função exponencial logaritmo_2012

Professor Cristiano Marcell

Os números governam o mundo. (Platão)

Colégio Pedro II Unidade Realengo II - 2012 Lista de Função Exponencial e Logarítmica. Prof. Cristiano Marcell

Função Exponencial Função ƒ:R→R+

* tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0 < a e a≠1. O a é chamado de base e o x de expoente. A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0< a < 1) a

função é decrescente. I) f(x) = 2x

II) 푓(푥) =

Gráfico da função exponencial

Propriedades da função exponencial O domínio da função exponencial é R, isto é, d(f) = R A imagem da função exponencial é R+

*, isto é, Im(f) = R+*

Em qualquer caso, o gráfico corta o eixo y no ponto P(0, 1) Se a > 1, a função é crescente, pois x1 > x2 ⤇ ax1 > ax2 Se 0 < a < 1, a função é decrescente, pois x1 > x2 ⤇ ax1< ax2 Equações exponenciais Apresentam variáveis em expoente.Vamos resolver algumas:

Inequações exponenciais São inequações que apresentam variável em expoente. I) 2x < 2 II) 3x-1 9 Resolução de equações exponenciais Se b e c são números reais, então: a > 1 ⤇ ab > ac ⤇ b > c 0 < a < 1 ⤇ ab > ac ⤇ b < c Exercícios Questão 1) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5x

+3. Seu conjunto-imagem é a) ]- ∞; 3[ b) ]- ∞; 5[ c) [3; 5] d) ]3; +∞[ Questão 2) O número real que é raiz da equação 5 x+2 + 5 x-1 +5 x+1+ 5 x = 78 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Questão 3) Os pontos A = (1, 6) e B = (2,18) pertencem ao gráfico da função y = nax. Então, o valor de an é: a) 6 b) 9 c) 12 d) 16 Questão 4) Uma das soluções da equação é: a) x = 1 b) x = 0 c) x = -2 d) x = 3 Questão 5) Na equação 2x+1 + 2-x = 3, é verdadeira a afirmativa:

x y

x y

y

1 0 x

y

1 0 x

a > 1 0 < a < 1



a) Uma das raízes é 1. b) A soma das raízes é um número inteiro positivo. c) O produto das raízes é um número inteiro negativo. d) O quociente das raízes pode ser zero (0).

Questão 6) Os valores de x para os quais xx4 2)8,0(

)1x(3)8,0( são

a) 23

x 21 c) x

23

ou x 21

b) 21

x 23 d) x

21

ou x 23

Questão 7) O conjunto-solução da inequação (0,5)x(x - 2) < (0,25)x - 1,5 é a) {x R / x <1}. b) {x R / x >3}. c) {x R / 1 < x <3}. d) {x R / x < 1 ou x > 3} Questão 8) Dentre as identidades a seguir, marque a FALSA.

a) 81026

24

2

2

2

2

1,

b) 227

412.6

44.83

c)

12053

3 2722

d) 364

17286

6

Questão 9) Se 3x + 3-x = 5 então 2.(9x +9-x) é igual a a) 50 b)25 c) 46 d)23 Questão 10) No intervalo [–1, 100], o número de soluções inteiras da inequação 3x – 8 > 32–x é a) 97 b)98 c)99 d)100 Questão 11) O produto das soluções da equação 2x – 2-x = 5

(1 – 2-x) é a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 Questão 12) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula

m = -32t – 3t +1 + 108.

Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele volatilize totalmente é: a) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos b) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos c) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos d) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos Questão 13) Se 8x-9 =16x/2, então x é um número múltiplo de: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 Questão 14) Se (0,0625)x+2 = 0,25, então (x+1)6

vale: a) -3/2 b) 1/32 c) 64 d) 1/64

Questão 15) Se x e y são números reais que tornam simultaneamente verdadeiras as sentenças 2x+y-2 = 30 e 2x - y-2 = 0, então xy é igual a: a) 9 b) 8 c)1/8 d) 1/9 Questão 16) Ao estudar o processo de reprodução em uma cultura de bactérias, um grupo de biólogos, a partir de dados experimentais coletados em um determinado período de tempo, concluiu que o número aproximado de indivíduos, N, em função do tempo t em horas, é dado por N(t) = 50.20,3t . Dessa forma, a cultura terá 3200 indivíduos depois de a) 12 horas. b) 20 horas. c) 15 horas. d) 23 horas. e) 18 horas. Questão 17) Resolva 3x-1 - 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306 Questão 18) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000.(0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 Questão 19) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função

q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início? a) 5. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. Questão 20) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: a) R$ 18.750,00. b) R$ 18.150,00. c) R$ 17.250,00. d) R$ 17.150,00. e) R$ 16.500,00. Questão 21) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? Questão 22) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função N(t) = 100.2t/3

Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas.



