rOtenCla de eFãÌüenïenaturâlDefinição

Sendo dados um número real d e um númeronãturaln, com n > 2, chama-se potência dê base oe êxpoente n o número on que é o produto de n fato-res r8uars â d.

Dêssa deÍìnÌção decorre que:

âz=ã a, a3=a.a.a, a4=â a.a.a, etc,

DeÍinição espêciâl

Sendo oâdo un nurìe'o reèl o, Lonvenctona-remos que a! = a e que, sendo a + 0, ao = 1.

Vejamos alguns exemplos:

. 34=3.3 3.3=81

. Íaì '=/ ! ì 1aì=1\s/ \5/ \s/ 2s

\ - . ) - = \ z) \ - . ) . \ -z)= ó

/A-a

/ í \o

PropriedadesSendod êb reais em en naturais,valem asse-

guintes propriedades:

> j ;=a'n (a*Oem>n)

> (a b)n = an bn

> (am)n=âm'n

. (;)"=g rr,+or

' (+) 'i) -(-3f

, (+)-' \ . 2 l

s) -(-s)*

a exercícios ltn1, CalcuÌe:

ã) 7'

b) (-s)r

c) ( a)'?

tü

2, Calcule o vaÌor de cada uma das erpressôes segumtes:

, t l . l ì . i I + l - l - l\4/ \ t t

b) -(-2),-2. f +ì\ +/

( - r l+s ( 2)r ( 1)ó16. l+ì '

- r ' l ;J +1" c}

1 l íJ crr/ . \3{* l : ( z)z

L, (2r)r . 2- . 2r"' (rI-

l : - , t1ct : . ì6

" (315

d) + (x y+0)

. (x. v)6 (xr)r 'v ' ^ .e l -

lx Y=ulr 'n-

4, Escreva em uma única potênciâ:

a) a metade de 250b) o tripìo de 345c) o quádruplo de 2rod) a miÌésimê parte de Ì0rre) o quadrado de 530f) a terça paÌte de 8 1 Ìs

Vejamos âlguns êxemplos:

18116 1681

h

125

Definiçãooados um número reâlo, nãó nulo, e um número

n nâturel, chama-se potênciâ de bãse o e expoenteD o número d n, que é o inverso de o".

calculemos o valor de g = [3 1- (-3) 1f!.

Temos:

r r l - r r t l'L3 r 13 3l

,2rr r 3J \?i 2 2

3

PropriedadesCom essa defìnição para potência de expoentê

inlêiro negetivo, todas es cinco propriedades enun'ciadas he pouco contrruàm válidãc paÍâ quâisquerexpoentes m e'n ìnteiros (positìvos ou negativos).

Supondo a + 0 e b + 0,vamos sìmplìf iceraexpressãoL-(â- ' ) ' r (b ' ) +Z{ab) ' .

Temos:

L=âe+02-2(âo) ' - r -

: - - - -L

, b ra r2ab ra br 'a 'b ' ì ab '

. "

t ì7

Potêsr#ia de expr*mr*tmrrutmã:"e rregeqiv#

11

24 16

| 2\4 I

\3

) z L-.L"?24

ffi h3.H*,*r"#HfJt#Ëï ffi1í" cul.ú"'

a) 4 '

b) 3'

- \ .2 I

$1. Calcule oseguintes:

valor de cada uma

a) 3.23+2 3:

o) ,.(+)'.,.(-a)', l(-+f .(;)'l', +.(+)'(-+i'

L Sendo a . b * O, simpÌifique as expressões:

i1" 1Uf ua; qul o valor numé co dâ ereressão35j .40 Ì 10, 5 roo ,-- r t . la: : r .5 '25l

*. SimpÌifique:

, / I \_',cr \ 3J

h) 0,1 3

i) 0,008 ,

das expressões

m*;* ^ Á*;*^r \g{d" 1}-Ëìì : t I t ( Í/ , "

I eneSlf t ' ïe l Arr ï : r s?t{C

DefìniçãoDados urn númeÍo real não negatÌvo o e urn

número naturâl t , n > 1, chama-se raiz enesrmaaritméticâ de o o número real e não negãtivo b talque bn = a.

0 srnoolo ï a, cha.râdo râdicê1, i , ìoicã ê ràt7enésimâ aritmética de d. Nele, o é chamâdo râdicân-do, e r, índice.

Vã=ucàb>oêb"=a

Vejamos alguns exemp osl

. ifu6 =+, pois q, = ts.

. ffi= 3, p61s 3: = 27

. ffi= 3, p6;5 6s= 6

. ir15 = 2, pois Za = 16

PropriedadesSendoo etr reais nêo negãÌtvos.m inteiro en ep

rìaturâis não nulos, va em es seguintes propriectâdes:

> VF=ò VanrP ( \ f " ) '=ï . '> ïã b=V; ït

f; r[.dï=Ë ro*o

(+r(+f('+i' t

5 / 1\2z, \ -Tl

" ì '

' "7

, \3/

c)

i.[ï. sabendo que sz' = a, a > 0, câlcuÌe, em tunçãode a, o valor de:

a) 25nb) s'

- , (ab)3.(a '?)2

" bt-

,. (a 3)3 (b5) 'zu/ G Ìt .lEì:t

top+2 _ t0 l r

c) 625rìd) 0,2{

'fe - ,fig

: . ï _!õ, \ . tõ \ r1 z vt .J,

=21i2+3!2=51i2

! x V32U"x, comx eg reais posit ivos

I)

)

