Processamento Digital de Sinais – Aula 19 – Professor Marcio Eisencraft – abril 2012

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Aula 19 - Representação de sistemas no domínio Z

Bibliografia

� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.

Páginas 462-470.

� HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 466-476.

6.5. Representação de sistemas no domínio Z

� De forma semelhante à função de resposta em frequência ( )ωjeH , podemos

definir no domínio Z a função de sistema ou função de transferência ( )zH .

Definição 1: A função de sistema

A função de sistema ( )zH é definida como

( ) [ ][ ] [ ]∑∞

−∞=

−==n

nznhnhZzH ; +− << hh RzR

� Usando a propriedade da convolução, podemos escrever que para uma saída

[ ]ny devido a uma entrada [ ]nx ,

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )zXzHzYnxnhny =⇒∗=

� Assim, o sistema LIT no domínio Z fica:

6.5.1. Função de sistema a partir da representação por equações de diferen-

ças

� Quando um sistema LIT é descrito por uma equação de diferenças

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[ ] [ ] [ ]∑∑==

−=−+MN

k

k nxbknyany01 l

ll ,

sua função de sistema pode ser facilmente computada. Tomando a transformada

Z dos dois lados e usando suas propriedades, temos:

( ) ( ) ( )∑∑=

−

=

− =+MN

k

k

k zXzbzYzazY01 l

l

l

Ou

( )( )( )

( )( ) ( )N

NN

MMM

N

k

k

k

M

azz

b

bzzb

zA

zB

za

zb

zX

zYzH

++

++

==

+

==−

−

=

−

=

−

∑

∑

L

L

l

l

l

0

0

1

0

1

� Fatorando, obtemos:

( )( )

( )∏

∏

=

=−

−

−

=N

k

k

M

kMN

pz

zz

zbzH

1

10

l

em que l

z ’s são os zeros e kp ’s são os pólos do sistema.

� Assim, ( )zH (e, portanto o sistema LIT) pode ser representado no domínio Z

usando um gráfico de pólos e zeros.

Obs: Se a função de sistema tiver uma RDC englobando a circunferência unitá-

ria, então para calcular ( )ωjeH basta tomar ( )zH e fazer ωjez = .

Teorema: Um sistema LIT causal é estável se e somente se a função de sistema

tiver todos os seus pólos dentro da circunferência unitária, ou seja, 1<kp ,

Nk ,,1,0 K= .

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Exercícios

1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 98) Dado o sistema causal:

[ ] [ ] [ ]nxnyny +−= 19,0

(a) Encontre ( )zH e esboce seu gráfico de pólos e zeros.

(b) Faça um gráfico de ( )ωjeH e ( )ωjeH∠ .

(c) Determine a resposta impulsiva [ ]nh .

2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 101) Dado um filtro causal com:

( )81,009,0

12 +−

+=

zz

zzH ,

encontre:

(a) sua resposta em frequência

(b) sua representação por equações de diferenças

(c) Sua resposta impulsiva

3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 103) Um sistema LIT causal é descrito pela

seguinte equação de diferenças:

[ ] [ ] [ ] [ ]2281,0 −−+−= nxnxnyny

Determine:

(a) a função de sistema ( )zH

(b) a resposta ao impulso unitário [ ]nh

(c) a resposta ao degrau [ ]ns

(d) a resposta em frequência.

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Lembre-se que para sequências causais, temos:

Figura 1 – Tabela de transformadas Z (LATHI, 1998).