osciladores para rf

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Engenharia Elétrica LACOM OSCILADORES: Bases para análise e projeto. Prof. Dr. Carlos A. Caballero P. Passo Fundo 2006

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Material sobre projetos básicos de osciladores para RF

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Page 1: Osciladores para RF

Engenharia ElétricaLACOM

OSCILADORES:Bases para análise e projeto.

Prof. Dr. Carlos A. Caballero P.

Passo Fundo2006

Page 2: Osciladores para RF

Fundamento de Osciladores

1. IntroduçãoUm oscilador é um dispositivo ou circuito que converte energia desde

uma fonte de tensão de corrente continua (c.c.) para correntes e tensões que são funções do tempo. Estas funções temporais resultantes são convenientemente divididas em formas de sinal senoidal e não-senoidal. Esta apostila apresenta, basicamente, osciladores de formas de sinal senoidal; para estes se utiliza uma sub divisão em termos de faixa de freqüência, natureza dos elementos que determinam a freqüência e aplicação.

Assumindo que o circuito está funcionando, estaremos interessados nas seguintes propriedades:

1. Valor e estabilidade da amplitude da oscilação.2. Faixa e estabilidade da freqüência.3. Potência de saída e eficiência.4. Conteúdo harmônico da saída.

Levando em conta estas propriedades, devemos pesquisar a operação do sistema ou circuito e os pontos de interesse são:

(a) A condição requerida para iniciar e manter oscilações estáveis e a taxa de crescimento de tais oscilações.

(b) A dependência da amplitude e freqüência da condição de manutenção e da carga.

Por outro lado sabemos que sempre existirá efeito Joule sobre os componentes do sistema ou circuito oscilador; também, na prática, existiram perdas por radiação e, na maioria dos casos, existe uma extração de energia para a carga, por tanto o problema de iniciar e manter as oscilações é o de prover suficiente energia para superar as perdas. Estas perdas podem ser representadas por um resistor (positivo) e a energia ministrada por um resistor negativo em série com o primeiro. Este resistor negativo pode ser a característica do dispositivo ou circuito e é uma abordagem de dois terminais (uma porta) muito conveniente. Alternativamente, o oscilador pode ser considerado como um amplificador realimentado positivamente que é uma abordagem muito conveniente do ponto de vista de quatro terminais (quadripolos).

Para esta última abordagem, o circuito oscilador pode ser modelado pela combinação de um amplificador com ganho A(j) e um bloco, que pode ser passivo, de ganho (j) em um laço fechado de realimentação dependente da freqüência, T(j) = A(j)(j), como mostrado na Fig.1.

2

A Vsaída Ventrada

Page 3: Osciladores para RF

Fig.1. Modelo geral de um oscilador.

Uma única flutuação inicial de sinal na entrada, do tipo:

produzirá uma saída do tipo:

que produzirá uma re-entrada do tipo:

este processo vai se repetir inúmeras vezes, e para n passadas teremos:

examinando esta expressão, verificamos que se fazermos estas re-entradas serão desvanescentes. Por outro lado, se estas re-entradas são continuamente crescentes no tempo (ou permanecem constantes se fizermos ).

Como resultado temos que um sinal inicial produz um sinal cuja amplitude não desaparece no tempo desde que possamos garantir que , pelo menos no início, seja:

Desde que:

onde n = 1, 2, 3, ...

para que as re-entradas possam chegar em coerência de fase.

Estas duas últimas expressões, juntas, se conhecem como o critério de Barkhausen. Qualquer sistema que satisfaz este critério está apto para oscilar em uma freqüência ou conjunto discreto de freqüências onde ambas expressões sejam verdadeiras. Porém, mesmo satisfazendo este critério, um sistema não tem garantida a oscilação. O processo deverá começar devido a uma pequena perturbação inicial da freqüência correta. Se esta perturbação está ausente, o sistema permanece em estado de repouso. Afortunadamente, qualquer pequena, efêmera perturbação contem alguma componente de potência na freqüência f, que permitirá o surto de oscilações nessa freqüência. Na prática, isto significa que usualmente não devemos prover esta perturbação para iniciar o processo. A perturbação inicial produzida pelo chaveamento da fonte de alimentação ao circuito é mais do que suficiente para que o processo tenha inicio; caso contrário o ruído

3

Page 4: Osciladores para RF

aleatório presente em todo sistema físico real é suficiente para prover o sinal inicial.

A expressão geral de transferência para o circuito da Fig.1, é dada por:

VV

AAi

0

1

(1)

que estabelece que o sistema ira oscilar se A = 1, segundo já esclarecido acima. Na freqüência de oscilação, a rotação de fase total ao redor do laço deve ser de 360o, e a magnitude do ganho de laço aberto deve ser unitária.

Um circuito de emissor comum (fonte comum) provê 180o de rotação de fase. Se o circuito é usado com realimentação desde o coletor (dreno) até base (porta), este circuito de realimentação deverá prover os 180o de rotação de fase adicionais. Se usarmos um circuito de base (comporta) comum, não existe rotação de fase entre os sinais de coletor (dreno) e emissor (fonte), portanto o circuito de realimentação deverá prover uma fase de 0o ou uma rotação de fase de 360o.

2. Estabilidade de Freqüência.Como veremos, a pureza espectral da forma de onda de saída depende

da linearidade do sistema, no entanto as condições para atingir amplitude constante são, necessariamente, não-lineares. Nesta situação deve ser assumido algum compromisso. É usual operar o sistema de amplificação o mais linear possível e limitar a amplitude utilizando realimentação que seja dependente da amplitude.

Os osciladores que tem acoplamento mútuo são difíceis de controlar desta forma e se utiliza um controle de amplitude através de um circuito automático de polarização, essencialmente exercendo uma ação sobre a corrente de base ou de porta, no caso dos FET´s. Obviamente isto é uma desvantagem já que destruí a linearidade do sistema amplificador. A presença de harmônicos na saída também afeita a freqüência de oscilação. Pode ser demonstrado que em qualquer oscilador existe um balanço das potências reais e imaginárias. Isto significa que a energia magnética deve balançar a energia elétrica nas capacitâncias do sistema. Se aparecerem harmônicos decorrentes do aumento de amplitude, então a energia capacitiva aumenta e conseqüentemente a freqüência fundamental deve cair de tal forma que a energia magnética possa crescer para atingir novamente o balanço de energias.

Para atingir uma freqüência constante, emergem quatro principais requerimentos.

1. A condição que A = 1 deve ser verdadeira para uma freqüência somente e isto implica, na prática, que:

devem ser grandes em torno da freqüência de oscilação. Isto requer o uso de elementos de alto Fator de Mérito (ou Qualidade) Q.

2. O sistema deve ter um baixo coeficiente térmico para a freqüência. As variações de temperatura são de duas formas:

4

Page 5: Osciladores para RF

(a) Aquecimento local decorrente de fontes de calor como potência dissipada nos componentes e, particularmente, dos filamentos, no caso de válvulas eletrônicas. Isto pode ser reduzido usando componentes sobre-dimensionados, circuitos bem ventilados e equilíbrio térmico rápido.

(b) Mudança da temperatura ambiente. Para minimizar estes efeitos, é necessário usar temperatura estabilizada nos elementos que controlam a freqüência do oscilador.

Este assunto é bastante complexo, mas o método mais geral implica a estabilização do indutor pelo uso de restrições que mantenham suas dimensões físicas constantes. Isto significa usar formas de baixo coeficiente de expansão, algum meio de manter os condutores na forma, e a estabilização dos capacitores seja usando cerâmicas como dielétrico ou fitas bi-metálicas que provejam ajuste automático dos capacitores com dielétrico de ar. Um sistema muito popular é manter o produto LC constante, i.e., arranjar o sistema tal que:

3. Uso de fontes de alimentação estabilizadas para manter constante a alimentação de corrente continua do circuito, permitindo que os parâmetros dos dispositivos permaneçam constantes. As capacitâncias internas dos dispositivos são função do potencial dos eletrodos. Normalmente estas variações são minimizadas usando valores grandes dos capacitores externos, que também reduzem os efeitos harmônicos já referidos acima.

4. Isolamento do oscilador com respeito à carga. A freqüência de operação, f, do sistema será achada sendo da forma dada por:

onde fo depende dos componentes do oscilador e R representa a resistência equivalente de aquecimento Joule da carga do circuito. E necessário então manter constante a carga sobre o oscilador. Isto implica o isolamento do oscilador das mudanças da carga. A forma mais simples utilizada é a introdução de um circuito buffer entre o oscilador e o amplificador de potência (ou carga variável).

