circuitos elétricos

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.

Circuitos Eltricosos ad rv se e R a. ad z ri to au

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ia p C

o n

129Cpia no autorizada. Reservados todos osCdireitos autorais. IRCUITOS ELTRICOS3E


os ad rv se e R a. ad Monitor Editorial Ltda. Desenvolvimento de contedo, iz Rua dos Timbiras, 257/263 So Paulo SP 01208-010 mediao pedaggica e r Tel.: (11) 33-35-1000 / Fax: (11) 33-35-1020 design grfico to [email protected] Equipe Tcnico Pedaggica u www.institutomonitor.com.br do Instituto Monitor a o Impresso no Parque Grfico do Instituto Monitor Av. Rangel Pestana, 1105 a 1113 So Paulo SP 03001-000 n Tel./Fax: (11) 33-15-8355 a i [email protected] p CTodos os direitos reservados Lei n 9.610 de 19/02/98 Proibida a reproduo total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas grficos, reprogrficos, fotogrficos, etc., bem como a memorizao e/ou recuperao total ou parcial, ou incluso deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prvia autorizao escrita da editora. Os infratores esto sujeitos s penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsveis pela produo de cpias.

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CpiaEdio - Maro/2006 3 no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.


. is ra o ut a Apresentao............................................................................................................ 7 s o it Lio 1 Divisor de Tenso e Introduo ................................................................................................................ 9 ir d 1. Divisor de Tenso Sem Carga ........................................................................ 9 s .................................. 9 1.1 Circuito com Tenso de Sada Fixa ou Constante o 1.2 Circuito com Tenso de Sada Varivel ou Ajustvel ........................... 10 s 2. Divisor de Tenso com Carga ....................................................................... 15 do to Lio 2 Divisor de Corrente Introduo .............................................................................................................. 19 os 1. Divisor de Corrente Fixa ou Constante ....................................................... 19 ad 2. Divisor Varivel de Corrente ....................................................................... 20 rv 3. Divisor de Corrente com Limites Mnimo, Mximo ou Ambos ................. 20 se Exerccios Propostos ............................................................................................. 23 e R Lio 3 Leis de Kirchhoff a. Introduo .............................................................................................................. 27 ad 1. Conceitos Bsicos ......................................................................................... 27 z 2. As Leis de Kirchhoff .................................................................................... 27 ri 2.1 Primeira Lei de Kirchhoff ...................................................................... 27 to 2.2 Segunda Lei de Kirchhoff ...................................................................... 28 au das Leis de Kirchhoff para a Soluo de Redes Eltricas ....... 29 3. Utilizao 3.1 Resoluo de Exerccio com Mais Malhas ............................................. 29 o n Exerccios Propostos ............................................................................................. 33 a pi Lio 4 Teorema de Thvenin C Introduo .............................................................................................................. 35

ndice

1. Tenso Thvenin (Eth) e Resistncia Thvenin (Rth) .................................. 2. Determinao de Eth e Rth para o Componente Escolhido ........................ 2.1 Exemplo de Aplicao ............................................................................ Exerccios Propostos .............................................................................................

35 35 36 39

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.129/5

Cpia Lio 5 autorizada. Reservados todos os direitos autorais. no Teorema de NortonIntroduo .............................................................................................................. 1. Corrente e Resistncia de Norton ............................................................... 2. Determinao de IN e RN para um Componente ........................................ 2.1 Exemplo de Aplicao ............................................................................ Exerccios Propostos ............................................................................................. 41 41 42 43 47

Lio 6 Teorema de Superposio de Efeitos Introduo .............................................................................................................. 49 1. Mtodo de Soluo de Circuitos Eltricos .................................................. 49 Exerccios Propostos ............................................................................................. 52 Lio 7 Conceitos e Tipos de Filtros Introduo .............................................................................................................. 1. Tipos de Filtros ............................................................................................. 2. Filtro Passa Baixa ......................................................................................... 2.1 Caractersticas da Tenso de Sada ....................................................... 3. Filtro Passa Alta ........................................................................................... 3.1 Caractersticas da Tenso de Sada ....................................................... 4. Diferenciador ................................................................................................ 5. Integrador ..................................................................................................... Exerccios Propostos .............................................................................................

os Lio 8 Corrente Alternada ad Introduo .............................................................................................................. 67 rv 1. Definio ....................................................................................................... 67 se 2. Circuito com Corrente Alternada................................................................ 68 e 2.1 Indutor e Indutncia ............................................................................... 68 R 3. Circuito em CA com.Indutncia Pura ......................................................... 70 da 4. Circuito RL em Srie .................................................................................... 71 a 5. Circuito RL Paralelo ..................................................................................... 73 iz 6. Capacitor ....................................................................................................... 76 or tdo Fator de Potncia (FP) ............................................................ 80 7. Correo 8. Impedncia Complexa .................................................................................. 82 au 8.1 o Circuitos RL ............................................................................................ 82 Circuito RC .............................................................................................. 86 8.2 n 90 a 8.3 Circuitos Mistos RLC ............................................................................. 97 i Exerccios Propostos ............................................................................................. p C Respostas dos Exerccios Propostos .................................................................... 100Bibliografia ............................................................................................................ 101

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55 55 56 56 56 57 62 63 64



Apresentao

. is ra O objetivo deste fascculo a orientao e o aprendizado de toda o a ut estrutura de circuitos especiais, principalmente os com vrios circuitos a com nmero elevado de fontes e resistores. s o it A transformao de fonte de corrente e fonte de tenso tambm ser e mostrada nesta disciplina, sendo apresentadas vrias teorias para ajuir d dar o aluno a este desenvolvimento. s o Estaremos abordando, ainda, os Circuitos RLC que correspondem s por tenso e corrente soma de impedncias de um circuito alimentado do alternada. Esse estudo o ajudar a ampliar seu conhecimento sobre as to perdas de energia de um circuito. os Bom estudo! ad rv se e R a. ad z ri to au o n a pi C



lio

1

Divisor de Tenso

IntroduoO objetivo desta lio o estudo de circuito usando Divisor de Tenso e Divisor de Corrente. O circuito Divisor de Tenso utilizado quando se deseja obter valores de tenso que no poderiam ser conseguidos atravs de simples associao de pilhas ou baterias comerciais, ou ainda, quando a tenso da fonte que se possui superior ao valor de tenso desejada. A tenso que se deseja obter atravs desse tipo de circuito comumente denominada de tenso de sada (Vs) e pode ser um valor fixo ou varivel. sada deste circuito podemos ou no acoplar um outro, e, desta forma podemos ainda dizer que os circuitos divisores de tenso podem ser fixos ou variveis e com ou sem carga.

I

V

os d Onde:a resistncia equivalente. Req va A corrente no circuito ser calculada er s pela expresso: e R a. V V d I= = a R R +R iz 1. Divisor de Tenso Sem Carga r to A tenso de sada Vs ser a tenso na reu O circuito Divisor de Tenso Sem Carga a sistncia R2. Pela lei de Ohm, temos: aquele onde a corrente de sada ou de carga ono existe nada acoplado nula (zero), ou seja, n Vs = R2 . I aos terminais de Vs. a pi Substituindo-se I pela sua expresso, 1.1 Circuito com Tenso de Fixa ou Constante temos: Sada C

os od t

Analisando o circuito, temos: Req = R1 + R2

os

. is ra to R1 u a B s o Vs it R2 e A ir d Fig. 1

eq

1

2

Este circuito nada mais do que um circuito de resistores em srie; atravs de cada resistor, pode-se obter uma parcela da tenso total da fonte, conforme a figura 1.

Vs =

R 2 .V R1 + R2


129/9

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Cpia no autorizada. Reservados todos para direitos autorais. Esta equao pode ser denominada equao os o circuitodivisor de tenso, e podemos descrev-la da seguinte maneira: a tenso de sada em um circuito divisor de tenso ser igual ao produto da resistncia em que se deseja obter esta tenso pela tenso da fonte, dividido pela soma da resistncia do circuito. Vejamos um exemplo de como dimensionar os valores das resistncias do circuito, sabendo-se que a resistncia vista pela fonte de 3K.

R1 B 30V R2 A Fig. 2

assumir todos; os valores so intermedirios entre dois consecutiia vos, ou seja, ocorrem saltos de tenso. Esse circuito uma vap rivel do primeiro, utilizando-se ainda uma chave seletora e vrios C resistores fixos. Tomemos o ponto A, da figura 3, como um ponto comum para todas as tenses.

os d R .Vto Req = R1 + R2 = 3K e V = R sR o+ Substituindo os valores, temos: ad rv R .30 60 K se 20 = R .30 = 20.3K R = e 3K 30 .R a logo R = R d R = 3K 2 K = 1K a iz Tenso de Sada Varivel ou Ajustvel 1.2 Circuito r com to 1.2.1 Circuito Seletor de Tenses au o caso, a tenso de sada pode assumir vrios valores sem n NesseTemos:2 s 1 2

os t Vs = 20V ei r di os

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2

2

2

1

eq

2


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.R3 Fig. 3 V R2 R1 A B Vs C D

Com a chave na posio B, temos: Vs = VBA = VR1 Na posio C, temos: Vs = VCA = V(R1 + R2) Na posio D, temos: Vs = VDA = V(R1 + R2+ R3) ou ainda Vs = V

ia p C

os od importante no esquecer que a tenso pode assumir alguns t valores entre 0 (zero) e o valor da fonte, mas no poder assumir s todos eles. do va Vejamos como determinar, para o circuito, os valores das tenr ses de sada em cada uma e posies da chave. das es .R da a R4 iz 1K5 + r o V = 17V R3 ut 1K 3 a R2 4 o 2 3K3 nR1 2K7 A Fig. 4 Vs 1 B

os

os t ei r di

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Posio 1 = = = = =

+

+

+

+

+

+


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Posio 2VS2 = ( R1 + R2 ).V (2 K 7 + 3K 3).17 6000 . 17 = = = 12V R1 + R2 + R3 + R4 8K 5 8500

Posio 3

VS3 =ou

( R1 + R2 + R3 ).V (2 K 7 + 3K 3 + 1K ).17 7000 . 17 = = 14V = = R1 + R2 + R3 + R4 8K 5 8500

R4 .V 1K 5.17 1500.17 o VS3 = V - VS4 = = VS3 = 17 = = 17 - t i 8500 = R1 + R2 + R3 + R4 8K 5 e 25500 17 = 17 - 3 = 14V 8500

s

. is ra o ut a

Posio 4

s a da fonte, pois estando o contato mvel parado em uma posio qualpi quer, teremos dividido a resistncia do potencimetro em duas re sistncias (R e R ). C 1 2

os d 1.2.2 Tenso Varivel entre a e V (0 < Vs < V) 0 rv se Nesse caso, utilizamos apenas um potencimetro ou resistor e varivel ligado diretamente aos terminais da fonte de tenso (figuR ra 5). a. ad A resistncia equivalente ao circuito ser a prpria resistnz cia nominal ri potencimetro (Rpot). A tenso de sada Vs ser obdo tida entre o ponto A de referncia do circuito e o ponto C, contato to mvel do potencimetro. au Alterando-se a posio do contato mvel do potencimetro, o nV S 4 = V = 17Vobtemos todos os valores possveis de tenso V entre zero e o valor

os od t

os

r di

Fig. 5 R1 Rpot R2 ou R1 R2


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Cpia no Onde: Rpot = R1 + R2

autorizada. Reservados todosdemais posies do autorais. Para as os direitos contato m

