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  • Logaritmo e ExponencialEscalas Logartmicas

    Derek Paiva

    EDUCAFRO - Ncleo Kalunga

    derekpva@usp.br

    2018

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Denio de Logaritmo (Funo Logartmica e Exponencial)

    Seja x , y , b R, y > 0, b 6= 0 e b > 1

    logb y = x bx = y

    Exemplo 1. Parte a

    Seja uma funo exponencial do tipo

    y = bx y = 2x

    Exemplo 1. Parte b

    A funo logartmica equivalente, nesse caso da exponencial, do

    tipo

    y = logb x y = log2 x

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Denio de Logaritmo (Funo Logartmica e Exponencial)

    Seja x , y , b R, y > 0, b 6= 0 e b > 1

    logb y = x bx = y

    Exemplo 1. Parte a

    Seja uma funo exponencial do tipo

    y = bx y = 2x

    Exemplo 1. Parte b

    A funo logartmica equivalente, nesse caso da exponencial, do

    tipo

    y = logb x y = log2 x

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Denio de Logaritmo (Funo Logartmica e Exponencial)

    Seja x , y , b R, y > 0, b 6= 0 e b > 1

    logb y = x bx = y

    Exemplo 1. Parte a

    Seja uma funo exponencial do tipo

    y = bx y = 2x

    Exemplo 1. Parte b

    A funo logartmica equivalente, nesse caso da exponencial, do

    tipo

    y = logb x y = log2 x

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • A funo exponencial tem alguns de seus valores expressos natabela abaixo.

    x y...

    ...

    0 1

    1 2

    2 4

    3 8...

    ...

    10 1024...

    ...

    20 1048576...

    ...

    Tabela: Tabela dos valores da funo exponencial y = 2x .

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • E a funo logartmica (inversa da exponcial anterior) tem algunsde seus valores expressos na tabela a seguir, como na tabela

    anterior.

    x y...

    ...

    1 0

    2 1

    3 1,584...

    4 2...

    ...

    10 3,321......

    ...

    20 4,321......

    ...

    Tabela: Tabela dos valores da funo logartmica y = log2x .

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Representao das funes y = 2x e y = log2 x

    Figura: Representao grca. Em verde, y = 2x e em vermelho,y = log

    2x .

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Prpriedades Operatrias

    Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N R, vale as propriedades seguintes.

    Logaritmo do Produto

    logb(a c) = logb a+ logb c

    Logaritmo do Quociente

    logb

    (ac

    )= logb a logb c

    Logaritmo da Potncia

    logb aN = N logb a

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Prpriedades Operatrias

    Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N R, vale as propriedades seguintes.

    Logaritmo do Produto

    logb(a c) = logb a+ logb c

    Logaritmo do Quociente

    logb

    (ac

    )= logb a logb c

    Logaritmo da Potncia

    logb aN = N logb a

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Prpriedades Operatrias

    Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N R, vale as propriedades seguintes.

    Logaritmo do Produto

    logb(a c) = logb a+ logb c

    Logaritmo do Quociente

    logb

    (ac

    )= logb a logb c

    Logaritmo da Potncia

    logb aN = N logb a

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Prpriedades Operatrias

    Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N R, vale as propriedades seguintes.

    Logaritmo do Produto

    logb(a c) = logb a+ logb c

    Logaritmo do Quociente

    logb

    (ac

    )= logb a logb c

    Logaritmo da Potncia

    logb aN = N logb a

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Propriedades Operatrias

    Mudana de Base

    Seja logb n 6= 0, temos

    logn x =logb m

    logb n

    Exemplo a.

    log

    (ab

    c3

    )

    Exemplo b.

    Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressologa(m

    3 n2)?

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Propriedades Operatrias

    Mudana de Base

    Seja logb n 6= 0, temos

    logn x =logb m

    logb n

    Exemplo a.

    log

    (ab

    c3

    )

    Exemplo b.

    Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressologa(m

    3 n2)?

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Propriedades Operatrias

    Mudana de Base

    Seja logb n 6= 0, temos

    logn x =logb m

    logb n

    Exemplo a.

    log

    (ab

    c3

    )

    Exemplo b.

    Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressologa(m

    3 n2)?

