6/24/2013

1

Análise da equação homogênea

0)()(2)(

anormalizad Forma

2

2

2

txtdt

dxt

dt

xdnn

02

solução uma é )(

22

nn

st

ss

Ketx

s é solução da equação característica

)()()()(

:equação da solução a Qual

212

2

tftxatdt

dxat

dt

xd

)(homogêneaar complement solução

particular solução

)()()( :que se-Sabe

c

p

cp

x

x

txtxtx

1

0)()(

2

222

2222

nn

nnn

nnn

s

s

s

(raízes ou modos do sistema)

Solução da forma:

tstseKeKtx 21

21)(

02 22 nnss 12 nns

Solução da forma: tsts

eKeKtx 21

21)(

distintas) e reais (raízes 1 :1 CASO tsts

eKeKtx 21

21)(

)conjugadas complexas (raízes 1 :2 CASO tstseKeKtx 21

21)(

dnn jsjs 1 2

tjttjst dndn eeee

)(

:OBS

tjte ddtj d

sincos

*12)( KKtx real

2/)(ASSUMA 211 jAAK

tAtAetx ddt sincos)( 21

iquais) e reais (raízes 1 :3 CASO

ns

tnetBBtx

21)(

6/24/2013

2

- http://techteach.no/publications/articles/second_order_systems.pdf

)()()()(

:equação da solução a Qual

212

2

tftxatdt

dxat

dt

xd

)(homogêneaar complement solução

particular solução

)()()( :que se-Sabe

c

p

cp

x

x

txtxtx

Se a função forçante for constante:

particular solução uma é )(2a

AxAtf p

)()(

)( forçante funçãoqualquer Para

2

txa

Atx

Atf

c

2

11

22

2

22

a

aa

aa

n

nn

6/24/2013

3

A resposta da rede:

Determinando as constantes

Atxtdt

dxt

dt

xdnn )()(2)(

anormalizad Forma

2

2

2

tsts

n

eKeKA

tx 21

212)(

212)0( KK

Ax

n

2211)0( KsKsdt

dx

tAtAeA

tx ddt

n

n

sincos)( 212

12)0( A

Ax

n

21)0( AAdt

dxdn

t

n

netBBA

tx

212

)(

12)0( B

Ax

n

21)0( BBdt

dxn

Exemplos do uso da resposta ao degrau no

modelamento de sistemas

http://www.rpi.edu/dept/chem-eng/WWW/faculty/bequette/courses/case-studies/

6/24/2013

4

Determine v(t) FCHLR5

1,5,2 VvAi CL 4)0(,1)0(

t

Ldt

dvCidxxv

LR

v

0

0)0()(1

011

2

2

vLCdt

dv

RCdt

vd

015.2

TICACARACTERÍS EQUAÇÃO

2 ss 5.1;1 n

2

5.15.2

2

4)5.2(5.2 2

s

tteKeKtv

5.02

21)(

Para determinar as constantes, precisamos:

)0();0( dt

dvv

Vvvv CC 4)0()0()0(

0 em LKC t

0)0()0()0(

dt

dvCi

R

vL

C

5)5/1(

)1(

)5/1(2

4)0(

dt

dv

2;255.02

421

21

21

KK

KK

KK

0;22)( 5.02 teetv

tt

RiLi Ci

0 CLR iii

Passo 1

Modelo

Passo 2

Passo 3

Raízes

Passo 4

Forma da

solução

Passo 5: Determine as constantes

)0(),0( encontre ,fornecidas não Se LC iv

Analise o

circuito em

t=0+

%script6p7.m

%plots the response in Example 6.7

%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0

t=linspace(0,20,1000);

v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);

plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)')

title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')

