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16/06/2016

Capítulo 6Tópicos avançados em

controle PID

Tópicos avançados em controle PID

Algoritmos e formas modificadas do controlador PID

Controlador realimentado:

� Processa a diferença entre o valor desejado ou de referência (setpoint) e o valor medido da

variável de interesse no processo (aquela que se deseja controlar).

� Envia um sinal adequado ao elemento final de controle de forma a manter o sinal controlado

em seu valor de referência.

Estrutura típica de um sistema de controle

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� Variável controlada (saída): c(t) em %TO

� Variável de referência (entrada): r(t) em %TO

� Sinal de erro: e(t) = r(t) – c(t) em %TO

� Sinal de controle (manipulada): m(t) = f(e(t)) em %CO

c(t)

r(t) e(t) m(t)



Em termos de desvios X(t): x(t)xxtXtx de inicial permanente regime em valor o é onde )()( +=

� Variável controlada (saída): ctctCctCtc −=⇒+= )()( )()(

� Valor de referência (entrada): rtrtRrtRtr −=⇒+= )()( )()(

� Sinal de erro: )()( 0)()( tetEtEte =⇒+=

No domínio de Laplace: )()()( sCsRsE −=

Controlador

Detetor de erro

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Controladores de ação direta e ação reversa. Exemplos:

Para SP constante, se T(t) aumenta, a válvula

deve diminuir seu deslocamento (fechar uma

certa quantidade)

Ação reversa

Controle de

temperatura

(trocador de calor)

Para SP constante, se h(t) aumenta, a válvula

deve aumentar seu deslocamento (abrir uma

certa quantidade)

Ação direta

Controle de

nível em um

tanque



Controlador realimentado – PID (Proporcional-Integral-Derivativo)

Controlador Proporcional (P): )()( teKmtm c+=

%CO (bias), opolarizaçã

%TO

%CO r,controlado do ganho

onde,

=

=

m

Kc

� Kc > 0: controlador de ação reversa

� Kc < 0: controlador com ação direta

Ação reversa

Ação direta

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Erro do sistema em regime permanente:

E(s)

)()()()(1

1)( sR

sHsGsGsE

pc+=

)(lim)( 0 ssEte st →∞→=

Para r(t) um degrau em t = 0s de amplitude A:s

AsR =)(

)()()(1lim)( 0

sHsGsG

Ate

pc

st +=⇒ →∞→

Para Gc(s) = Kc ,)()(1

lim)( 0sHsGK

Ate

pc

st += →∞→

Então o erro em regime permanente será nulo apenas se Gp(s)H(s) possuir pelo menos um polo em

s = 0 (sistema de tipo maior que 0). Se isso não ocorrer o erro será não nulo, mas menor à medida

que Kc aumenta. Em certas circunstâncias esse aumento de Kc pode levar á instabilidade.

C(s)



No caso do controle de nível, sendo o processo do tipo 0 (sem polo na origem do plano complexo),

haverá erro em regime permanente para um setpoint constante. Esse erro é menor, quanto maior o

Kc. O aumento de Kc diminui o amortecimento do sistema, tornando a resposta transitória mais

oscilatória.

Controle de nível� O erro em regime permanente não pode

ser nulo devido unicamente aocontrolador

� O controlador PI possui um parâmetro aser sintonizados: Kc.

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Controlador Proporcional-Integral (PI):



∫++=t

tI

cc de

KteKmtm

0

)()()( λλτ

minutos)ou (segundos reset"" de ou tempo integral tempo

onde,

=Iτ

0

∫++=t

I

cc d

KKtm

0)1()1(%50)( λ

τ

tK

KtmI

cc

τ++= %50)(

cII Kτmτt 2%50)( em +=→=



Erro do sistema em regime permanente:

)()()()(1

1)( sR

sHsGsGsE

pc+= )(lim)( 0 ssEte st →∞→

=⇒

s

s

Ks

sK

sK

sE

sMsG

sEs

KsM

Ic

I

Ic

I

cc

I

c

τ

τ

τ

τ

τ

111

1)(

)()(

)(1

1)(

Laplace de domínio no desvios, de termosEm

+

=+

=

+==⇒

+=

E(s) M(s)

Um polo em s = 0

Pelo menos tipo 1

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Para r(t) um degrau em t = 0s de amplitude A:s

AsR =)(

)()(

1

1

lim)( 0

sHsGs

s

K

Ate

pI

c

st

τ+

+

=⇒ →∞→ 0)( =⇒∞→t

te

Controle de nível

� Erro nulo em regime permanente

� O controlador PI possui dois parâmetrosa serem sintonizados: Kc e τI.

