função exponencial

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Professor Antonio Carlos Carneiro Barrosowww.ensinodematemtica.blogspot.com.br

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Funções exponenciais

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As aparências enganam

Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha:

ou melhor, as potências

Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar 10000 reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior.

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A operação potenciação

Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade:

ax = b

a é a base

x é o expoente

b é a potência

De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base.

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Potência de expoente natural

Se a é real e n é natural, definimos:

a0 = 1 (a ≠ 0)

a1 = a

an = a.a.a. ... .a (n ≥ 2)

n fatores

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(√5)1 = √5

Exemplos

60 = 1

(–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32

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Potência de expoente inteiro negativo

Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se:

a–n =1

a

n

=1

an

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Exemplos

5–1 =1

51=

1

5

.

–8

3

-1

=–3

8

1

=–3

8

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Potência de expoente inteiro fracionário racional

Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se:

a =mn n √am

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√4

Exemplos

41/2 =

.

√25 251/2 = = 5

√16 161/3 = = 2√23 3

= 2

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Propriedades da potenciação

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ay

b

Propriedades operatórias

ax . ay = ax+y

ax

= ax–y

(ax)y = ax.y

(a.b)x = ax.bx

a x

bx

ax

=

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√3

33.32

Exemplos

40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2

32x – 1 =32x

31 =

(3x)2

3

=31/2

33.32

= 33 + 2 – 1/2 = 39/2

5x

2x.32x

=5x

2x.(32)x

=5x

2x.9x

=5

2.9x

=5

18x

.

.

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Crescimento e decrescimento exponencial

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Crescimento exponencial

Vamos imaginar o seguinte experimento.

A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30% a cada minuto.

Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).

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Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento.

Temperatura inicial: T0 = 10

1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3)

2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69)

= 13

= 16,9

3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22

4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6

6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3

t minutos: T = 10.(1,3)t

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Veja o gráfico de T em função do tempo t.

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

20

40

60

80

5 6

t(min) T(oC)

0 10

1 13

2 16,9

3 22

4 28,6

6 48,3

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Decrescimento exponencial

Vamos supor agora a seguinte situação.

A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto.

Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).

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Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento.

Temperatura inicial: T0 = 70

1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8)

2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64)

= 56

= 44,8

3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8

4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7

6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3

t minutos: T = 70.(0,8)t

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Veja o gráfico de T em função do tempo t.

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

20

40

60

80

5 6

t(min) T(oC)

0 70

1 56

2 44,8

3 35,8

4 28,7

6 18,3

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Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais.

Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante.

T = 10.(1,3)t

T = 70.(0,8)t

base (1,3) ⇒ Crescente.

base (0,8) ⇒ Decrescente.

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Funções exponenciais elementares

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De modo geral, se a é uma constante real (a > 0

e a ≠ 1), chamamos de função exponencial

elementar de base a a função definida por:

y = f(x) = ax

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Exemplos

y = 5x → base 5

y = (0,3)x → base 0,3

y = 2–x ou y =12

x

→ base 1/2

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x

y

0–1 1 2

1

2

4

–2

Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = 2x.

Exemplos

42

21

10

½–1

¼–2

y = 2xx

D = R e Im = R+*

→ função é crescente

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x

y

0–1 1 2

1

2

4

–2

Exemplos

Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = (1/2)x.

¼2

½1

10

2–1

4–2

y = (1/2)xx

D = R e Im = R+*

→ função é decrescente

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Funções exponenciais - Resumo

Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1):

O domínio é os Reais;

O conjunto imagem é os Reais positivos;

Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.

Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.

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Propriedades da função exponencial elementar

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A função exponencial y = ax (a > 0 e a ≠ 1), é injetora. Isso significa que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais.

x

y

0–1 1 2

1

2

4

–2

am = an ⇔ m = n

y = 2x

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Exemplos

5x = 53 ⇔ x = 3

3x – 1 = 32 ⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3

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x

y

0

1


Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0.

am = bm ⇔ m = 0

y = 2xy = 4xy = 2–x

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Exemplos

3x = 7x ⇔ x = 0

2x + 1 = 5x + 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1

53x – 6 = 7x – 2 ⇒ (53)x – 2 = 7x – 2

⇒ 125x – 2 = 7x – 2 ⇒ x – 2 = 0

⇒ x = 2

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am > an ⇔ m > n


A função exponencial y = ax é crescente em todo o seu domínio, se a > 1.

x

y

0–1 1 2

1

2

4

–2

Quanto maior o expoente x maior é a potência ax.

Mesmo sentido

y = 2x

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am > an ⇔ m < n


A função exponencial y = ax é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1.

Quanto maior o expoente x menor é a potência ax.

Sentidos contrários

x

y

0–1 1 2

1

2

4

–2

y = 2–x

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Exemplos

32 < 35 ⇔ 2 < 5

(0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2

base > 1, sinal mantido

0 < a < 1, sinal invertido

2x > 2–3 ⇒ x > –3

a > 1, sinal mantido

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Equações e inequções exponenciais

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Equacões exponenciais

Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente.

