RESOLUÇÕES

COLEÇÃODARLANMOUTINHO

VOL. 01

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

01 LETRA DBasta dividirmos o número de ocorrências, pelo número total de letras. Neste caso, tem-se apenas a vogal “e” que aparece duas vezes em uma palavra de cinco letras, logo:

04 LETRA DTem-se que = ⟺ x = 30

03 LETRA DHavendo apenas bolas verdes e azuis na urna, segue que a resposta é dada por

RESOLUÇÃO

Me ta

25

P =

Calculando:

6 . . = =

02 A) x15 + x

PÁGINA 58

16

16

636

16

Calculando:

1 + (2, 3, 4, 5 ou 6) ⟹ . =

2 + (3, 4, 5 ou 6) ⟹ . =

3 + (4, 5 ou 6) ⟹ . =

4 + (5 ou 6) ⟹ . =

5 + (6) ⟹ . =

B)16

56

536

16

46

436

16

36

336

16

26

236

16

16

136

+ + + + = =536

436

336

236

136

1536

512

1 - =611

511

23

PROBABILIDADE

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

PÁGINA 58

05 LETRA BSendo a probabilidade pedida e supondo que os eventos são independentes, temos:

0,6 . p = 0,7 ⟹ p ≅ 86%

06 LETRA EQuestão anulada no gabarito oficial.

Como são os cubos com duas faces pintadas de preto, podemos concluir que o resultado é:

= 49

1227

PÁGINA 59

07 LETRA CCalculando:

0,480,80

P(x) = = 0,6 = 60%

PÁGINA 59

08 LETRA AFixando as duas mulheres, existem C3,1 = 3 maneiras de escolher o último membro do grupo. Por outro lado, é possível escolher três pessoas quaisquer de C5,3 = 10 modos. A resposta é . 3

10

09 LETRA ASuponhamos que o estudante escolherá necessariamente duas dentre três disciplinas. Daí, sabendo que a probabilidade de ele escolher econometria e microeconomia é de 0,25, podemos concluir que a resposta é 1 – 0,25 = 0,75 = 3/4.

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

PÁGINA 59

10 De acordo com o enunciado:

62

5

3

PORTUGUÊS

FRANCÊS INGLÊS

Calculando:

C₁₁,₂ = = 55 grupos

A)

11!2! . 9!

Calculando:

P(X) = 1 - = 1 - = =

B)

C8,2C16,2

28120

92120

2330

11 LETRA AExistem = 4 modos de escolher três

estudantes de modo que Carlos fique

fora do grupo. Ademais, é possível

escolher três estudantes quaisquer de

= = 10 maneiras.

Portanto, a resposta é dada por =

43

� �

53

� � 5!3! . 2!

410

25

PROBABILIDADE

PÁGINA 59

12 Vamos admitir que a escolha é feita de modo aleatório.

Seja A o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que a soma seja igual a 3 e Ω o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

A = {(1, 2)}Ω = {(1 ,2),(1, 3),(1, 4), ...,(99, 100)}n(A) = 1n(Ω) = C₁₀₀,₂ = = 50 . 99

Assim,

P(A) =

P(A) =

P(A) =

A)

100!2! . 98!

n(A)n(Ω)

150 . 99

14950

Seja B o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que a soma seja menor ou igual 7 e Ω o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

Soma igual a 3: (1, 2)Soma igual a 4: (1, 3) Soma igual a 5: (1, 4), (2, 3) Soma igual a 6: (1, 5), (2, 4) Soma igual a 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4)

B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (1, 5), (2, 4), (1, 6), (2, 5), (3, 4)}

n(B) = 9n(Ω) = 50 . 99

Assim,

P(B) =

P(B) =

P(B) =

B)

n(B)n(Ω)

950 . 99

1550

Seja B o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que o produto seja ímpar e Ω o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

n(C) = C₅₀,₂ (total de bolas ímpares)

n(C) =

n(C) = 25 . 49

Assim,

P(C) =

P(C) =

P(C) =

A probabilidade de que o produto seja par é dada por P(C) = 1 - P (C).

Então,

P(C) = 1 - =

C)

502! . 48!

n(C)n(Ω)

25 . 4950 . 9949198

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

49198

149198

13 LETRA ESupondo um dado convencional (seis faces, numeradas de 1 a 6) e não viciado, sendo P a probabilidade de obter três números pares em três lançamentos sucessivos, temos:

A probabilidade de obter ao menos um número ímpar no lançamento de tal dado três vezes sucessivas é P de modo que: P + P = 1

Então,

+ P = 1

P = 1 -

P =

PÁGINA 59

P = . .

P =

36

36

36

18

18

18

78

14 LETRA BConsidere que a prova tenha 100 questões, 68% de acerto então, representa 68 questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto de 25% (ou 1/4) e de erro de 75% (ou 3/4). Se o candidato já acertou 68 questões, restaram 32 questões onde a probabilidade de acerto de 1/4 cada uma.

Assim: 32 . = 8 questões14

Como o candidato já acertou 68 questões, com mais 8 ele terá acertado 76 questões de um total de 100 ou seja 76%.

