Problema 1 - Enchimento

Temos uma piscina cujas medidas são dadas na figura acima e uma torneira aberta jogando água neste tanque. Em 1 hora o nível da água chegou a 50 cm. Quanto tempo é necessário para encher toda a piscina?

Qual o tipo de função utilizada para modular esta situação?

Em intervalos constantes o valor é sempre é constante: função afim – f(t) = at+b

Como f(0)=0 - linearf(t)=atComo f(1)=50→ a=50f(t) = 50tAgora 50t = 200t=4h

• Com a piscina cheia vou colocar 1 kg de cloro e manter a água um pouco aberta. Assim o cloro começa a ser eliminado junto com a água.

• Uma hora depois faço uma dosagem de cloro e descubro que resta 900g de cloro.

• Qual a quantidade de cloro 10 horas depois?

b) Serve o modelo afim?Se serve então em 10 horas não teremos

cloro.

A quantidade de cloro eliminada depende da concentração.

A quantidade da solução eliminada é a mesma, mas a solução tem cada vez menos cloro.

Isto é, se na primeira hora foi eliminada 100g, na próxima hora vai ser eliminado menos cloro,e na próxima menos e assim sucessivamente.

• O modelo afim não serve.

No contexto universitário modelamos usando equação diferencial.

Aqui faremos a modelagem de um ponto de vista mais elementar.

Para isso vamos imaginar a seguinte situação:

Coloca-se um pouco (uma gota) e sai uma gota.

água Água + cloro

Em um pequeno intervalo de tempo [t,t+h], quanto menor o h, mais o modelo discreto aproxima-se do modelo contínuo.

V = quantidade de águav = quantidade de água acrescentadah = tempo

Piscina em t H2O é acrescentada

Líquidos se misturam

Mesmo volume é retirado

Volume do Líquido

V V + v.h V + v.h V

Quantidade de cloro

C(t) C(t) C(t) C( t+h)

A quantidade total de cloro que vou ter na piscina depois de retirar a água é

proporcional à quantidade que tinha antes, na razão dos volumes. Isto é:

vhVVtchtc

htcV

tcvhV

)()()()(

O decrescimento do cloro não é constante, mas o decrescimento percentual é

constante. Isto é: Em intervalos de tempo de mesma duração, a quantidade de cloro é multiplicada pela mesma constante (que

depende de h, mas não de t).

Fato Fundamental:

• O relevante não é que a quantidade de cloro diminuiu 100g, mas sim que foi multiplicado por 0,9.

• c(10) = 1000 . 0,910 = 349g

• Portanto, a quantidade de cloro no instante t é:

c(t) = 1000. 0,9t - Uma Função Exponencial

• Qual a quantidade de cloro meia hora depois?

• k.k = 0,9 • logo: k = √ 0,9• assim: c(1/2) = 1000 . √0,9

c(1/2) ≈ 948,7Ou utilizando a fórmula.

Função do tipo exponencial

• F(t) = b.at

b: fator multiplicativo, condiçã o iniciala: representa o quanto a função é

multiplicada em cada intervalo unitário.

Comparação: afim e exponencialafim- f(t) = at +b Exponencial – b at

b: valor inicial b: valor inicial

f(t+h)-f(t) = ahh = 1f(t+1)-f(t) = aa indica quando você sobe(ou desce) quando anda 1 unidade.

f(t+h)/f(t) = ah

h = 1f(t+1)/f(t) = aa indica por quando a função foi multiplicada, em intervalos unitários

Diferença constante Razão constante – crescimento percentual constante

PROBLEMA 1: Crescimento populacional

• É razoável o modelo exponencial?• Sim, pois o crescimento é proporcional a

população.• Uma vez que você tem definido que o

modelo é exponencial, basta determinar a e b.

PROBLEMA 4

Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da

contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?

f(t) = 1.000.000 1,5t

PROBLEMA 2: Decaimento Radioativo

• Átomos com neutrons adicionais tendem a emitir particulas para chegar no estado estável.

• É razoável supor que em cada unidade de tempo seja sempre desprendida o mesmo número de partículas?Não o número de emissão é proporcional a quantidade de material radioativo existente. Na medida que a amostra vai fazendo sua desintegração radioativa, menos átomos são anormais.

• Assim, o modelo é exponencial, é só uma questão de achar as constantes.

• m= m0 (½)t/u

• Quando t = u temos m= m0 (½).• Assim, na equação acima u tem um

significado fácil de entender: u é o tempo necessário para que a quantidade presente se reduza à metade (meia vida).

• Obs. Embora a meia vida seja u, a “vida inteira” não é 2u.

RESOLUÇÃO

f(t) = 1.000.000 2t

Assim:

F(3) = 1.000.000. 23 = 8.000.000

F(10) = 1.000.000 .210 = 1.024.000.000