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DERIVADA Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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DERIVADAAula 04 – Matemática I – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

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“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph”.

Como pode ser provada tal afirmação?

Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado – não ajudará em nada.

Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento!

É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.

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• Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.

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A Derivada

• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.

• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.

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Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais

Aplicações

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Na Física• Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade

instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade.

• A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração.

• A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.

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Na Química

• Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química.

• A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.

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Na Biologia

• Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.

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Na Economia

• Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).

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Outras Ciências

• Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.

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Engenheiro

• Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório.

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Agrônomo

• Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio.

• Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.

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Geógrafo urbano

• Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.

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Meteorologista

• Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.

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Psicologia

• Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento.

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Sociologia• O cálculo diferencial é usado na

análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões).

• Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.

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Um experimento mental

• Observemos o valor da velocidade de um pequeno objeto (uma laranja) lançada no ar verticalmente para cima no instante t = 1 s. A laranja deixa a mão do lançador com uma velocidade alta, vai se tornando cada vez mais lenta até atingir sua altura máxima, depois aumenta o valor de sua velocidade à medida que desce e, por fim, “Spletch!”.

Velo

cida

de

posi

tiva

Velocidade

negativa

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• Suponha que queríamos determinar o valor da velocidade em t = 1 segundo, por exemplo. A tabela a seguir apresenta a altura y, da laranja acima do nível do solo como uma função do tempo. Durante o primeiro segundo, a laranja percorreu 90 – 6 = 84 pés, e durante o segundo seguinte ela percorreu apenas 142 – 90 = 52 pés então, a laranja deslocou-se mais rapidamente no primeiro intervalo, , do que no segundo .t(s) 0 1 2 3 4 5 6

y (pés) 6 90 142 162 150 106 30

Tabela – Altura da laranja acima do solo

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Velocidade x Velocidade Escalar• Suponhamos que um objeto se mova ao longo de uma reta.

• Convencionamos um sentido como sendo o sentido positivo e dizemos que a velocidade é positiva se estiver nesse mesmo sentido e negativa se estiver no sentido contrário.

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• No caso da laranja, para cima é positivo e para baio é negativo. • Velocidade escalar a magnitude da velocidade é sempre maior

ou igual a zero.

Se s(t) for a posição de um objeto em algum instante t, então a velocidade média do objeto no intervalo é

Velocidade média = Em palavras, a velocidade média de um objeto em um

intervalo de tempo é o quociente entre a variação líquida na posição durante o intervalo e a variação no tempo.

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Exemplo

1) Calcule a velocidade média da laranja no intervalo . Qual o significado do sinal da sua resposta?

Durante este intervalo, a laranja move-se por (106-150) = - 44 pés. Então, a velocidade média é – 44 pés/s. O sinal negativo significa que a

altura está decrescendo e, portanto, a laranja está se movendo para baixo.

1 pé = 0,3048 m

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Velocidade média

• A velocidade média é um conceito útil porque nos dá uma ideia aproximada do comportamento da laranja.

• Mas a velocidade média em um intervalo de tempo não resolve o problema de medir a velocidade da laranja exatamente no instante t = 1 segundo. Para chegar mais perto de uma resposta para essa pergunta, precisamos ver mais detalhadamente o que acontece perto de t = 1.

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A Derivada

• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.

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• Tem-se a produção de milho por hectare como função da quantidade de nitrogênio cujos resultados são apresentados na tabela a seguir:

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x)

1451

1651,8

1816,6

1945,4

2038,2 2095,4 2115,8

2100,6

2049,4

Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?

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0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

500

1000

1500

2000

2500

Valores Y

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Derivada

• Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4).

• Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação:

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• Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4).

• Logo a equação da reta , para qualquer a partir de x = 20, será:

• Com essa função podemos calcular o f(22).

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0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

500

1000

1500

2000

2500

3000

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• Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor x 0 5 10 15 20 25 30 35 40

f(x)

1451

1555,9

1651,8

1738,7

1816,6

1885,5

1945,4

1996,3

2038,2

Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).

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• Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que , mais precisa será a estimativa para x = 22.

• Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como

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lim∆ 𝑥→0

𝑓 (20+∆ 𝑥 )− 𝑓 (20)∆ 𝑥

Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+; f(20+ ) estarão muito

próximos pelo limite.

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Derivada - Definição• A expressão:

é chamada de quociente da diferença da função f(x).• Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados

calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado.

• Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.

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Derivada de uma Função

• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f’(x) dada por:

• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.

• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f’(c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f’(x) existe no ponto x = c.

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Exemplo

• Determine a derivada da função .

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Taxa de Variação instantânea como uma Derivada• A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f’(c).

• A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática:

• Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f’(22).

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Significado do sinal da Derivada f’(x)

Se a função f é derivável em x

= c,

f é crescente em x = c

f’(x) > 0

f é decrescente em x = c

f’(x) < 0

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Exemplo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(x) = 4,9x²

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Notação de Derivada• A derivada f’(x) da função y = f(x) muitas vezes é

escrita na forma dê y sobre dê x) ou (dê f sobre dê x).• Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f’(c)]

é escrito na forma: ou

• Assim, por exemplo, se y = x², temos:

E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por:

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Inclinação como uma derivada

• A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c,f(c)] é dada por

• Usamos:

ou

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Exemplo

• Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1.

• Qual a equação da reta tangente neste ponto?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20f(x)=x³

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Exercícios:

1) Calcule a derivada da função e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x = 2.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

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Descansando a mente• Retire três palitos e obtenha apenas três

quadrados.

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Técnicas de Derivação

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Regra da ConstantePara qualquer constante c,

Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula.

𝑓 (𝑥 )=𝑐→ 𝑓 ′ (𝑥 )=0Esta regra é comprovada pela regra da potência.

𝑓 (𝑥 )=15→ 𝑓 ′ (𝑥 )=0

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Regra da PotênciaPara qualquer número real n,

Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente.

𝑓 (𝑥 )=𝑥𝑛→ 𝑓 ′ (𝑥 )=𝑛 .𝑥𝑛−1

𝑓 (𝑥 )=2𝑥3 ; 𝑓 (𝑥 )= 1𝑥2; 𝑓 (𝑥 )=𝑥7

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Regra da multiplicação por uma constanteSe c é uma constante e f(x) é uma função derivável, também é uma função derivável e

A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada.

𝑔 (𝑥 )=𝑐𝑓 (𝑥 )→𝑔 ′ (𝑥 )=𝑐𝑓 ′(𝑥 )

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥4 ; 𝑓 (𝑥 )= 7√𝑥

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Regra da somaSe f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma também é uma função derivável e ou seja:

A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.

Se f’(x) e g’(x) existem, então:

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Calcule a derivada das funções:

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Problemas

• Estima-se que daqui a x meses a população de um município será .

a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses?

b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?

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• O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995.

a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005?b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?

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• Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por .

a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4.

b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4.

c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.