") 1[8

b) 1Gtc) !s+

13. Ef"to",a) rEz + lsou) rEõõ -:rDj+ rrÌzc) '{ 16 + X54 V2

d) 1[loo, zlqs + 31D7

Í4. tf"to",

, \Gt \Etu5

, , VG* ìE+,, ìT

\ l3*

,rì -- Ì- ' rã+! l - !s

rn exercícios ffiI Í. co1.o1",

a) r|lãsb) '1G12

.l \EÍ?, SimpÌifique os radicais seguintes:

a) ''[aa

d) {o2se) ïo,rxf) ïroo ooo

") iD4o0 ./o,oor5

.) ("Df

d) (vt),

Í5.1t"t".'a) 16. rD+

b) 1T. \ã. rF

c) !+e ' it

d) tD.i/t. 16.127,t -T

Í6. Desenvolva os seguintes prcdutos notáveis:

a) (\5+ 1tt) (3 \D)'c) (./5 + \|-ì'zd) ({lr +.fì. (1t11 .f2)e) (ï: + r),f) (2 + 1fr3

lF" r.r"t".'a) t r !6- t r2.1trb+V2b) 18+!1s.18-1lsc) \112+2 \112 2

dl 12.t r ! ro- . /2 11ro + v2

Í8. Racionalize o denominador de cada uma dasseguintes ftações:

ú! d)\ r2+l

n ./T'' ' l l-t

19. er.t".,

15-ú16+l8

úõ\'lõ - 15

t-. r , : , ì r . to, ,2 'uo

. , \ , :

.J/

.,F , .tt12+l ^12 2

20" Racionalize o denominador de cada uma das

seguintes Íiâções:

- , I.12

, . 25

É1, Mo'rre que ! l4 r4l l0 V14-4V10-4.

E*

*"xp{]4inlffiF*t*ruçíar**â*m*{

##

DefiniçãoDados um número ree o (posit ivo), um número

ìnteiro p e um número natural q (q > 1), chama-se

potênciadebaseoeexpoentelaraizq ésÌmaari tq

mética de dP.

t

Definição êspeciâl

sendol> o, define-se 0Ë = o.q

Vejamos alguns exemplos:

! -. 3r =13

PropriedadesAs cinco proprÍedades

cias de expoente naturalexp0entês racronârs.

. (+)r=.,Gr= P5" luuc sg uaaptaao) o tempo de circulâFo dosangue (em segrLndos) de um mamifero (o tempomédio que todo o sangue leva para circular umavez e ÌoÌtar ao .oração) é proporcionaÌ à raiz quaÌtado "peso" do corpo do mamífero, isto é:

!r(M) = k M1

Para um eÌefante cujo "peso" é 5 tB4 quilos, otempo loi estimado em 150 segundos.

â) Determine o valor de k..b) Determine o tenpo aproximado para um

mamifèro de 16 qui los e para outro de64 quiÌos.

Chama-se função exponencia quelquerfunção jíde R en R dacla por uma le dâ for-na ' íxJ a , emque o é um número real dâdo, a > 0 e a + 1.

2.. 2. ='\l z'z

I. 15

enunciadâs parâ potên-continuam válidas pâÍa

?3Vàmos câlcular o vâloí de g 27' 164.

Podemos resolver de cluas to-ma.:

. Escrevemos ê s potê ncias nâforma de raízes.

q- x27í- V l6 ' - V/29- V1 096, o-a- r

. Jsamos as propíedèoes das porencias.23

9 t3) t?^Y- J ' -7 ' I B-1

f,* nç íÍ * r"Í]cp*ntrrìcí* $Definição

ffi exercíci0s ru22. Calcule o vaÌor de:

b) 256,

c) 32'L

d) 0,36,

?3, Calcule o valor <1e:

a) 32ro

b) 8ó

c) Ì0 000 a

d) 9t

8) z/ '

h) 4z

1e) 164

Àr )rr

?4. qual r o vaior de ab, *"a" " = (+[. (+[

- \3/

H-1

64n

tJt)

GráficoVâmos construÌr os gráíicos de a gumas Íunções

exponencials e observar âlgumâs propriedades-

Vejamos como construlr o gráfico da íLrnçãog=2' .

Vamos usaro método de localizaralguns pon-tos do gráfico e l igá-los.

Um importãnte núrnero irracional, que é estu-dâdo em Cálculo DiíerencÌal e Integrâ1, é i fdicadopela letra e. Parâ compÍeendê lo, conslderemos

a expressào (1 + x);, em que x € R*, e vejamosalgunsvãlores que e â ãssume quandoxse "apro-xima" de zero.

À medidâ quex se torna menot e expressão

Y) tCA CAod vel Tè c ptov'ma 00 "u"ÍeÍo

e= 2,7183.

0 gráÍico da íunção g = e" está representadoabetx0,

lúuitas câlculadoras cienlíf icas e f inânceiraspossJen à Ìeclà e' i dessa Í0"ra. em g"-ê,.èo enecessário substi luiÍ ê pe a aproximação dadaacÌTna, bastando teclêr o expoente x para se conhê.ar n rÃe,r1r:ã. .1ì .^rân. i ì ê"

Veja:

. Para câlcular e2, tec emos:

aee obtemos: i . :

. Para calcular e10, teclamos:

@B;ü

È

Y =2'

Vamos construir osráfÌco dâ função s = (â

154 321

e obtemos:

É muho importante destacar que as calculâ-dorâs cientíÍìcas tâmbém nos auxil iam no cálcu-lo de potênciâs cujas contas são muito traba-In0sas,

Agorâ observê a teclâ

Nela, V representa a bâse da poténcia ex seuexp0enÌe.