B

Observando a figura 6, temos:

vel, a tenso Vs ser a tenso sobre R1 mais um pedao R do potencimetro, at atingir o valor mximo, quando forem coincidentes os pontos C e D. Neste caso, Vs = V (da fonte).D

. isC V B ra V o R1 Vs ut Vs A a s A Fig. 6 to iFig. 7 Obs.: o valor nominal do potencimetro e determinado considerando-o um resistor ir d 2) Neste caso, o limite ser para um valor fixo. sNotemos que, em relao ao mximo. o exemplo anterior, ocorre basicamente a ina) Ponto C coincidente s verso entre os pontos A e D das figuras. com o ponto A: Vs = 0 do to b) Ponto C coincidente s Quando o contato mvel do potencimetro (ponto C) estiver coincidindo com o ponto B, a com o ponto B: Vs = VBA = V = VRpot do tenso Vs ser tenso sobre o potencimetro, a ou ainda, a tenso no resistor R . c) Para o ponto C numa posio qualquer, di- v 1 ferente de A e B: Vs poder assumir qualer D quer valor diferente de zero e V da fonte, es R1 como em controles de volume e balano de .R canais estereofnicos, etc. B V da C Rpot 1.2.3 Tenso Varivel com a iz < VS < V) ou r Limite Inferior (Vmn Vs A to < Vs < Vmx) Limite Superior (0 Fig. 8 au Em um circuito, s vezes necessrio lio mitar a variao tenso de sada. O cirda n Para as demais posies do contato mcuito que permite limitar os valores a partir a ou at de um valor mxii vel, a tenso Vs assumir valores menores de um valor mnimo do que o da tenso da fonte, diminuindo at mo praticamente o mesmo; muda apenas o p C referncia da tenso (ponto A). Vezero quando o ponto C coincidir com o ponponto de

Rpot

C

Rpot

jamos dois exemplos. 1) Neste caso, o limite ser para um valor mnimo, pois quando o contato mvel do potencimetro (ponto C) estiver coincidindo com o ponto B, a tenso Vs ser a tenso sobre o resistor R1.

to A. Existe ainda a possibilidade de se limitar a tenso em um valor mnimo e um mximo no mesmo circuito (Vmm Vs Vmx), o que pode ser obtido pela combinao dos circuitos anteriores, conforme a figura 9.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ER1 DFig. 9

V

Rpot BR2

C

ia Pf p C

. is Neste caso, o limite inferior ser o valor da tenso sobre o ra resistor R2 (ponto C coincidente com o ponto B), e o limite superior to ser a tenso da fonte menos a tenso sobre o resistor R1 (ponto C au coincidente com o ponto D). os t Portanto, podemos afirmar que a tenso de sada Vs assumir ei r valores entre VR2 e (V - VR1). di V V V -V os os d Para projetar um circuito divisor da tenso sem carga, de modo ofonte de 220V, que pode t que 88V Vs 140V, dispe-se de uma s fornecer uma potncia de 800mW. o ad Da fonte, temos que: rv se e R R1 a. C ad Rpot iz 200V Fig. 10 r to R2 Vs u a A o 2 +3 n 2AR2 S R1

Vs

=

V 200 40000 40000.10 = = R eq = = = R eq 800 800.10 - 3 800.10 - 3

= 50 K

Portanto, para o circuito, temos:

Req = R1 + Rpot + R2 = 50K


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Para o valor mnimo:V S m in = V R 2 = V . R2 200. R 2 = 88 = = Re q 50K 88.50 K = 22 K 200

200. R 2 = 88.50K = R 2 =Para o valor mximo: +

= =

+

= +

= = _

+

Portanto,

ia p C

do Para este caso, basta acrescentarmos a qualquer um dos circuivaos terminais de sada. Ir ocorrer, tos anteriores uma carga RL entre er na sada, uma diviso na corrente do circuito, sendo que a corrente es que percorre a carga ser denominada IL, e a corrente no resistor de sada do circuito ser denominada corrente de dreno (Id). .R da circuito: Vejamos o seguinte a iz r I to R1 au B o Fig. 11 V IL R2 R L Vs = VL nId A

2. Divisor de Tenso com Cargas

os od t

os

os it = = e r di=

. is ra o ut a +

A resistncia equivalente do circuito ser o resultado da associao em paralelo das resistncias entre os pontos A e B, em srie com R1.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. A tenso de sada ser calculada pela equao:R2 . R L .V R2 + R L

VS =

ia p C

s ai r Determinemos o valor da tenso de sada do circuito em vazio (Vso). o t au os t 2,2K R1 Fig. 12 ei B ir d 110V 3,3K s Vs R2 o o s do A to V. R2 11.3,3K 36,3os K Vso = = = dK = 6,6 K R1 + R2 2,2 K + 3,3K = a 5,5 v er Ligando-se, entre os pontos A e B, uma carga de 1K, vamos determinar, ainda para o circuito, o novo valor da tenso de sada. es .R da a iz 2,2K R1 Fig. 13 A or t 11V au R L 1K R2 3,3K Vs o B n

V. R 2 . R L , simplificando temos: V = V = S L R .R R1 R 2 + R1 R L + R 2. R L R1 + 2 L R +R . L 2


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.Vs = Vs = Vs = V. R2. RL 11.3,3K.1K = R1.RL + R1.R2 + R2 .RL 2, 2 K .1K + 2, 2 K .3,3K + 3,3K .1K 11.3300.1000 36300000 = 2200.1000 + 2200.3300 + 3300.1000 2200000 + 7260000 + 3300000 36300000 = 2,84V 12760000

ou

R ' = Re qAB =

R1. R2 1K .3,3K 1.103.3,3.103 3,3.106 = = = RL + R2 1K + 3,3 K 1.103 + 3,3.10 3 4,3.10 36 -3

Re qAB = 0,7674.10. 10 VS =

= 0,7674.10 = 767,4

3

V . R' 11.767, 4 = = VS = 2,84V R1 + R ' 2,2K + 767,4

Fig. 14 11V

R1

2,2.10 .25.10 + 2,2.10 .3,3.10 ia 907,50.10 6 p VS = C 55.106 + 7,26.10 6 + 82,5.10 6 VS = 907,50.10 6 = 6,27 V 144,76.10 6

os 3,3K V R R L s ad 2 rv A se e R Usando o mesmo processo para uma carga de 25K a. d V ..R2a L R VS = iz R1.RL + r 1.R2 + R2 .RL R to 11.3,3K.25K VS = au o 2,2K.25K + 2,2K.3,3K + 3,3K.253K 11.3,3.10 3.25.10 nS= V 3 3 3 3 3 3+ 3,3.10 .25.10

os d o2,2K t

os

os t ei r di

. is ra o ut a

B

25K

Cpia

Analisando o exemplo, podemos afirmar que medida que aumenta o valor da resistncia RL aumenta o valor da tenso de sada Vs, aproximando-se cada vez mais do valor da tenso de sada em no autorizada. Reservados todos os direitos vazio (Vso).129/17

autorais.


lio

2

Divisor de CorrenteComo:

IntroduoDe forma anloga ao circuito divisor de tenso, s vezes se faz necessrio limitar a corrente eltrica em um circuito ou parte dele; neste caso, usamos o circuito divisor de corrente, que basicamente nada mais do que um circuito de resistncias em paralelo, onde a corrente total do circuito dividida entre as vrias resistncias do mesmo. Esta lio tem por objetivo, o estudo das Leis de Kirchhoff.

os t ei ir R .R V= .I d R +R s o s Podemos ainda obter: do to osI = R .I I = R .R . I I = R .I R R +R R R +R 1. Divisor de Corrente ad v Fixa ou Constante er R .I s e, de forma anloga, I = Tomemos como exemplo um circuitoe com R +R R dois resistores fixos em paralelo. . Desse modo, podemos afirmar que uma da vez conhecida a corrente total do circuito I a iz paralelo, as correntes em cada resistor do cirI1 cuito sero calculadas multiplicando-se essa or I2 + t corrente pelo resistor, do qual no se deseja R2 R1 u V a determinar a corrente, dividido pela soma das o resistncias do circuito. n Determinemos as correntes I1 e I2 do ciria Fig. 15 cuito representado na figura 16. p Utilizando a Lei de Ohm, podemos escreC ver:V = Req .I

. is ra o ut a

1

2

1

2

eq

1

2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

V V e I2 = I1 = R1 R2

I = 2A V R1

I1 1K R2

I2 3K


Fig. 16

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Cpia no autorizada. Reservados todos os posio do cursor mvel do Variando-se a direitos autorais.I1 = I2 = I .R 2 2 .3 K 6K = I1 = = 1,5 A R1 + R2 1K + 3K 4K I .R1 2.1K 2K = I2 = = 0,5 K R1 + R2 1K + 3K 4K

potencimetro (C), iremos variar as intensidades das correntes I1 e I2, de modo que: a) Quando o ponto C estiver coincidindo com o ponto A, teremos: R2 = Rpot, logo I1 = I e I2 = 0.

. is com b) Quando o ponto C estiver coincidindo a o ponto B, teremos: R1 = Rpot,rlogo I2 = I e Neste caso, utilizaremos um potencio I1= 0. metro com resistncia nominal Rpot. A ligaut a o ser efetuada para que a ligao em paPodemos ento concluir que as duas cors ralelo necessria ocorra entre as duas frao rentes (I1 e I2) variam seus valores entre 0 es de resistncias que constituem o it (zero) e I. e potencimetro e varivel, pois, alterandoir se o posicionamento do cursor mvel do d potencimetro (C), alteram-se os valores das 3. Divisor de Corrente com Limites s o fraes correspondentes a cada trecho do Mnimo, Mximo ou Ambos s potencimetro, lembrando que a soma das resistncias do circuito permanece constando Em alguns circuitos necessrio limitar o te e igual a Rpot. at variao da corrente eltrica em um componente ou em um determinado trecho do ciros d cuito. Para simplificarmos a anlise, vamos I1 I va considerar que a corrente I1 corresponde A R corrente de sada (Is) do divisor. er V Rpot s C e I2 B R R A figura 18 mostra um divisor com limite . mximo de corrente Is, pois com o contato mvel do potencimetro no ponto A, R2 ser da ou a igual a Rpot, e R1 igual a R. z ri I1 I to R1 u I I1 aC V A I2 Rpot V o R2 C n I2 B R ia Fig. 17 p Fig. 18 Onde: C1 2

2. Divisor Varivel de Corrente

Rpot = R1+R2 Desse modo, podemos escrever:

I1 =

Cpia no autorizada.

