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CE219 - Controle Estatístico de Qualidade

Cesar Augusto Taconeli

20 de abril, 2018

Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, 2018 1 / 25

Aula 5 - Análise da capacidade de processos


Introdução

Gráficos de controle são estabelecidos com base na variabilidadenatural do processo, na ausência de causas atribuíveis de variação.

No entanto, ainda que um particular processo esteja operando sobcontrole, isso não implica, necessariamente, que a produção atendasatisfatoriamente às especificações do projeto, às normas reguladoras,às expectativas dos clientes. . .

A Figura 1 ilustra um processo operando sob contole, mas com umaquantidade considerável de itens produzidos fora das especificações.

A análise da capacidade de processos tem como objetivo principalavaliar o potencial da produção em atender às especificações que sãoimpostas.


Introdução

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

1 4 7 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98

9.85

9.90

9.95

10.0

010

.05

10.1

010

.15

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LCL

UCL

CL

Number of groups = 100Center = 9.993624StdDev = 0.0558762

LCL = 9.825996UCL = 10.16125

Number beyond limits = 0Number violating runs = 0

Figura 1: Gráfico de controle para medidas individuais - linhas pretas: limites decontrole; linhas vermelhas: limites de especificação.


Introdução

Uma forma de caracterizar a distribuição de um processo é por meiodos limites naturais de tolerância.

Vamos admitir que a característica da qualidade sob estudo tenhadistribuição Normal com média µ e desvio padrão σ. Os limites inferiore superior naturais de tolerância ficam definidos por:

LSNT = µ+ 3σLINT = µ− 3σ

(1)

Com base na distribuição Normal, os limites naturais de tolerânciacompreendem 99.73% da produção.


Índices de capacidade de processos - PPFE

Vamos considerar LIE e LSE os limites (inferior e superior) deespecificação, fixados pela engenharia, visando atender às expectativasdos consumidores, da gerência, às normas técnicas. . .

Um primeiro indicador associado à capacidade do processo é aprobabilidade de produção fora das especificações (PPFE), definida por:

PPFE = P(X < LIE ) + P(X > LSE ), (2)

em que X é a variável (ou uma das variáveis) que caracteriza a qualidade.

Claramente, quanto menor PPFE, maior a capacidade do processo ematender às especificações.


Índices de capacidade de processos - PPFEExercício 1Seja X alguma característica da qualidade de um processo industrial.Quando o processo opera sob controle estatístico, X tem distribuiçãoNormal com média µ = 100 e desvio padrão σ = 0.1.

a) Determine os limites naturais de tolerância do processo;b) Se os limites de especificação forem LIE = 99.75 e LSE = 100.25, qual,

a probabilidade de produção fora das especificações?c) O que acontece com PPFE se o processo sair de controle, de tal forma

que a média se desloque para µ = 100.1?d) O que acontece com PPFE se o processo sair de controle, de tal forma

que o desvio padrão se desloque para σ = 0.2?e) Considere novamente o processo operando sob controle. Vamos admitir

que os limites de especificação sejam revistos pela engenharia,estabelecidos como LIE = 99.9 e LSE = 10.1. Calcule PPFE. Avalieesse novo cenário quanto ao controle e à capacidade do processo.Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, 2018 7 / 25

Índices de capacidade de processos - PPFE

PPFE para diferentes alterações na média do processo

µ

PPFE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

99.0 99.4 99.8 100.2 100.6 101.0

PPFE para diferentes alterações no desvio padrão do processo

σ

PPFE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

Figura 2: PPFE vs alterações nos parâmetros dos processos (Exercício 1)


Índices de capacidade de processos - O índice Cp

Diversos índices de capacidades de processos são baseados na razãodas faixas de especificação e de tolerância.

O índice mais simples, baseado nesse tipo de construção, é definido por:

Cp = LSE − LIE6σ , (3)

sendo chamado razão da capacidade do processo.



Exercício 2Retome o Exercício 1. Calcule o valor de Cp para cada um dos itens b-e.Avalie os resultados.



A aplicação adequada de Cp requer:Que a característica da qualidade tenha distribuição Normal;Que o processo opere sob controle;Além disso, a média do processo deve estar no centro da faixa deespecificação:

µ = LIE + LSE2 . (4)

As duas primeiras condições estendem-se a outros índices queestudaremos adiante. A condição de que a média esteja no centro dasespecificações é particularmente crítica para Cp.



Tabela 1: Relação entre Cp e produção fora das especificações - Processo comdistribuição Normal, sob controle, centrado no ponto médio da faixa deespecificação.