Questão 23) No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa: "Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis". Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão

푓(푡) =푃

1 + 9. 2

sendo t ≥ 0 e P a população do País. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação. Questão 24) A equação 2x = - 3x + 2, com x real, a) não tem solução. b) tem uma única solução entre 0 e 2/3. c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0. d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa. e) tem mais de duas soluções. Questão 25) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m=m0.2-xt . Nessa sentença, mx é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), m0 é a massa inicial e x é uma constante real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor x é: a) – 3 b) 1/3 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8

Função Logarítimica A palavra logaritmo vem do grego: logos= razão e arithmos= número.

logba = c bx = c Chamamos a de antilogaritmo; b, de base (maior que zero e diferente de 1) e c de logaritmo. Calcular o logaritmo de a na base b é o mesmo que encontrar um expoente que colocado em b, resulte numa potência igual a a. Condição de existência

a > 0 b > 0 e b 1

Conseqüências da definição

log b1 = 0 log b b = 1 logb bn = n

b = a

Propriedades

log a (b . c) = log ab + loga c

log a ba = log ab - loga c

log a an = n. loga n

푙표푔 푎 = , onde c > 0 e c 1 Logaritmo de uma Raiz Se 0 < a 1, b > 0 e n N*, então:

ba

ba

ba n

nn

log1loglog1

Concluímos que 푙표푔 푎 = . Equações logarítmicas Apresentam variável em logaritmo, no logaritmo ou base. a) log(x – 1)

2 = 3 c) log (x + 1) x – 1 = 2 b) log 2x = 31 d) log x

x2 - 1 = 1 Ao resolvermos uma equação logarítmica, devemos observar as restrições a que devemos estar submetidos os logaritmandos, as bases, e conseqüentemente a incógnita, são elas:

O logaritmando deve ser positivo A base deve ser positiva e diferente de 1

Inequações Logarítmicas Envolvem variável em logaritmo ou na base, ou no logaritmo. Para resolvermos uma inequação logarítmica, devemos estar atentos, às restrições a que devem estar submetidas as incógnitas vamos estudar os tipos possíveis: 1.° Tipo: log f(x)

a > log g(x)a, 0< a 1

Se a > 1, então f(x) > g (x) > 0 Se 0 < a 1, então 0< f(x) , g(x) 2.° Tipo: log f(x)

a > k; 0 < a 1, k R

Se a > 1, então: f(x) > ak

Se 0 < a < 1, então: 0 < f(x) < ak

3.° Tipo: Incógnita Auxiliar: São as inequações que resolvemos fazendo uma mudança de incógnitas.

ablog



Função Logarítmica Função ƒ:R→R+

* tal que 푓(푥) = 푙표푔 푥 em que b ∈ R, 0 < b e b ≠1. O b é chamado de base do logaritmo. A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base b for > 1, a função é crescente; Se a base b for um número real entre 1 e 0, (0< b < 1) a

função é decrescente. I) 푓(푥) = 푙표푔 푥

II) 푓(푥) = 푙표푔 푥

Gráfico da Função Logarítmica

Propriedades da Função Logarítmica O domínio da função e R*

+, ou seja, somente números positivos possuem logaritmo. O conjunto imagem é R, isto é, qualquer n° real é logaritmo

de algum n° real positivo, numa certa base.

O ponto P(1, 0) pertence ao gráfico da função. Se a > 1, a função é crescente, pois se x > y, então 푙표푔 푥 > 푙표푔 푦

Se 0 < a < 1, a função é decrescente pois se x < y, então 푙표푔 푥 > 푙표푔 푦

Logaritmos Decimais

Vamos estudar os logaritmos em uma base específica, a base 10.

Qualquer que seja o n° Real positivo x, ele estará certamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros e consecutivos. Ex: 1. x = 0,04 ⤇ 10-2 < 0,04 <10-1

2. x = 3,72 ⤇ 100 < 3,72 < 101

3. x = 573 ⤇ 102 < 573 < 103 Assim, dado x > 0, existe c e Z tal que:

10c x < 10c + 1 ⤇ log10c log x < log 10c + 1, logo:

c log x < c + 1, então podemos afirmar que: log x = c + m, onde c Z e 0 m < 1, o número inteiro c é a característica do logaritmo de x e o m é a mantissa do logaritmo de x. Cálculo da Característica 1. A característica do logaritmo decimal de um n° real x > 1 é igual ao n° de algarismos de sua parte inteira menos 1.

log 2, 3 c = 0 log 31,4789 c = 1 log 204 c = 2 log 4194,710 c = 3

2. A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Ex:

Logaritmo Característica log 0,2 c = -1 log 0,035 c = -2 log 0,00405 c = -3 log 0,00053 c = -4

Mantissa É obtida nas tábuas de logaritmos, e tem uma propriedade importante: Os logaritmos de 2 números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula, tem Mantissas iguais.

