Capitulo 4 Dinâmica dos osciladores lineares discreto e contínuo

4.1 Noção de grau de liberdade dinâmico

4.2 Equilíbrio do OL1GL Equilíbrio dinâmico por aplicação do Princípio de D’Alembert

0dtrdm

dtd)t(f

rrr=

−

0)t(f)t(f0)t(um)t(f

I =+=− &&

Força actuante ( ) ( ) ( )tftftf)t(f ERD ++=

Força de dissipação ( ) ( )tuctfD &−=

Força de restituição ( ) ( )tuktfR &−=

Força exterior ( )tfE

Equação de equilíbrio

f ( ) ( ) ( ) )t(umtftft ERD &&=++

Formulação do problema de equilíbrio

Equação de equilíbrio do regime forçado Condições iniciais

( )

===++

0

0

E

u)t(uu)t(u

tf)t(uk)t(uc)t(um

&&

&&&

Solução da equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes

)t(u)t(u)t(u PH +=

Capitulo 4 Dinâmica dos osciladores lineares discreto e contínuo 4.3 Regime livre (amortecido) do OL1GL Corresponde à solução homogénea da equação de equilíbrio

0)t(fE

0

0u)0(uu)0(u0)t(uk)t(uc)t(um

Solução homogénea da equação diferencial de equilíbrio; Condições iniciais

Frequência (circular) própria ou natural do oscilador (rad/s) [s-1]

mk

n

Período próprio do oscilador [s] k

m22Tn

n

Coeficiente de amortecimento crítico[Kg s-1]

mk2mkm2m2c nc

0)t(uk)t(uc)t(um 0)t(umk)t(u

mc)t(u

Fracção de amortecimento crítico ou coeficente de amortecimento relativo (vulgo “coeficiente de amortecimento”)

nc m2c

mk2c

cc

Soluções da forma teU)t(u

Equação característica 0Ue)2( t2nn

2

)1(2

442 2n

2n

2n

2n

Três casos distintos consoante o valor de

Regime supercítico 1;cc c

t1t1t 2n

2nn BeAee)t(u

Regime crítico 1;cc c

BtAe)t(u tn

Regime subcrítico 1;cc cti

2ti

1t DDn eUeUe)t(u

O único de interesse em Engenharia Sísmica

Frequência amortecida Período amortecido 2

nD 1 D

D2T

A resposta u(t) é real, logo as parcelas ti1 DeU e t

2 DeU sãoconjugadas:

)UeRe(2eUeUee)t(u titttit DnDDn

)U(Re)UIm(tg;eU)UIm(i)URe(U i

)tcos()t()tcos(e|U|2

eRee|U|2)ee|URe(|e2)t(u

DDt

)t(ittiit

n

DnDn

)tcos(e

)tcos(e|U|2)eeRe(e|U|2)t(u

Dt

Dttiit

n

nDn

Amplitude decai ao longo do tempo tne

Ângulo de fase)U(Re)UIm(tg

Expressão alternativa ))tsin(B)tcos(A(e)t(u DD

tn

)UIm(2B;)URe(2A

Imposição das condições iniciais para determinação das constantes A e B ou e .

D

n000

uvB

u)0(uA

D0000

2

D

00020

uuvarctg

uvu)0(

D0000

2

D

00020

uuvarctg

uvu21U

Decaímento do movimento

ee

eTtcosetcos

Ttutu

eTtcosTtu

etcostu

DD

D

DD

D

Dn

n

Tt

t

TtDD

tD

D

TtDDD

tD

decremento logarítmico (após um ciclo)

2Ttutuln11:1para

1

2Ttutulne

Ttutu

D

2

2D

T

DDn

Decremento logarítmico após n ciclos

2n1

n2nTtutuln

n

Dn

Estimativa experimental do amortecimento relativo

1uu

231

uuln

231

4

1

4

1

Recordemos o objectivo fundamental da Engenharia Sísmica

Analisar o comportamento das construções sob o efeito de movimentos sísmicos (habitualmente impostos na sua fundação)

A resposta deslocamento u(t) é a solução da equação

)t(f)t(uk)t(uc)t(um E

e resulta da soma da solução geral já estudada e de umasolução particular dependente da forma de )t(fE , à qual é necessário impor condições iniciais.