Outros métodos de obter um estreito controle sobre a freqüência é a utilização de alguns fenômenos naturais que originam oscilações muito estáveis. Exemplos são os cristais de quartzo, a magneto-estrição de algumas cerâmicas e dispositivos tuning fork .

3. Condição de OscilaçãoA condição necessária, mas não suficiente, para a existência de

oscilações sustenidas está dada pela realimentação positiva. A Fig.2 mostra um circuito esquemático para um oscilador, onde o laço está aberto.

5

Page 6: Osciladores para RF

Fig.2. Circuito oscilador com o laço de realimentação aberto.

O ganho do laço é dado por GL = A que geralmente é um número complexo, assim:

GL=| A | (2)

e se não existe inversão de fase no laço, a realimentação é positiva.Outra condição para a existência de oscilação pode-se verificar da

Fig.3 onde se mostram os fasores V0 e V0’. Nesta figura, quando V0 tem uma componente em fase com V0’ de igual ou maior amplitude que V0’, temos que:

(3)

e portanto o amplificador ficará instável ao fechar o laço.

Fig.3. Diagrama fasorial das tensões no laço aberto.

As duas condições acima levam ao dispositivo a um dos estados limites: corte ou saturação. Se a permanência em cada um desses estados é estável e o circuito de realimentação não é seletivo, o circuito funciona como um oscilador astável e o sinal de saída será aproximadamente quadrado.

Se o circuito de realimentação é seletivo com um Fator de Mérito alto (Q > 10) então no laço estará presente um sinal de freqüência única acompanhado com ruído. Neste caso a saída é senoidal e se diz ter um oscilador harmônico. Pode acontecer, também, que esta condição seja verdadeira para outros sinais de outras freqüências, assim o circuito estará oscilando em mais de uma freqüência, esta condição é anômala e indesejável, mas pode acontecer em um circuito mal projetado.

6

A V0Vi

V0’ V0

V0

V0’ | V0 | cos

Page 7: Osciladores para RF

Mesmo que o laço aberto permita , uma vez que o laço seja fechado, necessariamente V0 = V0’ e assim |GL| = 1 e cos = 1 de onde = 0. Estes dois valores, |GL| = 1 e = 0, permitem estabelecer um método de analise dos osciladores com o laço de realimentação fechado.

7

Page 8: Osciladores para RF

4. Analise de Laço FechadoA Fig.4 apresenta o esquema elétrico para um oscilador geral através

da conexão paralelo de dois quadripolos, usaremos então os parâmetros admitância para definir o elemento ativo YA e o circuito de realimentação YR.

Fig.4. Esquema geral para analise de um oscilador em laço fechado.

Da Fig.4 temos as seguintes restrições existentes no circuito:(4)(5)(6)(7)

Para o elemento ativo temos: [ I ]=[ YA ] [ V ] que em termos dos parâmetros fica:

(8)

e para o circuito de realimentação:

(9)

Usando as restrições (4) e (5) em (8) e (9) temos:

(10)(11)

e usando as restrições (6) e (7) temos:

(12)(13)

e dividindo expressão (12) pela (13) obtemos:

(14)

8

YA

YR

I1 I2

V1 +

+

V2

- -

V1’ - - V2’ + +

I1’ I2’

Page 9: Osciladores para RF

de onde podemos escrever a equação característica dos osciladores em laço fechado como sendo:

(15)

Eq.(15) é uma equação complexa e, portanto pode ser dividida em duas equações, uma equacionando a parte real com zero e a outra equacionando a parte imaginária com zero. Estas duas equações assim obtidas permitem obter achar condições para determinar os componentes do circuito de realimentação. Assim:

(16)

(17)

são as duas equações obtidas de (15).

5. Análise e Projeto de um oscilador pelo método do laço abertoEm geral, o laço é aberto de tal forma que o circuito de realimentação

tem uma carga igual à impedância de entrada do amplificador e injeta sinal na entrada deste. Para fazer esta análise vamos usar um circuito predefinido, porém o método pode ser aplicado a qualquer configuração circuital de oscilador.

O circuito oscilador da Fig. 5 usa uma etapa amplificadora em configuração base comum, esta configuração entrega na saída um sinal de aproximadamente a mesma fase do sinal de entrada e tem a vantagem de ter uma largura de faixa limitada só pela freqüência de transição de transistor, fT. Nesta condição o circuito de realimentação não deve adicionar uma grande rotação de fase para atingir a condição de oscilação; neste circuito o circuito de realimentação positiva está constituído simplesmente pelo capacitor CR ligado entre emissor e coletor que permite a oscilação na freqüência de ressonância fixada pelo circuito de coletor formado por o indutor L, e o circuito paralelo C e Cob em combinação com os efeitos do circuito de emissor através do capacitor CR. Se este capacitor CR é pequeno, e comumente é, podem-se desprezar os efeitos do circuito de emissor e a oscilação é fixada somente por L, C e Cob.

9

CR

RE

Q1

C L

R 2

C1 R1 C2

+ VCC

Page 10: Osciladores para RF

Fig.5. Circuito oscilador com transistor em base comum.

No circuito da Fig.5, C1 e C2 são capacitores de desacoplamento da base e da fonte de alimentação respectivamente; seus valores são grandes de modo a se comportarem como um curto-circuito na freqüência de oscilação (normalmente consideramos uma reatância de valor menor ou igual a 10 como adequada nesta função). Retirando o capacitor CR o circuito corresponde a um amplificador em base comum com um circuito ressonante no coletor.

5.1. Laço aberto. Circuito equivalente de pequeno sinal.Para a análise usaremos os parâmetros de admitância de

pequeno sinal do transistor. O circuito equivalente usando estes parâmetros se mostra na fig.6 com o laço fechado pelo capacitor de realimentação CR.

Neste circuito RP representa as perdas totais em paralelo com o indutor L, i.e., representa a carga e as perdas do próprio circuito.

Vamos definir agora algumas quantidades referentes ao circuito. Seja:

Admitância no emissor (18)

Condutância no coletor (19)

Fig.6. Circuito equivalente do oscilador em laço fechado.

10

CR

+ +

RE E1 yi b yr b E2 E2

yf b E1 go b Co b C RP L _ _

Page 11: Osciladores para RF

O indutor L forma um circuito ressonante com C e Co b em paralelo (se CR é pequeno) portanto, na freqüência de oscilação, estes elementos podem ser retirados do circuito, como se mostra na Fig.7.

Fig.7. Circuito equivalente em ressonância do oscilador com laço aberto.

O circuito equivalente do oscilador com o laço aberto, na freqüência de oscilação, se mostra na Fig.7. Vamos determinar o ganho de laço aberto G, definido como sendo:

(20)

Da Fig.7, podemos escrever para E2:

(21)

portanto colocando em evidência E2 fica:

(22)

Para a tensão E1 podemos escrever:

(23)

Substituindo (23) em (22) e colocando em evidência E2, podemos escrever a função de ganho do laço como sendo:

(24)

11

- jXCR E2 - j XCR

+ +

YE E1 yr b E2 Go YE yr b E2

E´2

yf b E1

- -

Page 12: Osciladores para RF

A expressão (24) permite calcular uma faixa de valores da reatância capacitiva XCR, i.e., uma faixa de valores do capacitor CR, que fazem | G |cos 1. A determinação dos valores de CR para tal efeito pode ser realizada mediante computador, achando o valor mínimo de CR para o qual a parte real de G é 1. Para este efeito o programa do ambiente Mathematica oscil2.ma (Vide Apêndice) permite a determinação deste capacitor, o programa requer entrar os dados de Admitância do transistor na freqüência de oscilação desejada e no ponto de trabalho selecionado, como também o resistor de emissor (fonte) RE e as perdas totais estimadas no coletor (dreno) RP.Exemplo: Para o transistor BF 494 no ponto de trabalho VCE = 10 V e IC = 3 mA, temos os parâmetros Y de base comum a 100 MHz:

Yib = 0,0041 + j 0,00115 S;Yrb = - 0,00012 - j 0,00045 S;Yfb = - 0,00402 - j 0,0005 S;Yob = 0,00002 + j 0,0003 S;

Usando um resistor de emissor de 330 e uma resistência de perdas totais de 10000 , se calcula que o capacitor CR deve ser de aproximadamente 0,5 pF. Explorando valores para CR na faixa de 2 pF obtemos o seguinte resultado para o valor absoluto do ganho, vide Gráfico 1..

Gráfico 1. Valor absoluto do ganho do laço em função do valor do capacitor de realimentação Cr em pF.

