O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

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Autor: Tânia Borreiro Sanches

Orientador: Profª Drª Márcia Cristina De Costa Trindade Cyrino

NRE: Londrina

Disciplina: Matemática ( ) Ensino Fundamental ( X ) Ensino Médio

Disciplina da relação interdisciplinar 1: Arte

Disciplina da relação interdisciplinar 2: Geografia

Conteúdo estruturante: Números e Álgebra

Conteúdo específico: Noções de números Complexos

1. PROBLEMA

O QUE SÃO ESTAS FIGURAS: OBRAS DE ARTE ou MATEMÁTICA?

Disponível em: <www.insite. com.br/Rodrigo/misc/fractal/>. Acessado em: 13 nov 2007

Estas figuras fizeram parte da exposição “Janelas para o Infinito”, do Grupo

Fractarte. Elas representam fractais: estudo desenvolvido por Bernoit Mandelbrot

em 1975. Fractais vem do latim fractus que significa irregular. Mandelbrot

ingressou na IBM em 1958, onde trabalhou com problemas aparentemente

desconexos. Estes problemas envolviam freqüências de palavras em lingüística,

irrupções de erros na transmissão de mensagens, turbulência, aglomerados de

galáxias, flutuações da bolsa de valores, o nível do rio Nilo. Ele percebeu que

todos os seus trabalhos estavam inter-relacionados: tratavam da estrutura

geométrica de fenômenos irregulares e assim nasceu uma nova geometria: a

geometria-fractal.

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2.O QUE CARACTERIZA ESSA NOVA GEOMETRIA?

Para caracterizar um fractal uma figura deve ser auto-semelhante, ser fruto

de um processo iterativo e possuir dimensão fracionária. A seguir discutimos cada

uma destas características.

2.1. Auto-semelhança

Suas partes devem ser semelhantes entre si e representar o todo. Por

exemplo: o brócolis, a couve-flor e a araucária, são aproximações de fractais

(fractal natural).

2.2 Processo Iterativo

Um processo iterativo significa repetir um processo ou uma fórmula

inúmeras vezes, ou seja, é a aplicação sucessiva de uma regra. O fractal a seguir

é chamado Tapete de Sierpinski. É construído à partir da divisão de um quadrado

em nove pequenos quadrados iguais, eliminando-se o quadrado central. Este

processo se repete infinitamente com os novos quadrados.

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Podemos também fazer iterações de funções. Por exemplo, utilizando uma

calculadora, insira o valor 0,5 e a seguir a tecla x². Se não existir essa tecla, use

as teclas “x” e “=”. O resultado é o valor elevado ao quadrado. Faça o processo

repetidamente. No visor da calculadora aparecerão os números:

0,5: 0,25; 0,0625: 0,00390625;....

Essa seqüência é chamada de iterações da função f(x)=x², para o 5,0x0 (inicial)

ATIVIDADE 1:

Complete a tabela a seguir. Faça as iterações das funções para o 0x

indicado.

f(x)0x seqüência

2)( xxf 1

1)( 2 xxf -12)( xxf +1 -2

25)( xxxf 5

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2.3 DIMENSÃO FRACIONÁRIA

Considerando a Geometria Euclidiana, o espaço em que vivemos tem

dimensão 3; as figuras planas, como por exemplo o quadrado, têm dimensão 2; a

reta tem dimensão 1; e um ponto possui dimensão zero. Na Geometria Fractal as

dimensões não são inteiras, alguns exemplos podem ser encontrados na

natureza, tais como: nossos vasos sanguíneos, as nuvens, os raios no céu, as

árvores e etc.

Veremos agora como são calculadas algumas dimensões:

a) Considere um segmento de reta. Divida esse segmento em 5 partes

iguais, que chamaremos de fator de aumento (m=5). Teremos então cinco novos

segmentos de retas que chamaremos de peças (n=5).

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b) Considere agora um quadrado. Divida o lado desse quadrado em 3

partes iguais (fator aumento m=3). Teremos agora nove quadrados, ou seja, 9

peças (n=9).

c) Considere um cubo de aresta igual a duas unidades. Divida cada lado em

2 partes iguais (fator aumento m=2). Teremos agora oito cubos de aresta igual a

uma unidade (n=8 peças).

