Matemática > Álgebra > 1403

> COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Exercícios de Aula

01. (UFSCAR 01)

Sejam x, y ∈IR e z = x + yi um número complexo.

a) Calcule o produto (x + yi) .(1 + i).

b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) .(1 + i) = 2.

Resposta: a) (x – y) + (x + y)i b) x = 1 e y = –1 Resolução: a) (x + yi) (1 + i) = x + xi + yi + yi2 = = x + xi + yi – y = = (x – y) + (x + y)i = = (x – y) + (x + y)i b) (x + yi) (1 + i) = 2 ∴ (x – y) + (x + y)i = 2 + 0i Da igualdade, temos: Resolvendo-se o sistema, resulta:

x = 1 e y = –1 ⇒ x = 1 e y = –1

02. (UNICAMP 05)

Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode ser escrito na forma

trigonométrica: z = |z|(cosθ + isenθ), onde 22 yxz += , cosθ = x/|z| e senθ =

y/|z|. Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito

conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números

complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

[|z|(cosθ + isenθ)]k = |z|k(coskθ + isenkθ)

que é válida para todo k ∈Z. Use essas informações para:

a) Calcular ( )12i3 +

b) Sendo 22i

22z += , calcular o valor de 1 + z + z2 + z3 + … + z15.

Resposta: a) 4096 b) 0 Resolução: a)

= 212 ⋅ (cos2π + isen2 π) = 212 = 4096 b)

Assim,

03. (FUVEST 02)

As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x2+ m, onde m é um número real, estão

em progressão aritmética. Determine

a) o valor de m;

b) as raízes desse polinômio.

Resposta: a) m = 2 b) .31;1;3–1 + Resolução: a) Sejam α-r; α; α+r as raízes do polinômio onde r é a razão da progressão aritmética. Pelas relações entre coeficientes e raízes, (α – r)+ α + (α + r) = –(–3)/1 ⇔ 3α = 3 ⇔ α = 1. Logo 1 é uma raiz do polinômio e, portanto, p(1)=0 ⇔ 13 – 3.12 + m = 0 ⇔ m = 2. b)Utilizando novamente as relações entre coeficientes e raízes, (α – r).α.(α + r) =

⇔1m–

⇔ (1 – r).1.(1 + r) = 12–

⇔

⇔ 1 – r2 = –2 ⇔ r2 = 3 ⇔ r = 3±

Assim, as raízes do polinômio são .31;1;3–1 +

04. (UNICAMP 01)

Considere o polinômio p(x ) = x3 - 2x2 + 5x + 26.

a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.

b) Prove que p (x ) > 0 para todo número real x > - 2.

Resposta a) 2 + 3i é raiz de p(x). b) Demonstração. Resolução: a) Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini e o fato de que, se 2 + 3i é raiz de p(x), o seu conjugado 2 - 3i também é, temos:

ou seja, p(x ) = (x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i))(x + 2) ⇔ ⇔ p(x ) = (x2 - 4x + 13)(x + 2). Assim: 2 + 3i é raiz de p(x). b) Como a expressão x2 - 4x + 13 tem discriminante (∆) negativo, p(x) > 0 ⇔ x > - 2.

Exercícios-Tarefa

01. (VUNESP 01)

Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i) , onde i é a

unidade imaginária e x é um número real. Determine:

a) o número complexo z1 . z2 em função de x;

b) os valores de x tais que Re (z1 . z2) ≤ Im (z1 . z2), onde Re denota a parte

real e Im denota a parte imaginária do número complexo.

Resposta: a) (2x – 2) + (4 + x).i b) x ≤ 6 Resolução: a) Temos, para x ∈ R: z1 . z2 = (2 + i) . (x + 2i) = (2x – 2) + (4 + x).i b) Re(z1 . z2) ≤ Im (z1 . z2) ⇔ 2x – 2 ≤ 4 + x ⇔ x ≤ 6

02. (VUNESP 02)

Seja z =x +yi um número complexo, com x e y números reais e i a unidade

imaginária.

a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária de 2z.i +

z , com z indicando o conjugado de z.

b) Determine z que seja solução da equação 2z .i + z =0.

Resposta: a) 3x e y – 1 b) i Resolução: Seja z = x + yi , x ∈ R,

a) 2z – i + z = 2(x + yi) – i + (x – yi) = 3x + (y – 1). Assim, as partes real e imaginária de 2z – i + z são iguais a 3x e y – 1, respectivamente. b) 2z – i + z = 0 3x + (y – 1)i = 0

1y0x

01–y0x3

==

⇔=

=

Logo z = 0 + i = i é a solução da equação.

03. (UNICAMP 03)

Considere a função quadrática f (x) = = x2 + x cos α + sen α.

a) Resolva a equação f (x) = 0 para α = 2

3π.

b) Encontre os valores de α para os quais o número complexo 2

3

2

1+ i é raiz da

equação f(x) + 1 = 0.