R 2 .I R1 .I e e I2 = R R pot pot

Se alterarmos a posio da resistncia R, passando-a para ramo percorrido por I2 Reservados todosfigurao19) teremos um divisor de os direitos autorais. (conforme a

I1 ser igual a zero quando o contato mvel estiver coincidindo com o ponto B, pois R2 = 0 (zero) e R1 = Rpot + R. Portanto, I1 ser uma corrente que ir variar de zero at I1mx.

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Cpia no autorizada. ReservadosQuando o contato mvel estiver coincidincorrente com limite mnimo, pois quando o b) todos os direitos autorais. contato do potencimetro estiver no ponto B, do com o ponto B, teremos: R1 ser igual a Rpot, e R2 igual a R; e ainda, quando o contato do potencimetro estiver Ro no ponto A, R1 = 0 e R2 igual a R mais Rpot, o I S min = I 1 min = .I Ro + R pot + R que significa I1 igual a I.

. is I2 ra V B o 1) Ao invs de trabalharmos com geradores R ut a de tenso, poderamos substitu-los por s(ideais), que so geFig. 19 geradores de corrente o radores que mantm a corrente do circuiit Portanto: e to constante para qualquer que seja a tenir so aplicada. R.I d I =I = e I =I =I s R+R o s I ou seja, I1 ser uma corrente que ir variar do ou de I1mm at I. to V I I os Para finalizar a anlise do circuito divisor d de corrente, basta efetuar a composio dos a v dois circuitos divisores com limites mnimor Fig. 21 e e mximo. es 2) Nos casos analisados, quando a corrente Assim, teremos: I1mm < Is < Imx .R a de sada era a mxima e igual corrente Ad total, ela era a corrente de curto-circuito a I iz I1 do gerador de tenso. C oI r Rpot R V Exemplo: ut 2 B a Ro o I1 I2 n Fig. 20 a I = 2mA pi R2 = 3K R1 = 2K a) Quando o contato mvel estiver coincidinC do com o ponto A, teremos:I A C I1 Rpot

S min

1 min

Smx

1mx

pot

Vejamos algumas consideraes importantes:

I Smx = I 1mx =

RO + R pot Ro + R pot + R

Fig. 22

.I


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.I1 = I .R2 2m.3K 2.103.3.103 6 6.103 = = = = R1 + R2 2 K + 3K 2.103 + 3.103 5.103 5 I .R1 2m.2 K 2.103.2.103 4 4.103 = = = = 5 R1 + R2 2 K + 3K 2.103 + 3.103 5.103

I1 = 1, 2.103 = 1,2mA

ia p C

. is ra Dualidade - A partir de um gerador de tenso, podemos obter o to gerador de corrente equivalente, ou vice-versa. au os t A ei r di A os + os rI E od t rV os ad B rv B se e R Fig. 23 a. ad z Curiosidaderi to au Andr-Marie Ampre (1775 1836) o francs, desenvolveu diversos trabalhos sobre a nFsicoI 2 = 0,8.103 = 0,8mA

I2 =

aplicao da matemtica na fsica e realizou diversos experimentos e descobertas no campo do eletromagnetismo. Analisou profundamente os fenmenos eletrodinmicos e descobriu o princpio da telegrafia eltrica. Em 1826, publicou a teoria dos fenmenos eletrodinmicos. Segundo ele, todos os fenmenos eltricos, do magnetismo terrestre ao eletromagnetismo, derivam de um princpio nico: a ao mtua de suas correntes eltricas. Essa descoberta uma das mais importantes da fsica moderna. A unidade de medida de corrente eltrica ampre em sua homenagem.



Exerccios Propostos

. is ra 1 No Divisor de Tenso da figura 24, determine a tenso V2 no resistor de to R2. sada u a R1 = 1 K s o it V0 = 10 V e Fig. 24 ir R2 = 4K7 V2 d s o s do to os ad rv se e R a. ad z ri to au o n a pi C


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Cpia no autorizada. Reservados coloridas em srie, conforme autorais. 2 Um enfeite de natal formado por 50 lmpadas todos os direitos mostraa figura 25. Cada lmpada est especificada para 1,5 V e 6 mW de potncia. Determine o valor do resistor R1 para que o enfeite possa ser alimentado pela rede eltrica de 110 V.R1

L1 Fig. 25 110 V L2

L50

ia p C

o n

os ad rv se e R a. ad z ri to au

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a


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CpiaUm aparelho de CD porttil funciona, em condies normais direitos autorais. 3 no autorizada. Reservados todos os de operao, com asseguintes especificaes: 3 V/450 mW. Qual deve ser o valor do resistor R2 para que esse aparelho opere a partir de uma fonte de 12 V, conforme a figura 26?

Fig. 26

R1 12 V R2

47

ia p C

o n


os od t

os

. is ra o ut Aparelho de CD a 3V/450mW s o it e ir d


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 4 Sabemos que no circuito representando na figura 27 a potncia dissipada pela fonte de 36mW, determine o valor das resistncias.

R1 18 V Fig. 27 R2 16 V R3 6,6 V

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



lio

3

Leis de KirchhoffR1 A V1 R3 os it e L ir 1 d R4 H B

IntroduoAs Leis de Kirchhoff nos permitem solucionar circuitos eltricos com qualquer grau de complexidade. Entende-se por solucionar circuitos eltricos a determinao de valores e sentidos de corrente e de tenses para qualquer dispositivo de circuito. As Leis de Kirchhoff formam o alicerce de toda a anlise das redes eltricas e apresentam vrios teoremas, como Thevenin, Norton, Superposio e outros, que sero estudados nas prximas lies.

. is ra R2 o ut C aV2

G

F E os R6 L2 od t Fig. s 28 do 4 malhas externas: ABCDHGA, va ABHDEFGA, BCDEFGHB e 1. Conceitos Bsicos er ABCDEFGA s e Rede Eltrica - Associao de componentes 3 malhas internas: ABHGA, BCDHB e R de eltricos, ativos ou passivos, interligados . DEFGHD a qualquer maneira, desde que formando ma 6 ramos: BH, DH, GH, GAB, BCD e DEFG ad lhas. o mesmo que circuitos eltricos. z i 4 ns: B,D,G e H (os pontos A, C, E e F no Malha - Todo percurso fechado que compe or interna ou exso ns) uma rede eltrica. Pode t ser u terna. a 2. As Leis de Kirchhoff o de um circuito elRamo - Trecho qualquer entre dois ns consecutrico compreendido n 2.1 Primeira Lei de Kirchhoff tivos. a i N - Ponto de interligao de um circuito elp A soma das correntes eltricas que enC trico que tem trs ou mais fios de ligao. tra num determinado n igual soma das

os

DR5

Para o circuito eltrico da figura 28, vamos determinar as malhas externas e internas, os ramos e os ns que ele contm.

correntes eltricas que sai desse mesmo n. Esta lei tambm conhecida como Lei dos Ns.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Exemplo:I1 I6 Fig. 29 A I5 I4 I2 I3

ia Na figura 30b, podemos aplicar a 2 lei de Kirchhoff trs vezes, p isto , uma para cada malha, uma vez que o circuito possui duas C malhas internas e uma externa.

. is ra o ut Para a figura 29, podemos concluir que I1 + I4 = I2 + I3 + Ia+ 5 I6. Para esta concluso, basta aplicar-se a 1 Lei de Kirchhoff s o no n A. it e 2.2 Segunda Lei de Kirchhoff ir d s qualquer, num A soma das tenses eltricas em uma malha o determinado sentido, sempre igual soma s tenses eltricas das dessa mesma malha no sentido oposto. Esta lei tambm conhedo cida como Lei das Malhas. to Nas figuras 30a e 30b, podemos concluir: os ad V V2 1 rv se e Vb2 Vb1 V Vb3 Vb3 R Vb1 b2 V1 . Vb Vb da V2 a izV3 r V3 to u Fig. a 30a V4 V5 o Fig. 30b n

importante lembrar que para a aplicao da 2 lei de Kirchhoff preciso respeitar as polaridades das tenses eltricas analisadas.


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Cpia no autorizada. Reservados todostemos:direitos autorais. Isolando VB os 3. Utilizao das Leis de Kirchhoff para a Soluo de Redes Eltricas

- VB = - VA + V1 + V2 + V3 + V4

Como regra geral, atribumos um sinal (+) para um aumento de tenso e um sinal (-) para as quedas de tenso, na frmula em que a soma das tenses igual a zero (2 Lei de Kirchhoff).

Multiplicando por (-1): VB = VA V1 V2 - V3 V4 VB = 20 3 3 6 2

. is ra VB = 6 V Exemplo: o ut 3.1 Resoluo de Exerccio a Determine a tenso VB no circuito abaixo: com Mais Malhas s o V2 = 3V itA e ir d I V1 = 3V V3 = 6V R1 R2 R3 s 5 o 4 8 VA VB = ? 20V os 12V V2 5V V3 V1 d 6V to V4 = 2V B os Fig. 32 Fig. 31 ad rv 1 passo) Adotar uma corrente para cada maPara resolver, partimos do (+) da bateriae se lha (sentido horrio ou anti-horrio). e percorremos todo o circuito at chegarmos ao R (-) da mesma. Ao passarmos pelos resistores, . 2 passo) Estabelecer as correntes no n A. consideramos as quedas, atribuindoa sinal (-) a elas. ad A iz Fig. 33 r I1 I2 A toda bateria no caminho que estiver em I3 to e, em caso conoposio, daremos sinal (-) au trrio sinal (+). o cargas de mesmo siPela Lei dos Ns: I1 + I3 = I2 Obs.: no esquea que n nal se repelem e de sinais opostos se atraia 3 passo) Identificar todas as quedas de tenem. p so no circuito, lembrando que: C V = R.I Assim, temos:

VA V1 V2 V3 VB V4 = 0

O sentido da queda de tenso sempre contrrio ao sentido da corrente.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. I (adotado) I (adotado)1

A I1

2

I2 I2 I3

5 R.I1 + 1 + 6V -

-

4 + 2 + 5V 12V + R.I3 + 8 R.I2

ia 6 5.I + 4.(I I ) 5 = 0 1 p 5 4.(I2 I1) 2- 8.I12 12 = 0 C

os t ei r Fig. 34 di Lembre-se que a flecha de tenso sempre contrria corrente que passa pelo resistor, mas nas fontes o sentido sempre do os (-) para o (+). os od 4 Passo) Levantamento das equaes das malhas 1 e 2. Estas equat es se referem soma das quedas s tenso de cada malha. O de termo ser positivo (+) se tiver o mesmo sentido da corrente adotado da, caso contrrio, ser negativo (-). va er Malha 1 es 6 5.I1 + 4.I3 5 = 0 . R da Malha 2: a iz r 5 4.I3 8.I2 12 = 0 to u Como:a 1 + I3 = I2 I3 = I2 I1 I o Substituindo nas equaes, temos: nB