Em resumo, teremos que:

- Na reta, o número de peças é igual ao fator de aumento (n=m=5). Logo, n=m¹.

- No quadrado, o número de peças é igual ao quadrado do fator aumento

(n=3²=9). Logo, n=m².

- No cubo, o número de peças é igual ao cubo do fator aumento (n=2³=8). Logo,

n=m³.

Percebemos que o expoente do fator aumento é sempre igual a dimensão

do objeto estudado. Generalizando, teremos:

Dmn , onde: n é o número de peças

m é o fator aumento

D é a dimensão

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d) Vamos agora calcular a dimensão de um fractal: o Triângulo de

Sierpinski. Cada triângulo de um nível deve ser dividido 3 triângulos congruentes,

removendo-se o triângulo central, constituindo-se assim o nível seguinte.

Nível 1 Nível 2

Nível 3 Nível 4

Observando a passagem da primeira para a segunda iteração percebemos

que o número de peças é 3, então n=3, e que o fator aumento de cada lado é 2,

então m=2.

Podemos observar que o número de peças e o fator aumento, variáveis

entre as iterações, não interferem no resultado da dimensão.

Desse modo, teremos que a dimensão do Triângulo de Sierpinski pode ser

obtida por meio do procedimento a seguir.

Como Dmn , então D23 . Obtemos uma equação exponencial, com

bases diferentes. Para resolvê-la, utilizamos logaritmo:

D2log3log 3log2log. D 2log

3logD

30103,0

47712,0D

585,1D

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A Dimensão do Triângulo de Sierpinski é 1,585. Logo, este valor é maior

que o inteiro 1 e menor que o inteiro 2, portanto a dimensão é fracionária. O

triângulo é uma superfície entre a reta de dimensão um, e o plano de dimensão 2.

Ou seja não é uma reta e tampouco um plano, trata-se de um objeto fractal.

Podemos construir uma fórmula para o cálculo da dimensão de um objeto

fractal. Generalizando o processo realizado no exemplo anterior teremos:

m

nD

log

log , onde n é o número de peças e

m é o fator aumento

ATIVIDADE 2:

Agora é a sua vez. Calcule as dimensões dos fractais a seguir.

a) Na Curva de Koch, cada pedaço da linha foi dividido em 4(n) pedaços

menores de mesma medida, cada um sendo 3(m) vezes menor que o

tamanho original, conforme figura a seguir.

b) Na Poeira de Cantor, cada segmento de reta é dividido em 3 partes iguais,

e o segmento central é eliminado, e assim sucessivamente, para os outros

níveis.

c) Construa você mesmo diferentes fractais e calcule as suas dimensões.

Sugestão: use como figura geradora polígonos regulares.

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Essa nova área das ciências matemáticas vem tendo uma enorme

aplicação. Por exemplo:

Para os biólogos na compreensão do crescimento das plantas;

Para os físicos, no estudo de superfícies intrincadas;

Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo.

No cinema para construir a geografia e a paisagem de planetas

imaginários, como, por exemplo, em Jornada nas estrelas II: a ira de Khan, na

paisagem do planeta Gênesis e, em O retorno de Jedi, para criar a geografia das

luas de Endor e os contornos da Estrela da Morte.

E na nossa geografia, será que temos algum fractal? Os fractais podem

ser usados na compreensão tanto da topologia da terra, quando dos contornos

dos litorais.

ATIVIDADE 3:

a) Construa em cartolina 3 réguas de diferentes unidades

(descritas na tabela) .

b) Meça o comprimento do litoral brasileiro.

c) Registre as medidas obtidas e o tempo gasto para medir o

contorno do litoral na tabela.

d) Descreva o que foi concluído.

e) Pesquise, em pelo menos 3 fontes diferentes, o comprimento

do litoral brasileiro.

f) Compare os resultados.

Unidade de medida Tempo Distância

5 cm

3 cm

1 cm

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3. COMO FORAM CONSTRUÍDAS AS IMAGENS DO GRUPO FRACTARTE?

Para essa resposta, necessitamos dos Números Complexos. Você sabe o

que é um Número Complexo?