Resposta: a) {-1, 1} b) (2k 1) ,k Zα = + π ∈ Resolução: a)

{–1;1}V

1x1x0(–1)0xx

02

3 x.cosx0f(x)

22

2

=

±=⇔=⇔=+++⇔

⇔=+⇔=π

b) f(x) + 1 = 0 ⇔ x2 + x . cós α + sen α + 1 = 0 Como essa equação possui coeficientes reais, se

i2

3

2

1z += é raiz, então i

2

3–

2

1z = é a outra raiz. Portanto:

Z.k;1)(2k0sen

–1cos

11sen

1cos–

1

1senzz.

1

cos–zz

∈+=⇔=

=⇔

⇔=+

=⇔

+=

=+

παα

α

α

α

α

α

04. (FUVEST 03)

Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i2 =

–1). Suponha z ≠ 1.

a) Para quais valores de z tem–se 2iz1

1z=

+

+.

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais iz1

1z

+

+ é um

número real.

Resposta:

a) 5

3i4 +

b) 2

2

2r (r –1)iz C | z ,r IR

1 r

⎧ ⎫+⎪ ⎪∈ = ∈⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Resolução:

a) De 2iz1

1z=

+

+, temos:

z + 1 = 2(1 + iz) z + 1 = 2 + 2z z – 2i . z = 2 – i z. (1 – 2i) = 2 – i

5

3i4z

4i1

2ii4i2z

2i1

2i1

2i–1

i–2z

2i–1

i–2z

2

2 +=∴

+

−−+=

+

+−=

=

b) De ri.z1

iz=

+

+e r ∈ IR, temos:

i.)zIRr que (Noter1

1)i(r2rz

.ir1

r.ii.irrz

ri1

ri1.

ri1

irz

ri1

irz

2

2

22

22

≠⇒∈+

−+=

−

−−+=∴

+

+

−

−=

−

−=

2

2

2r (r –1)iz C | z ,r IR

1 r

⎧ ⎫+⎪ ⎪∈ = ∈⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

05. (VUNESP 04)

Considere os números complexos w = 2i e z = (1 + i).

Determine:

a) z2 e (w2

. z + w), onde z indica o conjugado de z.

b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) é uma progressão

geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão.

Resposta: a) 2i e –4 + 6i

b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4), que é uma progressão

geométrica de razão 2 . Resolução: a) z2

= (1 + i)2

z2 = 12

+ 2i + i2 ∴ z2 = 2i

w2 = (2i)2

w2 = –4

z = 1 – i w2

. z = –4(1 – i) w2

. z = –4 + 4i w2

. z + w = –4 + 4i + 2i ∴ w2 . z + w = –4 + 6i

b) |z| = |1 + i|

|z| = 22 11 + ∴ |z| = 2

|w| = |0 + 2i|

|w| = 22 20 + ∴ |w| = 2

|z . w| = |z| . |w| ∴ |z . w| = 2 2 |w2| = |w|2

∴ |w2| = 4 Sendo S = (1, |z|, |w|, |z . w|, |w2|), temos:

S = (1, 2 , 2, 2 2 , 4)

06. (VUNESP 05)

Considere os números complexos z = 2 – i e w = –3 –i, sendo i a unidade

imaginária.

a) Determine z.w e |w – z |.

b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b ∈ IR,

b ≥ 0, de modo que os números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um

triângulo, no plano complexo, cuja área é 20.

Resposta: a) z.w = –7 + i e |w – z| = 5 b)

b = 7 Resolução: a) z.w = (2 – i)(–3 – i) = –6 – 2i + 3i + i2 = –7 + i |w – z| = |–3 – i – (2 – i) | = |–3 – i – 2 + i | = |–5| = 5 Resposta: z.w = –7 + i e |w – z| = 5 b)

Sendo h a altura do triângulo ABC, temos:

Como C é o afixo de t = bi, com b ∈ IR, b ≥ 0, temos: t = – i + 8i ∴ t = 7i Resposta:

b = 7

07. (FUVEST 01)

No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano,

considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade

imaginária, como um de seus vértices.

a) Determine os vértices do hexágono.

b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os

vértices do hexágono.