Se 0 < a < 1, então a função í(x) =er é decres-LÊnÌe. PoÌento. oados os reats \Ì e \ , te-roì:

5eI

x1 < x2, então

. Para câlcular 1,3s, teclamos:

São decrescentes, porexemplo, as funções expo-/r \ " / , \ 'ne'c id is Ì , \ r í ] ) . , , , r _{rL),r , , , ( ! , "

(x) = (o,t)-.

Para lodo a > 0 e a + l , temos:

se ar1= aiz, então xl= x2

PaË lodo a > 0 e todox rea, temos a* > 0; por-lanÌ0. o gráfico dâ funçêo q-ã"esÌâsempteêc.-ma do eÌxo dos x.Se ã > 1, então or aproxima-se de zero quândox assume vâl0res negattvos cada vez menores.Se 0 { a < 1, então or âproxÌmê-se de zeroquando x assume vãlores posit ivos cada vezmaiores. Tudo isso pode ser resumido dizendo-se que o conjunto imagem da função exponen,cialg=3" 6 lm={gC R g>0}=Rï.

t

ff i 4r,,4i,." {.ít}f i ff i#ü, Construa os grá1ìcos

a) ín) = a"

b) f(x)

HP. Nu f ig".o esrá representado o gr: i f ico <1et(x) = a 2", sendo a uma constante real

= (+l

dâs seguintes funções

.).(,.)=+ Ïd) f (x)=3.2'

mmBmme obtemos:

. Para calculaf 2,33, teclarnos:

arì l-ì í:ì f "ì l-sì\*t çJ \=*f \:./ r-t

e obtemos:

Cabe rêssaltar que existem muitos mode osde câlculadore e, em alguns casos, uffra ou outrâdas operâções anteriores poderá ser invertida.

De qualquer modo, muitas operâções compotênciâs podem ser simplif icãdâs com o â!xí iodã càlculêdora. Em âlguns pr obleras dF.te capltulo você precisará usá-lâ.

PropriedadesNa função exponencial V = a*, temos:

x=Q3g=so=1

ou seje, o par ordenado (0, 1) sâtÌsÍaz a lel ! = a,pârâtodoo (a > 0eâ + 1). lssoquerdizefqueográÍico dâ função ! = a'corta o eÌxo dosg no pon-to de ordenâda 1.

Se a > 1, então a função f(x) = 3'f 6pg56sn1g-Portanto, dados os Íeaisx1ex2, temosi

. sinas iguais

xr<xL entào ax1 < ar2

São crescentes, porexemplo, as funções exponen-

Lieisrrrr 2, f ( \J-J. ' r* t - l ] Lrr"r r t .Z ' e' )J

f(x) = s-.

:.t";:

Detenninc o vâ1or de f(3).

? &, Faça o gráfico de cada uma das tunções seguintes, destacando a raiz (se houver) e o conjuntoimagem:

â S, o gúfico a seguir representa a função/cuja Ìeì éf(x) = a + b 2', sendo a e ú constantes positivas.

â) Determine d e b.b) Qual é o conjunto imagem de í?c) CaÌcuÌe f(-2).

3ü, (U. E. do Norte FÌuminense-Rl) À inÍlaFo anualde um país decresceu no período de sete anos.Esse fenòmeno pode ser representado por umafunção exponenciâl do tipo f(x) = a . b., con-forme o gráfico abaixo.

Determine â ta-Ìâ de inflação desse pêís no quarto ano de decÌínio.

31, I-ugi". q". u p"pulação de sua cidade cresça àta-xa de 50/o ao ano. Nessa ta-Ìa, já estão computados os indices de mortalidade, nataÌidade,miglações, etc. O que isso significa?Se você quiser saber a população da cidade emum determinado ano. basla acrescentar à po-puÌação do ano anterioÌ 5olo de seü vaÌorl Ouainda, a população, em um certo ano, é 1,05multiplicado pela população do ano anteÌior.Senão vejâmos:

Imâgine umà cidade com 100 000 habitan-tes que cresça à tàra de 5olo ao ano,Faça uma tabeÌa paÌa representâr a popuÌaçãodessa cidade daqui a um, dois, três, quatro ecinco anos (contados a paÌtiÌ desta dâta).Imagine, agora, uma cìdade com po habi-tantes, crescendo à taxa de 50/ô âo ano. Se-jam pÌ, pr,Pr e Pa os valores dessapopuÌa-

çâo daquì a um, dois, três e quatro anos,res-pectivamente.ExpÌesse p ì, Pr, Pr e pa, respectivamente, emtunção de po.cenerâlize o item , para pr, obtendo a leida tunção. Que tipo de função é essa?

3R. De acordo com o Censo Demográfico de 2000,a taxa de crescineüto populacionaÌ bÌasileirâ naúìtima década foi de 1,670 ao ano. Admita que,em 2006, a população brasileira em de 180 mi-Ìhões de habitantes. Mantida essa taxa de cres-cimento, determine a população brasilerra em:

a) f (x)=2*-2 c) fG)=-4 (+).+ '

b) rG)=(+).+1 d) r(x)=3"13

c)

a) 2009(Use a caÌcuÌadora.)

t

b) 2o1s

33. Em r.rna regiao industÌiaÌ, a emissão de poluentes aumenta à tal{a de 50o/o ao âno. IuÌgue a afirmação seguìnte como verdadeira ou falsa:"Em quatro anos a quantidade anual de poluentesemitìda na região já terá quintuplicado em rela-

ção à atuaÌ'l

34. (pcv-sp) Curva de Aprendizagem é um conceito criâdo poÍ psicólogos que constatarâm areÌação existente entrc a eficiência de um ìndi-úduo e a quantidade de trcinamento ou expe-riência possuidâ por este indiúduo. Um exem-pÌo de Curva de Aprendizagem é dado pelâ ex

Prcssão Q = 700 - 400-05t, em que:

Q = quantidade de peçês prodüzidas mensal-mente por um fimcionário

t = meses de experiênciâe = 2,7183

a) De âcordo com essa eq)ressão, quantas pe

ças um funcionário com 2 meses de e?e-riência deverá prcduziÌ mensaÌmente?

bì L um funcionário sem quàlquer er?eÍien-cia, quantas peças deverá produzir mensaÌ-mente? Comparc esse resúado com o re-suìtado do item d. Há coerência entre eles?