. is ra o ut a

Aplicando a propriedade distributiva fica: 6 5.I1 + 4.I2 4.I1 5 = 0 5 4.I2 + 4.I1 8.I2 12 = 0


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Cpia no autorizada. comuns temos: Somando os termos Reservados todos os direitos autorais.- 9.I1 + 4.I2 + 1 = 0 ( 3 ) + 4.I1 12.I2 7 = 0 - 27.I1 + 12.I2 + 3 = 0 (+) + 4.I1 12.I2 7 = 0 - 23.I1 + 0 4 = 0 - 23.I1 = 0 + 4 I1 = 4 23Somando as equaes

I1 = - 0,17A

O sinal negativo representa que foi adotado o sentido errado para a corrente da malha 1, e no interfere em nada. Substituindo I1 na malha 2 temos:

ia I3 = I2 I1 p I3 = - 0,64 (-0,17) CI3 = - 0,47A

os 4.(- 0,17) 12.I2 7 = 0 ad rv - 0,68 12.I2 7 = 0 se e - 12.I2 = + 7 + 0,68 R a. 7,68 I2 = 12 ad z ri I2 = - 0,64A to au Novamente temos o sinal negativo indicando que adotamos sentido errado de corrente. o n

4.I1 12.I2 7 = 0

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a


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Cpia no autorizada. Reservadosporm, ao fazer direitos autorais. Note que os sinais no interferem, todos os as substituies nas equaes, devemos consider-lo.

Resumo1 passo 2 passo 3 passo 4 passo 5 passo 6 passo Adotar um sentido para as correntes de malha. Estabelecer correntes dos ns. Identificar todas as quedas de tenso. Fazer o levantamento das equaes da malha. Resolver o sistema de equaes. Substituir para determinao das correntes.

CuriosidadeGeorge Simon Ohm (1789 1854)

ia p C

os Fsico alemo, trabalhou como professor de fsica e maod t temtica. Em 1826, publicou seu trabalho Exposio s demonstrando Matemtica das Correntes Galvnicas, o as Leis de Ohm. A unidade de d medida de resistncia va eltrica ohm em sua homenagem. er es .R da a iz r to au o n

os

os t ei r di

. is ra o ut a

Anotaes e Dicas



Exerccios Propostos1 - Calcule a corrente e as quedas de tenso atravs de R1 e R2.R1 20 I1 + 40V R2 10

Fig. 35

ia p C

o n

os 20V ad rv se e R a. ad z ri to au

-

+

os od t

os

os t ei r di+ 50V

. is ra o ut a


Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos sobre o 2 - (Concurso dos Correios 01/2003) No circuito da figura 36, calcule a tenso autorais.resistor 3.R1 Fig. 36 + 3V R3 12 15 R2 10 + 3V

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



lio

4

Teorema de ThveninIntroduo

O teorema de Thevenin permite calcular a tenso e a corrente aplicadas em um determinado componente sem a necessidade de calcular outros parmetros do circuito. Isso obtido representando todo o circuito que envolve o componente por apenas um gerador equivalente, composto por uma fonte denominada tenso Thevenin (Eth) e uma resistncia denominada resistncia Thevenin (Rth). Vamos estud-los.

+

ia p CV1

-

os 1. Tenso Thvenin (Eth) e Resistncia Thvenin (Rth) od t s Os valores de Eth e Rth so caractersticos e prprios para cada do componente analisado. O grande inconveniente deste mtodo que va para a determinao do valor de Eth h, s vezes, necessidade de se utilizar outro mtodo, como Kirchhoff, Maxwell, etc. er escircuito eltrico e, ao seu lado, o mesmo A figura 37 mostra um .R circuito representado pelos valores de Eth e Rth em relao reda sistncia de 1K. a iAz Rth or t R2 R1 u a + + o 1K nV2 Eth B Fig. 37

os

os t ei r di

. is ra o ut a

A

1K

B

2. Determinao de Eth e Rth para o Componente EscolhidoPara a determinao de Eth e Rth, deve-se retirar do circuito o componente a ser analisado, ficando em seu lugar um trecho em Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. aberto (pontos A e B).129/35

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Cpia no autorizada. ReservadosAtodos , entre os pon- autorais. A Eth ser a tenso entre os pontos e B, isto os direitostos onde estava antes o componente em questo. Para a determinao de Eth, poderemos, em algumas ocasies, necessitar de outros mtodos. A Rth ser a resistncia equivalente entre os mesmos pontos A e B (todas as fontes de corrente devem ser retiradas). Os valores de tenso e corrente que passam pelo componentes so, ento, facilmente calculados.Rth

Fig. 38

+Eth

-

ia p C

os B ad 2.1 Exemplo de Aplicao r v se Vamos aprender a calcular, no circuito da figura 39, a corrente e no resistor de 600, aplicando o Teorema de Thvenin. R a. ad z ri to au 300 200 600 o n+ +1V 5V

os od t

os

os t ei r diR

A

. is ra o ut a

Fig. 39

1 passo) Calcular o Rth. Com a remoo do resistor de 600 e considerando apenas as outras resistncias, temos o circuito mostrado na figura 40:


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. a300 200

ia simples, com dois resistores em srie, alimentado por duas fontes, se somam produzem a corrente indicada. p cujas tensespolaridades enos resistores para efetuarmos os Foram colocadas as clcuClos de tenso nos pontos B e D. A tenso entre B e D a mesma dos pontos A e b. 300 + 200 = 500 (srie) I= E 6 = = 0,012A R 500

. is Fig. 40 ra Tomando (a, b) como extremos da associao, podemos calcu- to lar a Rth. Lembrando que para dois resistores em paralelo temos: au R .R os Rth = 1 2 t R1 + R2 ei r 300.200 60000 di Rth = = = 120 300 + 200 500 os Para calcular Eth, devemos considerar todas as tenses no ciros cuito, aps a retirada do resistor de 600.d to s A Bo a ad + rv 300 200 se e + R + . 5V 1V da + a iz r b D to C au Fig. 41 o nb

Como no h corrente nas partes Ba e Db, temos um circuito


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Podemos calcular a queda no resistor de 200:E = R.I = 200 . 0,012 = 2,4 V Agora podemos descobrir a tenso entre B e D (aplicando a Lei de Kirchhoff).

Curiosidade ia p Joseph Henry (1797 1878) C

. is ra EBD = Eth = 2,6 V o ut a Podemos agora desenhar o circuito equivalente de Thvenin. s o it re a i d s Eth 3V 600 o os b od t s o Rth = 120 d va 42 er Fig. es R 2,6 2,6 Eth = a. = I= Rth + R 120 + 600 720 ad z I600 = 0,0036A ri to au o nEBD = 5 2,4 = 2,6 V

Cientista norte-americano, inventou a bobina de induo, descobriu a auto-induo e o fenmeno das correntes induzidas. Aperfeioou os eletroms e criou o telgrafo magntico. A unidade de medida de indutncia henry em sua homenagem.



Exerccios Propostos

. is ra 1 - (Concurso Metr/So Paulo 2001) No circuito da figura 43, a tenso de to Thvenin u equivalente entre os pontos A e B ser igual a: a s o 2 A it e ir R1 d s 20V 10V o Fig. 43 V s o od t s R3 do B 2 va er es .R da a iz r to au o n a pi C


Cpia(Concurso Metr/So Paulo 2001) Dado o circuito da figura direitos autorais. 2 - no autorizada. Reservados todos os 44, a resistncia deThvenin equivalente entre os pontos X e Y, ser igual a:

10 20V Fig. 44 X Y 10V

10 10V

10

10

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



lio

5

Teorema de NortonIntroduo

O Teorema de Norton permite calcular tenso e corrente aplicadas em um determinado componente, sem a necessidade de se calcular outros parmetros do circuito. Isso possvel representando todo o circuito que envolve o componente por apenas um gerador de corrente equivalente (IN) e uma resistncia resultante (RN) denominadas, respectivamente, corrente de Norton e resistncia de Norton.

ia circuito representado pelos valores IN e RN, em relao resistnp cia de 1K. CR1 A R2 + V1 1K + IN 1K

os ad IN r v RN se e R a. B d 1. Correnteiea z Resistncia de Norton r to Os valores de IN e RN so caractersticos e prprios para cada componente analisado. O grande inconveniente deste mtodo o de au se trabalhar com geradores de corrente, que so pouco utilizados. o n A figura 46 mostra um circuito eltrico e, ao seu lado, o mesmoFig. 45

os od t

os

os t ei r diA

. is ra o ut a

-

-

V2

RN

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. BFig. 46

129/41

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Cpia no autorizada. Norton e de Thevenin so equivalentes. Para autorais. Os teoremas de Reservados todos os direitosqualquer caso, valem as seguintes relaes: a corrente de Norton igual tenso de Thevenin dividida pela resistncia de Thevenin, e a resistncia de Norton igual resistncia de Thevenin.Rth A A

+ Eth

IN

RN

B

os t ei r Podemos concluir que, ao se resolver um circuito pelo teorema di para isso, de Thevenin, fcil transform-lo num circuito Norton; basta efetuar estas relaes: os os E od IN = th e RN = Rth t Rth s do Vejamos um exemplo: va er 2 A A es .R + 12V 10 6A 2 10 da a z ri to B B au Fig. 48 o n Verificamos que, em ambos os casos, a tenso e a corrente sobre o resistor de 10 valem 10V e 1A, respectivamente. ia p 2. Determinao de IN e RN para um Componente CFig. 47

. is ra o ut aB

Para a determinao de IN, deve-se retirar do circuito o componente a ser analisado e, em seu lugar, inserir um curto-circuito (pontos A e B). A corrente que circular por este curto (ponto A e B) ser a corrente de Norton (IN). Para a determinao de IN, poderemos, em alguns casos, precisar de outros mtodos de soluo. no autorizada. Reservados todos os direitos129/42

Cpia

autorais.