Resposta: a)

,2i

23–

65seni

65cos +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,2i–

23–

67seni

67cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,i–6

9seni6

9cos =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

e2i–

23

611seni

611cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,2i

23

613seni

613cos +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

b) 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1. Resolução:

a) Como | i | =1 e i tem argumento principal 2π

,temos que os vértices do hexágono

regular são os números complexos de módulo 1 e argumentos

Zk,6k0,k.6

22

∈<≤π

+π

, ou seja, os números complexos

.k62

2senik

62

2cos ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+

π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+

π

Assim, os vértices do hexágono são i,

,2i

23–

65seni

65cos +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,2i–

23–

67seni

67cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,i–6

9seni6

9cos =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

e2i–

23

611seni

611cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

,2i

23

613seni

613cos +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

como mostra a figura a seguir:

b) Os números complexos

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+

π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+

π k62

2seni

6k2

2cos

Zk,6k0,6

k23seni6

k23cos ∈≤≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+π=

são as 6 raízes sextas do número complexo cos(3π ) + i sen (3π) = – 1. Logo esses números são as raízes de z 6 = – 1 ⇔ z 6 + 1= 0. Assim, os polinômios de grau 6, cujas raízes são os vértices do hexágono, são da forma a(z 6 + 1), a ∈ C, a ≠ 0. Uma possibilidade é, portanto, o polinômio z 6 + 1, cujos coeficientes são 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1.

08. (VUNESP 00)

Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x – c), obtemos quociente q(x) = 3x3 –

2x2 + x – 1 e resto p(c) = 3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine

a) o valor de c;

b) o polinômio p(x).

Resposta: a) c = 2 b) p(x) = 3x4 – 8x3 + 5x2 – 3x + 5 Resolução: a) Temos p(x) = (x – c)q(x) + 3 ⇔ p(x) = (x – c) (3x3 – 2x2 + x – 1) + 3. Como p(1) = 2 então 2 = (1 – c) (3 – 2 + 1 – 1) + 3 ⇔ c = 2 b) Como c = 2, p(x) = (x – 2) (3x3 – 2x2 + x – 1) + 3 ⇔ p(x) = 3x4 – 8x3 + 5x2 – 3x + 5

09 (VUNESP 05)

Considere a matriz

O determinante de A é um polinômio p(x).

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x).

b) Determine todas as raízes de p(x).

Resposta: a) 2 é uma raiz de p(x). b) 2, 1 e –1 Resolução: a) Do enunciado, temos: p(x) = detA

Substituindo-se x por 2, vem: p(2) = 23 – 2 ⋅ 22 – 2 + 2 ∴ p(2) = 0 Portanto, 2 é uma raiz de p(x). b) Do item (a): p(x) = x3 – 2x2 – x + 2 p(x) = x2(x – 2) – (x – 2) p(x) = (x – 2)(x2 – 1) p(x) = (x – 2)(x + 1)(x – 1) As raízes de p(x) serão dadas por: (x – 2)(x + 1)(x – 1) = 0 ∴ x – 2 = 0, ou x + 1 = 0 ou x – 1 = 0 Portanto, as raízes de p(x) são 2, 1 e –1.

10. (VUNESP 02)

Considere um polinômio P(x) tal que

I. P é do terceiro grau

II. P se anula para x = 2 e

III. ao ser dividido por x - 1, x e x - 4, deixa como restos, respectivamente, -

6, - 4 e 60.

Nessas condições, pede-se:

a) determinar o polinômio P(x);

b) determinar as raízes de P(x).

Resposta: a) P(x) = 5x3 – 23x2 + 28x – 4

b) 2, 10

12913 + e

1012913 −

Resolução: a) Se P é do 3º grau, podemos escrevê-lo na forma:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Como P(x) se anula para x = 2, temos: 8a + 4b + 2c + d = 0 Aplicando o teorema do resto para os dados apresentados em III, obtemos: a + b + c + d = 6 d = -4 64a + 16b + 4c + d = 60 Substituindo o valor d = -4 nas demais equações, obtemos o seguinte sistema de 3 equações com 3 incógnitas: 4a + 2b + c = 2 a + b + c = 10 16a + 4b + c = 16 Resolvendo este sistema, obtemos: a = 5, b = -23 e c = 28 Logo, o polinômio procurado é: P(x) = 5x3 – 23x2 + 28x – 4 b) Da condição apresentada em II sabemos que 2 é uma das raízes de P(x). Logo, pelo teorema da decomposição, podemos escrevê-lo na forma: P(x) = (x – 2).Q(x) Dividindo P(x) por x – 2, obtemos: Q(x) = 5x2 – 13x + 2 = 0 Resolvendo esta equação do 2º grau, obtemos:

10

12913x

±=

Logo, as raízes de P(x) são:

2, 10

12913 + e

1012913 −

11. (FUVEST 04)

O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2

+ 4x + 3 é igual a

– 1. Determinar

a) o valor de m.

b) as raízes de p.

Resposta: a) 7

b) 3

1 2,1 2,2

− +

Resolução: Consideremos que m seja uma constante. Com essa condição, podemos afirmar que p é um polinômio de grau 3. Indiquemos suas raízes por x1, x2 e x3, com x1 . x2 = –1

12. (VUNESP 02)

Considere a função polinomial de 3º grau,

p(x) = x3 – 3x + 1.

a) Calcule p(– 2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.

b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta, quantas raízes

reais e quantas raízes complexas (não reais) tem p(x).

