63

14. Função Exponencial

É todo função que pode ser escrita na forma:

f: ℝ ℝ+∗

y = ax

Em que a é um número real tal que 0 < a 1. Observação:

1. Se a < 0, com x ℝ, poderíamos ter, por exemplo, a = -2 e x = 2

1 e assim teríamos

y = 22 2

1

ℝ, ou seja, f não seria função.

2. Se a= 0, poderíamos ter x = -1. Assim y = 0-1=0

1, que não existe.

3. Se a = 1, teríamos y = 1x = 1, independente do valor de x, logo seria uma função

afim e não exponencial.

14.1 Gráfico da função exponencial e exemplos.

O gráfico ao lado é o gráfico da

função exponencial, cuja lei é y= 2x.

Para fazer seu gráfico incialmente

podemos obter alguns pontos e depois

passar uma linha por estes pontos.

Será que a função intersecciona o

eixo ox? Para isso deveríamos achar

resposta para 2x = 0 e de fato não

existe x para que isso ocorra. No caso da função ser crescente, podemos dizer

que quanto mais x se aproxima de , mais y se aproxima de zero, mas nunca

será zero. E quanto mais x se aproxima de + , mais y vai a + . Esse comportamento da função exponencial é de extrema importância. Vejamos um outro

gráfico.

O gráfico ao lado é o da função, cuja

lei é

x

2

1)x(g

.

Podemos fazer este gráfico

analogamente ao anterior.

Desta vez, nos deparamos com uma

função decrescente.

O comportamento da função g se

inverte em relação ao crescimento e

assim podemos dizer que quanto mais

x se aproxima de , mais y aumenta ilimitadamente, ou seja, vai a + . Assim

como quanto mais x se aproxima de + , mais y se aproxima de zero.

Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de

y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = ℝ+∗ .

x y

-3 0.125

-2 0.25

-1 0.5

0 1

1 2

2 4

x y

-2 4

-1 2

0 1

1 0.5

2 0.25

3 0.125

64

Tanto na função exponencial crescente, quanto na decrescente o gráfico da função

intersecciona o eixo ox no ponto (0,1). Isso se considerarmos a função exponencial

simples, cuja lei é y = ax.

14.2 Crescimento.

Com a função exponencial básica, ou a função é apenas crescente, ou apenas

decrescente. Como diferenciar os dois casos?

Tiramos esta resposta da aritmética e das regras

de potenciação.

Analisamos dois casos: Se 0 < a < 1 e se a > 1.

Se a > 1, à medida que aumentarmos o x, maior

ficará o y, isso significa que a função é

crescente.

Ao lado, os gráficos bordô, azul e verde são

respectivamente das funções exponenciais, cujas

leis são:

y= 3x, y = 2x e y = 1,5x.

Por exemplo, considerando a = 2:

-1 < 0 < 1 2-1 < 20 < 21

Se 0 < a < 1, à medida que aumentarmos o x, menor ficará o y, isso significa que

a função é decrescente.

Ao lado os gráficos verde, vermelho e azul

são respectivamente das funções exponenciais

h, g e p, cujas leis são:

x

3

2y

,

x

2

1y

e

x

3

1y

Por exemplo, considerando a = 2

1

-1 < 0 < 1

101

2

1

2

1

2

1

Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente.

Se a > 1, então a função exponencial é crescente.

Exemplo: Determine o crescimento das funções abaixo:

(a) f: ℝ ℝ+∗ (b) g: ℝ ℝ+

∗ (c) h: ℝ ℝ+∗

x

3y

x

3

2y

x4

7

5y

65

14.3 Estudo do Sinal

A função básica f: ℝ ℝ+∗ não intersecciona o eixo ox e está toda acima

y = ax

deste eixo, logo é sempre positiva. Agora quando compomos a função exponencial

com outras tudo pode acontecer. Isso requer que saibamos resolver equações e

inequações envolvendo expressões exponenciais.