6. Oscilador com resistência negativaPara facilitar a análise e projeto de osciladores se utiliza um modelo,

mostrado na Fig.8, chamado de modelo de resistência negativa. Este modelo está baseado no conceito de que um circuito sintonizado (ressonante), uma vez excitado, oscilará continuamente se não existir dissipação no circuito; isto significa que se as perdas do circuito ressonante são compensadas por uma resistência negativa, gerada no circuito ativo (transistor por exemplo), o circuito ressonante oscilará indefinidamente na sua freqüência de ressonância. Consequentemente, a função do amplificador (elemento ativo) é prover uma quantidade de energia igual à

12

|G|

f = 100 MHz

Page 13: Osciladores para RF

dissipada no circuito ressonante, mantendo assim a oscilação. A seleção da topologia do circuito oscilador é governada, basicamente, pelos seguintes fatores, entre outros:

(a) Freqüência de oscilação(b) Faixa de sintonia(c) Seleção do elemento ativo (transistor ou amplificador

integrado)(d) Tipo de ressonador.

Fig.8. Modelo de resistência negativa

Um transistor bipolar (ou FET) com capacitores entre base (comporta) e emissor (fonte) e entre emissor (fonte) e terra, pode ser usado para gerar a resistência negativa.

6.1. Análise usando quadripolosComo primeiro exemplo de análise e projeto usaremos a técnica

de quadripolos para achar a condição de oscilação. A Fig.9 mostra o circuito ativo e dentro dos blocos em linha tracejada estão colocados os elementos de maneira de aplicar a associação de quadripolos de maneira mais simples. A análise determinará a impedância de entrada Zin entre base e terra, a parte real desta impedância deverá ser negativa sob certa condição que se deverá cumprir entre os elementos do circuito ativo (capacitores, resistores e transistor). Para realizar esta análise o transistor estará representado através de seus parâmetros de admitância Y.

Fig.9. Circuito ativo para o oscilador.

Saída por emissor (RC) ou por coletor (ZL). Q1 está caracterizado pelos seus parâmetros de admitância YQ1:

13

Reatância do circuito ativo (capacitiva ou indutiva)

Resistência negativa

Resistência deperdas do ressonador

Reatância doressonador(conjugado da reatância do circuito ativo)

r -r

Dispositivo ativo Ressonador

C1

C2Rs

Cs

RC

ZL

Zin=Rin+jXin

Q1

Page 14: Osciladores para RF

Yg jb g jbg jb g jbQ

ie ie re re

fe fe oe oe1

(25)

(a) Agregamos o capacitor C1 em paralelo com a entrada do Q1, assim fica:

Yg jb j C g jb

g jb g jbQ Cie ie re re

fe fe oe oe1 1

1

(26)

(b) Transformamos a matriz [YQ1+C1] para uma matriz [ZQ1+C1], para agregar a esta matriz Z o circuito de emissor [ C2 || Rs || (RL em série com Cs) ] que chamamos de Zemissor.

[ ]Z

yy

yy

yy

yy

22 12

21 11

(27)

S

S

Cj1

C2SS

Cj1

CSemissor R)CRj1(R

RRZ

(28)

A matriz Z total final será de tipo:

[ ]Zz Z z Zz Z z ZQ C Z

emissor emissor

emissor emissoremissor1 1

11 12

21 22

(29)

(c) A impedância de entrada Zin será:Z

z z Zz Zin

L

L

11

22(30)

Com esta expressão pode-se estudar a impedância de entrada em função de alguns parâmetros de circuito, por exemplo em termos de C1 ou C2 para uma freqüência fixa e para os outros elementos de circuito fixos. Vide programa Oscilzy.ma (Vide Apêndice) para ambiente Mathematica.

(d) A condição de manutenção da oscilação requer que, no circuito de entrada, a resistência total (Rin + Rressonador) seja nula. A freqüência de oscilação será aquela na qual a reatância total na entrada seja nula.

14

Page 15: Osciladores para RF

Exemplo: Oscilador Colppits:

Fig.10. Oscilador Colppits

Ou seja: Rin + Req = 0 (Condição de manutenção da oscilação) e

Xin + Xeq = 0 (Condição para achar a freq. de oscilação)

6.2. Análise aproximadaEsta análise é usada, freqüentemente, na aplicação de

transistores de efeito de campo (FET) ao projeto de osciladores de RF. A aproximação é válida para FET’s cuja freqüência de operação nominal ou fT é conhecida como sendo muito maior que a freqüência de oscilação desejada, fº A Fig.11 mostra o circuito equivalente usado.

Fig.11. Circuito equivalente de resistência negativa.

TI = Transformador ideal de relação de transformação 1:A (A < 1). Este pode ser realizado por um divisor capacitivo (Circuito Colppits) o por um autotransformador indutivo (Circuito Hartley).

Do circuito, para o transformador ideal temos:

V2 = A V1 e I2 = I1/A

15

I1 + VG

+ 1:A RL

V1 + VS RS

TI -

I2

V2

gm VV

I1 + VG

+ 1:A RL

V1 + VS RS

TI -

I2

V2

C1

C2Rs

Cs

RC

ZL

Q1

Zressonador=Req+j Xeq

Page 16: Osciladores para RF

Fig.12. Circuito para análise.

Do circuito temos:(31)

(32)

Portanto a “resistência” de entrada será:

RVI A

Rg A A

RA g R A Ain

Sm

S

m S

1

12 2

1

11

( )( ) (33)

Esta resistência de entrada será negativa se:

gA

AGm S

1(34)

Como A < 1, (1-A) é sempre positivo.Esta análise é útil como uma primeira aproximação, principalmente

quando não se tem muitos dados do transistor FET, mas sabendo que é aplicável até uma freqüência de operação muito maior que a freqüência de oscilação desejada (fT >> f0) ; caso contrário o oscilador não vai funcionar ou funcionará de forma inadequada (dificuldade na partida, amplitude variável, deslocamento aleatório de freqüência, etc.).

A parte imaginária da impedância de entrada, Xin , dependerá do tipo de transformador usado. Por exemplo se o transformador é implementado com um divisor capacitivo, a parte imaginária desta impedância será capacitiva. Já se o transformador for de tipo autotransformador indutivo, esta parte imaginária será indutiva. A freqüência de oscilação será, aproximadamente, aquela freqüência na qual esta parte imaginária da impedância de entrada for cancelada por uma reatância externa que anula a parte imaginária total na entrada. Ou seja:

X Xin externa 0 (35)

6.3. Outra análise aproximada

16

Page 17: Osciladores para RF

Fig.13. Circuito para análise.

Y1 = Gi+jB1 (36)Y2 = G2+jB2 (37)

onde: B1 = C1 , B2 = C2 , Gi = condutância de entrada do transistor, 0 para FET e aproximadamente 1/r para BJT , G2 = equivalente resistivo do circuito do emissor (fonte).

Do circuito podemos escrever:

VV Y

Y Ye V

V Y g VY YB

E

PE

B m BE

1

1

1

1 2(38)

usando VBE = VB -VE temos:

VV Y

Y Yg

VY Y

gV

Y YEB

mB

mE

1

1 2 1 2 1 2(39)

Vg

Y YV

Y gY YE

mB

m11 2

1

1 2

(40)

V

gY Y

VY

Y YY gY YE

mE

P

m11 2

1

1

1

1 2(41)

Portanto a equação característica do oscilador é dada por:

Y Y g

Y Y gY Ym

m

P1 2

1 1

1

(42)

Usando as definições dadas acima, podemos escrever:

G jB G jB g

G jB G g jBG jB G jB jBi m

i m

i C L

1 2 2

1 2 2

1

(43)

Expandindo e separando em parte real e imaginária, e equacionando cada uma destas com zero em = 0 (freqüência angular de oscilação), temos:

17

C1 Gi

C2 RS

Cs

RC

ZL

gmVBE

YP=G+jBC-jBL

L C R

B

E

Page 18: Osciladores para RF

Parte Real:

G G g R L C C L C R G G g L R G C G Ci m i m 2 02

1 2 2 1 2 2 1 0 (44) Parte Imaginária:

0 1 2 2 2 03

1 2 1 2 0R C C L G G g G G L R L R C C C C C LRi m i (45)

Da parte imaginária = 0 obtemos a freqüência angular de funcionamento do oscilador, 0, sendo:

0

2 2 2

1 2

1

R G G g G G R

L C C serieCt i m i

( )(46)

onde:Rt = L

R C C( )1 2 (47)

vamos chamar Ct = C1 série C2 assim:

0

2 2 21

R G G g G G R

L C Ct i m i

t

(48)

Usando a parte real = 0 temos:

0

2 2

1 2 2 2 2 1

R G G g

L C C C LR C G G g L R G C G Ci m

i m i

(49)

1 2

1 22 2 2 1

LCR G G g

C CC

R G G gRC

G C G C

i m

i m i

n

m

i

m

C CR C G G g C

G C G CG G g

2

1 2

1 2

2 2 1

1 2

1

11

( )(50)

onde:n L C

2 1 (freqüência natural do circuito ressonante) (51)

02 2

1 2

2

2 2 1

2

1

11

n

i m

i

i mL CL C C

R G G gL G C G C

G G g( )

( )( )

( )

18

Page 19: Osciladores para RF

02

21 2 2 2 1

21

L C C R G C G CR G G g

n i

i m

( ) ( )( )

02

2

1

2

2

11

n

n

i mR G G g( )(52)

onde:

12

1 2 2 2 1

1

L C C R G C G Ci( ) (53)

Igualando com a freqüência encontrada da parte imaginária, temos:

1

11

2 22

1

2

2

R G G g G G RL C C

R G G g

t i m i

t

n

n

i m

( )

( )

(54)

Devemos achar o gm que permita ter manter esta condição de limiar da oscilação (equação característica = 0), assim devemos determinar, por exemplo Gi +G2 +gm em termos dos outros elementos do circuito. Chamando de x este valor teremos:

11

2

2

2

12

R x G G R

L C C

x R

t in t

n

( )( )

(55)

mas:L C C L C

CC

CCt

t

n

t( )

1

112

(56)

1

12

12

12 2

x R R G G R

x R

x Rt t i

CC

n

t

(57)

Temos assim uma equação de segundo grau em x, dada por:

x R R x R R R G G R R R G G Rt t n t iCC n t i n

t212

12 2

2 12

12 2

221 0 (58)

Resolvendo esta equação teremos uma função para gm do tipo:

g f elementos G Gm i ( ) 2 (59)

19

Page 20: Osciladores para RF

que representa a solução buscada para gm que produz resistência negativa na impedância de entrada do circuito. Este método é útil para trabalhar em computador.

7. Sintonia do osciladorO circuito LC que fixa a freqüência de funcionamento do oscilador,

pode ser sintonizado dentro de uma faixa de freqüências através da variação da indutância L ou da capacitância C. Normalmente a indutância é variada para centrar a freqüência de oscilação e a capacitância é realizada através de um conjunto de capacitores que permita cobrir a faixa de freqüências desejada. Este conjunto de capacitores pode estar formado por capacitores fixos e variáveis; entre estes capacitores variáveis podem ser usados trimmers (capacitores ajustáveis) que permitem um pre-setting da freqüência e outros que são variáveis (de forma mecânica ou elétrica) e que permitem sintonizar o oscilador dentro da faixa desejada.

Vamos supor que o circuito ressonante de um oscilador está composto pelo circuito LC mostrado na Fig.14 e que o capacitor total está composto por um circuito paralelo de capacitores como mostrado.

CvLo Co

Fig.14. Circuito sintonizado LC.

Vamos supor que o capacitor variável CV tem uma capacidade máxima Cvmax e uma capacidade mínima Cvmin, assim a freqüência de ressonância do circuito será:

fL C CV

00 0

12

( ) (60)

Para o valor máximo do capacitor variável Cvmax teremos a freqüência mínima de oscilação fmin e para a capacitância mínima teremos a freqüência máxima fmax, dadas, respectivamente, por:

fL C C

e fL C Cmin

Vmaxmax

Vmin

12

120 0 0 0 ( ) ( ) (61)

que podem ser escritas como:

20

Page 21: Osciladores para RF

fL C

CC

fC

C

fL C

CC

fC

C

minVmax

C

Vmax

maxVmin

C

Vmin

1

2 1 1

1

2 1 1

0 00 0

0 00 0

(62)

Se CVmax e Cvmin são muito menores que C0, podemos escrever (usando uma serie truncada de Taylor):

(63)

Estas expressões permitem determinar, de forma aproximada, a faixa de freqüência f = fmax - fmin :

f f f fC C

Cmax min CVmax Vmin

2 0(64)

onde: f L CC ( )2 0 01 (65)

7.1. Sintonia eletrônica e sensibilidade de sintoniaO capacitor variável de sintonia pode ser realizado usando um diodo

varicap (varactor) o que permitirá realizar uma sintonia eletrônica, neste caso o oscilador é chamado de VCO (voltage controlled oscillator) oscilador controlado por voltagem.

Existem dois tipos básicos de varicap, abruptos e hiper-abruptos. Os diodos de sintonia abruptos provêem um fator de mérito (Q) muito alto e operam sobre uma faixa de tensão de sintonia muito larga (0 até 60 V). Estes diodos varicap abruptos provêem o melhor desempenho com respeito ao ruído de fase, devido a seu alto fator de mérito. Os diodos varicap hiper-abruptos, devido a sua característica tensão – capacidade muito linear, provêem uma característica de sintonia mais linear que os diodos abruptos. Este diodo é a melhor escolha para VCO de sintonia de faixa muito larga. Uma faixa de uma oitava pode ser coberta por uma faixa de tensão da ordem de 20 V. Sua principal desvantagem é que possuem um fator de mérito Q muito menor e portanto provêem uma característica de ruído de fase pior que um diodo abrupto.

Para um diodo varicap, a capacitância está relacionada à tensão de polarização como:

C

A

VI

n

(66)

21

Page 22: Osciladores para RF

onde A é uma constante, VI é a tensão inversa aplicada no diodo, é o potencial intrínseco que para diodos de Si é 0,7 V e para diodos de AsGa (Arseneto de Gálio) é 1,2 V e n é um número entre 0,3 e 0,6, podendo chegar até 2 para diodos de junção abrupta.

Para fazer a análise a seguir, vamos considerar a capacitância como:

CAV n (67)

onde A é a capacitância do diodo quando V é um volt. O circuito oscilador LC terá uma freqüência de oscilação:

2 1

L C AVfn( ) (68)

Se 0 é a freqüência angular central (sem modulação) e V0 e C0 são os correspondentes valores de V e C, podemos escrever da equação acima:

LC Cf

1

02

0(69)

Se a tensão V0 é modulada por uma pequena tensão V, a freqüência de oscilação será desviada em uma pequena quantidade , assim:

20L C A V Vf

n (70)

Substituindo o valor de L achado acima teremos:

11

0

2 00

0

C C

VV

C C

f

n

f

(71)

Portanto, a sensibilidade de sintonia K do oscilador pode ser escrita, para pequenos incrementos, como:

Kv

nV

CC C

rad voltf

0

0

0

02[ / sec/ ] (72)

22

Page 23: Osciladores para RF

Formula para cálculo da indutância

Fig. 15. Parâmetros de um indutor.

(73) Onde L: indutância em H

d: diâmetro da bobina em cmC: comprimento da bobina em cmS = C/dN: número de espiras (espiras juntas)

23

N

d

C

Page 24: Osciladores para RF

Fig. 16. Configurações típicas de osciladores

a) Colpitts

b) Clapp

c) Colpitts comcristal

d) Hartley

24

Page 25: Osciladores para RF

8. Osciladores de Deslocamento de FaseFoi visto que um oscilador consiste essencialmente de um circuito

seletivo associado com um amplificador adequado. Este amplificador deve ser tão linear quanto possível e, portanto, é necessário introduzir um limitador para restringir a amplitude da saída à região linear. A condição para que a oscilação aconteça é dada por A = 1 e com n = 0, 1 , 2 , 3..., o sistema mais simples é aquele onde

.Os circuitos aplicáveis para este caso podem ser:1. Circuitos ponte ou treliça nos quais certos elementos são reativos.2. Sistemas de ponte T ou T duplo.3. Circuitos escada (Ladder) recorrentes nos quais os elementos série

e paralelo são, respectivamente, resistores e reatâncias.Destes, o último é o mais comum e a configuração mais obvia esta

constituída por resistores e capacitores.Vamos considerar, por simplicidade, um circuito utilizando um FET associado a um circuito escada de elementos gerais de impedância Zi, com i = 1 até 6, como se mostra na Fig. 17.

Vo

6 4 2Z Z Z

5 3 1Z Z Z

LR

+Vdd

saída

Fig.17. Oscilador genérico.

Para este circuito temos um equivalente, mostrado na Fig.18, onde:

e (74)

VGSuVGS

Ro

R

Z

Z

Z

Z

Z

ZL

1

2

3 4

5 6+

-

+

-Vo

RTh

Z Z

ZZZ

1 Z3 5

2 4 6VGS

VV2 4

I I I

I I I2 4

5

6

1 3

V6

+

-

+

-

Fig.18. Circuito equivalente da Fig.17.