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

PÁGINA 59

15 LETRA ACalculando:

C20,3 = = 1140

P(4, 7, 18) = =

Ganho = 100000 . = 87,72 ≈ 88 reais

20!3! . 17!

1C20,3

111401

1140

16 LETRA DA probabilidade de não ser retirado nenhum sabonete

na cor amarela nas duas últimas extrações, dado que

um sabonete amarelo foi retirado na primeira

extração, é igual a . =

Por conseguinte, o resultado pedido é 1 - =

1025

924

1720

320

1720

17 LETRA CNúmero de diagonais de um hexágono:

d = = 96 . (6-3)2

Número de maneiras distintas de se escolher dois dos vértices do hexágono:

C20,3 = = 156!2! . 4!

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

P = =915

35

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

a

PÁGINA 59

18 LETRA DSeja Ω o espaço amostral e A um evento desse espaço amostral tais que:

A é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas, onde a primeira é de copas e a segunda também. Ω é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas.

Então,

n(A) = A₁₃,₂ . P₅₀, onde A₁₃,₂ é o total de maneiras de organizar a primeira e a última carta da sequência, onde ambas são de copas e P₅₀ é o total de maneiras de organizar as 50 cartas restantes do baralho, após a organização da primeira e da última carta da sequência.

n(Ω) = P₅₂, onde P₅₂ é o total de maneiras de organizar as 52 cartas da sequência.

Assim,

P(A) =

P(A) =

P(A) =

P(A) =

P(A) =

P(A) = 117

n(A)n(Ω)A₁₃,₂ . P₅₀

P₅₂13 . 12 . 50!

52!13 . 12 . 50! 52 . 51 . 50!

13 . 12 . 50! 52 . 51

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19 LETRA DAo se lançar um dado duas vezes há 36 possíveis resultados. Destes, apenas 4 podem ter o maior valor menor do que 3 (1 e 1, 1 e 2, 2 e 1 e 2 e 2). Assim, a probabilidade será igual a:

436

19

=

20 LETRA APoderão ser escolhidos dois trabalhos do primeiro ano ou dois trabalhos de segundo ano. Portanto, a probabilidade P pedida será dada por: 21

36P = . + . 20

351536

1435

35 . (12 + 6)36. 25

P =

1836

P = = 12

21 LETRA DCalculando:

540

P(x) = = 0,125 = 12,5%

22 LETRA A

2 . 14 . 3

+ =

A soma será ímpar se tomarmos um número par de A e um número ímpar de B ou um número ímpar de A e um número par de B. Logo, a resposta é dada por:

2 . 24 . 3

12

23 LETRA BA probabilidade pedida é dada por

PÁGINA 60

72

� �

102

� �=

7!2! . 5!

10!2! . 8!

= 715

24 LETRA EA probabilidade pedida é dada por

72

� �

63

� �

. 42

� �= = 60%2 . 6

20. 100%

PÁGINA 60

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25 LETRA ASeja X a média aritmética entre o número obtido no dado e o da face da moeda.

Lançando simultaneamente o dado e a moeda, é possível obter 6 . 2 = 12 resultados distintos.

Supondo X ∈ ]2, 4[, tem-se que os eventos favoráveis são (1, 6), (2, 3), (3, 3) e (4, 3). Em consequência, podemos afirmar que a probabilidade pedida é , ou seja, . 4

1213

26 LETRA COs possíveis produtos múltiplos de 3 dos números sorteados são:

- 3 (1 e 3 ou 3 e 1); duas possibilidades,- 6 (dados 6 e 1, 1 e 6, 2 e 3 ou 3 e 2); quatro possibilidades,- 9 (dados 3 e 3); uma possibilidade,- 12 (dados 4 e 3, 3 e 4, 6 e 2 ou 2 e 6); quatro possibilidades,- 15 (dados 3 e 5 ou 5 e 3); duas possibilidades, - 18 (dados 3 e 6 ou 6 e 3); duas possibilidades,- 24 (dados 6 e 4 ou 4 e 6); duas possibilidades,- 30 (dados 6 e 5 ou 5 e 6); duas possibilidades,- 36 (dados 6 e 6); uma possibilidade.

Portanto, há um total de 20 resultados possíveis nos quais o produto dos números sorteados é múltiplo de três. Logo, a probabilidade de terem sido sorteados os números 3 e 4 (ou 4 e 3) é 2 em 20 – ou uma em 10.

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Me taPROBABILIDADE

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Me taPROBABILIDADE

27 LETRA DPara saber a probabilidade total da rosa retirada do vaso B ter espinhos é preciso analisar os dois cenários da primeira rosa retirada do vaso A e colocada em B.

Cenário 1: rosa retirada do vaso A e colocada em B tem espinhos.Probabilidade de retirar uma rosa com espinhos do vaso A: (5 rosas com espinhos do total 9)Probabilidade de, após a colocação de uma rosa com espinhos em B, retirar uma rosa com espinhos do vaso B: (3 rosas com espinhos do novo total 8 + 1 = 9) . = que é a probabilidade do cenário 1 acontecer.