ITI

st

, \o diJ I dejJneiro,doi , ;m.go,cr i r rarnurnrcomunidêde Ìo Orkut. No dia seguinte, cadaum dos "fundadores" convìdou três novosamigos paÌâ se íÌtegraretl] à comunidade. Nodia. t d< rneiro. .ada ro\o r ,e8rdìre\oì \ ido,, . -c. no\ ̂ . , ì , ì 'so. p" r . ì .e j , , r , . ìn n- r c^-munidade e assin por djante, até o lìnaÌ donÌé' . Âdnr i r , qr c t"d",

" , .onr id:do, acei

tenÌ a proposta de se intcgrar à conìunidade eque nirguém receba o coÌÌvite de maú de uma

a) Quartos membÌos iÌ'Ìgressarão na comunÌdade no dia, l? E no dia 5?

b Ou.r e o torr l de rreml*o. qr ,e.r comun'-dade possuirá no dia 5?

c) QuaÌ é a lei que Ìelaciona o número demem-bros (j') queirgressarão na comunidade nod,, j , : r \ - |2. . r . . . J . t .bô.e^gft f i .ôdessa função.

d) Faça uma estimativa do número de pessoasque serão convidâdas â entrar na con]unidade no dia 31. (Use a apioximação

(EIJtr

C}CJío

'F.íIJ

ECJ

P

Radio atividade e meia-yidaO homem sempre conr.il.eu com a radioatividade. È um fenômer,o que pode ser raturaÌ

ou ìnduzido. Por exemplo, na natlÌreza, encontrâmos isótopos ladioâtivos, como o uúnio 238€ o rádio'226 em Íochas. No sangue e ossos encontramos o potássio-4o, o carboro 14 e orádio-226.

Blsicamente, o lèüômeno da râdioatividade funciona da seguinte forma: se um átono tiverseu núcleo muito eneryético (átomos radioatir.os), ele tencterá a esrâÌriÌizar-se, emitindo o excesso de energìa na forma de partículas e ondas, comq por exemplo, as rddiações alfa, beta egama. O processo pelo quaÌ essa energia é liberada é chamado decâiÌnento râd;oativo.

Ca{ìâ elemento radioativo se trânsn'Ìutâ (desíntegra) a uma velocidade que Ìhe é caracterís-tica. ,\leia vida é o tenpo necessário parâ que â sua atividade radioativa seja redlÌzìdâ à metadeda atividade inicial.

Àpós o prirneiro período de nÌeia-vidâ, som€nte ametade dos átomos radiodivos oÌiginais

pefÌndrc. e Jdio. r iv, i . \o \ .gundo period^. \omenl( I . c r* i r ì1 por diar le.

Partindo ale lr0 átomos radioativos ile um eÌenÌenti, é possír.eÌ representaï graficamente onúrnerc de átomos radioativos, enÌ fuÌÌção dâ quantjdade de meìas-vidas tlânscorrjdâs:

Novo símbolo inleÍnacional paraÍad oatividade, lançado pelaONU em Íevere ro de 2007

,\ lei que.lefine essì turÌção e n =+, sendo j.a qrÌàntidacle cÌe m€ias,vidas e rr o nÍÌmero d€

átonìos radioatil'os.lnâgine que uÌn isótopo de uÌn certo elenento quíÌnjco tenha n'Ìeia vida de 15 dras.

SuponÌra que uma amostra cont€nha n0 átomos radioativos desse isótopo.Para saber a porc€ntagem de átonÌos radioativos nâ aÌìrostn (enì reÌação à quintidade Ìnr

ciaÌ) após 2 meses, fazemos:

2 meses r+ 60 dias 1+ 4 neias vidas

Daí:

n / r -

t { uuorìn.

isto é, após 2 rÌeses ap€nas 6,2510 clos átonÌos darmostra coütinuanÌ radioativos (eÌn atividacle).

DecorÌidos 6 meses (12 rnej$-\'ìdâs), temos:

1ìon=lÉ=0,0002aa1

isto é, após mcio ano, apen.ìs 0,02,1% dos átoÌìos da innostra coÌÌtinlÌam radioaiivos.

.Ji\.J Para sabo nuis sobre esse assulìto, vocô pode pesqrisar em:

www cncn. gov. brl,wwnd.gov.br

f

" , ,u ' ì r '*- : - " ï - -- ìY, -

Uma equêção exponencia é aquela que ãpresen.ta a;ncógnila no expoente de pelo Ìnenos uma poÌenctâ,

São exponenciais, por exemp o, as equações

aÍ = B, l+ I =Ble9" 3"= i2

Um método usado para resolver equações expo.nenciais consisle eÌn Íeduzlr ârnbos os membÍos daequâção a potências de mesmã base o (0 < a + 1)e, dêÍ, apl icar a propriedade:

ax1=arz=X1=X2

0uando isso é possível, a equação exponenclaléíacÌÌmente resolvidâ.