Se não existe corrente na porta, podemos escrever que I5 = I6, assim:

25

Page 26: Osciladores para RF

Assim:

(75)

Como uma primeira aproximação, vamos considerar RTh << Z1, então:

(76)

26

Page 27: Osciladores para RF

Os circuitos mais simples são aqueles mostrados na Fig. 19.

+Vdd

RR

C C C

nR

VoRL

+Vdd

R R

CC

VoRL

R

nCR1

(a) (b)Fig.19. Circuitos osciladores simples.

Considerando o circuito da Fig. 19(a), podemos escrever:

Substituindo estas expressões na Eq.(76), temos:

(77)Separando as partes reais e imaginarias obtemos:

(78)

Para que o ganho Vo/VGS seja real na freqüência de oscilação o, i.e., tenha a fase certa nesta freqüência, deve ser:

Assim:

então a freqüência angular de oscilação o é dada por:

(79)

27

Page 28: Osciladores para RF

Nesta condição o ganho necessário é:

A = Substituindo Eq.(79) temos:

Portanto o seu valor absoluto é:(80)

Para o caso mais simples n = 1, assim a freqüência de oscilação é:

(81)

e o valor absoluto do ganho necessário é:

(82)

O que acontece se o resistor equivalente RTh, que numa primeira aproximação é desprezível, for considerado? O estudante deverá fazer o estudo para responder esta questão.

8.2. Oscilador em Ponte de WienO circuito mostrado na Fig. 20 é conhecido como oscilador em ponte

de Wien. Está constituido por um amplificador operacional, que junto aos resistores R3 e R4, provee o ganho necessário para atingir a condição de partida |A| > 1. O circuito de realimentação está constituído pelos componentes R1, R2, C1 e C2 que formam um circuito seletivo.

28

Page 29: Osciladores para RF

o

RR3 4

R

1R

2

C

1C2

EEB

Fig.20. Circuito oscilador em ponte de Wien.

Para analisar este circuto devemos achar a função de transferência da rede de realimentação para determinar a atenuação e a fase desta. A fig. 21 mostra em detalhe este circuito.

Eo EBRC 2 2

C1

R1

Fig.21. Circuito de realimentação.

Da Fig.21 temos:(83)

(84)

E

(85)

(86)

Levando à forma padrão de segunda ordem fica:

29

Z2

Z1

Page 30: Osciladores para RF

(87)

Com:(88)

(89)Passando ao plano j temos:

(90)

Esta função de transferência é de tipo passa-banda com valor máximo na freqüência angular = o, assim:

(91)

Usando os valores R1 = R2 = R e C1 = C2 = C obtemos que:

(92)

Que é um número real e por tanto o ângulo de fase é nulo. Assim, assimilando este circuito oscilador ao esquema geral da Fig. 1, observamos que a condição de manutenção para este caso deve ser:

De onde resulta que o ganho do amplificador deve ser 3 vezes. Como o ganho do amplificador, neste caso, está dado pela expressão: = 3 então R4 = 2 R3, esta é uma equação de projeto.A freqüência de oscilação, de Eq.(89), deve ser:

(93)

Que também é uma equação de projeto.Complemento sobre osciladores de RF

1. Introdução

30

Page 31: Osciladores para RF

Os osciladores de RF estão constituídos de um elemento ativo, um transistor bipolar ou FET e um circuito de realimentação que define a freqüência de oscilação. O circuito de realimentação esta formado por capacitores e indutores e, em geral, é um circuito em configuração ; diferentes montagens são possíveis dependendo da distribuição dos capacitores e indutores e da configuração do elemento ativo. Estudaremos aqui os osciladores chamados de Colpitts, Hartley e Clapp.

2. Oscilador ColpittsA Fig.1 mostra o circuito Colpitts com um FET em configuração fonte

comum. O elemento ativo, FET neste caso, pode participar em diferentes configurações como será visto mais para frente.

R

NM

FETC3

Rf C4

C2C1

L

Rd

Vcc

Fig.1. Circuito oscilador com FET em fonte comum.

Neste circuito os resistores R, Rd e Rf participam na polarização do FET, C3 é um capacitor de bloqueio de c.c., C4 é um capacitor de desacoplamento da fonte do FET e cuja reatância, na freqüência de operação, é muito menor que o valor de Rf. O circuito de realimentação esta constituído pela indutância L e pelos capacitores C1 e C2. Considerando que o capacitor C3 tem um valor cuja reatância, na freqüência de funcionamento osc, é muito menor que R podemos abrir o laço de realimentação para obter o esquema elétrico equivalente de laço aberto, mostrado na Fig.2.

'21 CC

SVVe eqRgm Ve

L

Fig.2. Esquema elétrico equivalente de laço aberto.O resistor Req corresponde ao resistor Rd em paralelo com o resistor de saída do FET. O resistor R é suposto de valor muito superior à reatância do

31

Page 32: Osciladores para RF

capacitor C2 na freqüência osc. A impedância do FET é essencialmente capacitiva, e a capacitância Ce de entrada do FET está incluída em C2’ = C2 + Ce. O indutor é considerado sem perdas (Q ).

2.1. Analise do laço abertoPara o circuito da Fig.2 podemos escrever, com G = 1/Req:

' 2 '2 2 11A m eI sC s LC G sC g V

desta última vemos que:

' 2 '2 2 11

me

gVsC s LC G sC

e o ganho de laço aberto deve ser:

' 2 '2 2 1

( )1

S m

e

V gG sV sC s LC G sC

daqui:

3 ' 2 ' '1 2 2 1 2

( )1

m eq

eq eq

g RG s

s L R C C s LC s R C C

Passando ao plano s = j, temos:

2 ' ' 3 '2 1 2 1 2

( )1

m eq

eq eq

g RG j

LC j R C C j L R C C

de onde:

2 ' ' 3 '2 1 2 1 2

( )1

m eq

eq

A B

g RG j

LC j R C C LC C

esta função complexa é da forma geral: 2 2 2 2( ) ( ) ( ) m eq m eqg R g R

G j G j j G j A j BA B A B

Fazendo a parte imaginária de G(j) = 0 em = o achamos a freqüência de oscilação o. Para que esta parte imaginária seja nula basta que o termo B seja nulo, assim, de Eq.(1.1):

' 3 ' 2 '1 2 1 2 1 2 1 20 'o o oB C C LC C C C LC C

daqui:2

' '1 2 1 2

' '1 2 1 2

1 1o oC C C CL LC C C C

ou:

32

Page 33: Osciladores para RF

'1 2

'1 2

1

2of

C CLC C

Aplicando a condição de Barkhausen à parte real de G(j), i.e.:

com B = 0, temos:

de onde obtemos o valor da transcondutância necessária para manter a oscilação:

Se considerarmos que a bobina L tem um fator de mérito finito QL = oL/r, onde r é o resistor série do indutor, então a freqüência de oscilação resulta modificada para:

(1.3 a)

i.e., a freqüência de oscilação é ligeiramente maior. A condição de oscilação resulta assim:

(1.4 a)

i.e., a restrição é maior e o dispositivo ativo deve possuir um ganho maior, maior gm.

33

Page 34: Osciladores para RF

3. Oscilador HartleyO circuito Hartley é análogo ao circuito Colpitts, mas se permuta o

papel dos capacitores e indutor no laço de realimentação. Vamos estudar este oscilador com um FET em configuração em dreno comum, como se mostra na Fig.3.

FET VccdR

dC

fC

fR

2

1

L

LC

Fig.3. Circuito oscilador Hartley com FET em dreno comum.

Abrindo o laço na entrada na porta do FET, podemos obter um esquema elétrico equivalente de laço aberto, como se mostra na Fig.4.

eVSVgmVe eqR 2L C

1L

Fig.4. Esquema elétrico equivalente de laço aberto.