Resposta: a) p(-2) = -1, p(0) = 1, p(1) = -1, p(2) = 3

b) 3 raízes reais e nenhuma complexa (não real). Resolução: a) Sendo p(x) = x3 – 3x + 1, temos: p(–2) = (– 2)3 – 3 . (– 2) + 1 = – 1 p(0) = 03 – 3 . 0 + 1 = 1 p(1) = 13 – 3 . 1 + 1 = – 1 p(2) = 23 – 3 . 2 + 1 = 3

b) De acordo com o esboço do gráfico, temos que a função p , polinomial e do terceiro grau, admite 3 raízes reais distintas, pertencentes aos intervalos ]2; 0[, ]0; 1[ e ]1; 2[ e, portanto, p não admite raiz complexa não real.

13. (UNICAMP 03)

Seja a um número real e seja:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

x–1 4 0

1– x–a 0

2 1– x–3

detp(x)

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única

raiz real.

Resposta: a) V = {3,1 – 2i, 1 ±2i} b) –3 < a < 5. Resolução:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

x–1 4 0

1– x–a 0

2 1– x–3

detp(x) =

= (3 – x) . [(a – x) . (1 – x) + 4] a) Para a = 1, p(x) = 0 ⇔ ⇔ (3 – x) . [(1 – x)2 + 4] = 0 ⇔ 3 – x = 0 ou (1 – x)2 = –4 ⇔ x = 3 ou 1 – x = ±2i ⇔ x = 3 ou x = 1 ±2i. Assim, V = {3,1 – 2i, 1 ±2i} b) p(x) = 0 ⇔ ⇔ (3 – x) . [(a – x) . (1 – x) + 4] = 0 ⇔ ⇔ (3 – x) . [x2 – (a + 1) . x + a + 4] = 0 Para que a equação anterior possua uma unia raiz real, essa raiz deve ser x = 3 e a equação x2 – (a + 1) . x + a + 4 = 0 só pode ter raízes imaginárias, o que ocorre quando ∆ < 0 ⇔ ⇔ (a + 1)2 – 4 . 1 . (a + 4) < 0 ⇔ ⇔ a2 – 2a – 15 <.0 ⇔ –3 < a < 5. Observação: se 3 é raiz da equação x2 – (a + 1) . x + a + 4 = 0, devemos ter 32 – (a + 1) . 3 + a + 4 = 0 ⇔ a = 5. Para este valor de a, a outra raiz dessa equação é também igual a 3, ou seja, p(x) tem três raízes reais iguais a 3.

14. (UNICAMP 04)

Dada a equação polinomial com coeficientes reais x3 – 5x2

+ 9x – a = 0:

a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja

uma das raízes da referida equação.

b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas

raízes da mesma equação.

Resposta: a) 5 b) 2 – i e 1 Resolução: Seja P(x) = x3

– 5x2 + 9x – a, em que a é uma constante real, e sejam x1, x2 e x3 as

raízes da equação P(x) = 0.

Temos que x1 + x2 + x3 = ( )1

5−−,ou seja, x1 + x2 + x3 = 5 (relação de Girard).

Dado que 2 + i é uma das raízes, podemos afirmar que 2 – i também é uma raiz, pois todos os coeficientes de P(x) são reais.

De x1 + x2 + x3 = 5, com x1 = 2 + i e x2 = 2 – i, temos (2 + i) + (2 – i) + x3 = 5 e, portanto, x3 = 1. Como 1 é raiz, temos P(1) = 0, isto é, 13

– 5 . 12 + 9 . 1 – a = 0.

Portanto a = 5.

15 (UNICAMP 05)

Para resolver equações do tipo x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0, podemos proceder

do seguinte modo: como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2 e,

após fazer a mudança de variáveis u = x1x + , resolve-se a equação obtida [na

variável u].

Observe que, se x ∈ R e x > 0, então u ≥ 2.

a) Ache as 4 raízes da equação x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0.

b) Encontre os valores de b ∈ R para os quais a equação x4 – 3x3 + bx2 – 3x +

1 = 0 tem pelo menos uma raiz real positiva.

Resposta: a)

b) b ≤ 4 Resolução: a) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 Dividindo por x2 e agrupando:

Fazendo

Assim:

Logo:

Assim, a 4 raízes são:

b) Como no item a, temos:

E ainda: u2 – 3u + b – 2 = 0 As raízes reais são:

Do enunciado, devemos ter u ≥ 2 Assim:

Observe que é menor ou igual a 3/2. De (I) e (II): b ≤ 4