No decorrer da história da humanidade o homem constituiu diferentes

conjuntos numéricos para representar quantidades e medidas (Números Naturais,

Números Inteiros, Números Racionais, Números Irracionais, Números Reais).

Mesmo com todos esses números, havia um problema que ainda estava

sem solução, como por exemplo, a equação do 2º grau:

012 x

12 x

x ± 1

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Que número que elevado ao quadrado resulta em -1? Sabemos que no

campo dos números reais esse número não existe. Para solucionar essa questão

estabeleceu-se que a raiz quadrada de -1 é um número imaginário “ i”.

Então a solução da equação anterior passa a ser S={ -i; i }.

Pode parecer sem sentido para muitos, mas graças a essa convenção

permitiu-se o avanço em várias questões que estavam paradas neste problema,

um ramo muito beneficiado foi o nosso estudo das figuras fractais.

Um número complexo pode ser escrito na sua forma algébrica como

z = a + bi, sendo (a) a parte real do número e (b) a parte imaginária.

Graficamente eles são representados no plano de Argand-Gauss.

Vamos conferir como ficam alguns números neste plano?

O eixo x representa a parte real e o eixo y a parte imaginária do número

Complexo.

Representação dos números complexos: a = 3 b = - 2i

u = 2 + i v = -3 + 2i

w = -4 – 2i z = 2 – 2i

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As imagens do grupo FRACTARTE são representações gráficas das

iterações de algumas funções matemáticas no campo dos números complexos. A

primeira imagem foi descoberta pelo pai dos fractais, Bernoit Mandelbrot, por meio

da função czz 2 , onde z é um número complexo e c o ponto do plano que

vamos analisar dentro de um conjunto de pontos pré definidos, sendo o valor

inicial de z=0 (zero), ou seja z = 0 + 0i.

Após um certo número de iterações, se o número complexo c não tender

para o infinito ele será um ponto do conjunto de Manldelbrot. Determina-se a cor

que cada ponto será pintado, conforme a distância do centro do plano de Argand-

Gauss define-se a cor de cada ponto, que com certeza é um truque que torna os

fractais mais bonitos. A medida que os pontos caem fora do fractal de Mandelbrot

podemos escolher outras cores,

O número de iterações depende da ferramenta que você possuir para o

trabalho. Com uma calculadora científica você consegue uma aproximação com

até 30 iterações. Com o uso do computador podemos calcular muito mais. Veja

este conjunto de Mandelbrot calculado pelo computador:

Uma reportagem na revista Super Interessante mostrou as imagens feitas

pelo Grupo Fractarte, que realizou exposições por todo o Brasil no ano de 1994,

com cálculos realizados no computador de 256 até 1024 iterações. Estas imagens

chegaram a ser vendidas por até US$ 2.500.

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ATIVIDADE 4

Reflita sobre as questões:

a) As imagens fractais são arte ou matemática?

b) É possível a existência de racionalidade na arte?

c) É possível a existência de irracionalidade na matemática?

d) Existe objetividade na arte?

e) Existe subjetividade na matemática?

f) O que é razão?

g) O que é emoção?

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4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula – 2ed.-

Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

CARAÇA, B.J. Conceitos fundamentais da matemática. 6.ed. Lisboa:Gradiva,

1998.

CYRINO, M.C.C.T. As várias formas de conhecimento e o perfil do professor de

Matemática na ótica do futuro professor. São Paulo:FEUSP, 2003.(Tese de

Doutorado).

DIRETRIZES CURRICULARES DA REDE PÚBLICA DE EDUCAÇÃO BÁSICA DO

ESTADO DO PARANÁ, SEED, 2006.

MALDELBROT; B. Objetos fractais. Tradução: Carlos Fiolhais e José Luís

Malaquias Lima Lisboa: Gradiva,1998.

REVISTA SUPERINTERESSANTE. Edição 85. p.22-27. Editora Abril, 1994.

SERRA, C.P.; KARAS,E.W. Fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos.

Curitiba: Champagnat,1997.

STEWART, I. Será que Deus Joga dados? A nova matemática do caos; tradução:

Maria Luiza X. de ª Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed.,1991.

YOKO; Y. U. Função e Fractal Uma abordagem iterativa ligada às

artes.UEL.Londrina, 2005 (Monografia).