O resistor Req corresponde à resistência que se observa na fonte do FET, a capacitância de entrada do FET, em paralelo com L1 é desprezada nesta abordagem.3.1. AnaliseDo circuito da Fig.4 podemos escrever:

daqui:

o ganho de laço é:

34

IS

VA

IA

Page 35: Osciladores para RF

2 211 1

2 2 2

( )1 11 1

S m m

eeq eq eq

V g gG sV LsC s LC G sC G s LCG

s L L s L

de onde:

Passando ao plano s = j, temos:

e:

esta função complexa é da forma:

Fazendo a parte imaginária de G(j) = 0 em = o achamos a freqüência de oscilação o. Para que esta parte imaginária seja nula basta que o termo A seja nulo, assim de Eq.(1.5):

do onde a freqüência angular de oscilação é dada por:

Aplicando a condição de Barkhausen à parte real de G(j) em Eq.(1.5), i.e.:

com A = 0 e Eq.(1.6), temos:

35

Page 36: Osciladores para RF

assim, obtemos o valor da transcondutância para manter a oscilação:

Se as bobina L2 é construída como parte de um único indutor L com uma derivação, então existe um acoplamento entre L1 e L2 caracterizado pela indutância mútua M. Se o indutor é construído, por exemplo, usando um núcleo toroidal, poderemos considerar que o coeficiente de acoplamento será aproximadamente unitário e assim , neste caso a freqüência de oscilação deve ser:

(1.6a)

e a transcondutância necessária para iniciar a oscilação deve ser:

(1.7a)

4. Oscilador Clapp e estabilidade dos osciladoresO deslocamento ou deriva (drift) da freqüência angular osc e da

amplitude das oscilações em função do tempo, depende da evolução dos elementos ativos (transistor, FET, AMPOP) e passivos (R, L, C), como também da carga.

O problema da carga é resolvido intercalando entre o oscilador e a carga usada, um estágio separador (Buffer) cuja impedância de entrada seja independente da carga.

O envelhecimento dos componentes passivos e o efeito da temperatura conduzem a uma deriva de osc. Neste aspecto a utilização de quartzo compensado para a temperatura produz o melhor resultado.

A evolução dos componentes ativos esta mais ligada à deriva da tensão de alimentação. A deriva de freqüência depende da curva de fase do laço de realimentação e veremos que esta sofre de uma variação muito importante na vizinhança de osc. O oscilador Clapp é um melhoramento do comportamento do oscilador Colpitts, porém não chega a ser tão bom quanto o oscilador controlado por cristal de quartzo.

Nos cálculos precedentes é suposto que o amplificador usado possui uma defasagem de 180o, conseqüentemente haverá oscilação na freqüência osc desde que a fase do circuito de realimentação também tenha

36

Page 37: Osciladores para RF

uma defasagem de 180o. Vamos supor que a parte amplificadora possua uma fase que passa de 180o para 180o + , isto significa que a oscilação deve passar de osc a ’osc onde a fase do circuito de realimentação deve ser igual à 180o - . O fato da estabilidade de osc depender tão fortemente da fase do laço de realimentação se pode representar pela expressão:

onde () é a fase do circuito de realimentação; se (1.8) é cumprido estão o oscilador é absolutamente estável..

A Fig.5 mostra o caso de dois osciladores, um bem estável e outro menos estável. O oscilador A é mais estável que o B, de fato para uma mesma variação de fase do amplificador, a freqüência de oscilação de A passa de osc a ’osc no entanto que o oscilador B passa de osc a ”osc com osc - ’osc << osc - ”osc.

Fig. 5. Ilustração da estabilidade relativa entre dois osciladores A e B.

A estabilidade de um oscilador esta ligada diretamente à taxa de mudança com respeito da freqüência da curva de fase do circuito de realimentação. Deste ponto de vista é possível melhorar a estabilidade de um oscilador Colpitts, por exemplo, modificando a rama horizontal do circuito de realimentação , vide Fig.1 e 2. Efetivamente, substituindo o indutor L da Fig.1 por um outro indutor L1 em série com um capacitor C podemos obter uma curva de fase cuja variação de fase é muito mais rápida na vizinhança de osc. O oscilador assim realizado recebe o nome de oscilador Clapp, do qual um dos seus possíveis esquemas se mostra na Fig.6.

Amplificador

Realimentação

180o

”osc ’osc osc

Fase do circuito de realimentação B A

37

Page 38: Osciladores para RF

Vcc

Rd

1

C

C

L1

C2

C3

RfR

FETM

N

Fig.6. Circuito oscilador Clapp.

Para fazer a analise deste oscilador não será necessário refazer os cálculos na freqüência osc pois o circuito série L1 C do circuito Clapp é equivalente com o indutor L do Colpitts, assim na freqüência angular osc teremos:

Para determinar freqüência angular osc basta substituir L da Eq.(1.2) pela Eq.(1.9) obtendo finalmente:

e C’2 = C2 + Ce onde Ce é a capacitância de entrada do FET.Para ilustrar as vantagens do oscilador Clapp sobre o oscilador Colpitts

temos traçado, na Fig.6, as características de fase do ganho de laço para os dois osciladores. Os elementos são tal que a freqüência de oscilação de ambos é de 54,61332 MHz. Os valores usados são: C1 = C2 = 33 pF, L = 0,5 uH, Ce = 2 pF, C = 42,46 pF e L1 = 0,7 uH, Req = 3,3 k. Os indutores são considerados sem perdas.

38

Page 39: Osciladores para RF

54.6 54.605 54.61 54.615 54.62 54.625 54.63

-3

-2

-1

0

1

2

f MHz

Fig.6. Características de fase do ganho de laço.

Os valores das derivadas da fase com relação à freqüência na freqüência de oscilação são:

Oscilador Colpitts: rad/Hz

Oscilador Clapp: rad/Hz

Destes valores observamos que a variação do oscilador Clapp é mais de 4 vezes maior que a variação de fase por Hz que o oscilador Colpitts, confirmando assim a sua maior estabilidade. Isto significa que se por qualquer razão a fase do amplificador viesse a mudar de um grau, a freqüência do oscilador Colpitts variará de 1294,15 Hz e que no oscilador Clapp a variação será somente de 281,74 Hz.

Na Fig.7 se mostra a característica do ganho de laço para ambos osciladores. Podemos observar desta figura que o ganho de laço para o oscilador Clapp tem uma sensibilidade maior com respeito à freqüência que o oscilador Colpitts.

39

Clapp

Colpitts

Fase o

Page 40: Osciladores para RF

54.6 54.605 54.61 54.615 54.62 54.625 54.63

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

f MHz

Fig.7. Característica de ganho de laço de ambos osciladores.

Se considerarmos as perdas no indutor, i.e., considerarmos o fator de mérito finito Q do indutor, onde , a derivada da fase do ganho de laço pode ser escrita na vizinhança de osc como sendo:

Assim, para obter uma grande estabilidade, com os valores C1, Req e osc fixos, podemos:

Diminuir Ceq Aumentar QConservando a relação 2osc L1 Ceq = 1, podemos observar que para obter

um fator de qualidade elevado a parte horizontal do circuito de realimentação deve possuir um baixo valor de C e um alto valor de L1; este é o caso dos osciladores com cristal de quartzo.

O grande interesse nos osciladores Clapp é duplo pois permite: Obter uma muito grande estabilidade Realizar osciladores de freqüência variável (OFV).

4.1. Circuito oscilador Clapp de freqüência variávelPara realizar o oscilador de freqüência variável (OFV) tipo Clapp

podemos modificar o esquema da Fig. 6 para que um dos terminais do capacitor C (normalmente o rotor) fique ligado a terra, como se mostra na Fig.8.

40

Clapp

Colpitts

fosc

Ganho

Page 41: Osciladores para RF

N

M

3C

R

Rf 2

1

C

C

C

1L

Vcc

Rd

FET

Fig.8. Oscilador Clapp de freqüência variável.

O circuito da Fig.8 é um oscilador com o FET em configuração porta comum, o capacitor C3 é um capacitor de desacoplamento. Para estudar o ganho de laço aberto podemos, por exemplo, abrir no ponto M, obtendo assim o circuito equivalente da Fig. 9.

Ve Vs

Rd

Rf1V

1gmV

2

1

C

C

C

1L

Fig.9. Esquema simplificado do laço aberto.

Ainda na Fig.8 observamos que em paralelo com o capacitor C2 aparece a impedância à esquerda do ponto M, i.e., Rf em paralelo com 1/gm; se como critério de projeto fazemos que, na freqüência osc, XC2 << Re|| (1/gm) os cálculos resultam muito simples, pois observamos no circuito equivalente da Fig. 9 que o ganho de laço aberto VS/Ve será real quando o circuito tanque formado por L1, C, C1 e C2 está em ressonância em osc, isto porque idealmente apresentara uma impedância infinita. Daqui temos o equacionamento para determinar osc.

esta expressão é igual à Eq.(1.10).

41

Page 42: Osciladores para RF

A condição sobre o ganho de laço é dada por:

Para realizar o OFV por tensão, podemos substituir o capacitor C em série com L1 por um diodo varicap polarizado inversamente. A polarização do diodo varicap deve ser realizada com cuidados especiais para não perturbar:

A polarização do FET, A freqüência de ressonância osc.

