapor C(t) = k (e2te3t), onde k uma constante positiva.(a) Em que instante ocorre a concentrao mxima?(b) Que se pode dizer sobre a concentrao aps um longo perodo de tempo?27. Determine o maior comprimento que deve ter uma escada para passar de um corredorde 5 metros de largura a outro, perpendicular, de 8 metros de largura?28. Usando LHpital, calcule os seguintes limites:(a) limx1x21x2+ 4x + 3(b) limx+x26x + 7x3+ 7x 1(c) limx+ln(x)e3x(d) limx0+sen(x) ln(x)(e) limx0+(1 cos(x)) ln(x)(f) limx+(x2+ 1)1x(g) limx0+xe1x(h) limx0(1 cos(x))x(i) limx+x2e4x(j) limx0+xtg(x2)(k) limx1ln(x) ln(x 1)(l) limx0+xsen(x)(m) limx0+x22+ln(x)(n) limx0+(sen(x))tg(x)(o) limx0(ex+x)1x(p) limx0(cosec(x) 1x)(q) limx+senh(x)x(r) limx+xln(x)x +ln(x)(s) limx0(1 +senh(x))2x(t) limx0(ex22cos(x))4x4(u) limx+((x6+ 3x5+ 4)16 x)(v) limx+ln(ln(x))ln(x +ln(x))(w) limx0sen(2 x) tg(x)3 x230 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA(x) limx+x 2 x2x2(y) limx0(cotg2(x) 1x2)(z) limx+ln(ln(x))ln(x2+ln(x))