A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo.

am = an ⇔ m = n

am = bm ⇔ m = 0

P1

P2

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Exemplos

Resolver as equações exponenciais.

a) 3x = 27

3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3

b) 52x – 1 = 125

52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53

⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

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Exemplos


c)22x.2x+7

23 – x = 1

22x.2x+7

23 – x = 1 ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x) = 20

⇒ 24x + 4 = 20 ⇒ 4x + 4 = 0

⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1

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Exemplos


d)2

3

x + 1

=9

4

2

3

x + 1

=3

2

2

⇒2

3

x + 1

=2

3

–2

⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3

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Exemplos


e) 2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14

2x.21 – 2x + 3.2x.2–2 = 14

Vamos isolar em toda equação a potência 2x.

Fazendo 2x = y.

2y – y + 3. y

4 = 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56

⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8

⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3

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Exemplos


f) 9x + 3x + 1 = 4

(32)x + 3x.3 = 4


Fazendo 3x = y. ⇒ y2 + 3y – 4 = 0

⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x = –4 (impossível)

⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30

⇒ (3x)2 + 3x.3 = 4

⇒ x = 0

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Inequacões exponenciais

Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente.

A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo.

P3

P4

am > an ⇔ m > n

Mesmo sentido

am > an ⇔ m < n

Sentidos contrários

⇒ para a > 1

⇒ para 0 < a < 1

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Exemplos

Resolver as inequações exponenciais.

a) 53x – 1 > 25x + 2

53x – 1 > (52)x + 2

⇒ 53x – 1 > 52x + 4 ⇒ 3x – 1 > 2x + 4

base > 1, mantém-se o sentido

⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3

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Exemplos


b) (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 2

(0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3 ⇒ 2x – 1 ≥ x + 3

base < 1, inverte-se o sentido

⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4

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Exemplos


c) 9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0

(32)x – 3x.31 – 3x + 3 ≤ 0


Fazendo 3x = y.⇒ (3x)2 – 3x.3 – 3x + 3 ≤ 0

⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0

⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3 ⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31

⇒ 0 ≤ x ≤ 1

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Calculando juros compostos ou capitalizados

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Exemplos

Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00, pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final de cada mês sua dívida é acrescida dos juros relativos o mês. Qual será o montante M da dívida após t meses?

1º mês: M1 = 1 000.1,05

2º mês: M2 = M1.1,05 = 1 000.(1,05)2

3º mês: M3 = M2.1,05 = 1 000.(1,05)3

4º mês: M4 = M3.1,05 = 1 000.(1,05)4

...............................................................

t meses: M = 1 000.(1,05)t

100% + 5% = 105%(1 + i) = 1,05

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Calculando juros compostos

Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses, no sistema de juros compostos é calculado pela fórmula:

M = C.(1 + i)t

Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t estejam expressos na mesma unidade de tempo.

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Exemplos

Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o rendimento do agiota, após 4 meses?

Dados:

C = 6 000

i = 5 % a.m = 0,05

t = 4 meses

M = C.(1 + i)t = 6 000 . (1 + 0,05)4

M = 6 000 . 1,2155 ⇒ M = 7 293

M = C + j ⇒ 7 293 = 6 000 + j ⇒ j = 1 293,00

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Exemplos

Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em um banco, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo, se ele pagou R$ 438,00 de juros?

Dados:

C = 2 000

i = 2 % a.m = 0,02

M = 2 000 + 438 = 2 438

M = C.(1 + i)t ⇒ 2 438 = 2000 . (1,02)t

⇒ 1,02t = 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses

1,026 ≈ 1,1261,027 ≈ 1,1481,028 ≈ 1,1711,029 ≈ 1,1951,0210 ≈ 1,219

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Há muitas situações práticas em que uma variável cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas, na unidade de tempo. Nesses casos, usamos raciocínio semelhante ao dos juros compostos.

V = V0 . (1 + i)t

Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0,

seja função do tempo t.

V = V0 . (1 – i)t

Se V cresce segundo uma taxa fixa i, temos:

Se V decresce segundo uma taxa fixa i, temos:

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Exemplos

O valor atual de um lote é de R$ 30 000,00. Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize 8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos?

V = V0 .(1 + i)t = 30 000 . (1,08)6

⇒ V = 30 000 . 1,59

⇒ V = 47 700

⇒ O lote valerá R$ 47 700,00

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Exemplos

O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00, e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2 anos, a máquina valerá R$ 2 0 25,00.

V = V0 .(1 – i)t

Para t = 2, V = 2 0 25.

⇒ 2 025 = 2 500 . (1 – i)2

⇒ (1 – i)2 = 0,81

= 2 500 .(1 – i)t

⇒ (1 – i)2 = √0,81

⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a.

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Veja os cálculos

1º dia (hoje): V1 = 10

2º dia: V2 = 10.(3)1 = 10.(3)

3º dia: V3 = 10.(3)2 = 10.(9)

= 30

= 90

4º dia: V4 = 10.(3)3 = 10.(27) = 270

5º dia: V5 = 10.(3)4 = 10.(81) = 810

6º dia: V6 = 10.(3)5 = 10.(243) = 2 430

7º dia: V7 = 10.(3)6 = 10.(729) = 7 290

8º dia: V8 = 10.(3)7 = 10.(2 187) = 21 870

9º dia: V9 = 10.(3)8 = 10.(6 561) = 65 610

10º dia: V10 = 10.(3)9 = 10.(19 683) = 196 830

Total ...................................................

= 295 230

função exponencial

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