Cenário 2: rosa retirada do vaso A e colocada em B não tem espinhos.Probabilidade de retirar uma rosa sem espinhos do vaso A: (4 rosas sem espinhos do total 9)Probabilidade de, após a colocação de uma rosa com espinhos em B, retirar uma rosa com espinhos do vaso B: (2 rosas com espinhos do novo total 8 + 1 = 9) . = que é a probabilidade do cenário 2 acontecer.

A probabilidade total final de se retirar uma rosa com espinhos do vaso B será a soma das probabilidades destes dois cenários previstos:

+ =

PÁGINA 60

59

39

39

59

1581

49

29

29

49

881

881

1581

2381

a

28

PÁGINA 60

RESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

Calculando:

P(x) = = = 0,0769 = 7,69%

A)

452

Calculando:

P(X) = = = =

B)

C₄₈C₅₂

55

48! . 47!52! . 43!

113

48.47.46.45.44.43!.47!52.51.50.49.48.47!.43!

47.46.45.4452.51.50.49

29 LETRA ASe a probabilidade de retirar uma boa preta é igual nas duas urnas, então

= ⇔ 3x + 60 = x + 70

⇔ x = 5.

Portanto, segue que

P = . 100% = 20%

xx + 20

3xx + 70

55 + 20

a

PÁGINA 60

RESOLUÇÃO

Me ta

30 LETRA BSe um em cada cinco adolescentes sofrem bullying temos que a probabilidade poderá ser expressa por:

P = = 0,2 = 20%15

31 LETRA CA soma será um número par se tomarmos um número ímpar de A e um número ímpar de B ou um número par de A e um número par de B. Em consequência, a resposta é:

+ =

3 . 25 . 5

2 . 35 . 5

1225

32 LETRA BO número de casos favoráveis corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos tomados 4 a 4 isto é, A₉,₄ = . Por outro lado, o número de casos possíveis é igual ao número de arranjos simples de 10 objetos tomados 5 a 5, ou seja, A₁₀,₄ = . Portanto, a probabilidade pedida é:

=

9!5!

10!5!9!

5!10!5!

110

33 LETRA CExistem P₄ = modos de obter exatamente 3 caras em 4 lançamentos. Por outro lado, existem apenas duas maneiras de obter 3 caras consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, a probabilidade pedida é ou seja, .

3( ) 4!3!

24

12

PROBABILIDADE

O número de casos favoráveis é dado

por = 3, e o número de casos

possíveis é = = 45.

Em consequência, a resposta é:

=

PÁGINA 60

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Me taPROBABILIDADE

34 O número de mulheres com HIV positivo é igual a 0,4 . 0,1 . 500 = 20. Por outro lado, o número de homens soropositivos é 0,6 . 0,15. 500 = 45. Portanto, a probabilidade pedida é igual a:

. 100% = 13%65500

32

� �

35 LETRA C

10!2! . 8!

102

� �

345

115

36 LETRA E840010500

= 0,8 = 80% homens → 20% mulheres

38 LETRA CLuís pode receber 3 cartas de ouros de

= = 10 maneiras e 5 cartas

quaisquer de = modos.

Portanto, segue que a probabilidade

pedida é igual a .

53

� �233

� �

101771

10!3! . 2! 23!

3! . 20!

39 LETRA CSe a probabilidade de estar chovendo no domingo é de 30%, então a probabilidade de não estar chovendo é de 100% - 30% = 70%. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 0,3 . 0,2 + 0,7 . 0,9 = 0,69.

37 LETRA E

PÁGINA 61

A turma possui alunos. Logo, como alunos não leram nenhum livro no mês passado, segue que a probabilidade pedida é

. 100% = 7,5%340

aRESOLUÇÃO

Me taPROBABILIDADE

PÁGINA 61

41

LETRA DO evento complementar do evento soma maior do que 4, ou igual a 3, é soma menor do que ou igual a 4, e diferente de 3, ou seja, {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Assim, como o espaço amostral possui 6 . 6 = 36 elementos, segue que a resposta é:

1 - =436

89

Tem-se que

= 780 ⇔ = 780 ⇔ n . (n - 1) = 40 . 39 ⇔ n = 40.

A)

B)

40

n2

� � n!2! . (n -2)!

Seja h o número de homens no grupo. Logo, vem

- = 0,2 ⇔ 2h - 40 = 8 ⇔ h = 24.

40 - h40

h40

LETRA A42A probabilidade pedida é dada por:

. 100% = 20%1785

LETRA C43Glorinha possui uma ficha cujo número pertence ao conjunto

{2, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 16, 20, 21, 23}

Por conseguinte, a probabilidade pedida é

. 100% ≅ 9%111

LETRA A44A probabilidade pedida é igual a:

. =1022

921

1577

LETRA C45Entre 1 e 100 existem 6 números múltiplos de 15, dentre os quais apenas 3 também são múltiplos de 6 (30, 60 e 90). Assim a probabilidade de o número sorteado ser, ao mesmo tempo, múltiplo de 6 e 15 é:

= 0,033100