O circuito da Fig.10 mostra um esquema que pode ser usado para cumprir estas restrições.

SintV2LvD

4

2

1

C

C

C

1L

+

Fig. 10. Circuito de sintonia com diodo varicap para o OFV.

O capacitor C4 é um capacitor de desacoplamento para no perturbar a polarização do dreno do FET, seu valor deve ser tal que:

onde CV é a capacitância do diodo varicap no ponto de trabalho usado.O indutor L2 é um choque de RF, para evitar a perturbação do sinal de

RF na tensão de sintonia ou de polarização do diodo varicap, VSint. Seu valor deve ser tal que:

42

Page 43: Osciladores para RF

Anexo AOscilador Hartley com bobinas acopladas.

eVSVgmVe eqR 2L C

1L

Fig. A.1. Circuito equivalente Hartley com as bobinas acopladas.

Transformado a fonte de corrente gm Ve em paralelo com Req em um equivalente Thevenin, obtemos duas malhas para as quais podemos escrever, no ambiente Mathematica (entradas em azul, saídas em preto):

Clear[w,eq1,eq2,I2,i1,i2,sol,Gdew];eq1=i1 (R+I w (L2+M))-I w i2 (L2+M); (*Primeira malha *)eq2=-i1 (L2+M)+i2 (I w (L1+L2)+1/(I w C1)+I 2 w M); (* Segunda malha *)sol=Solve[{eq1gm V R,eq20},{i1,i2}];I2=i2/.sol; (* Solução para i2 *)Gdew=Simplify[I2/(I w C1)/V] (* Ganho de laço *) gmL2 MR

R1 C1L1 L2 2Mw2L2 Mw1 C1w M L1w 2Mw L2 w(* Separando manualmente parte real A e imaginária B do denominador de Gdew podemos escrever para estas partes *)

A=R-w^2 (R C1 (L1+L2+2 M)-C1 M (L2+M)-C1 L2 (L2 +M));B=w (L2+M)-w^3 (C1 L1 (L2+M)+2 C1 M (L2+M)+C1 L2 (L2+M));ImagGdew=gm R (L2+M)(B)/(A^2+B^2);RealGdew=gm R (L2+M)(A)/(A^2+B^2);ww=Solve[ImagGdew0,w] (* Freqüência de oscilação *)w 0,w 1C1L1 C1L2 2C1M

,w 1C1L1 C1L2 2C1M

wosc=1/Sqrt[C1 (L1+L2+2 M)]; (* Freqüência de oscilação wosc*)RealGwosc=Simplify[RealGdew/.wwosc]Solve[RealGwosc1,gm] (* Condição de Barkhausen para gm *)gmL1 L2 2MR

L2 M

43

M1

Page 44: Osciladores para RF

gm L2 ML1 L2 2MRComplemento sobre osciladores a resistência negativa com

dispositivos de dois terminais.

1. IntroduçãoÉ possível realizar osciladores com resistências negativas, como, por

exemplo, com um diodo túnel. A característica I-V de um diodo túnel é mostrada na Fig.1. Um diodo túnel é obtido pela justaposição de semicondutores N e P fortemente dopados ( 1018 cm-3). O efeito túnel é explicado pela física quântica onde o movimento dos elétrons é descrito por uma função de onda.

Fig.1. Característica I-V de um diodo túnel.

A característica I-V apresenta duas regiões de resistência dinâmica positiva I e III e uma região II de resistência dinâmica negativa (V/I < 0); a região III é equivalente à característica de um diodo clássico.

Vamos mostrar que o circuito da Fig.2 utilizando um diodo túnel pode ser um circuito estável ou instável, dependendo de VPol e do valor do resistor R, neste último caso se obtém um oscilador astável.

Fig.2. Circuito com diodo túnel.

44

I

V

I II III

P´ Q´

Q P S R

M N

D1 D2

V1 V2

+I V _

R L V VPol

I

Page 45: Osciladores para RF

2. Estudo da estabilidadePara o circuito podemos escrever, para um instante t qualquer, a

seguinte equação:

A reta VPol – I R – V = 0 corresponde à equação da carga estática (reta de carga). A interseção desta reta de carga estática com a característica I – V do diodo túnel define, em princípio, o ponto de trabalho (ponto de repouso). A seguir vamos considerar os casos em que esta interseção cai nas regiões de resistência positiva ou de resistência negativa.

2.1. Caso com a reta de carga estática nas regiões I e IIIEste caso está ilustrado com a reta D1 na Fig.2. Para saber se o ponto

de trabalho M é estável introduzimos uma perturbação que desloca o ponto desde M até Q de coordenadas (I, V); se, tirando a perturbação, o ponto retorna a M o circuito é estável.

Da Fig.1 vamos determinar o segmento PQ, assim:

No ponto P se verifica a relação: VPol – I R – V1 = 0 e podemos escrever, para PQ:

Comparando Eq.(1.1) e (1.3) permite escrever:

Concluindo, quando o ponto de trabalho passa de M para Q, I diminui, mas a quantidade é positiva, portanto ao tirar a perturbação a corrente deve crescer, assim o ponto tende a M, ou seja o ponto de funcionamento converge para o ponto M.

Podemos realizar o mesmo raciocínio introduzindo uma perturbação que leve o ponto M para Q´ (vide Fig.1), assim I aumenta mas a quantidade P´Q´ = é negativa e ao tirar a perturbação a corrente deve diminuir, portanto o ponto de funcionamento retorna ao ponto M.

2.2. Caso com a reta de carga estática na região IIEste caso é ilustrado na Fig.1 com a reta de carga D2 que corta a

característica I – V no ponto N. Usando um procedimento análogo ao item 2.1, deslocamos, com uma perturbação, o ponto de funcionamento até R, a corrente diminui. Mas observando o segmento SR = , este tem um valor negativo, portanto a corrente deve diminuir mesmo e ao tirar a perturbação o ponto de trabalho não converge ao ponto inicial N. Vejamos, da Fig. 1:

45

Page 46: Osciladores para RF

Na reta de carga estática D2 podemos verificar:

assim:

Usando Eq.(1.16) podemos escrever:

efetivamente, neste caso, a corrente deve diminuir pois a sua deriva é negativa.

Conclusão, se a reta de carga interseta a característica I – V em uma região de resistência negativa o circuito não tem um ponto de funcionamento estável.

Na ausência de um ponto de funcionamento estável, o circuito mostra um funcionamento astável, que pode ser usado para gerar sinais.

46

Page 47: Osciladores para RF

3. Funcionamento de um astável com diodo túnelPara simplificar o raciocínio e os cálculos vamos linearizar por trechos

a característica I – V do diodo túnel, como mostrado na Fig.3 em linhas retas azuis.

Fig. 3. Característica linearizada de um diodo túnel e ciclo astável.

Como o ponto N não é um ponto estável, o ponto de funcionamento em qualquer instante t deve se achar sobre a característica I – V ao longo do ciclo fechado EABCE... .

3.1. Estudando as diferentes etapas(a) Etapa EA, o diodo é equivalente com um resistor r1, o circuito

permite determinar V e I de forma trivial (circuito de primeira ordem RL). A Fig.4 mostra o circuito equivalente.

Fig.4. Circuito equivalente da etapa EA.Nesta etapa a tensão V evolui de VE até VA com uma constante de tempo

.Atingindo o ponto A a corrente não pode diminuir para fazer o caminho AD (vide item 2.2), o ponto de funcionamento pula para B. Há um transitório na tensão desde VA até VB devido à variação da corrente e ao indutor L.

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R L VPol r 1 V I

0 VE VA VF VD E0 VC VB V

E F D CIC

IA

I

AB

N

Y

X

Page 48: Osciladores para RF

(b) Etapa BC, o diodo é equivalente a um resistor r2 em série com uma força eletromotriz Eo, o circuito permite determinar V e I de forma trivial.

Fig.5. Circuito equivalente para a etapa BC.

Nesta etapa a tensão V evolui desde VB até VC com uma constante de tempo .

No ponto C o diodo se comporta como um gerador de corrente de valor IC, a tensão V deverá passar instantaneamente de VC a VF, mas como isto é impossível pois a ponto F se encontra fora da característica do diodo, a tensão passa instantaneamente de VC a VD. Atingindo este ponto D, a corrente não pode crescer para fazer a trajetória DA, o ponto de funcionamento pula para o ponto E. Há uma diminuição rápida de tensão de VC até VE decorrente da variação da corrente e do indutor L. O ciclo continua indefinidamente.

Os gráficos das tensões V e da corrente I são mostrados na Fig. 6.