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Escalas Logartmicas

    O que uma escala logartmica?

    Uma escala que utiliza do logaritmo de uma grandeza, ao invs da

    grandeza propriamente dita.

    Temos muitos exemplos de modelos matemticos que utilizam das

    escalas logartmicas para previses, manuntenes, observaes de

    fenmenos naturais, sociais, econmicos e polticos.

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Exemplos de Escalas Logartmicas

    Terremotos: A Escala Richter

    Tambm conhecida como escala de magnitude local, foradesenvolvida por Charles Francis Richter e Beno Gutenberg na

    inteno de quanticar a magnitude de um sismo.

    A escala se baseia em logaritmo de base 10, bastante comum nas

    cincias em geral. Sua equao do tipo

    ML =2

    3log

    E

    E0

    Onde, E a quantidade de energia liberada em um determinadoterremoto e E0 = 7 103kWh.

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Escala Richter

    Figura: Figura explicativa sobre a escala Richter.

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Exemplo: QUESTO 180 - ENEM 2016 (CADERNO AZUL)

    Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou

    um devastador tsunami no Japo, provocando um alerta na usina

    nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude

    7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China),

    deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de

    um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

    ML =2

    3log

    E

    E0

    sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 umaconstante real positiva. Considere que E1 e E2 representam asenergias liberadas nos terremotos ocorridos no Japo e na China,

    respectivamente. Qual a relao entre E1 e E2?(A) E1 = E2 + 2 (B) E1 = 10

    2E2 (C) E1 = 103E2

    (D) E1 = 1097E2 (E) E1 =

    9

    7E2

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Exemploe de Esacalas Logartmicas

    pH (Potencial Hidrogeninico)

    Utilizada em qumica, a escala de pH tem por nalidade especicar

    a acidez ou basicidade de uma soluo aquosa. O pH o logaritmo

    na base 10 do inverso da respectiva concentrao de H3O+ (on

    hidroxnio). Solues com valores menores do que 7 so

    consideradas cidas e solues com valores maiores do que 7, so

    consideradas bsicas. Temos, ento

    pH = log[H+]

    Exemplo

    O crebro humano contm um lquido cuja a concentrao de

    H3O+ 4, 8 108mol/l (em mdia). Podemos calcular o pH

    desse lquido.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Exemploe de Esacalas Logartmicas

    pH (Potencial Hidrogeninico)

    Utilizada em qumica, a escala de pH tem por nalidade especicar

    a acidez ou basicidade de uma soluo aquosa. O pH o logaritmo

    na base 10 do inverso da respectiva concentrao de H3O+ (on

    hidroxnio). Solues com valores menores do que 7 so

    consideradas cidas e solues com valores maiores do que 7, so

    consideradas bsicas. Temos, ento

    pH = log[H+]

    Exemplo

    O crebro humano contm um lquido cuja a concentrao de

    H3O+ 4, 8 108mol/l (em mdia). Podemos calcular o pH

    desse lquido.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Escala do pH

    Figura: Escala de pH com escala de pOH

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Logaritmos Dados

    A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor

    aproximado de um grande nmero de logaritmos, usando as

    propriedades conhecidas.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

    Exemplo a.

    log 6 = log(2 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

    Exemplo b.

    log 30 = log(3 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

    Exemplo c.

    log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0, 90

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Logaritmos Dados

    A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor

    aproximado de um grande nmero de logaritmos, usando as

    propriedades conhecidas.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

    Exemplo a.

    log 6 = log(2 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

    Exemplo b.

    log 30 = log(3 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

    Exemplo c.

    log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0, 90

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Logaritmos Dados

    A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor

    aproximado de um grande nmero de logaritmos, usando as

    propriedades conhecidas.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

    Exemplo a.

    log 6 = log(2 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

    Exemplo b.

    log 30 = log(3 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

    Exemplo c.

    log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0, 90

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Logaritmos Dados

    A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor

    aproximado de um grande nmero de logaritmos, usando as

    propriedades conhecidas.

    Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

    Exemplo a.

    log 6 = log(2 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

    Exemplo b.

    log 30 = log(3 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

    Exemplo c.

    log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0, 90

    Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

  • Logaritmos Dados

    Exempl