31= z{ 1g ={ 4}

r , l>r - er

/ , l r r ' - c/ . i r2 r ' - ,6 -

+x=12=S={12}

è)

b)

c)

Vamos reso veras seguintos equâções em R:

2"=16?' rÃ-r , , .1 ."- ,1

-( . t , { \

l+ l =81

z"-

t .

Vamos resolveras seguintes equações em IR:

3x-+x,3h_xz+x=6=,

=x_+x tr=u=x= J oux= z

h\ ?2!+1.,a1\+1 o\ 1

22' +1 . t )z\ tN+ | _ t2t \N I

22t +l , )6,r2 - ) \ 3

2s**3=23'3=Bx+3=3x 3+ÊtÂ:-c I 1 l5 t ) l

Vamos resolverasseguintes equações em R:

a) 3 ' .1 3 ' 3 ' r = 45

Não é possível escrever o 19 membro comouma única potência de 3. Podemos Íazer:

J

Colocando 3' em evidència, vem:

3"13 1 l l=45

3Y +=45 =3x= 27 = 3r-x=3 =S={3}J

ffi #x8rtrieË*s ffi5b,Re,oha. em R. J\ 5cguinre, e! ÌLrrçoe5 c\po-

nenciais:

a) 3Ì=81 e) 5x+r=125b) 2Ì = 256 0 Ìorx = too ooo

/ r \ \ l, )7 7 s) l l' \5/ Qs

/ r \ .d) l+ l =: hr l : l =2

\z/ rz \ .z l

Jí . Re'úl \d. em Lrt . " \ 5cguinle, equJçoe5 e\po-nenciais:

/1\z 3rJ) 8 ' Ìh er l^ l )2"

\Ò/b) 27*-9 f ) l l } t r 5.+,=1

c) 9^=+- cJ 49. ' r = ' t r7t / '

d) 0,r - |no, , hr r í :5r L l - ì\ r r : /

S ë" Im rma erperien, id. um rni .r l i l r rdtrdô 'oL, eleìto de uma determinadâ droga é srbmetrclo â

exames diários de controle. A lei n(t) = -l . 2r200 -

inlornr.r a quant dade r r ' I r , dd \ub\ránr id. (mgramâs, encontrada em Ì00 m? de sangue, ÌÌoexame reaÌizado no dia t, contâdo a paÌtr doìnício da experiência.

a) QuaÌ foi o acréscimo na quantidade da droga encontrada no sangue do animal do iní-cio dâ expeÌiência âté o 59dia?

b) Por quantos dias deve ser administnda âdroga a Àm de que a quantidâde encontrada (por 100 mí de sangue) seja 10,24 g?

5Y.Fm umr r( f , iau l i lúráned e. lao .er ì ( lü.ún\truídos edifícios residenciais. Um biólogo prevê que a quantìdade de pássaros de certa espé-cie irá diminuir segundo a lei:

!n(0 = n(o) 4 3

cn que níoì c J qu, inrìdade e"t inrrdr de pa"r-ros antes do inicìo das constÌuções e n(t) é aquaÌÌtidade existente t anos depois.Quaì é o tempo necessário para que a popula

ção de pássaros dessa espécie se reduza:

a) à metade da popuÌação no ìnício das construções?

b) à oitava paÌte da população no início dasconstruçõesi

c) a 1,56250/0 dapopulação no início das cons-truções?

L

b) 4* -2x = 12

4x-2t = L2- (22)\,?\ = 12à22'-2"= 12

Lnamanoo z oe g, vem:

!2 U=12+g'zg 12=0-=g-4oug--3

L0m0V=l,vem

2'-a-2 -Zt ' -x 2lou f - rs {z l2'- -3 =7 x )

16

40, Re,ol 'a ,: ' 'eguinte. equrçoes erpunencià;:

a) 24{+ r .8{+r = L

c)

a)

Sabendo que a população atual do município éde Ì0 000 habitantes, determine:

a) o valor de fr;b) a popuìação do município dâqui a 3 ânos:

45. nesoÌva, em R, as equaçôes seguintes:

a) 25" -23 5"=50b) 100x- 1= 9. (10{ + 1)c) 4.* ' 33.2.+8=0d) 9r- Ì -5.3x+3r+'=27

4b. íVune'p 5PJ ( on. idere iuncào ddda porf(x)=: :"* t* t

' . * ta7 Quando m - -4. derermire os r alorer de xpala os quais f(x) = 0.

b) Determine todos os valores reais de m para

os quais a equação f(x) =m+ 1nãotemsoÌução reaÌ r..

4/ . íUl RN ' No programa d( radio HorJ NdcionaÌ, o locutor informa: 'Atenção, senhoresouvintes. Àcabamos de receber uma notiÊca

ção da Defesa CiviÌ do País aÌertando pala a.hegada de um tura.ao de grandes proporçòe'nas próxìmas 24 horâs. Pede se que mante-nham a calma, uma vez que os órgãos do go-verno já estão tomando todas as Providênciascabíveis'lParaâtender às soÌicitações que seguem, supo-nha que o número depessoas que tenìa âcessoa essa informação, quando transcorridas rho-ras após â divuÌgação danotlcia, sejadado pela

expressãol

' , ' ' P

l+9 12r l

sendo t > 0 e P apopulâção do País.

a) Calcule o percentual da popuÌação que to-mou coÍÌrecimento da noúcia no instantede sua dirruìgação.

b) CaìcuÌe em quantas horas 90olo da popula

ção tem acesso à notícia, coÌÌsidemndo que,em I hora após a notícia, 500/0 da popula-

çáo do pars já conhecid d informaçào.