� A ação integral pode diminuir oamortecimento, causando maisoscilações transitórias.

� Em torno de 85% dos controladores sãodesse tipo.

Erro nulo

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID):



dt

tdeKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

+++= ∫

minutos)ou (segundos derivativo tempo

onde,

=Dτ

O termo derivativo tenta “antever” (“antecipar”) o comportamento do erro.

O quanto de “antecipação” é ajustado pelo parâmetro τD.

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No caso do trocador de

calor� Temperatura Ti(t) cai, logo T(t) cai abaixo do set point, assim o

erro cresce.

� Em t = ta o erro ainda e pequeno, então em m(t) os termos

devido à ação proporcional e à ação integral ainda sãopequenos, mas o erro varia a alta taxa de crescimento, assim aação derivativa gera um sinal m(t) positivo que faz com que osistema se oponha à queda de Ti(t) rapidamente.

� Em t = tb o erro faz com o que os termos proporcional e

integral sejam positivos, mas a ação derivativa já gera umacomponente negativa, já antevendo que o erro está caindo eque o sinal m(t) pode ser reduzido.



� O controlador PID é recomendado para controle de processos lentos (processos térmicos, por

ex.), ou seja, com grandes constantes de tempo.

� Nesses processos lentos as malhas de realimentação são relativamente livres de ruídos mais

rápidos.

� Não é adequado para sistemas de controle de fluxo e pressão de líquidos, devido aos ruídos.

� Sinais de ruídos que variam a altas taxas causam valores excessivos na saída do termo

derivativo, comprometendo o desempenho do sistema.

Ruído sobreposto ao sinal de vazão que a princípio deveria ser

constante.

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dt

tdeKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

+++= ∫

s

ss

KsG

s

ssKs

sK

sE

sMsG

sEss

KsM

ID

cc

I

IDIcD

I

cc

D

I

c

ττ

τ

ττττ

τ

ττ

1

)(

111

)(

)()(

)(1

1)(

Laplace de domínio no desvios, de termosEm

2

2

++

=⇒

++=

++==⇒

++=

Função de transferência não causal (polinômio do numerador com ordem maior que a do denominador) → Não pode ser construído na prática. Seria o caso IDEAL.



Para tornar o PID causal o termo derivativo é implementado de forma ligeiramente diferente.

+++==

1

11

)(

)()(

s

s

sK

sE

sMsG

D

D

I

ccατ

τ

τ

� O termo derivativo foi multiplicado por1

1

+sDατ

� Isso corresponde a uma função de transferência de primeira ordem com constante de tempo

ατD.

� A constante de tempo ατD é feita bem menor que a constante τD, pois α é escolhido na faixa de

0,05 a 0,2. Assim o filtro não irá comprometer a ação derivativa.

Filtro linear com ganho estático unitário

� A modificação no termo derivativo foi feita de forma que o termo não amplifique excessivamente

ruídos de alta frequência.

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Gc(s) poder ser rearranjada da seguinte forma

( )

+

+

++==

ss

sK

sE

sMsG

ID

Dcc

τατ

τα 1

1

11

)(

)()(

� O primeiro termo entre colchetes é um compensador de avanço de fase.

� O controlador PID é um compensador de avanço em paralelo com um integrador.

Gc(s) também poder ser rearranjada da seguinte forma

+′

+′

′+′==

1

111

)(

)()(

s

s

sK

sE

sMsG

D

D

I

Ccτα

τ

τ



� Esse é um tipo bem comum de implementação do controlador PID.

� Corresponde a um compensador de avanço de fase em cascata (série) com um controlador PI.