14.4 Equações exponenciais.

Qual é a raiz da função 93y

lRlR:f

2x5

? Sabemos que a função exponencial básica não

tem raiz, mas esta é o resultado da composição da função x

*

3y

lRlR:g

,

9xy

lRlR:h

e 2x5y

lRlR:p

.

Descobrir a raiz da função f requer que resolvamos a equação 35x-2- 9 = 0. Outras

composições exigirão resolver outras equações, então passamos agora a resolvê-

las. A resolução de problemas envolvendo funções exponenciais também requerem a

resolução de equações exponenciais.

Relembrando propriedades de potenciação e radiciação.

1 - yxyxaaa

xxx)ab(ba 2 -

3 - yx

y

x

aa

a , se a 0.

4 - x

x

x

b

a

b

a

, se b 0.

5 - yxyxaa

6 - y

x

y x aa a > 0

7 - yxaayx

8 - x

x

a

1a , se a 0.

9 – a0 = 1 , se a 0. 10 – a1 = a.

A fim de resolver uma equação exponencial podemos aplicar estas propriedades e

somente estas, além das manipulações algébricas conhecidas.

Exemplo: Resolver as equações abaixo:

(a) 4x = 32 (b) 813

1x

(c) x1x525

(d) 35x-2- 9 = 0

64

(e) 5x+3 – 9.5x+1 + 5x = 2025

(f) 4x = 2x + 12

14.5 Inequações exponenciais.

Para que valores do domínio 93y

lRlR:f

2x5

assume valores positivos ou negativos? Sabemos que a função exponencial básica

não tem raiz e é apenas positiva, mas e esta? Determinar em que valores de x, f é positiva requer que resolvamos 35z-2- 9 > 0 e para valores negativos, 35z-2- 9 < 0. Para isso além de considerar as propriedades de potenciação e as manipulações algébricas já conhecidas, devemos considerar as propriedades abaixo relacionadas com o crescimento de uma função exponencial: 11 – Se a > 1, então: 12 – Se 0 < a < 1, então:

ax1 < ax2 x1 < x2. ax1 > ax2 x1 < x2.

Exemplo: Resolver as equações abaixo:

(a) 3x-1 > 27 (b) x

1x

16

18

3x-1 > 33 (23)x – 1 < 2-4x

a > 1 Propriedade 11 23x – 3 < 2-4x

x – 1 > 3 a > 1 Propriedade 11 x > 3 + 1 3x – 3 < - 4x x > 4 3x + 4x < 3 7x < 3

S = [4, + [ 7

3x S =

7

3,

65

(c) 2xx

3

1

3

12

(d) 35x-2- 9 > 0

0<a<1 Propriedade 12 35x-2 > 9 x2 – x < 2 35x-2 > 32

x2- x – 2 < 0 a>1 Propriedade 11 Inequação de 2º grau 5x – 2 > 2 Raízes x = -1 e x = 2 5x > 4

Concavidade para cima 5

4x

S = ] – 1, 2 [ S =

,

5

4

(e) 3x+1 + 3x+2

< 108 (d) 52x+2 – 5x+3 > 5x - 5 3x.31 + 3x.32 < 108 52x.52 – 5x.53 – 5x + 5 > 0 Colocando 3x em evidência: 25.(5x)2-125.5x – 5x + 5 > 0 3x(3+9) < 108 Trocando variáveis:

3x < 12

108 t = 5x 25t2 – 126t + 5 > 0

3x < 9 Raízes 50

5254126126t

2

50

124126t

a>1 Propriedade 11 t = 25

1 t = 5 Voltando a variável x:

x < 2 5x = 25

1 5x = 5

S = ]-,2[ x = - 2 x = 1 Concavidade para cima e a > 1

S = ]-,-2[]1,+[

15. Função inversa da função exponencial.

Sendo f: ℝ ℝ+∗ função exponencial, então g: ℝ+

∗ ℝ é sua inversa, desde y = ax x= ay

g seja função. Não esqueça, a é um número real tal que 0 < a 1. Como conhecemos o gráfico da função f

e que gráficos de funções inversas

entre si são simétricos em relação à

reta y = x, podemos verificar se g é

função.