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Cpia no autorizada. Reservados retirar do circuito o com- autorais. Para a determinao de RN, deve-se todos os direitosponente a ser analisado e, em seu lugar, inserir um circuito aberto (pontos A e B). A resistncia equivalente, vista pelos pontos A e B, a resistncia de Norton (RN). Esta resistncia obtida curto-circuitando todas as baterias de tenso e retirando do circuito todas as baterias de corrente.

ia p C

. is a Os valores de tenso e corrente que passam pelo componente r o so, ento, facilmente calculados: ut A a s o it e ir IN RN R d s o s do B to Fig. 49 s do va 2.1 Exemplo de Aplicao er Vamos calcular a corrente que circula pelo R5 no circuito mostraes do na figura 50. .R da330 a iz + R2 E1 = 12V 3V or t au 100 820 R4 R5 o 100 R1 n470 R3 Fig. 50

1 passo) Retire o resistor onde se deseja descobrir a corrente e coloque no seu lugar um curto-circuito.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.330 + 12V I1 100 1 I1 100 I 2 + 3V I2 2

470

= - 12 ia - 900.I1 p I1 = - 12 = 0,0133A C - 900

os t ei Neste caso precisaremos aplicar a Lei de Kirchhoff. r di Malha1 os (1) 12 I1.330 - 3 - 100.(I1 - I2) - I1.470 - I1.100 = 0 os od 9 - 330.I1 - 100.I1 + 100.I2 - 470.I1 - 100.I1 = 0 t s 9 - 1000.I1 + 100.I2=0 do - 1000.I1 + 100.I2 = -9 va Malha2 er es (2) 3 - 100.(I2 - I1) = 0 R a. 3 - 100.I2 + 100.I1 = 0 ad 100.I1 - 100.I2 = -3 z ri Agora podemos montar o sistema de equaes: to au+ 100.I = -9 - 1000.I1 2 o 1 100.I2 = -3 (+) n100.IFig. 51

. is ra o ut a


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Substituindo na equao da malha 2 temos:100.0,0133 100.I2 = -3 1,33 100.I2 = -3 - 100.I2 = - 3 1,33 - 100.I2 = - 4,33 - 4,33 I2 = = 0,0433A - 100 I2 = 43,3 mA I2 = IN = 43,3 mA

2 passo) Achar a resistncia Norton. O processo o mesmo utilizado em Thvenin. Curto-circuitaremos as fontes e consideraremos todos os resistores, com exceo do resistor R5.330

ia comPodemos agora representar o gerador equivalente de Norton os valores obtidos. p CIN = 43,3mA RN = 90

os d 100 100to os ad rv 470 se e R 900 100 RT = 900 + 100 a. d 900 90000 100 a RT = 1000 iz r RT = RN = 90 to au Fig. 52 o n

os

os t ei r di

. is ra o ut a

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.Fig. 53

129/45

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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Para calcularmos a tenso e a corrente no resistor R5, temosque conect-lo ao circuito equivalente de Norton.

IN = 43,3mA

90

820

Req =

90 820 = 81 90 + 820

Fig. 54

A tenso no resistor ser: E + IN. Req (Lei de Ohm) E = 43,34.10- 3. 81 E = 3,5 V I820 = E 3,5 = = 0,0042 A R 820

I820 = 4,2 mA

ia p C

os ad rv Curiosidade se e R a. Michael Faraday (1791 1867) ad z Cientista ingls, estudou as relaes entre a eletricidarei a corrente eltrica, e entre a eletricidade de esttica to e a luz, chegando a formular uma teoria sobre a natureau za eletromagntica da luz. Inventou o voltmetro durante suas pesquisas sobre eletrlise. A unidade de o de capacitncia farad em sua homenagem. nmedida

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



Exerccios Propostos

. is ra 1 - Determine o equivalente de Norton e a tenso entre A e B para o circuito to mostrado u na figura 55: a s A o it e ir d Fig. 55 2 s 4A 4A 2A o s do toB os ad rv se e R a. ad z ri to au o n a pi C


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Cpia(Concurso Metr/So PauloReservados todos os calcule a corrente de 2 - no autorizada. 2001) Dado o circuito figura 56, direitos autorais.Norton nos pontos A e B.20V A 2 Fig. 56 10A 4

A

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r diB

. is ra o ut a



lio

. is ra Introduo 1. Mtodo de Soluo to de Circuitos Eltricos u a O Teorema de Superposio de Efeitos s permite a determinao dos valores de ten1) Curto-circuitam-seo it todas as fontes de tenso e corrente num determinado componenso do circuito,e menos uma, e determinar te, sem necessidade de determinar todas as se o valor da corrente que passa pelo comdi assim como o seu sentenses e correntes do circuito. Essa deterponente analisado, minao dos valores obtida verificando-se tido. Este item deve ser repetido n vezes, os o efeito que cada fonte m produz separadasendo n o nmero de fontes do circuito. os mente no componente em questo. 2) Somam-se as diversas correntes obtidas oditem anterior para a determinao da tno A soma desses efeitos, produzidos por s corrente final (correntes em sentidos oposcada uma das fontes do circuito, resulta na o tos devem ser subtradas). Assim sendo, real corrente eltrica que circula pelo com- ad teremos no s o valor da corrente no componente analisado. Deve-se ressaltar que, ao v r ponente, como tambm o seu sentido. analisarmos o efeito de uma fonte qualquer se separadamente, devemos retirar as demais 3) Com o valor da corrente no componente, e fontes do circuito para anular os seus efeiR determina-se a sua tenso eltrica (lei de . tos; para isso, basta curto-circuitarmos fonOhm). da tes de tenso e retirarmos as fontes de cora rente (circuito aberto). iz Exemplo: determine I1, I2 e I3, aplicando o r mtodo da superposio. to mtodo que A grande vantagem desse u analisado tem apetodo e qualquer circuito a nas uma nica fonte, facilitando a sua soluo 2 2 o sobremaneira. Sua grande desvantagem n a resoluo de circuitos por diversas vezes; a assim, se um i determinado circuito tiver 5 fontes, teremos de resolver 5 circuitos diferenp 18V 2 6V C tes, isto , um para cada fonte. + +No final, temos de fazer a superposio dos efeitos provocados por cada uma delas. Vamos ver como se faz.

6

Teorema de Superposio de Efeitos

Fig. 57


129/49

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Cpia no autorizada. Reservados curto-circuitando as fon- autorais. 1 passo) Vamos decompor os circuitos, todos os direitostes.2 I1 18V I3 2 2 I2 2 = 1 (resistores em paralelo) 2

2

18V

I1

1 = RT = 3

I1 = V = 18 = 6A RT 3

Em conseqncia, a corrente no resistor de 1 tambm 6 A e, portanto, V = 6 1 = 6V.

ia p C

os ad rv 6 I2 = I3 = = 3A sede mesmo valor 2 resistores e R 2 a. 2 d a I1 I2 iz r I3 to 2 u a o n2 I2

os od t

os

. is ra o ut Fig. 58 a os t ei r di

6V

1

6V

Fig. 59


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 22 = 1 1 + 2 = 3 = RT I2 = V 6 = = 2A RT 3

A tenso no resistor de 1 ser: V = 2 1 = 2V I1 = I3 = 2 tenso 2 resistor (2 )

I1 = I3 = 1 A I2 = I2 I2 = 3 - 2 = 1A I1 = I1 I1= 6 -1 = 5A I3 = I3 + I3 = 3 + 1 = 4A I3 e I3 tm o mesmo sentido.

os ad Curiosidade rv se e R James Watt (1736 1819) a. Escocs, aprendiz d fabricante de ferramentas, logo de za cedo interessou-se pelas descobertas no campo da elei tricidade. Quando se tornou fabricante de peas e insor trumentos de matemtica na Universidade de Glasgow, ut a Watt criou uma mquina a vapor muito mais rpida e o econmica, permitindo a mecanizao das indstrias em grande escala. A unidade de medida de potncia eltrica watt n em ia sua homenagem. p C

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



Exerccios Propostos

. is ra o 1 - Determine a tenso VP por superposio, para o circuito da figura 60. ut a s o it e 150V 200 r i d s Fig. 60 o VP s do 100 30V to os ad rv se e R a. ad z ri to au o n a pi C


Cpia no a corrente na carga Reservados todos circuito da figura 61. 2 - Calcule autorizada. RL por superposio, para o os direitos autorais.

Fig. 61

0,5 + 150V -

1 + 160V -

RL

10

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a



lio

7

Conceitos e Tipos de FiltrosIntroduo

Filtros so circuitos que deixam passar somente sinais de determinadas freqncias, atenuando outras. De acordo com as freqncias que desejamos deixar passar, podemos ter diferentes tipos de filtros, que o que veremos nesta lio.

1. Tipos de FiltrosTipo de Filtro (smbolo)FPB VE

Caracterstica Ideal

FPA VE

ia p CVE

VE

o nFPF FRF

os ad rv se e R Filtro Passa Alta: permite a a.todas as freqncias passagem de VS ad acima da freqncia de corte fc, z rejeitando as demais. ri to auFiltro Passa Baixa: permite a passagem de todas as freqncias VS abaixo da freqncia de corte fc, rejeitando as demais.

osde Resposta em Freqncia Curva od Ganho X Freqncia tAv 1

os

os t ei r di

. is ra o ut a

fc Av 1

f

fc Av 1

f

Filtro Passa Faixa: permite a passagem de todas as freqncias acima da freqncia de corte inferior VS fci e abaixo da freqncia de corte superior fcs, rejeitando as demais.

fi

fs

f

Filtro Rejeita Faixa: rejeita a passagem de todas as freqncias acima da freqncia de corte inferior VS fci e abaixo da freqncia de corte superior fcs, permitindo a passagem das demais.

Av 1

fi

fs

f


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Cpia no autorizada. Reservados todosSos direitos autorais. V No nosso estudo, veremos os filtros passabaixa e passa alta.

2. Filtro Passa BaixaExistem filtros passa baixa com capacitores e com indutores, conforme mostra a figura 62. No nosso estudo analisaremos apenas os circuitos com capacitores.

Ve Ve 2

. is ra 2.1 Caractersticas da Tenso o Sada de R ut a Pelo grfico da figura 63, podemos idens tificar que quando a freqncia for baixa, Vs to C Ve Vs ser igual a Ve, poisi o capacitor oferece me xima reatncia. ir d s tambm FC (freqncia de Identificamos a o corte), que ocorrer no momento em que tis ou vermos: L do to 1 s Xc = R ou 2fc = R R do Ve Vs va Matematicamente obtemos: er 1 Vs = Ve e FC = es b 2RC 2 R . Fig. 62 da Lembrando que: a 3. Filtro Passa Alta iz r 1 XC = to 2fc Existem filtros passa alta com capacitoau res e com indutores, conforma a figura 64. No Quando tivermos freqncias baixas aplio nosso estudo analisaremos apenas os circuicadas na entrada circuito a , a reatncia do tos com capacitores. n capacitiva ser alta e, em conseqncia, a tena so Vs em cima do capacitor (C) ser mxima. Quando tivermos freqncias altas, a reapi tncia capacitiva (Xc) ser baixa e, em conC Resumindo, em baixas freqncias o siseqncia, a tenso VS ser mxima, uma vez

fc

f

Fig. 63 - Caracterstica da tenso de sada de um filtro passa baixa

nal de sada (Vs) ter maior amplitude, e no caso de freqncias mais altas, o sinal de sada (Vs) ter baixa amplitude.

que a sada acontece no resistor que est em srie.


