derivada e monotonia
TRANSCRIPT
Derivada e MonotoniaQ
ual a
rela
ção
que
exist
e en
tre
a de
rivad
a de
um
a fu
nção
e a
sua
mon
oton
ia?
Podemos representar no gráfico rectas tangentes com…Declive
positivo
Declive negativo
Declive zero
Se f é crescente
não é possível desenhar uma recta tangente ao gráfico
com declive negativo
não é possível desenhar uma recta tangente ao gráfico
com declive positivo
Se f é decrescente
porque não há nenhum ponto do
seu domínio onde a derivada seja
negativa.
porque não há nenhum ponto do
seu domínio onde a derivada seja
positiva.
?Sinal da Derivada
Monotonia da função
3( )f x x x
2'( ) 3 1f x x
'( )f x
( )f x
'( ) 0f x 23 1 0x
23 1x 13x
1 3 1 3
1 3 1 3
+ +-0 0máx mín
Sinal de f'
Monotonia de f
4 2( ) 2g x x x
3'( ) 4 4g x x x
'( )g x
( )g x
1 10
0 0 0+- - +Sinal de g'
Monotonia de g mín máx mín
'( )f x
( )f x
0,58 0,58
+ +-0 0máx mín
Sinal de f'
Monotonia de f
'( )g x
( )g x
1 10
0 0 0+- - +Sinal de g'
Monotonia de g mín máx mín
?Sinal da Derivada
Monotonia da função
Se uma função tem derivada positiva em todos os pontos de um intervalo , então é estritamente crescente nesse intervalo.
Sinal da Derivada
Derivada não negativa (≥0)
Monotonia da função
A função é crescente, no sentido lato
Se uma função tem derivada positiva em todos os pontos de um intervalo , então é estritamente crescente nesse intervalo.
Se uma função tem derivada positiva ou nula em todos os pontos de um intervalo , então é crescente, em sentido lato nesse intervalo.
Generalizando
Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, então é constante nesse intervalo.
Sinal da Derivada
Monotonia da função
f
Der
ivad
a
nega
tiva
Derivada
negativa
Deriv
ada posi
tiva
Derivada
nula
Deriva
da
positiv
a
Derivada
é zero
Não existe deriva
da
Derivada
é zero
Derivada e ExtremosQ
ual a
rela
ção
que
exist
e en
tre
a de
rivad
a de
um
a fu
nção
e o
s seu
s ext
rem
os?
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4x
Se a derivada se anula num ponto, passando de positiva para
negativa, há nesse ponto um máximo relativo.
(A função cresce à esquerda e decresce à direita desse ponto.)
f
40,fD x
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4xSe não há derivada num ponto e, o sinal das derivadas laterais
passa de positivo para negativo, temos também um
máximo relativo.
f
40,fD x
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4x
Se no menor valor do domínio, a derivada à direita for negativa, está associado a esse objecto um máximo
relativo.
(A função decresce à direita desse valor)
Se no maior valor do domínio, a derivada à esquerda for positiva, está associado a esse objecto um máximo
relativo.
(A função cresce à esquerda desse valor)
f
40,fD x
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4xSe a derivada se anula num ponto, passando de negativa para positiva, há nesse ponto
um mínimo relativo. (A função decresce à esquerda e
cresce à direita desse ponto.)
f
40,fD x
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4x
Se no maior valor do domínio, a derivada à esquerda for negativa, está
associado a esse objecto um mínimo relativo.
(A função decresce à esquerda desse valor)
Se no menor valor do domínio, a derivada à direita for positiva, está associado a esse objecto um mínimo
relativo.(A função cresce à direita desse valor)
f
40,fD x
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
00x
1x 2x 3x 4x
Se não há derivada num ponto e, o sinal das derivadas laterais passa de negativo para positivo, temos também um mínimo relativo.
f
40,fD x
00x
1x 2x 3x 4x
Nota
Num intervalo ]a,b[ os extremos de f só podem ser:
os zeros da função derivada, desde que haja mudança do sinal da derivada.
os pontos onde não há derivada, desde que as derivadas laterais tenham sinais diferentes.
f
40,fD x
00x
1x 2x 3x 4x
Nota
Num intervalo [a,b] os extremos de f só podem ser:
Os que existem em ]a,b[.
f(a) e/ou f(b), se estiverem nas condições já analisadas.
f
40,fD x