Ao lado a curva azul é o gráfico de

uma função exponencial em que a > 1.

A curva vermelha foi produzida pela

simetria. Nota-se que é uma função e

que, identicamente a f, g é crescente.

Pela simetria o eixo ox é assíntota da

f e assim o eixo oy é assíntota de g.

Lembramos que pela definição de função

inversa:

(a,b) f (b,a) g Podemos já fazer o estudo do sinal da

função g:

y > 0 x > 1

y = 0 x = 1

y < 0 0 < x < 1

Esquema simplificado do sinal: a >1 ___________________

66

No caso de 0 < a < 1, pela simetria, podemos notar que a função g também é

decrescente.

Também podemos estudar o sinal da função

inversa da exponencial quando 0 < a < 1.

y > 0 0 < x < 1

y = 0 x = 1

y < 0 x > 1

Esquema simplificado do sinal:

0 < a < 1: _______________________

Devemos obter um modo de explicitar y na

lei de g e a função estará definida.

Na lei da função inversa da função

exponencial: x = ay, para explicitar y que

está no expoente, temos a definição de

LOGARITMO! Que nada mais é do que o EXPOENTE!

Logaritmo é o expoente!!!!!

Agora podemos definir a função logarítmica básica:

g: ℝ+∗ ℝ

y = logax

Em que: 0 < a 1 e só está definido para x > 0.

Observação: Qualquer alteração na função logarítmica básica requer minucioso

estudo, por isso estudaremos o logaritmo como algo independente da definição de

função, resolveremos equações e inequações logarítmicas.

Exemplo: Determine o maior subconjunto dos reais A, que torna f: A ℝ de lei

f(x) =

2x

x3log

4 uma função.

15.1 Logaritmo.

Se 0 < a 1, o resultado de ax é estritamente positivo, assim se ax = b, temos b > 0. Logaritmo é o expoente de uma equação exponencial.

ax = b x = logab

Desde a sua criação, no século XV, foram criadas tabelas indicando alguns

valores de logaritmos na base 10. Felizmente hoje não necessitamos destes

artifícios devido ao amplo uso das calculadoras, mas o cálculo não é nosso

objetivo. O uso do logaritmo vai além de quanto ele vale. Assim, precisamos

desenvolver as propriedades dos logaritmos, assim como temos as propriedades de

potenciação. E por exemplo se uma resposta resultar em log23, deixamos assim, da

mesma forma que se o resultado é 2, na matemática, não dizemos que o resultado

é 1,41, deixamos 2.

67

15.2 Cálculo dos logaritmos e fixação da definição

Assim como para os números positivos escrevemos 9 para o número que ao quadrado é 9, escrevemos log39 para o expoente de 3 que o resultado é 9.

A radiciação é a operação inversa da potenciação em relação à base da potência:

32 = 9 9 = 3 A logaritmação é a operação inversa da potenciação em relação ao expoente da

potência:

32 = 9 log39 = 2

Exemplo: Calcule os logaritmos abaixo, transformando na equação exponencial se

necessário.

(a) log525 (b) log381 (c) log232

(d)

2

1log

2 (e) 7log

7 (f) log

(g) log41 (f)log6216 (g)

81

1log

3

2. Calcule log23.

Esse valor existem mesmo pensando que se log23 = x 2x = 3, não podemos colocar ambos os membros na mesma base. Isso quer dizer que a resposta não é um número fracionário. É um número irracional. Observe o gráfico. O log23 está muito bem definido 1 < log23 < 2, se aproximando mais de 2. Como calcular? Podemos encontrar quantos dígitos exatos quisermos. Não sem trabalho, pois seria como calculavam os logaritmos originalmente. Vamos repetir o procedimento apenas para termos ideia do mecanismo e reforçar a definição. Partiremos de uma aproximação, escolhemos um valor de x que acreditamos que se aproxime do log23, por exemplo, pelo gráfico está próximo de 1,5. Depois aproximamos mais os resultados testando os valores, alteramos o valor de x para que 2X fique cada vez mais próximo de 3, preenchendo a tabela abaixo.

x 1,5 1,6 1,55 1,59 1,58 1,585 1,584 1,58496 log23

2 2,8284 3,0314 2,9281 3,01049 2,98969 3,00007 3,00090 2,999994 3

log23 1,58496 Para chegar a esse resultado numa calculadora científica o problema é que a calculadora só usa base 10 e base e.