CpItens não conformes(partes por milhão)

0.25 453.2250.50 133.6140.75 24.4490.90 6.9341.00 2.7001.25 1771.50 72.00 0,0018



0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cp = 1

Processo 1

LIE LSE

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Cp = 2

Processo 2

LIE LSE

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Cp = 0.5

Processo 3

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cp = 1

Processo 4

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cp = 1

Processo 5

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cp = 1

Processo 6

LIE LSE

Figura 3: Ilustração de Cp para diferentes processos


Índices de capacidade de processos - O índice Cpk

Para processos não centrados no ponto médio da faixa de especificação,índices (razões) de capacidade apropriados devem ser aplicados.Uma alternativa é o índice Cpk , baseado nas razões de capacidadeunilaterais:

Cps = LSE − µ

3σ

Cpi = µ− LIE3σ

. (5)

Cpk é definido por:

Cpk = min(Cps ,Cpi ). (6)



Se o processo tiver centrado no ponto médio das especificações, entãoCpk = Cp;

É comum dizer que Cp mede a capacidade potencial do processo,enquanto Cpk mede sua capacidade efetiva;

O índice Cpk , ao contrário de Cp, pode produzir valores negativos;

Vale destacar que, caso o processo tenha apenas um limite deespecificação (inferior ou superior), então Cpi (ou Cps) pode ser usado,isoladamente, como índice de capacidade.



Exercício 3Retome o Exercício 1. Calcule o valor de Cpk para cada um dos itens b-e.Avalie os resultados.


Índices de capacidade de processos

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpk = 1

Processo 1

LIE LSE

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Cpk = 2

Processo 2

LIE LSE

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Cpk = 0.5

Processo 3

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpk = 1

Processo 4

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpk = 0

Processo 5

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpk = −1

Processo 6

LIE LSE

Figura 4: Ilustração de Cpk para diferentes processos


Índices de capacidade de processos - O índice Cpm

Um índice de capacidade alternativo, que incorpora o desvio da médiado processo ao centro da faixa de especificação, é definido por:

Cpm = LSE − LIE6τ , (7)

em que τ é a raiz quadrada dos desvio quadrático esperado em relação a T ,ao valor alvo da produção:

τ2 = E[(X − T )2

]= σ2 + (µ− T )2 , (8)

de tal forma que:

Cpm = LSE − LIE

6√σ2 + (µ− T )2

. (9)



Exercício 4Considere dois processos A e B, tais que XA ∼ N(µA = 50, σA = 5) eXB ∼ N(µB = 57.5, σB = 2.5). Os limites de especificação são LIE = 35 eLSE = 65 para ambos. Calcule Cp, Cpk e Cpm para os processos A e B.Compare e discuta os resultados.



0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpm = 1

Processo 1

LIE LSE

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Cpm = 2

Processo 2

LIE LSE

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Cpm = 0.5

Processo 3

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpm = 1

Processo 4

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpm = 0.316

Processo 5

LIE LSE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cpm = 0.164

Processo 6

LIE LSE

Figura 5: Ilustração de Cpm para diferentes processos


Índices de capacidade de processos

Há diferentes critérios apresentados na literatura, e aplicados naprática, para classificação dos processos segundo suas capacidades.

Uma classificação frequentemente utilizada, aplicada a processoscentrados no ponto médio da faixa de especificação, estabelece que:

Tabela 2: Especificação bilateral, processo centrado e com distribuição Normal

Classificação Valor de CpItens fora das especificações(em ppm)

Capaz Cp > 1, 33 70Razoavelmente capaz 1 ≤ Cp ≤ 1, 33 Entre 70 e 2.700Incapaz Cp < 1 Acima de 2.700


Índices de capacidade de processos - Estimação

Em geral, o desvio padrão do processo é desconhecido, podendo serestimado por uma amostra selecionada do processo sob controle, combase na média e no desvio padrão amostrais.

É comum também utilizar dados da fase 1 de um gráfico de controlepara estimar σ. Nesse caso:

σ = Rd2

ou σ = sc4. (10)

Assim, Cp fica estimado por:

Cp = LSE − LIE6σ . (11)



A fim de incorporar à estimativa o erro inerente ao processo deamostragem, podemos apresentar intervalos de confiança para acapaciadade do processo;

Um intervalo de confiança 100(1 − α)% para Cp é definido por:

Cp

√χ2

1−α/2;n−1n − 1 ≤ Cp ≤ Cp

√χ2α/2;n−1n − 1 , (12)

em que

Cp = LSE − LIE6s , s =

√√√√ 1n − 1

n∑i=1

(xi − x)2 (13)

e χ2α;n−1 é o quantil α da distribuição qui-quadrado com n − 1 graus de

liberdade.Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, 2018 23 / 25


Para Cpk , um intervalo de confiança (aproximada) 100(1 − α)% temlimites:

Cpk

[1 − z1−α/2

√1

9nCpk+ 1

2(n − 1)

]≤ Cpk ≤

Cpk

[1 + z1−α/2

√1

9nCpk+ 1

2(n − 1)

] (14)


Índices de capacidade de processos - Nãonormalidade

Nenhum dos índices apresentados até o momento se aplica a dadossem distribuição Normal.

Nesses casos, podemos recorrer, novamente, à transformação dosdados visando alcançar normalidade, ou usar algumas construções maisgerais de índices.

Uma alternativa seria definir a capacidade do processo com base nosquantis amostrais (ou de algum outro modelo probabilístico dereferência):

Cpq = LSE − LIEx0,99865 − x0,00135

, (15)

sendo xq o quantil amostral de ordem q (ou obtido a partir de algummodelo paramétrico mais adequado).


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