� Também chamado controlador “rate-before-reset” e algebricamente pode ser mostrado que

−+=′

I

Dcc KK

τ

τ25,05,0

−+=′

I

DII

τ

τττ 25,05,0

I

D

DD

τ

τ

ττ

−+

=′

25,05,0

É o controlador PID real

� O controlador PID possui três parâmetros: Kc, τI e τD.

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Controlador Proporcional-Derivativo (PD):dt

tdeKteKmtm Dcc

)()()( τ++=

( )sKsE

sMsG Dcc τ+== 1

)(

)()(

A função de transferência ideal é

Já a função de transferência real que pode ser implementada é

( )

+

++==

1

11

)(

)()(

s

sK

sE

sMsG

D

Dcc

ατ

τα

� Seu uso é indicado para melhorar o amortecimento do sistema, ou seja, diminuir o sobrepasso e

o tempo de acomodação na resposta transitória.



Modificações no controlador PID e comentários adicionais

dt

tdeKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

+++= ∫

Na equação que caracteriza o controlador PID temos como parâmetros: Kc, τI e τD

Outra possibilidade seria trabalhar com parâmetros: Kc, KI e KD

dt

tdeKdeKteKmtm D

t

tIc

)()()()(

0

+++= ∫ λλ

DcD

I

cI

KK

KK

τ

τ

=

=Onde

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Seja uma situação onde ocorra uma alteração rápida da entrada de referência (set point)

� Ocorre um degrau no erro e(t).

� Devido à ação derivativa ocorre uma variação abrupta

no sinal de saída do controlador.

� Essa variação não é necessária e pode ser prejudicial.

� Para corrigir esse problema o termo derivativo é

alterado para o negativo da derivada de c(t).

dt

tdcKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

−++= ∫



dt

tdcKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

−++= ∫

Para o caso de um set point constante

[ ]

dt

tdc

dt

tde

dt

tdc

dt

tdr

dt

tctrd

dt

tde

)()(

)()()()()(

−=⇒

−=−

=

� Após a variação do set point não ocorre variação abrupta do sinal m(t).

� Logo após, as derivadas se tornam as mesmas.

16/06/2016



dt

tdcKde

KteKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

−++= ∫

−

+= )()(

11)( ssCsE

sKsM D

I

c ττ

+−

+= )(

1)(

11)( sC

s

ssE

sKsM

D

D

I

cατ

τ

τ

+′

+′−

′+′= )(

1

1)(

11)( sC

s

ssR

sKsM

D

D

I

cτα

τ

τ



Essa modificação é denominada derivative-on-process variable. Em diagramas de blocos temos:

+−

+= )(

1)(

11)( sC

s

ssE

sKsM

D

D

I

cατ

τ

τ

+′

+′−

′+′= )(

1

1)(

11)( sC

s

ssR

sKsM

D

D

I

cτα

τ

τ

16/06/2016



� Para ganho proporcional alto o termo Kce(t) = Kc[r(t)-c(t)] pode causar um desvio abrupto em

m(t) e isso pode não ser adequado (“chute proporcional”).

� Pode-se fazer a seguinte alteração

dt

tdcKde

KtcKmtm Dc

t

tI

cc

)()()()(

0

τλλτ

−++= ∫

� Apesar das várias alterações os controladores respondem da mesma forma aos distúrbios.

� Uma outra estrutura usa o quadrado do erro como termo do controlador

+++= ∫ dt

tdedeteteKmtm D

t

tI

c

)()(

1)()()(

0

τλλτ

� Para um erro pequeno uma ação corretiva pode não ser necessária.

� Apenas para erros maiores se observará uma ação corretiva mais intensa no sentido de

diminuir o erro.

� Nessa técnica é difícil sintonizar o controlador (é uma ação não linear)



Outras possibilidades de PIDs (quando implementados em computadores):

Controlador com zona morta

� Se c(t) estiver em uma faixa adequada (±1%, ±2%, ou algo semelhante) em torno do set

point, o controlador não atua.

� Nesse caso assume-se que essas pequenas variações são devidas apenas a ruídos.

Controlador com varredura

� No caso de controle manual de m(t) para ajustar a saída do processo, se não for alterado o

set point, no momento do retorno à operação automática, ocorrerá um salto no erro.