4.4 Regime forçado sob movimento imposto na base )t(ugDecomposição do movimento da massa na soma de movimento imposto e de movimento relativo à base

)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u

gt gt gt

0)t(uk)t(uc)t(um t

)t(um)t(uk)t(uc)t(um g

O efeito da aceleração imposta na base do oscilador é equivalente a uma força de inércia aplicada à massa oscilante:

)t(f)t(uk)t(uc)t(um e

Outra equação equivalente de equilíbrio

tuktuctuktuctum ggttt

Caso do movimento imposto com variação harmónica

2tcosUtsinU)t(u ggg

Acrescento ao termo excitador de uma parcela complexa

2tsinUi

2tcosU)t(u ggg

tig

2iti

g2

tigg

eUi

eeUeU)t(u

Força de inércia equivalente tie

tige eFeUmi)t(f

Problema de equilíbrio

)0(u)0(u0)0(u

)0(u)0(u0)0(ueF)t(uk)t(uc)t(um

gt

gt

tie

tie2nn

tie

emF)t(u)t(u2)t(u

eF)t(uk)t(uc)t(um

Solução da equação diferencial de equilíbrio )t(u)t(u)t(u PH

Solução homogénea (regime livre)

0)t(u)t(u2)t(u 2nn

)tcos(e

)tcos(e|U|2

))tsin(B)tcos(A(e)t(u

Dt

Dt

DDt

H

n

n

n

Solução particular (regime forçado) tie2

nn emF

)t(u)t(u2)t(u

Solução pretendida tiUe)t(uMovimento harmónico de frequência igual à do movimento na base (amplitude U complexa); incógnita U

Substituindo na equação de equilíbrio ti2titi Ue)t(ueUi)t(uUe)t(u

tieti2nn

2 emF

Ue)i2(

i21i

kF

i21

ikF

i21

im

F)i2(

imFU

2e

n

2

n

e

n

2

n

2n

e2nn

2e

Outra expressão para a solução particular

Frequência adimensional n

Deslocamento relativo estático2ge

estáticon

UkF

u

i222

2estático

eUi21

)i21(uiU

Amplitude

)(RU

)(Ru

21

1uU

d2n

gdestático

222estático

Ângulo de fase 212arctg

Factor de amplificação dinâmica (de deslocamento)

222

estáticod

21

1u

U)(R

Ângulo de fase. Significado do sinal

Somente a parte real da resposta é representativa do fenómeno físico. Solução particular

PP

)t(iP

tsinU))tsin(i)t(cos((UiRe(

)eUiRe()t(u

Imposição das condições iniciais e obtenção das constantes indeterminadas

PPDDt

PH

tsinU))tsin(B)tcos(A(e

)t(u)t(u)t(un

0PPDn0

0PP0vcosUBAv)0(u

u)sin(UAu)0(u

Solução homogénea (regime livre) com amplitude decaíndo no tempoSolução particular (regime forçado) com amplitude constante

Movimento relativo total nas condições: estáticon u)0(u,0)0(u%,5,2.0

Condição de ressonância

n121)1(R d

)0(u,0)0(u%,5,1

Tempo para atingir a resposta estacionária ressonante e o valor da amplificação ressonante dependem exclusivamente de