(0,

5.-

'27

0,0

(+r(+r({1õ)'

1 000 t4tr " Resolva os sistemas seguintes:

l+t =8

, l t . ,Ft '= +s' *l2Y.=1024

. iroo" rtor = 10c, l

Lo, l ' o,o1r:0,01

42" ResoÌva as seguintes equações:

a) 2x+) 3.2x r=20

b) 5x r-5x+, .5x=89

c) 4x+r+4{+2-4x L 4x 2=315

, l r )*+ ) '+r + )-+z r ) r r r =- ! !)

43. As leis seguintes representam as estimativâs de

valores (em milhares de reais) de dois apêrta-mentosÀ eB (adquiridos namesma data), pas

sados fanos da dâtâ de compm:

apartamentoÁ: v=2Ì+ L + 120âpartamento B: v=6.2t 2+248

a) PoÌ quais valores foram adquiÌidos os apartamentos A e B, respectivamente?

b) Passados quatro anos da compra, quaÌ deles

estarâ vâlendo mais?c) Qual é o tempo necessário (a paÌtiÌ da data

de aquisìção) para que ambos tenham iguais

valores?

44. N" le in, r r - ls 000.Í r ì .sendo À uma.. 'n-\2/

tante (eal, está representada â população (D(t))

que um pequeno município teú daqui â Í anos,

contado$ a parú de hoje.

g7

!n*rrg: : : tÀese

*Hp*ft*rxf ÊffiiBUma inequação exponenciãl é aquela que âpre-

senta a incógnita no expoenle de pelo menos umapotência.

Sao exponenciêis. por eíenplo. es i .equaçoe-

4- < 8,1+ l >81e9" 3"<72.

t lm método usaclo para resolver inequdçoesexponenciais consÌste em reduzir ambos os rnem-bros dâ inequação e potências de mesmâ bese o(0 < a + 1), e daíaplicara propriedãdel

â"<a' ,=x1<x2(sea>1)

0ue" < e',+x1 > xz (se o < e < 1)

Vamos resolver ã seguinte inequação em

52x+ 2 5x+3>5{_5

Temosì

5a+2 _ 5x+3 > 51 5

52x 52 5x.53 > 5x-5

25.5,*- 126 5*+5>0

Fazendo 5r = g, vemj

Í ,z5g_ lzbg+5 >uìv< 1ouv >5

Logoi

c.- ! . -c < r2-"- )- 2\-0u

5'>5+5'>51+x>1

S={x€ Rlx< 2oux>1}

R,

f

em

a)

Vamos resolver as seguintes inequeçõesR:

2,>642'>64.>2x>26+x>6

S={x€R x>6}

l1\ ' , 1\T/ - 22

l1( l l \ ' , l , ll+ l <==i+l<l+l-x>:\ 1/ ta \ j t \ ,J /

baseenÌre0e1

S ={1€ R x>3}

(2)--1<64'

(2Í)xt 1 < 64 + 2(r+ 1) < 26 =

=x(x+1)<6

xr+x 6<0+-3<x<2

s={x€Rl-3<x<2}

lR, ês seguintes irequdções erpo

, +=(+).e) 4.>32

| (+)'-,

c)

b)

s€guntes Ìnelluàções expo

d) (0,01)" > {1õ

e) 49r '< +

f ) sL r>!

W f:ii!,+ti'it:i.;lüríS ffi'll ;i, ResoÌva, em

a) 2 '> 128

b) 3 '< 27

. ) r l t ' . Ì l ì 'r a l i + /

,:!].Ìil ncsotva, cm R, as

a) 6a-' > |

b) 1- l >1

.) (1ã"<+

. . A fopul. \ io d, peüe. crr um lJ;u (nJ a rr lnui .do Je' i r io a.onrrrr 'nrcroda a5ua 1,o, re 'r ,cluos industÌìais.

'ia

A lei n(t) = 5 000 - 10 2r I fornece uma es-

timativa do núÌnero de espécies vivas (ÌÌ(t)) em

função do número de anos (t) transcorridosâpós a instalação do parque industr ial na

região.

a) Estime'a quantidade de peixes que vÌvnm

no lago no ano da instâlâção do parque

industrial.b) AÌgum tempo após as indústias começarem

a operar, constatou se que havia no lago me-

nos de 4 920 peües. Parâ que valores cle t

vaÌe essâ condição?c) Uma ONG dirdgou que, se nenhuma pro-

vidéncia for toÌrada, em umâ décâda (a par-

tir do iício das operaçõet não haverá ma$peixes no lago. Tal afirmaçâo procede?

53. " Resolva, e* R, u" "eguintes

desiguaÌdades:

de1. (PUc-Ri) A

"."."'são (rE- t): + rEe lg"oi a'

a) : - ! lt,) ,l - ur5c) 3 z16d) I + 3\iJ.)1\6

Z . (Unicap-PE) Se Á e B sao reais positivos, cÌassìfiquecono verdadena (v) ou íalsa (F) câdâ uma das seguintes spressões:

a) ÀJ. B' := (A. B)ôb) A' .83 = (A Bf

! ! . !d) A:+4,=4"

t ì íÁ.+B' ì .4- .=t+i

3. (U. F. Santa Mãria-RS) o conjunto solução da equa-

ção (0,25)?'= \lt é:

a); b) t

52, Resolva, em R, as inequaçôes seguintes:

a) 3 ' Ì+3"+3*+r>351/ r \ Ì /1. \+2

b) s í+ì +í+ì í+ì <)6\ t t \zt \ t l

53, Resolva, em R, as inerìuações segrintes:

a) 25* 6.5.+5<0b) 4.+Ì6>10 2"c) 100Ì+3.10x+2<0

54. Ern um artigo de economia foi pulilicada umaprevisão para o vaÌor de um Ìote de ações dedeterminada emprcsq dada peÌa relação:

v(r ) = .l ooo + L. r ít)'í)

sendo v(t) o valor do lote no mês t, contâdo apartí da data de publicâção.