68

Observação: Há bases especiais que possuem notação própria:

logb (não aparece base) possui base 10.

lnb = logeb possui base e 2,71728281

As duas são as únicas que podem ser calculadas em qualquer calculadora científica,

por isso no decorrer do estudo veremos um mecanismo para mudar de base.

15.3 Propriedades dos logaritmos.

Mostraremos as propriedades de logaritmos juntamente com as propriedades de

potenciação, pois são INVERSAS uma da outra.

a0 = 1 loga1 = 0

a1 = a logaa = 1

ax.ay = ax+y loga(x.y) = logax + logay

yx

y

x

aa

a ylogxlogy

xlog

aaa

yxyxaa

logaxy = ylogax

f(x)=ax g(x)=logax f(g(x))= x xaxlogz

ax = ay x = y logax = logay x = y

Exemplo: 1. Sabendo que logbx = -2 e logby = 3, calcule

3

2

b

y

xlog .

2. Se logE = 1 + loga + 2logb – logc, então calcule E.

3. Se log8 = a e log3 = b, calcule:

(a) log2 (b) 3 18log

69

15.4 Fórmula de mudança de base.

Caso queiras alguma explicação adicional a como se chega a fórmula da mudança de

base, procure atendimento.

xlog

ylogylog

a

a

x

Em que a é a nova base.

Exemplo: Resolver as equações abaixo e calcule aproximadamente o valor de x:

(a) 2x = 3 (b) 5x = 7 (c) 8x = 32

15.5 Equações exponenciais e logarítmicas.

Nos exemplos anteriores já conseguimos resolver algumas equações exponenciais

que somente com o conhecimento de exponencial não conseguiríamos. Agora

incrementaremos estes casos e resolveremos equações logarítmicas, com base nas

suas propriedades.

Exemplo: Resolver as equações abaixo e deixe as respostas com os resultados

logarítmicos mais simples possíveis:

(a) 31-x = 4 (b) 2x = 3x

(c) log4(3x+2)=log4(2x+5) (d) logx(4x + 1)=logx(2x + 3)

(e) log3(2x-11)= 3 (f) log4(log2x)=1

70

(g) 06xlog7xlog2

2

2 (h) log(x+1) – log(2x) = 2

(i) lnx + ln(x + 1) = ln20 (j) log3x = 1 + log9(2x-9)

15.6 Inequações logarítmicas. Ao resolver inequações logarítmicas devemos ter o mesmo cuidado do que com as equações exponenciais, pois se estamos comparando desigualdade de potências devemos saber como comparar os expoentes. Tudo depende da base ser de uma função exponencial ser crescente ou decrescente lembram-se? O mesmo caso agora, com o agravante que ainda temos as condições de existência do logaritmo, ou

seja a base 0<a1 e logaritmando estritamente positivo. Para a > 1 se logax1 < logax2, então x1 < x2. O sinal de desigualdade permanece o mesmo, pois sendo uma função crescente se aumentarmos o x, o y aumenta. Se diminuirmos o x, o y também diminui e vice-versa. Para 0 < a <1 se logax1 > logax2, então x1 < x2. O sinal da desigualdade muda, pois sendo uma função decrescente se aumentarmos o x, o y diminui. Se diminuirmos o x, o y aumenta e vice-versa. Para resolvermos inequações logarítmicas usaremos além da definição de função crescente e decrescente, a existência dos logaritmos, pois não basta relacionar os logaritmandos de maneira correta se cada logaritmo que constar na inequação original não existir. Assim, para a solução da inequação logarítmica teremos que fazer a intersecção dessas duas condições: a comparação dos logaritmando e a condição de existência dos logaritmos. Exemplo: Resolver as inequações abaixo:

(a) log4x < log45 I - Base a = 4 > 1. Comparar os logaritmandos com mesmo sinal de desigualdade. x < 5 II – Condição de existência de log4x. x > 0

I II = 0 < x < 5 S = ]0, 5[

71

(b) )2x(log²xlog2

1

2

1

I – Base 0 < a = 2

1 < 1. Comparar os logaritmandos invertendo o sinal de desigualdade.

x2 > x + 2 Inequação de 2º grau x2 – x – 2 > 0 Estudo do sinal da função f(x) = x2 – x - 2 x = - 1 x = 2 Raízes da função f Concavidade para cima, onde queremos os positivos. x < - 1 ou x > 2 Onde a função f(x) é positiva II – Condição de existência dos logaritmos.

1- logax2 x2 > 0 x 0

2– loga(x+2) x + 2 > 0 x > 2 I

1 2 II

2 0

III

2 1 2

S = ]-2,-2] [2, +[ (c) log3(x²-8x) < 2 I- log3(x²-8x) < log39 Base a = 3 > 1, o sinal de desigualdade é o mesmo quando compararmos os logaritmandos. x2 – 8x < 9 Inequação do segundo grau. x2 – 8x – 9 < 0 Estudo do sinal da função f(x) = x2 – 8x - 9 x = -1 x = 9 Raízes da função, cujo gráfico é côncavo para cima. - 1 < x < 9 Intervalo de x em que f(x) é negativo. II – Condição de existência.

log3(x2 – 8x) x2 – 8x > 0 Estudo do sinal da função f(x)= x2 – 8x x = 0 x = 8 Raízes da função, cujo gráfico é côncavo para cima. x < 0 ou x > 8 Intervalo de x em que f(x) é positiva. I

1 9 II 0 8

III

1 0 8 9

S = ]-1,0[ ]8, 9[

(d) )3x(log)1x(log xlog3

1

3

1

3

1

I- )3x(log)1x( xlog3

1

3

1

Base 0 < a < 1, invertemos o sinal de desigualdade quando comparamos os logaritmandos. x(x-1) < x + 3 x2 – x < x + 3 Inequação do segundo grau. x2 – 2x – 3 < 0 Estudo do sinal da função f(x) = x2 – 2x – 3. x = - 1 x = 3 Raízes de f, cujo gráfico é côncavo para cima.

1 < x < 3 Intervalos em que f é negativa. II – Condição de existência dos logaritmos.

1 – logax x > 0

2 – loga(x – 1) x – 1 > 0 x > 1

3 – loga(x – 3) x + 3 > 0 x > - 3

123 = II x > 1

III = 1 < x < 3 (Se tiver dúvidas, faça a representação geométrica dos intervalos I e II e veja o que eles têm em comum. S= ]1,3[

72

(e) 2ln2 x – lnx > 6 I – Troca de variável. t = lnx Base a = e > 1. 2t2 – t – 6 > 0 Estudo do sinal da função f(t) = 2t2 – t - 6

t= 4

71

4

62411

t = - 3

2 t = 2 Raízes de f, cujo gráfico é côncavo para cima.

t < - 3

2 ou t > 2 Intervalos em que f é positiva.

lnx < - 3

2 ou lnx > 2 Voltando a variável x.

x < 3

2

e

ou x > e2 Base a = e > 2, mesmo sinal da desigualdade. II – Condição de existência dos logaritmos: x > 0

I II = 0 < x < 3

2

e

ou x > e2

S =

,e

e

1,0 2

3 2

16 Exercícios.

Classifique as funções exponenciais, cujas leis estão abaixo segundo seu

crescimento.