� Com a varredura o controlador atualiza o set point, acompanhando a saída do processo,

sob comando manual.

� No retorno ao controle automático o set point já estará atualizado em relação à saída

ajustada pelo operador, não ocorrendo variação abrupta do sinal de erro.

16/06/2016

O windup e sua prevenção



Corresponde a um problema associado ao termo integral, ou seja, aos controladores PI e PID.

Seja o processo trocador de calor

� Seja uma queda apreciável em Ti(t).

� O controlador tentará abrir mais a válvula para não deixar T(t)

cair.

� O controlador aumentará sua saída até que a válvula esteja

completamente aberta e não possa mais variar.

� A partir daí o controlador nada mais pode fazer.

� Como ainda existe um erro o controlador continua integrando.

� Normalmente os controladores são ajustados para poderem

variar m(t) além da faixa de 0 a 100%. (-15 a 115% ou -7 a

107%, por ex.)

� A saturação é causada pela ação integral (windup).



� Se Ti(t) volta ao valor usual, T(t) sobe, pois a válvula está

completamente aberta.

� T(t) alcançará o set point, mas continuará crescendo, pois

será necessário m(t) cair de 107% a 100% para que o

controlador volte novamente a poder atuar sobre a válvula.

� Só quando m(t) alcançar 100% a válvula poderá ser fechada

e diminuir a troca de calor e consequentemente haver uma

queda de T(t) .

� A prevenção ao windup é obtida ao se cancelar a integração

quando da saturação do atuador, não ao limitar a saída do

controlador.

16/06/2016



� Mesmo limitando a saída do controlador a ação integral faz

alguma variável interna crescer bastante.

Uma das várias formas de evitar o windup quando a saída do controlador satura:

)(1

1)( sEs

KsMI

c

+=

τ

Seja o controlador PI

)()()( sMsEKsM Ic += )()( onde sEs

KsM

I

cI

τ= )()(ou sEKssM cII =τ

)()()( sMsMsEK Ic −= )(1

1)( sM

ssM

I

I+

=τ



)()()( sMsEKsM Ic +=

)(1

1)( sM

ssM

I

I+

=τ

MI(s) será sempre limitado, pois M(s) é limitado. Se m(t) assumir um valor constante mI(t) também

assumirá um valor constante em regime permanente. Se m(t) assumir o valor 100%, mI(t) também

alcançará 100%, o mesmo vale para o limite inferior 0%.

Ganho estático unitário

Assim que e(t) se torna negativo 100% )(100)( <+= teKtm c

O controlador sairá de sua limitação e fechará a válvula assim que c(t) passar pelo set point.

16/06/2016



Em condição normal de operação:

Como em regime permanente MI(s)=M(s) e como M(s) = MI(s) + KcE(s), a única solução coerente

implica em E(s) = 0.

→ A ação integral e sua função de anular o erro em regime permanente para uma entrada referência constante

é verificada.



No mercado se encontra uma ampla variedade de equipamentos de controle que implementam a

estratégia PID. Tem-se controladores analógicos, mas atualmente dominam os equipamentos

digitais.

16/06/2016



Compensação de tempo morto (Preditor de Smith)

)()( sFsX =

Tempo morto – Seja o sistema abaixo

G(s)X(s) Y(s)

onde x(t) = f(t) e y(t) = f(t-T). Então

)()( sFesYsT−=

sTsT

esF

sFe

sX

sY −−

==)(

)(

)(

)(

sTesG

−=)(

Atraso no sinal por T segundos. Função

tempo morto.

Também chamado de atraso de transporte.



Sistema dinâmico com tempo morto, Gp(s)e-sT, onde

Gp(s) é uma função de transferência de um sistema linear.

Para um processo Gp(s), dado abaixo, com realimentação negativa unitária, podemos determinar a

função de transferência de malha fechada (Gmf(s)).

1)(

+=

s

KsGp

τ

+

+

+=+

=⇒

11

1

)(1

)()(

sK

K

K

sG

sGsG

p

p

mf τ

Polo real negativo. Sistema estável para qualquer valor de

K > - 1.