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. C R

Ve

R

Vs

ou

Ve

L

Vs

ia p C

. is b ra o Fig. 64 ut a Resumindo, em altas freqncias, e devido ao fenmeno reatns cia capacitiva, teremos em VS mximo sinal. No caso de freqncias o it baixas Xc aumentar e teremos sada VS com amplitude menor. e ir d 90 s o 45 sf fc do Fig. 65 - Caracterstica da defasagem to um filtro passa alta de 3.1 Caracterstica da Tenso de Sada os ad 65, podemos identificar que, Pelo grfico mostrado na v r figura quando a freqncia for alta VC ser igual a Ve, pois nesse instante se o capacitor oferecer baixa reatncia e, em conseqncia, a tenso e na sada (resistor) ser mxima. R a. Identificamos tambm FC (freqncia de corte) e essa freqnad cia acontecerzno momento que tivemos: i or ou R = 1 XC = t uR 2f c a Matematicamente obtemos: o nao o

FC =

1 2RC

e

V VS = e 2

O aluno que ler apenas superficialmente os dois textos sobre filtros (passa alta e passa baixa), poder dizer: as frmulas so iguais, ento tudo igual. No verdade. Para provar isso vamos calcular dois circuitos com os mesmos valores de componentes, com a diferena de que um passa baixa e o outro passa alta.


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Cpia no autorizada. tenso de sada do filtro passa baixa da figura autorais. Exemplo: calcular a Reservados todos os direitos66 e calcular a freqncia de corte ((a) 10 vezes menor e (b) 10 vezes maior).1K

10Vef

0,56F

Fig. 66

1 passo) Clculo da freqncia de corte. Fc = 1 1 = 2..R.C 2..1000.0,56.10-6 1000000 1.10+6 = 2..1000.0,56 3516,80

1000000 1.10 ia Xc = 2 . 3,14 . 28,42 . 0,56 = 99,95 p C Xc = 10005

os Fc = 284,35 Hz ad r v na freqncia de corte. 2 passo) Clculo da tensoe sada s de e 10 Ve R VS = = = 7,07V 2 2 a. ad Fc z 3 passo) Clculo de Vs para F = = 28,43Hz. ri 10 to u 1 1 Xc = a = 2..F.C 2..28,42.0,56.10-6 o n+6

Fc =

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a

Podemos agora calcular a impedncia: Z = R2 + Xc2

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.Z = 101100025 = 10054 129/58

Z = 10002 + 100052 = 1000000 + 100100025

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Cpia no autorizada. de Ohm podemos achar a corrente direitos autorais. Aplicando a Lei Reservados todos os que passapelo circuito: I= V 10 = = 0,0009946 A Z 10054

VS (no capacitor) = Xc.I = 10005 . 0,0009946 VS1 = 9,95 V Calculo de VS para: F = 10. Fc = 10 . 284,34 = 2843,50Hz Xc = 1 1 = 2..F.C 2 . 3,14 . 2843,50 . 0,56 . 10-6 1000000 1.10+6 = 2 . 3,14 . 2843,50 . 0,56 10000,02

Xc =

ia p C

os ad Z = 1000000 + 10000 = 1010000 rv se Z = 1005 e R Aplicando Lei a. Ohm, podemos calcular a corrente no cirde cuito: ad iz V 10 r I= = to= 0,00995A Z 1005 au Agora podemos calcular a tenso de sada em cima do capacitor. o n 1kZ = R2 + Xc2 = (1000)2 + (100)2Ve 0,56F Vs

Xc 100

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a

Fig. 67


VS = Xc I = 100 . 0,00995 VS2 = 0,995 V

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Cpia no autorizada. valores de tenso obtidos, podemos observar autorais. Comparando os Reservados todos os direitosque para uma freqncia menor melhor (passa baixa). a resposta do nosso circuito

Utilizando os mesmos valores de resistncia e capacitncia, vamos agora calcular para a situao passa alta:0,56F

10V

1K

Vs = ?

Fig. 68

1 passo) Clculo da freqncia de corte. Fc = 1 1 = 2..R.C 2 . 3,14 . 1000 . 0,56 . 10-6

ia p Xc = 10005 C Z = 10054

os ad +6 v 1000000 1.10 = r Fc = 2 . 3,14 . 1000 . 0,56 3516,8 se e Fc = 284,35 Hz R a.tenso de sada. 2 passo) Clculo d a da z ri V Ve Vs = = 7,07 o 2 ut a o Clculo de Vs para F = Fc = 28,435 Hz. Do exemplo ante3 passo) 10 n tiramos que: rior

os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a

4 passo) Calculamos a corrente que passa pelo circuito. Do exemplo anterior tiramos que: I = 0,0009946 A


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Cpia no autorizada. Observem que a sada ser feita pelo resistor autorais. Ento, o que muda? Reservados todos os direitosde 1K.0,56F

I 1K Vs = ?

ia p C

os t Caracterstica do Circuito Srie ei r di ento: A corrente a mesma para todos os componentes, os VS = R.I = 1000 . 0,0009946 os VS = 0,9946 V VS1 0,995 V od t Observe que VS1 para a freqncia 10 vezes menor. Vamos s. Fc: agora calcular para a freqncia = 10 do F = 10 . 284,35 = 2843,5 Hz a rv Usando os clculos efetuados no exemplo do filtro passa baixa, se temos: e R a. Xc = 100 ad Z = 1005 z ri V I= = 0,00995A to Z u a o Ento VS2 = R.I = 1000 . 0,00995 nFig. 69

. is ra o ut a

VS2 = 9,95V

Com os valores obtidos, podemos fazer uma tabela comparativa:VSN Passa baixa Passa alta Fc 10 9,95 V 9,95 V VS2 (Fc 10) 0,995 V 9,95 V

Observe que no caso do passa alta temos tenso de sada maior no instante que estivermos com freqncia maior, da direitos Cpia no autorizada. Reservados todos os o nome do autorais. circuito.129/61

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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 4. DiferenciadorBasicamente, um diferenciador um filtro passa alta operando com freqncia muito abaixo da freqncia de corte.A E B E R -E Fig. 70 T/2 T/2 Fig. 71 Vi C VR E Vi

os Vamos supor que na entrada (V ) seja aplicada uma onda quat drada de perodo T. A onda quadrada obtida a partir de uma ei r chave mecnica que fica um tempo T/2 na posio iA, e T/2 na d posio B. os O grfico a seguir representa a tenso de entrada (V ), tenso os no capacitor (V ) e tenso no resistor (V ), considerando que a consd tante de tempo do circuito = RC > T.Fig. 76 VC E

t

VC(1)

0

1

2

VC(2)

3

t

Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. -E129/63


Exerccios Propostos

. is ra o 1 - Projetar um filtro passa baixa com freqncia de corte igual a 1KHz. ut a 1K s o it e Fig. 77 ir Ve C=? d s o s do to os ad rv se e R a. ad z ri to au o n a pi C


Cpia no um filtro passa altaReservados todos os direitos autorais. 2 - Projetar autorizada. com Fc = 200Hz.0,1F

Fig. 78

Ve

R=?

Vs

ia p C

o n


os od t

os

os t ei r di

. is ra o ut a


Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 3 - Deseja-se projetar um filtro passa altas para ser conectado sada de um amplificador de udio com impedncia de 8. O alto-falante, tambm de 8, ser a prpria resistncia R do filtro, conforme a figura 79. A freqncia de corte desejada 4 KHz.

Fig. 79

C 8

ia p C

o n


os od t

os

os t ei ir 8 d

. is ra o ut a



lio

8

Corrente AlternadaIntroduo

Nesta lio, estudaremos o comportamento da corrente alternada nos indutores e nos capacitores utilizando os nmeros complexos. Antes de passarmos para o estudo propriamente dito, aconselhamos ao aluno rever o mdulo de Eletricidade Aplicada I, caso venha a ter dvidas no transcorrer desta lio.

1. Definio

ia p C

os od Fazendo uma breve sntese, podemos concluir que a corrente t alternada aquela que muda de valor e de polaridade em funo s do tempo. Assim sendo, ela tem, em nosso pas, a freqncia de 60 do polaridade de 30 vezes por Hertz, isto , temos uma mudana de va segundo. er es .R da a iz r to au o n

os

os t ei r di

. is ra o ut a

1 ciclo ou 1 Hz

Fig. 80 - Grfico da Corrente Alternada


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Cpia nocorrente alternada nos mosTenso eltrica - direitos de potencial O grfico da autorizada. Reservados todos os a diferena autorais.

tra um Hertz com dois semiciclos, um positivo e um negativo. Ento, percebemos que a mudana de polaridade acontece 30 vezes por segundo. J vimos, em outro mdulo de estudo, que a tenso alternada pode ser representada pela equao: v = Vpsen Onde: v: tenso instantnea, em Volt (V) Vp: tenso de pico, em Volt (V) : vale 2 : constante igual a 3,1416 : freqncia, em Hertz (Hz)

(ddp) entre dois pontos, e a unidade de medida o Volt (V). Resistncia eltrica - a oposio dos corpos passagem da corrente eltrica, medida em Ohm (O). Capacidade eltrica - a capacidade dos corpos de armazenar eltrons, o chamado efeito capacitor. Sua unidade de medida Farad (F). O capacitor formado, no mnimo, por duas placas e um material isolante (o dieltrico) que as separa; o capacitor adianta a corrente e atrasa a tenso.

os t ei Indutncia - arpropriedade de se opor s variaes de tenso e corrente. O indutor die atrasa a corrente. Sua uniadianta a tenso Da mesma maneira, podemos represenos dade de medida o Henry (H). Uma proprietar a corrente por: dade peculiar do indutor o aparecimento os da fora contra eletromotriz (f.c.e.m.) que tem i = Ipsen od sentido contrrio fora eletromotriz (f.e.m.). t s Onde: Quando temos um circuito eltrico opedo rando em corrente contnua, temos trs grani: corrente instantnea, em Ampre (A) a Ip: corrente de pico, em Ampre (A) dezas envolvidas: tenso, corrente e resistnrv : vale 2 e cia (que a oposio que os condutores e os s : constante igual a 3,1416 componentes oferecem passagem dos ele : freqncia, em Hertz (Hz) R trons). No incio de funcionamento e no tr. mino (ao desligar), aparecero tambm os feda A corrente alternada chamada de cornmenos da capacitncia e da indutncia. rente senoidal ou cossenoidal, za as funes pois i matemticas seno ou cosseno formam a mesNum circuito, trabalhando com correnor corrente altert ma figura. Lembre-se que na tes alternadas, temos: tenso, corrente, frenada temos trs variveis envolvidas: a corau qncia, capacitncia e indutncia. rente, a tenso e a freqncia; j na corrente o contnua, temos apenas a tenso e a corren2. Circuito com Corrente Alternada ninverso de polaridade. te, pois no existe a pi 2.1 Indutor e Indutncia Quando estudamos as correntes alterna C da e contnua, vimos que existem vrias granGenericamente, chamamos de indutor oudezas eltricas envolvidas. As principais so:

. is ra o ut a

Corrente eltrica - So eltrons em movimento, cuja unidade de medida o Ampre (A).


bobina um fio enrolado em forma de hlice sobre um ncleo, o qual pode ser de ar ou de material ferromagntico. A figura 81 mostra a simbologia adotada para os indutores.