â) Se um investidor comprou o lote no dia des-sa publicação, qüanto pagou por eÌe'?

b) Para que o lote passe a vaÌer R$ 2 121,50 oumais, o jnvestidor precisafi espeür pot no

mínimo, lr meses. Qü:ìl é o vaÌor de tl?

4.r1. t . lur , ae ,or i \ l t Dada a eqrraç.ro2i r .8r+ì = 4r r , podemds aÊmar que sua soiução é um número:

b) maiorque i .c) de móduÌo maior do que Ì.d) par.e) de móduÌo Ìnenor do que Ì.

5. (Ccfet-Mc) SìmpÌi f icando a expressão

L-2, ! f / i ì , l l l ì "1,"-* ,\ , z l I \+/

t

o) l;l '\;Jc) ( l [ )" ' t>36

d) 4*+ 3 > -2

vestibulares")ao+

u) -;

o)+. ) - : :

a) -36,. 80

e) 60

'tt*

6. r t pt , . . i " - * e \ - d. ,otucoer dd equd\. , . \/ 4 \ \ : - ] \+] / 1\ . , .

Pon. " . i , r

| . / l ; / o\ro-dd,om"

í . rU.Llü/delord MGìAfü1(ao./r ì 0Í) J . (on

| . : .dd o. Íe*únenrúdo rúmero.,debd.re, ì . ,

no instânte t em horâs. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias esiá

a) t0, alb) [4, 121c) [ Ì2,36]

d) [36,72)e) 172,1081

õ. íUn Ío- Cl-l Seidm ,. , e X nmero. reai\. r"j. qu.r i -A rr r . , , : l - : t

\ +. \eb t .entra '+ à. 1)

a) X< I

b) --<x< Ì

. ) !<x<z'2

d) x>l12

9 . (l,ru.t.ori"-Sp) o n.l-"ro de indìúduos de un1 cer-

rogrupoedJdoporr ' \ í r0- . : . l t0oo,erao\ ru_ /

ro tempo nedido em dias. Desse modo, entre o 2eeo 3e dia, o número de indivíduos do grupo:

r) rumenldrâ em evrmenre l0 unrdìdc.b) oumFrrãr i em exat!menre a0 uniddde.c) díìiÌüirá em e{atamente 9 unidades..l) aumentará em datamenre 9 unidades.e) .liminürá em exatamente 90 unidades.

10, ru"uo ru) H: oot,mente M ano,Iosé inicÌou uma. r ,a.au de ' oeÌ ìo. e. durante e ' .e perodo. o r . rmerode coeÌhos duplicou a cada 3 meses. Hoje, preocupado com a faÌta de espaço para os coelhos, losévai vender parte dessa criâção, de Ììodo que apenâsa quantidade iniciaÌ fique com ele. Se N0 denota aquãntidade idcìaÌ de coelhos, então a qunntidade a

a) lsNob) l3Noc) 12No

d)

o

11. lu"it-ssl UÌÌìa dererminada Ìnáquina indüstrial sedcpÌecia de tal forma quc serÌ vâlor, r anos após suacompra, é dado por v(t) = v0 . 2r,,t, em que 1,0 éumâ constante Ìeal. Se, após Ì0 aDos, a DÌáquina esri-ver vâlendo R$ 12 000,00, então ela foi compraoa emreèÌs, por um valoÌ:al nÌaror que46 000.b) igualâ46 500.c) .'ntÌe 40 00íl e 46 000.d) entÌe 38 000 c 44 000-el menor que 42 000.

12. (puc lrc) cunrta.re como verdadeiras as rguar-dadesA"' p=2 e ArP = 8. Nessâs .ondições, ovaìor

15. 'Ul Pl ì 5rponhr. tuc. er '00J.oPlB!Prudurul lterno BÌuto)de um pâís sejâ s00 bilhões de dóÌâÌes.Se o PIB crescer 37o ao âno, de forma cumuÌaliva,qlÌal será o PIB.lo pâís e!Ìì 2023, dado enì bilhões dedólares? (Use a apÌoxnnação 1,03?0 = 1,80.)âl 900b) esoc) Ì 000d) r 0s0e) 1 r00

I.l. /UI-MCì O rr "r

rl, erpre*ao 1a - b I e:

c) a'z+ b)

IJ. , ( e lcr PRì Umd rmpa . ,ara nanobrr . d. . (a,r "

representada peÌo esqueDìa:

Se a parte cÌrrva pudesse ser associada a uma fünção,

d)+Ò;

") +ü+Ò+

t

c)8

d) r0

8No7No

1,0 Ín i l ,0 m 1,0

1üü

rl

. )

d)

IO. r \ r re.p \P \ r .mterodoprolông.dôde.e. . , . . \ rriâção daquantidade deáguâde certo ÌescÌvatório édada peÌa tunção:

q(t) = qo 2r'-o'i)t

sendo 40aquantidade iniciaìde água no reservatóÌio e q (t) a quantidade de áglÌa no reservatório apósr Ìneses. Em quantos meses a quantidade de águado reservatório se reduziÌá à metade do que eÌa noinício?

a) sb)7c)8d) ee) r0

I í . ú eÍe, \4C {êlurçroro r ' n '4Jpo..u,Jua,r i r /e, feJ; ! d i , l n!ô / ] e ü. C- ' rJor de r I b e.

a) 5b)ec) 12d) 36e) 2.a3

rO. (Uf PB) \endo, e I coìndn.e re. i . e 'J 'eìdô.eque o srá6co da funcão f(x) = a 2kpassa peÌos pon'tos Â(0, s) e B(1, 10), o vaÌoÌ da exprcssão 2â + ke:

a) 15bl 13c) Ì rd) 10e) t2

LU. íMJ, len/ ie (Pì \ \onìd dd. rd /e\ d. equdçio

22x+t 2x+1=2x+) 32é.