Valor máximo do factor de amplificação dinâmico de deslocamento

D

n2máx;d

2

2d

2d

21

2121R21

0d

Rd0d

dR

4.4 Amplificação dinâmica (relativa à análise no domínio do tempo da solução particular devida a movimento harmónico)

Função de amplificação dinâmica de deslocamento relativo

Pd2ng

P

Pde

P

PPP

tsin)(R/U

)t(u

tsin)(Rk/f)t(u

tsinU)t(u

222d

21

1)(R

Função de amplificação dinâmica de velocidade relativa

Pvng

P

Pdne

P

PPP

tcos)(R/U

)t(u

tcos)(Rkm/f)t(u

tcosU)t(u

222dv

21)(R)(R

Função de amplificação dinâmica de aceleração relativa

222

2

d2

a21

)(R)(R

Pag

P

Pd

2

ne

P

PP2

P

tsin)(RU

)t(u

tsin)(Rm/f)t(u

tsinU)t(u

Valores máximos das funções de amplificação dinâmica

)(R d )(R v )(R amax 221 1

221

1

)(Rmax212

121

212

1

4.5 Funções de transferência (análise no domínio da frequência da solução particular devida a uma excitação harmónica)

Conceito de função de transferência

Aplicável a sistemas lineares com excitação exterior harmónica da forma

tie)(X)t(xe output da forma

tie)(Y)t(y

)(X e )(Y podem em geral ser complexos e )t(x e )t(y são reais

Função de transferência de x para y )(Hxy

Relaciona linearmente )(X com )(Y

)(X)(H)(Y xy

Função de transferência de aceleração imposta para deslocamento relativo

i21

i1i2

iUU)(H

22n

n22

nguug

guu U)(HUg

tiguu

ti eU)(HUe)t(ug

2n

d

2222ng

uu)(R

21

11UU

)(Hg

Função de transferência de aceleração imposta para velocidade relativa

tip Ue)t(u

titip eUUei)t(u

i211

i2)(Hi

UU)(H

2n

n22

nuu

guu gg

guu U)(HUg

tiguu

tip eU)(HUe)t(u

g

n

v

222nguu

)(R

21

1U

U)(H

g

Função de transferência de aceleração imposta para aceleração relativa

titi2p eUUe)t(u

guu U)(HUg

tiguu eU)(H)t(u

g

i21i

i2i)(H

UU)(H

2

2n

22n

2

uu2

guu gg

)(R21U

U)(H a

222

2

guug

Recordando a decomposição do movimento total nas parcelas relativa e imposta:

gt

gt UiUU)t(u)t(u)t(u

Função de transferência de aceleração para aceleração absoluta

1i2

Ui

UiU)(HU

n22

n

2

g

gguut

g

n22

n

n2n

g

t

uu

i2

i2i

UU)(H t

g

)(R)(R)2(1

21

)2(1U

U)(H

t

tg

a

d2

222

2

g

t

uu

Função de transferência de aceleração para velocidade absoluta

n22

n

n2n

uug

t

g

t

uu

i2i21

)(Hi1

UiU

UU)(H t

gt

g

)(R)(R

)(R)2(1

21

)2(11U

U)(H

t

t

tg

va

d2

222

2

g

t

uu

Função de transferência de aceleração para deslocamento absoluto

n22

n

n2n

2

uu2g

2

t

g

t

uu

i2i21

)(H1U

U

UU)(H t

gt

g

)(R)(R

)(R)2(1

21

)2(11U

U)(H

t

t

tg

d2a

2d2

222

2

2g

t

uu

4.6 Resposta a movimentos periódicos (análise no domínio da frequência da solução particular)

)t(um)t(uk)t(uc)t(um gDecomposição de Fourier do movimento excitador )t(ug

A excitação é expressa como a soma (infinita) de termos harmónicos complexos da forma

T2kk;eU)t(u k

k

tik;gg k

tik;g keU

k

tik

k

tik

2k

k

tik

k

tikk

k

tik

kk

kk

k

eUeU)t(u

eUeUi)t(u

eU)t(u

Decomposição de Fourier das respostas

Reescrita da equação de equilíbrio com a excitação e as respostas expressas como soma de Fourier

k

tik;g

k

tik

2nnk

2k kk eUeU)i2(

A igualdade deve ser válida para cada frequência de ordem k.

A igualdade deve ser válida para cada frequência de ordem k.

2nnk

2k

k;gk

k;gk2nnk

2k

i2

UU

UU)i2(

Solução do movimento para a frequência de ordem k k;gk;uuk UHU

g

k

tik;gk;uu

k

tik k

gk eUHeU)t(u

Solução de deslocamento relativo através da soma inversa de Fourier (transformação inversa)