16/06/2016



Já para o sistema de primeira ordem com tempo morto T, Gp(s)e-sT

sTsT

p es

KesG

−−

+=

1)(

τ

sT

sT

sT

p

sT

p

mfKes

Ke

esG

esGsG

−

−

−

−

++=

+=⇒

1)(1

)()(

τ

O dizer sobre a estabilidade?

Existem algumas aproximações para a exponencial:

( ) ( )...

!3!21 :Taylor

32

+−+−=− sTsTsTe

sT

2/1

2/1 :Padê

sT

sTe sT

+

−=−



Para a série de Taylor com T pequeno tal que sT << 1, podemos usar os dois primeiros termos

sTesT −≅−

1 :Taylor

Substituindo em Gmf(s),

101

/0

−>⇒>+

<⇒>−

KK

TKKT ττ

Para estabilidade, segundo Routh-Hurwitz os coeficientes no demominador devem ser positivos

( )( ) ( ) )1(11

1)(

KsKT

Ke

sTKs

sTKsG

sT

mf++−

=−++

−=

−

ττ

TK /1 τ<<−⇒� Com tempo morto mesmo um sistema de 1ª ordem

pode ser instável para K positivo.� Independente da aproximação usada, para K grande

o sistema em malha fechada pode se tornar instável.

16/06/2016



A questão é que uma vez sabendo-se como controlar Gp(s), usando por exemplo um controlador

PID, como controlar Gp(s)e-sT ?

Uma possível solução seria o Preditor de Smith.

)(sGp

Gc(s) adequado a Gp(s)

)(sGc

)(sGp

)(sGc )(sH

sTe

−

Gc(s) não adequado a Gp(s) com tempo morto

Assumamos que não há acesso a esse sinal



)(sGp)(sGc)(sH)(sR )(sC

Perturbação

)(sB

Se tivéssemos acesso a esse sinal poderíamos adotar e esquema de controle

O sistema se comportaria de forma adequada, mas haveria apenas o atraso inerente ao processo.

16/06/2016



)(sGp)(sGc

)(sR )(sC

Perturbação

)(sB

)(sE′

)(sH

)(sGpm )(sHm

)(sBm

)(sE

Se tivermos um modelo do processo Gp(s) dado por Gpm(s) e um modelo do atraso dado por Hm(s), poderíamos usar um

valor estimado Bm(s) para realizar a realimentação.

Poderíamos adotar o seguinte esquema de controle

Primeira abordagem do problema

Observe que E’(s) dá uma indicação do erro de modelagem



Seja o sistema em malha fechada Gmf(s)

)()(1

)()()(

sGsG

sGsGsG

pc

pc

mf+

=

Gostaríamos de encontrar um controlador G’c(s) tal que G’mf(s) fosse dado por Gmf(s)H(s) onde H(s)=e-sT.

)()()()()(1

)()()()( sHsG

sHsGsG

sHsGsGsG mf

pc

pc

mf =′+

′=′

)()()(1

)()(

)()()(1

)()()(sH

sGsG

sGsG

sHsGsG

sHsGsG

pc

pc

pc

pc

+=

′+

′

Resolvendo para G’c(s)

( ))(1)()(1

)()(

sHsGsG

sGsG

pc

cc

−+=′

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)(sGp)(sGc

)(sR )(sC)(sB

)(sE′

)(sH

)(sGpm )(sHm

)(sBm

)(sE

Perturbação

Poderíamos usar E’(s) para criar uma outra malha de realimentação, conforme dado a seguir.



)(sGp)(sGc

)(sR )(sC

)(sB

)(sGpm

Perturbação

)(sH

)(sHm)(sBm

Por manipulação de blocos teremos o seguinte diagrama equivalente

( ))(1)()(1

)()(

Como

sHsGsG

sGsG

pc

cc

−+=′

)(sGc′

( ))(1)()(1

)()(

sHsGsG

sGsG

mpmc

cc

−+=′

16/06/2016



Então tem-se que o sistema anterior é equivalente ao dado a seguir

)(sGp)(sGc

)(sR )(sC)(sH

Perturbação

Isso para uma perfeita modelagem do processo e seu correspondente tempo morto.

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