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Cpia no autorizada. ReservadosI todos os direitos autorais. (A)

2

Ncleo de ar

1

Ncleo de ferro

os + E I ad v e er es R Ncleo de ferrite e = f.e.m. induzida a. d a Fig. 81 Fig. 82b - Aparecimento da f.e.m. induzida iz r A fora eletromotriz produz uma tenso Fazendo passar pelo indutor uma corrento u no circuito for induzida que chamamos de f.e.m. autote contnua, quando a chave a induzida. De acordo com a Lei de Lenz, essa fechada (figura 82a), uma corrente eltrica o pelo circuito formado tenso induzida dever se opor causa que a comear a circular n originou. No caso, a variao da corrente. Como pela chave, pela bateria e pelo indutor (ou a corrente origina um campo resultante dessa oposio, temos que a correnbobina). Esta pi linhas de campo cortam as te no circuito levar um certo tempo para atinmagntico, cujas gir o seu valor mximo ou de regime (imposto C espirais subseqentes, induzindo nelas uma

2 os da1corrente em funo do tempo Fig. 82a - Grfico os t=0 od I t

os t ei r di

. is ra o ut at (ms)

f.e.m. (figuras 82a e 82b).

pelas resistncias hmicas do circuito).


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Cpia no aautorizada. Reservados todos os direitos ser E + e. A nais da chave aberta, a tenso autorais. Se abrirmos chave aps a corrente ter

atingido o seu valor mximo, a corrente I tender a diminuir. A variao do campo magntico novamente induzir uma f.e.m. de auto-induo com polaridade tal, que originar uma corrente I que tender a se opor diminuio de I. Dessa forma, se a chave for aberta no instante t = t, ainda haver corrente por um certo tempo.I (A)

tenso induzida aps a chave ter sido desligada recebe o nome de f.c.e.m. Se a f.c.e.m. induzida for suficientemente alta, aparecer um arco entre os contatos da chave, uma fasca (sempre que acionamos um circuito eltrico, ou ao deslig-lo, aparece uma fasca eltrica). Isso se deve f.c.e.m., que tem o mesmo princpio da Lei de Newton no estudo da mecnica clssica, na fsica: toda ao tem uma fora de reao. Sabemos que a indutncia de uma bobina uma medida do quanto de energia pode ser armazenada em um campo magntico, e a sua unidade de medida o Henry (H).

2

t = t = 1ms

e = f.e.m. induzida

ia p C

E

Ao aplicar-se uma corrente alternada os um indutor, existe uma defasagem entre em t (ms) ad a tenso e a corrente que percorre o indutor e, no caso, a tenso se adianta e a corrente rv 1 2 e se atrasa. Fig. 83a es Se a tenso aplicada for cossenoidal, e a .R aI corrente tambm for de funo igual tent = t so cossenoidal ou senoidal, ento a corrente ad z estar, teoricamente, atrasada 90 em relai r+ o tenso. O indutor oferece oposio a uma I to variao de corrente. A medida dessa oposiau e o dada pela reatncia indutiva (XL) do o indutor. n

1

3. Circuito em CA os com Indutncia Pura d

os

os t ei r di

. is ra o ut a

to

o

A reatncia indutiva depende da indutncia do indutor, da freqncia e do valor da corrente, sendo dada pela frmula: XL = .L ou XL = 2. .L

Conclui-se, da, que um indutor se ope a uma variao de corrente.

Onde: XL: reatncia da bobina, em Ohms () Observe a polaridade da f.e.m. induzida L: indutncia de bobina, em Henry (H) na figura 81b. A tenso induzida somada : Cpia no autorizada. Reservadosfreqncia, os Hertz (Hz) autorais. todos em direitos tenso da fonte de forma que, entre os termi: constante igual a 3,1416

Fig. 83b

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Cpia no autorizada. Reservados todos os R representa autorais. Em um circuito puramente indutivo, sem A resistncia direitos todas as reresistncias, no h dissipao de energia. Naturalmente, esta uma condio ideal, no possvel na vida real, j que o prprio fio do enrolamento da bobina apresenta resistncia. Materiais com resistncia muito baixa corrente esto sendo pesquisados em diversos pases. Estes novos materiais so chamados supercondutores.

sistncias possveis ao longo do caminho da corrente, inclusive a resistncia hmica do prprio fio da bobina. Na figura 84b, temos o diagrama fasorial. Observe o atraso de 90 o da corrente no indutor que tem o mesmo valor da resistncia em relao tenso (VL). Como a corrente na resistncia est em fase com a tenso VR, as duas so representadas no mesmo eixo das ordenadas I. Importante observar que VG a soma vetorial de VL e VR, e o ngulo exprime a defasagem entre a tenso e a corrente.

4. Circuito RL em SrieEstes circuitos tm resistncia e indutncia, o que significa que a corrente, ao percorrer tal circuito, encontrar dois tipos de oposio: a oferecida pela resistncia e a oposio da f.e.m. de auto-induo (reatncia indutiva). Em um circuito contendo resistncia e indutncia, a corrente permanece atrasada em relao tenso, s que de um ngulo menor que 90o, pois a resistncia tende a colocar a voltagem e a corrente em fase, enquanto a indutncia tende a defas-las em 90o. Veja, nas figuras 84a e 84b, o circuito RL em srie.VR

VG

W

1

ia p VL C

os t ei r direpresentado na figura 84b O tringulo pode ser redesenhado na figura 85. os os od t s VG o VL ad rv R O se V eL VR .R I Fig. 85 - Tringulo das tenses da L a Aplicando a ele o Teorema de Pitgoras, iz r temos: to au Fig. 84a V = V + V V = V + V o n Nesta relao, dividindo ambos os mem

. is ra o ut a

2 G

2 R

2 L

G

2 R

2 L

VG

bros por I2, obtemos:

VG2 V R2 V L2 V V V = 2 + 2 G = R + L 2 I I I I I I Onde:

2

2

2

VR 1 Cpia no autorizada. Fig. 84b

VR = R : resistncia hmica do circuito, em I Ohms () Reservados todos os direitos autorais.

I

O

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VL = X L : reatncia indutiva, em Ohms () I VG = Z : impedncia do circuito RL, em I Ohms ()

Cpia no autorizada. Reservadosda bobina osindutor e, naturalmente, a todos ou direitos autorais.

reatncia nula.

R=

12V = 4 3AA resistncia da bobina vale 4 .

. is ra b) Quando a bobina ligada a uma fonte CA, o alm da resistncia soma-se tambm o uatfonte CA v efeito da reatncia, istoa , s uma impedncia. o it V 20V Z= = = 5e Z =R +X Z = R + X r I 4A di O ngulo de defasagem formado pelas Para calcular a indutncia, sabemos que: os semi-retas VG e VR pode ser calculado por: os V Z =d + X ou X =Z R arctg = oR V t osX = Z R X arctg = ad R rv Ou ainda, pela Lei dos Cossenos: X = 5 4 se R e arccos = R Z X = 25 16 = 9 = 3 a. ad Exemplo: A bobina, quando ligada a uma fonte Sabemos tambm que XL = 2. . L. z DC de 12V, consome 3A. Quando ligada a uma ri Substituindo, temos: fonte de 20V/60Hz, consome 4A. Calcule: to XL = 2. . L a) A resistncia da bobina. au b) A reatncia indutiva e a indutncia. o 3 = 2 . 3,1416 . 60L n c) A impedncia do circuito. ia 3 = 376,99 . L p d) O ngulo de defasagem entre V e I. C e) A potncia dissipada no circuito. 3 L=A impedncia o efeito combinado de todas as resistncias, representadas aqui apenas por uma, que a resistncia total dos fios de ligao com os fios da bobina, etc., juntamente com a indutncia da bobina. Assim sendo, podemos escrever:2 2 2 L 2 2 L

L

2

2

2 L

2 L

2

2

R

L

2

2

L

2

2

L

L

f) Desenhar o diagrama fasorial. Soluo: a) Quando a bobina est ligada a uma fonte CC, s existe o efeito da resistncia dos fios

376,99

L = 0,0079 H ou 8mH A reatncia vale 3 e a indutncia vale 8 mH.


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Cpia no impedncia no item b. Para f) diagrama fasorial est representado na c) J calculamos a autorizada. ReservadosOtodos os direitos autorais. figura 87. poder determinar a reatncia indutiva, necessrio saber que: Z = 5, portanto, a VR = 16V impedncia vale 5.

VL = XL . I = 3 . 4 = 12V V = 20V = 37o

d) Na figura 86, desenhamos o tringulo retngulo. Podemos usar a Lei dos Cossenos.

Z=5 XL = 3

VL 12

O R=4 Fig. 86 - Tringulo com os catetos XL e R e hipotenusa Z

os R ad cos = Z Fig. 87 - Diagrama Fasorial rv e 4 cos = = 0,8 es 5. Circuito RL Paralelo 5 .R arcos arr cos = 0,8 = 37 Um circuito RL paralelo tpico pode ser da a V e I 37 . visto na figura 88, e o diagrama fasorial corO ngulo de defasagem entre z respondente, na figura 89. ri o e) A potncia dissipada no circuito a pout a I tncia dissipada na resistncia, que, por o real. sua vez, a potncia n P = VEF . IEF acos i. G IR IL P = 20 . 4cos37 .p C P = 20 . 4 . 0,8o o

os od t

os

os t V = 20V ei r di O 37o

. is ra o ut a

P = 64 W A potncia vale 64W.

I = 4A

16

VR

Fig. 88


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.I (A) IR I VG = VR = VL

IL

I (A)

Fig. 89 - Diagrama fasorial

ia b) As correntes I, IR e IL. p c) A potncia aparente, a potncia real e a potncia reativa. Cd) O fator de potncia do circuito. e) Desenhar o diagrama fasorial.

os No diagrama da figura 89, notamos que a corrente not indutor IL est atrasada 90 em relao tenso VL. Ao contrrio do cirei r cuito RL em srie, aqui desenhamos o diagrama de corrente. di os Obs.: a fase de VG foi escolhida arbitrariamente. os Do tringulo de correntes, conseguimos: od t sI + I I = I + I o I d a Exemplo: Dado o circuito em r v paralelo da figura 90, vamos calcular: se I e IL R a. I R (VG) ad 120V R = 80 XL = 60 iz f r to au Fig. 90 oimpedncia. a) A no

. is ra o ut a

2

2 R

2 L

2 R

2 L


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Soluo:a) Z =

R XL R +X2 2 L

=

80 60 80 + 602 2

=

4.800 10.000

=

4.800 100

Z = 48 A impedncia vale 48. b) I =

120V = 2,5 A 48I

120V

ia tncia reativa 240W. p d) O fator de potncia a divergncia entre a tenso e a corrente, Cportanto, ser o cosseno do ngulo formado entre Z e R. Curiosidade: alguns reatores para luminrias fluorescentes costumam trazer o fator de potncia na forma de cosseno do ngulo formado entre a tenso e a corrente, indicado como cos .

os Fig. 91 - Impedncia resultante od t s do V 120V I = = = 1,5 A va R 80 er s V 120V I = = = 2 A Re 60 X a. ad c) z Paparente = Vri . I = 120 . 2,5 = 300V.A ou 300W G o Preal = VRt. IR = 120 . 1,5 = 180W au Preativa = VL . IL = 120 . 2 = 240V.A ou 240W o potncia aparente vale 300W, a potncia real 180W e a pon AR R

os

os t ei r di

. is ra o ut a

L

L

L


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FP = cos =FP = 0,6

Cpia no autorizada. Reservados todos os T = R . C direitos autorais.