1. log 54 = 1,7323 2. log 5,4 = 0,7323 3. log540 = 2,7323 4. log 0,000054 = -5 +0,7323 = -4,2677 = 5 ,7323

onde 5 é característica e 7323 é mantissa

x y

x y

y y = loga

x

0 1 x

y

1

0 x y = loga

x

a > 1 0 < a < 1



84loglog 42

xyyx

Observe que no exemplo acima, dizemos que -4,2677 é a forma negativa e 5 ,7323 é a forma mista ou preparada. Exercícios Questão 1) Resolva os logaritmos a seguir:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h) Questão 2) O gráfico que melhor representa a função mostrada na figura adiante, é: Questão 3) log 32= x, então3 x + 3-x é: a) 9/7 b) 5/2 c) 4 d) 6 Questão 4) Se log x2 = ¼, então a base x vale: a) 20 b) 16 c) 12 d) 10 Questão 5) O valor de 4 log

29 é:

a) 81 b) 9 c) 64 d) 36 Questão 6) Seja x = 21000 sabendo que log2

10 é aproximadamente 0,30103 pode-se afirmar que o n° de algarismos de x é: a) 300 c) 1000 b) 301 d) 2000 Questão 7) Calcule o valor da expressão

n n

nn nloglog

a) 2 b) -2 c) 4 d) n Questão 8) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x) = 2x é: a) log2 5 b) 2 c) log 25 d) log 23

Questão 9) Se o logarítimo de um número na base “n” é 4 e na base “ 2n ” é 8, então esse número está no intervalo

a) 50,1 c) 200,101

b) 100,51 d) 500,201

Questão 10) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b.

O valor de b é:

a) 1/4 b) 2. c) 3. d) 4.

Questão 11) A equação log 2 (9x-1 +7) = 2 + log 2 (3 x-1+1) possui a) duas raízes positivas. c) duas raízes simétricas. b) duas raízes negativas. d) uma única raiz..

Questão 12) Se log 2 123 = 2,09, o valor de log 21,23 é:

a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09

Questão 13) O valor da soma log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100) é:

a) 0 b) -1 c) -2 d) 2

Questão 14) Se a = log2(2 sen 70°/ cos 20°), então log‚ a é:

a) -1/2 b) -1/4 c) 1 d) -1

Questão 15) Se log 7 875 = a, então log 35 245 é igual a:

a) (a + 2)/(a + 7) b) (a + 2)/(a + 5)

c) (a + 5)/(a + 2) d) (a + 7)/(a + 2)

Questão 16) Na figura abaixo, a curva representa o gráfico da função xlogy , para 0x . Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual a

a) 2log b) 3log c) 4log d) 6log Questão 17) O valor de y IR que satisfaz a igualdade a) ½ b) 1/3 c) 3 d) 1/8 Questão 18) Resolvendo o sistema, obtemos

a) c)

b) d)

41,32S 4,2S

1,8S

21,16S

log y 49 = 7log7log 22 yy ,é

y

x

S1 S2

1 2 3 4



Questão 19) Se log 3 2 = a e log73 = b, então log314 =

a) a

b 1 b) b

a 1 c)

bab 1

d) a

ab 1

Questão 20) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. Questão 21) (Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessário, use log2 = 0,301 e log3 = 0,477]. Questão 22) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3 × 1013 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5 . logƒ (3 .d-0,48) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. Questão 23) Na figura a seguir, encontram-se representados o gráfico da função f : ]0,-∞[ → IR, definida por f(x) = log2x, e o polígono ABCD. Os pontos A, C e D estão sobre o gráfico de f. Os pontos A e B estão sobre o eixo das abscissas. O ponto C tem ordenada 2, o ponto D tem abscissa 2 e BC é perpendicular ao eixo das abscissas.

Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a área do polígono ABCD é: a) 2,5 cm2. b) 3 cm2. c) 3,5 cm2. d) 4 cm2. e) 4,5 cm2.

Questão 24) A intensidade I de um terremoto, medida pela escala Richter, é definida pela equação a seguir, na qual E representa a energia liberada em kWh. O gráfico que melhor representa a energia E, em função da intensidade I, sendo E0 igual a 10-3 kWh, está indicado em:

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