Matemtica Aplicada Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada - Notaes e Noes Bsicas - Ana Paula Neves Ferreira da Silva Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 2 Noes sobre Funes J sabemos que o produto cartesiano de R por R o conjunto R R = R2 = { : x, y e R} constitudo por todos os pares ordenados de nmeros reais. Geometricamente, este conjunto pode ser representado por todos os pontos de um plano no qual foi fixado um referencial cartesiano (cada par ordenado representado por um ponto do plano). Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 3 Noes sobre Funes Qualquer subconjunto de A B diz-se uma correspondncia (ou relao) de A para B. Relativamente a cada par ordenado e A B diz-se que x objecto de y, e y imagem de x. Figura 1 Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 4 Noes sobre Funes Na figura anterior pudemos observar duas relaes deA={1, 2, 3} para B={2, 4, 6, 8}. Vamos agora ver os grficos de uma correspondncia de R para R e de [-1, 1] para [-1, 1] Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 5 Noes sobre Funes Figura 2 Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 6 Noes sobre Funes As correspondncias de um conjunto A para um conjunto B podem classificar-se em unvocas e plurvocas. Nas primeiras, se um elemento xeA possui uma imagem yeB, ento y a nica imagem de x. Nas segundas, um elemento xeA pode ter duas ou mais imagens yeB. Assim, as correspodncias das figuras 1a) e 2a) so unvocas enquanto as correspondncias das figuras 1b) e 3b) so plurvocas. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 7 Noes sobre Funes Relaes unvocas Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 8 Noes sobre Funes Relaes plurvocas Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 9 Noes sobre Funes UmafunoouaplicaofdeAparaBuma correspondnciaunvocadeAparaBqueverifica adicionalmente a seguinte condio: Qualquer elemento xeA possui uma imagem yeB. Exprime-se o facto do par ser constituinte da funo escrevendo a igualdade y = f(x). Avarivelyavariveldependenteexavarivel independente (ou argumento) da funo f. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 10 Noes sobre funes Terminologia revisitada Uma funo ou aplicao f de um conjunto A para um conjunto B uma correspondncia que a cada elemento x de A associa um nico elemento de y de B, isto , xe A, -1 y e B: y=f(x)Simbolicamente, podemos escrever: f : A B x y = f(x)

Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 11 Noes sobre Funes Terminologia revisitada O conjunto A o conjunto de partida da funo, sendo designado por domnio da funo e representado por Df ; tem-se pois Df = A. O conjunto B o conjunto de chegada da funo; Cada elemento xeA designa-se por objecto; se a xeA corresponde o elemento y de B, y diz-se a imagem de x; O conjunto das imagens diz-se o contradomnio da funo e representado por CDf , isto , CDf = {y e B : -x e A: y = f(x)}. Uma funo que tem por domnio e contradomnio subconjuntos do conjunto dos nmeros reais R diz-se uma funo real de varivel real. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 12 Noes sobre Funes Funes injectivas, sobrejectivas e bijectivas Voltemos funo f : R R x y = f(x) = 2x representada na figura 2. Vemos que CDf = R isto , o contradomnio de f(x) coincide com o conjunto de chegada, pelo que f(x) se diz uma funo sobrejectiva. Pela observao do seu grfico tambm se conclui de imediato que a objectos diferentes correspondem imagens diferentes, pelo que f(x) se diz injectiva. Uma funo simultaneamente injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 13 Noes sobre Funes Funes injectivas, sobrejectivas e bijectivas Em geral, sendo f(x) uma funo de um conjunto A para um conjunto B, diremos que: 1. A funo f(x) sobrejectiva se o contradomnio coincide com o conjunto de chegada, isto , f(A) = B f(A) _ B . B _ f(A). Como a proposio f(A)_ B sempre verdadeira, afirmar a sobrejectividade de uma funo equivale a afirmar que se verifica B _ f(A), ou seja, f(x) sobrejectiva B _f(A) y e B, y e f(A) y e B, - x e A: y=f(x) Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 14 Noes sobre Funes Funes injectivas, sobrejectivas e bijectivas Em geral, sendo f(x) uma funo de um conjunto A para um conjunto B, diremos que: 2. A funo f(x) injectiva se x1, x2 e A, x1 = x2 f(x1) = f(x2) o que pela propriedade do contra-recproco equivale a afirmar que x1, x2 e A ,f(x1) = f(x2) x1=x2

3. A funo f(x) bijectiva se simultaneamente injectiva e sobrejectiva, isto , yeB, -1xeA: y=f(x) Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 15 Noes sobre Funes Funo Inversa Suponhamos que a velocidade de um mvel, v, varia com o tempo, t, segundo a lei v = 20+3t ms-1. Esta equao exprime v como funo de t; mas resolvendo-a em ordem a t, podemos exprimir t como funo de v : 320 = vtLgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 16 Noes sobre Funes Funo Inversa Temos agora v no papel de varivel independente e t como varivel dependente. Diz-se ento que a segunda funo inversa da primeira e vice-versa. Representando a primeira funo por v = f(t) = 20+3t habitual representar a segunda por t = f-1(v) = (v-20)/3. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 17 Noes sobre Funes Funo Inversa Nem todas as funes tm inversa. Apenas para as funes injectivas se pode definir uma inversa. De facto, se uma funo no injectiva existe uma imagem y correspondente a dois objectos distintos x e x. Assim, a correspondncia inversa inclui os pares ordenados (y, x) e (y, x) , pelo que no constitui uma correspondncia unvoca. Logo, no se pode definir uma funo inversa. a b c 1 2 3 No caso da relao em cima representada, a correspondncia inversa incluiria os pares < a, 1 > e< a, 2 > Pelo que no constitui uma correspondncia unvoca. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 18 Noes sobre Funes Funo Inversa Definio: Seja y = f(x) uma aplicao injectiva de um conjunto A para um conjunto B. Chama-se funo inversa de f correspondncia unvoca de CDf = f(A) para Df = A e representa-se por f-1, isto , f : f(A) _ B A x y = f-1(x) Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 19 Noes sobre Funes Funo Inversa De notar que so vlidas as igualdades Df-1 = CDfe CDf-1 = Df , isto , o contradomnio de uma funo o domnio da sua inversa e vice-versa. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 20 Noes sobre Funes Funo Inversa Exemplo: Vamos calcular a inversa da funo f(x) = 2x + 1. Como y = 2x + 1 x = (y - 1)/2 continuando a representar como habitualmente a varivel independente por x e a dependente por y, temos que a funo inversa y = f-1(x) = (x 1)/2 Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 21 Noes sobre Funes Composio de Funes Consideremos as funes y = f(t) = t2 - 3t + 1 t = g(x) = sqrt(x). A funo f exprime y como funo de t enquanto a funo g exprime t como funo de x. Assim, y pode ser expressa como funo de x, para o que basta substituir t por g(x) = sqrt(x) na expresso de f(t) : y = f(sqrt(x)) = (sqrt(x))2 - 3*sqrt(x) +1 = x - 3*sqrt(x) + 1 Diz-se ento que y uma funo composta de f com g ou que y uma funo de x por intermdio de t. costume representar y por (f o g)(x) ou por f [g(x)] . Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 22 Noes sobre Funes Composio de Funes Definio: Dadas duas f.r.v.r. f(x) e g(x), a funo dada por (f o g)(x) = f [g(x)] denomina-se por funo composta de f com g (ou f aps g). O domnio de f o g constitudo pelos valores x e Dg tais que g(x) e Df , isto , Dfog = {x e R : x e Dg . g(x) e Df} Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 23 Noes sobre Funes Composio de Funes Exemplo: f(x) = 2x -5 g(x) = x2 +2 Calcular (f o g)(x) e (g o f)(x). O que podemos concluir acerca da comutatividade da composio? Convm referir que, de um modo geral, a operao de composio no comutativa mas associativa. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 24 Noes sobre Funes Composio de Funes Considere as funes f(x) = 1/x , g(x) = sqrt(x 2) e h(x) = 3x. Mostre que [(f o g) o h] (x) = [f o (g o h)] (x). A composio de facto associativa, assim temos que ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x), no temos pois que nos preocupar com os parntesis e podemos escrever apenas f o g o h. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 25 Noes sobre Funes Definio de funes custa de casos ou regras do tipoif...then...else Exemplo: Funo abs(x) para calculo do valor absoluto. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 26 Noes sobre Funes Funes de uso frequente no contexto das cincias da computao: Floor e ceiling; A funo Mod; A funo logaritmo. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 27 Noes sobre Funes Cardinalidade de conjuntos O tamanho, ou nmero de elementos, de um conjunto A denomina-se por cardinalidade de A, e escreve-se |A|. Dois conjuntos A e B tm a mesma cardinalidade se existe uma funo bijectiva entre os dois conjuntos. Se existe uma funo f: A B que bijectiva, ento diz-se que A e B tm a mesma cardinalidade e podemos escrever, |A| = |B| Dois conjuntos com a mesma cardinalidade dizem-se equipotentes. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 28 Noes sobre Funes Cardinalidade de conjuntos Seja mpar o conjunto de todos os naturais mpares e Par o conjunto de todos os naturais pares. Podemos escrever |Impar| = |Par| J que existe a funo f: Impar Pardefinida porf(x) = x 1 que uma bijeco entre os conjuntos Impar e Par. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 29 Noes sobre Funes Cardinalidade de conjuntos De forma semelhante podemos afirmar que |Par| = |N| dado que a funo g: Par Ndefinida por g(y) = y/2 bijectiva. Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 30 Noes sobre Funes Cardinalidade de conjuntos Se existe uma funo injectiva f: A B ento dizemos que a cardinalidade de A menor ou igual cardinalidade de B, e escrevemos, |A||B| A funo f: Par N definida por f(x)=x uma funo injectiva. Por isso podemos escrever, |Par| N Lgica de 1 Ordem Departamento de Engenharia das Tecnologias da Informao Matemtica Aplicada dorian@est.ipcb.pt 31 Noes sobre Funes Cardinalidade de conjuntos Se A e B so conjuntos e |A| |B| e |A| = |B| ento dizemos que a cardinalidade de A menor que a cardinalidade de B e escrevemos, |A| < |B| O que significa que existe uma injeco de A sobre B, mas no existe uma bijeco. NOTA: No o mesmo que dizer que existe uma injeco que no uma bijeco. Exemplo: g: N Impar definida por g(x)=4x+1