(a)

x

2

2y

(b)

x

e

3y

(c) x

ey

(d) y = -x (e)

x24

y

Compare as potências abaixo, colocando entre elas os sinais adequados de <

ou >:

(a)

73

3

3___

3

3

(b) (0,9)4 ____ (0,9)-5

(c) 3___3

2 (d)

10e

2___2

Resolva as equações exponenciais abaixo:

(a) 2x = 64 (b) 3x-2 = 9 (c) 1255x2x

2

(d) 32

12

5 x (e) 2x + 2x-1 = 12 (f) 3x-2 + 3x+1 = 84

(g) 22x – 9.2x = - 8 (h) 4x+2 – 3.2x+3 = 160

Resolva as inequações exponenciais abaixo:

(a) 25x > 23x+10 (b) 1xxx01,001,0

2 (c)

x3

1x2

2

22

(d) (0,5)x-1 + (0,5)x-2 > 48 (e) 4x+1 + 4x+2 – 1280 < 0

Determine o maior subconjunto A dos reais que tornam as

expressões abaixo em leis de uma função f: A ℝ.

(a) y = 2xxx77 (b)

x

2

1

64

1

xy

73

(a) Estudo o sinal da função f: ℝ ℝ em que f(x) = 13

11x3

.

(b) A função f intersecciona a reta y = -1? Justifique.

(c) Qual a imagem da função f?

(d) Em que ponto o gráfico de f intersecciona o eixo oy?

(e) Esboce o gráfico da função f.

17 Exercícios.

Determine o maior subconjunto dos reais que torna a equação abaixo na lei de uma

função:

x5

3xlogy

21- 6x5xlogy

2

3

12- ²xx23logy

x2 3-

Determine a função inversa das leis abaixo, incluindo seu domínio.

93y2x5 4- 5- 4

8

13y

5x

Resolva as equações abaixo, em ℝ: 6- 3x = 2x + 2x+1

7- 43x-1 = 3x+2

8- 6log45xlog3

1

3

1

9- logx(6x-5) = logx(2x-1)

10- log(4x-3) = - 1

11- 0xlogloglog25

5

1

13- log3(x²-x-5)-log3x = 1

14 - logx2 = log2x

Complementares Resolvas as inequações abaixo, em ℝ: 15- 3x > 7

16- log9x < log9 (2-5x)

17- x5log3xlog

5

4

5

4

18- log2x > 3

19- Estude o sinal da função abaixo:

f: ℝ+∗ ℝ

y = 4x3logxlog

2

1

2

2

1

18. Respostas dos exercícios do item 16

1 - (a) Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente

2 – (a) > (b) < (c) < (d) <

74

3 – (a) S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-25} (e) S = {3} (f) S = {3} (g)

S = {0,3} (h) S = {2}

4 – (a) S = ]5, +[ (b) S = ℝ-{1} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-3] (e) S = ]-,

3[

5 – (a) A = ]-, 0] [2,+[ (b) A = ]6, +[

6 –

(a) y > 0 x

3

1, ; y = 0 x =

3

1 e y < 0 x

,

3

1

(b) Não, pois depende da solução da equação 03

11x3

, que não existe.

(c) A reta y = -1 é assíntota da função (resultado de (b), poderemos generalizar

o conceito de assíntota quando estudarmos limites), desta forma Im = ]-1, +[ (d) P(0,2)

(e)

19. Respostas dos exercícios do item 17

1- A = ]3, 5[ 2- A=]-,2[]3,+[ 3- A = ]-1,1[]1,3[

4- 5-

f: ]-9,+[ ℝ g: ]4,+[ ℝ

9xlog5

1

5

2y

3

3

4xlog

3

15y

2

3logx

2

36-

36logx

3

647-

8- x = 2

9- S=

40

31x 10-

75

11- x = 32

12- S = {2,16}

13- S = {-1,5}

2,2

1S14- 15- S = ,7log

3

16- S=

3

1,0

17- S=

18- S= ]8,+[

19- f>0 x

,2

16

1,0 ; f=0 x =

16

1 ou x = 2; f<0

2,

16

1