^)2b)3

ZU. LIÈ-PA' \of indldome.derbr i ld<r00{."p"pulr ,

ção de BeÌém viveu um diâ de pànìco em decorràl-cÌa de boatos que se espaÌha!ãm Ìâpìdament€ peÌâcidade. Tüdo coÌneçou lôgo cedo, pela manha, conum asaÌto a um carro forte em frente a um banco,locaÌizado en umi movimentada aveddabelenense.A poÌíciâ perseguiu os bandidos e estes fizeÌam reféns. As testemunhas do ocotrido incumbiram se deiniciar o zuÌrzunzum, espalhando, senì rnuita cÌareza, o que acontecera. A quantidade de pessoas querecebiâ infoÌmaçÕes distorcidâs sobÌe o frto drplrca11a a .ãda 10 mìnutos e, depois de umâ hora, I 024 -

.rdadaor paraenses já se encontravanÌ aterroÌizados,nchando que a cidade estâvâ sendo tomada por baDdidos. Ao fiüaÌ da mânhã, bancos, comér.io, escolâse repaúìções públicas já estavâm con1 o expedienieenceÌrãdo. Combase nos números citados, quantâspesoas testemunharam o ssalto?

b 8 fesoJ\

cll íVunesp SP) E dada d jnequâçao:

x /?\x l( Ì ) . '> l : l

O (oniu,rô vêrdrde v,con. ideí"ndoo.un,.rn.o I ' iverso como sendo o dos reais, é dado por:

lr"l = /f '+ :\21

hír l = l : l +1\2I 2

t2/

híÌ)=l- : .1 +2\2 |

l r ' l=/ ! j ' '+r\2 l

II

I

a) v={x€Rb) v={xeRc) v=lxeRd) v= lxe Re) v={ÌeR

x<-3ex>2)

-3<x<2Ìr. < -31\>21

éí, íJ ' \ - \P\ Umr p r ì rura de granoe impor, ,n. i , l r ,tórica foi comprada em 1902 por 100 dóÌares e, apartir de então' seu vaÌor tem dobrado a cada 10 anos.O valor dessa pintuÌa, em 2002, erà de:

a) r00000 dóÌaresb) 200 000 dóÌaresc) 5Ì 200 dólaresd) Ì02400 dólarese) Ì50000 dólaÌes

23. (Mackenzie-sr) A Èaçao

a)r

b) - ;

c)2

2e3+450_8r42er_3210+2141

d)+4.+

t :

é igual a:

Z,+. ' I | -CO' \ , . rad, a( los-. i . . ' . . ' " u ' . ,aò n. ' d.Êr ição de nodelos de crescimcÌ1to popúacionaì quandofatores ânbientais iDpÕcm restÌiçires ao tamrÌrhopossível dâpopulação, na propagação de epideÌniâs cboatos em comuddâdc's. Por exemplo, estilna-se quedeconjdas r semnnas, a pa.tiÌ d.ì conshtâcÀo da existàÌcia de umr íorma de gripe, o n úrnìero N de pessoãscontaDìinadas (em nilhafes) é aproümadamente:

bl lvlcnos de 6 nil Pessoas haliiìm contrâido ìdoença, decorrìdas duas s€manas da conúatação da exìstência dâ gripe.

c) São necessárìas mâis de quatro scmânas paÌa que18 njl pessoâs sejam iníeúadas.

d) O númeÌo de pessoas infectadas âtingirá 20 mìÌ.

aJ. / l l ( | AsL, led Jhc.rrrr i ,a na. l ra l .or . ra : rìJnrrô r(J l rú i r :vn t que \dt , d/

" equJ\-o:

l+ l9xl0o.n

De J.^rd". or ' c. J.rr ' r . r 'J . . * : Í ìq-e.oro! .cdadeiras (v) ou falsa-s (I) !s afiÌnrâçõesl

, l Àlc ' ru\ . lc qnope \o. . h i \ i i r , . , , r ' t -drdo, ( lo.n-

ça quaDdo fòìconsia(ada a existência dagripe.

/E*r } \ ' f . ( r -1] '= tzs\ . / Ì / \ lx i 64

t

b)2cl 3

els

r. Sen usar a caÌcuhdora, decida quem é nrior:

i", qu e o '".,,o.

u,ro. "ssumido

peÌà runção r1x) = (*) -. "',

'LnrcimpsP.Opro.Lsode'e.hrrmer lod(u,n. i ( tdninddo.orpoede\r i .opor: l | | l - t \ |o.J .onde T(t) é â tenìperatura do corpo, em graus CeÌsius, no ìnstante f, dado em nìinutos, TÁ é â remperèturaambiente, suposta constante, e (Ì e B são constântes. O refeÌido corpo íoi coÌo.ado em um congeiador comtempeÌatüa de 18 oC. Um temómetro no corpo indicou que ele atiÌ1giu 0 .C após 90 ninutos e chegoud _tb . . ,pn\ . -0

minJ.ú. .

a) En ortre os valoÌes Duméricos dar constantes .I e p-

b) Detennine o valor de fpâra o qual a remp{LJiuLr.lo c"Ìpo no cor4ctadoÌ e èp** f]),c *p*i..1- rJ,

tempcrâiurâ ambienre.

t ;J ou t ; l

'.'