Usando MATLAB para visualizar a resposta

6/24/2013

5

EXEMPLO FCHLR 04.0,1,6 VvAi CL 4)0(;4)0(

t

CvdxxiC

tdt

diLtRi

0

0)0()(1

)()(

0)(1

)(2

2

tiLC

tdt

di

L

R

dt

id

0)(25)(62

2

titdt

di

dt

id

0256 :Car. Eq. 2 ss6.062

5252

n

nn

432

100366 :raízes js

d

)4sin4cos()( 213

tAtAetit

Aii L 4)0()0(

)0( determ. Para dt

di)()( t

dt

diLtvL

)0()0()0( CvRidt

diL 20)0(

dt

di

41 A

)4cos44sin4()(3)( 213

tAtAetitdt

di t

24)4(320:0@ 22 AAt

0];)[4sin24cos4()( 3 tAtteti

t

Rv Lv

Cv0 CLR vvv

t

CC dxxiC

vtdt

diLtRitv

0

)(1

)0()()()(

0];)[4sin224cos4()( 3 tVttetv

tC

Não há chaveamento ou

discontinuidades em

t=0. Use t=0 ou t=0+

modelo

Forma:

Usando MATLAB para visualizar a resposta %script6p8.m

%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t))

% and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t))

% use a simle algorithm to estimate display time

tau=1/3;

tend=10*tau;

t=linspace(0,tend,350);

it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t));

vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t));

plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current')

title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')

legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')

6/24/2013

6

EXEMPLO HLFCRR 2,1,8,10 21 AiVv LC 5.0)0(,1)0(

KVL

0)()()( 1 tvtiRtdt

diL

LKC

)()(

)(2

tdt

dvC

R

tvti

0)()()(

)(1

2

12

2

2

tvt

dt

dvC

R

tvR

dt

vdCt

dt

dv

RL

0)()(1

)(2

211

22

2

tv

LCR

RRt

dt

dv

L

R

CRt

dt

vd

0)(9)(6)(2

2

tvtdt

dvt

dt

vd 096 :Car. Eq. 2 ss

162,3 nn

22 )3(096 :Car. Eq. sss

tBBetvt

213)(

Vvv c 1)0()0(

)0()0(

)0()0(

0 EM LKC

2 dt

dvC

R

vii

t

L

3)0( dt

dv

11)0( Bv

63)0(3)0( 22 BBvdt

dv

0;61)( 3 ttetv

t

Não há chaveamento ou discontinuidades

em t=0. Use t=0 ou t=0+

Usando MATLAB para visualizar a resposta

%script6p9.m

%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)

tau=1/3;

tend=ceil(10*tau);

t=linspace(0,tend,400);

vt=exp(-3*t).*(1+6*t);

plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)')

title('CAPACITOR VOLTAGE')

6/24/2013

7

EXEMPLO 0),( Det. tti

0;42)( 2

teeti

t

t

Resposta:

EXEMPLO 0),( Det. tti

Quando a chave abre, o circuito é um RLC

série

0)()0()(2)(30

t

C dxxivtdt

diti

0)(2

1)(

2

3)(

2

2

titdt

dit

dt

id

5.0,1 :raízes

05.05.1 :Car. Eq. 2

s

ss

0;)( 221

teKeKti

t

t

Para det. condições iniciais, utilize análise

em regime estacionário para t<0

Cv

AiL 2)0(

VvC 0)0(

3)0( dt

di

21

21

2

13

2

KK

KK

0;42)( 2

teeti

t

t

Cv

Rv

Lv

E analise o

circuito em t=0+

0 em LKC tAi 2)0(

=0

=2

6/24/2013

8

EXEMPLO 0),( Det. 0 ttv

0;32)(

0;3)(

3

0

3

teetv

teeti

tt

tt

Resposta:

EXEMPLO 0),( Det. 0 ttv

Para t>0 o circuito é RLC série

)(2)(0 titv

)(ti

KVL

0)(2)0()(3/2

1)(

2

1

0

tivdxxitdt

diC

t

0)(3)(4)(2

2

titdt

dit

dt

id

3,1 :raízes

034: Car. Eq. 2

s

ss

0;)( 321

teKeKtitt

Para det. conds. Iniciais, utilize análise

em regime estacionário para t<0

AiL 2)0(

0)0(Cv

E analise o circuito em t=0+

Ai 2)0( 0)0( Cv

838)0(

20)0(

21

21

KKdt

di

KKi

3

1

2

1

K

K

0;32)(

0;3)(

3

0

3

teetv

teeti

tt

tt

6/24/2013

9

EXEMPLO 0);(),( 00 ttvti DETERMINE

)(12)(18)( 00 Vtitv

V24

0;6

14

6

11)( 63

0 teeti

tt

Resposta:

EXEMPLO 0);(),( 00 ttvti DETERMINE

)(12)(18)( 00 Vtitv

KVL

012)(18)(2)0()(36/1

14

0

titdt

divdxxi

t

C

0)(18)(9)(2

2

titdt

dit

dt

id

6,3 :raízes

0189 : Car. Eq. 2

s

ss

0;)( 62

310

teKeKtitt

0)0( Cv AiL 5.0)0(

Análise em t=0+

)(5.0)0()0(0 Aii L

)0()0()0( 0 dt

diL

dt

diLv L

L )0(Lv

0)0(Cv

012)0(18)0(4 LL iv

210

210

5.0)0(

632/17)0(

KKi

KKdt

di

V24

Regime estacionário para t<0

)0(Li

)0(CvV24

17)0( Lv

0;6

14

6

11)( 63

0 teeti

tt

6

14;

6

1121 KK

Segunda Ordem

6/24/2013

10

Fluxo sanguíneo ( Fl(t) [l/min] ):

Pressão sanguínea ( P(t) [mmHg]) : (Força do sangue sobre a parede de um vaso sanguíneo) / Área

Resistência vascular periférica: representa a soma de todos os fatores que oferecem

resistência ao fluxo de sangue (viscosidade do sangue, diâmetro e comprimento do

vaso)

DP: diferença de pressão entre duas extremidades do vaso (ex: Pressão arterial média

Pressão média do átrio direito = diferença de pressão da circulação sistêmica)

tD / sangue) (variação )( / )( tittQ DD

APLICAÇÕES: Sistema circulatório

– modelo físico simplificado

D

min/

min]/[

][ :

l

mmHg

lFl

mmHgPR

Pao,médio: Pressão arterial média

Pven,médio: Pressão venosa média

VPVPPR médioaomédiovenmédioao DD / / )( ,,,

Sistema circulatório – modelo de Windkessel

• As paredes das grandes artérias (artéria aorta e artérias pulmonares) contém fibras

elásticas, que se distendem com o aumento da pressão arterial durante a sístole

(contração dos ventrículos do coração).

• Como a taxa de sangue entrando nessas artérias elásticas é maior do que a taxa de

sangue saindo devido à resistência periférica, há um armazenamento de sangue nas

artérias distendidas durante a sístole, que é então "descarregado" durante a diástole.

• Essa distensibilidade (complacência) das grandes artérias é análogo a um capacitor.

6/24/2013

11

Sistema circulatório – modelo de Windkessel

C: Complacência vascular

DV: variação no volume de sangue ejetado pelo coração

DP: variação na pressão arterial sistêmica

dtdV

dtdQC

dt

dVC

dt

dQCVQ

P

VC

/

/

D

D

dt

tdPC

R

tPtFl

)()()(

Sistema circulatório – Modelo Windkessel de

dois elementos

- Quanto maior a Rp, mais lenta será a saída do fluxo de sangue

armazenado nas artérias complacentes e maior será a constante de tempo

t do sistema.

- Quanto maior C, maior será a quantidade de sangue armazenada, e maior

a constante de tempo t do sistema.

C

tFl

RC

tP

dt

tdP )()()(

6/24/2013

12

Sistema circulatório – Modelo Windkessel de

dois elementos

Sistema circulatório – Modelo Windkessel de

dois, três e quatro elementos

FONTE: http://www.springerlink.com/content/78l470n5j0v28u77/fulltext.pdf

ZC: impedância característica da aorta

L: inércia do sistema arterial (ligação em paralelo – contribuição em baixas

freqüências ) – o fluxo sanguíneo (“corrente”) não varia instantaneamente (possui

“inércia”).

6/24/2013

13

Modelos mais complexos:

PNEUMA – Simulação das interações cardio-respiratórias:

http://bmsr.usc.edu/Software/PNEUMA/PNEUMA.html