Z 48 = = 0,6 R 80

Onde: T: tempo de carga, em segundos (s) R: resistncia, em Ohms () C: capacitncia, em Farad (F) Ao ligarmos um capacitor a uma fonte de tenso, atravs de uma resistncia R, a tenso no capacitor levar um certo tempo at atingir o valor da tenso da fonte. Temos, na figura 93, um capacitor ligado em srie com um resistor e uma fonte de alimentao.a)

e) O diagrama fasorial est representado na figura 92.VGA) ,5 (2 I

IR(1,5 A)

= 53o

37o

+

IL (2A)

b) os d 6. Capacitor va er Capacitor um dispositivo formado por, E es no mnimo, duas placas condutoras (denomiR nadas armaduras) separadas por um. materia al isolante chamado dieltrico. d a c) iz O capacitor serve parararmazenar cargas. Sua capacidade para to depende da sua isso u capacitncia (C), que, por sua vez, depende a da rea das placas, do material e da espessuo j tivemos a oportunira do dieltrico, o que E n dade de estudar. ia Ao ligarmos um capacitor a uma fonte de p alimentao, sabemos que levar um certo C d) Fig. 92 - Diagrama fasorial

os od t-

E

os

os t ei r di

. is ra o ut aR

C

t=0 I +

R

VR VC I

C

-

VR +

R VC C

-

R -

tempo para que o capacitor carregue. O tempo de carga dado pelo produto da capacitncia pela resistncia, ou seja:

+ E VC = E C

-


Fig. 93

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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Inicialmente, vamos considerar o capacitor descarregado. Noinstante em que a chave fechada (t = 0), toda a tenso da fonte estar aplicada na resistncia: T=0 pela 2 Lei de Kirchhoff:

VR (t = 0) + VC (t = 0) = E Como VC (t = 0) = 0 (capacitor inicialmente descarregado) VR (t = 0) = E Logo, I (t = 0) = E R

I E R

ia p C

os t ei Na realidade, no existe uma corrente passandoratravs do di capacitor, e sim uma movimentao de cargas de uma placa para a outra, atravs do circuito. Lembre-se de que nos passagem de o h eltrons, pois as placas esto isoladas por ums material isolante. O que temos um deslocamento de cargas positivas, dirigindo-se da do placa inferior para a placa superior (deslocamento de eltrons). to Com a chegada de cargas no capacitor, aumenta a sua tenso e, os conseqentemente, diminui a tenso na resistncia. Aps algum ad igual tenso da fonte, ou tempo, a tenso no capacitor se tornar r v tenso. O comportamento dinpelo menos tender a ter a mesma se mico das tenses e da corrente num circuito pode ser melhor ene tendido com os grficos da corrente (em funo do tempo) apreR sentados nas figuras .94a e 94b. da a iz r to V au E o n0,63E VC VR

. is ra o ut a

t (a)

t= (b)

t

Fig. 94 - Grficos da corrente em funo do tempo


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Cpia no autorizada. Reservados todosVosVdireitos autorais. Observe, no grfico da figura 94b, que a soma C + R = E, isto, medida que VR diminui, VC cresce na mesma proporo. A medida da velocidade de crescimento da tenso no capacitor dada pela constante de tempo do circuito (T), definida como:T

=R.C

ia p C

. is ra o ut Na figura 91b, podemos tambm verificar que existe uma dea fasagem entre a tenso no capacitor e a corrente; quando uma s o mxima, a outra mnima e vice-versa, conforme j tivemos oporit tunidade de estudar em outros mdulos. e ir A expresso que relaciona a tenso no capacitor d o tempo s com dada por: o s do V = E E .e to os Colocando E em evidncia, temos: ad rv se = E 1 e V e . R da a Onde: iz VC: tenso no capacitor, em Volt (V) r E: tenso, em Volt (V) to segundos (s) t: tempo, em au R: resistncia, em Ohms () C:o capacitncia, em Farad (F) nFisicamente, a constante de tempo significa que, decorrendo um tempo igual a um perodo constante de tempo, a tenso no capacitor atinge 63% da tenso da fonte. T RC C( t )C (t ) T RC

E: base dos logaritmos naturais ou neperianos; uma constante e vale 2,718281 A expresso da tenso no resistor dada por: T

VC( t ) = E .e RC


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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Essas expresses so chamadas de equaes exponenciais, e asua representao grfica mostrada na figura 94b. Na expresso dada, consideramos o tempo dado em constantes de tempo e calculamos a tenso em funo de E, para montarmos a tabela a seguir.

. is 0 0,393E 0,632E 0,865E 0,981E 0,993E 1E V (t) ra o ut Colocando os dados da tabela em um grfico, obtemos uma curva a exponencial. Afinal, uma funo exponencial, como a mostrada s o na figura 95. it e ir d VC (t) s o s do IE to os 0,9E ad 0,8E rv se e 0,7E R a. 0,6E ad z 0,5E ri to 0,4E au o 0,3E n a pi 0,2E C 0,1ET 0 0,5RC RC 2RC 4RC 5RC 10RCC

t (RC) 0 1 2 3 Fig. 95 4 5 6


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Cpiagrfico, autorizada. Reservados todosconsumida deve aumentar para: Pelo no podemos concluir que o E a corrente os direitos autorais.capacitor est totalmente carregado do ponto de vista prtico, passado um tempo igual a: t = 4t (VC = 0,98E)

I=

P 240.000 = = 400 A VG 0,5

. is Antes de ensinar como corrigir o FP de ra uma instalao, vejamos o porqu dessa neo cessidade. Consideremos que uma instalao ut(dobra), h neComo a corrente aumenta consome uma potncia de 120kVA quando a a cessidade de trocar a fiao por outra bitola tenso de alimentao for: s o maior para evitar as perdas que provocaro a it Assim, conclumos queda da tenso na linha. e P 120.000 i controlar o FP de uma insque importanter I= = = 200 A d V 600 talao, procurando mant-lo o mais prxis 1. mo possvel de o s Em casos de cargas puramente resistivas, A diminuio do FP de uma instalao se como foges eltricos, aquecedores, lmpado fatores, dentre os quais citamos: deve a vrios das incandescentes, etc., toda a potncia to consumida ser potncia real, e o FP ser Motores os pequena CA operando em vazio ou com igual a 1, pois = 0 e fica valendo a Lei de carga. ad Transformadores operando em vazio. Ohm. A potncia real : rv Reatores de lmpadas fluorescentes. P = VG . I cos = 600 . 200 . 1 = 120kW se e A melhoria do FP pode ser feita de ouNo caso de um circuito contendoR . resistras maneiras, como, por exemplo, usando tncia e indutncia, e sendo o FP = a (cos= d 0,5 motores sncronos que ajudam na correo 0,5), a potncia real ser: za do FP. ri. 0,5 = 60kW P = VG . I cos = 600 . 200 to No nosso estudo, consideraremos apenas a au correo com o uso de capacitores, que ofere importante notar que a potncia real cem algumas vantagens em relao aos outros diminui proporcionalmente com a reduo do o reativa aumenta. Se mtodos, tais como, tamanho pequeno, sem parFP, enquanto a potncia n tes mveis, facilidade de operao, maior sequisermos manter a mesma potncia real com a i gurana e pouca dissipao de potncia. um FP menor, a potncia aparente deve aup mentar para: C Em um circuito CA um capacitor tem aAP G

7. Correo do Fator de Potncia (FP)

Assim, algumas alteraes devem ser realizadas para corrigir tal problema. Se houver transformador de entrada (nos casos de casa de fora) com FP = 0,5, o transformador deve ser bem maior.

PAP

P 120.000 = = = 240kVA cos 0,2

propriedade de adiantar a corrente em relao tenso. Como um indutor atrasa a cor-


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Cpia no autorizada. Reservados todos os pode com- autorais. rente em relao tenso, a colocao de um capacitor direitospensar esse atraso. O ngulo de fase pode ser reduzido a zero e, por razes econmicas e prticas, basta manter o FP acima de 0,85. O valor do capacitor que corrige o FP pode ser calculado da seguinte maneira: consideremos uma impedncia Z indutiva, cujo ngulo de fase 1, e queremos diminuir esse ngulo para . A colocao do capacitor em paralelo com a carga reduz o ngulo de fase de 1 para , o que equivale a dizer que o FP aumenta. Vejamos, nas figuras abaixo, um diagrama fasorial sem o capacitor (figura 96) e outro com o capacitor (figuras 97a e 97b)I1

0 VG Z

I1

VG

ia p C

o n

os ad rv se e I1 R IC a. C Z ad z i or ut a(a)

(a)

os od (b) t

os it Ve G r di s1 oI1

. is ra o ut a

Fig. 96 - Diagrama fasorial sem o capacitor

1

(b)

Fig. 97 - Diagrama fasorial com o capacitor

Observe que a colocao do capacitor no altera a potncia real (ativa) do circuito; altera somente a potncia aparente. Por isso, a colocao do capacitor deve ser tal que o valor da corrente IR responsvel pela parcela de potncia real no mude. Da frmula de potncia real:

P = VG . I . cos Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.129/81

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Cpia no autorizada. Reservados todospotncia reativa noautorais. consumo de os direitos levado em Obtemos:

OC = I1 . cos =

____

P VG

considerao pelas fornecedoras de energia eltrica. H, no entanto, a colocao de capacitores nas subestaes de distribuio para evitar a perda de energia. Nas instalaes industriais, quando a empresa estiver com o fator de potncia muito baixo, a companhia que fornece energia avisa a indstria para que o corrija, informa em que patamar ele est e para quanto deve ser corrigido. A correo feita com o uso de capacitores. A seguir, veremos um exemplo de correo do fator de potncia, lembrando que, para ligaes trifsicas, o critrio adotado o mesmo. Um motor consome uma potncia de 10kVA ligado em 600V. A empresa concessionria avisa que o FP est com valor de 0,

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