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+

R L r2 VPol V I Eo _

T1 T2 t

V

VB

VC

VA

VE

I

IA

IC

A

B

E

C

A

2 1

t

Page 49: Osciladores para RF

Fig.6. Tensão e corrente do circuito astável com diodo túnel.

Devido as quedas de tensão e corrente ser de tipo exponencial, os tempos de duração T2 e T1 são, respectivamente:

As tensões VX e VY são achadas nas interseções da reta de carga com a característica do diodo nas regiões I e III.Conclusão, como na prática as transições AB e CE são finitas, i.e., o tempo de transição 0, os circuitos astáveis à diodo túnel permitem obter freqüências muito altas, da ordem dos GHz.

49

Page 50: Osciladores para RF

Exercício sobre oscilador a resistência negativa

Oscilador à resistência negativa1. Diodo túnelUm diodo túnel é um componente resistivo (em primeira aproximação) em que a característica I – V se mostra na Fig.1.

Fig. 1. Característica I-V do diodo.a. Modelo

Para este exercício o diodo será modelado, em sua parte de resistência negativa, por um segmento reto, cujos extremos são de coordenadas:

v = 0 mV, i = 1 mAv = 400 mV, i = 0 mA

Qual o valor da resistência negativa?b. Polarisação

A polarização deve ser tal que coloque o diodo no meio da característica linear do modelo do item a.

Gerador de ThéveninO circuito de polarização pode ser representado por um gerador de

Thévenin constituído por uma fonte de tensão e = 300 mV em série com um resistor rg (vide Fig.2).

e = 300 mV

gr

D+

-

Fig.2. Circuito de polarização.

Calcular a resistência rg.

c. Ponto de polarizaçãoO circuito de polarização é realizado pelo esquema mostrado na Fig.3,

constituído de uma fonte de tensão V de 1,5 V e um divisor de tensão R1 e R2.

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Page 51: Osciladores para RF

2

1

R

R

D+

-

Fig.3. Circuito de Polarização.

Determinar os valores de R1 e R2 para ter o ponto de polarização desejado.

2. Circuito OsciladorO circuito para estudar este oscilador inclui a Fig.3 e a inserção de um

circuito tanque LC paralelo ligado em série com o diodo túnel, como mostra a Fig.4. O circuito ressonante LC se considera sem perdas. Utilizaremos um circuito linear equivalente para pequenos sinais.

LC2

1

R

R

D

+

-

Fig. 4. Circuito completo do oscilador.

a. Circuito linear equivalenteMostrar o circuito linear equivalente aproximado para pequenos

sinais. Este circuito deve mostrar o gerador equivalente Thévenin do circuito de polarização, a resistência negativa correspondente à característica do diodo túnel na vizinhança do ponto de trabalho (polarização) e o circuito ressonante LC.

b. Escrever uma equação para analiseEscrever uma função X(s) da variável complexa s, (função de transferência ou inmitância do circuito), que permita estudar a estabilidade sob a aproximação de pequenos sinais.

c. InstabilidadeDo estudo dos pólos de X(s) escreva a ou as condições para que: (a) o circuito seja instável, (b) os pólos sejam complexos conjugados.

Estas condições são satisfeitas com o circuito estudado?

d. Comportamento

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Page 52: Osciladores para RF

Caracterizar a oscilação que se produz quando o sistema está no limite da estabilidade.Faça a aplicação numérica para L = 0,2 H e C = 10 pF.

B. Parte BAqui vamos estudar as propriedades do circuito oscilador da parte A II

2 em regime permanente estável i.e., o oscilador produz um sinal de amplitude e freqüência constante.

I. Modelo do diodoUsaremos nesta parte a característica não-linear do diodo túnel. O circuito é o mesmo que na seção A II 2, mas a característica I – V do diodo túnel é não-linear representada aproximadamente pela equação:

V é a tensão entre os terminais do diodo e I a corrente através dele.

Vo = 200 mV, Io = 0,5 mA

O diodo está polarizado a uma tensão VP e a corrente correspondente é IP.

1. Valor de g e A inclinação da característica na vizinhança do ponto (Vo, Io) é igual à

aquele segmento reto que modela ao diodo como em A II 1. Qual o valor de g?A inclinação da característica é nula para V = Vo – 150 mV e para V = Vo + 150 mV. Qual o valor de ? Qual o valor da relação /g ?

II Analise do primeiro harmônico1. Validade

Demonstrar que a aproximação do primeiro harmônico pode ser aplicada para o estudo do regime estável do circuito oscilador.

2. Circuito linear equivalenteCaracterizar a componente linear equivalente do diodo na aproximação do primeiro harmônico. Supor, para este caso, que uma componente alternada de tensão da forma v(t) = v cos t existe nos terminais do diodo e esta determina a corrente fundamental correspondente i(t).

III Oscilação1. Freqüência e amplitude

Utilizar os resultados precedentes e o critério de Barkhausen para determinar a amplitude e a freqüência de oscilação.2. Aplicação numérica Calcular os valores numéricos da freqüência e da amplitude de oscilação para :

Vp = 100 mVL = 0,2 H e

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Page 53: Osciladores para RF

C = 10 pFA resistência do gerador de Thévenin equivalente do circuito de polarização está determinada na questão A II 1.3. Controle da amplitudeComo é possível controlar a amplitude da oscilação agindo sobre a tensão de alimentação do circuito?4. Controle da freqüência

Propor um circuito usando um diodo varicap que permita controlar a freqüência de oscilação através de uma tensão de sintonia.

Solução:

II Oscilador à resistência negativa1. Diodo túnel

a. Modelo.

Fig.5. Modelo do diodo e reta de carga.

b. PolarizaçãoGerador de Thévenin

(vide Fig.5)

c. Ponto de polarização

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diodo

Page 54: Osciladores para RF

2. Circuito osciladora. Circuito equivalente linear

gr - r = - 1/ gC L

- r

gr

LC

Fig.6. Circuito linear equivalente.

Este circuito é aproximado (imperfeito) pois não contem as perdas (particularmente as perdas do indutor já que temos desprezado sua resistência). Estas perdas podem ser levadas em conta introduzindo um resistor R = 1/G em paralelo com o indutor, o circuito fica como mostrado na Fig.7.

gr - r = - 1/ gC L R = 1/ G

Fig.7. Circuito equivalente com perdas.

b. Escrevendo a equação de transferênciaPara o circuito da Fig.6 acima podemos escrever, para a impedância

do circuito paralelo:

e, levando em conta as perdas no indutor, da Fig.7:

c. InstabilidadePólos complexos conjugados :

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Page 55: Osciladores para RF

ou

Parte real positiva :

ou

A segunda condição é satisfeita na construção (com G = 0). A primeira impõe os limites na seleção de L e C se r e rg são impostos.

d. ComportamentoLimite da estabilidade : pólos imaginários puros da forma s = j

Parte real do denominador nula :

Parte imaginária do denominador nula : se G é nula, é impossível anular a parte imaginária (se encontra g = 0) se G não é nula (considerando as perdas) :

Aplicando os valores numéricos para L = 0,2 H e C = 10 pF

B. Parte BI. Modelo do diodo1. Valor de g e

V = V0 produz :

r é o valor determinado acima (item d).

55

Page 56: Osciladores para RF

II. Analise do primeiro harmônico1. Validade

O circuito ressonante apresenta uma impedância de ordem superior a 1 (segunda ordem).

2. Circuito equivalente linear

Fazendo:

Os harmônicos aparecem nas potências dos co-senos:

O circuito ressonante permite atenuar a segunda e terceira harmônicas, assim:

A componente de corrente alterna à freqüência fundamental é dada por:

Conclusão, o diodo é então caracterizado por uma admitância:

O mesmo resultado se obtém se, por exemplo, VP = 0 (polarização no centro de simetria da característica do diodo, VP = Vo ).

III. Oscilação

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Page 57: Osciladores para RF

1. Freqüência e amplitudeO sistema linear equivalente do oscilador em regime estável

(oscilando) na aproximação do primeiro harmônico, satisfaz a condição de Barkhausen (no limite da oscilação) incluindo as perdas, materializadas por R (ou G) na resposta precedente I.e., (g – G) = 0, ou seja rg – r = R.

A freqüência de oscilação já foi determinada na parte A:

A amplitude é achada pela relação encontrada na parte A:

ou r dada por

Podemos escrever:

daqui podemos achar a amplitude da oscilação v :

2. Aplicação numéricaDa parte A :

Desprezando as perdas na bobina (R muito grande):

3. Controle da amplitude A tensão de polarização permite controlar a amplitude (através de VP )

4. Controle da freqüência Varicap (vide Item 7.1).

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